MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI

1

Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije.

parcialna diferencialna enačba (2. reda)

diferencialna enačba za y kot funkcijo x

diferencialna enačba 2. reda

diferencialna enačba 3. reda

Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe

Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa.

y xy

2 2y y y x

2 2yx y y e xy

xx yz z x

DIFERENCIALNE ENAČBE

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI

2

Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0 za vse x na nekem definicijskem območju.

F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda

2

2

2 2 2

2 2 22

2

( ) , je rešitev diferencialne enačbe

ker je

x

x x xxx

y x e y xy

e e e

Enačba mora biti izpolnjena za vse x na nekem intervalu.

2

3

( ) ,

2

rešitev diferencialne enačbe

čeprav je za nekatere vrednosti

n

iy x x y xy

x x x

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI

3

je rešitev enačbe

je tudi rešitev enačbe

je prav tako rešitev zgornje enačbe...

Velja: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev, ki je odvisna od n parametrov.

( )y x x

( ) xy x x e

( ) xy x x xe

2 2y y y x

2 2y y y x

2 2       ( )

Splošna rešitev diferencialne enačbe je običajno odvisna od nekaj parametrov.

Na primer, vse rešitve enačbe so oblike ,

kjer sta in poljubni realni tevil

x xy y y x y x x Ae Bxe

A B š . i

Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno.

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN

4

GEOMETRIČNI POMEN DIFERENCIALNE ENAČBE

y=y (x) je rešitevenačbe y’ =f (x,y)

smerni koeficient tangente na grafrešitve v točki x0 je enak f (x0,y (x0))

funkcija f(x,y) določa polje smeri:pri vsaki točki (x,y) z majhno puščico označimo smer s koeficientom f(x,y).

f(x,y)=x-y

krivulja, ki je v vseh svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN

5

Polje smeri, določeno s f(x,y)=x2-y2+1

in nekaj rešitev pripadajoče diferencialne enačbe. Vse rešitve imajo skupno asimp-toto, t.j. trend.

Polje smeri, določeno s f(x,y)=-y-sin3x. Rešitve se za x - malo razlikujejo, za x + pa povsem divergirajo.

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE

6

Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema.

y(0)=C, torej je C ravno začetna količina opazovane snovi

Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kT=ln 2

Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo

na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj

časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)?

y=y(t) količina snovi v trenutku t

y’=-ky k je sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k =3.83 10-12 s-1)

ln ktdy dy dyky k dt k dt y kt c y Ce

dt y y

314 5

12

ln 0.51083 5 133368146214 4230

3.83 10Za C: s letkte t

k

Razpolovna doba 14C je (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let.

FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE

7

Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar kov dva neutronanadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno.

kozmični žarki

Rastline absorbirajo CO2 vbiosfero. Razmerje med 12C in 14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi.

Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C

in 14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

stopnja radioaktivnosti

0 let 5730 let 11460 let 17190 let

starost

DATIRANJE S 14C

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE PROBLEM ZAČETNE VREDNOSTI

8

Pri diferencialnih enačbah obravnavamo dva tipa nalog:

enačba

začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekaterih točkah predpisane funkcijske vrednosti ali morda vrednosti odvodov

začetni problem

2y y 2( ) xy x Ae

iskanje splošne rešitve

splošna rešitev

2 2y y y x ( ) x xy x x Ae Bxe

rešitev

2

(0) 3

y y

y2( ) 3 xy x e

2 2

(0) 0

(0) 2

y y y x

y

y

( ) xy x x xe

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI

9

DIFERENCIALNE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI

V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki

nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami

( )( ) ( )

( ) ali

u xv y y u x y

v y

2 0xy y

yy x

1

2

y

y x

21y y2

11

y

y

2 1xyy x21 x

yyx

y x y

1xy y xy

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI

10

Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami

implicitna oblika splošne rešitve

U(y) primitivna funkcija za u(y)

V(x) primitivna funkcija za v(x)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u y y v x U y V x U y V x C

Praktično navodilo: v enačbi pišemo ter prestavimo vse na eno in vse na drugo stran.

Nato vsako stran posebej integriramo in eni od njih prištejemo integracijsko konstanto.

dyy x ydx

2 22 0x y y 2 22 0dy

x ydx 2 22

dy dx

y x

2 22

dy dx

y x

1 1

2C

y x( )

2( 1)

xy x

Cx

( ) , V xy Ae A

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI

11

spremenljivk se ne da ločiti!

' ( )y v x y

( )'( ) ln ( ) C V xyv x y V x C y e e

y

'y x y

1

Vpeljemo novo spremenljivko u x y

u y1u u

1 ln 1 11

xdu duu dx u x C u Ce

dx u1xy Ce x

Pogosto srečamo enačbe, pri katerih je odvod sorazmeren funkcijski vrednosti, vendar se sorazmernostni faktor odvisen od x.

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI

12

Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami

0 0

( ) ( )

( )

u y y v x

y x y0 0

( ) ( )

y x

y x

u y dy v x dx

21

(1) 2

xyy x

y

2

2 1

1y x

xydy dx

x

2 2

2 1

ln2 2

y x

y xx

2 22 21

2 ln 2ln 52 2 2

y x

x y x x