El comienzo de la lógica matemática

8/7/2019 El comienzo de la lgica matemtica

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E L COMIENZO DE LA LOGICA MATEMATICA

EL COMIENZO DELA LOGICA MATEMATICA

Carlos Martin CollantesM (IOlga Exposito HernandezMayo 1994

I. INTRODUCCIONLa l6gica matematica constituye la forma que esta disciplina adopta desde me-

diados del siglo XIX a traves del trabajo de un grupo de matematicos que se adentranen la investigaci6n l6gica. No obstante, la 16gica es por entonces una ciencia con unalarga historia que Bochenski describe como de desarrollo sinusoidex'. A periodosde maximo esplendor le siguen otros donde apenas hay aportaciones dignas de rese-fia. Cada uno de estos momentos parte de presupuestos diferenciados, emplea tecni-cas distintas y desarrolla problernaticas diversas, por 10que constituyen formas dela 16gica, y no una misma 16gica desarrollada linealmente en 10doctrinal aunque conalgunos saltos en el tiempo.

I BOCHENSKI, I.M., Historia de la logica formal, Edt Gredos, Madrid 1985, pag, 21

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Son cinco los periodos en los que cabe dividir la historia de la 16gica, de loscuales s610 tres son creadores: el clasico antiguo (hasta el VI d.C.), la escolastica(siglos XI-XV) y la 16gica maternatica (desde el XIX). Intermedian otros dos mo-mentos no demasiado interesantes por la pobreza de sus aportaciones: la alta edadmedia (siglos VII-XI) y la moderna 16gica clasica (siglos XVI-XIX).

De los tres periodos que real mente importan, en las dos primeros la l6gica esta alservicio del razonamiento en ellenguaje ordinario, mientras que en el ultimo se cons-truye como una forma de algebra abstracta, en el momenta que los maternaticos gus-taron de inventar varias de elias, a la que posteriormente se interpreta en ellenguajeordinario. Posteriormente se busca en ella la fundamentaci6n de todo razonamientomatematico en la obsesi6n por el rigor que sacude ala rnatematica del XIX, cuando laaparici6n de geometrias alternativas a la euclidiana convierte el problema de la con-sistencia, y de los fundamentos del metodo axiomatico tal como fueron sentados porel propio Euclides, en un problema candente para la matematica.

Kneale sefiala explicitamente otra caracteristica del periodo que puede explicaresta diferencia: las dos primeras formas son desarrolladas por fil6sofos y la tercerapor matematicos, Como indica este autor los esfuerzos leibnizianos de construcci6nde un calculo logico no fructificaran hasta tanto Lamatenuuica no se hubiera desa-rrollado Losuficiente como para facilitar el grado de abstraccion en el que aquelpionero de la logica deseaba instalarse. Cuando fa logica revivio a mediados delsiglo XIX, el nuevo impulso habria de provenir de los matemtuicos familiarizadoscon los avances en el dominio de su propia especialidad mas bien que de losfiloso-fos enzarzados en la controversia entre el empirismo y el idealismo?

No se trata, no obstante, de 16gicas distintas sino de formas distintas de unamisma 16gica. No existe el relativismo doctrinal en 16gica pues, aunque aparecenproblemas nuevos y leyes distintas en cada etapa, \a problematica \6gica fundamentalse repite. El problema de la implicaci6n, las paradojas sernanticas, la necesidad dedesarrollar una logica modal, el anal isis de los cuantificadores, el amplio formal is-mo, un tratamiento predominantemente extensional de las leyes 16gicas, son buenosejemplos, entre much os otros, de esta recurrencia.

Para conocer el discurrir de los primeros pasos de la 16gica rnatematica podemosadoptar dos perspectivas. La primera es coherente con la realidad hist6rica de la quetuvieron conciencia los protagonistas de la gesta. La segunda seria para ellos c1ara-mente falsa e incoherente, pero mucho mas explicativa para nosotros. Supone unareconstruccion que recorre el hilo de la historia desde la moderna logica maternaticahacia su pasado. Eliminamos as! todos los caminos muertos y recuperamos algunos

2 KNEALE, W . y M., El desarrollo de la logica, pag. 349.

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hitos que 10fueron s610 mucho despues de producirse. Esta perspectiva nos obliga acomenzar nuestro trabajo mencionando a Leibniz como precursor de la modem a 16-gica rnatematica, olvidando total mente que su influencia fue insignificante por cuan-to sus escritos 16gicos fundamentales no saldran a la luz hasta que L. Couturat lospubl ica en 1901, momenta en que sus intuiciones ya estan en pleno desarrollo. Debe-mos tambien considerar Begriffsschrift de G. Frege, publicada en 1879, como elmomento de madurez de la moderna 16gica, a pesar de que apenas tuvo eco entre losmatematicos y l6gicos contemporaneos por 10que su impacto real en la disciplina fuenulo hasta que Russell 10redescubri6.

Queda claro que la visi6n del tema es diferente segun el sentido que elijamospara la flecha del tiempo en este recorrido hist6rico. Como 10que queremos com-prender es nuestro presente, c6mo se gesta la actual L6gica matematica, optaremospor una reconstrucci6n del pasado hasta los Principia Mathematica de Russell yWhitehead en la que el punto de partida es justamente el final del proceso, Ia versi6ndefinitiva que supone esta obra para esta forma de la 16gica. Es una reconstrucci6nque tiene poco de hist6rica y mucho de disciplinar. Por esta raz6n obviaremos, 0mencionaremos muy de pasada, problernaticas y autores cuyas aportaciones al cor-pus de Ia 16gica moderna fue poco sustancial, recogiendo en estas paginas s610 aque-lias que nos llevan directamente a los Principia. Por esta raz6n, nos centraremos enlas figuras de Boole y Frege que representan dos momentos decisivos tanto en eldesarrollo de la l6gica simb61ica como en las relaciones entre rnaternatica y 16gica. Sicon Boole la 16gica es una parte de la matematica, se desarrolla como un calculosemejante al algebra numerica, con Frege se invierte la relaci6n hasta el punto que laaritrnetica, y con ella toda la matematica, se convertiran en 16gica desarrollada.

II.LA FORMA MATEMATICA DE LA LOGICALos historiadores de la 16gica matematica centran su atenci6n en el contenido

peculiar de esta forma de la 16gica, si es 0 no diferente de la maternatica, sus caracte-rfsticas especfficas diferenciadoras de otras formas anteriores, incluso su nombrepuede ser objeto de controversias: 16gica matematica, simb6lica, logfstica, teoretica,formal... Se trata, en eso hay unanimidad, de uno de los perfodos mas fructiferos de ladisciplina, etapa aun no concluida cuyos resultados se dejan apreciar en muchos otroscampos.

La 16gica maternatica es una ciencia formal que se presenta siempre en forma decalculo. A imitaci6n de la maternatica desarrolla un metodo formalfstico donde lasreglas operacionales se refieren a la forma de los signos y no a su sentido. Otras

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obra finaliza el proceso evolutivo anterior y supone el punto de partida de los desa-rrollos posteriores. Aparecen las antinomias logicas y un primer tratamiento detail a-do de las mismas junto con un intento consistente de solucion.

EI ultimo periodo es el conternporaneo que, desde los Principia hasta el presen-te, se caracteriza por el desarrollo de la metalogica, Aparecen nuevos sistemas logi-cos como el de Lewis (1918), las logicas polivalentes de Post y Lukasiewicz (1920-21) Yla logica intuicionista de Heyting. Tarnbien pertenecen a esta epoca las logicasnaturales de Gentzen y laskowski (1934). Los trabajos de Godel, Ramsey, Tarski 0Carnap entre otros hablan de la complejidad alcanzada por la nueva ciencia totalmen-te constituida. Es un periodo de fuerte expansion aun no concluido, pero que ya nocorresponde al nacimiento de la logica matematica, que damos por terminado en losPrincipia Matltematica. De hecho, ni siquiera esta obra cae ya bajo este rotulo.

Los protagonistas del proceso que nos ocupa, constructores 0 descubridores dela logica matematica, segun entendamos la naturaleza de los entes logicos, mantienenposiciones filosoficas diversas, y muchas veces enfrentadas, ace rca del estatuto de lamaternatica y la logica, Desde el platonismo declarado de Frege al nominalismo eincluso psicologismo de Boole se representan todas las posturas. Sin embargo, todosforman parte de la misma historia, todos contribuyen a construir en 1 0 esencial unamisma logica formal. Bochenski explica esta coincidencia de resultados por la sepa-racion tajante entre el desarrollo logico y la filosofla (ontologia, teoria del conoci-miento, etc.) asumida por todos ellos, Las diferencias entre los distintos sistemasdesarrollados no se debera tanto a estos diversos posicionamientos filosoficos comoa cuestiones de tipo interno en el desarrollo de sus propuestas, ya sea por establecermetas distintas, ya sea por proponerse diferentes grados de exactitud, 0 solo por adoptarsistemas de notacion distintos.

En cuanto a las metas que dirigen la investigacion en logica formal se trata de untema que bien merece nos detengamos un poco a considerarlo. La logica rnatematicaparte de dos supuestos metodologicos: servirse del calcu 1 0 y conseguir demostracio-nes exactas. Por el primero la logica se construye a imitacion de la matematica comoparte suya. Este es el propos ito que guio a Boole y constituye una primera fase de lalogica rnaternatica. Por el segundo 1 0 que se persigue es la investigacion de los funda-mentos matematicos dotando a la maternatica de un modelo de demostracion riguro-sa. La logica fundamenta a la maternatica que deriva directamente de ella. Es el plan-teamiento de G. Frege que coloca la matematica bajo el dominio de la logica,

Para explicar la relevancia que adquiere en este momenta la logica para los ma-tematicos debemos sefialar tanto la aparicion de las geometrias no euclideas como laformulacion de nuevos sistemas de algebra. Una consecuencia de estos revoluciona-

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rios desarrollos sera la de cuestionar que deb a considerarse como verdad maternati-ca, cada vez mas alejada de la intuicion. Lo que hasta entonces se consideraban ver-dades rnatematicas empiezan a parecerse mas a un constructo humano. Y si esto esasi, verdadero se transforma en sinonimo de consistente, esto es, sera verdad mate-matica 1 0 que no conduzca a contradiccion, EI problema de los fundamentos se con-vierte en problema crucial y de ahi el interes que manifiestan por la logica algunosmatematicos preocupados por estas cuestiones de tipo ontologico sobre los entes conlos que trabajan.

No obstante, hay que distinguir una doble direccion en el desarrollo de Ja logicamaternatica. La preocupacion por construir un calculo universal para eJ razonarnien-to, al modo de un algebra nueva y mas general, es el propos ito que guia a los primerosIogicos del periodo. Boole, De Morgan 0 Ch. S. Peirce se situan as! dentro de lacorriente de nuevos desarrollos en algebra que invaden el siglo XIX. La construccionde una logica para fundamentar el edificio de la matematica constituira la preocupa-cion de un segundo momento. Primero manifestada en Frege a quien guia la insatis-faccion por el problema de la consistencia, 1 0 que le lleva allogicismo. Despues, alaparecer las paradojas, surgen escuelas de pensamiento rnatematico que se proponendar, desde diversos presupuestos, una respuesta al problema de los fundamentos,estimando de modo muy distinto el valor de la logica para aIcanzar su objetivo.III. EL PERioDO ALGEBRAICO DE LA LOGICA MATEMATICA

La relacion entre Leibniz y Boole puede hacerse paralela a la existente entrePlaten y Aristoteles, 1 0 que nos sera muy util para apreciar el peso relativo que ambosautores tienen en la historia de la logica rnatematica, Si Leibniz, como Platen, pro-porciona las sugerencias fundamentales, sera Boole, como Aristoteles, el espiritusistematico que las haga efectivas. Boole, al contrario que Leibniz, fundara una es-cuela y su obra supone el punto de arranque para un desarrollo ininterrumpido enlogica.

George Boole (1815-1864) tuvo que arreglarselas como autodidacta para mejo-rar su condicion social, estudiando para ello latin y griego. Se convierte en maestrode escuela y a los dieciseis afios ensefia matematicas en un colegio privado, circuns-tancia que le obliga a estudiar a fondo, siempre por su cuenta, las obras de Laplace yLagrange, al mismo tiempo que aprende idiomas, Traba amistad con A. De Morgan(1806-1871) y sigue con interes la polemica que este establece con Sir W . Hamilton(1788-1856) sobre ellugar que le corresponde a la logica, para el primero asociada ala matematica y para el segundo a la metafisica. Tomara partido por De Morgan

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publicando SUS propias conclusiones en un librito titulado The Mathematical Analy-sis of Logic considerado por De Morgan fundamental y que aparece el mismo afioque su Formal Logic, en 1847, fecha en la que, por esta razon, se ha dado en fijar elnacimiento oficial de la logica matematica, Analysis, ademas de convertirle en elautentico fundador de la nueva disciplina le perrnitio tambien, por su reputacion, sernombrado dos afios despues profesor de maternaticas en el entonces recien creadoQueens College de Cork, en Irlanda. Permaneceria Iigado a esta Universidad el restode su vida. Murio en 1864 viendo reconocidos sus rneritos en vida, incluyendo unagraduacion honoraria por la Universidad de Dublin.

Para Kneale las raices de la original aportacion booleana no hay que buscarJastanto en la agria polemica entablada por De Morgan y Hamilton, en la que el filosofoescoces reclamaba para si la prioridad en Ja doctrina de los cuantificadores acusandoal matematico de plagiario, como en el conocimiento de Boole de dos importantesresultados aJcanzados por los maternaticos anteriores. Los trabajos de G. Peacock(1791-1858), D. F . Gregory (1813-1844) y De Morgan sobre algebra abstracta, pub li-cados entre 1833 y 1844, establecen y desarrollan la idea de una posible algebra deentidades que no fuesen numeros en ninguno de los sentidos convencionales del vo-cablo. H. G. Grassmann (1809-1877), A. Cayley (1821-1895) y W.R. Hamilton (1805-(865) crean algebras alternativas con fines especificos que no cumplen todas laspropiedades de los numeros hasta entonces estudiados, 1 0 que supone el descubri-miento de que las leyes que rigen para cualquier clase de numeros hasta lIegar a loscomplejos, e incluidos estos ultirnos, no necesitan respetarse integramente por unsistema algebraico que no resulte aplicable a tales numeros, En el caso de los cuater-niones de Hamilton carecia su sistema de la propiedad conmutativa de la multiplica-cion 1 0 mismo que ocurria con las matrices de Cayley, en las que adernas el productode dos matrices puede ser cero aunque ninguno de los dos factores sea cero.EI desarrollo del algebra abstracta y la elaboracion de nuevos sistemas algebrai-cos, en manos de un hombre que estima en las rnatematicas sobre todo su capacidadpara la generalizacion abstracta, constituyen la base sobre la cual descansa la granidea que desarrollara Boole: que el algebra puede ser desarrollada como un calculoabstracto susceptible de interpretaciones diversas. Esta idea surge, como sefiala Bo-yer, de su concepcion de la maternatica misma que entiende no ya como ciencia delnurnero y la magnitud, definicion frecuente en su epoca, sino como verdadero calcu-1 0

Boole termina un proceso de formalizacion iniciado por otros matematicos, ex-presando por vez primera de forma clara el caracter formal de la Ciencia matematica,donde el contenido pierde relevancia frente a la forma hasta el punto de que si un

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tema eualquiera se presenta de tal manera que consista unicamente en simbolos yreglas precisas para operar eon estos simbolos, sujeto todo ella solamente a unaexigencia de consistenciainterna, entonces este tema constituye una parte de lasmatemdticas?En 1854 publica An Investigation of the Laws of Thought donde extiende yclarifica 1 0 ya presentado en 1847. Su idea principal, menos ambiciosa que la deLeibniz, era que las leyes existentes del razonamiento podian expresarse en formasirnbolica con 1 0 que era posible mejorar y facilitar su aplicacion, Boole al establecerla logica como ciencia de las leyes del razonamiento esta defendiendo aun para lalogica el caracter psicologista que fue caracteristico del periodo de logica clasicamoderna cuya mejor exposicion se encuentra en Logique ou L'art de penser, masconocida como Logique du Port Royal, de Arnauld y Nicole (1662). A este psicolo-gismo se opondra vivamente Frege. En Boole encontramos, en cambio, un momentade transicion.

Para lA. DelVal" en 1854 desarrolla las ideas de 1847 pero se preocupa tarnbiende problemas filosoficos que en Analysis estaban ausentes. Habria, segun este autor,dos aspectos a considerar en su obra: uno estrictamente formal, logico; otro de tipoempirico, hoy integrado dentro de la psicologia. Desde el punto de vista formal, Boolesepara tajantemente logica de psicologia 0 epistemologia y, por tanto, rompe con lalogica clasica inmediatamente anterior para fundar la logica rnatematica al separarla logica de las leyes del pensamiento. Pero aun asi el aspecto psicologico esta pre-sente entre sus intereses por cuanto pretende que el estudio de la 16gica puede arrojarluz sobre las leyes del pensamiento humano.

Tambien los Kneale' dedican un espacio al interes booleano por una 'ciencia dela mente'. Mencionan estos autores como Boole se ocupa los ultimos afios de su vidade las [eyes del pensamiento en sentido psicologico, aludiendo en algunos trabajosinconclusos a una distincion entre la Logica de Ciases, que constituye el calculologico de Analysis y de Laws of Thought, y una logica superior entendida comoFilosofia de todo pensamiento. Asi, aunque Boole defiende una concepcion psicolo-gista de la logica como ciencia de las leyes del pensamiento, convirtiendo la logica enparte de la epistemologia, 1 0 que desarrolla, y esta es su contribucion real e irnportan-te, es una ciencia formal que se ocupa de algunas de las leyes mas generales de 1 0pensable sin referenda alguna a nuestros procesos mentales.

J BOYER, C. B., Historia de fa matemdtica, A lia nz a Univ ers id ad , M a drid 1 98 6, pag 723.4 DELVAL, J. A ., /(Logica y psicologia del razonamiento, e n P IAGET, J., Investigaciones sobre logica y

psicologla, A lian za Univ ersid ad , M a drid 1 97 7, p ag s. 2 0-2 1.S KNEALE, M . Y w . , op.cit. II Des. Log., pags. 375-6.

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El cdlculo booleano:EI sistema de la logica maternatica booleana admite una doble interpretacion;

como logica de clases y como logica sentencial 0 proposicional, y su desarrollo nofue obra solo de Boole sino que intervinieron tarnbien De Morgan y Peano (1858-1932). De Morgan fue su precursor, aunque su obra principal se publique conjunta-mente con la de Boole. Peano, en Arithmetices Principia Nova Methodo Expositapublicado en 1889, concluye este desarrollo al postular un simbolismo, distinto porcompleto al matematico, que conduce a su forma definitiva el calculo booleano alque extiende considerablemente.

Podemos empezar la exposicion del sistema al modo como 1 0 hizo el propioBoole, es decir, introduciendo los signos y conceptos necesarios para obtener el cal-cu 1 0 desde su interpretacion mas conocida: la logica de clases. Estos simbolos son:

- x, y, z, .. : Simbolos electivos que representan a las clases de individuos X, Y,Z que son seleccionados en un universo.

- +, -,.: Operadores que significan a las combinaciones que pueden hacerse conlos elementos anteriores segun ciertas reglas.

- =: Identidad. Aplicada a las clases significa que ambas partes de la identidadson c1ases con los mismos miembros. Nosotros hablariamos de ella como de unarelacion de equivalencia para el conjunto de las clases que satisface el principio desustitucion,

- 1: Univ"erso . . . . que abarca todas las clases pensables de objetos, existan real-mente 0no. Posteriormente De Morgan hablara del 'universo del discurso' yes estesentido el que utiliza Boole.

- 0: Clase nula, aquella que no contiene elementos. Esta clase no se introducemediante definicion explicita por Boole, sino como resultado de la simbolizacion dela proposicion 'Todos los x son y' que queda xy = x, de donde x(1 - y) = O. Laintroduccion expresa de esta clase junto con la universal corresponde a Schroder(1.890). EI uso de la clase universal y de la clase vacia tiene un significado logicoimportante, ya que respecto a la logica aristotelica supone una arnpliacion, pues enesta no existian terrninos de aplicacion universal 0 nula.

- xy: Producto logico. Operacion que determina la seleccion de los elementosque se hallan en 'x' yen 'y' sirnultaneamente forman do una nueva clase. Solemosdenominarla como interseccion. De esta concepcion del producto se deriva la ley quedistingue este algebra de la 'normal', a saber xx = x, y en general x" = x. Para ellaBoole reconoce la propiedad conmutativa por la que xy = yx, y tambien se cumpleque lx=l y Ox=O.

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- x+y: Suma logica. Es la operacion que selecciona los elementos de 'x' y de 'y'uniendolos en una nueva clase. Esta operacion que denominamos habitual mente unionno tiene un tratamiento uniforme, puesto que su interpretacion actual procede deJevons (1.864) y de Peirce (1.867), quienes la definen sobre la base de la disyuncioninclusiva, 1 0 cual hace que se cumplan las leyes de De Morgan. Sin embargo Booleutilizo una formulacion diferente, que suele considerarse como disyuncion exclusi-va, aunque esto no sea exacto, pues para el x+y no es la clase de los elementos que seencuentran bien sea en x, bien sea en y, pero no en ambos a la vez, 1 0 que seria unadisyuncion exclusiva, sino la clase formada por todos los elementos de la clase x,mas todos los de la clase y, con la condicion restrictiva de que 'x' e 'y' no puedentener elementos en cornun. Podemos decir que es una operacion que solo puede apli-carse sobre c1ases disjuntas. En consecuencia expresiones como x+x, 0 1+x carece-dan de sentido.

- x-y: Resta logica. Es concebida por Boole como operacion inversa de la ante-rior, y para su uso tarnbien hay condiciones, a saber, que x-y solo puede llevarse acabo si 'y' esta incluida en 'x'. En caso contrario la expresion careceria de sentido.Boole sabia que una interpretacion inclusiva de la operacion suma hubiera hecho a laresta indeterminada ya que podria darse el caso de que x-y =z al tiempo que x-y =w siendo 'z' y 'w' distintas, porque x =y+z Y X =y+w podrian ser verdadera segunla disyuncion inclusiva. Esta es la razon por la que impuso la restriccion del uso de lasuma logica a las clases con interseccion vacia. Las versiones modernas del algebrade Boole no utilizan la operacion resta, ni tampoco la division que era la operacioninversa del producto 0 interseccion.y a la que denornino abstraccion, operacion sinsentido en la logica.

- X : Complemento. Es la clase formada por todos los elementos que pertenecenal universo a excepcion de aquellos que estan en 'x'. Con posteriori dad a Boole elcomplemento se introduce expresamente entre los postulados, pero para el era laabreviatura de la operacion l-x, y tenia como consecuencias que x+(l-x) = 1 y quex(l-x) = O. Esta ultima es el principio de no contradiccion, que coloquialmente diria:no hay individuos que esten y no esten en una clase, que tengan y no tengan unapropiedad. Se derivaria asi:

x2 =Xo =x-x20= x(1-x)Como cornentabamos anteriormente, una interpretacion exclusiva de la suma

logica 0union de clases permite el cumplimiento de las leyes de De Morgan. Una vez

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vista la definici6n de complemento podemos expresar estas leyes en la 16gica deBoole como:

xy = x +yx+y=xy

- Propiedades distributivas. La suma y el producto son distributivas cada unarespecto de la otra por 10 que puede afirmarse: x(y+z) = xy+xz, e igualmente x+yz =x+y. x+z

La Silogistica:Ayudandose de los elementos que hemos ido exponiendo, Boole Ileg6 a simboli-

zar en su sistema las proposiciones de la silogistica aristotelica (las viejas proposicio-nes A, E, I, 0), que redujo a las siguientes f6rmulas:

(A) : Todo xes y x(1-y) = 0 6 x = vy(E) : Ningun xes y xy = 0(1) : A lgun xes y xy = v(0) : Algun x no es y x (l-y) =v

En ellas recurre a un nuevo simbolo, la letra v, con el que significa una clase nodefinida salvo en cuanto que no es coextensa con la clase nula, 0 sea, una clase de laque 10 unico que sabemos es que no es vacia. Evidentemente esto es una deficienciaseria de la notaci6n, pues puede generar equivocos tales como que las afirmacionesab = v , cd = v ,ef= v, ... no pueden lIevarnos a concluir con que ab = cd = ef'= ... ,. queseria 10 mas natural. En definitiva, el simbolo 'v' no puede representar a una clase,como queria Boole.

Logica proposicional:EI origen de esta interpretaci6n de la 16gica booleana se halla en que todos los

principios form ales que hemos visto hasta ahora pueden mantenerse como validos, altiempo que descartamos la concepci6n de los simboJos como representantes de cla-ses. Si a esta abstracci6n Ie afiadirnos la limitacion de que los simbolos (x, y, z, ...)s610 puedan admitir los valores 0 6 1 tendremos un algebra nurnerica, pero cuyaaplicaci6n esta limitada al conjunto {O,l}, unicos numeros con los que se cumplela expresion x(l - x) = 0, que era el principio distintivo del algebra booleana. En estecaso se cumple que:T= 0 1.1 = 1+ 1 = 1+0 = 0+ 1 = 1 y que 0 = 1 0+0 = 0.0 = 1.0 = 0.1 = 0

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Aprovechando esta reflexi6n Boole sugiere que podria interpretarse x=l como'Ia proposici6n Xes verdadera' y x=O como 'Ia proposici6n X es faJsa' (no habiendootros valores posibles para x, y, z, ... ). Desde Frege hasta hoy diriamos que esta utili-zando 1 y 0 como 'valores de verdad'. La afirmaci6n de x significaria que X esverdad, y la afirmaci6n de l-x expresaria que X es falsa (recordemos que I-x es elcomplemento , que acostumbra a leerse en alguna simbologia como la negaci6n de x.Al tratarse de 16gica bivalente negar la verdad de xes 10mismo que afirmar la verdadde no-x).

Al combinar dos proposiciones X e Y los casos posibles de combinaci6n se-rian:

x Y1 1 xy1 0 x(l-y)0 1 (1 - x) y0 0 (1 - x)(l - y)

La suma de todos estos casos agota todas las posibilidades, por 10 que es igual a 1:

xy + x( l-y) + (l-x)y + (l-x)(l-y)

Dado que la suma se concibe como disyunci6n exclusiva la verdad de un suman-do cualquiera falsa a todos los demas y el producto de dos cualesquiera de ellos,consiguientemente, es O.Si bien estos principios podrian haber fructificado hasta llegar a una 16gica deenunciados elaborada, las propuestas de Boole de que x pueda representar el tiempoen el que la proposici6n X es verdadera, y su uso de operaciones y coeficientes sinsignificado l6gico hizo que su sistema tuviera que ser reformado en varios sentidos.

Las modificaciones:Como ya hemos comentado en el apartado dedicado a Ja suma 16gica, el princi-

pal cambio se produjo cuando se sustituy6 la interpretaci6n dada por Boole para eloperador '+' por la correspondiente a la disyunci6n inclusiva sin condiciones limi-tantes. Ello permiti6 dotar de sentido a las expresiones del tipo x+x = x, 0 del tipox+y = z, aunque xy - : : f - 0 . Esta idea fue apoyada por Jevons en Pure Logic (1.864) y

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seguida por Peirce en On an improvement in Boole's calculus of logic (1.867). Eneste mismo trabajo Peirce mostr6 que con tal interpretaci6n todos los teoremas que sedemuestran en el algebra de Boole para Jaadici6n se correspond en con otros hornolo-gos para el producto y viceversa. Es 1 0 que conocemos como teoremas duales. En1.880, en A Boolean algebra with one constant Peirce ofreci6 una simplificaci6n delas funciones booleanas recurriendo al functor conocido como 'flecha de Peirce' quedesde una perspectiva veritativo-funcional ofrece la asignaci6n de valores de la si-guiente tabla de verdad:

p q pJ,q1 1 01 0 00 1 00 0 1

La misma idea fue redescubierta por Sheffer en el articulo A set of Five Inde-pendent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants(1.913), en el que afiadio el functor 'barra de Sheffer', operador 16gico que asignavalores segun la siguiente tabla:

p q piq1 1 01 0 1

0 1 10 0 1

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Cualquiera de ambos, tomado aisladamente, sirve para reducir a cualesquieraotras funciones electivas de Boole, 0 conectivas de la actual logica proposicional,como demostr6 Jean Nicod (1.917) en A Reduction in the Number of PrimitivePropositions of Logic.La versi6n que podria llamarse final del algebra boolean a esta recogida en lostrabajos de Huntington (1.904) sobre Sets of Independent Postulates for the Alge-bra of Logic, y es la que ha transmitido a la matematica del siglo XX el interes por lasestructuras que satisfacen los postulados del algebra de Boole. Aunque Huntingtonda cinco grupos de postulados, cada uno de los cuales caracteriza a un algebra deBoole, aqui vamos a mostrar una actualizaci6n de ellos":

1.- Existe un conjunto k de elementos sujetos a una relacion deequivalencia, denotada por '=', que satisface eJ Principio desustituci6n

2.a Se define una regia de combinaci6n '+' tal que 'a+b' esta en k si 'a'y 'b' estan en k

2.b Se define una regia de combinaci6n '.' tal que 'a.b' esta en k si 'a'y 'b' estan en k

3.a Existe un elemento 0 en k, tal que, para cada 'a' de k, a+O = a3.b Existe un elemento I de k, tal que, para cada 'a' de k, a.l = a4.- Leyes conmutativas: 4.a a+b =b+a

4.b a.b = b.a

5.a a+(b.c) = (a+b) . (a+c)5.b a.(b+c) =(a.b) + (a.c)

6.- Para cada elemento 'a' de k existe un it tal que a.a = 0 y a+a = 15.- Leyes distributivas:

7.- Hayen k al menos dos elementos x,y tales que x 7: y

Cerremos este apartado dedicado a la etapa algebraica de la 16gica con el balan-ce que de la aportaci6n de Boole hace Bochenski cuando afirma que en conjunto, elalgebra booleana es, a pesar de sus puntos debiles, una de las escasas piezas delogica bien logradas. Boole, en 10que a originalidad y haber abierto nuevas TUfas

, H ILL, F . 1. Y P ETERSON, G. R., IITeoria de fa conmutacion y diseho logico, E dt. L im usa, M ejico 1989,pag.66.

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EL CO;vIlENlO DE LA LOGICA MATEMATICA

se rejiere, se asemeja a Aristoteles. Sin embargo, no esfacil citar un logico -fuerade Frege-, que despues del fundador de la logica, haya ofred do alga tan original einnovador.'IV. DE FREGE A RUSSELL: EL PROGRAMA LOGICISTA

Gottlob Frege (1848-1925)fue un matematico preocupado profundamente porel escaso rigor que mostraba, a finales del XIX , la ciencia desde siempre consideradaparadigma de rigor. Su meta, a la que dedic6 los esfuerzos de toda su vida, fue la deconstruir una nueva base para el numero, el algebra y el analisis, aun mas rigurosaque la postulada por el movimiento critico durante las ultimas decadas del XIX .Parad6jicamente, cuando creyo culminada su obra un joven maternatico por aquelentonces, B. Russell, Ie comunic6 que habia descubierto una grieta en el edificioerigido con tanto esfuerzo, y pudo contemplar como este se hundia. En el camino, noobstante, Frege hizo a la 16gica las contribuciones mas notables desde Arist6teles.Escaso consuela para este hombre que tenia la 16gica tan s610 como un instrumento yno como el centro de sus investigaciones.

Nacido en Wismar, Mecklenburg, el 8 de noviembre de 1848, estudi6 en lena yGotinga, y ejerci61a docencia en la Universidad de lena desde 1879 hasta 1918, sinalcanzar la posici6n de profesor ordinario, y sin que se le reconociera como el gran16gico maternatico por el que es hoy tenido. Sin embargo, segun Bochenski todo 10publicado en logica matemdtica de 1879 a 1921, se halla par debajo del nivel al-canzado par Frege, e inc/usa son raras hasta nuestros mismos dias, las obras que10 alcanzan, lIegando a afirmar que fa circunstancia de haberse dado un Peirce yun Peano junto a Frege, nos impide tratar a este ultimo como 10 hemos hecho canAristoteles. No obstante es Frege, sin ningun genera de duda, el mas importante detodos los pensadores de la Logica matenuuicas", W. y M. Kneale", a su vez, insistenen considerar que la obra de Frege encierra todos los elementos esenciales de lalogica moderna, par 10 que no seria injusto para call los logicos anteriores aposte-riores a el considerar al ana 1879, ell que aparece Begriffsschrift, como Iafechamas trascendental de toda fa historia de fa logica. Frege pareci6 resignado a lasoledad y la incomprensi6n, como confiesa enjulio de 1893 en el prologo a Grundgese-tze cuando escribe que las perspectivas de mi libra son escasas, naturalmente. Entodo caso, hay que descontar a todos los matenuuicos que, at chocar can expresio-

7 BOCHENSKI, I. M, op. cit. Hist.Log., pag. 313.g BOCHENSKI, J . M., op. cit. H is t. L og , pags. 283-4.9 KNEALE, W . y M., op. cit. D es . lo g , pag. 272

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nes logic as como 'concepto', 'relacion', 'juicio', piensan: metaphysica sunt, nonlegunturl, y asimismo a los filosofos que, a la vista de una formula, exclaman:mathematica sunt, non leguntur!, y serdn muy pocos los que no quepan en una deestas categorias." Murio en Bad K leinen, Mecklenburg , el 26 de ju lio de 1925 .Su program a de fundam entaci6n del conocim iento matematico 1 0 aborda en dosetapas. La prim era consiste en la construcci6n de un calculo l6gico que acomete enBegrijfsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinenDenkens (Conceptografia), y que para F rege, en palabras de C. Solis II, solo repre-senta la elaboracion de un instrumento necesario para llevar adelante un progra-ma de definicion y de fundamentacion del conocimiento matemdtico. En la se-gunda, se situa en el campo de la filosofia de la m aternatica donde defiende unaposici6n logicista, desarrollada en sus dos obras fundam entales. Die Grundlagen derArithmetik (Los F undamentos de la A ritm etica), publicada en 1884, expone infor-m al m ente sus puntos de vistajunto con una ex tensa critica de las ideas vigentes sobrela naturaleza de la aritmetica: la empirista defendida por J .S . M ill, la kantiana y laform alista. En 1893 aparece el prim er volum en y en 1903 el segundo de Die Grund-gesetze der A rithmetik (Princip ios de la Aritmetica), obra en la que expone rigurosa-m ente su tesis de la identidad entre aritm etica y 16gica, culm inando su em presa logi-cista. En el prologo reconoce el vacio institucional en que se m ueve, y en el apendiceal segundo volum en adm ite la inconsistencia de su sistem a y , por tanto, el fracaso desu proyecto, por el descubrirniento de una paradoja en sus prem isas sabre la quellam a su atenci6n B . Russell cuando aun estaba en imprenta. Este episodio final, ytan cruel para F rege, pone de relieve segun C . Solis un doble m erito en nuestro pen-sador. Prim ero su capacidad para aceptar y encajar tan rudo golpe, com o investigadorpuro al servicio de la busqueda de la V erdad, con rnayusculas, en la que real m entecreia com o buen plat6nico que era. Segundo la capacidad del lenguaje logico queconstruy6 en Begrijfsschrift para cumplir con la m isi6n que Leibniz Ie habia augura-do: 'cerrar la boca al ignorante, ensefiar al que no sabe'.

M ientras p repara Grundgesetze escribe tres im portantes articulos sobre filoso-fia de la 16gica: Sobre fun cion y concepto (1891), Sobre concepto y objeto (1892) YSobre seniido y referencia (1892). A partir de 1903 hasta su muerte publica pocoaunque sigue trabajando en F ilosofia de la 16gica y la m atem atica, segun Kneale porno poder reconstruir su sistem a elim inando la paradoja. Un hecho interesante de estaultim a etapa es la polem ica que protagoniz6 con H ilbert sobre la naturaleza del m ete-

10 Citado por sous. c., G. Frege (1879): Begriffsschrift, en Lecturas de Logica, comp. V EGA, L.,Uned, Madrid J 986, pag. 46." sous, c., op. cit. Begriff., pag. 46.492


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do axiomatico en 1906. Polernica esteril para J. Mosterin" porque, al emplear tantoFrege como Hilbert las mismas palabras para referirse a conceptos diferentes, esta-ban condenados a no entenderse. En definitiva, 1 0 que se estaba debatiendo no eratanto las bases sobre las cuales debia desarroIJarse la axiornatica moderna sino con-cepciones de la matematica distintas: realista en Frege defensor de la axiomaticatradicional; instrumentalista en la axiornatica modema desarrollada por Hilbert enGrundlagen der Geometrie (1899).

Begriffsschrift constituye la principal aportaci6n a la 16gica de G. Frege. Estaobra, capital para Ia Historia de la L6gica moderna, pas6 desapercibida en su momen-to, segun Bochenski por culpa de su simbolismo que aunque no es, desde fuego, queresulte especialmente dificil de leer, (...) es, realmente, demasiado original, chocaexcesivamente con los usos milenarios de la humanidad para ser aceptada I 3

Entre las aportaciones originales de Frege en el conjunto de su obra podemosmencionar:

1. La formulaci6n precisa de la diferencia entre variable y con stante, los concep-tos de funci6n 16gica, pluriargumental y cuantificador con los cuales puede construiruna 16gica proposicional que permite la formalizaci6n tanto de la 16gica de enuncia-dos como de la cuantificacional de segundo orden.

2. Una concepci6n mucho mas exacta de la teoria aristotelica de sistema axiorna-tico, estableciendo un desarrollo axiomatico de la logica, esto es, una organizaci6ndeductiva de la misma donde los principios de razonamiento l6gico se deducen deunos pocos fundamentales, gracias a la genial intuici6n que le IIeva a distinguir entreproposiciones y reglas del sistema.

3. La distinci6n entre ley y regia y entre lenguaje y metalenguaje aunque nointroduzca estos terminos.

4. La construcci6n de una teorfa de la descripci6n.5. Aunque no inventa el concepto de valor de verdad, pues la idea aparece en laescuela de Megara, si 1 0 elabora sisternaticamente por primera vez en dependenciacon su sernantica especial en la cual toda sentencia es un nombre de la Verdad 0de IaFalsedad, doctrina que no ha sido recogida en Ia tradici6n posterior pero si el concep-to de Valor de Verdad.

6. La formalizaci6n de un concepto mas amplio de implicaci6n, optando por laversi6n material de la misma que se remonta a Fil6n de Megara (300 a.J.), y ello apesar de que Frege, al contrario que Peirce, desconocia las tradiciones rnegarico-estoica y escolastica sobre el tema.

12 MOSTERIN, J., Conceptos y Teorias en/a Ciencia, cap . Y , A lian za U niv ersidad, M ad rid 198 4.'.' B OCHEN SK I, L M ., op. cit Hist. Log II, p ag s. 2 83 -4 .

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7. La distinci6n entre el mero enunciado de una proposici6n y la afirmaci6n deque dicho enunciado es verdadero.

8. La distinci6n entre la relaci6n de pertenencia de un objeto a un conjunto y lainclusi6n de un conjunto en otro, indistinguible en Boole, con 10que es posible plan-tear con toda precisi6n el problema de la prioridad entre comprensi6n y extensi6n enel marco de la 16gica maternatica.

Quiza se trat6 de demasiadas novedades juntas, presentadas de forma muy rna-dura, como para poder ser asumidas por la comunidad de los 16gicos de su momento.Lo cierto es que hasta veinte afios despues no se fija la atenci6n sobre esta obra, 10que hara Russell aunque prefiriendo el simbolismo de Peano. Y aun seran precisosotros veinte afios mas para que mereciera el reconocimiento a la perfecta precisi6n desu rnetodo que Lukasiewicz pondera en referencia a la 16gica de enunciados, peroque se extiende a todo el sistema desarrollado en Grundgesetze que coincide, esen-cialmente, con la 16gica cuantificacional superior con identidad y descripci6n. Laintroducci6n de los cuantificadores permite a Frege hacer transparente la relaci6nentre la 16gica sentencial y la de terrninos, que habian seguido desde la antiguedad undesarrollo alternativo que arrancaba en la tradici6n megarico-estoica y la aristotelicarespectivamente.

Begriffsschrift consta de tres capitulos, el primero de los cuales, Aclaracionde signos, expone las nociones 16gicas que constituyen la base de la conceptografiaconstruida y que pueden denominarse segun C. Thiel" primera doctrina del juiciode Frege. En el segundo, Exposicion y deducci6n de algunos juicios del pensa-miento puro, aunque no utiliza ninguna terminologia con la que referirse a la dis-tinci6n entre lenguaje objeto y metalenguaje, reglas y leyes, Frege la emplea de for-ma implicita. Finalmente en el tercero, Aspectos sobre una teo ria general de lasseries, introduce un simbolismo especial para ampliar la conceptografia desarrolla-da en el primer capitulo y hacerla aplicable a su programa general de fundamentaci6nlogica de la matematica.

Ellogicismo, cuyos mas insignes representantes son Frege, como su fundador, yRussell, que hace su mejor exposici6n en los Principia, afirma que no hay diferenciaesencial entre logica y maternatica porque la maternatica se desarrolla a partir de lal6gica. Mas exactamente, todos los terrninos matematicos pueden definirse mediantelos terminos de la 16gica, y todas las verdades de la matematica deducirse comoteoremas de axiomas puramente 16gicos. La idea ya la habia sugerido Leibniz, peroquedo aparcada doscientos afios hasta que Frege dedica todos sus esfuerzos a desa-rrollarla.

14 THIEL, c., Sen/ida y Referencia en fa Logica de Goulob Frege, Edt. Tecnos, Madrid 1972.494


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El problema de fondo es que tipo de existencia otorgamos a los entes matemati-cos, los entes abstractos en general. Es un problema metafisico, de filosofla de lamatematica, pero muy importante por cuanto esta ciencia, desde Galileo, esta propor-cionando explicaciones fisicas de gran potencia predictiva. Las maternaticas funcio-nan a pesar de que su desarrollo ha sido un tanto descuidado y en el sigJo XIX, comoconsecuencia de ello, no se puede garantizar la consistencia de los sistemas de lamatematica pura. El descubrimiento dela primera de las antinomias logicas, la delconjunto de todos los numeros ordinales, entre 1895 y 1897, de forma independientepor G. Cantor (1845-1918) y por C. Burali-Forti(1861-193 1), convierte en real elhasta entonces s610 intuido peligro para los fundamentos de la matematica. La cajade Pandora la abre la teoria de los conjuntos infinitos cantoriana cuando levanta elveto aristotelico al infinito actual.

Para Frege las leyes de las maternaticas son leyes analiticas, esto es, no dicenmas que 10que esta implicito en los principios de la 16gica, que son verdades a priori.Las matematicas son verdades de raz6n que pueden tener 0 no aplicaci6n en el mun-do fisico. Construyendo primero la logica sobre principios explicitos en su Concep-tograjia, procede a derivar los conceptos de la aritmetica, las leyes y la definici6n delnumero a partir de aquellos principios 16gicos para, sobre ellos, pasar a deducir elalgebra, el anal isis e incluso la geometria, esta ultima mediante el recurso a la geome-tria analitica que expresa los conceptos y propiedades geometricos en terminos alge-braicos. Los principios de la 16gica que sustentan todo el entramado no son un merojuego de signos, el formalismo es s610 un recurso auxiliar, sino que en la mas puratradici6n idealista existen independientemente de cualquier mente, siendo percibidospor via exclusivamente racional. Este conocimiento es objetivo e inalterable una vezobtenido.

Ellogicismo fregeano defiende que es la Aritrnetica la que descansa sobre prin-cipios, nociones y leyes que son definibles desde la L6gica. Por esto la Aritmetica seconsiderara como derivada respecto a la 16gica, que es quien Ie proporciona ademasun metodo, en el que se incluyen las formas validas de inferencia que pueden utilizar-se para obtener teoremas deducidos de los axiomas, y los mecanismos para formularaquellas nociones 0 elementos indemostrables que actuan como base para construirtodas las nociones derivadas posteriores. La derivaci6n de unas proposiciones a par-tir de otras mediante ciertas reglas, bien diferenciadas asi de las leyes, ha de condu-cirse al modo de un calculo que garantiza la validez de cada paso de la demostraci6n.Por ella las proposiciones verdaderas de la Aritrnetica son asi, verdaderas, por habersido derivadas de manera estrictamente 16gica de las definiciones y proposicionesprimitivas, las cuales no se refieren a un campo restringido de la realidad, como hace

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la Geometria con el espacio, sino a todo 10pensable, y es precisamente esta generali-dad la que las hace puramente 16gicas.

Queda claro para Frege que la divisi6n Logica-Aritmetica no existe y que lasdeducciones se lievan a cabo en ambos campos conforme a las mismas reglas. Ade-mas, en la busqueda de las definiciones primeras se ha de llegar a 10simple e indefi-nible, a no ser que se quiera caer en un proceso ad infinitum 0 circular. Las propieda-des de los elementos simples son en el caso de la Aritrnetica independientes de laspropiedades de las cosas y su fundamento es, asi, meramente 16gico.

En cuanto a la naturaleza de los objetos 16gicos, Frege adopta una posici6n abier-tamente plat6nica rechazando tanto las visiones psicologistas como las formalistas.Por eso defiende que hay algo mas que meros signos en las proposiciones, se da enelIas la transmisi6n de un pensamiento objetivo, un sentido (sinn) que son capaces derepresentar. Este sentido no se identifica con un acto mental de un sujeto, sino con uncontenido pensable por todo sujeto capaz de captar 10expresado mediante los sirnbo-los de la proposici6n, la actividad mental se ha de considerar no como la produc-lora del pensamiento, sino como la que 1 0 aprehende.

Al haber unos contenidos objetivos representados por las proposiciones, s610los que sean verdaderos podran actuar como premisas. Si son falsos nada se puedededucir de elios, ni tampoco podran actuar como premisas las meras hip6tesis, puesla validez de 10deducido a partir de ellas estara siempre relativizado al cumplimien-to de la hip6tesis, con 10cual tampoco hay transmisi6n de verdad a la conclusi6n.Con tal posici6n Frege no s610 sostiene la existencia de un mundo de realidadesimperceptibles, clave en su teoria sobre los objetos, sino Ia vieja aspiraci6n aristote-lica-euclidea de derivar todo conocimiento formal de verdades primeras e indiscuti-bles, sin admitir un uso instrumental del aparato formal al estilo de los formalistas,que ajuicio de Frege confunden los signos con aquello que designan y convierten ala 16gica 0 a la Matematica en un mero juego regulado de simbolos. Por ello ponetanto ernpefio en diferenciar entre la utilizaci6n de los signos (nombres, cifras, ...) entanto que tales, representandose a sf misrnos, y su uso como elementos sustitutivosde otra cosa, el pensamiento y objeto al que representan. En realidad esta asi diferen-ciando entre el uso y la menci6n para evitar los equivocos a que puede lIevar suconfusi6n.

El sistema logico de Frege:Lo primero que hay que decir es que Frege dota a su formalismo de una simbo-

lizacion propia completamente diferente de las existentes hasta entonces. Concreta-mente rechaza la actitud de Boole respecto a la adaptaci6n de la simbologia tradicio-

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nal de la Aritmetica, tanto porque piensa que las nociones y operaciones l6gicas sonprevias a las aritmeticas, cuanto porque desea mantener para la simbologia materna-tica el significado que ya tiene en su uso habitual.

Comienza pues en Begriffschrift con el signo de aserci6n ~, en el cual laparte horizontal 0 trazo de contenido sirve para establecer que 10que sigue a conti-nuaci6n es una proposici6n, una expresi6n simb6lica que representa un pensamientoo contenido enjuiciable. La parte vertical 0 trazo de juicio convierte a esa expresi6nde un contenido en un juicio efectivo, enla afirmaci6n de tal contenido como unhecho; algo asi como un predicado que rezara 'efectivamente sucede que ... '. Por estaraz6n operaciones como la negaci6n, la condici6n, 0 la cuantificaci6n no se efectuansobre eljuicio, sino sobre su contenido, y ello 10muestra Frege situando los simbolosde dichas operaciones despues del trazo vertical del juicio. EI simbolo que utilizapara las proposiciones es una mayuscula griega, y para evitar confusiones en losescritos posteriores a Begriffschrift s610usa aquellas que son distintas de las rnayus-culas latinas. Asi puede considerarse ~r como el juicio en el que afirma la propos i-ci6n -r.Hay que hacer constar que Frege no desea tratar a los juicios como estructu-ras sujeto-predicado, y que tampoco considerarelevantes las clasificaciones tradicio-nales de los juicios por la modalidad (problematicos, asert6ricos, apodicticos) 0 porla relaci6n (categ6ricos, hipoteticos, disyuntivos).Aqui introduce el condicional (nuestro ~ ~ I') mediante la expresi6n

r~

juicio en el que no se da la afirmaci6n de ~ y la negaci6n de I';-,(~/\ =I') en nuestrasirnbologia, 10cual es el condicional material 0 fil6nico, que s610 resulta falso cuan-do el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Aunque Frege apunta quejuicios asi s6lo son emitidos sobre I a base del reconocimiento de un nexo causal entreantecedente y consecuente, sefiala acertadamente que el signa del condicional norecoge en absoluto ninguna representaci6n de tal vinculo. El siguiente simbolo es elde la negaci6n I I r,con un pequefio trazo vertical en la barra de contenido,que sefiala que este es negado.

Con la adecuada combinaci6n de estos elementos esta en condiciones de utilizarel resto de las conectivas, aunque siempre definidas en terrninos de negaciones ycondicionales, como por ejemplo en los casos de la disyunci6n inclusiva 0 la conjun-ci6n que serian respectivamente

r~

r~

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EI rnetodo inferencial es igualmente simple. De todas las posibles formas dededucci6n, Frege prefiere la regia de separaci6n 0Modus Ponens, que junto con la desustituci6n, no definida expIicitamente, Ie sirve para llevar a cabo las deduccionesdada la forma condicional de sus expresiones axiomaticas. Por razones de comodi-dad, en los Grundgesetze usa algunas otras reg las inferenciales, como por ejemplo lacontraposici6n, 0 la transitividad del condicionai.

Esta menci6n explfcita de los modos aceptados de deducci6n, claramente dife-renciados de los axiomas y teoremas sirve para hacer patente la distinci6n entre tesis16gica 0 ley, que es una proposici6n verdadera, pues es axioma 0 teorema deducidode los axiomas, y regia, 0 modo aceptado de derivaci6n de un as proposiciones apartir de otras en el que se transmite la verdad.

Podemos adentramos ahora en el tratamiento fregeano de la cuantificacion, quees una de sus mas importantes contribuciones, pues 10 elabora de forma sistematicamejor que ningun otro 16gico moderno, aunque no fuese tenido en cuenta hasta queRussell 10 sacara del olvido. Adernas no sololleva a cabo una 16gica de terminos bajouna interpretaci6n intensional dando lugar a la 16gica de predicados, sino que tam-bien adopta una interpretaci6n extensional que le permite generar una 16gica de cla-ses mas eficaz y elaborada que la de Boole, por cuanto incluye a los individuos, y lasrelaciones que estes guardan con las c!ases, no s610 las relaciones de las clases entresf.

Antes de mostrar la notaci6n de Frege para las expresiones cuantificadas, espreciso referirse aunque sea brevemente a las variables, que segun su definici6n sonaquellos signos que en la expresi6n pueden representar a distintas cosas, pudiendoser reemplazados por otro simbolo, siempre el mismo en cada ocurrencia. La parte dela expresi6n que permanece fija en su sentido sera la funci6n, y la variable sera elargumento de la misma. Teniendo en cuenta esto, Frege simboliza las expresionesgeneralizadas comot--lL- < l > (a)en el que Iafuncion es un hecho sea cualfuere el argumento que se considere.De tal juicio se pueden deducir cuantos juicios se quieran con contenidos menosgenerales, sustituyendo la gotica por algo. El unico cuantificador que utiliza es eluniversal (generalizador), manejando el existencial (particularizador) definido enterminos de aquel

I ----,- - ~- " < l > (a)El cuantificador, que afecta a los individuos, puede situarse donde uno desee,

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para poder determinar inequivocamente el ambito de su alcance, pudiendo inclusocontemplarse la posibilidad de que esten unos bajo el alcance de otros siempre, claroesta, que argumentos distintos se designen con letras g6ticas distintas. Asi puedenformarse expresiones comoI-~-T-'X (a) 1\ =Ax

A (a)B (a) I\x (I\y Bxy ~ Ay)

las cuales son mucho mas complejas que las que habian sido formalizadas hastaentonces. Como puede observarse en el ultimo ejemplo aparecen predicados poliadi-cos 0pluriargumentales, es decir funciones con varios argumentos, los cuales puedenser cuantificados por separado. Este tipo de predicados son denominados relaciones,pudiendo hablar pues, de una 16gica de relaciones fregeana.

Como aquellos casos en que el generalizador aparece justo a continuaci6n delgui6n dejuicio Ie parecen especiales (son los enunciados universales) da para ellosuna notaci6n distinta, una letra italica ( ~ < t > (a)) que equivaldria a la g6tica con suconcavidad1_ , '1 _ . < t > (a) siempre que esa g6tica no aparezca en el resto del enunciado.Sobre la identidad puede decirse que Frege, por razones semanticas, no mantie-

ne el mismo criterio a 1 0 largo de toda su obra. En Begrijfschrijt mantiene que laidentidad, simbolizada como ' = = ' , al encontrarse en una expresi6n como ~ r = = ~expresa una relaci6n entre los nombres r y ~, por 1 0 que estos no se encuentransignificando a aquello que nombran, sino que se representan a sf mismos en tanto quenombres. Asi, la identidad sirve para representar que el contenido de ambos nombreses el mismo, y sus expresiones intercambiables, 1 0 cual es util de cara a la formula-cion de definiciones. Ademas es obvio que asi esta defendiendo la concepci6n de laexistencia de contenidos semanticos objetivos, que son significables de modos dis-tintos.A partir de Sobre sentido y referenda (1.892) ya no habla de contenidos de lasexpresiones, sino de su sentido y su referencia. La referencia sera aquello a 1 0 que laexpresi6n se refiere, mientras que el senti do es el modo en que dicha expresi6n hacereferencia al objeto que designa. Los ejemplos fregeanos son bastante elocuentes al

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respecto: el lucero matutino = el lucero vespertino, 6 2+2 = 4. Esta claro que lasreferencias son las mismas en cada igualdad (el planeta Venus 0 el numero cuatro),sin embargo los sentidos 0 formas de determinar tales referencias son distintas. Fueradellenguaje ordinario, que puede hablar de seres ficticios, en ellenguaje cientifico y16gico todas las expresiones tienen que tener una referencia, un objeto del tipo quesea, y las proposiciones la tienen al igual que los nombres propios, aunque en el casode las primeras su referencia sea un valor de verdad. Los enunciados son nombres de1 0 Verdadero 0 de 1 0 Falso. La identidad, por 1 0 tanto, ya no se trata en los Grundge-seize como relaci6n entre nombres, sino como expresi6n de la igualdad de las refe-rencias de los signos, a las que no se ha de confundir con los signos mismos. Por estarazon abandona el uso del signo '=' y 1 0 cambia por la tradicional igualdad '='.

Hemos nombrado aqui los valores de verdad, que como acabamos de ver sonunas entidades cuyo status ontol6gico depende de su particular perspectiva semanti-ca, que los convierte en una clase especial de objetos. Es curiosa que la semantica deFrege no haya tenido ningun exito en la filosoffa dellenguaje posterior a el, mientrasque el uso de la idea de valor de verdad ha tenido notable exito en la logica moderna.El pensamiento de Frege al respecto pod ria sintetizarse mas 0menos asi: Segun seplanteo en Begriffschrift, el simbolo ' ~' representaba la asercion 0 afirmacion efec-tiva en unjuicio de que se daba realmente 1 0 expresado por la proposicion simboliza-da a continuacion de este signo, 1 0 que equivale a decir que tal proposicion 'es verda-dera'. De este modo 'verdadero' parece ser un predicado que califica ala propos i-cion. Por contra, en Sobre sentido y referenda sefiala que no puede admitirse que 'esverdad' sea un predicado, pues nada esta diciendo de la proposici6n que no se expre-se ya con la mera formulaci6n de la proposici6n misma. Es decir, que el pensamientoo contenido de la proposicion 'A' es exactamente el mismo que el pensamiento 0contenido de la proposici6n 'el pensamiento de que A es verdadero'. Ello significaque, como predicado, 'verdadero' estaria vacio, seria asignificativo, y no puede con-siderarselo como un sentido de Ia expresion. As! pues sera mas bien su referencia, ypor tanto un objeto. Igual que el significado 0 referencia de '22' y de '2+2' es elmismo, el de '3>2' 6 '5 es un numero primo' tambien es el mismo, a saber, '\0 verda-dero'.

La referencia de un enunciado, su valor de verdad, no varia si sustituimos suspartes componentes por otras que tengan la misma referencia, un nombre por otrosin6nimo, 0 una clausula enunciativa por otra con el mismo valor de verdad. Sinembargo se plantean problemas con el estilo indirecto, en el cual cambia el valor deverdad si sustituimos una subordinada por otra ('Fulanito dice que A', por 'Fulanitodice que B' aunque 'A' y 'B' tengan identico valor de verdad). Independientemente

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de estas dificultades, 1 0 que puede concluirse a la vista de la doctrina fregeana es que,dado que todo ha de ser 0 bien una funci6n, 0 bien un objeto, y 'verdadero' no puedeser funci6n, tendra que ser necesariamente un objeto.

Cada vez que observamos una expresi6n vemos que en ella hay nombres pro-pios, 0 sea, signos que representan a los objetos a los que se refieren. A fa vez sehallan en la expresi6n otros elementos ajenos a los nombres propios y distintos deestos, pues no tienen un significado completo, necesitan 'saturarse', cerrar la expre-sion mediante la colocaci6n en ellugar argumental de un elemento. Esta parte es faque se denomina signo funcional, el cual representa a la funcion, que podriamosdecir que es aquella operaci6n que se lleva a cabo sobre el argumento, 0 conexi6nque se da entre los argumentos y los valores. Evidentemente, el lugar argumental es1 0 que habitual mente llamamos variables, mientras que argumento es aquello cuyosigno puede ocupar dicho lugar argumental para completar la funci6n y as! obtener suvalor correspondiente. Dentro de las funciones Frege destaca aquellas que tienencomo valores los valores de verdad, '10 verdadero' 0 '1 0 falso' ya que no contemplaotros, crean do as! una 16gica exclusivamente bivalente. A estas funciones las deno-mina 'conceptos', y admite la posibilidad de que posean varios lugares argumenta-les, en cuyo caso los llama 'relaciones'. En Grundgesetze habla ya no s610 de fun-ciones que tienen como valor un valor de verdad, sino de funciones que s610 admitencomo argumentos valores de verdad, tales como fa negaci6n 0 eJ condicional, conec-tivas cuyo tratamiento ha sido desarrollado por el desde Begriffschrift. EI hecho deque estas funciones, 0 las que se pueden definir en terrninos de elias, se den de valo-res de verdad en valores de verdad supone el primer tratamiento de las conectivaslogicas como funciones veritativas u operadores veritativo-funcionales, que es lainterpretaci6n actual. Frege va incluso mas alla al proponer una notaci6n para tratarfunciones de funciones, 0 funciones de segundo grado, cuyo argumento, otra fun-ci6n, es representado por una consonante minuscula griega. Tomamos el siguienteejemplo citado por W. y M. Kneale que representa Toda funcion de segundo gradoque se aplique a las junciones de primer grado con un argumento se aplicara acualquier funcion de primer grado con un argumento, 1 0 que se expresa

M fJ (/(/3))

[~--.. M fJ (f (/3))Aqui la minuscula griega entre parentesis (/3) indica lugares argumentales a ocu-

par por funciones de un argumento. La italica M indica que hablamos de funciones de

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segundo grado y el subindice indica que dichas funciones se aplican a funciones deprimer grado con un argumento. Para funciones pluriargumentales (relaciones) bas-taria con afiadir mas consonantes minusculas griegas y subindices (~,y,o, ...). Con lamisma estrategia podria crearse una notaci6n para funciones de tercer grado. Comopuede verse, no s610 trata Frege funciones de funciones, sino que admite la cuantifi-cacion de las funciones, con uno 0 mas argumentos 10que significa que esta constru-yendo la 16gica cuantificacional, monadica y poliadica, de orden superior.

La logica de clases:Frege tambien intervino en el perfeccionamiento de la 16gica de clases que, como

sabemos, habra sido desarrollada por Boole cuatro decadas antes. La novedad masimportante es que en Frege sf hay un tratamiento de la relaci6n que guardan losindividuos respecto a la clase a la que pertenecen y de la que son elementos. Dicharelaci6n habia sido ignorada por Boole, que se limit6 a operar con las clases entre sf.

Ciertamente, la interpretaci6n extensional de los terrninos, que genera la logicade clases no era del gusto de Frege, y asi 10 confiesa, como tendremos ocasi6n de vermas adelante, cuando Russell descubre las antinomias que genera su sistema, pero apesar de todo sucumbi6 ala tentaci6n de explorar ese terreno pese a ser partidario delintensionalismo que trataba a los terminos como nuevos conceptos. Las clases, comoextensiones de dichos conceptos, le parecen derivadas de ellos, y ese caracter secun-dario hace que no las admita de buen grado en el terreno de la 16gica. De hecho alpro ceder a determinar las clases las ext rae directamente de las funciones medianteuna notaci6n que Ie permite hablar de la transformaci6n de una funci6n en su cursode valores, como por ejemplo en la funci6n

que se convierte en c P ( E 2 - E ) , Y en general c p < t > (ex) a partir de < t > (1;). A nivel simb6-lico 1 0 unico distinto que aparece es la vocal minuscula con espiritu antepuesta a laexpresi6n de la funci6n, pero su sentido es ya completamente distinto, ya que estasrepresentaciones no designan a la funci6n, sino al conjunto de objetosque cumplenla funci6n. Tratandose de funciones concepto, sedan todos aquellos objetos que caenbajo el concepto. Este curso de valores seria la extensi6n de la funci6n, con 1 0 que elmismo se convierte en un objeto que representa a todas las funciones que asignan alos mismos argumentos iguales valores. Kneale sefiala acertadamente que curso devalores pod ria haberse entendido como el conjunto de pares ordenados argumento-valor de la funci6n, si bien Frege no 10 interpret6 asi,

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supuesto tal individuo es A mismo. En el supuesto de que tal individuo no existiera,o no fuera unico, como Frege piensa que la expresi6n ha de tener alguna referencia,estipula que 1afunci6n descriptor tendria como valor el propio curso de valores delconcepto,o sea \ < p < I > (ex) = < p < P (ex).Esta singular interpretaci6n haria que cuando no hay tal individuo unico, la ex-presi6n 'ei individuo que cumple < I > I tenga como referencia la c1ase generada por elconcepto < P . Ello Ie sirve para interpretar como falsos los enunciados en que se hagauso de descripciones en tales condiciones, pues 10que se diga de esos individuosunicos (que no son unicos 0 no existen) se dice de las cJases generadas por los con-ceptos que supuestamente los definen. En ejemplo de Kneale, EI actual rey de Fran-cia es calvo significa La clase de los reyes actuales de Francia es calva, 10cual esfalso.

La axiomatica:Para terminar este apartado dedicado aJ sistema fregeano vamos a presentar dos

conjuntos de axiomas, el primero extraido de Begriffschrift, y el segundo de Grund-gesetze. Por razones de comodidad y espacio formulamos los primeros con la nota-ci6n actual, mientras que dejamos los segundos en la notaci6n original de Frege, puescomo podra observarse no se dejan traducir con exactitud a nuestra simbolizaci6n.

Axiomas de BegriffschriftI. (1) a~(b-H) II. (2) [c~(b~a )]~[(c~b)~(c---+a)]

III. (3) [d~(b~a)] ---+[b- (d~a)] IV. (28) (a-e b) ~ (~b ~ ~a)y. (3 1 ) ~~a ~ a VI. (41) a ~ ~~a

VII. (52) (c = = d) ~ [f(c) ~ f (d)] IX. (54) c = = c

X. (58) (/\x Fx) ~ Fa

La numeraci6n entre parentesis que acompafia a las f6rmulas es la que mantieneFrege en su original, y recordemos aqui que el tercer axioma es dependiente delprimero y segundo.

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Axiomas de Grundgesetze

2.- i---I----.~ .ll.--2b.-

f ( a )

f (a)

M fJ ( 1(/3))

M fJ (f (/3))

Igl~ f ~ T . . f (a) !L \ - f (b)!g (a = b )3.-4.- --- (-a) = ( -b )

(-a) = (T b )

5.- ~ ( i f (E) = a g(cx)) =(- - a6.- ~a= \ i ( a=E )

f (a) =g (a))

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V ALTER/vATIVAS AL LOGICISMO: LA CONTROVERSIA SOBRE LANATURALEZA DE LOS ENTES MATEM4TICOS

Junto con el logicismo encontramos otras dos escuelas que tratan de resolver elproblema de los fundamentos matematicos sobre otros presupuestos. Aunque soste-nidas por ilustres matematicos anteriores sera tras la aparici6n de las paradojas cuan-do se concreten y sistematicen como posiciones enfrentadas en torno al fundamentode la rnaternatica. Asi en 1904 un trabajo de Hilbert sobre fundamentos avanza laposici6n formalista que desarrollara en los afios veinte y en 1908, el mismo afio enque Russell publica la primera versi6n de la teorta de tipos con la que pretendiasalvar la paradoja detectada en el sistema fregeano para continuar el programa logi-cista, Brouwer se pronuncia por vez primera contra la fiabilidad de los principios16gicos.

La logica jugara un papel diferente para ambos movimientos. El intuicionismos610 aceptara como existentes aqueJlos elementos que podemos identificar especfficay claramente, 0 por via de un ejemplo del concepto que permita a cualquiera descri-birlo 0 reconocerlo. Se invierte el planteamiento logicista y ahora la \6gica deriva dela rnatematica, no aceptandose por otra parte principios de razonamiento 16gico tanfundamentales como el tercio excluso y la doble negaci6n. Para el formalismo elproblema de la existencia de los entes matematicos se resueJve considerando comotales cualquier concepto mental que resulte util y no lIeve a contradicciones. La rela-ci6n entre matematica y 16gica no se establece en terrninos de derivabilidad, sinomas bien que una (Ia aritmetica) [5 y otra (Ia logica) debieran ser conjuntamentedesarrolladas en orden afacilitar la demostracion de que el sistema en su totalidadse halla libre de inconsistencia.

EI intuicionismo brouweriano:Cuando, a fines del XIX, parece que las verdades maternaticas han dejado de ser

tales los logicistas, no dispuestos a renunciar a una ciencia objetiva, buscaran en lasverdades de la 16gica el fundamento de las verdades matematicas, Los intuicionistasintentaran un camino diferente al establecer la verdad de las matematicas apelando ala sanci6n concedida por las mentes humanas, 1 0 que podia ser intuido directamente.Con precursores en las filosofias de Descartes, Pascal y Kant, e iniciadores materna-ticos como L. Kronecker (1823-1891), E. Borel (1871-1956), R. Baire (1874-1932),

15 Hilbert habia demostrado en sus Grundlagen der Geometrie (1899) que la consistencia de la Geometria sereducia a la de la aritrnetica, de ahi que el problema de fundamentos se resuelve probando la consistencia de estaultima.

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H. Lebesgue (1875-1941) 0 H. Poincare (1854-1912), cuando critican, aunque deforma esporadica y fragmentaria, los argumentos maternaticos corrientes y el enfo-que logicista de su epoca proponiendo nuevos principios, la version acabada del in-tuicionismo debera esperar a E.J. Brouwer (1881-1966) que comienza a exponerla enSobre el Fundamento de las Matemdticas (1907), desarrollandola en diversos arti-culos desde 1918.

La maternatica se entiende no como un resultado (conjunto de formulas)sino como un proceso, una actividad mental cuyos frutos se comunican ulterior-mente por medio del lenguaje. En ese lenguaje, tal como 1 0 usan los maternati-cos, se observan ciertas normas que conducen a la formaci6n de una 16gica. La16gica, por tanto, se abstrae de las matematicas y una vez abstraida puede forma-lizarse. El proceso de construcci6n mental que constituye el pensamiento mate-matico, objeto real de las autenticas maternaticas, construye su propio universo,independientemente de la exper iencia y con la unica restricci6n de asentarse enuna intuici6n maternatica fundamental. Como a esta intuici6n es inaccesible tan-to el infinito actual como los principios de la geornetria, los intuicionistas renun-cian a una parte importante de la maternatica: la teoria cantoriana y la geornetria,considerada esta ultima como parte de las ciencias fisicas. No sera la unica podarealizada a la maternatica clasica pues dentro de la 16gica, entendida como len-guaje en el que se expresa la maternatica y derivado de ella, existen principios 0procedimientos intuitivamente aceptables y c1aros que son parte de la intuicionmatematica fundamental y otros, como el tercio excluso, que deben ser rechaza-dos. EI rechazo de esta ley 16gica, fundamental desde Aristoteles, supone unduro golpe para el quehacer maternatico pues se trata de un procedimiento muyutilizado para pro bar la existencia, Los intuicionistas exigen, por el contrario,demostraciones constructivas, dar un rnetodo para mostrar la entidad 0 entidadesen un numero finito de pasos 0 un metoda para calcularlos con cualquier gradode aproximacion deseado. AI rechazar la ley del tercio excluso las proposicionesseran 0 verdaderas, 0 falsas 0 indecidibles, esto es, aquellas de las que no puedeprobarse ni su verdad ni su falsedad.

Entre las criticas recibidas por el intuicionismo podemos mencionar: 1. Suponesacrificar partes esenciales de la matematica; 2. Hacen depender la correcci6n de lamaternatica en la autoevidencia para una mente humana falible renunciando a rneto-dos objetivos de validaci6n; 3. Se renuncia a la aplicaci6n de la maternatica en Iaexplicacion de la Naturaleza, al afirmar los intuicionistas que no hay relaci6n entrematernatica y percepci6n y que las maternaticas carecen de utilidad practica; 4. Alseparar tajantemente las rnatematicas dellenguaje en que se expresan, nos obliga a

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confiar en eJ poder de la intuici6n hasta el punto de renunciar totalmente a lajustifi-caci6n de estas verdades asi obtenidas para 10 cual seria necesario su expresi6n enun lenguaje preciso y una demostraci6n precisa, esto es, la rnatematica renuncia alcontexto de justificaci6n para desarrollarse exclusivamente en el de descubrirniento.

El jormalismo hilbertiano:D. Hilbert (1862-1943) es el representante mas destacado del formalismo, desa-

rrolJando esta postura en la decada de 1920 por Ja insatisfacci6n que Ie producen lassoluciones tanto logicista como intuicionista al problema de los fundamentos. Sutesis fundamental sostiene que la matematica es una disciplina formal, abstracta,simb6J ica y sin referencia aJguna al significado. A partir de axiomas 16gicos y mate-maticos expresados como f6rmulas 0 colecciones de simbolos obtendremos otrasf6rmulas que seran teoremas deducidos, cuya demostraci6n objetiva consistira en elsiguiente proceso:

1: afirmaci6n de una f6rmula,2: afirmaci6n de que esta f6rmula implica otra, y3: afirmaci6n de la segunda formula.

Cualquier f6rmula obtenida en un proceso que siga estos tres pasos sera unaf6rmula verdadera, pues desde el punto de vista formalista la demostraci6n y el rigorson algo bien definido y objetivo.

EI programa de Hilbert para la construcci6n de la maternatica supone que esta esuna colecci6n de sistemas formales, cada uno de los cuales construye su propia logi-ca junto con sus matematicas, y tiene sus propios conceptos, sus propios axiomas,sus propias regJas para deducir teoremas y sus propios teoremas. Hacer maternaticasconsiste en desarrollar cada uno de esos sistemas deductivos. Lo unico que hay quegarantizar es su consistencia. A esta tarea dedica Hilbert todos sus esfuerzos elabo-rando entre 1920 y 1930, con sus discipulos W. Ackermann (1896-1962), P. Bernays(1888-1978) y J. von Neumann (1903-1957), la teoria de la demostraci6n 0metama-tematica, un metoda para establecer la consistencia de todo sistema formal cuya ideabasica consiste en usar una 16gica especial libre de toda contradicci6n, con princi-pios 16gicos muy pr6ximos a los intuicionistas, tan obvios que todo el mundo losaceptaria, evitandose razonamientos conflictivos y usando demostraciones de exis-tencia constructivas. El criterio de verdad y de existencia formalista, la no contradic-ci6n, 10 expresa muy claramente el propio Hilbert en una carta a Frege de 1899 01900 recogida por Bochenski:

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Dice Ud. en su carta: 'Llamo axiomas a proposiciones ...De la verdad de los axiomas se sigue que no se contradicenmutuamente'. Me ha resultado muy interesante haber leido esta(rase en su carta, pues cuando pienso, escribo 0 hablo sobretales temas, me expreso siempre justamente al reves: Si losaxiom as arbitrariamente propuestos, no se contradicenmutuamente con la totalidad de sus consecuencias, entoncesson verdaderos, existen los objetos deflnidos por los axiomas.Este es para mi el criterio de verdad y de existencia.

Frecuentemente al formalismo se Ie acusa de convertir la matematica en merojuego, 1 0 que se contradice con su potencia para proporcionar explicaciones del mun-do fisico. En cualquier caso el de Hilbert es un formalismo mucho mas elaborado queaquel representado por J. Thomae al que se opone Frege en Grundlagen pues, comosefiala Kline 16, hay que considerar en defensa de la escuela formalista, que si lasmatemdticas son reducidas aformulas sin significado, es unicamente con el pro-posito de probar la consistencia, la completud y otras propiedades. En cuanto a lasmatematicas en su conjunto, incluso los formalistas rechazan la idea de que setrate simplemente de un juego; las consideran como una ciencia objetiva. La otracritica que se Ie ha opuesto es mas dificil de superar. La matematica se fundamenta enla metamaternatica, pero no esta claro como garantizar la validez universal de losprincipios metarnatematicos.VI. LAS PARADOJAS

El temor por la posible inconsistencia de la rnatematica que esta detras del movi-miento de rigorizaci6n, se hace realidad a fines del XIX , justo cuando el logicismocreia haberlo exorcizado. Sera una nueva rama de la rnatematica, la teoria cantorianade conjuntos infinitos, la que presente la primera de las paradojas a la que seguiranotras. Cantor al romper con el tabu aristotelico impuesto al infinito actual abre uncampo de investigaci6n sugestivo y fructifero, pero al que muchos maternaticos semostraran reticentes. Su resistencia a aceptar estos nuevos resultados no carece dejustificaci6n pues la teoria de conjuntos sera la via por la cual aparecen las temidasantinomias.

Las paradojas no eran totalmente desconocidas en 16gica, pero las que se habiandebatido hasta entonces pertenecian al dominio de la sernantica dellenguaje ordina-

", KLINE, M ., op.cit. Mal. Perd. Cert. , pag. 304.

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rio. Bochenski nos informa que los intentos de resolver estas contradicciones en la16gica antigua se olvidan en la clasica, y Jos pioneros de la logica rnaternatica notienen noticias de elias. Pero a finales del XIX las paradojas adquieren relevancia alaparecer en forma de antinomias 16gicas, esto es, contradicciones deducibles de axio-mas intuitivamente evidentes, en virtud de reglas concJusivas igualmente correctas.A comienzos de 1900, aunque todavia son muchos los matematicos que minusvalo-ran el problema por considerarlo propio de una parte de la rnaternatica que no acep-tan, la teoria cantoriana, algunos bus can soluciones, preocupados por el desastre quesuponen, no s610 para las matematicas clasicas, sino para el razonamiento en general.Partimos de esta distinci6n entre paradojas semanticas y logicas, que constituy6 unpaso decisivo al exigir cada tipo de paradoja un tratamiento diferente, aunque es muyposterior al periodo hist6rico que estamos abordando, porque con ella nuestra expo-sicion gana en claridad y sistematicidad.

No vamos a ocuparnos aqui de las paradojas semanticas, pues si fueron un temafundamental en otras formas dela logica no tienen la misma relevancia para estaetapa de la logica formal que estamos tratando. Todas elias se basan en la autorrefe-rencia, que lleva a contradicciones cuando razonamos en el lenguaje ordinario, ytodas se eliminan procurando un procedimiento que la evite.

La primera de las paradojas 16gicas, aunque conocida en 1895 por G. Cantor, esla que C. Burali-Forti presenta en 1897. Se trata de la paradoja del mayor numeroordinal: la sucesion de todos los numeros ordinales, que esui bien ordenada, debe-ria tener como numero ordinal el mayor de todos los ordinales. Pero entonces esenumero ordinal seria mayor que todos los numeros ordinates."

La segunda, tambien detectada y no publicada por Cantor en 1899, aunque recibe sunombre, es redescubierta por Russell dentro de la logica de Frege en 1902 y publicada alafio siguiente, para ser popularizada en 1918 por el propio Russell en su version 'barbe-ro'. La paradoja cantoriana es la del mayor nurnero cardinal: Hay un numero cardinalque es y no es a la vez el mayor de todos los numeros cardinales.

La l6gica de Grundgesetze, esto es, una logica cuantificacional superior dondelas letras predicativas se cuantifican y pueden ser argumentos, da lugar a contradic-ciones. Frege alertado por Russell escribe en un Postscripto al segundo volumen deesta obra, fechado en octubre de 1902:

Nada mas descorazonador podria acontecerle a un autorcientifico que ver resquebrajarse uno de lospi/ares de su edificiotras haber dado la tarea por concluida.

17 KLINE, M."op. cit" Pens , Mat., pag, 1322-1323,

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Esta es la situacion en que me ha colocado una earta delSr. Bertrand Russell, recibida cuando la impresion de estevolumen tocabaya a sufin. Se trata de una cuestion relativa ami Axioma (V). Por 1 0 que a mi respecta, nunca me he ocultadoa mi mismo que esta lejos de resultar tan evidente como losrestantes axiomas y como, en rigor, cabria de exigir a una leylogica. Y asi es como he cuidado de llamar la atencion sobreeste punto debil en el Prefacio al volumen / (pdg. V/I). Enrealidad, habria prescindido gustosamente de esepilar si supiesede un modo de sustituirlo por algun otro. Pero 1 0 cierto es quetodavia ahora no se como podria la aritmetica ser cientificamentefundamentada, como podrian los numeros ser aprehendidoscomo objetos logicos sometidos a nuestra consideracion, a menosque se nos permita -siquiera a titulo condicional-- pasar de unconcepto a su extension. ;,Nos sera invariablemente dado hablarde la extension de un concepto, esto es, de una clase? y , de noser asi, ;,como sabremos cuando nos hallamos ante un casoexcepcional? ;,Cabra siempre inferir del hecho de que unconcepto coincida en extension con otro concepto que cualquierobjeto incluido bajo el primero se ha de incluir tambien bajo elsegundo? Estas son las preguntas que plantea la comunicaciondel Sr. Russell.

'Solatium miseris, socios habuisse dolorum'. Tambien amime queda ese consuelo, si asi puede llamdrsele; pues quienquieraque haya hecho uso en sus demostraciones de extensiones deconceptos, clases 0 conjuntos se ballard en la misma situacionque yo. Lo que aqui estd en cuestion no es precisamente mimodo particular de fundamentar la aritmetica, sino la mismaposibi/idad de que esta ultima tenga algun fundamento logico.

Pero vayamos ya con la dificultad. EI Sr. Russell hadescubierto una contradiccion que podria formularse en losterminos que siguen.

A nadie se Ie ocurriria afirmar de la clase de los hombresque dicha clase sea un hombre. Tenemos aqui, pues, una claseque no se pertenece a si misma. En lineas generales, digo quealgo pertenece a una clase cuando se incluye bajo el conceptocuya extension es esa clase. Fijemonos ahora en el concepto:

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SEMlNARlO OROTAVA DE H1STORIA DE LA CIENCIA - ANo III

'clase que no se pertenece a sf misma'. La extension de esteconcepto (si cabe hab/ar de su extension) sera, segun lo dicho,la clase de las clases que no se pertenecen a sf mismas.Llamemosla, para abreviar, la clase K. Ypreguntemonos ahorase la clase K se pertenece a sf misma. Supongamos, en primerlugar, que lo hace asi. Si algo pertenece a una clase, ha dehallarse incluido bajo el concepto cuya extension es esa clase.De modo que, si nuestra clase se pertenece a sf misma, se tratardde una clase que no se pertenece a sf misma. Nuestra primerasuposicion conduce, pues, a una contradiccion. Supongamos acontinuacion, en segundo lugar, que nuestra clase K no sepertenece a sf misma; en ese caso, se hallard incluida bajo elconcepto cuya extension es ella misma y, por lo tanto, se tratardde una clase que se pertenece a sf misma. De nuevo aqui nosvemos abocados a una contradiccion,

La paradoja que describe Frege es una versi6n, mas basica de la cantoriana, quese refiere aclases. Paradojas similares se descubren por la misma epoca, Estas para-dojas de la teoria de conjuntos tienen su origen en la noci6n de clase y, por tanto,aparecen en la 16gica yen la matematica cuando estas adoptan una perspectiva exten-sional. No obstante, Russell descubre otras dos paradojas que muestran que la refe-rencia a las clases no es la (mica causa de la dificultad. Una tiene que ver con propie-dades y la otra con relaciones. Veamos a titulo de ejemplo la primera de elias.

Hay dos tipos de propiedades: predicables, como la de ser concebible, que seaplican a sf mismas (la propiedad de ser concebible es concebible); y no predicables,como la de ser silla, que no se aplican a si mismas (Ia propiedad de ser una silla no esuna silla), Pero Lque ocurre con la propiedad de ser impredicable? Pues que la pro-piedad de ser impredicable es irnpredicable si y s610 si es predicable.

La busqueda de una soluci6n se volvi6 asunto acuciante para los 16gicos y losmaternaticos. Frege intent6 dos vias sin sentirse nunca satisfecho de sus resultados:

1. La posibilidad de que hubiera conceptos a los que no correspondiese clasealguna, estando entre ellos el de Ia clase que no es miembro de sf misma. Deser asi Ia paradoja desaparece por cuanto en tal caso no existiria la clase detodas las clases que no son miembros de sf misma.

2. Modificar el quinto axioma que provoca la paradoja con el cual, por otra parte,

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EL COMIENZO DE LA LOGICA MATEMAnCA

nunca estuvo satisfecho, de forma que dos conceptos se dijeran en posesionde la misma extension si, y solo si, todo objeto incluido bajo el primero queno sea el mismo la extension de este concepto se incluye igualmente bajo elsegundo y viceversa 18.

Frege concentr6 todos sus esfuerzos en la segunda posibilidad sin resultado,desestimando la primera porque segun Kneale era para 61una revolucionaria nove-dad. Sera Russell quien la tendra en cuenta estimando que existen funciones propo-sicionales que no determinan genuinas clase, a las que llama no predicativas, queal ser admitidas sin mas generan clases autorreproductivas que determinan laaparici6n de contradicciones. Russell, en esta epoca, no hace distingos entre parado-jas semantic as y 16gicas, estimando que incurren en un comun circulo vicioso. Unapresentaci6n adecuada de la 16gica las evitaria, y esta es la tarea que se propuso alelaborar la teoria de los tipos que presenta por vez primera en 1908 e incorpora en losPrincipia Mathematica. Tanto Frege como Russell estiman que las paradojas apare-cen al introducir el concepto de cJase y barajan la posibilidad de eliminarlo para 10cual deben, en virtud de su proyecto de fundamentaci6n de la maternatica sobre la16gica, examinar antes Ia posibilidad de presentar la matematica sin recurso a lasclases. Pero como ya vimos mas arriba es el propio Russell el que descubrira que noes s610 el concepto de clase el que genera paradojas.

IR KNEALE, W . y M., op .c it . Des. L og , p ag . 6 07 .

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