Cap. 6-1
Capitolo 6
Variabili Aleatorie Continue e Distribuzioni di Probabilit
Statistica
Cap. 6-2
Obiettivi del Capitolo
Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di:
Spiegare la differenza tra una variabile aleatoria discretaed
una continua
Descrivere le caratteristiche delle distribuzioni uniformee
normale
Trasformare problemi relativi alla distribuzione normalein
problemi relativi alla distribuzione normale standard
Calcolare probabilit usando la tavola della
distribuzionenormale
Cap. 6-3
Obiettivi del Capitolo
Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di:
Verificare lassunzione di normalit
Usare lapprosimazione normale per la distribuzionebinomiale
Riconoscere quando usare la distribuzione esponenziale
Spiegare variabili distribuite congiuntamente e combinazioni
lineari di variabili aleatorie
(continuazione)
Cap. 6-4
Distribuzioni di Probabilit
Distribuzioni diProbabilitContinue
Binomiale
Poisson
Ipergeometrica
Distribuzionidi Probabilit
Distribuzioni diProbabilitDiscrete
Uniforme
Normale
Esponenziale
Cap. 5 Cap. 6
Cap. 6-5
Distribuzioni di Probabilit Continue
Una variabile aleatoria continua una variabileche pu assumere
qualunque valore in un intervallo spessore di un oggetto tempo
necessario per completare un lavoro temperatura di una soluzione
altezza, in pollici
Queste variabili possono potenzialmenteassumere qualunque
valore, dipendentementesolo dallabilit di misurare con
precisione.
Cap. 6-6
Funzione di Ripartizione
La Funzione di Ripartizione, F(x), per unavariabile aleatoria
continua X esprime la probabilit che X non superi il valore x
Siano a e b due possibili valori di X, con a < b. La
probabilit che X assuma valori tra a e b
x)P(XF(x) =
F(a)F(b)b)XP(a =
Cap. 6-7
Funzione di Densit di Probabilit
La funzione di densit di probabilit, f(x), di una variabile
aleatoria X ha le seguenti propriet:
1. f(x) > 0 per qualunque valore di x2. Larea sottesa alla
funzione di densit di probabilit f(x) su tutto lintervallo
di valori ammissibili di X vale 13. La probabilit che X assuma
valori in un intervallo larea sottesa alla
funzione di densit sullintervallo4. La funzione di ripartizione
F(x0) larea sottesa alla funzione di densit
f(x) dal valore minimo xm fino al valore x0
dove xm il valore minimo della variabile aleatoria x
=0
m
x
x0 f(x)dx)f(x
Cap. 6-8
Probabilit come unArea
a b x
f(x) P a x b( )
Larea ombreggiata sottesa alla curva la probabilit che X assuma
valori fra a e b
P a x b( )
Cap. 6-9
La Distribuzione Uniforme
Distribuzionidi Probabilit
Uniforme
Normale
Esponenziale
Distribuzioni diProbabilitContinue
Cap. 6-10
La Distribuzione Uniforme
La distributione uniforme la distribuzione diprobabilit che
assegna la stessa probabilit a tutti i possibili valori di una
variabile aleatoria
xmin xmax x
f(x)Larea totale sottesa la funzione di densitdella
distribuzioneuniforme uguale a 1
Cap. 6-11
La Distribuzione Uniforme Continua:
altrove 0
bxaseab
1
dovef(x) = valore della funzione di densit a qualunque valore x
a = valore minimo di xb = valore massimo di x
La Distribuzione Uniforme(continuazione)
f(x) =
Cap. 6-12
Propriet della Distribuzione Uniforme
La media di una distribuzione uniforme
La varianza
2ba
+=
12a)-(b
22 =
Cap. 6-13
Esempio Distribuzione Uniforme
Esempio: Distribuzione di probabilituniforme nellintervallo 2 x
6:
2 6
.25
f(x) = = .25 per 2 x 66 - 21
x
f(x)
42
622
ba =+=+=
1.33312
2)-(612
a)-(b
222 ===
Cap. 6-14
Valori Attesi di Variabili Aleatorie Continue
La media di X, indicata con X , definita come ilvalore atteso di
X
La varianza di X, indicata con X2 , definita come ilvalore
atteso del quadrato degli scarti della variabiledalla sua media, (X
- X)2
E(X)X =
])E[(X 2X2X =
Cap. 6-15
Funzione Lineare di Variabili
Sia W = a + bX , dove X ha media X e varianza X2 , e a e b sono
costanti
Allora la media di W
la varianza
lo scarto quadratico medio di W
XW babX)E(a +=+=
2X
22W bbX)Var(a =+=
XW b =
Cap. 6-16
Un importante caso speciale dei precedenti risultati la
variabile aleatoria standardizzata
la quale ha media 0 e varianza 1
Funzione Lineare di Variabili(continuazione)
X
X
XZ
=
Cap. 6-17
La Distribuzione Normale
Distribuzioni diProbabilitContinue
Distribuzionidi Probabilit
Uniforme
Normale
Esponenziale
Cap. 6-18
La Distribuzione Normale
Forma campanulare Simmetrica Media, Mediana e Moda
coincidono
La tendenza centrale determinatadalla media,
La variabilit determinata dalloscarto quadratico medio,
La variabile aleatoria ha un campo divariazione teoreticamente
infinito: + fino a
Media = Mediana= Moda
x
f(x)
(continuazione)
Cap. 6-19
La Distribuzione Normale
La distribuzione normale approssima molto bene le distribuzioni
di probabilit di un numero elevato divariabili aleatorie
In presenza di campioni grandi la distribuzione dellemedie
campionarie approssimata dalla distribuzione normale
Il calcolo delle probabilit diretto ed elegante
La distribuzione di probabilit normale ha prodottobuone
decisioni finanziarie/economiche in moltiproblemi applicativi
(continuazione)
Cap. 6-20
Variando i parametri e , otteniamo diverse distribuzioni
normali
Molte Distribuzioni Normali
Cap. 6-21
La Forma della Distribuzione Normale
x
f(x)
Cambiando la distribuzione si spostaverso sinistra o destra
Cambiando aumenta o diminuisce la dispersione.
Date la media e la varianza identifichiamo la distribuzione
normale con la notazione
)N(~X 2,
Cap. 6-22
La Funzione di Densit dellaProbabilit Normale
La formula per la funzione di densit diprobabilit normale
Dove e = la costante matematica approssimata da 2.71828
= la costante matematica approssimata da 3.14159
= la media della popolazione
= lo scarto quadratico medio della popolazione
x = qualunque valore della variabile continua, < x <
22 /2)(xe2
1f(x) =
Cap. 6-23
Funzione di Ripartizione Normale
Per una variabile aleatoria normale X con media e varianza 2 ,
i.e., X~N(, 2), la funzione diripartizione
)xP(X)F(x 00 =
x0 x0
)xP(X 0
f(x)
Cap. 6-24
xba
La probabilit relativa ad un intervallo divalori misurata
dallarea sottesa alla curva
Calcolo delle Probabilit per la Distribuzione Normale
F(a)F(b)b)XP(a =
Cap. 6-25
xba
xba
xba
Calcolo delle Probabilit per la Distribuzione Normale
(continuazione)
F(a)F(b)b)XP(a =
Cap. 6-26
La Normale Standard Qualunque distribuzione normale (con
qualunque
combinazione di media e varianza) pu esseretransformata nella
distribuzione normale standard (Z), con media 0 e varianza 1
Dobbiamo trasformare la variabile X nella variabile Z sottraendo
la media di X e dividendo per il suo scartoquadratico medio
1)N(0~Z ,
XZ
=
Z
f(Z)
0
1
Cap. 6-27
Esempio
Se X ha una distribuzione normale con media 100 e scarto
quadratico medio 50, il valore di Z corrispondente a X = 200
Ci significa che X = 200 due scartiquadratici medi (2 incrementi
di 50 unit) al disopra del valore medio 100.
2.050
100200
XZ ===
Cap. 6-28
Confrontando le unit di X e Z
Z100
2.00200 X
Notare che la distribuzione la stessa, ed cambiatasolo la scala.
Possiamo formulare il problema usandole unit originali (X) o le
unit standardizzate (Z).
( = 100, = 50)
( = 0, = 1)
Cap. 6-29
Calcolo delle Probabilit Normali
a b x
f(x)
=
Cap. 6-30
f(X)
X
Probabilit come Area Sottesa alla Curva
0.50.5
L area totale sottesa alla curva pari a 1, e la curva
simmetrica, perci met al di sopra della media, e met al di
sotto
1.0)XP( =
Cap. 6-31
Tavola 1 dellAppendice
La tavola della Normale Standard data nel libro(Tavola 1
dellAppendice) fornisce i valori dellafunzione di ripartizione
della distribuzionenormale
Per un dato valore a di Z, la tavola fornisce F(a)(larea sottesa
alla curva da meno infinito al valore a)
Z0 a
a)P(Z F(a)
Cap. 6-32
La Tavola della Normale Standard
Z0 2.00
.9772Esempio:P(Z < 2.00) = .9772
Tavola 1 dellAppendice fornisce la probabilitF(a) per qualunque
valore a
Cap. 6-33
La Tavola della Normale Standard
Z0-2.00
Esempio:P(Z < -2.00) = 1 0.9772
= 0.0228
Per valori negativi di Z, usiamo il fatto che la distribuzione
simmetrica per trovare la probabilit desiderata:
Z0 2.00
.9772
.0228
.9772.0228
(continuazione)
Cap. 6-34
Procedura Generale per Calcolare Probabilit
Disegna la curva normale per il problema intermini di X
Traduci i valori di X in valori di Z
Usa la Tavola della Funzione di Ripartizione
Per calcolare P(a < X < b) quando X ha una distribuzione
normale:
Cap. 6-35
Calcolo delle Probabilit Normali
Assumiamo che X abbia unadistribuzione normale con media 8 e
scarto quadratico medio 5
Calcolare P(X < 8.6)
X
8.6
8.0
Cap. 6-36
Assumiamo che X abbia una distribuzione normale con media 8 e
scarto quadratico medio 5. Calcolare P(X
Cap. 6-37
Z
0.12
z F(z)
.10 .5398
.11 .5438
.12 .5478
.13 .5517
Soluzione: calcolo di P(Z < 0.12)
F(0.12) = 0.5478
Tavola della DistribuzioneNormale Standard
0.00
= P(Z < 0.12)P(X < 8.6)
Cap. 6-38
Probabilit nella Coda di Destra
Assumiamo che X abbia una distribuzionenormale con media 8 e
scarto quadraticomedio 5
Adesso calcoliamo P(X > 8.6)
X
8.6
8.0
Cap. 6-39
Adesso calcoliamo P(X > 8.6)(continuazione)
Z
0.12
0Z
0.12
0.5478
0
1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Probabilit nella Coda di Destra
Cap. 6-40
I passi per trovare il valore di X corrispondente ad una nota
probabilit:1. Trovare il valore di Z corrispondente alla
probabilit nota
2. Converti nelle unit di X usando la formula:
Trovare il Valore di X Corrispondentead una Nota Probabilit
ZX +=
Cap. 6-41
Trovare il Valore di X Corrispondentead una Nota Probabilit
Esempio:
Assumiamo che X abbia una distribuzione normalecon media 8 e
scarto quadratico medio 5.
Adesso troviamo il valore di X tale che solo il 20% dei valori
siano al di sotto di tale X
X? 8.0
.2000
Z? 0
(continuazione)
Cap. 6-42
Trova il valore di Z corrispondente a 20% nella coda di
sinistra
20% di area nella coda di sinistra corrisponde al valore Z di
-0.84
Tavola della Funzione diRipartizione Normale (Porzione)
X? 8.0
.20
Z-0.84 0
1. Trova il valore di Z corrispondente alla nota probabilit
z F(z)
.82 .7939
.83 .7967
.84 .7995
.85 .8023
.80
Cap. 6-43
2. Converti in unit di X usando la formula:
Trovare il valore di X
8.3
5)84.0(8
ZX
=+=
+=
Perci 20% dei valori di unadistribuzione con media 8 e
scartoquadratico medio 5 sono inferiori a 3.8
Cap. 6-44
Verificare la Normalit
Non tutte le variabili aleatorie continue hannouna distribuzione
normale
importante valutare quanto i dati reali sianoapprossimabili in
modo valido dalladistribuzione normale
Cap. 6-45
Il Normal Probability Plot
Normal probability plot Ordina i dati dal pi basso al pi
alto
Calcola la funzione di ripartizione per tutti i valori
Esamina un grafico dei valori osservati vs. le probabilit
cumulate (con la funzione di ripartizionedella distribuzione
normale sullasse verticale e i valori osservati sullasse
orizzontale)
Valuta il grafico per evidenze di linearit
Cap. 6-46
Un normal probability plot per i datiprovenienti da una
distribuzione normale
appare approssimativamente lineare:
0
100
Dati
Percentuale
Il Normal Probability Plot(continuazione)
Cap. 6-47
Asimmetria a Sinistra Asimmetria a Destra
Uniforme
0
100
Dati
Per
cent
uale
(continuazione)
Grafici non lineariindicano una deviazionedalla normalit
0
100
Dati
Per
cent
uale
0
100
Dati
Per
cent
uale
Il Normal Probability Plot
Cap. 6-48
Approssimazione della DistribuzioneBinomiale con la
Distribuzione Normale
Ricorda la distribuzione binomiale: n prove indipendenti
probabilit di successo in ogni prova = P
Variabile aleatoria X: Xi =1 se la ima prova un successo Xi =0
se la ima prova un insuccesso
nPE(X) ==
P)nP(1-Var(X) 2 ==
Cap. 6-49
Approssimazione della DistribuzioneBinomiale con la
Distribuzione Normale
La forma della distribuzione binomiale approssimativamente
normale se n grande
La normale una buona approssimazione per la binomiale quando
nP(1 P) > 9
Standardizza per ottenere Z usando i parametridella
distribuzione binomiale:
(continuazione)
P)nP(1
npX
Var(X)
E(X)XZ
==
Cap. 6-50
Approssimazione della DistribuzioneBinomiale con la
Distribuzione Normale
Sia X il numero di successi in n indipendenti prove, ciascuna
con probabilit di successo P.
Se nP(1 - P) > 9,
(continuazione)
=
Cap. 6-51
Esempio Approssimazione Binomiale
40% di tutti i votanti sostengono proposta A. Qualla probabilit
che, in un campione di n = 200, unapercentuale compresa tra 76 e 80
dei votantiindicher il loro sostegno?
E(X) = = nP = 200(0.40) = 80 Var(X) = 2 = nP(1 P) = 200(0.40)(1
0.40) = 48
( notare: nP(1 P) = 48 > 9 )
0.21900.28100.5000
0.58)F(F(0)
0)Z0.58P(
0.4)200(0.4)(1
8080Z
0.4)200(0.4)(1
8076P80)XP(76
===
Cap. 6-52
La Distribuzione Esponenziale
Distribuzioni diProbabilitContinue
Distribuzionidi Probabilit
Normale
Uniforme
Esponenziale
Cap. 6-53
La Distribuzione Esponenziale
Usata per modellare lammontare di tempo tradue occorrenze di un
evento (il tempo fra gliarrivi)
Esempi: Tempo tra camion che arrivano ad un molo di scarico
Tempo tra transazioni ad un bancomat Tempo tra telefonate
alloperatore principale
Cap. 6-54
La Distribuzione Esponenziale
La variabile aleatoria esponenziale T (t>0) ha una densitdi
probabilit
Dove il numero medio di occorrenze in una unit di tempo t il
numero di unit di tempo fino alla prossima occorrenza e =
2.71828
Si dice che T ha una distribuzione di probabilitesponenziale
(continuazione)
0 per t ef(t) t >=
Cap. 6-55
La Distribuzione Esponenziale
te1F(t) =
Definita da un solo parametro, la sua media (lambda)
La funzione di ripartizione (la probabilit che un tempo di
arrivo minore di qualche specifico tempo t)
dove e = costante matematica approssimata da 2.71828
= il numero medio di arrivi per unit nella popolazionet =
qualunque valore della variabile continua dove t > 0
Cap. 6-56
EsempioDistribuzione Esponenziale
Esempio: I clienti arrivano allo sportello di servizio ad un
tasso di 15 per ora. Qual la probabilit che iltempo di arrivo fra
clienti consecutivi sia inferiore a treminuti?
Il numero medio di arrivi per ora 15, quindi = 15
Tre minuti sono .05 ore
P(tempo di arrivo < .05) = 1 e- X = 1 e-(15)(.05) =
0.5276
Perci c una probabilit del 52.76% che il tempo diarrivo fra
clienti consecutivi sia inferiore a tre minuti
Cap. 6-57
Funzione di Ripartizione Congiunta
Siano X1, X2, . . .Xk variabili aleatorie continue
La loro funzione di ripartizione congiunta, F(x1, x2, . .
.xk)
definisce la probabilit che, simultaneamente, X1 siaminore di
x1, X2 sia minore di x2, ; cio
)xXxXxP(X)x,,x,F(x kk2211k21
Cap. 6-58
Funzione di Ripartizione Congiunta
Le funzioni di ripartizione congiuntaF(x1), F(x2), . .
.,F(xk)
delle singole variabili aleatorie sono chiamate funzionidi
ripartizione marginale
Le variabili aleatorie sono indipendenti se e solo se
(continuazione)
)F(x))F(xF(x)x,,x,F(x k21k21 LK =
Cap. 6-59
Covarianza
Siano X e Y variabili aleatorie continue, con rispettivemedie x
e y
Il valore atteso di (X - x)(Y - y) viene chiamatocovarianza tra
X e Y
Un espressione alternativa ma equivalente
Se le variabili X e Y sono indipendenti, allora la covarianza
fraloro 0. Comunque, il viceversa non sempre vero.
)])(YE[(XY)Cov(X, yx =
yxE(XY)Y)Cov(X, =
Cap. 6-60
Correlazione
Siano X e Y variabili aleatorie distribuite congiuntamente.
La correlazione tra X e Y
YX
Y)Cov(X,Y)Corr(X, ==
Cap. 6-61
Somma di Variabili Aleatorie
Siano date k variabili aleatorie X1, X2, . . .Xk con medie 1,
2,. . . k e varianze 12, 22,. . ., k
2. Allora:
La media della loro somma la somma delleloro medie
k21k21 )XXE(X +++=+++ LL
Cap. 6-62
Somma di Variabili Aleatorie
Siano date k variabili aleatorie X1, X2, . . .Xk con medie1, 2,.
. . k e varianze 12, 22,. . ., k2. Allora:
Se la covarianza fra ogni coppia di queste variabilialeatorie 0,
allora la varianza della loro somma la somma delle loro
varianze
Comunque, se le covarianze fra le coppie di variabilinon sono 0,
la varianza della loro somma
2k
22
21k21 )XXVar(X +++=+++ LL
)X,Cov(X2)XXVar(X j1K
1i
K
1iji
2k
22
21k21
= +=
++++=+++ LL
(continuazione)
Cap. 6-63
Differenza tra Due Variabili Aleatorie
Per due variabili aleatorie, X e Y
La media della loro differenza la differenza fra le loromedie;
cio
Se la covarianza tra X e Y 0, allora la varianzadella loro
differenza
Se la covarianza tra X e Y non 0, allora la varianzadella loro
differenza
YX Y)E(X =
2Y
2X Y)Var(X +=
Y)2Cov(X,Y)Var(X 2Y2X +=
Cap. 6-64
Combinazioni Lineari di Variabili Aleatorie
Una combinazione lineare di due variabili aleatorie, X e Y,
(dove a e b sono constanti)
La media di W
bYaXW +=
YXW babY]E[aXE[W] +=+==
Cap. 6-65
Combinazioni Lineari diVariabili Aleatorie
La varianza di W
Oppure usando la correlazione,
Se entrambe X e Y sono distribuite normalmenteallora anche la
combinazione lineare, W, sar distribuitanormalmente
Y)2abCov(X,ba 2Y22
X22
W ++=
YX2Y
22X
22W Y)2abCorr(X,ba ++=
(continuazione)
Cap. 6-66
Esempio
Due mansioni devono essere eseguite dallo stessolavoratore. X =
minuti per completare mansione 1; x = 20, x = 5 Y = minuti per
completare mansione 2; y = 20, y = 5 X e Y sono distribuite
normalmente e sono
indipendenti
Quali sono la media e lo scarto quadratico medio del tempo
necessario per completare entrambe le mansioni?
Cap. 6-67
Esempio
X = minuti per completare mansione 1; x = 20, x = 5 Y = minuti
per completare mansione 2; y = 30, y = 8
Quali sono la media e lo scarto quadratico medio del tempo
necessario per completare entrambe le mansioni?
Siccome X e Y sono indipendenti, Cov(X,Y) = 0, perci
Lo scarto quadratico medio
(continuazione)
YXW +=503020 YXW =+=+=
89(8)(5) Y)2Cov(X, 222Y2X
2W =+=++=
9.43489W ==
Cap. 6-68
Riepilogo del Capitolo
Definite le variabili aleatorie continue
Presentate importanti distribuzioni di probabilit continuee le
loro propriet
uniforme, normale, esponenziale
Calcolate probabilit usando formule e tabelle
Interpretati normal probability plot
Esaminate situazioni in cui usare le diverse distribuzioni
Applicata lapprossimazione normale alla
distribuzionebinomiale
Riviste le propriet delle variabili aleatorie continue
distribuite congiuntamente
