Seminar - 4. letnik

Dinamični pristop k turbulenci

Avtor: Igor MeleMentor: prof. dr. Tomaž Prosen

Ljubljana, marec 2013

Povzetek

Ravninski Couetteov tok je med najpreprostejšimi modeli strižnih tokov, vendar so bile točneinvariantne rešitve Navier-Stokesovih enačb nepoznane do devetdesetih let prejšnjega stoletja. Po-leg fizičnih upodobitev rešitev bo predstavljen postopek, kjer visoko dimenzionalen prostor Navier-Stokesovih enačb projiciramo na izbrano bazo. Dobimo fazne portrete, ki prikazujejo dinamikoturbulentnega toka pri zmernih Reynoldsovih številih.

Kazalo1 Uvod 3

2 Zgodovinski pregled 3

3 Ravninski Couetteov tok 33.1 Navier-Stokesova enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Energija hitrostnega polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Invariantne rešitve ravninskega Couetteovega toka 64.1 3D vizualizacija ravninskega Couetteovega toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Prostorska diskretizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Ravnovesne rešitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Periodične orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.5 Potujoči valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.6 Bifurkacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.7 Lastne vrednosti/funkcije, (ne)stabilne mnogoterosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Geometrija prostora stanj 105.1 Projekcija na 2D ali 3D prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Fazni portret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Nadzor turbulence 12

7 Zaključek 13

2

1 UvodRazumevanje turbulence je ena zadnjih nerešenih ugank klasične mehanike. Predstavlja enega osnovnihpojavov v naravi. Turbulenten tok ima kompleksne spremembe v času in kraju. Tipično se pojavi vtekočinah z majhno viskoznostjo, kot sta na primer voda in zrak. Navier-Stokesove enačbe se zdijo, daso natančen matematični model za opis toka tekočin z različnimi vrednosti viskoznosti. Predvsem dobroopišejo turbulentne tokove pri nizkih vrednostih Reynoldsovega števila. Enačbe rešujemo z numeričnimintegriranjem. Opisal bom fizične in simetrijske lastnosti ravninskega Couetteovega toka. Rešitve sesta-vljajo stacionarna stanja, potujoči valovi in periodične orbite. Glavni namen seminarja bo predstavitinov način vizualizacije faznega prostora za primer strižnih tokov v ravninskem Couetteovem toku.

2 Zgodovinski pregledPrvi poskusi opisa turbulence so temeljili na statističnem opisu. Predstavljena je bila kot naključnefluktuacije okoli povprečnega toka. Eden večjih uspehov takega pristopa je zakon Kolmogorova [1] (1941),ki podaja verjetnostno porazdelitev dolžinskih enot struktur vidnih v izotropni turbulenci. Turbulencosi lahko predstavljamo tudi kot dinamičen sistem. Med začetnike sodijo Poincaré, Hopf, Smale in drugi.H. Poincaré je leta 1889 pokazal, da analitična rešitev za problem treh teles v gravitacijskem polju neobstaja. S tem pa je postavil tudi temelje geometrijskega pristopa v dinamičnih sistemih.

E. Hopf pa si je v svojem članku [2] leta 1941 zamislil dinamiko Navier-Stokesovih enačb kot neskončnodimenzionalen fazni prostor določen z viskoznostjo, robnimi pogoji in zunanjimi silami. V tem prostorubi bilo vsako 3D hitrostno polje predstavljeno s posamezno točko. Domneval je, da je znotraj neskončnodimenzionalnega prostora končno dimenzionalna mnogoterost. Lastnosti te mnogoterosti bi bile odvisneod viskoznosti tekočine. Za velike viskoznosti (majhno Reynoldsovo število) bi mnogoterost ustrezalatočki, ki bi predstavljala laminarno stanje. Če pa povečujemo Reynoldsovo število, se spremeni stabilnostmnogoterosti, poveča se dimenzionalnost, razcepi se v nove mnogoterosti. Hopfova ideja o simulacijiNavier-Stokesovih enačb z računalnikom je bila tedaj precej pred časom .

Kasneje so inženirji in matematiki pridobili precej empiričnih dokazov, da zmerno turbuletni tokovikažejo nizko dimenzionalno obnašanje za različne pogoje. Poskusi so leta 1967 (Kline in drugi [3]) odkriliprostorsko organizirane proge v turbulentni robni plasti (plast, ki je najbližja steni). Proge sestavljatekočina s hitrostmi, ki so relativno večje ali manjše glede na povprečno hitrost. Izmerjena odstopanjaso bila ±50%. Robno plast so si do tedaj predstavljali kot tanko laminarno plast.

Z razvojem računalništva so se odprla vrata tudi numeričnemu modeliranju strižnih tokov. Razvilose je nekaj nizko dimenzionalnih modelov, ki uporabljajo analitične bazne funkcije. Narejene so posebejzato, da opišejo strukture v strižnih tokovih (proge, vrtinci). Dimenzije teh modelov (10 do 100) sonekaj velikostnih redov premajhne. Modeli zato ne prikažejo dogajanja na majhnih skalah, ki je pomem-ben del pri dinamiki turbulence. Drug pristop je izračun točnih invariantnih rešitev polnega sistemaNavier-Stokesovih enačb. Torej spustimo nizko dimenzionalno modeliranje in obravnavamo algoritmeCFD neposredno kot visoko dimenzionalne dinamične sisteme. Nagata je leta 1990 izračunal prvi parnetrivialnih rešitev ravninskega Couetteovega toka [4], leta 1997 pa še prvi potujoči val [5].

3 Ravninski Couetteov tokRavninski Couetteov tok lahko opišemo kot sistem dveh neskončnih vzporednih plošč, ki se gibljeta vnasprotnih smereh s konstantno hitrostjo. Med ploščama se nahaja nestisljiva tekočina. Na stiku medploščo in tekočino velja, da je tangencialna komponenta hitrosti enaka nič. Definiramo Reynoldsovoštevilo kot:

Re =Uh

ν,

kjer je U polovica relativne hitrosti obeh plošč, h je polovična razdalja med ploščama, ν pa je kinematičnaviskoznost. Pri majhnih Reynoldsovih številih imamo laminaren tok, ko Re zvišujemo, pa postane tokturbulenten. Hitrostno polje zapišemo v obliki u(r, t) = [u, v, w](x, y, z). Plošči se gibljeta s hitrostjou = ±1x, kjer so x, y in z enotski vektorji. Os y (pravokotna na plošči) zavzame vrednosti y ∈ [−1,+1],ostali dve osi sta neskončni, vendar ju v numeričnih izračunih nadomestimo s periodično celico dimenzijLx in Lz. Za tako celico veljajo robni pogoji za hitrostno polje tik ob ploščah u(x,±1, z) = [0,±1, 0].

3

Slika 1: Shematičen prikaz geometrije sistema. Plošči sta v oddaljenosti 2h, vsaka se giblje s hitrostjo Uv nasprotnih smereh.

Periodično domeno celice zapišemo z Ω = [0, Lx]× [−1,+1]× [0, Lz] = [Lx, 2, Lz]. Predpostavimo še, daje povprečje gradienta tlaka povprečeno po prostoru enako nič [7].

3.1 Navier-Stokesova enačbaTekočine ubogajo zakone mehanike kontinuov: ohranitev mase, energije in gibalne količine. Gibanjenestisljive tekočine opiše Navier-Stokesova enačba:

ρ

(∂u∂t

+ u · ∇u)

= −∇p + µ∇2u. (1)

Predpostavili smo, da je tekočina nestisljiva in homogena z viskoznostjo µ. Torej je gostota ρ konstantnapo celem območju in za vse čase t. Ohranitev mase zapišemo s kontinuitetno enačbo ∂ρ

∂t +∇ · (ρu) = 0.Sledi pogoj za nestisljivost tekočine:

∇ · u = 0.

Na tem mestu lahko omenimo dve najpogostejši tekočini: voda in zrak. Voda je skoraj nestisljiva.Relativna sprememba prostornine za vsak bar pritiska je manj kot 10−6. Zrak pa lahko obravnavamokot nestisljivo tekočino dokler so hitrosti veliko manjše kot hitrost zvoka v zraku (≈ 340 m/s). Enačbo1 delimo z gostoto ρ in prepišemo v brezdimenzijsko obliko

∂u∂t

+ u · ∇u = −∇p +1

Re∇2u.

Hitrost je normalizirana z U , dolžine so normalizirane z L, čas pa z L/U . Gostota je vključena v poljetlaka. Prej omenjena kinematična viskoznost je ν = µ

ρ . Za ravninski Couetteov tok lahko zamenjamo uz u + yx. Dobimo Navier-Stokesovo enačbo kot razliko (deviacijo) do laminarnega toka u = yx

∂u∂t

+ y∂u∂x

+ vx + u · ∇u = −∇p +1

Re∇2u. (2)

Razlika u zadošča Dirichletovim robnim pogojem ob stenah u(x,±1, z) = [0, 0, 0].Oglejmo si najpreprostejšo rešitev za hitrostno polje, ki ima le eno neničelno komponento, zanemarimo

še gradient pritiska. Navier-Stokesova enačba se poenostavi v obliko

∂2u

∂y2= 0.

Rešitev je linearen profil (slika 2), ki ga dobimo z dvakratno integracijo in upoštevanjem robnih pogojev[8].

3.2 Energija hitrostnega poljaZapisali bomo tri količine, ki jih lahko izračunamo iz celotnega hitrostnega polja: kinetično energijo E,disipacijo ali izgubo energije D in vloženo moč sten I. Periodična celica je diskretizirana s tako gostoto

4

Slika 2: Couetteov tok v eni dimenziji. Zgornja in spodnja stran se premikata s hitrostjo ±1. Rešitev jelinearni hitrostni profil. Lastni izračun.

mreže, da lahko opišemo vse strukture, ki nastanejo v hitrostnem polju. Energija se prenaša od največjeskale do najmanjše, kjer se nato disipira v notranjo. Temperatura se v tej simulaciji ne spreminja.

E(t) =1V

∫Ω

dx dy dz12|u + yx|2

D(t) =1V

∫Ω

dx dy dz |∇ × (u + yx)|2

I(t) = 1 +1

2A

∫A

dx dz

(∂u

∂y

∣∣∣∣y=1

+∂u

∂y

∣∣∣∣y=−1

),

kjer je V = 2LxLz volumen celice in A = LxLz površina stene. Normalizacije so izbrane tako, da veljaD = I = 1 za laminaren tok [7]. Za stacionarne rešitve velja, da sta disipacija in vložena mo v c stenenaki D = I. Primer odvisnosti disipacije D in vložene moči I lahko vidimo na sliki 10. Minimumdisipacije je v primeru laminarnega toka. Za ostale netrivialne rešitve in za turbulenten tok je disipacijave v cja. Energija se zmanjšuje zaradi viskoznosti, dodaja pa se skozi gibanje sten.

3.3 SimetrijeNa neskončnem področju brez robnih pogojev je Navier-Stokesova enačba invariantna na vsako 3D tran-slacijo, 3D rotacijo in inverzijo skozi izhodišče (r → −r, u → −u). Couetteov ravninski tok je invariantenpod dvema diskretnima simetrijama (σx, σz) in pod grupo translacije τ(lx, lz). Poglejmo, kaj naredijooperatorji σx, σx in σxz na koordinate in hitrostno polje:

σx[u, v, w](x, y, z) = [−u,−v, w](−x,−y, z)σz[u, v, w](x, y, z) = [u, v,−w](x, y,−z)

σxz[u, v, w](x, y, z) = [−u,−v,−w](−x,−y,−z).

Plošči omejita translacijsko simetrijo na dve dimenziji:

τ(lx, lz)[u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x + lx, y, z + lz).

Vse skupaj lahko zapišemo s podgrupo S, v kateri so rešitve ravninskega toka invariantne.

S = 1, s1, s2, s3,

kjer so s1 = τ(Lx/2, 0)σz, s2 = τ(Lx/2, Lz/2)σx in s3 = s1s2. Delovanje grupe S na hitrostno polje u jetako določeno:

s1[u, v, w](x, y, z) = [u, v,−w](x + Lx/2, y,−z)s2[u, v, w](x, y, z) = [−u,−v, w](−x + Lx/2,−y, z + Lz/2)s3[u, v, w](x, y, z) = [−u,−v,−w](−x,−y,−z + Lz/2).

Omenimo še grupo translacij za polovične dolžine celic T = 1, τx, τz, τxz, kjer so τx = τ(Lx/2, 0),τz = τ(0, Lz/2) in τxz = τxτz.

5

4 Invariantne rešitve ravninskega Couetteovega tokaNajpreprostejše invariantne rešitve so stacionarna stanja (oznaka EQ), ki so od časa neodvisna:

u(r, t) = uEQ(r),

in potujoči valovi uTW (oznaka TW), ki se gibljejo v ravnini [x, z] s konstantno hitrostjo c:

u(r, t) = uTW(r− ct), c = (cx, 0, cz).

Med rešitve prištevamo tudi periodične orbite. Označimo s F(u) Navier-Stokesovo enačbo 2 in f t korakenačbe v času:

∂u∂t

= F(u), f t = u +∫ t

0

dτF(u).

S temi oznakami še enkrat zapišemo vse tipe invariantnih rešitev

F(uEQ) = 0 stacionarno stanje uEQ

F(uTW) = −c · ∇uTW potujoč val uTW s hitrostjo cfTp(up) = up periodična orbita p s periodo Tp

fTp(up) = τpup relativno periodična orbita s periodo Tp in premikom τp = τ(lx, lz).

Potujoči valovi in relativno periodične orbite so dovoljene rešitve zaradi translacijske simetrije τ(lx, lz)(periodični robni pogoji v smereh x in z), za potujoče valove velja še robni pogoj c · y = 0 [7, 9].

4.1 3D vizualizacija ravninskega Couetteovega toka

Slika 3: Couetteov tok v treh dimenzijah [10].

Na sliki 3 vidimo trenutek v razvoju ravninskega toka v celici [Lx, 2, Lz]. Hitrostno polje (u, v, w) jeprikazano z vektorji in barvno lestvico. Vektorji imajo eno od koordinat nič glede na to, v kateri ravniniso izrisani. Barvna lestvica ponazarja komponento hitrosti u v smeri x. Zelena barva pomeni u = 0,rdeča/modra u = ±1.

Ravninski Couetteov tok je najpreprostejši med strižnimi tokovi. Pri zmernih Reynoldsovih številihse pojavijo vrtinci preprostih oblik, ki se raztezajo čez celotno območje med stenama. Vrtinčnost lahkovidimo na sprednji ploskvi. Vrtinci potiskajo tekočino z nizko/visoko hitrostjo od sten proti sredini.To povzroča proge tekočine z večjimi/manjšimi hitrostmi glede na povprečje. Posledica hitrih tekočinv bližini stene je povečanje upora v primerjavi z laminarnim tokom. Vložena moč, ki je potrebna zapoganjanje sten ravninskega toka, se poveča za faktor 3, če gre tok v turbulentno stanje.

Rešitve, ki bodo prikazane v tem seminarju, so izračunane pri [Lx, Ly, Lz] = [2π/1.14, 2, 4π/5]. Nu-merične simulacije so sicer pokazale, da je najmanjša celica, ki vzdržuje turbulenco za daljše časovneintervale, dimenzije [Lx, Ly, Lz] = [7π/4, 2, 6π/5]. Dolžina Lz = 4π/5 je izbrana kot kompromis medLz = 6π/5 in Lz = 3π/5. Lz = 6π/5 vzdržuje turbulenco dlje časa, vendar ima rešitve samo pri pod-vojeni periodi v smeri z. Lz = 3π/5 ima rešitve v osnovni periodi, ampak hitro končajo kot laminarentok.

6

(a) uLM (b) uLB (c) uUB (d) uNB

Slika 4: Rešitve ravninskega Couetteovega toka. (a) laminaren tok, (b) spodnja veja, (c) zgornja veja, (d)nova rešitev, prvič objavljena v [7]. Izračun za celico dimenzij [Lx, Ly, Lz] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400[10].

4.2 Prostorska diskretizacijaNumerične integracije Navier-Stokesovih enačb so narejene s programom Channelflow [12]. Ko rešu-jemo numerično parcialne diferencialne enačbe, so rešitve ponavadi v diskretizirani obliki. V primeruravninskega Couetteovega toka uporabimo spektralno diskretizacijo v prostorskih smereh. Hitrostnopolje razvijemo v produkt dveh Fourierovih vrst in Čebiševih polinomov

u(r, t) =J∑

j=−J

K∑k=−K

L∑l=0

3∑m=1

ujklm Tl(y) e2πi(jx/Lx+kz/Lz) xm,

kjer so Tl Čebiševi polinomi, (x1, x2, x3) = (x, y, z) so enotski vektorji. Razvoj v Fourierovo vrstoje pomemben tudi zaradi časovne zahtevnosti. Diskretna Fourierova tranformacija ima red časovnezahtevnosti O(N log N). Robni pogoji v normalni ravnini na stene so kombinacija Neumannovih (r.p.prve vrste y(a) = α) in Dirichletovih (r.p. druge vrste y′(a) = α) robnih pogojev. Tu so za bazo vzetiČebiševi polinomi. Mreža točk v normalni smeri y je določena z zvezo:

yj = cosπ j

Ny, j = 0, 1, . . . , Ny.

Razlog za to je lastnost Čebiševih polinomov

Tl(cos θ) = cos(l θ).

Tako lahko izvedemo transformacijo vrednosti posameznih točk v mreži v Čebiševe polinome prekodiskretne kosinusne transformacije, ki je poseben primer DFT. Druga prednost take izbire mreže pa je,da je bolj gosta v bližini sten, kjer se pojavljajo strukture toka na manjših skalah.

4.3 Ravnovesne rešitveNajpreprostejša rešitev je laminaren tok (slika 4(a)) in je stabilna za vsa Reynoldsova števila večja od nič.Prvi netrivialni rešitvi je izračunal M. Nagata leta 1990. Uporabil je znano rešitev Taylor-Couetteovegatoka (viskozna tekočina med dvema vrtečima se valjema). Neodvisno pa jih je ponovno izračunal F.Waleffe (2003). Poimenovani sta kot spodnja veja uLB in zgornja veja uUB. Analogijo z vejami uporabimozato, ker sta rešitvi ’rojeni’ v sedlasti bifurkaciji pri Re ≈ 218.5. Več o bifurkacijah v §4.6. Kmalu pobifurkaciji tvorita celo heteroklinsko povezavo, pri višjih vrednostih Re pa take povezave ni več. Rešitveso točne na približno 8 mest in so prikazane kot razlika do laminarnega toka. So stacionarne, čepravse hitrostno polje spreminja po vsej celici. Ker se s časom ne premikajo, po definiciji niso turbulentne.Periodična celica je diskretizirana na mreži velikosti 32× 35× 32.

4.4 Periodične orbiteZa izračun točne nestabilne periodične orbite je potrebno poskusiti 50 do 100 tisoč začetnih hitrostnihpolj z zadostno natančnostjo, da se eksponentno nestabilno stanje tekočine pojavi v skoraj enaki oblikipo določeni periodi, ki je seveda na začetku neznana. Dokler niso bile prve periodične rešitve izračunaneleta 2001, se je zdelo kaj takega popolnoma izven dosega [10].

7

(a) TW1 (b) TW2 (c) TW3

Slika 5: Potujoči valovi. (a) v smeri z, (b),(c) v smeri x. Izračun za celico dimenzij [Lx, Ly, Lz] =[2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400 [10].

(a) (b)

Slika 6: (a) Odvisnost disipacije D od Reynoldsovega števila Re. Z modro barvo sta označeni zgornjauUB in spodnja veja uLB, z rdečo pa uNB in njena spodnja veja. Ostale krivulje so rešitve, ki so bileizračunane v nadaljnem raziskovanju. Te rešitve v tem seminarju ne bodo obravnavane. Opisane pa sov [6]. (b) Vsota realnih delov nestabilnih lastnih vrednosti v odvisnosti od Re [6].

4.5 Potujoči valoviPrvi dve rešitvi za potujoče valove sta bili objavljeni leta 1997 (Nagata). Na sliki 5 vidimo tri hitrostnapolja TW1, TW2 in TW3 (ang. za traveling wave).

TW1 val je invarianten na operator s2 kar pomeni, da potuje v smeri z, komponenta hitrosti v smerix je nič, c = 0.00655z za Re = 400. Ima tudi majhno neničelno povprečno hitrost prav tako v smeriz. TW1 povzroča večino transporta tekočine brez gradienta pritiska v smeri pravokotno na gibanje sten.Ta val je bil najden iz vilaste bifurkacije rešitve uLB (slika 6(a), spodnja veja modre krivulje), zato ležiblizu uLB v faznem prostoru.

TW2 in TW3 sta oba invariantna na operator s1, torej potujeta v smeri gibanja sten (os x). Imatavečjo hitrost kot TW1: cTW2 = 0.3959x, cTW3 = 0.4646x.

4.6 BifurkacijeBifurkacija ali razcep se pojavi, ko se zaradi spremembe določenega parametra v sistemu, ki ga opazu-jemo, nenadno spremeni kvalitativno obnašanje sistema. V primeru Couetteovega toka lahko opazimobifurkacije pri spreminjanju vrednosti Reynoldsovega števila. Do spontanih bifurkacij brez spremembeRe števila ne pride.

Na sliki 6(a) vidimo odvisnost disipacije D od Re. To je projekcija iz 105 dimenzionalnega prostorana 2D. Vsaka krivulja je družina rešitev z zgornjo in spodnjo vejo. Začnejo se z bifurkacijo pri kritičnemštevilu Re. Prva bifurkacija pri Re = 218.5 ’rodi’ spodnjo in zgornjo vejo, ki ju je prvi izračunal Nagata(1990). Spodnja veja je stabilna čez mejo Re = 104. Kmalu po bifurkaciji ima uLB tri nestabilne lastnevrednosti in le eno na intervalu 270 ≤ Re ≤ 104. Zgornja veja uUB je stabilna za majhnen razpon Repo bifurkaciji.

8

Iz slike 6(b) pa lahko razberemo nestabilnost posamezne rešitve v odvisnosti od Re. Kot mero zanestabilnost uporabimo vsoto realnih delov nestabilnih lastnih vrednosti. Opazimo, da so spodnje vejemanj nestabilne kot njihove kopije v obliki zgornjih vej. Tudi z večanjem Re se spodnje veje nagibajo kmanjši nastabilnosti. Ker so zgornje/spodnje veje določene z mero disipacije, lahko potegnemo zaključek,da gresta manjša nestabilnost in manjša disipacija z roko v roki [6].

4.7 Lastne vrednosti/funkcije, (ne)stabilne mnogoterostiDinamiko v okolici ravnovesnih rešitev narekuje stabilnostna matrika, ki jo zapišemo kot

[DF ]mn =∂Fm

∂un.

Naj bo λ lastna vrednost in vEQ lastna funkcija (vektor) rešitve enačbe

DF |uEQv = λv

v ravnovesni rešitvi uEQ. Linearna razširitev v fazni prostor v = DF |uEQv okoli uEQ ima rešitev

v(t) = eλtvEQ.

Začetni pogoj u(0) = uEQ + εvEQ s pogojem ε|vEQ| 1 se razvije kot

u(t) = uEQ + εvEQeλt +O(ε2).

Linearno razširitev hitrostnega polja u(r,t) lahko dobimo z rekonstrukcijo hitrostnih polj iz ustreznihvektorjev v faznem prostoru. Perturbacije okoli uEQ vzdolž lastne funkcije vEQ se razširijo kot

u(r, t) = uEQ(r) + εvEQ(r)eλt +O(ε2).

Kompleksne lastne vrednosti in lastne funkcije (vektorji) morajo biti prepisani v obliko z realnimivrednostimi, da lahko naredimo pretvorbo iz vektorjev v faznem prostoru v hitrostno polje. Naj boλ = µ ± iω par kompleksno konjugiranih lastnih vrednosti, v = vr ± ivi pa so ustrezni lastni vektorji.Začetno hitrostno polje u(0) = uEQ + εvr se razširi kot

u(t) = uEQ + ε(vr cos ωt− vi sinωt)eµt +O(ε2).

Realni hitrostni polji vr in vi dobimo iz realnih vektorjev vr in vi [7].Na sliki 7 vidimo nekaj prvih nestabilnih lastnih vrednosti rešitev uLB (realna nestabilna lastna vre-

dnost), uUB(kompleksen par nestabilnih lastnih vrednosti) in uNB(realna in kompleksen par nestabilnihlastnih vrednosti).

Slika 7: Prve lastne vrednosti uLB, uNB in uUB v podprostoru grupe S (podpoglavje §3.3) [7].

Nestabilno (stabilno) mnogoterost rešitve uEQ bomo označevali z Wu(n)EQ (Wu(s)

EQ ). Nestabilna mnogo-terost W

u(n)EQ se bo nanašala na orbito infinitezimalne perturbacije rešitve uEQ vzdolž pripadajoče lastne

funkcije v(n)EQ in za realno lastno vrednost λ(n). Za kompleksen par lastnih vrednosti λ(n,n+1) rešitve uEQ

9

pa označimo z Wu(n,n+1)EQ , ki predstavlja orbito krožnice z infinitezimalnim radijem v ravnini okoli uEQ.

Ravnino napenjata lastna vektorja: realni v(n)r in imaginarni v(n)

i . Ta del nestabilne mnogoterosti jedvodimenzionalen. Obliko pa lahko določimo z izračunom seta trajektorij z začetnim pogojem

uEQ + ε(v(n)r cos θ + v(n)

i sin θ)

pri različnih vrednostih θ [7].

5 Geometrija prostora stanjV prejšnjem poglavju smo spoznali enega od načinov vizualizacije ravninskega toka (slika 3). Vendarima ta fizična predstava toka dve težavi. Prva je, da je težko razločiti stanja, ki so lahko zelo različna izdinamičnega vidika. Druga težava pa je, da je težko videti, če sta dve različni stanji morda povezani. Zaboljšo predstavo relacij med stacionarnimi rešitvami in periodičnimi orbitami ter tipičnimi turbulentnimitrajektorijami si bomo ogledali še en način vizualizacije v prostoru stanj. Zamislimo si 3D hitrostno poljev danem trenutku kot točko v faznem prostoru. V splošnem je ta prostor Navier-Stokesovih enačb ne-skončno dimenzionalen. V praksi pa je vedno aproksimiran z končno dimenzionalno mrežo točk. Gostotomreže izberemo tako, da zajamemo vse strukture v hitrostnem polju od največjih vrtincev do najmanjših,kjer se energija hitrostnega polja disipira v notranjo energijo. Za enojno natačnost (8 decimalk) izra-čunanih rešitev polno razvitih Navier-Stokesovih enačb zadošča 105 dimenzionalen prostor. Ker lahkoiz evolucije 3D hitrostnih polj prepoznavamo določene strukture (vrtinci, proge), lahko predpostavimo,da ne more biti vseh 105 koordinat enako pomembnih. Ali lahko konstruiramo tak koordinatni sistemv faznem prostoru, v katerem bi nekaj koordinat zajelo večino teh prepoznavnih struktur [10, 7]. Torejdobimo za časovno spreminjajoče se hitrostno polje trajektorije v faznem prostoru, za stacionarne rešitvepa točko.

5.1 Projekcija na 2D ali 3D prostorIdeja je, da si izberemo nekaj stanj, ki jih pogosto ’obišče’ turbulentni tok. Tok projiciramo na koordinatniokvir, ki ga konstruiramo iz ponavljajočih se stanj. Dobra izbira za ta stanja so na primer stacionarnerešitve. V tem primeru bo to zgornja veja uUB. Izkaže se, da je turbulentna dinamika ’ujeta’ mednestabilne mnogoterosti uUB, τxuUB, τzuUB in τxzuUB [11]. Projekcijo naredimo s pomočjo skalarnegaprodukta, ki ga zapišemo kot

(u,v) =1V

∫Ω

u · v dr.

V splošnem tvorimo ortonormalno bazo funkcij e1, e2, . . . , en iz seta linearno neodvisnih stanj in do-bimo trajektorijo v faznem prostoru

a(t) = (a1, a2, . . . , an, . . .)(t), an(t) = (u(t), en)

v en koordinatnem sistemu s pomočjo skalarnega produkta. u(t) je stanje tekočine ob nekem času t,ki ga predstavlja 105 dimenzionalni vektor. Projekcijo lahko predstavimo na 2D grafu ei, ej ali na 3Dgrafu ei, ej , ek.

Oglejmo si konkreten primer za stacionarno rešitev uUB. Set ortonormalnih funkcij, ki bazirajo nauUB in translacije za polovične dolžine celice lahko dobimo s štirimi nerazcepnimi upodobitvami grupeT = 1, τx, τz, τxz:

τx τz τxz

e1 = c1(1 + τx + τz + τxz)uUB S S S

e2 = c2(1 + τx − τz − τxz)uUB S A A

e3 = c3(1− τx + τz − τxz)uUB A S A

e4 = c4(1− τx − τz + τxz)uUB A A S,

10

(a) (b)

Slika 8: Fazni portret ravninskega Couetteovega toka za [Lx, Ly, Lz] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400. Stočkami so označena stacionarna stanja, z odebeljeno modro črto mnogoterost Wu

LB in njene translacije.Črne in rdeče trajektorije predstavljajo mnogoterost W

u(1,2)NB , zelene pa 2D mnogoterost Wu

UB, ki izhajaiz uUB [7].

kjer so cn konstante določene z normo ‖en‖2 = 1. Stolpci na koncu označujejo simetrijo vsakega baznegavektorja en na grupo T . Kot primer S v τx stolpcu pomeni τxen = en, A v τx stolpcu pa τxen = −en.Časovno evolucijo hitrostnega polja u lahko za ta primer zapišemo kot

a(t) = (a1, a2, a3, a4)(t), an(t) = (u(t), en).

Zaradi projekcije iz visokodimenzionalnega prostora na nizkodimenzionalen prostor se trajektorije vfaznem prostoru lahko tudi sekajo [7].

5.2 Fazni portretPrvi primer faznega portreta vidimo na sliki 8(a). Portret je rezultat projekcije iz 105 dimenzij na ravninoe1, e2 z zgoraj opisanim postopkom. Označena so stacionarna stanja uLM, uUB, uLB in uNB, ki je biloodkrito na novo. Ker sta bazna vektorja e1 in e2 simetrična na operator τx, se točke, ki so med sabo vrelaciji s τx (primer uLB in τxuLB), preslikajo v isto točko na portretu. Bazni vektor e2 je antisimetričenna operator τz kar pomeni, da se translacije za polovično dolžino celice v z smeri kažejo kot zrcalna slikavzdolž a2 koordinate.

Z debelo modro črto je označena nestabilna mnogoterost WuLB. Tvori nek okvir za trajektorije, ki

izhajajo iz uNB. Rešitev uLB ima eno nestabilno lastno vrednost, ki je realna. Iz tega sledi, da jemnogoterost Wu

LB enodimenzionalna. Obe veji WuLB končata kot laminaren tok. Ena od vej takoj, druga

pa po turbulentnem ’izletu’ v smeri uUB. Spodnja polovica mnogoterosti WuLB, ki izhaja iz τz translacije

uLB, je narisana le delno zaradi preglednosti faznega portreta.Rešitev uNB ima par kompleksno konjugiranih lastnih vrednosti. Mnogoterost W

u(1,2)NB je prikazana

na sliki 8(a) kot spirala trajektorij, ki izhajajo iz uNB. Dobimo presenetljiv rezultat. 2D površina Wu(1,2)NB

je omejena z 1D krivuljo WuLB.

Med uNB in uUB vidimo, da obstaja povezava. Tako povezavo med ravnovesnimi točkami imenujemoheteroklinska povezava. Heteroklinska povezava med uNB in uUB tvori mejo med trajektorijami, kikončajo neposredno kot laminaren tok in med trajektorijami, ki gredo prehodno skozi turbulenten tok.Za Re = 400 in celico velikosti [Lx, Ly, Lz] = [2π/1.14, 2, 4π/5] vse trajektorije iz različnih začetnihpogojev končajo kot laminaren tok. Iz 2D faznega portreta pa ni mogoče določiti ali heteroklinskapovezava poteka med uNB in uLB ali τxuLB.

Ko dodamo grafu 8(a) še tretjo koordinato a3, dobimo še boljši vpogled v dinamiko sistema. Na 3Dsliki 8(b) se tako jasno vidi, da poteka povezava med uNB in uLB. Bazni vektor e3 je antisimetričen naoperator τx. Koordinata a3 zato loči med uLB in τxzuLB. V 2D projekciji pa ležita eno na drugem. Fazniportret razkrije še en razcep mnogoterosti W

u(1,2)NB . Vendar ta ni posledica heteroklinske povezave med

11

uNB in katere od translacij uLB. Trajektorije se razhajajo v bližini τzuLB in τxzuLB, ampak se nobenane približa kateri od teh dveh točk. Prav tako pa se v nadaljevanju ne bližajo h kateri od mnogoterostiW

u(1,2)τzNB = τzW

u(1,2)NB in W

u(1,2)τxzNB = τxzW

u(1,2)NB . Geometrija W

u(1,2)NB je v tem področju precej zapletena.

Separacija trajektorij med τzuLB in τxzuLB namiguje, da bi morda lahko obstajala kakšna rešitev v temobmočju, vendar vsi začetni pogoji v končni fazi konvergirajo k τzuLB in τxzuLB. Jasno pa je, da jegeometrija W

u(1,2)NB oblikovana z nestabilnimi mnogoterostimi Wu

LB, WuτzLB in Wu

τxzLB.S tema dvema faznima portretoma smo prepoznali območja, ki sprožijo prehode proti kvalitativno

drugačnim tipom tokov [7].

6 Nadzor turbulenceV §4.6 je bilo že omenjeno, da ima spodnja veja uLB le eno nestabilno lastno vrednost za velik razponReynoldsovih števil. Oglejmo si stabilnost te rešitve bolj podrobno. Na sliki 9 je prikazana stabilnost

Slika 9: Nestabilna lastna vrednost uLB v odvisnosti od Re [13].

edine lastne vrednosti uLB na intervalu 270 ≤ Re ≤ 12 000. Najbolj nestabilna je pri vrednosti Re = 348,za večje Re pa pada. Pripadajoča lastna funkcija ohranja enake simetrije rotacije in zrcaljenja kot spodnjaveja, medtem ko za zgornjo vejo to ne velja in tvori nove bifurkacije pri povečevanju Re.

Spodnja veja uLB ima 1D nestabilno mnogoterost, ki razdeli lokalni fazni prostor na dva dela. Endel hitro konvergira k laminarni rešitvi, drug del pa gre v turbulentno stanje. To lahko vidimo tudi na

Slika 10: Disipacija D v odvisnosti od vložene moči I. Modra točka (1,1) je laminarna rešitev, zelenatočka (1.35,1.35) je uLB, rdeča točka (3.89,3.89) je zgornja veja uUB [13].

sliki 10, ki prikazuje dve trajektoriji. Obe imata začetek v bližini uLB na nestabilni mnogoterosti. Tokgre v eni smeri v laminarno stanje (zelena trajektorija), v drugi smeri pa zaide v turbulenco (modratrajektorija). S tem pa se precej poveča izgubljanje energije toka.

Nizka dimenzionalnost nestabilne mnogoterosti spodnje veje namiguje na nov pristop k nadzoru tur-bulence. Postopke za nadzor turbulence grobo razdelimo na dva dela. Prvi del preprečevanje zlomalinearno stabilnega laminarnega toka, drugi del pa je nelinearen turbulenten tok ’prisiliti’ nazaj v lami-naren tok. Nov postopek pa bi lahko bil, da tok držimo v ravnovesni spodnji veji s kontrolo nekaj njenihnestabilnosti. Upor bi bil nekje od 30% do 40% večji kot v laminarnem toku, vendar je to še vedno zelougodno, če primerjamo, kakšen upor povzroča turbulenten tok [13].

12

7 ZaključekV seminarju smo si lahko ogledali točne invariantne rešitve sistema Navier-Stokesovih enačb za primerravninskega Couetteovega toka. Ravnovesne rešitve, potujoči valovi in periodične orbite obsegajo Ho-pfovo vizijo o repertoarju ponavljajočih se vzorcev v turbulentni dinamiki. Z novo metodo vizualizacijetoka v faznem prostoru je bila odkrita tudi nova rešitev in prva heteroklinska povezava med dvemanetrivialnima rešitvama.

Na prvi pogled morda izgleda fazni portret turbulentne dinamike precej zapleteno. Ko ga razčlenimo,pa postane veliko bolj jasen. Sestavljen je iz bližnjih obhodov točnih koherentnih stanj z vmesnimiprehodi skozi turbulentna stanja. Ta opis ponuja napoved transportnih lastnosti tekočin, na primerceloten pretok in povprečen upor na stenah. Mogoče je sklepati, da bodo fazni portreti v kompleksnejšihgeometrijah bolj zapleteni. Prej pa je potrebno najti še rešitve. Rešitve v drugih geometrijah so znanenpr. v Taylor-Couetteovem toku, kjer je tekočina ujeta med dvema valjema.

Izračun točnih lastnih funkcij in nestabilnih mnogoterosti pa obeta nov način kontrole turbulence vstrižnih tokovih. Perturbacije v lastnih smereh lahko izkoristimo za stabilizacijo toka v željeno stanje, kini nujno laminarno.

Cilj za prihodnost je globalni opis turbulentnega toka. Zaenkrat so vsi numerični izračuni temeljilina majhnih periodičnih celicah, ki komaj še vzdržujejo turbulenten tok.

Literatura[1] A. N. Kolmogorov: The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large

Reynolds numbers, Proc. R. Soc. Lond. 434, 1890 9-13, (1991).

[2] E. Hopf: A mathematical example displaying features of turbulence, Comm. Appl. Math. 1, 303-322,(1948).

[3] S. Kline, W. C. Reynolds, F. A. Schraub, P. W. Rundstadler: The structure of turbulent boundarylayers, J. Fluid Mech. 30, 741-773, (1967).

[4] M. Nagata: Three-dimensional finite-amplitude solutions in plane Couette flow: bifurcation frominfinity, J. Fluid Mech. 217, 519-527, (1990).

[5] M. Nagata: Three-dimensional traveling-wave solutions in plane Couette flow, Phys. Rev. E 55,2023-2025, (1997).

[6] J. F. Gibson, J. Halcrow & P. Cvitanović: Equilibrium and traveling-wave solutions of plane Couetteflow, arXiv:0808.3375v2 (2008).

[7] J. F. Gibson, J. Halcrow & P. Cvitanović: Visualizing the geometry of state-space in plane Couetteflow, J. Fluid Mech. 621, 365-376, arXiv:0705.3957 (2009).

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Couette_flow (15. 3. 2012)

[9] J. Halcrow: Geometry of turbulence: An exploration of the state-space of plane Couette flow, Schoolof Physics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, ZDA, (2008).

[10] http://www.chaosbook.org/tutorials/ (20. 3. 2012)

[11] J. F. Gibson, J. Halcrow, D. Viswanath & P. Cvitanović: Heteroclinic connections plane Couetteflow, arXiv:0808.1865v1 (2008).

[12] J. F. Gibson: Channelflow: spektralni simulator Navier-Stokesovih enačb, www.channelflow.org.

[13] J. Wang, J. F. Gibson & F. Waleffe: Lower branch coherent states in shear flows: transition andcontrol, Phys. Rev. Lett. 98(20), arXiv:physics/0703072v1 (2007).

13