DOKAZIVANJE POMOĆU RAČUNALA

Željka Dijanić, prof. mentorSrednja škola ČazmaŽSV, Bjelovar, 23. 5. 2013.

NOK – matematičko područje (četvrti ciklus)

1. Prikazivanje i komunikacija

2. Povezivanje3. Logičko mišljenje,

argumentiranje i zaključivanje

4. Rješavanje problema i matematičko modeliranje

5. Primjena tehnologije

1. Brojevi2. Algebra i funkcije3. Oblik i prostor4. Mjerenje5. Podatci6. Infinitezimalni

račun

I. MATEMATIČKI PROCESI II. MATEMATIČKI KONCEPTI

Matematički procesi – očekivana učenička postignuća (1)2. Povezivanje

uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem

3. Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje pratiti, stvarati i vrjednovati lance

matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju (u jednostavnim situacijama)

prepoznati logičko zaključivanje i matematički dokaz kao ključne vidove matematike

Matematički procesi – očekivana učenička postignuća (2)4. Rješavanje problema i matematičko

modeliranje postaviti i analizirati jednostavniji problem,

isplanirati njegovo rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka, riješiti ga te protumačiti i vrjednovati rješenje i postupak

izgrađivati novo matematičko znanje rješavanjem problema i modeliranjem situacija

5. Primjena tehnologije istraživati i analizirati matematičke ideje,

eksperimentirati s njima te provjeravati pretpostavke pomoću džepnih računala i raznovrsnih računalnih programa, naročito programa dinamične geometrije i programa za izradu proračunskih tablica

Teorem ili poučak (Kurnik, MIŠ 8) matematička izjava čija se istinitost utvrđuje

dokazom formulacija teorema dva dijela:

pretpostavka P (uvjet, hipoteza) – jedna ili više izjava koje se smatraju istinitima

tvrdnja Q (zaključak, posljedica, teza) – izjava koju treba dokazati

poteškoće u nastavi: razlikovanje pretpostavke i tvrdnje P Q formuliranje obrata poučka Q P formuliranje negacije neke izjave Q P

(kontrapozicija)

Dokaz (Kurnik, MIŠ 9) Izgradnja matematičke teorije:

1. navođenje osnovnih pojmova2. formuliranje aksioma3. definiranje novih pojmova4. izvođenje i dokazivanje teorema

Dokaz teorema P Q u nekoj teoriji je takav konačan niz tvrdnji Q1, Q2, …, Qn teorije u kojem svaka tvrdnja je ili aksiom ili je dobivena iz

prethodno dokazanih tvrdnji toga niza po nekom pravilu zaključivanja,

posljednja tvrdnja niza je tvrdnja Q.P Q1 Q2 … Qn Q

Dokaz bez riječi (Čižmešija i Marić) grafički dokaz – dokaz dan slikom ili nizom

slika naznačena ideja i put dokaza (dokaz nije

formalno proveden) bezbolnije uvođenje dokaza u nastavu

zoran putokaz učeniku kako da sam izvede dokaz

poštuje se načelo zornosti i apstraktnosti geometrijski sadržaji ili geometriziranje

ostalih sadržaja posebnu pažnju posvetiti rubnim

slučajevima, tj. uvjetima pod kojima nejednakost postaje jednakost

Dokaz bez riječi - primjeri pomoću računala

Pitagorin poučak

Zbroj vanjskih kutova

četverokuta

GeoGebra - alat za dokazivanje

Nguyen (2012) – GeoGebra kao pomoć u procesu dokazivanja

(heuristički pristup G. Polye) od abduktivne argumentacije do deduktivnog

dokaza abdukcija (Peirce, 1960) - objašnjavanje činjenica

uvođenjem novog pravilaabdukcija indukcija dedukcijamogućnost,

intuicijapojedinačni

slučajeviopće zakonitosti

generiranje ideja dokazivanje

Interaktivan sustav pomoći Toulminov model

argumentacije

Interaktivan sustav pomoći (IHS, interactive help system)1. informativna razina

uočiti bitne informacije:što je nepoznato, što poznato, koji su uvjeti…

2. konstruktivna razina

potiče se konstrukcija nekih pomoćnih figura

3. invarijantna razina

promjenom nekih objekata, odnosa ili parametara uočiti nepromjenjivost onoga što se dokazuje

4. razina pretpostavke

formulirati pretpostavku

5. razina argumentacije

osmisliti što više različitih argumenata(abduktivnih, induktivnih i deduktivnih)

6. razina dokaza povezati argumente u logičan slijed koji vodi do dokaza tvrdnje

7. razina udubljivanja

udubiti se u problem,izvesti generalizacije, analogije, specijalizacije

Toulminov model argumentacije

D: dataČINJENICE

C: claimTVRDNJA

W: warrantGARANCIJAbudući osim

akoR: rebuttalPOBIJANJE

na temelju

B: backingPOTPORA

Q: qualifierJAKOST

TVRDNJE

Primjer: Problem mosta

Primjer: Sinusov poučak

Literatura Bjelanović Dijanić, Ž., Kličinović, J. (2012), GeoGebra –

matematički alat za demonstraciju, istraživanje i dokazivanje, Znanstveno-stručni kolokvij “Matematika i IKT”, FOI, Varaždin.

Čižmešija, A., Marić D. (2004), Dokaz bez riječi kao metoda uvođenja dokaza u nastavu matematike. 2. kongres nastavnika matematike, HMD, Zagreb.

Kurnik, Z. (2001), Poučak ili teorem. Matematika i škola, god. 2, br. 8.

Kurnik, Z. (2001), Dokaz. Matematika i škola, god. 2, br. 9. Nacionalni okvirni kurikulum za predškolski odgoj i

obrazovanje te opće obvezno i srednjoškolsko obrazovanje. MZOS, 2010.

Nguyen, D. N. (2012), GeoGebra with an interactive help system generates abductive argumentation during proving process. North American GeoGebra Journal, vol 1, no 1.