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TORINO , APRILE 2011

COMPENDIO

DI

ANALISI MATEMATICA

E

COMPLEMENTI DI ALGEBRA

di BART VEGLIA

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SUCCESSIONI

Un insieme di numeri reali, ordinato, è numerabile quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell’ insieme e la serie dei numeri naturali interi a1 a2 a3 a n an è il termine generico dell’insieme.

Tutti i termini dell’ insieme si possono ottenere dal termine generico sostituendo alla n il numero corrispondente al posto occupato dal termine che si vuole determinare.

Le progressioni aritmetiche e geometriche sono degli insiemi ordinati numerabili.

I termini generici delle progressioni sono, rispettivamente:

a n = a 1 + (n-1)d e an = a1 q(n-1)

Dicesi successione un insieme ordinato numerabile di numeri reali i cui termini obbediscono ad una ben individuata legge di formazione. Successioni convergenti. Al crescere di n il corrispondente termine della successione si avvicina sempre più ad un numero finito λ: lim an = λ an n�∞

λ _____________ ______________-n Esempio di successione convergente è la successione neperiana di termine generico

an =(1+ 1/n)

n lim ( 1 + 1/n)n = e

n�∞

Successioni divergenti. Al crescere di n il corrispondente termine della successione dventa sempre più grande in valore assoluto tendendo a +∞ o a -∞ lim an = ± ∞ an n�∞

n +∞

an _____________________n -∞ _

Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari Le successioni non regolari si dicono oscillanti Le successioni non convergenti e non divergenti si dicono indeterminate (non esiste il lim an ) n�∞

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Una successione si dice monotòna generalmente crescente (o generalmente decrescente) se ogni termine risulta ≥ ( oppure ≤ ) al termine che lo precede. Successione monotòna generalmente crescente: a1 ≤ a2 ≤ ……….≤ an ≤ an+1

Successione monotòna generalmente decrescente: a1 ≥ a2 ≥………..≥ an ≥ an+1

FUNZIONI Una grandezza che può assumere diversi valori numerici si chiama variabile Una grandezza i cui valori numerici non cambiano si chiama costante Una funzione è una relazione che fa corrispondere ai valori arbitrari di una variabile indipendente (x) determinati valori di una variabile dipendente (y) Se ad ogni valore della variabile indipendente (x) corrisponde un solo valore della variabile dipendente (y), la funzione si dice univoca ( o monodroma o monotòna ) Se i valori corrispondenti sono più di uno la funzione si dice polivoca ( o polidroma ) Se sono infiniti la funzione si dice infinitivoca. Si dice in forma esplicita la funzione del tipo y = f(x) ;si dice in forma implicita la funzione del tipo F(x,y) = 0 Si dice algebrica una funzione se in forma implicita ha la forma di un polinomio Sono algebriche le funzioni razionali (intere o fratte) e irrazionali (intere o fratte) Si dicono trascendenti le funzioni goniometriche, logaritmiche ed esponenziali Il grado di una funzione algebrica è quello del polinomio che corrisponde alla funzione ridotta in forma implicita: Ad es, y = x/(x3 – b ) cioè x3y + by – x = 0 è di 4° grado. Se y = f(t) e t = g(x) la funzione y = f [g(x)] è detta funzione composta Una funzione sotto forma implicita può essere esplicitata in y=f(x) e x=g(y) Queste due funzioni si dicono inverse l’una dell’altra Le funzioni f(x) e 1/f(x) si dicono reciproche Una funzione monotòna è invertibile Una funzione non monotòna non è invertibile Una funzione è positiva in [a,b] se tra a e b il suo diagramma è tutto nel semipiano y>0 Una funzione è negativa in [a,b] se tra a e b il suo diagramma è tutto nel semipiany<0

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Una funzione si dice pari ( o simmetrica ) se per ogni x appartenente all’insieme di esistenza è: f(-x) = f(x) ( Ad es. y=x2 + x4 ) f(-x) f(x)

( Il diagramma della funzione è simmetrico rispetto all’asse y ) -x x Una funzione si dice dispari ( o antisimmetrica ) se per ogni x, appartenente all’insieme di esistenza, è: f(x) f(-x) = -f(x) (Ad es. y=x3 + 2x) x x ( Il diagramma della funzione è simmetrico rispetto all’origine ) f(-x) Una funzione si dice periodica se esiste un valore p (detto periodo) tale che per ogni x, appartenente all’insieme di esistenza, sia: f(x) = f(x + p) f(x) f(x+p) x x+p p DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Si chiama dominio o insieme di definizione o insieme di esistenza di una funzione l'insieme dei valori della variabile indipendente x che fanno assumere alla variabile dipendente y valori reali e finiti Funzioni algebriche Le funzioni razionali intere hanno come dominio tutti i numeri reali Le funzioni razionali fratte hanno come dominio tutti i numeri reali che non annullano il denominatore Le funzioni irrazionali hanno come dominio

- se le radici hanno indici dispari: tutti i numeri reali tranne quelli che rendono nulli gli eventuali denominatori;

- se le radici hanno indici pari: tutti i numeri reali che rendono non negativi i relativi radicandi

Funzioni trascendenti Le funzioni goniometriche sen x e cos x hanno come dominio tutti i numeri reali; la funzione tg x ha come dominio tutti i numeri reali che rendono l'argomento ≠ (π/2)+kπ Le funzioni logaritmiche hanno come dominio tutti i numeri reali che rendono > 0 gli argomenti dei log Le funzioni esponenziali a base ed esponente reali hanno come dominio tutti i numeri reali che rendono > 0 le basi delle potenze CODOMINIO DI UNA FUNZIONE Si chiama condominio di una funzione l’insieme dei valori assunti dalla funzione stessa. Ad es. per la funzione y = x2 dominio sono i numeri reali; condominio è una parabola

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LIMITI Si dice limite di una funzione y = f(x) al tendere di x a xo , nell'intervallo di definizione della funzione, il valore al quale la funzione stessa si avvicina man mano che la x assume valori sempre più vicini ad xo ( dove xo può essere un numero positivo o negativo, oppure zero, oppure ∞ ) Dicesi punto di accumulazione di un insieme un punto xo tale che ,stabilito un suo intorno, cada in esso almeno un punto dell'insieme diverso da xo

Es. L’insieme dei numeri pari non ha punti di accumulazione. Infatti se si considera l’intorno (-1;+1) in esso non compare nessun punto dell’insieme. Invece ogni punto dell’insieme dei numeri reali è un punto di accumulazione perché, comunque si scelga l’intorno, sono infiniti i numeri reali che cadono in esso. y 1°) Limite finito quando la x tende ad un num ero finito λ + ε lim f(x) = λ y =f(x)

x�xo f(xo) = λ Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero ε > 0, piccolo a piacere, si può de- f(x) terminare un intorno di xo ( xo - δ ; xo + δ ) tale λ − ε che per ogni x, appartenente all'intorno, risulti sod- disfatta la disequazione (fig. 1) Ο xo−δ x xo xo+δ | f(x) - λ | < ε ossia fig 1

λ - ε < f(x) < λ + ε N.B. In alcuni casi non esiste il valore della f(x) per x = xo mentre invece in xo ne esiste il limite Se xo non è un punto di accumulazione il limite per x� xo non esiste Nel caso particolare di λ = 0 la funzione si dice infinitesima in xo 2°) Limite finito quando la x tende all' infi nito y lim f(x) = λ x�∞ λ + ε Si ha questo limite quando in corrispondenza di un ar- bitrario numero ε > 0, piccolo a piacere, si può deter- f(x) minare un numero N > 0 tale che per ogni |x| > N λ s sia soddisfatta la disequazione ( fig 2 ) λ | f(x) - λ | < ε ∞ cioè O N x λ - ε < f(x) < λ + ε fig 2 N.B. Se x > N si ha lim f(x) = λ ( fig 3 ) x�+∞

Se x < - N si ha lim f(x) = λ ( fig 4 ) x�-∞

Nel caso particolare di λ = 0 la funzione si dice infinitesima all'infinito

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y y λ λ f(x) f(x) λ - ε λ - ε O N x � +∞ -∞ x -N O

fig 3 fig 4 ∞ y 3°) Limite infinito quando la x tende a un nu mero finito lim f(x) = ∞ x�xo Si ha questo limite quando in corrispondenza di un f(x) arbitrario numero E > 0 si può determinare un intorno di xo (xo - δ ; xo) tale che per ogni x, appartenente all'intorno, risulti soddisfatta la E disequazione ( fig 5 ) O xo - δ x xo

| f(x) | > E fig 5 N.B. Se f(x) > E si ha lim f(x) = +∞ ( fig 6 ) x�xo Se f(x) < -E si ha lim f(x) = -∞ ( fig 7 ) x�xo +∞ y y xo x xo + δ O -E f(x) f(x) E -∞ O xo x xo

+ δ fig 6 fig 7 4°) Limite infinito quando la x tende all' in finito lim f(x) = ∞ x�∞

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Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero E > 0 si può determinare un numero N > 0 tale che per ogni |x| > N risulti soddisfatta la disequazione | f(x) | > E N.B. Se per |x| > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = +∞ ( fig 8 ) x�∞ Se per |x| > N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = -∞ ( fig 9 ) x�oo +∞ y y N x f(x) O E -E f(x) O N x -∞ fig 8 fig 9 Se per x > N è sempre |f(x)| > E esiste il lim f(x) = ∞ ( fig 10 ) +∞ x�∞ y y f(x) E x

E O N f(x) -∞ O N x fig 10 / a fig 10 / b Se per x > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = +∞ ( fig 11 ) x�+∞ y +∞ N x f(x) O +∞ E -E f(x) O N x +∞ -∞ fig 11 fig 12

Se per x > N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = -∞ ( fig 12 ) x�+∞

Se per x < -N è sempre |f(x)| > E esiste il lim f(x) = ∞ ( fig 13 ) x�-∞

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y y +∞ E f(x) x -∞ E -N O

f(x) -∞ x -N O -∞ fig 13 / a fig 13 / b Se per x < -N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = +∞ ( fig 14 ) x�-∞

Se per x < -N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = -∞ ( fig 15 ) x�-∞ +∞ -∞ x -N f(x) O E -E -∞ x -N O f(x) -∞

fig 14 fig 15 Il caso n° 4, cioè quello dei lim f(x) = ∞ si può riassumere nella seguente tabella x�∞

|f(x)| > E, esiste il lim f(x) = ∞ x�∞

Se per |x| > N risulta sempre f(x) > E, " " lim f(x) = +∞ x�∞

f(x) < -E, " " lim f(x) = -∞ x�∞

|f(x)| > E, esiste il lim f(x) = ∞ x�+∞ Se per x > N risulta sempre f(x) > E, " " lim f(x) = +∞ x�+∞ f(x) < -E, " " lim f(x) = -∞ x�+∞ |f(x)| > E, esiste il lim f(x) = ∞ x�-∞

Se per x < -N risulta sempre f(x) > E, " " lim f(x) = +∞ f(x) < -E, " " lim f(x) = -∞ x�-∞

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LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO

Talvolta non esiste il lim f(x), ma esiste un limite λ quando si considera il solo intorno x�xo

destro o il solo intorno sinistro di xo. In tal caso si dice che λ è il limite destro o il limite sinistro della f(x) per x tendente a xo , e si scrive rispettivamente lim f(x) = λ lim f(x) = λ x�xo

+ x�xo-

quando in corrispondenza ad un numero arbitrario ε si può determinare un intorno destro ( o un intorno sinistro ) del punto xo tale che per ogni x, appartenente all'intorno, sia soddisfatta la disequazione | f(x) - λ | < ε (v figura) Analoghe definizioni si hanno per i limiti ε f(x) f(x) - λ

lim f(x) = ∞ lim f(x) = ∞ λ x�xo

+ x�xo-

x x0 TEOREMI SUI LIMITI δ

Teorema dell’unicità del limite Se al tendere di x a xo (Reale), la funzione y = f(x) tende al limite λ, ( Reale) questo limite è unico Teorema della permanenza del segno Se al tendere di x a xo la funzione f(x) tende al limite λ diverso da 0, esiste un intorno di xo in cui la funzione assume lo stesso segno di λ. Teorema del confronto Date tre funzioni: f1(x), f2(x), f3(x), definite nello stesso intervallo se risulta, per ogni x di tale intervallo f1(x)≤ f2(x)≤ f3(x) e se risulta pure lim f1(x) = lim f3(x) = l x�xo x�x è pure lim f2(x) = λ x�xo Teorema del valore assoluto Se al tendere di x a xo la funzione f(x) tende al limite λ, il limite del valore assoluto della funzione sarà uguale al valore assoluto del limite λ, cioè: lim | f(x) | = | λ | x�xo

Teorema (senza nome) Se al tendere di x a xo la funzione f(x) tende al limite λ e se si considerano i due numeri m ed n per i quali è: | m | < | λ | < | n | sarà sempre possibile determinare un intorno di xo per ogni x del quale risulti | m | < | f(x) | < | n | n f(x) l m x0-δ x x0 x0+δ

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OPERAZIONI SUI LIMITI Limite della somma di due o più funzioni E’ la somma dei limiti delle singole funzioni. Limite della differenza di due funzioni. E’ la differenza dei limiti delle due funzioni Limite del prodotto di due o più funzioni E’ il prodotto dei limiti delle singole funzioni Limite della funzione reciproca E’ il reciproco del limite della funzione N.B. Se lim f(x) = 0 il lim 1/f(x) = ∞ x--xo x�xo Se lim f(x) = ∞ il lim 1/f(x) = 0 x�xo x�xo

Limite del quoziente di due funzioni E’ il quoziente del limite delle due funzioni Limite della potenza di una funzione E’ la potenza del limite della funzione Limite della radice nma di una funzione E’ la radice nma del limite della funzione CALCOLO DEI LIMITI Lim per x → x0 di una funzione razionale o irrazionale, intera o fratta: si sostituisce alla x il valore di x0 Es. Lim (x + √x ) / (x -√x ) = (2 + √2 ) / ( 2 - √2 ) = 3 + 2√2 x→ 2

Lim per x→± ∞ di una funzione razionale intera:si sostituisce alla x il valore ± ∞, ottenendo ± ∞ Lim per x→± ∞ di una funzione razionale fratta avente i termini in x al Numeratore e al Denominatore con lo stesso esponente massimo: si dividono N e D per le x con tale esponente. Es. Lim (3x2 – 4x + 1) / (x2 + 4) = lim (3 – 4/x + 1/x2) / ( 1 + 4/x2 ) = 3 x→+∞ x→+∞ Lim per x→± ∞ di una funzione razionale fratta avente i termini in x al N e al D con esponente massimo diverso: si dividono N e D per la x con il minore tra gli esponenti massimi, ottenendo ± ∞ o 0 Es. Lim (x4 - 3x + 1) / ( -x2 + 2x ) = lim (x2 – 3/x + 1/x2) / (-1 + 2/x ) = -∞ x→+∞ x→+∞

(Il N è + ∞ ma il D è –1) Lim per x→± ∞ di una funzione irrazionale intera: si sostituisce il valore ± ∞ alla x con il maggiore esponente _ _ Es. Lim (x √x – x2 + √x - 3) = lim (x3/2 - x2 + x 1/2 - 3) = - ∞ x→+ ∞ x→+∞ lim per x→± ∞ di una funzione irrazionale fratta: si applicano le regole precedenti_ Es lim (x2 - 3√ x2 ) / (2 x2 - 3√ x ) = lim [1 - ( 3√ x2 / x2 )] / [ 2 – ( 1/ x2 3√ x2 )] = 1/2 x→+∞ x→+∞ NB La somma di un limite finito con uno infinito è infinito Il risultato di (+∞).(-∞), essendo i segnj discordi, è -∞

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LIMITI NOTEVOLI sen x sen 1/x sen x cos x tg x lim = 1 lim = 1 lim = 0 lim = 0 lim = 1 x�o x x�∞ 1/x x�∞ x x�∞ x x�0 x 1/x�0 1 – cos x 1 – cos x lim = 0 lim = ½ lim ( 1 + x )1/x = e lim ( 1 – 1/x )x = 1/e x�0 x x�0 x2

x�0 x�∞

lim ( 1 + n/x )x = en (per n=1 il lim = e) lim (1 + k/x )mx = emk x�∞ x�∞

ex – 1 ax - 1 ex x c

lim = 1 lim = ln a lim = +∞ lim = 0 x�0 x x�0 x x�+∞ xc

x�+∞ ex

ln ( 1 + x ) (1+x)k – 1 ln x lim = 1 lim = 1 lim = 0 lim xc ln x = 0 x�0 x x�0 kx x�+∞ xc x�0+

lim af(x) = alim f(x) = aλ lim loga f(x) = loga lim (fx) = loga λ x�xo x�xo x�xo

lim sen f(x) = sen lim f(x) = sen λ lim cos f(x) = cos lim f(x) = cos λ x�xo x�x o x�xo x�xo

lim tg f(x) = tg lim f(x) = tg λ lim cotg f(x) = cotg lim f(x) = cotg λ x�xo x�xo x�xo x�xo

____ x__ lim f(x) = lim f(-x) lim √1 - x = +∞ lim √ x = 1 x� - ∞ x� + ∞ x� -∞ x�∞

I limiti del tipo: lim sen (π/x) non sono calcolabili perché sen (π/x) si annulla infinite volte per x = 0 x�o

FORME INDETERMINATE Esistono alcuni casi di limiti che si presentano in forma indeterminata. Le forme indeterminate sono +∞ –∞ 0 •.∞ 0/0 ∞ / ∞ 0o 1∞ (∞)o log0 0 log0 ∞ log∞ 0 log1 1 Non sono forme indeterminate: (+∞) / λ =(+∞) (λ>0); (-∞) / λ = (- ∞) (λ>0); (+∞) λ = (+∞) (λ>0); (∞) + λ = (∞) (+∞)+(+∞) = (+∞); (-∞)+(-∞) = (-∞); (+∞) • (-∞) = (-∞); (-∞) • (-∞) = (+∞); 1 / (+∞) = 1 / (-∞) = 0; 0 /(∞) = 0; (∞) / 0 = (∞); ( ±∞ )-n = 0

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FUNZIONI CONTINUE Una funzione è continua in xo se risulta lim f(x) = f(xo) oppure se risulta : x�xo

lim f(x) = lim f(x) = f(xo) x�xo

+ x�xo-

che indicano rispettivamente che la f(x) è continua a destra e a sinistra di xo Una funzione è continua in [a, b] se è continua in ogni punto di [a, b], cioè se non ammette nessun punto di discontinuità in [a, b] ( v al Cap Funzioni discontinue) Funzioni algebriche Ogni funzione razionale intera è continua Ogni funzione razionale fratta è continua per tutti i valori della variabile che non annullano il denominatore La funzione potenza y = xn è continua per ogni valore della x > o __ La funzione irrazionale y = n√x è continua per ogni valore della x ≥ 0 Funzioni trascendenti Le funzioni sen x e cos x sono continue per ogni valore della x La funzione tg x = sen x / cos x è continua quando cos x è diverso da zero La funzione esponenziale y = ax è continua per ogni valore della x La funzione logaritmica y = loga x ( a > 0 e ≠ 1 ) è continua per ogni valore della x > 0 TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE massimo Teorema di Weierstrass Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso [a, b] essa è, ivi, limitata ed ammette un massimo ed un minimo minimo a b Teorema dell'esistenza degli zeri Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] e se agli estremi dell'intervallo essa . assume valori di segno opposto, a c b cioè è f(a) • f(b) < 0, esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, in cui è f(c) =0 Teorema dei valori intermedi Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b] assume, almeno una volta, qualunque valore compreso tra il massimo ed il minimo assoluti

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FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO Se una funzione non è continua in xo tale punto è detto punto singolare o punto di discontinuità. ( 3 casi )

1° caso) La funzione non esiste in x o ma è : lim f(x) = λ ∈ R e lim f(x) = λ' ∈ R λ diverso da λ' x�xo

+ x�xo-

xo è detto punto di discontinuità di prima specie 1 e la differenza λ - λ' è detta salto salto -1 Es. x + ( |x| / x ) x = 0 è un punto di discontinuità di 1a specie (salto = 2) -1 2° caso) La funzione non esiste in x o ma in tale punto uno almeno dei due limiti lim f(x) ; lim f(x) è infinito ( in tal caso xo è detto punto di infinito ) x�xo

+ x�xo-

o non esiste. xo è detto punto di discontinuità di seconda specie 0 Es. y =1/x nel punto x = 0 3° caso): Il limite della funzione f(x) per x �xo esiste ed è finito ma- il valore di f(x) o non esiste, oppure esiste ma risulta f(x0) ≠ lim f(x), il che è in contrasto x→x0 con la definizione di funzione continua data all’inizio del capitolo relativo. xo è detto punto di discontinuità eliminabile o di terza specie

1 Es. y = ( sen x) / x nel punto x = 0 0 NB Il limite sinistro e quello destro per x→x0, in questo caso, sono uguali ma, come si vedrà in seguito, le derivate in x0 sono diverse. NB Se in una espressione compaiono dei monomi o binomi in x0, in valore assoluto, x0 è un punto angoloso

RAPPORTO INCREMENTALE

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y B f(x) Si chiama rapporto incrementale di una funzione f(x), f(xo+h) definita in un intervallo [a,b], nell'intorno di un suo punto, xo, il rapporto tra l'incremento della funzione ed il corrispon- f(xo) A C

dente incremento, positivo o negativo, della variabile

cioè (v fig ) BC/AC α h O a xo xo+h b f(xo+h) – f(xo) si chiama rapporto incrementale nell'intorno destro della variabile h f(xo-h) – f(xo) si chiama rapporto incrementale nell'intorno sinistro della variabile -h , N.B. Il rapporto incrementale è la tangente trigonometrica dell'angolo tra la retta AB e la retta AC, cioè il coefficiente angolare della retta AB.

DERIVATE Se al tendere a zero dell’incremento h della variabile esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto xo, tale limite si dice

derivata della funzione nel punto xo f ( xo + h ) - f (xo ) f ( xo - h ) - f ( xo ) y' = f ' (xo) = lim = lim h� 0 h h� 0 -h N:B La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto, cioè f ‘(x0) = m , per cui la equazione della tangente ad una curva y = f(x) nel punto (x0 , y0) può essere scritta come segue y – y0 = f ‘(x0) ( x – x0 ) Se non esiste finito il limite suddetto ma tuttavia esistono e sono finiti il limite sinistro o quello destro del rapporto incrementale o entrambi, essi si chiamano rispettivamente derivata sinistra e derivata destra f ( xo + h ) - f ( xo ) f (xo + h ) - f ( xo )

lim = f-' ( xo ) lim = f+' ( xo )

h� 0- h h� 0+ h Se f ‘+(x0) è = f ‘-(xo) ma di segno opposto, x0 è un punto angoloso Se f ‘+(x0) = + ∞ ed è anche f ‘-(x0) = + ∞ in corrispondenza di x0 c’è x0 ‘’ = - ∞ ‘’ ‘’ ‘’ = - ∞ una cuspide Se una funzione è derivabile in un punto xo essa è necessariamente continua in tale punto, ma non è sempre vero il contrario La derivabilità è una condizione più restrittiva della continuità x0

QUADRO RIASSUNTIVO DELLE OPERAZIONI SULLE DERIVATE

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D [ f(x) + g(x) ] = f '(x) + g '(x) D [ f(x) • g(x) ] = f '(x) • g(x) + f(x) • g '(x) ________________________________________________________________________ D c • f(x) = c • f '(x) D [ f(x)]n = n [ f(x) ]n-1

• f '(x)

________________________________________________________________________ D f1(x) • f2(x) …fn(x) = f1’(x) •⋅ f2(x) …. fn(x) + f1(x) • f2’(x) • f3(x) ….fn(x) +…… ________________________________________________________________________ n ____ f '(x) ____ f '(x) D √ f(x) = n D √ f(x) = n √ [ f(x) ]n-1 2√ f(x)

________________________________________________________________________ 1 - f '(x) f(x) f '(x) • g(x) - f(x) • g '(x) D = D = f(x) [ f(x) ]2 g(x) [ g(x) ]2 DERIVATE FONDAMENTALI D cost = 0 D sen x = cos x D sen f(x) = f '(x) cos f(x) D x = 1 D cos x = - sen x D cos f(x) = - f '(x) sen f(x) D 1/x = - 1/ x2 D tg x = 1 / cos2 x D tg f(x) = f '(x) / cos2 f(x) D xa = a xa-1 D cotg x = -1 /sen2 x D cotg f(x) = - f '(x) / sen2 f(x) D x –n = -n x-n-1

D ax = ax ln a 1 f '(x) D arcsen x = D arcsen f(x) = D ex = ex √ 1-x2 √ 1-[f(x)]2

D e-x = - e-x -1 - f '(x) D arccos x = D arccos f(x) = D af(x) = f '(x) af(x) ln a √ 1-x2 √ 1-[f(x)]2

1 f '(x) D ef(x) = f '(x) ef(x) D arctg x = D arctg f(x) = (es. e-2x = -2 e-2x) 1+x2 1+[f(x)]2

D loga x = (1/x) loga e -1 -f ' (x) D ln x = 1/x D arccotg x = D arccotg f(x) = f '(x) 1+x2 1+[f(x)]2

D loga f(x) = loga e

f(x) __ 1 ___ f '(x) D √ x = D √ f(x) = f '(x) 2√ x 2√ f(x) D ln f(x) = 1 -1 1 -f '(x) f(x) D = D = √ x 2 x √ x √ f(x) 2√ f(x) Derivata della funzione inversa Sia y = f(x) una funzione continua e invertibile nel- l'intervallo [a,b] e sia x = g(y) la sua inversa. Se la f(x) è derivabile nel punto xo

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di [a,b] ed è f '(xo) ≠ 0 anche la g(y) è derivabile nel punto yo e la sua derivata è g '(yo) = 1 / f '(xo) Derivata della funzione composta Siano y = f(z) e z = g(x) due funzioni derivabili Allora anche la funzione y = f [g(x)] è derivabile e la sua derivata è f '(x) = f '(z) • g '(x) e cioè f '[g(x)] • g '(x) N.B. Le funzioni componenti possono essere anche più di due TEOREMA DI ROLLE Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a, b], e derivabile all'interno dell'intervallo e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, cioè è f(a) = f(b), esiste almeno un punto c; interno ad [a, b] in cui risulta f '(c) = 0 f(a) f(b) ( tangente orizzontale = massimo o minimo ) TEOREMA DI CAUCHY ( o degli incrementi finiti ) a b Se le due funzioni y = f(x) e g(x) sono continue nell'intervallo chiuso [a, b] e derivabili all'interno dell'intervallo, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b] in cui è f(b) - f(a) = f '(c) ( g '(c) diverso da 0 ) g(b) – g(a) g '(c) TEOREMA DI LAGRANGE ( o del valor medio ) Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a, b] ed f(b) è derivabile all'interno dell'intervallo, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b] β

in cui è f(b) - f(a) = ( b – a ) • f '(c) f(b) – f(a) = tg β = f’(c) b-a a c1 c2 b TEOREMA DI DE L' HOPITAL Nel caso del lim di un quoziente di due funzioni f(x) e g(x) continue e derivabili nell'intorno di c i cui lim sono entrambi =0 (forma indeterminata 0/0) oppure =∞ (f. i. ∞/∞) in x�c f(x) f ' (x) tutti e due i casi vale la regola lim = lim

x�c g(x) x�c g ' (x) Nel caso del lim di un prodotto di due funzioni i cui lim sono l'uno = 0 e l'altro = ∞ (f.i. 0 • oo) basta considerare che f(x) g(x) f(x) • g(x) = = e applicare la regola precedente 1 / g(x) 1 / f(x) Nel caso del lim di una differenza tra due funzioni i cui lim sono entrambi +∞ o -∞ (f.i. +∞ –∞) si deve cercare di trasformare la differenza delle funzioni in un prodotto o in un quoziente rientrando così in uno dei casi precedenti Nel caso delle f.i. 00 , 10, ∞ 0 di può scrivere [f(x)]g(x) = [eln f(x)]]g(x) = eg(x) ln f(x) e il calcolo del lim di [f(x)]g(x) si riconduce a quello del lim g/x) ln f(x) ( f.i. 0 • ∞ ) x�0 x�0 ln b Nel caso di f.i. come log0 0, log1 1, log0 ∞, log∞ 0, log∞ oo essendo loga b =

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effettuando le opportune sostituzioni si rientra nelle f.i. ∞/∞ oppure 0/0 ln a N.B. Nell'eventualità che anche f '(x) e g '(x) soddisfino le ipotesi del teorema, esso potrà essere applicato più volte CONCAVITA’ E CONVESSITA’ DI UNA CURVA Se f " (xo) > 0 la curva che rappresenta la funzione ha in xo la concavità rivolta verso l’alto ( curva concava )

Se f " (xo) < 0 la curva ha in xo la concavità rivolta verso il basso ( curva convessa ) FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI

Una funzione è crescente se la sua derivata prima esiste ed è positiva; decrescente se la derivata prima esiste ed è negativa Una funzione sempre crescente o decrescente è monotòna e quindi invertibile MASSIMI E MINIMI RELATIVI DI UNA FUNZIONE Condizione necessaria ma non sufficiente perché x0 sia un punto di massimo o di minimo relativo (estremante) di una funzione f(x) è che sia verificata la condizione f ' (x0) = 0 La condizione diventa sufficiente se f " (x0) ≠ 0 Per determinare i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione f(x) si procede così: 1°) Si cercano le radici dell’equazione f ' (x) = 0 2°) Se x o è una delle radici si calcola la f " (x0); 3°) Se f " (x o) ≠ 0 la f(x) ha in xo un massimo relativo ( se f " (xo) < 0 ) o un minimo relativo ( se f " (xo) > 0 ) 4°) Se è f " (x o) = 0 si calcola la f ''' (xo) 5°) Se è f ''' (x o) ≠ 0 la f(x) non ha in xo né un massimo né un minimo relativo 6°) Se anche f ''' (x o) = 0 si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che in xo è diversa da zero 7°) Se essa è di ordine pari si ha in xo un massimo relativo se essa è < 0 , un minimo relativo se essa è > 0 8°) Se essa è di ordine dispari non c’è in xo né un massimo né un minimo relativo

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FLESSI Condizione necessaria ma non sufficiente perché x0 sia un punto di flesso di una funzione f(x) è che sia verificata la condizione f " (x0) = 0 La condizione diventa sufficiente se f ''' (x0) ≠ 0 Se anche f ' (x0) = 0 il flesso è a tangente orizzontale Per determinare i punti di flesso di una funzione f(x) si procede così 1°) Si cercano le radici dell’equazione f " (x) = 0 2°) Se x o è una delle radici si calcola la f ''' (xo) 3°) Se f ''' (x o) ≠ 0 la f(x) ha in xo un flesso. Se f '(xo) = 0 il flesso è a tangente orizzontale ; se f '(x0) > 0 il flesso è ascendente; se f '(xo) < 0 il flesso è discendente. 4°) Se invece è f ''' (x o) = 0 si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che in xo è diversa da zero 5°) Se essa è di ordine dispari si ha in xo un flesso ( In particolare se anche f ' (xo) = 0 il flesso è a tangente orizzontale ) 6°) Se essa è di ordine pari , xo non è un punto di flesso per la curva ma, nel caso che sia f ' (xo) = 0 : un massimo se la derivata di ordine pari è < 0 , un minimo se la , derivata di ordine pari è > 0 N.B. Se la funzione ha "derivata infinita" in x0 ( cioè y ‘(x0) = ∞ = tg 90° ) in tale punto si ha un flesso a tangente verticale o una cuspide RICERCA DEI MASSIMI, MINIMI E FLESSI MEDIANTE LO STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA Se in xo la derivata prima è nulla e se si può stabilire il segno di tale derivata nell'intorno sinistro e nell'intorno destro di xo , i 4 schemi che seguono mostrano come si può determinare se xo è un punto di massimo o di minimo relativi o di flesso ascendente o discendente Per stabilire il segno della derivata basta risolvere la disequazione y ' > 0 Massimo Minimo Flesso asc. Flesso disc.

0 0 0 0

y ' + - y ' - + y ' + + y ' - - xo xo xo xo

N.B. Nell'esame degli schemi è opportuno ricordare che y' è la tangente alla curva I flessi sono a tangente orizzontale

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QUADRO RIASSUNTIVO DEI MASSIMI, MINIMI E FLESSI f ' (xo)

f " (xo)

f ''' (xo)

f iv (xo)

f v (xo)

= 0

> 0 minimo < 0 massimo

= 0 = 0

≠ o flesso

= 0 = 0

= 0

> 0 minimo < 0 massimo

= 0

= 0

= 0

= 0

≠ 0 flesso

N.B. Essendo la f ' (xo) = 0 gli eventuali flessi sono a tangente orizzontale DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE Se f(x) è una funzione derivabile in un punto x , si chiama differenziale di f(x) il prodotto della derivata f ' (x) della funzione per l'incremento ∆ x della variabile indipendente. Lo si indica con d f(x) oppure d y per cui si può scrivere d f(x) = f ' (x) • ∆x (1) Poiché il differenziale di x, che è dx, è uguale a ∆x, la (1) si può anche scrivere d f(x) = f ' (x) dx da cui si ricava f ' (x) = d f(x) / dx che significa che la derivata di una funzione è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione stessa e il differenziale della variabile dipendente Data una funzione f(x), consideriamo un suo punto P di ascissa x ed un suo punto R di ascissa x + ∆ x y B f(x)

e la tangente alla curva in P, che forma con l'asse x R un angolo α Se si prende sulla tangente suddetta un punto B avente ascissa x + ∆ x, essendo il rapporto P A BA / PA = tg α = f ' (x) (V. definizione della derivata) si ha BA = PA • tg α = f ' (x) • ∆ x Pertanto il differenziale della funzione f(x) è__ rappresentato graficamente dal segmento BA α che è l'incremento dell'ordinata della tangente O x x + ∆x in P conseguente all'incremento ∆ x della variabile indipendente

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ASINTOTI Una retta si dice asintoto della curva y = f(x) quando la distanza di un punto della curva dalla retta tende a zero man mano che tale punto si allontana sulla curva rispetto all'origine degli assi tendendo all'infinito Una funzione algebrica razionale intera non presenta nessun tipo di asintoto x =x0 ASINTOTI VERTICALI Se lim f(x) = ± ∞ o / e lim f(x) = ± ∞ x�xo

- x�xo+ x0

la retta x = xo è un asintoto verticale della curva f(x) N.B. Le funzioni razionali ed irrazionali fratte hanno tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri del loro minimo comun denominatore; infatti, se in y=f(x)/g(x) è g(x)=0, y = ∞ Le funzioni irrazionali intere non hanno normalmente asintoti verticali ASINTOTI ORIZZONTALI y = λ ‘ Se lim f(x) = λ x�∞ la retta y = λ è un asintoto orizzontale della curva f(x) y = λ Se lim f(x) = λ e /o lim f(x) = λ ' x� -∞ x� +∞ λ è l'asintoto orizzontale sinistro; λ ' è l'asintoto orizzontale destro N.B. Nel caso di una funzione razionale fratta quando numeratore e denominatore sono dello stesso grado l'asintoto orizzontale è il rapporto dei coefficienti delle variabili di massimo grado; quando il denominatore è di grado superiore al numeratore l'asintoto orizzontale è l'asse x ( y=0 ) Le funzioni irrazionali intere con dominio infinito possono avere più asintoti orizzontali ASINTOTI OBLIQUI Quando lim f(x) = ∞ x�∞ y = mx + q l'equazione dell'asintoto obliquo ( se esiste ) è y = m x + q

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in cui f(x) m = lim = lim f '(x) ( Regola di De L' Hopital ) (V pag. 16) x�∞ x x�∞ q = lim [ f(x) - m x ] = lim [ f(x) – x. f ‘(x) ] x�∞ x→ ∞

N.B. Le funzioni razionali fratte hanno un solo asintoto obliquo soltanto quando il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore Le funzioni irrazionali il cui dominio si estende all'infinito possono avere più asintoti obliqui oppure asintoti orizzontali e asintoti obliqui

FUNZIONE ASINTOTICA AD UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA Data una funzione algebrica razionale fratta a0 x

n + a1 xn-1 +………+ an

y = b0 x

m + b1 xm-1 +…… + bm

esiste l'asintoto orizzontale y = 0 se n < m, l'asintoto orizzontale y = a0 / b0 se n = m e l'asintoto obliquo y = m x + q = Q(x) se n – m =1 ( Q(x) è il quoziente della divisione del polinomio numeratore per il polinomio denominatore della funzione data ) Se n > m la curva rappresentante il polinomio Q(x) ( sempre di grado n - m ), che è una retta se n - m =1, una parabola se n - m = 2, una cubica se n - m = 3, è asintotica alla curva che rappresenta l'equazione data 2 x4

Es Sia data la funzione y = y in cui è n = m + 2 x2 – 3 __ La funzione è definita per ogni x ≠ ± √ 3 (x = √ 3 e x = - √ 3 sono asintoti verticali) La curva passa per l'origine degli assi __ γ C'è un minimo relativo nei punti ( - √ 6 ; 24) e ( √ 6 ; 24 ) e un massimo relativo nel O x

punto ( 0 : 0 ) La parabola γ di equazione Q(x) = 2 x2 + 6 è asintotica alla curva della funzione dat

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x4 Es Sia data la funzione y = in cui n = m + 3 x – 1 y La funzione è definita per ogni x ≠ 1 ( x = 1 è un asintoto verticale ) La curva interseca gli assi nell'origine C'è un minimo relativo nel punto ( 4/3 ; 256 / 27 ) δ e un flesso nel punto ( -1 ; -1/2 ) Essendo y' (-1) > 0 il flesso è ascendente O 1 x La cubica δ di equazione Q(x) = x3 + x2 + x + 1 è asintotica alla curva della funzione data

STUDIO DELL'ANDAMENTO DI UNA FUNZIONE x3

Data una funzione, ad es y =. , per studiarne l'andamento in modo da (x-1)2 poterne costruire il grafico (non per punti) è opportuno procedere nel modo seguente 1° Stabilire quale è la natura di y ( Nel caso d ell' es. si tratta di una funzione algebrica razionale fratta di 3° grado ) 2° Studiare il segno ( Nel caso dell'es: per x >0 è y>0 ; per x<0 è y<0 ) 3° Stabilire l'insieme di definizione o dominio ( Nel caso dell' es. la y è definita per x ≠ 1: infatti per x = 1 il denominatore si annulla e la funzione non esiste più) 4° Esaminare il comportamento agli estremi del dom inio ( Nel caso dell'es. lim y = -∞ lim y = +∞ ) x�-∞ x�+∞ 5° Calcolare le coordinate degli eventuali punti d i intersezione con gli assi cartesiani, ricavando il valore di x ponendo y = 0 ed il valore di y ponendo x = 0 ( Nel caso dell'es .la curva taglia gli assi cartesiani soltanto nell' origine; infatti per x = 0 è y = 0 ) 6° Discutere la continuità della funzione ( Nel caso dell'es.la funzione presenta un punto di discontinuità di seconda specie per x = 1) 7° Stabilire il periodo, se è una funzione goniom etrica ( Non è il caso dell'es. ) 8° Determinare l'equazione degli eventuali asint oti ( Nel caso dell'es. esiste un asintoto verticale doppio di equazione x = 1 e l'asintoto obliquo di equazione y = x + 2 che interseca la curva della y nel punto ( 2/3 ; 8/3 ) ) 9° Calcolare la derivata prima ed eventualmente la seconda ( Nel caso dell'es. la x2 (x – 3) derivata prima è y ' = ) (x-1)3

10° Determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente 11° Calcolare le coordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativi, di flesso con tangente orizzontale e di flesso con tangente obliqua, y ' ≥ 0 per x ≤ 0 ; per 0 ≤ x < 1 ; e per x ≥ 3

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Si può quindi disegnare lo schema 7 y minimo 6 5 4 asintoto obliquo 0 ∞ 0 y ' + + - + 3 o 1 3 2

Esiste pertanto un minimo relativo nel punto 1 (3;27/4) ed un flesso ascendente a tangente -2 -1 1 2 3 4 orizzontale nell'origine (asse x) | - | | | | | 12° Studiare la concavità e la convessità 0 flesso x (Nel caso dell'es. c'è una concavità verso l'alto per 0 < x < 1 e per x > 1 13° Tracciare il diagramma della y (Nel caso dell'es. il diagramma è quello asintoto verticale a lato) ESEMPIO DI STUDIO DI UNA FUNZIONE CON TERMINI IN VALORI ASSOLUTI 1 Sia data la funzione y = x – |x2 – 2| E' una funzione razionale fratta di 3 grado Si hanno due casi __ __ 1° caso x2 - 2 > 0 cioè x ≤ -√ 2 o x ≥ √ 2 In questo caso la funzione si può scrivere -1

y = (1) x2 - x – 2 Essa è definita per x ≠ 2 (Infatti per x = 2 la funzione presenta un punto di Infinito; x = 2 è un asintoto verticale) Inoltre essendo il lim y = 0 l'asse x (y = 0) è un asintoto orizzontale x�∞ Non ci sono né massimi, né minimi, né flessi __ La funzione è crescente per x ≥ √ 2 (però ≠ 2); decrescente per x ≤ - √ 2 __ __ 2° caso x2 - 2 < 0 cioè - √ 2 ≤ x ≤ √ 2

In questo caso la funzione si può scrivere 1 y = (2) x2 + x - 2 Essa è definita per x ≠ 1 (infatti ad x = 1 corrisponde un punto all'infinito; x = 1 è un asintoto verticale) La curva non interseca l'asse x ma interseca l'asse y nel punto A (0 ; -1/2) La derivata prima mostra che esiste un massimo nel punto (-1/2 ; -4/9) Ci sono due punti di discontinuità in B ( -√ 2 ; -√ 2 / 2 ) e C ( √ 2 ;√ 2 / 2 )

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__ __ In entrambi i punti B e C, con ascisse -√ 2 e √ 2 , la curva presenta due tangenti distinte con equazioni generiche y = m(x-x0) + y0 in cui m è il lim y ‘ essendo y ‘ la derivata delle (1) e (2) e x0 e y0 le coordinate x→x0 di B e di C, rispettivamente. B e C sono punti angolosi. y _ -√ 2 -1/2 0 1 C 2 A x B

RISOLUZIONE GRAFICA DI DISEQUAZIONI

Quando si deve risolvere una disequazione f(x) > g(x) oppure f(x)< g(x) si trovano dei valori della x il cui corrispondente punto (x; f(x)) ha ordinata maggiore ( o minore ) del punto (x; g(x)). In altre parole il punto di coordinate (x; f(x)) si può trovare al di sopra (o al di sotto) del punto di coordinate (x; g(x)) Es Risolvere la disequazione x-1

|x| ex+1 > 1 x-1

1 che si può scrivere (se x ≠0 ) ex+1 > |x| Posto il 1° membro della disequazione uguale a f(x) ed il 2° membro uguale a g(x) risulta f(x) > g(x) Dai grafici delle due funzioni appare che tale disequazione è valida per | x | > 1 Il punto (-1;0) è un punto di discontinuità di 2^ specie y f(x) g(x) e

f(x)

(1;1) g(x) −1 0 1 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI

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Una equazione algebrica di grado superiore al secondo o trascendente (goniometrica, logaritmica, esponenziale ) è talvolta difficile da risolvere con esattezza, mediante calcoli algebrici. In questi casi ci si deve accontentare di una soluzione approssimata. Per fare questo occorre individuare un intervallo dell'equazione in cui ci sia una ed una sola soluzione dell'equazione stessa. Il teorema dell'esistenza degli zeri (v Teoremi delle funzioni continue) afferma che in una funzione continua in (a, b), se f(a) ed f(b) hanno segni opposti, di modo che sia f(a).f(b) < 0 esiste un punto c fra a e b tale che f(c) = 0. Cioè c sta sull'asse x ed essendo l'intersezione della curva che rappresenta l'equazione con l'asse x (y=0), rappresenta la soluzione cercata dell'equazione. Se gli intervalli fossero più di uno bisognerebbe separare i vari intervalli in modo che due estremi consecutivi abbiano i corrispondenti valori della funzione, uno positivo ed uno negativo, cosicché sia rispettata la condizione f(a) . f(b) < 0 Per individuare gli estremi dell'intervallo (a, b) si può procedere graficamente, come nell'esempio che segue. Sia data l'equazione f(x) = x4 + 3 x3 – 5 = 0 che si può scrivere x4 = 5 – 3 x3 da cui si possono y = 5 – 3 x3 y = x4

ricavare le due funzioni y = x4 ed y = 5 – 3 x3.

I grafici delle due funzioni, tracciati per punti, si Intersecano ( le y sono =) in A la cui ascissa è compresa, come si vede dal disegno, tra 1 e 2, che sono gli estremi dell'intervallo cercato. _1 A Per trovare il valore dell'ascissa approssimata 0 | | | di A , entro i limiti della precisione voluta, si 1 2 3

possono adottare diversi metodi, tra cui il metodo di bisezione ed il metodo delle tangenti METODO DI BISEZIONE Individuato, come si è visto, graficamente, l'intervallo (a,b) in cui cade la soluzione c, dovendo essere f(a).f(b) < 0, la funzione può avere solo uno dei quattro andamenti rappresentati nelle figure seguenti

Fig. 1 Fig. 2 Fig: 3 Fig. 4 Concavità verso l'alto: f "(x) > 0 Concavità verso il basso: f "(x) < 0

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Il metodo di bisezione consiste nel calcolo del valore medio ci tra gli estremi di intervalli sempre più piccoli, calcolando, in corrispondenza di tali valori, quello della funzione f(ci) che si avvicina sempre di più a zero, quanto più ci si avvicina a c. Il primo dei valori medi è c1 = (a + b) / 2 da cui si calcola f(c1) che potrà essere > o < 0. Per calcolare c2 si dovrà scegliere, fra gli intervalli (a, c2) e (c2, b), quello ai cui estremi la funzione assume valori opposti come nelle figg. 1 – 4. Quindi nell'ipotesi che f(c1) sia > 0 e che la funzione abbia l'andamento di fig 3, bisognerà scegliere l'intervallo (c1, b) tra i cui estremi c'è il c cercato. Sarà perciò c2 = (c1 + b) / 2 e f(c2) sarà più vicino a zero. Per calcolare c3 si dovrà scegliere, tra i vari intervalli possibili, il più piccolo, che abbia però i relativi valori della funzione negli estremi dell'intervallo, di segno opposto. Il cn , cui corrisponde un valore f(cn) prossimo allo zero, entro la precisione voluta, è la soluzione approssimata dell'equazione. Nel caso della funzione prima esaminata, la cui soluzione cade nell'intervallo (1, 2), l'andamento, essendo f(1) = -1 ed f(2) = 35 e la derivata seconda f "(x) > 0 per x>0 e quindi nell'intervallo (1, 2), è quello della fig 2. c1 = 1,5 ed f(c1) = 15,25 > 0 ………..c10 = 1,070 ed f(c10) = -0,010 < 0 M e così via fino alla precisione desiderata. METODO DELLE TANGENTI P

Supponendo che la curva della funzione abbia l'andamento di fig 2, nell'intervallo (a, b), come nel disegno a fianco, S si scrive l'equazione della tangente alla curva nel punto c (b. f(b)). Ricordando che il coefficiente angolare della a T R N b

tangente ad una curva in un punto (x0, f(x0)) è la derivata prima della funzione in x0 , si può scrivere y = m (x – x0) + y0 = f '(x0). (x – x0) + f(x0) (1) Ponendo y = 0 si trova l'ascissa x1 del punto N di intersezione fra la curva e l'asse x Questa ascissa si trova con la formula , ricavata dalla (1) x1 = x0 - f(x0) / f '(x0) (2) che si può facilmente generalizzare in xn = xn-1 – f(xn-1) / f '(xn-1) (3) Nota la x1 si calcola la f(x1), che è l'ordinata del punto P, ottenuto conducendo la verticale per N, e la f '(x1). Dal punto P si procede come da M e si calcola x2, ascissa di R, e quindi f(x2), ordinata di S e f '(x2), e così via. I valori delle xi sj avvicinano sempre di più a c, mentre l valori delle f(xi) si approssimano a zero Nel caso dell'esempio già esaminato precedentemente, x0 = 2 e f(x0)= 35… ………….x6 = 1,07099 e f(x6) = 0,00065 La soluzione approssimata è molto simile a quella trovata con il metodo di bisezione.

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INTEGRALI AREA DEL TRAPEZOIDE f(b) y y=f(x) f(x1) b - a ∆x = = costante f(a) n ∆x O a x1 x2 xn b x

f(a) + f(x1) f(x1) + f(x2) f(xn) + f(b) S = + + …….+ ∆x = 2 2 2 f(a) f(b)

= ∆x + f(x1) + …………..+ f(xn) + = 2 2 f(a) + f(b)

= ∆x + f(x1) + ………….. + f(xn) 2 b – a f(a) + f(b) n S = + Σ f(xi) n 2 i = 1 INTEGRALE DEFINITO Il limite di S per n tendente all'infinito si definisce integrale definito della funzione b

y = f(x) nell'intervallo [a, b], si indica con il simbolo ∫ f(x) dx ed esprime l'area a compresa tra le rette x = a e x = b, la curva y = f(x) e l’asse x y= ±√ r2 - (x-1)2 y y y a b x 1 y=f(x) - a b x

2 a b x y=f(x) L’ � tra a e b del semicerchio 1 dà area positiva b area negativa un’area positiva; quello tra a e b del

�f(x) dx dà un’area negativa; 2 dà un’area negativa Quindi 1+2=0 a a Per calcolare l’area 1 + 2 occorre

�f(x) dx dà invece un’area positiva quindi procedere come è detto al §

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b “Calcolo di aree” a pag. 31

La funzione f(x) si chiama funzione integranda; la variabile x si dice variabile di b

integrazione; l'integrale ∫ f(x) dx è detto funzione integrale a

La funzione integranda deve essere continua e non negativa nell'intervallo [a, b] Una funzione continua nell'intervallo [a, b] è integrabile in tale intervallo e viceversa Consideriamo ora la funzione f(t) continua x y

nell'intervallo [a, b] ; l'integrale ∫ f(t) dt y = f(t) a

è chiaramente una funzione di x Esso viene

indicato con il simbolo S(t) ed è detto integrale S(t) definito, funzione del suo estremo superiore O a x b t

TEOREMA DI TORRICELLI - BARROW x

La derivata della funzione integrale S(t) = ∫ f(t) dt in un punto è uguale al valore che a la funzione integranda f(t) assume in quel punto cioè S ' (t) = f(t) e, più in generale, S ' (x) = f(x)

FUNZIONI PRIMITIVE Infinite sono le funzioni che hanno come derivata una determinata funzione, cioè tutte quelle che differiscono, l'una dall'altra, per una costante c indeterminata Per cui si può scrivere x

S (x) = ∫ f(x) dx = F(x) + c a

Le infinite funzioni F (x) + c si chiamano primitive della funzione integranda data CALCOLO DELL'INTEGRALE DEFINITO L'integrale definito è uguale al valore che una primitiva assume all'estremo superiore del- l'intervallo di integrazione diminuito del valore che tale primitiva assume nell'estremo infe- riore b

∫ f(x) dx = F(b) - F(a) a

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DELLA MEDIA Data la funzione y = f(x) continua nell’intervallo [a, b] e quindi integrabile, esiste almeno un punto c (valore medio), interno all’intervallo, y

per cui è b

∫ f(x) dx = ( b - a ) f(c) f(b) y = f(x) a f(c) cioè F(b) - F(a) = ( b – a ) f(c) f(a) Derivando si ottiene f(b) - f(a) = ( b – a ) f '(c) O a c b x che è il teorema di Lagrange ( Vedi al Cap relativo) b - a VALORE EFFICACE Dicesi valore efficace di una funzione f(x), continua nell'intervallo [a,b], l'espressione b

Veff [f(x)] = √ [1 / ( b-a ) ] • ∫ [f(x)]2 dx a PROPRIETA' DELL'INTEGRALE DEFINITO b a

1^ ∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx a b

b c d d

2^ ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx a b c a b b b

3^ ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx = ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx a a a b b

4^ ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx a a INTEGRALE DEFINITO CON UNO O ENTRAMBI GLI ESTREMI ILLIMITATI

Se una funzione f(x) è definita in [ a ; +∞ ) ed è integrabile in [ a ; b ] si pone +∞ b

∫ f(x) dx = lim ∫ f(x) dx a b�∞ a

Così pure per una funzione definita in ( -∞ ; b ) o in ( -∞ ; +∞ ) si pone b b +∞ b

∫ f(x) dx = lim ∫ f(x) dx e ∫ f(x) dx = lim ∫ f(x) dx -∞ a� -∞ a -∞ a� -∞ a

b� +∞

Ovviamente i limiti devono esistere ed essere finiti

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INTEGRAZIONE APPROSSIMATA Qualora non sia possibile, o sia troppo laborioso, il calcolo di un integrale con le note regole di integrazione, si può far ricorso ad uno dei metodi di calcolo approssimato, con le cosiddette formule di quadratura Formule dei rettangoli Data una funzione y = f(x), da integrare nell’intervallo y y=f(x)

(a,b), di cui non si è in grado di calcolare l’integrale, se ne possono ottenere dei valori approssimati dividendo il suddetto intervallo in n intervallini uguali, di ampiezza (b – a) / n, cioè ( x0 ,x1 ) ; ( x1 ,x2 ); …………( xn-1 ,xn ), in cui x0 = a e xn = b. Si calcolano quindi le aree dei due plurirettangoli, uno che contiene la curva, l’altro sotto la curva,ottenuti y0 y1 yn-1 yn

tracciando le relative ordinate y0 , y1 ,……yn-1 , yn. O x0 =a x1 xn-1 xn =b x

Tali aree forniscono due valori dell’integrale, uno in eccesso ed uno in difetto, tanto più approssimati quanto più grande è il numero n. Si ha quindi b

∫a f(x) dx ≈ [ (b-a) / n ] . (y0 + y1 +…….+ yn-1) area del plurirettangolo b esterno

e ∫a f(x) dx ≈ [ (b-a) / n ] . (y1 + y2 + ……+ yn ) area del plurirettangolo interno Un valore più vicino a quello esatto si può ottenere facendo la media dei due valori calcolati con le formule precedenti. Formula dei trapezi B Si divide l’intervallo (a,b) e si tracciano le ordinate y come descritto nel paragrafo precedente. Si indicano con A, P1,……. Pn-1, B i punti in cui le P1 Pn-1

suddette ordinate incontrano la curva della funzione. P2

Si uniscono poi nell’ordine i punti A con P1, P1 con P2 e infine Pn-1, con B. A Si ottengono così dei trapezi le cui aree sono y0 y1 y2 yn-1 yn O x0 =a x1 x2 xn-1 xn =b

[ (b-a) / n ] . [( y0 + y1 ) / 2 ] ; [(b-a) / n] . [ ( y + y ) / n ] La somma delle aree di tutti i trapezi dà un valore approssimato dell’integrale, tanto più prossimo al valore vero quanto più grande è il numero n. E’ cioè b

∫a f(x) dx ≈ [ (b-a) / n ] . { [(yo + yn) / 2 ] + y1 + y2 + …+ yn-1 } .

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CALCOLO DI AREE

B y

curva AB y = f1(x) A B “ BC y = f2(x) y = f2(x) y = f1(x) a c b “ CA y = f3(x) A S1 S2 C a b c x C S3 L’area del triangolo curvilineo ABC è y = f3(x)

b c a

S = ∫ f1(x) dx + ∫ f2(x) dx + ∫ f3(x) dx = S1 + S2 + S3

a b c

Fissato sul contorno dell’area il senso orario, partendo da uno qualsiasi dei punti di intersezione, si esegue la somma degli integrali definiti aventi: per estremo inferiore l’ascissa del punto di partenza, per estremo superiore l’ascissa del punto di arrivo, per funzione integranda l’equazione della curva che rappresenta un lato del triangolo Analogamente si procede con figure diverse dal triangolo curvilineo.

CALCOLO DI VOLUMI S(x) b

V = ∫ S(x) dx B a

x b Es Volume di una piramide S(x) h x

a B = Area della base S(x) = B x2 / h2 h

V = ∫ ( B x2 / h2 ) dx = (1/3) B h 0

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CALCOLO DI VOLUMI DI SOLIDI DI ROTAZIONE S(x)

Y Ogni sezione è un cerchio di area S(x) = π y2 x b b

y = f(x) V = ∫ S(x) dx = π ∫ y2 dx a a (rotazione attorno all'asse x) a x b n

x = g(y) V = π ∫ x2 dy m (rotazione attorno all'asse y) CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UN TRATTO DI CURVA PIANA Dato un tratto di curva piana AB, che rappresenta la funzione y = f(x) nell'intervallo [a, b], per mi- y surarne la lunghezza L si suddivide l'intervallo in B n parti, indicate con ∆xi ; si indicano con ∆yi gli incrementi relativi della funzione e con ∆Li le lunghezze delle corde corrispondenti

∆Li ∆yi Per il teorema di Pitagora è A

___________ ______________ ∆xi

∆Li = √ (∆xi)2 + (∆yi)

2 = ∆xi √ 1+[ (∆yi) / (∆xi) ]2 x ed, essendo, per il teorema di Lagrange a b

∆yi

= f ' (xi ) ∆xi __________ si ottiene ∆Li = ∆xi √ 1 + [ f ' (xi )]2 Poiché Ln = ∆L1 + ∆L2 + ……… + ∆Ln

b __________

passando all'integrale si potrà scrivere L = ∫ √ 1 + [ f ' (x) ]2 dx a

Se la curva è rappresentata dalle equazioni parametriche x = x(t) e y = y(t) definite nell'intervallo (t0 , t1) è b ________________________

L = ∫a √ [x ' (t)]2 + [y ' (t)]2 dt

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TEOREMA DI GULDINO Superficie di rotazione Data una linea piana che effettua una rotazione completa attorno ad una retta complanare ma senza punti di contatto con essa, l'area della superficie generata dalla rotazione della linea è uguale al prodotto della lunghezza della linea per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo baricentro G Indicando con L la lunghezza della linea, con R la distanza del suo baricentro dal- l'asse di rotazione e con S l'area della superficie, è S = 2 π R L G Es Si vuole calcolare la superficie laterale del tronco r2 di cono rappresentato nella figura r1 R ___________ Essendo L = √ ( r2 – r1)

2 + h2 asse di rotazione

R = ( r1 + r2 ) / 2 L si ha r1 + r2 ___________ S = 2 π √ ( r2 – r1)

2 + h2 2 h

Volume di rotazione Data una superficie piana che effettua una rotazione completa attorno ad una retta complanare ma senza punti di contatto con essa, il volume del solido generato dalla rotazione della superficie è uguale al prodotto dell'area della superfice per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo baricentro Indicando con S l'area della superficie e con R la distanza del baricentro della superficie dall'asse di rotazione e con V il volume è V = 2 π R S Es Indicando con G il baricentro del triangolo equilatero della figura a lato, con λ il lato, con h = ( √ 3 / 2 ) λ l'altezza, con. h R = (1/3)h +d = ( √ 3 / 6 ) λ la distanza di G G dall'asse di rotazione, con S = (√ 3 / 4) λ2 R

l'area della superficie, il volume V è d λ __ __ , V = 2 π (√ 3 / 6) λ (√ 3 / 4) λ2 = π λ3 / 4 asse di rotazione

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TEOREMA DI ARCHIMEDE Tale teorema afferma che l'area di un segmento parabolico è uguale ai 2/3 di quella del rettangolo circoscritto Si può dimostrare con un esempio __ y

Sia data una parabola y = ax2, una corda AB e il rettangolo ABCD, circoscritto al segmento parabolico B delimitato da AB e dalla parabola, in cui, ovviamente, CD è parallelo ad AB e tangente alla parabola Supponiamo che le coordinate di A e B siano A(-2 ; 4a) e B(4 ; 16a) A Allora AB = 6 √ 1+4a2 ; l'equazione della retta C

AB è y = 2ax + 8a con m = 2a ; l'equazione della retta CD è y = 2ax – a ; BC è uguale alla__ distanza di B dalla retta CD e risulta 9a / √ 4a2 + 1 D

L'area del rettangolo ABCD è pertanto = 54a O x

L'area del settore parabolico è 4 -2

∫ ( 2ax + 8a ) dx + ∫ ax2 dx = 36a che è appunto i 2/3 di 54 a c.v.d.

-2 4 INTEGRALE INDEFINITO L'integrale indefinito di una funzione ( detta integranda ) è una funzione ( detta primitiva ) nota a meno di una costante e la cui derivata è la funzione integranda Si scrive ∫ f(x) dx = F(x) + c PROPRIETA' DELL' INTEGRALE INDEFINITO

1^ ∫ [ f(x) ± g(x) ± ………] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx ± ……..

2^ ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

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1. ALCUNI INTEGRALI NOTEVOLI

∫ dx = x + c ∫ dx ex = ex + c ∫ dx ef(x) = [1/ f ‘(x) ] ef(x) + c ∫ dx eg(x) g’(x) = eg(x) + c

∫ dx x eax = (eax / a2 ) (ax – 1) + c ∫ dx / (1 + x) = - ln I1 + xI + c ∫ dx /1+ex = - ln (1+e--x) +

∫ dx f '(x) / f(x) =ln | f(x) | + c ∫ dx f ' (x) / √ f(x) = 2 √ f(x) + c

∫ dx xn = [1/(n+1)] xn+1 + c ( n ≠ -1 ) ⇒ Se n = -1 ∫ dx (1/x) = ln |x| + c

∫ dx cax = cax / a ln c + c ∫ dx / (x - a)2 = ∫ dx (x-a)-2 = (x-a)-1 /-1 = 1/ (a – x) + c

∫ dx sen ax = - (1/a) cos ax + c ∫ dx / ( a2 + x2 ) = (1/a) arctg (x/a) + c =

∫ dx cos ax = (1/a) sen ax + c “ “ = - (1/a) arccotg (x/a) + c

∫ dx tg x = -ln |cos x| + c ∫ dx / ( a2 - x2 ) = (1/ 2a) ( ln | (a+x) / (a-x) + c

∫ dx cotg x = ln |sen x| + c ∫ dx √ a2 – x2 = ½ ( x √ a2 – x2 + a2 arcsen (x/a)) + c

∫ dx sen2 x = ½ x – ¼ sen 2x + c ∫ dx / √ a2 – x2 = arcsen (x/a) + c = - arccos (x/a) + c

∫ dx cos2 x = ½ x + ¼ sen 2x + c ∫ dx x / √ a2 – x2 = - √ a2 – x2 + c

∫ dx / (sen2 x ) = - cotg x + c ∫ dx √ x2 - a2 / x = √ x2 - a2 - a arccos (a/x) + c

∫ dx / (cos2 x ) = tg x + c ∫ dx √ x2 ± a2 = ½ [x √ x2 ± a2 ± a2 ln (x+√ x2 ±a2 )]

∫ dx ln |x| = x ln |x| - x + c ∫ dx x √ x2 ± a2 = 1/3 (x2 ± a2 ) 3/2 + c

∫ dx x ln |x | = (x2 /2) ln |x| - (x2 / 4) + c ∫ dx x / √ x2 ± a2 = √ x2 ± a2 + c

∫ dx / x ln |x| = ln | ln |x| | + c ∫ dx / √ x2 ± a2 = ln | x + √ x2 ± a2 | + c

∫ dx ln |x| / x = ½ ln2 |x| + c ∫ dx / x √ x2 + a2 = - (1/a) ln[ ( a + √ x2 + a2 ) / x ]+ c

∫ dx xn ln a |x| = [xn+1 / (n+1)] ln a |x| - xn+1 / (n+1)2 + c ∫ dx (ln x)n /x = (1/n+1)(ln x)n+1+ c (n≠1)

∫ dx (ax + b)n = (ax + b) n+1 / a (n+1) + c (n ≠ -1) ∫ dx / (ax + b) = ( 1 / a ) ln |ax + b| + c

∫ dx / x (ax + b) = - (1/ b) ln |(ax+b) / x| + c ∫ dx x / (ax+b) = (1/a2) ax+b - b ln |ax+b| + c

∫ dx √ ax + b = ( 2 / 3a ) √ ( ax + b )3 + c ∫ dx x / √ ax + b = [ 2 ( ax – 2b ) / 3a2 √ ax + b + c

∫ dx / √ ax ± b = (2 /a) √ ax ± b + c ∫ dx ln |ax+b| = (1/a) [(ax+b) ln |ax+b| - (ax+b)] + c

∫ dx x / (ax + b)2 = ( 1 / a2 ) [ ln |ax + b| + b / (ax + b) ] + c

∫ dx / (ax2 + b) = (1 / √ ab ) arctg x (√ ab / b) + c ∫ dx x / (ax2 + b) = (1 / 2a ) ln !ax2 + b| + c

∫ dx / (ax + b) ( cx + d) = [ 1 / ( ad – bc ) ] ln | (ax + b) / (cx + d) | + c

∫ dx (ax + b) / (cx + d) = (a/c)x + [ (bc – ad) / c2 ] ln |cx + d| + cost

∫ dx x / (ax + b) (cx + d) = [1 / (bc –ad) ] [ ( b / a ) ln |ax + b| - ( d / c ) ln |cx + d| ] + c

∫ dx √ax2 + bx + c = (1/2 √ a ) √ (2ax + b)2 - ∆ + cost (a>0)

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INTEGRAZIONE PER SCOMPOSIZIONE Consiste nello scomporre la funzione integranda nella somma (algebrica) di funzioni di ciascuna delle quali si conosce l'integrale indefinito o il suo calcolo è più facile

INTEGRAZIONE PER PARTI Dato l'integrale ∫ u dv cioè ∫ u v' dx in cui la funzione u viene chiamata fattore finito e la funzione dv = v' dx fattore differenziale, del quale si sa determinare la primitiva v, è

∫ u dv = u v - ∫ v du (1) Si applica questo metodo quando l' ∫ v du è più facile da calcolare dell' ∫ u dv Con altre notazioni la (1) può essere scritta nel modo seguente

∫ f(x) . g ‘(x) dx = f(x) . g(x) - ∫ g(x) . f ‘(x) INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE Occorre trovare una funzione x = g (z) in modo da esprimere la variabile x di integra- zione in funzione di una variabile sostitutiva z, per cui essendo

dx = g '(z) dz si abbia ∫ f(x) dx = ∫ f[ g(z) ] g ' (z) dz Nel caso di un integrale del tipo ∫ dx / x2 – 3x + 2 in cui il trinomio a denominatore può essere trasformato in un prodotto di due binomi: (x-1)(x-2) occorre determinare due numeri A e B tali che risulti 1 A B = + (x-1)(x-2) x -1 x -2 ossia 1 = A (x –2) + B ( x –1) = (A + B) x - (2A + B) Per il principio di identità si avrà A + B = 0 - (2A + B) = 1 da cui A = -1 e B = 1

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Se y = f(x) è una funzione derivabile fino all’ n-simo ordine e se y’, y”, …yn sono le sue derivate: prima, seconda, … n-sima, si chiama equazione differenziale del primo ordine un’equazione in cui oltre alla x ed alla y è presente anche la sua derivata prima; equazione differenziale del secondo ordine un’equazione in cui sono presenti la x, la y, la y’ e la y”; e così via. Un’equazione differenziale del secondo ordine, si dice in forma implicita se la sua espressione è del tipo F( x, y, y’, y” ) = 0 ; si dice in forma normale se è del tipo y” = G( x, y, y’ ). La soluzione di un’equazione differenziale è la y che, con le sue derivate, soddisfa l’equazione data. EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI Sono le equazioni che, ridotte a forma normale, hanno il secondo membro consistente in un prodotto o in un quoziente di due funzioni , contenenti le sole variabili x ed y (niente derivate). Per risolverle si procede come negli esempi che seguono. 1° Esempio __ __ 2 √ xy - 2 √ y + y ’ = 0 Si riduce l’equazione alla forma normale __ ___ __ __ y ’ = 2 √ y - 2 √ xy ⇒ dy / dx = 2 √ y ( 1 - √ x ) Separandp le variabili si ottiene __ __ __ dy / 2 √ y = ( 1 - √ x ) dx = dx - √ x dx E integrando si ha __ __ 3 √ y = 3 x - 2x √ x + c Elevando al quadrato __ __ __ 9 y = 9 x2 + 4 x3 - 12 x √ x + c’ = x2 ( 9 + 4 x – 12 √ x ) + c’ = x2 ( 3 – 2 √ x )2 + c’ da cui __ y = [ (x / 3 ) ( x – 2 √ x ) ]2 che è la soluzione cercata. 2° Esempio y ’ cos2 x cos y - 1 = 0 y ’ = 1 / cos2 x cos y ⇒ dy / dx = 1 / cos2 x cos y cos y dy = dx / cos2 x Integrando sen y = tg x + c da cui y = arcsen ( tg x + c ) che è la soluzione cercata .

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE Si presentano già sotto forma normale e sono costituite da una frazione algebrica di due polinomi dello stesso grado in x ed in y. Per la loro soluzione procedere come negli esempi seguenti. 1° Esempio x2 – 3 y2 y ‘ = (1) 2 x2 - 3 xy Si dividono numeratore e denominatore della frazione per la x al massimo grado e si effettua la sostituzione y / x = t, da cui y = tx e da cui, essendo la t funzione di x, si ha: dy / dx = (dt / dx) x + (dx / dx) t cioè dy / dx = (dt / dx) x + t. Si ha quindi dalla (1) 1 – 3 t2 1 – 3 t2 1 – 2 t dy / dx = ⇒ (dt / dx) x + t = ⇒ (dt / dx) x = 2 – 3 t 2 – 3 t 2 – 3 t L’equazione si è così trasformata in una equazione a variabili separabili che diventa: 2 – 3 t dt = dx / x e dividendo il numeratore del primo membro per il denominatore 1 – 2 t l’equazione si trasforma in [ (3/2) + 1 / 2( -2 t + 1) ] dt = dx / x Integrando si ottiene (3 / 2) t - (1 / 4) ln | -2 t + 1 | = ln | cx | Ricordando che t = y / x si ha (3 / 2) y / x = ln [ ( x – 2 y) / x ]1/4 + ln | cx | _____________ E infine ( 3 / 2 ) y / x = ln [ | c | 4√ | x3 ( x – 2 y ) | ] che è una equazione non più differenziale. 2° Esempio x + 4 y y ‘ = 4 x – y Procedendo come nell’esempio precedente si ottiene 1 + 4 t 1 + 4 t 1 + t2

dy / dx = ⇒ (dt / dx) x + t = ⇒ (dt / dx) x = 4 – t 4 – t 4 – t separando le variabili si ha [ 4 / ( 1 + t2 ) ] dt - ½ [ (2 t )/ (1 + t2) ] dt = dx / x Integrando e sostituendo y / x a t si ottiene 4 arctg t - ½ ln ( 1 + t2 ) = ln | cx | ______ 4 arctg (y / x) = ln ( | c | √ x2 + y 2 ) Equazione non più differenziale

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Complementi di algebra

EQUAZIONI PARAMETRICHE

Si definisce equazione parametrica un'equazione i cui coefficienti dipendono da uno o più elementi, diversi dalle variabili e dalle incognite, detti parametri Es di equazione parametrica di primo grado ( Il parametro è k ) ( -k + 3 ) x + 2 k – 1 = 0

Es di equazione parametrica di secondo grado ( k + 2 ) x2 – 2 ( k – 1 ) x + k – 3 = 0 Ovviamente le radici di tali equazioni sono funzioni dei parametri

SISTEMA MISTO Un sistema composto da una equazione, parametrica o no, di 1° o 2° grado, e da una o più disequazioni (di solito non parametriche) dette limitazioni, costituisce un sistema misto

DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO

La discussione di un sistema misto consiste nel determinare la radice o le radici reali dell'equazione e nello stabilire per quali valori del parametro esse soddisfano, eventualmente, a tutte le limitazioni. Si hanno così: nessuna o una o due soluzioni ordinarie del sistema. Quando una radice coincide con una delle limitazioni si ha una soluzione limite Per effettuare tale discussione si possono adottare diversi metodi, tra i quali è naturalmente opportuno scegliere quello più conveniente EQUAZIONI NON PARAMETRICHE - METODO DEL CONFRONTO DIRETTO Quando nel sistema misto l'equazione di 1° o 2° g rado non è parametrica, occorre trovare la radice o le radici dell'equazione e verificare se esse soddisfano o meno a tutte le limitazioni, mediante un confronto diretto Esempio 1° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione non parametrica di 2° grado e due limitazioni x2 – 12 x + 8 = 0 0 < x < 15 _ Le radici dell'equazione sono x1 = -6-2√7 e x2 = -6+2√7 Essendo 0 < x1 < 15 ed invece x2 < 0 è accettabile la sola radice x1 EQUAZIONI PARAMETRICHE - METODO DEL CONFRONTO DIRETTO Quando l'equazione del sistema misto è parametrica si può ricorrere ancora al confronto diretto, come negli esempi che seguono Esempio 2° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 1° grado ed una sola limitazione

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(k + 1)x + k = 3 x ≥ 1 Ovviamente deve essere k ≠ -1 perché in caso contrario l'equazione sarebbe impossibile 3 – k 3 - k La radice dell'equazione è x = che deve essere ≥ 1 cioè - 1 ≥ 0 2 – 2k k + 1 k + 1 da cui ≥ 0 k + 1 -1 1 (k) N = 2 – 2k ≥ 0 per k ≤ 1 D = k + 1 > 0 per k > -1 - + - Affinché la radice soddisfi la limitazione deve quindi essere -1 < k ≤ 1

********** Esempio 3° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 1° grado e due limitazioni kx – 2k = -4

0 < x < 3 Ovviamente deve essere k ≠ 0 -4 + 2k -4 + 2k La radice dell'equazione è x = e deve essere 0 < < 3 k k Esaminiamo separatamente le due disequazioni 0 2 (k) -4 + 2k N = -4 + 2k > 0 per k > 2 > 0 ⇒ quindi k D = k > 0 per k > 0 k < 0 v k > 2 + - + -4 0 -4 + 2k N = -4 – k > 0 per k < -4 - 3 < 0 ⇒ quindi k D = k > 0 per k > 0 k < -4 v k > 0 - + - Si può concludere che le radici soddisfano alle limitazioni se è k < -4 v k > 2

********** Esempio 4° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 2° grado e due limitazioni (V. anche l'esempio 13° a pag 46) 2 x2 - 3 x - 1 + 2 k = 0 0 < x < 2. Innanzitutto si controlla la realtà delle radici E' ∆ = 17 – 16 k ≥ 0 per k ≤ 17/16 Le radici dell'equazione sono ________ _______ 3 – √17 – 16 k 3 + √17 – 16 k x1 = e x2 = 4 4

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A questo punto si impone alle radici di soddisfare alle due limitazioni ________ ________ x1 > 0 ⇒ 3 – √17 – 16 k >0 ⇒ 3 > √17 – 16 k ⇒ 9 > 17 – 16 k ⇒ k > 1/2 ________ ________ x1 < 2 ⇒ 3 – √17 – 16 k < 8 ⇒ √17 – 16 k > - 5 sempre verificata per ogni valore di 1/2 17/16 (k) k che soddisfi la condizione di o realtà : k ≤ 17/16 - + - quindi 1/2 < k ≤ 17/16 ________ ________ x2 > 0 ⇒ 3 + √17 – 16 k > 0 ⇒ √17 – 16 k > - 3 sempre verificata, come sopra _______ ________ x2 < 2 ⇒ 3 + √17 – 16 k < 8 ⇒ √17 – 16 k < 5 ⇒ 17 – 16 k < 25 ⇒ k > -1/2 -1/2 17/16 (k) • - + - quindi -1/2 < k ≤ 17/16 Riepilogando si ha - 1/2 1/2 17/16 (k) per x1 o •

" x2 o •

Dallo schema risulta che 1 radice ( x2 ) è accettabile per -1/2 < k ≤ 1/2 ( 1 soluzione ) 2 radici sono accettabili per 1/2 < k ≤ 17/16 ( 2 soluzioni ) METODO DI CARTESIO Le equazioni parametriche di 2° grado con una o pi ù limitazioni si possono risolvere anche, più semplicemente, applicando il metodo di Cartesio Occorre qui ricordare la regola dei segni, di Cartesio, secondo cui, data un'equazione a x2 + b x + c = 0 , ad ogni variazione di segno dei coefficienti (cioè tra a e b o tra b e c) corrisponde una radice positiva dell'equazione; ad ogni permanenza di segno corrisponde invece una radice negativa Esempio 5° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 2° grado con due limitazioni k x2 – (5 k – 3) x + 6 k – 5 = 0 0 < x < 3 Esaminiamo innanzitutto la limitazione x > 0

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Condizione di realtà delle radici ∆ = (5 k – 3)2 – 24 k2 + 20 k = k2 – 10 k + 9 ≥ 0 per k ≤ 1 e k ≥ 9 1° coeff. = k > 0 per k > 0 2° " = -(5 k – 3) ≥ 0 per k ≤ 3/5 3° " = 6 k – 5 ≥ 0 per k ≥ 5/6 A questo punto si costruisce lo schema ( v = variazione ; p = permanenza ) 0 3/5 5/6 1 9 (k) ∆ • • 1° c •. 2° c. • 3° c. • 2v 1p 1v 1v 1p 2v 2v + + - + + - - - + + Dovendo essere x > 0 si considerano soltanto i segni + e quindi si può concludere che, per la limitazione in esame, esistono per k < 0 2 soluzioni " 0 < k < 5/6 1 soluzione (x2) " 5/6 < k < 1 2 soluzioni " k > 9 2 soluzioni Per quanto riguarda la limitazione x < 3 (diversa da > 0 o da < 0) occorre ricorrere ad un artificio, introducendo la variabile y nel modo seguente y = x – 3 < 0 da cui x = y + 3 L'equazione data si trasforma in quella seguente k (y + 3)2 - (5 k – 3)(y + 3) + 6 k – 5 = 0 ed il sistema misto diventa così k y2 + (3 + k) y + 4 = 0 y < 0 La condizione di realtà delle radici è identica a quella calcolata in precedenza cioè ∆ ≥ 0 per k ≤ 1 e k ≥ 9 1° coeff. k > 0 per k > 0 2° " 3 + k ≥ 0 per k ≥ -3 3° " 4 > 0 sempre Lo schema risultante è il seguente -3 0 1 9 (k) ∆ • • 1° c • 2° c • 3° c 1p 1v 1v 1p 2p 2p - + + - - - - -

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Poiché deve essere y < 0 si considerano soltanto i segni - e pertanto si può concludere che, per questa limitazione, esistono per k ≤ -3 1 soluzione (y1 ⇒ x1) " -3 ≤ k ≤ 0 1 soluzione id. " 0 ≤ k ≤ 1 2 soluzioni " k ≥ 9 2 soluzioni Esaminando i due gruppi di conclusioni relative alle due limitazioni si può concludere che per k < 0 1 radice è accettabile (x1) " 0 ≤ k < 5/6 1 radice è accettabile (x2) " 5/6 < k ≤ 1 2 radici sono accettabili " k ≥ 9 2 radici sono accettabili

********** Anche nel caso di due limitazioni del tipo x < -m x > n occorre adottare l'artificio prima descritto. Cioè si deve introdurre la variabile y (nel caso delle limitazioni sopra citate si pone y = x + m < 0 da cui x = y – m e y = x – n > 0 da cui x = y + n) e poi procedere come nell'esempio precedente I due schemi risultanti vanno valutati separatamente Se le due limitazioni sono -∞ < x < +∞ ( ad es, f(x) simmetrica rispetto a 0) si applica Cartesio per x ≥ 0, oppure per x ≤ 0, e si raddoppiano le soluzioni. Se la f(x) non è simmetrica si applica Cartesio prima per x > o e poi per x < 0 e si riuniscono le soluzioni METODO DI TARTINVILLE Se il sistema misto ha un'equazione di 2° grado ed una sola limitazione come ad es il seguente A x2 + B x + C = 0 ( con A, B, e C funzioni di un parametro ) x ≤ s occorre controllare innanzitutto la realtà delle radici verificando che il ∆ dell'equazione sia ≥ 0 Se ∆ = 0 le radici sono coincidenti ( cioè = Σ = -b/2a ) e pertanto il confronto con la limitazione è immediato Se ∆ > 0 si calcola l'espressione f(s) che si ottiene sostituendo alla x il numero s nell'equazione data e se ne determina il segno. Quindi si procede nel modo seguente Se il prodotto A f(s) < 0 risulta x1 < s < x2 ossia s è interno all'intervallo delle radici Si ha quindi una sola soluzione che è x1 se la limitazione è x ≤ s ( V. schema s Σ Σ s x1 x2 ), x2 se la limitazione è x ≥ s (V schema x1 x2 ) Se il prodotto A f(s) > 0 risulta s < x1 < x2 oppure x1 < x2 < s ossia s è esterno all'intervallo delle radici Per decidere se entrambe le radici sono > o < di s occorre confrontare s con Σ, dal momento che per ∆ > 0 è x1 < Σ < x2 Se s < Σ le radici sono entrambe > s ( V schema s Σ ) Si avranno pertanto due soluzioni se la limitazione è x1 x2 x > s; nessuna soluzione se è x < s Se s > Σ le radici sono entrambe < s ( V schema Σ s ) Si avranno pertanto due soluzioni se la limitazione è x1 x2 x < s; nessuna soluzione se è x > s

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Esempio 6° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 2° grado ed una limitazione p x2 - 2 ( p – 1 ) x + p – 5 = 0 x < -3 Ovviamente deve essere p ≠ 0 perché altrimenti l'equazione sarebbe di 1° grado Si calcolano: ∆ = 3 p + 1 ≥ 0 per p ≥ -1/3 A = p > 0 per p > 0 f(-3) = 9 p + 6 ( p – 1 ) + p – 5 = 16 p – 11 ≥ 0 per p ≥ 11/16 Lo schema risultante è il seguente -1/3 0 11/16 (p) ∆ A f(-3) A f(-3) > 0 < 0 > 0 Le conclusioni: per -1/3 ≤ p < 0 il prodotto A f(-3) è > 0 ; x < -3 nessuna soluzione per 0 ≤ p < 11/16 " " " " < 0 ; 1 soluzione (x1) per p ≥ 11/16 " " " " > 9 ; x < -3 nessuna soluzione

********** Nel caso di due limitazioni il sistema misto è ad es il seguente A x2 + B x + C = 0 m ≤ x ≤ n (con m < n) Dopo avere verificato la realtà delle radici ( ∆ ≥ 0 ) si calcolano f(m) e f(n) 1) Se A f(m) < 0 e A f(n) < 0 : nessuna soluzione 2) Se A f(m) < 0 e A f(n) > 0 o viceversa: una sola soluzione ordinaria

( x2 nel primo caso, x1 nel secondo ) 3) Se A f(m) > 0 e A f(n) > 0 e m < Σ < n : due soluzioni ordinarie, distinte o

coincidenti Nessuna soluzione se m < n < Σ o se Σ < m < n 4) Se f(m) = 0 e f(n) ≠ 0 : una radice coincide con m Analogamente se f(m) ≠ 0 e f(n) = 0: una radice coincide con n 5) Se contemporaneamente f(m) = 0 e f(n) = 0: m ed n coincidono con le radici 6) Se f(m), oppure f(n), sono = 0 per qualunque valore di k: una delle soluzioni è

x = m, oppure x = n Si può facilmente trovare l'altra radice e procedere nella discussione

********** Nel caso di limitazioni del tipo x ≤ m x ≥ n (con m < n) le regole precedenti si modificano come segue: 1 bis) Se A f(m) < 0 e A f(n) < 0 ; due soluzioni 2 bis) Se A f(m) < 0 e A f(n) > 0 o viceversa: una soluzione 3 bis) Se A f(m) > 0 e A f(n) > 0 e m ≤ Σ ≤ n: nessuna soluzione Una soluzione se m < n < Σ oppure Σ < m < n

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Esempio 7° Sia dato il seguente sistema misto con una equazione parametrica di 2° grado e due limitazioni i (1 – 2k) x2 + x + 1 = 0 -3 < x < 3 Si calcolano: ∆ = -3 + 8 k ≥ 0 per k ≥ 3/8 A = 1 – 2 k ≥ 0 per k ≤ 1/2 f(-3) = 7 – 18 k ≥ 0 per k ≤ 7/18 f(3) = 13 – 18 k ≥ 0 per k ≤ 13/18 -1 Σ = 2(1 – 2 k) -1 5 -12 k N ≥ 0 per k ≤ 5/12 quindi Σ > -3 ⇒ > -3 ⇒ > 0 k ≤ 5/12 k >1/2 2 – 4 k 2 – 4 k D > 0 per k < 1/2 -1 12 k – 7 N ≥ 0 per k > 7/12 quindi Σ < 3 ⇒ < 3 ⇒ < 0 k <1/2 k > 7/12 2 – 4 k 2 – 4 k D >0 per k < 1/2 Si traccia il solito schema 3/8 7/18 (5/12) 1/2 (7/12) 13/18 (k) ∆ • A • f(-3) • f(3) • Σ > -3 Σ < 3 Le conclusioni sono le seguenti: f(-3) ed A hanno segno uguale: A f(-3) > 0 Per 3/8 ≤ k ≤ 7/18 f(3) ed A " " " A f(3) > 0 2 soluzioni -3 < Σ < 3 f(-3) ed A hanno segno opposto: A f(-3) < 0 Per 7/18 < k ≤ 1/2 1 soluzione f(3) ed A " " uguale: A f(3) > 0 f(-3) ed A hanno segno uguale: A f(-3) > 0 Per 1/2 < k ≤ 13/18 1 soluzione f(3) ed A " " opposto: A f(3) < 0 f(-3) ed A hanno segno uguale: A f(-3) > 0 Per k > 13/18 2 soluzioni

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f(3) ed A " " " A f(3) > 0

SISTEMI MISTI CON EQUAZIONI PARAMETRICHE IN DUE INCOGNITE Dato un sistema di due equazioni, di cui almeno una parametrica, nelle incognite x ed y, soggetto a limitazioni, si può discuterlo eliminando un'incognita, ad es la y, ottenendo così una equazione risolvente nella sola x. Si procede quindi come nei casi precedenti Esempio 8° Sia dato il seguente sistema misto con due equazioni parametriche in due incognite, di cui una di 1° g rado e l'altra di 2° grado, ed una limitazione per ognuna delle incognite 4 x + y = k + 2 (1) y = 2 x2 – k (2) x ≥ 0 y ≥ 0 Sostituendo la (2) nella (1) si ottiene il nuovo sistema misto seguente x2 + 2 x – k – 1 = 0 x ≥ 0 Condizione di realtà delle radici ∆ = k + 2 ≥ 0 per k ≥ -2 Applicando il metodo di Cartesio risulta 1° coeff. 1 > 0 se mpre 2° " 2 > 0 " 3° " - k – 1 ≥ 0 per k ≤ -1 Lo schema risultante è quindi il seguente -2 -1 ∆ 1° c 2° c 3° c • 2p 2p 1p 1v - - - - - + Dovendo essere x ≥ 0 si deve tenere conto dei soli segni + e quindi la soluzione è k > -1 Esempio 9° Sia dato il seguente problema: In una semicirconferenza di raggio r si deve inscrivere un trapezio isoscele avente un perimetro 2p e base maggiore uguale al diametro E' opportuno indicare la base minore con 2x ed il D 2x C lato obliquo con y

Il perimetro risulta così 2p = 2x + 2y + 2r cioè p = x + y + r A B Dai due triangoli OCH e BCH si ricava ( HB = r-x; OH = x )

O

H

2x

r

y

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y2 - r2 – x2 + 2rx = r2 – x2 e, poiché y = p – x – r si ottiene l'equazione di 2° grado nella sola x: x2 – 2(p – 2r)x + p2 – r2 – 2rp = 0 ( p è il parametro ) (1) Le limitazioni sono _ Per la x: 0 ≤ x ≤ r (2) Per la y: 0 ≤ y ≤ √2 r Ricordando la precedente espressione della y, le relative limitazioni si trasformano in quelle che seguono _ per la x p – r - √2 r ≤ x ≤ p – r (3) Si giunge così ad un sistema misto costituito dalla (1), dalle (2) e dalle (3) L' equazione (1) deve essere quindi confrontata con le quattro limitazioni della x Si può adottare il metodo di Cartesio ( 4 volte ) 1) x ≥ 0 _ 2r (1+√2)r (5/2)r ∆ = -2rp + 5r2 ≥ 0 per p ≤ (5/2) r • 1° coeff 1 > 0 sempre 2° " -2p + 4r ≥ 0 per p ≤ 2r _ •

3° " p 2 – 2rp – r2 ≥ 0 per p ≥ r(1 + √2) • 1p 1v 1v 1p 2v - + + - + + Dovendo essere x ≥ 0 si ha 1 soluz 1 soluz 2 soluz x2 x2 x1 x2 2) x ≤ r Si pone w = x – r ≤ 0 ⇒ x = w + r Sostituendo il valore di x nella (1) si ottiene una equazione parametrica di 2°grado in w w2 – 2(p – 3r)w + p2 + 4r2 – 4rp = 0 2r (5/2)r 3r ∆ ≥ 0 per p ≤ (5/2)r come prima • 1° coeff 1 > 0 sempre 2° " -2p + 6r ≥ 0 per p ≤ 3r •

3° " p 2 - 4rp + 4r2 = (p – 2r)2 ≥ 0 Poiché per x = r è p = 2r (semiperimetro minimo) risulta p ≥ 2r 1p 1v 2p

- + - - Dovendo essere w ≤ 0 si hanno ⇒ 1 soluz 2 soluz w1 w1 w2

e quindi ⇒ x1 x1 x2 _ _ _ 3) x ≥ p – r - √2 r Si pone z = x – p + r + √2 r ≥ 0 ⇒ x = z + p – r - √2 r Sostituendo nella (1) il nuovo valore di x si ottiene ancora un'equazione di 2° grado in z

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_ _ z2 - 2(√2 r – r)z + 2rp – 2r2 - 2√2 r2 = 0 _ (1+√2)r (5/2)r ∆ ≥ 0 per p ≤ (5/2)r come prima • 1° coeff 1 > 0 _ sempr e _ 2° " 2r - 2 √2 r ≥ 0 per 1 ≥ √2 _ mai 3° " 2rp – 2r 2 – 2√2 r2 ≥ 0 per p ≥ (1 + √2) r • 1v 1p 2v + - + + Dovendo essere z ≥ 0 si ha ⇒ 1 soluz 2 soluz z2 z1 z2 e quindi ⇒ x2 x1 x2 4) x ≤ p - r Si pone t = x - p + r ≤ 0 ⇒ x = t + p – r Ancora una volta sostituiamo il valore di x nella (1) ottenendo l'equazione seguente t2 + 2rt + 2rp - 4r2 = 0 2r (5/2)r ∆ ≥ 0 per p ≤ (5/2)r come sopra • 1° coeff 1 > 0 sempre 2° " 2r > 0 sempre 3° " 2rp – 4r 2 ≥ 0 per p ≥ 2r • 1p 1v 2p - + - Dovendo essere t ≤ 0 si ha ⇒ 1 soluz 2 soluz t1 t1 t2 e quindi ⇒ x1 x1 x2 A questo punto si possono riassumere le soluzioni accettabili nella tabella seguente _ 2r (1 + √2)r (5/2)r 1) x ≥ 0 x2 x2 x1 x2

2) x ≤ r _ x1 x1 x2 x1 x2 3) x ≥ p – r - √2 r x2 x2 x1 x2 4) x ≤ p - r x1 x1 x2 x1 x2

Esaminando la tabella si può concludere che per p < 2r _ non si hanno soluzioni per 2r ≤ p < (1 + √2 )r si ha una sola soluzione (x2) per (1 + √2)r ≤ p ≤ (5/2)r si hanno due soluzioni

M ETODI GRAFICI

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Il sistema misto con un'equazione parametrica di 1° o 2° grado, con una o più limitazioni si può risolvere con un metodo grafico come è descritto negli esempi che seguono Esempio 10° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 1° grado e due limitazioni 2 k x + k = 5 + 3 x 0 ≤ x ≤ 5 k - 5 La radice dell'equazione è x = in cui deve essere 3 – 2k ≠ 0 cioè k ≠ 3/2 3 – 2k Per risolvere graficamente il sistema si fa ricorso ad un artificio y

che consiste nell'introdurre opportunamente la variabile y Il sistema dato si trasforma nel seguente A ( 0 ; 5 ) B

y = 2 k x – 3 x + k (1) _ (5;5) y = 5 (2) _ 0 ≤ x ≤ 5 (3) _ C • _ La (1) è l'equazione di un fascio proprio di rette con centro C ( -1/2 ; 3/2 ) Queste coordinate si ottengono risolvendo il -1 O 1 2 3 4 5 x sistema delle due generatrici del fascio 3 x + y = 0 2 x + 1 = 0 La (2) è l'equazione di una retta parallela all'asse x e passante per il punto ( 0 , 5 ) I punti del piano cartesiano che soddisfano alle (3) sono quelli appartenenti al segmento AB (V fig ) Considerando la retta del fascio che passa per A si ottiene dalla (1) k = 5 ; quella che passa per B dà k = 20/11 Entrambi i valori sono > 3/2 La radice dell'equazione è quindi accettabile per 20/11 ≤ k ≤ 5

********** Esempio 11° Sia dato il seguente sistema misto con due equazioni di 2° grado; di cui una parametrica, in due incognite ed una limitazione x2 + y2 = 4 (1)

y = x2 + k (2) y ≥ x (3)

La (1) è l'equazione di una circonferenza con centro O e raggio 2 La (2) è l'equazione di un fascio di parabole con asse parallelo all'asse y e vertici (0; k) La (3) indica che la soluzione si trova nel semipiano situato a sinistra della retta y = x e cioè sull'arco AB di circonferenza che giace nel semipiano suddetto _ _ Considerando una parabola del fascio passante per A (-√2 , -√2) e poi una per B (√2; √2) e una per C (0; 2) si ottiene, rispettivamente _ _ parabola per A -√2 = 2 + k da cui k = -2 –√2

A

B

C

T

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parabola per B √2 = 2 + k da cui k = -2 +√2 parabola per C 2 = 0 + k da cui k = 2 Il punto T di tangenza tra una parabola del fascio e la circonferenza è dato dal sistema costituito dalla (1) e dalla (2), ponendo = 0 il ∆ dell'equazione risultante Dalla (1) si ricava x2 = 4 – y2 che sostituito nella (2) dà y2 + y – 4 – k = 0 con ∆ = 4 k + 17 = 0 da cui k = -17/4 Osservando la figura si conclude che si hanno: _ 2 soluzioni per - 17/4 ≤ k ≤ - 2 – √2 _ 1 soluzione per - 2 – √2 < k < - 2 + √2 2 soluzioni per - 2 + √2 ≤ k ≤ 2 METODO GRAFICO DELLA PARABOLA FISSA I sistemi misti con equazioni di 2° grado in x p ossono anche essere discussi graficamente con il metodo della parabola fissa. Per fare questo occorre trasformare il sistema misto dato in uno in x ed y mediante una opportuna sostituzione (come ad es. y = x2) ottenendo in tal modo l'equazione di una parabola e quella di un fascio proprio di rette con centro C Disegnata la parabola se ne considera l'arco i cui punti estremi hanno le ascisse corrispondenti alle limitazioni imposte Da C si conducono le cosiddette rette notevoli passanti per tali due punti ed eventualmente la tangente alla parabola e si ricavano i valori di k corrispondenti, sostituendo nella equazione del fascio i valori delle coordinate dei punti Esempio 12° Sia dato il seguente sistema misto con un'equazione parametrica di 2° grado e due limitazioni k x2 + 2(2 + k)x + 9 = 0 (1) -1 ≤ x ≤ 2 In questo caso, essendo il parametro k il coefficiente di x2 e di x, è opportuno effettuare nella (1) la sostituzione y = x2 + 2 x ottenendo così il seguente sistema misto y = x2 + 2 x (1) 4 x + k y + 9 = 0 (2) -1 ≤ x ≤ 2 (3) La (1) è l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y La (2) è l'equazione di un fascio proprio di rette con centro C(-9:; 0) A Le limitazioni (3) stabiliscono che le soluzioni stanno nella fascia y di piano compresa tra le rette x = -1 e x = 2 , ossia sull'arco di parabola VA, in cui A (2; 8) Considerando le rette del fascio che passano per V e per A si ottiene B - 4 + 9 – k = 0 da cui k = 5 8 + 9 + 8 k = 0 da cui k = - 17/8 Non si considera la tangente alla parabola C O x perché il punto di tangenza ha ascissa -3/2

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e quindi al di fuori dell'intervallo di limitazione V Osservando la figura si può quindi concludere che si ha x = -1 x = 2 1 soluzione per k ≤ - 17/8 ( arco di parabola AO ) 1 soluzione per k ≥ 5 ( arco di parabola VO) ( Va notato che ad es. in B (1; 3) è k = - 13/3 che è < - 17/8) Esempio 13° L'equazione dell'esempio 4° ha il parametro sol tanto nel termine noto (parametro isolato) In tal casi con il metodo grafico della parabola fissa si può considerare il sistema misto seguente y = -2 x2 + 3 x + 1 (1) y

y = 2 k (2) _ V 0 < x < 2 A C La (1) è l'equazione di una parabola con il vertice V (3/4 ; 17/8 ) La (2) è l'equazione di una retta parallela all'asse x O 1 2

Tracciata tale parabola se ne considera l'arco AB avente gli estremi con le ascisse corrispondenti alle B

limitazioni imposte A (0 ; 1) B ( 2 ; -1) Si fanno passare le rette notevoli per A, B e V e si calcolano i corrispondenti valori di k Retta per A y = 2 k = 1 k = 1/2 Retta per B y = 2 k = -1 k = -1/2 Retta per V y = 2 k = 17/8 k = 17/16 Dall'esame della figura si può concludere che Per -1/2 < k ≤ 1/2 si ha 1 soluzione (1 intersezione delle rette comprese tra C e B, con la parabola ) Per 1/2 < k ≤ 17/16 si hanno 2 " ( 2 intersezioni delle rette comprese tra A e V, con la parabola) Le conclusioni sono ovviamente uguali a quelle dell'esempio 4°

DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO IRRAZIONALE - METODO ALGEBRICO Dovendosi risolvere un problema geometrico conducente ad un sistema misto composto da un'equazione irrazionale del tipo ___ √ f(x) = g(x) (1) (in cui f(x) è una funzione di 1° o 2° grado) e di una o due limitazioni, si deve innanzitutto elevare al quadrato i due membri della (1), ma affinché ciò sia lecito occorre che sia g(x) ≥ 0 (tale limite è detto limite algebrico per distinguerlo dalle limitazioni del problema) Si ottiene così l'equazione f(x) = [ g(x) ]2 (2) in cui è f(x) ≥ 0 essendo il secondo membro certamente ≥ 0 Si discute quindi il sistema misto composto dalla equazione (2), dalle limitazioni del problema e dal limite algebrico Esempio 14° Sia dato il seguente sistema misto ( v anche l'esempio 15° ) √2 x – x2 = 2 x + k (3) 0 < x < 1 Dovendo essere 2 x + k ≥ 0, deve essere x ≥ -k/2 (limite algebrico)

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Elevando al quadrato la (3) si ottiene l'equazione x(2 – x) = (2 x + k)2 (4) Essendo il secondo membro della (4) positivo o nullo, anche il primo membro è positivo o nullo, cioè x(2 – x) ≥ 0 da cui 0 ≤ x ≤ 2 Ma tali limitazioni sono già implicite in quelle del problema Si tratta quindi di discutere, con i procedimenti descritti in precedenza, il seguente sistema misto 5 x2 – 2(1 – 2 k)x + k2 = 0 0 < x < 1 x ≥ - k/2 ricavando dal solito schema i valori di k che determinano le soluzioni del problema METODO GRAFICO Volendosi discutere con metodo grafico un sistema misto costituito da una equazione irrazionale del tipo ___ √ f(x) = g (x,k) ( in cui g(x,k) è una funzione di 1° grado) e da una o due limitazioni, l'equazione data viene trasformata come segue y = √ f(x) equazione di una curva esponenziale y = g(x,k) equazione di un fascio di rette Per la discussione si procede come descritto in precedenza Esempio 15° Applichiamo il metodo grafico al sistema misto dell'esempio 14° Scriviamo il sistema nella forma seguente y = √ 2 x – x2 (1) y = 2 x + k (2) 0 < x < 1 y > 0 La (1) elevata al quadrato diventa x2 + y2 – 2 x = 0 che rappresenta un'ellisse La (2) è l'equazione di un fascio improprio di rette Dell'ellisse si individua l'arco i cui estremi hanno le ascisse corrispondenti alle limitazioni Dovendo essere y > 0 tale arco è quello OA Si tracciano quindi le rette notevoli del fascio A (m = 2) passanti per i punti O ed A e quella T tangente in T ( 1 –(2√5)/ 5 ; √5/5 ) O La retta per O ha k = 0 La retta per A ha k = -1_ La retta per T ha k = √5 – 2 Esaminando la figura si può concludere che Per -1 ≤ k ≤ 0 _ si ha 1 soluzione Per 0 < k ≤ √5 – 2 si hanno 2 soluzioni

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RISOLUZIONE DI SISTEMI PARAMETRICI CON LE MATRICI

ax + by + cz = m dx + ey + fz = n gx + hy + kz = p a b c Determinante dei coefficienti delle incognite ∆ = d e f = g h k = aek + bfg + cdh –ceg – bdk – ahf Se ∆ ≠ 0 il sistema è Crameriano: ammette una e una sola soluzione xo yo zo

Matrice completa: B Matrice incompleta: A a b c m B = d e f n A = ∆ g h k p TEOREMA DI ROUCHE'- CAPELLI Un sistema lineare con n incognite ammette soluzioni ( una o infinite ) se e solo se la matrice incompleta A e la matrice completa B hanno lo stesso rango k N.B. Rango di una matrice è l’ordine delle più estese delle sue sottomatrici quadrate aventi determinanti ≠ 0 Ordine di una matrice quadrata (sottomatrice ) è il numero delle sue righe e delle sue colonne Se k = n il sistema ammette una e una sola soluzione che si determina con la regola di Cramer Se k < n il sistema ammette ∞ n-k soluzioni Se kA ≠ kB Il sistema è impossibile

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REGOLA DI CRAMER m b a m ax + by = m n d b n x = y = cx + dy = n a b a b c d c d a b ∆ = = ad - bc deve essere ≠ 0 c d Es ax + by + 2z = 1 a b 2 ax - y + 3z = b A = a -1 3 = -a ( b + 1 )2 ax + by + (b+3)z = 1 a b (b+3) Se a ≠ 0 e b ≠ -1 è A ≠ 0 quindi il sistema è Crameriano e ammette una e una sola soluzione Il rango di A è k = 3 come quello di B L’ordine è n = 3 (n=k) Negli altri casi il rango della matrice A non sarà = 3 Si hanno 3 casi: a = 0 ; b ≠ -1 a ≠ 0 ; b = -1 a = 0 ; b = -1 1° caso 0 b 2 1 La matrice completa B è 0 -1 3 b 0 b (b+3) 1 Essendo una colonna formata da elementi tutti = 0, consideriamo la sottomatrice di ordine 3 e rango 3 il cui determinante è b 2 1 -1 3 b = - ( b + 1 ) ( b2 + 1 ) b (b+3) 1 che, essendo b ≠ -1 per ipotesi, è ≠ 0 In questo caso la sottomatrice A è 0 b 2 0 -1 3 Pertanto il suo rango è soltanto 2 0 b (b+3)

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Essendo il rango di A diverso da quello di B il sistema è impossibile 2°) caso a -1 2 1 La matrice completa B è a -1 3 -1 Poiché la 1^ e la 3^ riga sono uguali a -1 2 1 non si potrà mai avere una sottomatrice quadrata di ordine e rango = 3 con determinante diverso da zero Pertanto anche il rango della matrice completa non sarà = 3 ma = 2 In questo caso la matrice incompleta A e la matrice completa B hanno entrambe rango = 2 per cui il sistema è compatibile e ammette ∞n-k = ∞3-2 = ∞1 soluzioni 3°) caso 0 -1 2 1 La matrice completa B è 0 -1 3 -1 Vedi il 2° caso 0 -1 2 1 Riepilogando Per a ≠ 0, b ≠ -1 il sistema ammette una e una sola soluzione ( Cramer ) Per a = 0, b ≠ -1 il sistema è impossibile Per a ∈ R, b = -1 il sistema ammette ∞1 soluzioni ( è indeterminato )

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DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI 1° GRADO Es. -3 x ≥ 6 ⇒ - x ≥ 6/3 = 2 ⇒ x ≤ -2 | | -∞ -2 0 Es. 8 x > 5 ⇒ x > 5/8 | | 0 5/8 +∞ SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI 1° GRADO Es. (5 x + 1) / 3 – (x – 1) / 4 < 2 Portare tutti gli (5 x + 1) / 3 – (x – 1) / 4 – 2 < 0 elementi nel 1° (5 x – 1) / 3 + (2 x – 1) / 6 > 1 membro (5 x – 1) / 3 + (2 x – 1) - 1 > 0 Ridurre ogni equazione allo stesso denominatore e quindi risolverle (*) (20 x + 4 – 3 x + 3 – 24) / 12 < 0 17 x – 17 < 0 x < 1 (*) (10 x – 2 + 2 x – 1 – 6) / 6 > 0 (4 x – 3) / 2 > 0 x > 3 /4 Tracciare lo schema ¾ 1 con i caposaldi ¾ e 1 1^ diseq. 2^ “ + Si prende l’intervallo con il segno +, per cui il sistema risulta soddisfatto per ¾ < x < 1 (*) Essendo il denominatore > 0 lo si può eliminare, perché è il numeratore che comanda. Tale eliminazione non è possibile quando il denominatore è < 0. Si tratta infatti di disequazioni e non di equazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Si suppone f(x) = a x2 + b x + c > 0 ed a > 0 SI risolve la equazione f(x) = 0 e se ne calcola il ∆ Se ∆ > 0 (radici reali), si esamina il segno di a ed il segno del trinomio della disequazione (Nell ‘ Es. si è supposto che entrambi siano > 0) Se i due segni sono uguali, per soddisfare la disequazione alla variabile x si attribuiscono valori esterni all’intervallo compreso tra le radici (x1 ed x2) dell’equazione f(x) = 0 Se i due segni sono diversi, alla variabile x si attribuiscono valori interni al suddetto intervallo delle radici

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Es f(x) = 2 x2 – x – 1 > 0 ∆ = 1 + 8 = 9 > 0 il trinomio è > 0 a = 2 > 0 Le radici dell’equazione f(x) = 0 sono x1 = -1/2 e x2 = 1 I segni del trinomio e di a sono uguali (>0), quindi per soddisfare la disequazione occorre attribuire alla variabile x valori esterni all’intervallo delle radici, cioè -1/2 1 x < -1/2 e x > 1 x x Es. f(x) = 3 x2 – 5 x + 2 ≤ 0 ∆ = 25 – 24 = 1 > 0 il trinomio è < 0 a = 3 > 0 Le radici dell’equazione f(x) = 0 sono x1 = 2/3 e x2 = 1 I segni del trinomio e di a sono diversi, quindi, per soddisfare la disequazione si attribuiscono ad x valori interni all’intervallo delle radici, cioè 2/3 1 2/3 ≤ x ≤ 1 x Se ∆ = 0 (radici reali coincidenti), la disequazione è soddisfatta per qualunque valore di x se a ed il trinomio hanno segni uguali. Non è mai soddisfatta se i segni sono diversi Per x = x1 = x2 il trinomio si annulla. Es. f(x) = 4 x2 – 12 x + 9 > 0 ∆ = 36 - 36 = 0 il trinomio è > 0 a = 4 > 0 Le radici dell’equazione f(x) = 0 sono x1 = x2 = 3/2

Essendo uguali i segni del trinomio e di a, la disequazione è soddisfatta per qualunque valore di x eccetto x = 3/2 per cui il trinomio si annulla (Si deve tenere presente che la f(x) è > 0 e non ≥ 0) Es. f(x) = -x2 + 10 x – 25 > 0 ∆ = 25 – 25 = 0 il trinomio è > 0 a = -1 < 0 Essendo diversi i segni del trinomio e di a, la disequazione non è mai soddisfatta Se ∆ < 0 la disequazione è sempre soddisfatta e non si annulla mai, se i segni del trinomio e di a sono uguali; non è mai soddisfatta se i segni sono diversi Es. f(x) = x2 – 2 x + 17 > 0

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∆ = 1 – 17 = -16 < 0 il trinomio è > 0 a = 1 > 0 Essendo uguali i segni del trinomio e di a, la disequazione è soddisfatta per qualunque valore di x Es. f(x) = -x2 + 4 x – 29 > 0 ∆ = 4 – 29 = -25 < 0 il trinomio è > 0 a = -1 < 0

Essendo diversi i segni del trinomio e di a, la disequazione non è mai soddisfatta SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO a b c N.B. Nei sistemi di diseq. di 2° grado si opera sul le varie diseq.. come si è visto prima, poi si fa lo schema conclusivo, senza le linee tratteggiate, e si prendono solo le soluzioni (linee continue) comuni a tutte le disequazioni.del sistema (v. figura a lato) Non si considerano gli intervalli privi di linee (no) (no) (si) (no) Es. 1^ x2 – 5 x > 0 2^ (x – 1) / 5 + 2 > (x – 3) / 2 3^ x2 – 16 ≤ 0 1^ diseq. ( 2° grado ) x2 – 5x >0 ∆ = 25 > 0 a = 1 > 0 x (x – 5) = 0 x1 = 0 x2 = 5 valori esterni cioè x < 0 e x > 5 2^ diseq ( 1° grado ) (x – 1) / 5 + 2 – (x – 3) / 2 > 0 -3 x + 33 > 0 x < 33 / 3 x < 11 3^ diseq. ( 2° grado ) (x – 4)(x + 4) ≤ 0 x1 = -4 x2 = 4 Essendo le radici reali si sa che ∆ > 0, e quindi, poiché f(x) ≤ 0 e a > 0, bisogna attribuire alla x valori interni cioè -4 ≤ x ≤ 4 A questo punto si costruisce lo schema con i capisaldi -4, 0, 4, 5, 11, -4 0 4 5 11 1^ diseq. o o • valori inclusi 2^ diseq o. 3^ diseq. • • o valori esclusi + -4 ≤ x < 0 Le tre disequazioni sono soddisfatte dai valori di x compresi tra -4 (incluso) e 0 (escluso)

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DISEQUAZIONI FRAZIONARIE Es. 3 + 1 / (x – 1) < 1 / (2 x + 1) ⇒ 3 + 1 / (x – 1) - 1 / (2 x + 1) < 0 Riducendo allo stesso denominatore e sommando i monomi simili si ottiene (*) (6 x2 – 2 x – 1) / ( 2 x2 – x - 1) < 0 Si suppone che sia il Numeratore, sia il Denominatore siano > 0 N ≥ 0 f(x) = 6 x2 – 2 x – 1 > 0 __ Ponendo f(x) = 0 si ricava x = (1 ± √ 7 ) / 6 Essendo ∆ > 0, il trinomio > 0, a > 0, si attribuiscono alla x valori esterni all’intervallo delle radici, cioè __ __ x < (1 - √ 7 ) / 6) e x > (1 + √ 7 ) / 6) D > 0 f(x) = 2 x2 – x - 1 > 0 __ Ponendo f(x) = 0 si ricava x = (1 ± √ 9 ) / 4) x1 = -1/2 x2 = 1 Poiché è ∆ > 0, a > 0, e il trinomio > 0, si attribuiscono alla x valori esterni e cioè x < -1/2 e x > 1 __ __ Si costruisce lo schema con i capisaldi -1/2, (1 - √ 7) / 6), (1 + √ 7 ) / 6), 1 __ __ -1/2 (1 - √ 7) / 6 (1 + √ 7) / 6 1 N o o D o o + - + - + Poiché la disequazione è < 0 si devono considerare i segni - anziché i + e si ha quindi __ __ -1/2 < x < (1 - √ 7 ) / 6 e (1 + √ 7 ) / 6 < x < 1 Per x = -1 e per x = 1 il denominatore si annulla e la disequazione non ha più significato (*) V. la nota al § Sistemi di equazioni di 1° grado. In questo caso non si sa se il denominatore è > o < 0 e quindi non si può eliminarlo N:B Lo schema relativo al Numeratore ed al Denominatore delle disequazioni frazionarie tiene conto sia delle linee continue che di quelle tratteggiate

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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Sono le disequazioni che contengono uno o più radicali contenenti l’incognita 1° caso n ____ Se la disequazione è della forma √ f(x) < g(x) e - se n è dispari, si elevano i due membri della disequazione alla n-sima potenza e si discute la disequazione f(x) < [ g(x) ]n - se n è pari, le soluzioni della disequazione sono quelle del sistema f(x) < [g(x) ]n g(x) > 0 f(x) ≥ 0 (CE) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NB 1 Nel caso di disequazioni irrazionali del tipo √f(x > o < √a (dove a è un numero positivo), si deve: 1° verificare che la CE (f(x) ≥ 0) sia soddisfatta; 2° risolvere la disequazione come una nor male disequazione razionale -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Es . 3 _______ √ 7 – 8 x3 < 1 – 2 x n dispari Si eleva al cubo e si ottiene, dopo le opportune riduzioni, p(x) = 2 x2 – x – 1 > 0

Le radici di p(x) = 0 sono x1 = -1/2 x2 = 1 che sono reali, quindi ∆ > 0 Il trinomio è > 0, a > o quindi: valori esterni x < -1/2 e x > 1 Es. __________ √ x2 – 4 x + 3 < 3 – 2 x n pari In questo caso si risolve il sistema: 1^ diseq. x2 – 4 x + 3 < (3 – 2 x)2 2^ diseq. 3 – 2 x > 0 3^ diseq, x2 – 4 x + 3 ≥ 0 La 1^ disequazione è uguale a 3 x2 – 8 x + 6 > 0 ∆ < 0 il trinomio è > 0, a > 0 quindi la disequazione è sempre soddisfatta La 2^ disequazione è soddisfatta per x < 3/2 La 3^ disequazione è soddisfatta per x ≤ 1 e x ≥ 3 Si costruisce lo schema con i capisaldi 1, 3/2, 3 1 3/2 3 1^ diseq. 2^ diseq. o 3^ diseq. • • + Dallo schema risulta che la disequazione data è soddisfatta per x ≤ 1 NB 2 Negli schemi, come quello precedente, gli intervalli privi di linee orizzontali non devono essere presi in considerazione

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2° caso n ____ Se la disequazione è della forma √ f(x) > g(x) e se n è dispari, intero, si elevano i due membri della disequazione alla n-sima potenza e si discute la disequazione f(x) > [ g(x) ]n se n è pari, intero, le soluzioni della disequazione sono quelle dei due sistemi

g(x) < 0 e g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0 (CE f(x) > [g(x) ] n

N.B I risultati dei due sistemi vanno poi inseriti su una sola retta ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ V. NB 1 alla pagina precedente. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Es. __________ √ x2 – 3 x + 2 > x – 5 n pari

Le soluzioni della disequazione sono quelle dei due sistemi A 1^ x – 5 < 0 B 3^ x2 – 3 x + 2 > (x – 5)2 2^ x2 – 3 x + 2 ≥ 0 4^ x – 5 ≥ 0

La 1^ disequazione è verificata per x < 5 La 2^ disequazione è verificata per x ≤ 1 e x ≥ 2

Lo schema corrispondente, con i capisaldi 1, 2, 5 1 2 5 1^ diseq. o 2^ diseq. • • + +

mostra che il sistema A è soddisfatto per x ≤ 1 e 2 ≤ x < 5 La 3^ disequazione è verificata per x > 23 / 7 La 4^ disequazione è verificata per x ≥ 5 Lo schema corrispondente, con i capisaldi 23 / 7 , 5 23 / 7 5 3^ diseq o. 4^ diseq. • + mostra che il sistema B è soddisfatto per x ≥ 5 Riunendo i risultati si conclude che la disequazione data è soddisfatta per ( v. N.B. sopra) 1 2 5 x ≤ 1 x ≥ 2 | | |

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3° caso In questo caso entrambi i membri della disequazione comprendono dei radicali, come ad es. √ f(x) < √ g(x). Per la condizione di realtà devono essere f(x) > 0 e g(x) > 0. Quindi, essendo entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato, senza pericolo di errore, ambedue i membri. Ne consegue la terza condizione f(x) < g(x) Es. √ x + 2 > √ 8 - x Le condizioni da considerare sono le seguenti -2 3 8 x + 2 > 0 x > -2 8 – x > 0 x < 8 x + 2 > 8 – x x > 3 La soluzione è quindi: 3 < x < 8 , come risulta dallo schema. Es. √ x + √ 2 – x > √ x2 - 9 Come nell’esempio precedente si devono considerare le condizioni: -3 0 2 3 x > 0 x > 0 2 – x > 0 x < 2 x2 – 9 > 0 x < -3 v x > 3 Le condizioni sopra evidenziate sono tra loro incompatibili, per cui non esiste nessuna soluzione della disequazione data, come appare dallo schema. DISEQUAZIONI CON ESPRESSIONI DI x IN VALORE ASSOLUTO Il valore assoluto di un numero reale o di una funzione, che si indica con | n | o | f(x) |, è il valore positivo di quel numero o di quella funzione. Seguono alcuni esempi delle disequazioni più comuni. 1° Esempio Disequazioni razionali intere con val ori assoluti Sia data la disequazione | x2 – 3x + 2 | < 4 + x (1) Si devono esaminare due alternative Se x2 – 3x + 2 > 0 Se x2 – 3x + 2 < 0 la (1) si può scrivere semplicemente occorre cambiare i segni della

espressione in valore assoluto x2 – 3x + 2 < 4 + x cioè per farla diventare positiva e quindi scrivere la (1) così x2 - 4x - 2 < 0 - x2 + 3x – 2 > 4 + x cioè che è soddisfatta per x2 – 2x + 6 > 0

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2 - √ 6 ≤ x ≤ 2 + √ 6 che, avendo il ∆ < 0, è sempre soddisfatta Si traccia lo schema con i capisaldi 2 - √ 6 e 2 + √ 6

- + -

e si conclude che la disequazione data (1) è soddisfatta per 2 - √ 6 ≤ x ≤ 2 + √ 6 2° Esempio Sia data la disequazione | x2 – 8x + 10 | > 3 (2) Si devono considerare due alternative Se x2 – 8x +10 > 0 Se x2 – 8x + 10 < 0 si può scrivere la (2) semplicemente si devono cambiare i segni della espressione in valore assoluto per x2 – 8x + 10 > 3 farla diventare positiva e quindi scrivere la (2) così cioè -x2 + 8x – 10 > 3 cioè x2 – 8x + 7 > 0 x2 – 8x + 13 < 0

che è soddisfatta per che è soddisfatta per x ≤ 1 v x ≥ 7 4 - √ 3 ≤ x ≤ 4 + √ 3 A questo punto si costruisce lo schema con i capisaldi sottoindicati 1 4 - √ 3 4 + √ 3 7 | | | | Da cui si conclude che la disequazione data (2) è soddisfatta per x ≤ 1 4 - √ 3 ≤ x ≤ 4 + √ 3 x ≥ 7 N.B. Lo schema è rappresentato da tratti continui su una sola riga perché la disequazione che si esamina è una sola alla volta, che si scompone in due per ragioni di calcolo. Invece nel caso di sistemi di disequazioni, di disequazioni frazionarie e di disequazioni con valori assoluti le equazioni sono due ( o più, nel caso,ad es., di sistemi con tre equazioni ) e quindi lo schema ha almeno due righe

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3° Esempio Disequazioni razionali con più espressi oni in valore assoluto Sia data la disequazione | x – 2 | - | x + 1 | > 0 Si noti che Condizioni di accettabilità | x – 2 | può corrispondere a x – 2 (A) se x – 2 è > 0 x > 2 oppure a 2 – x (B) se x – 2 è < 0 x < 2 e similmente | x + 1 | può corrispondere a x + 1 (C) se x + 1 è > 0 x > -1 oppure a - x – 1 (D) se x + 1 è < 0 x < -1 Combinando opportunamente le quattro espressioni A , B .C ; e D, tutte > 0, la disequazione data origina quattro disequazioni il cui confronto permette di determinare la soluzione di quella data Combinando: la (1) diventa: (A) con (C) x – 2 – (x + 1) > 0 x – 2 – x – 1 > 0 - 3 > 0 il che è impossibile (A) con (D) x – 2 – (-x – 1) > 0 x – 2 + x + 1 > 0 2x – 1 > 0 da cui si ricava la soluzione x > ½ che però non è accettabile perché in contrasto con la Condizione di accettabilità relativa ad (A) che è x > 2 (B) con (C) 2 – x – (x + 1) > 0 2 – x – x – 1 > 0 1 – 2x > 0 da cui si ricava la soluzione x < 1/2 , che è accettabile perché soddisfa entrambe le Condizioni di accettabilità relative a (B) ed a (C) che sono x < 2 e x > -1 (B) con (D) 2 – x – (- x – 1) > 0 2 – x + x + 1 >0 3 > 0 che è vera ma non è una disequazione in x Si può pertanto concludere che la (1) ha l’unica soluzione x < 1/2 4° Esempio Disequazioni razionali fratte con valor i assoluti Sia data la disequazione 2x – 5 > 1 (!) x + 1 Si devono considerare due alternative 2x – 5 > 0 2x – 5 < 0 x + 1 x + 1 In questo caso la (1) si può scrivere In questo caso si devono cambiare i segni del numeratore della frazione in valore assoluto 2x – 5 > 1 per farla diventare positiva x + 1 -2x + 5 > 0 da cui x + 1 2x – 5 – x - 1 > 0 Quindi la (1) si può scrivere x + 1 -2x + 5 – x – 1 > 0

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ossia x + 1 x – 6 > 0 cioè - 3x + 4 > 0

x + 1 x + 1 Si procede ora, come si è visto per le disequazioni frazionarie, supponendo che, il Numeratore che il Denominatore siano entrambi > 0 N x – 6 > 0 cioè x > 6 N - 3x + 4 > 0 cioè x < 4/3 D x + 1 > 0 “ x > -1 D x + 1 > 0 “ x > -1 Lo schema è il seguente Segue lo schema -1 6 -1 4/3 + - + - + - Dallo schema risulta che le soluzioni Per questa alternativa lo schema mostra per questa alternativa sono che la soluzione è x < -1 e x > 6 -1 < x < 4/3 Con lo schema riassuntivo seguente (che va tracciato su una sola riga) -1 4/3 6 si conclude che la disequazione data (1) è soddisfatta per x < -1 -1 < x < 4/3 x > 6 5° Esempio, Disequazioni irrazionali con valori as soluti Le disequazioni irrazionali includenti valori assoluti si risolvono ricordando le regole per la risoluzione delle disequazioni irrazionali e quelle delle disequazioni razionali con valori assoluti Sia data la disequazione

√ (2 / x) + | x + 1 | < 1 (1) Prima di tutto bisogna verificare la realtà della radice x + 1 ≥ -2 / x (a) (2 / x) + |x + 1 | ≥ 0 ⇒ | x +1 | ≥ - 2 / x da cui il sistema (2) x + 1 < 2 / x (b) x2 + x + 2 > 0 sempre soddisfatta La (2 a) equivale a ( x2 + x + 2 ) / x > 0 da cui x > 0 0 Ne deriva lo schema da cui si ricava la soluzione x > 0

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x2 + x - 2 > 0 soddisfatta per x < -2 x >1 La (2b) equivale a ( x2 + x - 2 ) / x < 0 da cui x > 0 -2 0 1 Lo schema è quindi: - + - + da cui (dovendosi considerare i segni - perché la disequazione è < 0 ) si deduce la soluzione x < -2 0 < x < 1 -2 0 1 Il sistema (2) ha quindi come soluzione x < -2 x > 0 che costituisce la condizione di esistenza (CE) Seguendo le regole delle disequazioni irrazionali (1° caso), la (1) si risolve risolvendo il seguente sistema (3) (2 / x) + | x + 1 | < 1 (a) 1 > 0 (b) (3) (2 / x) + | x + 1 | ≥ O (c) x + 1 < 1 – ( 2 / x ) (a) La disequazione (3a) equivale a | x + 1 | < 1 – (2 /x) ⇒ (4) x + 1 > (2/x) - 1 (b) La (4a) equivale a (x2 + 2 ) / x < 0 che è soddisfatta per x < 0 x2 + 2x – 2 > 0 soddisfatta per _ La (4b) equivale a (x2 + 2x – 2) / x > 0 ⇒ x<-1-√3 x> -1+√3 _ _ x > 0 -1-√3 0 -1+√3 Ne deriva lo schema dal quale (considerando i segni +) - + - + risulta la soluzione della (4b) -1 - √ 3 < x < 0 x > -1 + √ 3 La soluzione del sistema (4), cioè della (3a), è data dallo schema seguente -1 - √ 3 0 -1 + √ 3 cioè -1 - √3 < x < 0 (4a) (4b) La disequazione (3b) è sempre soddisfatta La disequazione (3c) è la CE Il sistema (3) ha quindi come soluzione quella data dallo schema risultante, che è la soluzione della disequazione data -1 - √3 -2 0 -1 + √3 __ (3a) cioè -1 - √3 < x < -2 (3b) (3c)

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Es __________ 1 / √ x + | x2 – x | > 1 Si verifica innanzitutto la CE x2 – x > -x (a) x + | x2 – x | ≥ 0 ⇒ | x2 – x | > -x da cui il sistema (5) x2 – x < x (b) La (5a) equivale alla x2 > 0 che è sempre soddisfatta, tranne che per x = 0 La (5b) equivale alla x2 - 2x < 0 che è soddisfatta per 0 < x < 2 La soluzione del sistema (5) schematicamente è 0 2 o o ossia x < 0 0 < x < 2 x > 2 (CE) Calcolata la CE si moltiplicano entrambi i membri della disequazione data per la radice e si ottiene in tal modo la disequazione irrazionale intera √ x + | x2 – x | < 1 Nuovamente si scrive il sistema formato da tre disequazioni (6), come nell’esempio precedente x + | x2 – x | < 1 (a) 1 > 0 (b) (6) x + | x2 – x | ≥ 0 (c) Si calcolano le tre disequazioni separatamente x2 – x < 1 – x (a) La (6a) si può scrivere | x2 – x | < 1 – x da cui il sistema (7) x2 – x > x – 1 (b) La (7a) equivale alla x2 - 1 < 0 la cui soluzione è -1 < x < 1 La (7b) si può scrivere x2 - 2x + 1 > 0 che, essendo il ∆ > 0, è sempre soddisfatta, tranne che per x = 1 -1 1 La soluzione del sistema (7) si ricava dallo schema o o -1 < x < 1 o La (6b) è sempre soddisfatta La (6c) è la CE La soluzione del sistema (6) si ottiene dallo schema -1 0 1 2 ed è -1 < x < 0 0 < x < 1 o DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Occorre innanzitutto tenere presente che il loga x cresce al crescere della x per a > 1, decresce al crescere della x per 0 < x < 1 Inoltre l’argomento del log, cioè il numero di cui si cerca il log, deve essere sempre > 0 1° caso

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Ridotta, se è necessario, la disequazione data,ad una delle due forme: 1^) loga F(x) > b 2^) loga F(x) < b se a > 1 la 1^ disequazione equivale alla F(x) > ab

F(x) > 0 la 2^ disequazione equivale al sistema F(x) < ab

se 0 < a < 1 le due equivalenze, di cui al punto a > 1, si invertono Es Log ( 2 x2 - 7 x + 10 ) > 2 Essendo la base 10 > 1, la disequazione, che è del tipo 1^) è equivalente alla 2 x2 – 7 x + 10 > 102 che, risolta, dà le soluzioni x < ½ e x > 3 Es Log ( x2 – 7 x + 11 ) < 0 Essendo la base 10 > 1, la disequazione, che è del tipo 2^) è equivalente al sistema x2 – 7 x + 11 ) > 0 __ __ x2 –7 x + 11 < 100 = 1 con le soluzioni 2 < x < (7-√ 5) / 2 e (7+√ 5) /2 < x < 5 2° caso Se la disequazione è della forma loga f(x) > loga g(x) dopo aver imposto le condizioni f(x) > 0 e g(x) > 0 ( v. inizio paragrafo ) la disequazione data per a > 1 è equivalente alla f(x) < g(x) per 0 < a < 1 è equivalente alla f(x) > g(x) Es. log4 ( 3 + 2 x ) > 2 log4 x Si impongono le condizioni 3 + 2 x > 0 da cui x > - 3/2 e x > 0 Dallo schema a fianco si deduce che deve essere -3/2 0 x > 0

- + Essendo la base a = 4 > 1 la disequazione data è equivalente alla 3 + 2 x > x2 da cui si ricava x = - 1 ed x = 3 -1 0 3 Riunendo le soluzioni nello schema a fianco

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si conclude che la disequazione è soddisfatta per 0 < x < 3 - + DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Sono le disequazioni in cui la variabile compare nell’esponente di una o più potenze Ci sono tre tipi di disequazioni esponenziali 1° tipo Si tratta di disequazioni esponenziali riconducibili alla forma af(x) > ag(x) con a ≠ 1 Tenendo presente che, come si era fatto presente per le disequazioni logaritmiche, le funzioni esponenziali sono crescenti per a > 1 e decrescenti per 0 < a < 1, la disequazione esponenziale in esame è equivalente per a > 1 ad f(x) > g(x) e per o < a < 1 ad f(x) < g(x) Es. 5x / x+1 > 53-x

La base a = 5 > 1, la disequazione è del 1° tipo, per cui si può scrivere x x2 – x - 3 > 3 – x ⇒ > 0 x + 1 x + 1 1-√ 13 1+√ 13 Si suppone N > 0 cioè x2 - x – 3 > 0 che è soddisfatta da x< e x > 2 2 Si suppone D > 0 cioè x + 1 > 0 che ha la soluzione x > - 1 Dallo schema si conclude che la disequazione data ___ ___ è soddisfatta per 1-√ 13 1-√ 13 __ __ -1 1 - √ 13 1 + √ 13 2 2 < x < -1 e x > N 2 2 D 2° tipo Disequazioni esponenziali riconducibili alla forma m . af(x) > n . bg(x) con a e b ≠ 1

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Tenendo presente che una funzione logaritmica con base > 1 è crescente, si può scrivere Log [m . af(x) ] > Log [n . bg(x) ] (Log è il logaritmo in base 10) Es. 4 . 5x + 1 < 3 . 22 x + 3 Log 4 + x Log 5 + Log 5 < Log 3 + 2 x Log 2 + 3 Log 2 x ( Log 5 – Log 4) < (Log 3 + Log 8) – (Log 4 + Log 5) Log 6/5 x Log 5/4 < Log 24/20 e quindi la soluzione è x = Log 5/4 3° tipo Disequazioni esponenziali nelle quali è opportuno effettuare un cambiamento di variabile, come af(x) = z Es 22x - 2x + 1 - 23 ≤ 0 22x - 2 . 2x - 8 ≤ 0 ponendo 2x = z si ottiene z2 - 2 z - 8 ≤ 0 ___ - 2 Ponendo la disequazione = 0 le soluzioni sono z = 1 ± √ 1+8 = . 4 Per cui è - 2 ≤ z ≤ 4 ossia - 2 ≤ 2x che è sempre verificata - 2 ≤ 2x ≤ 4 che equivale al sistema 2x ≤ 4 che si può scrivere nella forma x Log 2 ≤ Log 4 da cui 2 Log 4 2 Log 2 x ≤ = Log 2 Log 2 La disequazione data è quindi soddisfatta per x ≤ 2

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EQUAZIONI DI TIPO PARTICOLARE

EQUAZIONI IRRAZIONALI

Sono equazioni in cui sono presenti dei radicali contenenti l’incognita.

1° caso

Equazioni irrazionali intere contenenti un solo radicale.

In questo caso entrambi i membri dell’equazione devono essere elevati alla potenza

uguale all’indice del radicale

Es.

√ 2x + 1 + x = 2

Per prima cosa si isola il radicale dal resto dell’equazione: √ 2x + 11 = 2 - x

Poiché il primo membro dell’equazione per la condizione di realtà deve essere > 0 lo

sarà anche il secondo. Cioè 2 – x ≥ 0 ossia x ≤ 2

Essendo l’indice della radice uguale a 2 si elevano al quadrato , come detto prima, i due

membri dell’equazione, ottenendo 2x + 11 = 4 + x2 - 4x

che, semplificata e ordinata, diventa x2 - 6x - 7 = 0 che è una equazione intera

di 1° grado le cui soluzioni sono x 1 = -4 e x2 = 10

Ricordando le condizioni 2x + 11 ≥ 0 ossia x ≥ - 11/2 e x ≤ 2 si può tracciare lo

schema -11/2 2

che permette di concludere che la soluzione -4 è

accettabile mentre 10 non lo è.

2° caso

Equazioni irrazionali intere in cui sono presenti due o più radicali quadratici e dei termini

razionali

Es.

√ x + 4 + 2 √ x – 3 = 2 + √ 5x - 12

Le condizioni da tenere presenti sono: -4 12/5 3

x + 4 ≥ 0 x ≥ -4

x – 3 ≥ 0 x ≥ 3 da cui lo schema

5x – 12 ≥ 0 x ≥ 12/5

Come appare dallo schema tali condizioni si possono riassumere nella condizione x ≥ 3.

A questo punto si elevano al quadrato i due membri dell’ equazione data ottenendo:

x + 4 + 4x -12 + 4 √ (x + 4) (x – 3) = 4 + 5x -12 + 4 √ 5x - 12

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da cui, semplificando, si ha √ (x + 4 ) ( x – 3 ) = √ 5x - 12

Elevando nuovamente al quadrato si ottiene: (x + 4 ) ( x – 3 ) = 5x – 12

da cui deriva x2 - 4x = 0 che, raccogliendo la x, diventa x ( x – 4 ).

Le soluzioni di questa equazione di 2° grado sono, ovviamente, x1 = 0 e x2 = 4

Solamente la soluzione 4 è accettabile perché rispetta la condizione x ≥ 3.

3° caso

Equazioni irrazionali intere contenenti due o più radicali cubici e dei termini razionali.

In questo caso bisogna elevare al cubo i due membri dell’equazione e quindi procedere

come nei casi precedenti.

Es.

3√ x + 9 - 3√ x + 1 = 2

Trattandosi di radicali cubici non hanno senso le condizioni di realtà che si pongono con i

radicali quadratici.

Ricordando che (a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 l’equazione data diventa: x + 9 - 3 3√ (x + 9)2 (x + 1) + 3 3 √ (x + 9) (x + 1)2 - x - 1 = 8

e, semplificando, si ottiene: 2 ( - 3 3√ (x + 9) (x + 1) ) = 0

Dividendo per .6 ed elevando al cubo si ricava::

(x + 9) (x + 1) = 0 che è una equazione di 2° grado con le soluzioni -9 e -1,

entrambe accettabili, come si può facilmente verificare sostituendo i suddetti valori

nell’equazione data.

4° caso

Equazioni irrazionali fratte

Bisogna innanzitutto traformare tali equazioni a forma intera, procedendo poi come nei

casi precedenti.

Es.

√ 3x - 1 + 2 √ x = 3x / √ 3x - 1

Si può trasformare questa equazione a forma intera moltiplicando ambo i membri per

√ 3x - 1 , purché sia 3x - 1 > 0, quindi x > 1/3

L’equazione data si trasforma nella seguente:

3x - 1 + 2 √ 3x2 - x = 3x ossia 2 √ 3x2 - x = 1

Elevando al quadrato ( il radicale ha indice 2) si ottiene 12x2 - 4x – 1 = 0 che ha le

soluzioni -1/6 e 1/2 di cui, tenendo presente la condizione x > 1/3, la prima non è

accettabile mentre lo è la seconda

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5° caso

Equazioni irrazionali risolvibili mediante un artificio

Es.

x2 - 3x + √ x2 - 3x + 1 = 1 con la condizione x2 - 3x + 1 > 0 che è una

disequazione di 2° grado avente come soluzioni x < ( 3 - √ 5 / 2 ) v x > ( 3 - √ 5 / 2 )

Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ha x2 - 3x + 1 + √ x2 - 3x + 1 = 2

Indicando il radicale con y l’espressione precedente diventa y2 + y – 2 = 0 che ha le

soluzioni y1 = -2 ed y2 = 1.

Si può quindi scrivere

√ x2 - 3x + 1 = -2 e √ x2 - 3x + 1 = 1

La prima equazione è impossibile perché un radicale quadratico non può essere negativo.

La seconda, elevando al quadrato ambo i membri, e semplificando diventa x2 - 3x = 0

che ha le soluzioni: 0 e 3 entrambe accettabili, la prima perché inferiore a (3 - √ 5 / 2),

la seconda perché superiore a x > ( 3 - √ 5 / 2 ), che erano i valori estremi della x per

l’equazione data

EQUAZIONI CON ESPRESSIONI DI x IN VALORE ASSOLUTO

Esempio di equazione di 1° grado con valore assolut o

Sia data l’equazione |x + 1| = 2x – 1 (1)

Si devono considerare due alternative

Se x + 1 > 0 cioè x > -1 (*) Se x + 1 < 0 cioè x < -1 (**)

la (1) si può scrivere semplicemente occorre cambiare i segni dell’espressione

. in valore assoluto per farla diventare > 0

x + 1 = 2x – 1 e poter scrivere la (1) così

-x – 1 = 2x – 1

la cui soluzione è x = 2. che ha la soluzione x = 0

A questo punto bisogna verificare se le soluzioni trovate sono compatibili con le

. condizioni (*) e (**) determinate in precedenza

La soluzione x = 2 è accettabile La soluzione x = 0 non è accettabile

perché soddisfa la condizione (*) perché la condizione (**) non è soddisfatta

Pertanto la equazione data (1) ha l’unica soluzione x = 2

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Esempio di equazione di 2° grado con valore assolut o

Sia data l’equazione 3 | 2x2 – 2x | = 3x2 - 2x – 1 (2)

Si devono di nuovo considerare due alternative

Se 2x2 – 2x > 0 , Se 2x2 – 2x < 0 ,

le cui soluzioni sono x ≤ 0 v x ≥ 1, (°) che ha la soluzione 0 ≤ x ≤ 1 , (°°)

si può scrivere la (2) semplicemente occorre cambiare i segni dell’espressione

. 3 ( 2x2 – 2x ) = 3x2 – 2x – 1 = 0 in valore assoluto e scrivere

che ha le soluzioni: 1/3 3 ( - 2x2 + 2x ) = 3x2 – 2x – 1 = 0

x1/2 = (2 ± √ 4 – 3 ) /3 = che ha le soluzioni: -1/9

1 x1/2 = (4 ± √ 16 + 9 ) / 9 =

Confrontando tali soluzioni con le (°) 1

calcolate prima, si può concludere che Confrontando tali soluzioni con le (°°)

la soluzione 1/3 non è accettabile, si conclude che la soluzione - 1/9 non è

mentre la soluzione 1 è accettabile accettabile , mentre la soluzione 1 lo è

Si può quindi affermare che la equazione data (2) ha la sola soluzione x = 1

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CALCOLO COMBINATORIO

Il calcolo combinatorio ha lo scopo di studiare il numero totale dei gruppi diversi che si possono formare con n elementi dati.

DISPOSIZIONI SEMPLICI

Si dicono disposizioni semplici di n elementi diversi presi a r a r o di classe r (n > r ) tutti i gruppi che si possono formare prendendo r degli n elementi dati, considerando gruppi diversi quelli che differiscono per almeno un elemento o per l'ordine in cui gli r elementi sono stati presi Ad es dati gli elementi 1,2,3,4,5 sono disposizioni semplici di 5 elementi di classe 3 i gruppi seguenti 1,2,3 ; 3,2,4 ; 4,3,5 ; 2,3,1 ; 5,3,4 ecc. Il numero delle disposizioni semplici di n elementi presi a r a r si indica con Dn,r

È dimostrabile che è Dn,r = n (n-1) (n-2)………(n-r+1) (1) DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

Le disposizioni di n elementi presi a r a r in cui nei vari gruppi un elemento può comparire fino a r volte si definiscono disposizioni con ripetizione Il numero di disposizioni con ripetizione di n elementi di classe r è D r

n, r = n r

PERMUTAZIONI SEMPLICI

Si definisce permutazione semplice la disposizione semplice di n elementi presi a n a n e si scrive Pn = Dn,n

La formula (1) si trasforma così nella (2) Pn = n (n-1) (n-2)……..3 • 2 • 1 (2) Tale prodotto di un numero intero positivo n per tutti i numeri interi consecutivi decrescenti, fino all'unità, si definisce fattoriale di n e il suo simbolo è n ! La (2) si può quindi scrivere Pn = n !

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COMBINAZIONI SEMPLiCI Si definisce combinazione semplice di n elementi diversi presi a r a r il numero totale dei gruppi che si possono formare prendendo r degli n elementi, considerando diversi solo i gruppi che differiscono per almeno un elemento, indipendentemente dall'ordine in cui gli r elementi vengono presi. La combinazione semplice si indica con Cn,r

Ad es i gruppi 1,.2, 3 e 2,3,1 rappresentano due disposizioni semplici ma la stessa combinazione E' evidente che ogni combinazione può dare luogo a tante disposizioni quante sono le permutazioni degli r elementi Per cui risulta Dn,r = Cn r • Pr (4) E quindi dalla (1), dalla (3) e dalla (4) si ricava Dn,r n (n-1) (n-2)……(n-r+1) Cn,r = = Pr r ! COEFFICIENTE BINOMIALE Il numero di combinazioni semplici di n elementi diversi di classe r si può anche indicare con il simbolo n che si chiama coefficiente binomiale e si legge n su r r n n ! Si può quindi scrivere Cn,r = r = r ! (n-r) ! Poiché convenzionalmente è 0 ! = 1 risulta n = 1 0 E' inoltre n = n r n-r n = n-1 + n-1 r r -1 r n = n n – r r+1 r r +1

BINOMIO DI NEWTON Applicando il coefficiente binomiale lo sviluppo di un binomio elevato ad una potenza intera positiva n si può scrivere (a+b)n = n an + n an-1 b + n an-2 b2 +………+ n a bn-1 + n bn

0 1 2 n-1 n Lo sviluppo di (a-b)n si ottiene dalla espressione precedente sostituendo -b a b

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CALCOLO DELLE PROBABILITA' Si definiscono eventi l'estrazione di una carta da un mazzo, il lancio di un dado o di una moneta, l'estrazione di una pallina da un'urna, l'estrazione di un numero del lotto e così via Si possono evidentemente verificare eventi favorevoli o contrari a seconda che essi corrispondano o meno a ciò che ci si attende. PROBABILITA' MATEMATICA E' il rapporto tra il numero degli eventi favorevoli e quello degli eventi possibili totali purché siano tutti ugualmente possibili. Se f è il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un evento e c quello dei casi contrari, il numero dei casi possibili è m = f + c Se p è la probabilità che un evento si verifichi e q quella opposta si ha p = f / m e q = c / m e ovviamente p + q = 1 Risulta quindi che p è un numero positivo normalmente inferiore all'unità ( p = 1 equivale a certezza ) PROBABILITA' TOTALE Se p1 , p2 ecc sono le probabilità di eventi possibili che si escludono a vicenda, cioè incompatibili fra di loro, dicesi probabilità totale la somma p1 + p2 +…..+ pn Es Dati tre sacchetti contenenti rispettivamente 20 numeri (da 1 a 20), 40 numeri (da 1 a 40) e 90 numeri (da 1 a 90) la probabilità che dal primo sacchetto si estragga ad es un 8 è p1 = 1 / 20 La probabilità che dal secondo sacchetto si estragga pure un 8 è p2 = 1 / 40 Infine la probabilità che dall'ultimo sacchetto si estragga ancora un 8 è p3 = 1 / 90 La probabilità totale cioè la probabilità che un 8 venga estratto da tutti e tre i sacchetti è 1 / 20 + 1 / 40 + 1 / 90 = 31 / 360 = 0,0861 PROBABILITA' COMPOSTA Se gli eventi sono tra loro indipendenti (ossia tali che l'avverarsi di uno di essi non influenzi il verificarsi degli altri) la probabilità complessiva dell'evento risultante dal concorso di n eventi, dicesi probabilità composta il prodotto p1 • p2 •……• pn

Es Nel gioco del lotto la probabilità che tra i 90 numeri esca un determinato numero ( ad es. 8 ) è p1 = 1 / 90 La probabilità che, in una seconda estrazione, esca un altro determinato numero (ad es. 31 ) è, tenendo conto che i numeri rimasti sono 89, p2 = 1 / 89 Essendo i due eventi indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità che esca la coppia determinata di numeri ( 8 e 31 ) è 1 / 90 • 1 / 89 = 1 / 8610 che è la probabilità composta

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DUE ESEMPI Se si getta un dado due volte quale è la probabilità che entrambe le volte compaia il 5 ? Ovviamente la probabilità che la prima volta compai a un 5 è 1 / 6 (perché 6 sono le facce del dado ) La probabilità che anche la seconda volta compaia un 5 è di nuovo 1 / 6 Essendo i due eventi tra loro indipendenti la probabilità richiesta è una probabilità composta è cioè 1 / 6 • 1/6 = 1 / 36 = 0,19444 Quale è invece la probabilità che lanciando una sola volta due dadi si abbia come somma 5 ? Il totale 5 si può avere ad es con un 1 e con un 4 o viceversa Come nell' es precedente la probabilità che compaia 1 in un dado e 4 nell'altro è 1 / 36 e così pure è 1 / 36 la probabilità che compaia 4 nel primo dado e 1 nel secondo La probabilità totale è quindi, essendo i due eventi incompatibili tra di loro, la somma delle due probabilità e cioè 2 / 36 Il numero 5 si può però ottenere anche con i numeri 2 e 3 e viceversa e anche in questo caso la probabilità totale è 2 / 36 La probabilità complessiva che si verifichi l'evento richiesto è 4 / 36 = 0,111111

BIBLIOGRAFIA

Per la compilazione del " Compendio di analisi matematica " sono stati consultati specialmente i seguenti testi: - " Elementi di analisi matematica " di R. Ferrauto, edito dalla Società Editrice Dante Alighieri - " Analisi infinitesimale e numerica " di G. Zwirner e L. Scaglianti, edito dalla CEDAM - " Strutture – Funzioni " di G Zwirner e L Scaglianti, edito dalla CEDAM - " Corso di geometria analitica e analisi matematica " :di L. Tonolini, edito dalla Minerva Italica - " Geometria analitica e complementi di algebra " di L. Cateni, C. Bernardi e S. Maracchia, edito da Le Monnier "Corso di geometria analitica e complementi di algebra" di Dodero, Baroncini e Toscani, edito da Ghisetti e Corvi Editori - " matHELP " di M. Scovenna e N. Checcaglini, edito dalla CEDAM - " Dizionario enciclopedico – Matematica " di A. Marini , N. Barcellona , M. Tinelli, edito dal Gruppo Editoriale Jackson

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INDICE

SUCCESSIONI ................................................................................................ pag 2 FUNZIONI......................................................................................................... pag. .......4 Dominio o insieme di definizione di una funzione................................ ................4 Condominio di una funzione................................................................ ................4 LIMITI .............................................................................................................. pag. ........5 Limite destro e limite sinistro............................................................... ................9 Teoremi sui limiti .................................................................................. ................9 Operazioni sui limiti.............................................................................. ..............10 Limiti notevoli ....................................................................................... ..............11 Forme indeterminate............................................................................ ..............11 FUNZIONI CONTINUE ..................................................................................... pag. .....12 Teoremi sulle funzioni continue............................................................ ..............12 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO........................................................ pag. .....13 RAPPORTO INCREMENTALE......................................................................... pag. .....14 DERIVATE........................................................................................................ pag. .....14 . Quadro riassuntivo delle operazioni sulle derivate ............................... ..............15 Derivate fondamentali .......................................................................... ..............15 Teorema di Rolle.................................................................................. ..............16 Teorema di Cauchy.............................................................................. ..............16 Teorema di Lagrange........................................................................... ..............16 Teorema di De L' Hopital ..................................................................... ..............16 Concavità e convessità di una curva.................................................... ..............17 Funzioni crescenti e decrescenti .......................................................... ..............17 Massimi e minimi relativi di una funzione ............................................. ..............17 Flessi ................................................................................................... ..............18 Ricerca di mass., min.e flessi mediante lo studio del segno della deriv. 1^ ........18 Quadro riassuntivo di massimi, minimi e flessi ..................................... ..............19 DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE pag 19 ASINTOTI pag. .....20 Asintoti verticali, orizzontali e obliqui .................................................... 20 FUNZIONE ASINTOTICA AD UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA ............ pag. 21 STUDIO DELL' ANDAMENTO DI UNA FUNZIONE pag. .....22 Studio di una funzione con termini in valore assoluto.......................... ..............23 RISOLUZIONE GRAFICA DI DISEQUAZIONI .................................................. pag. .....24 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI 25 Metodo di bisezione 25 Metodo delle tangenti 26 INTEGRALI....................................................................................................... pag. .....27 Area deI trapezoide . 27 . Integrale definito 27 Teorema di Torricelli – Barrow ............................................................. ..............28 Funzioni primitive ................................................................................ ..............28 Calcolo dell'integrale definito............................................................... ..............28 Teorema del valor medio o della media .............................................. ..............29 Valore efficace ............................................. 29 . . Proprietà dell'integrale definito ............................................................ ..............29 Integrale definito con uno o entrambi gli estremi infiniti 29 Integrazione approssimata.................................................................. 30 Calcolo di aree ..............30 Calcolo di volumi................................................................................. ..............31 Calcolo di volumi di solidi di rotazione................................................. ............. 32 Calcolo della lunghezza di un tratto di curva piana.............................. 32 Teorema di Guldino ............................................................................ ..............33

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Teorema di Archimede......................................................................... ..............34 Integrale indefinito................................................................................ ..............34 Proprietà dell'integrale indefinito .......................................................... ..............34 Alcuni integrali notevoli ........................................................................ ..............35 Integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione ................. ..............36 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ........................................................................... pag......37 Equazioni differenziali a variabili separabili .......................................... ...37 Equazioni differenziali omogenee 38

Complementi di algebra EQUAZIONI PARAMETRICHE E NON PARAMETRICHE................................ pag. 39 SISTEMA MISTO.............................................................................................. pag. 39 . . DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO pag 39 . EQUAZIONI NON PARAMETRICHE pag 39 . Metodo del confronto diretto 39 EQUAZIONI PARAMETRICHE pag . 39 . Metodo del confronto diretto................................................................ 39 . . Metodo di Cartesio 41 Metodo di Tartinville ............................................................................ 43. . . SISTEMI MISTI CON EQUAZIONI PARAMETRICHE IN 2 INCOGNITE pag 46 . . . METODI GRAFICI pag 48 . . . Metodo grafico della parabola fissa 50 . . . DISCUSSIONE DI UN SISTEMA MISTO IRRAZIONALE pag 51 . . . . .Metodo algebrico 51 . .. . Metodo grafico 52 RISOLUZIONE DI SISTEMI PARAMETRICI CON LE MATRICI ....................... pag. 53. . . . Teorema di Rouche' Capelli .................................................................. 53 Regola di Cramer .................................................................................. .............. 54 DISEQUAZIONI ................................................................................................ pag 56 Disequazioni di 1° grado 56 Sistemi di disequazioni di 1° grado 56 Disequazioni di 2° grado 56 Sistemi di disequazioni di 2° grado 58 Disequazioni frazionarie 59 Disequazioni irrazionali 60 Disequazioni con espressioni di x in valore assoluto 62 Disequazioni logaritmiche 67 Disequazioni esponenziali 69 EQUAZIONI DI TIPO PARTICOLARE pag 71 EQUAZIONI CON ESPRESSIONI DI X IN VALORE ASSOLUTO 73 CALCOLO COMBINATORIO............................................................................ pag. 75 . . Disposizioni semplici 75 Disposizioni con ripetizione.................................................................. 75 . . Permutazioni semplici ......................................................................... 75 Combinazioni semplici ........ 76 Coefficiente binomiale .......... 76 BINOMIO DI NEWTON..................................................................................... pag. 76 CALCOLO DELLE PROBABILITA'.................................................................... .............. 77 Probabilità matematica......................................................................... .............. 77 Probabilità totale .................................................................................. .............. 77 Probabilità composta............................................................................ .............. 77 Due esempi........................................................................................... .............. 78 BIBLIOGRAFIA................................................................................................ pag. ..... 78