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LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
– p. 1/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, edè stata attribuita anche a Laplace (1812), che ne definì le proprietàaprincipali in anticipo rispetto alla trattazione più completa fatta daGauss.
– p. 1/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, edè stata attribuita anche a Laplace (1812), che ne definì le proprietàaprincipali in anticipo rispetto alla trattazione più completa fatta daGauss.
È detta anche CURVA DEGLI ERRORI ACCIDENTALI in quanto,soprattutto nelle discipline fisiche, la distribuzione degli erroricommessi nel misurare ripetutamente una stessa grandezza, è moltobene approssimata da questa curva.
– p. 1/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue
Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, edè stata attribuita anche a Laplace (1812), che ne definì le proprietàaprincipali in anticipo rispetto alla trattazione più completa fatta daGauss.
È detta anche CURVA DEGLI ERRORI ACCIDENTALI in quanto,soprattutto nelle discipline fisiche, la distribuzione degli erroricommessi nel misurare ripetutamente una stessa grandezza, è moltobene approssimata da questa curva.
È definita da 2 parametri µ e σ ( con σ > 0)
f(x) ≡ N(x; µ, σ) =1
σ√
2πe−
1
2
(x − µ
σ
)2
– p. 1/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
f(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
È simmetrica rispetto a µ
– p. 2/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
f(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
– p. 2/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
f(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
– p. 2/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
f(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
È asintotica all’asse x da entrambi i lati
– p. 2/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
f(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
È asintotica all’asse x da entrambi i lati
Possiede due punti di flesso per x = µ ± σ.
– p. 2/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
f(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
È simmetrica rispetto a µ
Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana
È crescente per x < µ e decrescente per x > µ.
È asintotica all’asse x da entrambi i lati
Possiede due punti di flesso per x = µ ± σ.
Soddisfa alla condizione di normalizzazione.– p. 2/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.
– p. 3/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.
Al variare di µ
la curva traslasull’asse dellex.
– p. 3/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.
Al variare di µ
la curva traslasull’asse dellex.
Al variare diσ la curvamodifica lasua forma ap-piattendosi oinnalzandosi.
– p. 3/12
DISTRIBUZIONE NORMALE e FUNZIONE CUMULATIVA
Gli integrali∫ b
af(x)dx
non sono valutabili ana-liticamente, ma numeri-camente e si utilizzanotabelle della funzionecumulativa:∫ b
af(x)dx = F (b) − F (a)
– p. 4/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE
Per verificare alcune proprietà della distribuzione diGauss si deve far riferimento all’integrale di Gauss dicui riportiamo il risultato:
∫ +∞
−∞e−z
2
dz =√
π, da cui anche
∫ +∞
−∞e−
z2
2 dz
=
∫ +∞
−∞e
“
− z√
2
”2
d
(z√2
)√2 =
√2
∫ +∞
−∞e−x
2
dx =√
2π
– p. 5/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione
– p. 6/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione∫ +∞
−∞f(x)dx =
∫ +∞
−∞
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
– p. 6/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione∫ +∞
−∞f(x)dx =
∫ +∞
−∞
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui dz =
dx
σ
– p. 6/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: NORMALIZZAZIONE
Verifichiamo la normalizzazione∫ +∞
−∞f(x)dx =
∫ +∞
−∞
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui dz =
dx
σ∫ +∞
−∞f(x)dx =
1√2π
∫ +∞
−∞
σ
σe−
z2
2 dz =
√2π√2π
= 1
– p. 6/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
– p. 7/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
Derivata prima f ′(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2[
−2(x − µ)
2σ2
]
– p. 7/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
Derivata prima f ′(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2[
−2(x − µ)
2σ2
]
Annulliamo la deriva prima f ′(x) = 0. Ciò avviene perx = µ.
– p. 7/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
Derivata prima f ′(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2[
−2(x − µ)
2σ2
]
Annulliamo la deriva prima f ′(x) = 0. Ciò avviene perx = µ.
Derivata seconda:
f ′′(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2[
−2(x − µ)
2σ2
]2
−
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2 1
σ2=
1
σ3√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
[(x − µ)2
σ2− 1
]
– p. 7/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: MODA
Verifichiamo che il massimo assoluto si ha per x = µ
Derivata prima f ′(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2[
−2(x − µ)
2σ2
]
Annulliamo la deriva prima f ′(x) = 0. Ciò avviene perx = µ.
Derivata seconda:
f ′′(x) =1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2[
−2(x − µ)
2σ2
]2
−
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2 1
σ2=
1
σ3√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
[(x − µ)2
σ2− 1
]
f ′′(x = µ) < 0 pertanto la funzione ha un massimoassoluto per x = µ, il cui valore è: f(µ) = 1
σ√
2π.
L’ordinata al max è inversamente proporzinale a σ.– p. 7/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ.
– p. 8/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ.
Annulliamo la derivata seconda:
f ′′(x) =1
σ3√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
[(x − µ)2
σ2− 1
]
= 0
– p. 8/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ.
Annulliamo la derivata seconda:
f ′′(x) =1
σ3√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
[(x − µ)2
σ2− 1
]
= 0
Ciò si verifica quando(x − µ)2
σ2= 1 −→ (x − µ)2 = σ2,
ovvero per x1 = µ + σ e x2 = µ − σ.
– p. 8/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ.
Annulliamo la derivata seconda:
f ′′(x) =1
σ3√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
[(x − µ)2
σ2− 1
]
= 0
Ciò si verifica quando(x − µ)2
σ2= 1 −→ (x − µ)2 = σ2,
ovvero per x1 = µ + σ e x2 = µ − σ.
La funzione ha due flessi per x = µ ± σ
– p. 8/12
DISTRIBUZIONE NORMALE: FLESSI
Verifichiamo che si hanno due flessi per x = µ ± σ.
Annulliamo la derivata seconda:
f ′′(x) =1
σ3√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
[(x − µ)2
σ2− 1
]
= 0
Ciò si verifica quando(x − µ)2
σ2= 1 −→ (x − µ)2 = σ2,
ovvero per x1 = µ + σ e x2 = µ − σ.
La funzione ha due flessi per x = µ ± σ
La distanza tra i due punti di flesso è 2σ. Il parametro σ
è indicativo della larghezza della funzione.
– p. 8/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONEIl parametro µ è il valore di aspettazione della variabilestessa (E(x) = µ).
– p. 9/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONEIl parametro µ è il valore di aspettazione della variabilestessa (E(x) = µ).
E(x) =
∫ +∞
−∞xf(x)dx =
∫ +∞
−∞x
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
– p. 9/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONEIl parametro µ è il valore di aspettazione della variabilestessa (E(x) = µ).
E(x) =
∫ +∞
−∞xf(x)dx =
∫ +∞
−∞x
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
– p. 9/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONEIl parametro µ è il valore di aspettazione della variabilestessa (E(x) = µ).
E(x) =
∫ +∞
−∞xf(x)dx =
∫ +∞
−∞x
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
E(x) =
∫ +∞
−∞(σz + µ)
1
σ√
2πe−
z2
2 dz
– p. 9/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONEIl parametro µ è il valore di aspettazione della variabilestessa (E(x) = µ).
E(x) =
∫ +∞
−∞xf(x)dx =
∫ +∞
−∞x
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
E(x) =
∫ +∞
−∞(σz + µ)
1
σ√
2πe−
z2
2 dz
=1
σ√
2π
∫ +∞
−∞ze−
z2
2 dz
︸ ︷︷ ︸
=0
+µ√2π
∫ +∞
−∞e−
z2
2 dz
– p. 9/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONEIl parametro µ è il valore di aspettazione della variabilestessa (E(x) = µ).
E(x) =
∫ +∞
−∞xf(x)dx =
∫ +∞
−∞x
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
E(x) =
∫ +∞
−∞(σz + µ)
1
σ√
2πe−
z2
2 dz
=1
σ√
2π
∫ +∞
−∞ze−
z2
2 dz
︸ ︷︷ ︸
=0
+µ√2π
∫ +∞
−∞e−
z2
2 dz
=µ√2π
√2π = µ
– p. 9/12
LA DISTR. NORMALE: VALORE DI ASPETTAZIONE
– p. 10/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.
– p. 11/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.∫ +∞
−∞(x − µ)2f(x)dx =
∫ +∞
−∞(x − µ)2
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
– p. 11/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.∫ +∞
−∞(x − µ)2f(x)dx =
∫ +∞
−∞(x − µ)2
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
– p. 11/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.∫ +∞
−∞(x − µ)2f(x)dx =
∫ +∞
−∞(x − µ)2
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
=
∫ +∞
−∞(σz)2
1
σ√
2πe−
z2
2 σdz
– p. 11/12
LA DISTRIBUZIONE NORMALE: VARIANZA
Il parametro σ è la deviazione standard.∫ +∞
−∞(x − µ)2f(x)dx =
∫ +∞
−∞(x − µ)2
1
σ√
2πe−
12(
x−µ
σ)2
dx
Cambio di variabile: z =x − µ
σda cui x = µ + σz e
dz =dx
σ.
=
∫ +∞
−∞(σz)2
1
σ√
2πe−
z2
2 σdz
=σ2
√2π
∫ +∞
−∞z2e−
z2
2 σdz = · · · σ2
– p. 11/12
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tuttestatisticamente indipendenti tra loro sono ancoradistribuite secondo la legge normale.
– p. 12/12
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tuttestatisticamente indipendenti tra loro sono ancoradistribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk, con valore di aspettazione µk evarianza σk
2.
– p. 12/12
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tuttestatisticamente indipendenti tra loro sono ancoradistribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk, con valore di aspettazione µk evarianza σk
2.
Sia y =∑N
k=1ak xk
– p. 12/12
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tuttestatisticamente indipendenti tra loro sono ancoradistribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk, con valore di aspettazione µk evarianza σk
2.
Sia y =∑N
k=1ak xk
→ µ =∑
N
k=1ak µk
– p. 12/12
TEOREMA
Combinazioni lineari di variabili casuali normali e tuttestatisticamente indipendenti tra loro sono ancoradistribuite secondo la legge normale.
N variabili normali xk, con valore di aspettazione µk evarianza σk
2.
Sia y =∑N
k=1ak xk
→ µ =∑
N
k=1ak µk
→ σ2 =∑
N
k=1ak
2σk2
– p. 12/12
![ASSOCIAZIONE E CORRELAZIONE Quando osservo le distribuzioni di due variabili quantitative [x] ed [y] e la distribuzione congiunta, affermo che le due variabili](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5542eb4f497959361e8bf27d/associazione-e-correlazione-quando-osservo-le-distribuzioni-di-due-variabili-quantitative-x-ed-y-e-la-distribuzione-congiunta-affermo-che-le-due-variabili.jpg)
