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Didattica della Matematica per laScuola Secondaria di Primo Grado

Giulio G. Giusteri

Dipartimento di Matematica e Fisica – Universita Cattolica del Sacro Cuorehttp://www.dmf.unicatt.it/∼giusteri/

Primo incontro – 1 aprile 2014

Giulio G. Giusteri (Univ. Cattolica) Matematica nella Secondaria di Primo Grado 1 aprile 2014 1 / 28

Introduzione

Obiettivi

Usare bene il tempo a nostra disposizione

Stimolare la riflessione su cio che insegniamo

Presentare alcune attivita riproponibili in classe

Proporre un approccio culturale alla matematica

Uscire vivi da questa full immersion


Introduzione

Obiettivi







Introduzione

Obiettivi







Introduzione

Obiettivi







Introduzione

Obiettivi







Introduzione

Struttura dell’incontro

Questo primo incontro si articola in 4 parti:

1 questionario introduttivo (∼30 minuti);

2 presentazione di alcuni punti chiave (∼30 minuti);

3 laboratorio di logica (∼60 minuti);

4 laboratorio di topologia (∼90 minuti).


Parte prima

Questionario introduttivo

L’obiettivo e di fare un po’ di brainstorming sui temi del corso.

Alcune riflessioni sulle risposte verranno presentate nel secondo incontro.

Indicazioni per la compilazione:

il questionario e anonimo e si consiglia vivamente di esprimere lapropria opinione senza temere giudizi di alcun tipo;

ci si puo confrontare con i vicini circa le risposte date o da dare;

rispondere utilizzando la porzione di foglio bianca nei dintorni delledomande.


Parte seconda

Reverse engineering

Consideriamo alcuni fatti relativi agli studenti universitari dei corsi dimatematica:

1 non hanno un’idea adeguata di che cosa li aspetti;

2 fanno un uso un tantino distorto della memoria;

3 mettono in atto automatismi talvolta dannosi;

4 vanno in crisi quando non ci sono algoritmi da applicare;

5 mancano di fantasia matematica;

6 non possiamo costringerli a capire cio che insegniamo loro.


Parte seconda

Che cosa e matematica?

Consideriamo i corsi di settore seguiti da studenti di matematica:

Algebra - Analisi matematica I - Geometria I - Geometria II -Complementi di geometria - Analisi matematica II - Complementi di analisimatematica - Meccanica razionale - Analisi numerica -Statistica matematica I - Statistica matematica II - Sistemi dinamici -Logica e teoria degli insiemi - Meccanica analitica - Istituzioni di algebrasuperiore - Istituzioni di analisi superiore - Istituzioni di geometriasuperiore - Teoria degli anelli - Topologia e geometria differenziale - Analisicomplessa - Teoria della misura - Teoria dei giochi - Processi stocastici -Istituzioni di fisica matematica - Istituzioni di analisi numerica - Ricercaoperativa


Parte seconda


Evidenziamo i corsi con argomenti di cui avevano gia sentito parlare:

Algebra - Analisi matematica I - Geometria I - Geometria II -Complementi di geometria - Analisi matematica II - Complementi di analisimatematica - Meccanica razionale - Analisi numerica -Statistica matematica I - Statistica matematica II - Sistemi dinamici -Logica e teoria degli insiemi - Meccanica analitica - Istituzioni di algebrasuperiore - Istituzioni di analisi superiore - Istituzioni di geometriasuperiore - Teoria degli anelli - Topologia e geometria differenziale - Analisicomplessa - Teoria della misura - Teoria dei giochi - Processi stocastici -Istituzioni di fisica matematica - Istituzioni di analisi numerica - Ricercaoperativa


Parte seconda


Le Indicazioni nazionali per il curricolo e gli argomenti di matematicaindicati per la scuola secondaria di primo grado (considerando anche levecchie versioni, talvolta prezionse, di tali documenti) enfatizzano moltouna visione della matematica come artigianato del calcolo, pur lasciandoampi spazi di manovra (almeno idealmente) rispetto al come presentare einsegnare i vari argomenti.E indubbiamente necessario apprendere quelle nozioni e competenze chesono di aiuto nella vita quotidiana (imparare a far di conto), ma nonbisogna dimenticare la portata culturale di una matematica che ediventata strumento interpretativo del mondo, avendo preso il postoche la logica aristotelica rivestiva nella filosofia naturale, e creativitaapplicata, essendo di supporto a tutti i moderni avanzamenti tecnologici.Alla luce di cio, e importante dare ai ragazzi un’idea della matematica inprospettiva culturale, ed educarli ad un uso creativo dei processi mentaliconnessi con la matematica, e non solo all’applicazione di utili algoritmi incontesti pratici.


Parte seconda

Che cosa mi devo ricordare?

I fatti che e indispensabile ricordare sono pochi.

Ricordare molti fatti rende piu veloci nell’esecuzione dei calcoli, manon necessariamente piu precisi.

E fondamentale che la memoria non sostituisca la comprensione.

Non si puo ricordare cio che non e stato ancora scoperto.

Non tutti abbiamo la stessa capacita mnemonica, ma tutti neabbiamo abbastanza per ricordare cio che serve.


Parte seconda

Automatismi viziosi

limx→0

sin x

x= sin . . . no comment . . .

Consideriamo il seguente esperimento (fatto davvero).Esercizio: risolvere l’equazione 1 = xMeta classe: x = 1Quasi meta classe:

1 = x ⇒ −x = −1 ⇒ −1 · (−x) = −1 · (−1) ⇒ x = 1

Tre persone:

1 = x ⇒ −x = 1 ⇒ −1 · (−x) = 1 · (−1) ⇒ x = −1

Nessuno: 1 = x (che e la risposta piu sensata, a mio parere)


Parte seconda

Automatismi viziosi

limx→0

sin x


Consideriamo il seguente esperimento (fatto davvero).Esercizio: risolvere l’equazione 1 = x

Meta classe: x = 1Quasi meta classe:

1 = x ⇒ −x = −1 ⇒ −1 · (−x) = −1 · (−1) ⇒ x = 1

Tre persone:

1 = x ⇒ −x = 1 ⇒ −1 · (−x) = 1 · (−1) ⇒ x = −1



Parte seconda

Automatismi viziosi

limx→0

sin x


Consideriamo il seguente esperimento (fatto davvero).Esercizio: risolvere l’equazione 1 = xMeta classe: x = 1

Quasi meta classe:

1 = x ⇒ −x = −1 ⇒ −1 · (−x) = −1 · (−1) ⇒ x = 1

Tre persone:

1 = x ⇒ −x = 1 ⇒ −1 · (−x) = 1 · (−1) ⇒ x = −1



Parte seconda

Automatismi viziosi

limx→0

sin x



1 = x ⇒ −x = −1 ⇒ −1 · (−x) = −1 · (−1) ⇒ x = 1

Tre persone:

1 = x ⇒ −x = 1 ⇒ −1 · (−x) = 1 · (−1) ⇒ x = −1



Parte seconda

Automatismi viziosi

limx→0

sin x



1 = x ⇒ −x = −1 ⇒ −1 · (−x) = −1 · (−1) ⇒ x = 1

Tre persone:

1 = x ⇒ −x = 1 ⇒ −1 · (−x) = 1 · (−1) ⇒ x = −1



Parte seconda

Automatismi viziosi

limx→0

sin x



1 = x ⇒ −x = −1 ⇒ −1 · (−x) = −1 · (−1) ⇒ x = 1

Tre persone:

1 = x ⇒ −x = 1 ⇒ −1 · (−x) = 1 · (−1) ⇒ x = −1



Parte seconda

Automatismi virtuosi

5723 = 5× 103 + 7× 102 + 2× 101 + 3× 100

a = b ⇔ b = a

x2 − 7 = 0

c2 − 7 = 0

?2 − 7 = 0

B2 − 7 = 0

♥2 − 7 = 0

]2 − 7 = 0

♣2 − 7 = 0

. . .

sono tutte espressioni legittime equivalenti!


Parte seconda


5723 = 5× 103 + 7× 102 + 2× 101 + 3× 100

a = b ⇔ b = a

x2 − 7 = 0

c2 − 7 = 0

?2 − 7 = 0

B2 − 7 = 0

♥2 − 7 = 0

]2 − 7 = 0

♣2 − 7 = 0

. . .



Parte seconda


5723 = 5× 103 + 7× 102 + 2× 101 + 3× 100

a = b ⇔ b = a

x2 − 7 = 0

c2 − 7 = 0

?2 − 7 = 0

B2 − 7 = 0

♥2 − 7 = 0

]2 − 7 = 0

♣2 − 7 = 0

. . .



Parte seconda

Algoritmi pericolosi

Consideriamo la moltiplicazione 43× 21 eseguita in colonna.

4 3 ×2 1 =

4 3 +8 6 / =

9 0 3

oppure

4 3 ×2 1 =

4 3 +8 6 0 =

9 0 3

L’idea dietro l’algoritmo e la seguente:

43× 21 = 43× (2× 10 + 1)

= 43× (1 + 2× 10) = 43× 1 + 43× 2× 10 = 43 + 860 = 903 ,

e la seconda scrittura in colonna la riflette senz’altro meglio.


Parte seconda

Fantasia matematica

Nel apprendere la matematica devono formarsi in noi degli schemi mentali,ed il rigore del ragionamento logico si appoggia su di essi per dispiegarsi.

Tuttavia, tali schemi non devono diventare prigioni per la nostra creativita.Ricordiamo la frase di Picasso:“A dodici anni dipingevo come Raffaello, pero ci ho messo tutta una vitaper imparare a dipingere come un bambino”.

E dunque compito di chi insegna vigilare su quali schemi induce nellamente di chi apprende, perche siano al contempo funzionaliall’applicazione pratica della matematica e allo sviluppo e fruizione dellastessa come fatto culturale.


Parte seconda

Il limite invalicabile

non possiamo forzare la comprensionedi cio che insegniamo

Possiamo forzare (purtroppo o per fortuna?) la memorizzazione di fatti el’attivazione di automatismi, e siamo spesso tentati di valutare questirisultati invece della comprensione reale (anche all’universita!).

E giusto e necessario far memorizzare nozioni e attivare automatismi, madobbiamo vigilare sulla qualita di essi, perche siano di stimolo allacomprensione e di supporto all’applicazione della matematica.

Come sempre, la fretta e cattiva consigliera: ogni persona ha tempi dicomprensione diversi, ma spesso bisogna fare i conti con tempi “tecnici”ristretti. Bisogna accuratamente selezionare cio che conta di piu.


Parte terza

Laboratorio di logica

Setup sperimentale:

lavoro a piccoli gruppi;

presentare piu di un problema per volta;

evitare assolutamente di fornire indizi;

lasciare un tempo adeguato: chi non trova una soluzionesoddisfacente deve essere fermato quando e propenso ad arrendersi;

fornire le soluzioni senza spiegazione ad ogni gruppo di problemi;

far presentare le spiegazioni alla fine, da chi ha trovato una rispostasoddisfacente, integrando ove necessario.


Parte terza


Finalita:

sviluppare l’automatismo:

un fatto e il suo contrario si escludono a vicenda;

allenare la capacita di tenere simultaneamente conto di fatti correlati;

allenare la capacita di trarre conseguenze logiche;

stimolare la costruzione creativa di scenari coerenti con i dati;

allenare le abilita logiche al di fuori del contesto della logica formale.


Parte terza


Antipasti per la mente

1) Indovinello che si basa sulla capacita di immedesimarsi nei personaggi eapplicare un ragionamento logico nella finzione.2) Esempio semplice della tipologia escludiamo l’impossibile.3) Esempio di indovinello che richiede l’esplorazione fantasiosa di scenari el’individuazione di una spiegazione minimale di tutti i fatti. Anche se non sigiunge ad una risposta soddisfacente si ha un buon esercizio di creativita.

Cappelli e nastri al Math Show

1) Esempio complesso di livelli “inscatolati” di finzione: bisogna ragionarecome il concorrente cieco che cerca di ragionare come gli altri concorrenti.2) Esempio molto complesso (un po’ troppo per i ragazzi, forse. . . ) in cuibisogna dedurre dai dati che cosa possono dedurre i personaggi.


Parte terza


Affaristi e Macchinisti

Esempio paradigmatico di insieme coerente, ma abbastanza ampio, di dati,da cui bisogna dedurre un completamento delle informazioni (famoso nelgenere l’indovinello di Einstein).Spesso conviene risolvere questo tipo di esercizi compilando una tabellacon i dati forniti e cercando di dedurre dalle informazioni date che cosa vanelle caselle vuote della tabella.

Il testamento di Caliban

Simile al precedente, ma con l’aggiunta di un’analisi della ridondanza delleaffermazioni. Questo introduce una difficolta significativa e dovrebberichiedere un po’ di aiuto.


Parte terza


Numeri ignoti

Esempio in cui bisogna seguire un ragionamento progressivo. Utile ancheinscenare lo scambio di battute.

Sfere nell’urna

Esempio della tipologia trucco senza trucco. Si basa sull’analisi di qualieffetti sono o non sono prodotti sul sistema dalle operazioni fatte. Qui nonc’e l’elemento della finzione, ma allena il procedimento analitico tipicodella matematica.


Parte quarta

Laboratorio di topologia

Finalita:

introdurre un concetto di equivalenza meno “rigido” della congruenzageometrica;

allenare la capacita di identificare proprieta distintive di classi dioggetti;

stimolare i processi di immaginazione matematica;

far toccare con mano qualcosa che e matematica;

introdurre informazioni rigorose in un contesto di gioco.


Parte quarta


Setup sperimentale:

organizzare piccoli gruppi, anche se i primi esercizi saranno individuali;

proporre una alla volta le varie attivita;

evitare di presentare i concetti e le classificazioni astratte, lasciandointerpretare ai ragazzi le proprieta che osservano;

proporre al termine di gruppi omogenei di esercizi una sintesi delleproprieta osservate coinvolgendo i ragazzi nella loro formulazione;

lasciare spazio a fasi di gioco creativo dei ragazzi.


Parte quarta


Lavoreremo con:

Oggetti unidimensionali: filiformi.

Oggetti bidimensionali: sottili.

Oggetti tridimensionali: voluminosi.

Tutti realizzati nello spazio tridimensionale.


Parte quarta


Lavoreremo con:






Parte quarta

Oggetti unidimensionali

L’obiettivo di questa prima parte e quello di familiarizzare conl’equivalenza topologica.

Due oggetti sono equivalenti se possono essere sovrapposti mediante unadeformazione.

Segmenti e anelli non sono equivalenti perche non riesco a sovrapporli, eper ottenere uno dall’altro devo tagliare o incollare.

Una proprieta concreta che stabilisce se un filo e aperto (segmento) ochiuso (anello) e che possa o meno essere sfilato da un altro anello senzaromperlo.


Parte quarta


Lavoreremo con:






Parte quarta

Oggetti bidimensionali

In questa seconda parte esploriamo l’equivalenza topologica tra superficipiane e tridimensionali.

Studiamo un modo operativo per capire se una superficie ha due facce eper capire se due punti giacciano sulla medesima faccia o no.

Introduciamo la strisca di Mobius come esempio di superficie con unafaccia sola.

Osserviamo che superfici con una o due facce non sono equivalenti perchenon posso deformare una nell’altra senza fare tagli e incollature.


Parte quarta


Lavoreremo con:






Parte quarta

Oggetti tridimensionali

Qui continuiamo ad esplorare l’equivalenza topologica, introducendo l’ideache a distinguere oggetti non equivalenti sia il numero di buchi.

Per capire quanti buchi ha un oggetto devo capire quanti anelli nonequivalenti posso appendervi.

Due oggetti sono equivalenti se posso ottenere l’uno dall’altro senzaaggiungere o far sparire buchi.

Qui possiamo lasciar lavorare un po’ la fantasia e osservare che coseapparentemente molto diverse sono topologicamente equivalenti.


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