Didactica de la Matemática en Chile - Arturo Mena

8/2/2019 Didactica de la Matemtica en Chile - Arturo Mena

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Facultad de CienciasInstituto de Matemticas

Coloquio de Didctica de la Matemtica. 2010

Por ejemplo, pensar que, para ensear una determinada materia, basta con conocer una cantidadvariable de la disciplina en que se inserta y una tambin mudable de asignaturas de educacin,manifiesta que quien la expresa es ignorante o bien recalcitrante, pues hay mltiples, autorizados ypblicos datos en contrario3.

Tampoco basta, ante los problemas que plantea el rea, con reflexionar, opcin por s soladesafortunada, pues no aade una dimensin de estudio de los avances tericos, de lo que ofrece elescenario internacional... y cuya insuficiencia es perceptible. La alternativa ms reciente deinnovacin, por su parte, a menudo se hace tambin en ausencia de informacin relevante, y suele correrel peligro de reiterar invenciones ya probadas y desechadas.

Frente a un asunto tan serio como el desarrollo del pas y las expectativas primordiales de nios,jvenes y adultos, trabajar de manera tan artesanal como la esbozada es algo a lo cual, seguramente, notenemos derecho.

Importancia del tema

Con lo anterior no queremos decir que las opiniones no sean relevantes.Para el caso de la enseanza y los aprendizajes de Matemtica, que nos ocupan aqu, hay algunas

muy relevantes.

La Conferencia Mundial sobre la Ciencia, Ciencia para el siglo XXI, realizada por la UNESCO yel Consejo Internacional del la Ciencia, ICSU, por ejemplo, expresa que " el acceso al saber cientficocon fines pacficos desde una edad muy temprana forma parte del derecho a la educacin que tienen todoslos hombres y mujeres la enseanza de la ciencia es fundamental para la plena realizacin del serhumano, para crear una capacidad cientfica endgena y para contar con ciudadanos activos einformados" (UNESCO-ICSU, 1999, Considerando, 10), y agrega: "La enseanza cientfica, en sentidoamplio, sin discriminacin y que abarque todos los niveles y modalidades, es un requisito previo esencialde la democracia y el desarrollo sostenible". (Ibd., La Ciencia al servicio del desarrollo, 33).

Ciertamente, podemos convenir, aprender Matemticas es un asunto de importancia capital, y nosolo un recurso de tcnicos y cientficos ni una suerte de adorno cultural para las personas. Por lo dems,las declaraciones anteriores se apoyan, a su vez, en evidencias.

Nuestro pas ha reconocido la relevancia de la problemtica general de la educacin, y se hapreocupado seriamente de avanzar en ella; tanto es as que, en lo que va del siglo, ha cuadriplicado suinversin en el rea. Sin embargo, los resultados no son los que querramos: el Informe "Revisin dePolticas Educacionales. Chile" (2004), de la OECD4 lo expresa claramente; los resultados de SIMCE,PISA, INICIA y otros lo ratifican. (La opinin pblica manifiesta una y otra vez su impaciencia).

Poltica y tcnica

El tema tiene, por supuesto, aspectospolticos5 y tcnicos, pero la confusin que se aprecia entreunos y otros es bastante lamentable.

En un pueblo primitivo, una campaa de vacunacin, pongamos por caso, sera un problemapoltico habra que convencer a las personas de que ello es necesario, pero, en una comunidadcivilizada, se trata de un problema tcnico hay que determinar a qu porcentaje de la poblacin se puedey/o es conveniente vacunar6.

3 Todos somos ignorantes; la diferencia es en qu. (Por ello, aadi alguien, lo que nos une no es el conocimiento, sino laignorancia). Nuestra preocupacin aqu es que se tomen decisiones ignorando la informacin disponible.4 Citaremos a menudo este estudio, el ms completo acerca de nuestro sistema educacional, y que se hizo con datos proporcionadospor el gobierno de entonces y con metodologas ampliamente validadas en todo el mundo.5 Tomamos el trmino en su acepcin amplia; en espaol no distinguimos entre la ms general de hacer poltica (politics), y lams restringida de hacer polticas (policies).6

Preguntar a los usuarios del Metro si acaso para disminuir la contaminacin debe restringirse la circulacin de los automviles conconvertidor cataltico es caer en esta confusin. (Posiblemente, aquellos usuarios pediran que se restringiera tambin la circulacinde los automviles elctricos ley pareja no es dura, se nos dir tal vez). Un error similar predijo como amplio ganador a AlfLandon (a quien usted posiblemente no recuerda) por sobre F. D. Roosevelt, en 1936 (!)


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Los acuerdos polticos alcanzado en el pas en educacin entre los que se cuentan elreconocimiento de su trascendencia para la nacin, exigir acreditacin de las carreras de pedagoga yotros muchos revisten la mayor importancia; por otra parte, hacer reingeniera en los procesos es,posiblemente, necesario; sin embargo deberamos tener claridad en que no son esos los nicos tipos de

acuerdos y de acciones que debemos realizar, y que hay mucho que se juega en otros mbitos.

Aumento de los actores

La gravedad de la problemtica educacional del pas en Matemticas requiere que se puedacontar con la colaboracin de (ojal) todos quienes tengan algo que aportar a su solucin.

Afortunadamente, hoy da podemos advertir que hay una mayor cantidad y variedad de personasinvolucradas en la educacin en Chile. Por ejemplo, matemticos profesionales han escrito textos deestudio para la enseanza en el colegio o el liceo (libros que no cometen los gruesos errores que seencontraban en algunos de los que se usaban7), o se involucran en proyectos educacionales.

Es difcil sobreestimar la importancia de que los investigadores en Matemticas se interesen enla enseanza, y ejemplos interesantes de ello se pueden encontrar con facilidad.

Uno particularmente relevante consiste en el atraso considerable en la enseanza de la disciplinadesde el final del siglo XIX y hasta pasada la mitad del XX: mientras la enseanza segua la gua detextos tales como el de Hall y Knight aparecido en 1885 (Hall & Knight, 1959) y, ms adelante, el deGranville de 1908 (Granville, 1941), la Matemtica avanz de manera considerable en especial, desde ladcada de 1870. Ya el Congreso Internacional de Matemticos de 1904 mostr preocupacin por eserezago.

Por otra parte, cuando Flix Klein se ocup de la formacin de profesores, expres que, segn suparecer, el concepto de funcin era el ms importante de la Matemtica; agreg que no debera egresardel profesorado un estudiante que no hubiera usado alguna vez una calculadora, y aadi que se deberaprocurar ensear los conceptos en consonancia con situaciones que fueran cercanas a los estudiantesen 1908! (Pas ms de medio siglo para que, en la enseanza comn, se tomara seriamente la idea defuncin; el conocimiento contextualizado parece una idea bastante ms reciente y las calculadoraselectrnicas se inventaran sesenta aos ms tarde que la admonicin de Klein).

Quienes poseen una mejor percepcin acerca de cules son los avances y de la disciplina y cmoella evoluciona son, obviamente, los matemticos; ellos tienen una palabra irrenunciable (si bien no lanica) respecto de qu se necesita saber en la disciplina8.

La necesaria convergencia

Independientemente del buen xito de sus respectivas iniciativas aisladas, es obvio se necesitaque estos actores puedan interactuar de buena manera. Sin embargo, ello no parece fcil; peor an, lasperspectivas de matemticos y educadores en relacin con el tema que nos ocupa son a menudodivergentes.

Segn nuestros datos, quienes se ocupan de la educacin en general parecen pensar que loscientficos no entienden el asunto. Las opiniones del estos seran del tenor siguiente: mis alumnosaprenden, por lo tanto, soy un buen profesor [ petitio principii]; siempre se ha hecho enseado as [lascircunstancias han cambiado, la enseanza sigue masificndose]; hay mala formacin preliminar [ahora

7 En un texto que fue usado por muchos colegios y liceos se encuentra la afirmacin de que los nmeros reales son los racionales yotros que se pueden construir con dos cortaduras o una sucesin, cosa que los autores parecen haber escuchado un da viernes en latarde y no en un aula acadmica. Peor an, un libro muy usado para preparar la antigua Prueba de Aptitud Acadmica incurre en 30errores en dos pginas de lgebra tiene partes peores. (De todas maneras, los profesores del sistema experimentan dificultades

para leer los correctos textos escritos por matemticos).8 Es muy curioso que esa opinin experta no siempre se tome en cuenta. El exceso de estudio de Geometra Analtica y deTrigonometra en las universidades poco antes de 1960 es un caso digno de traer a colacin (morigerado por la enseanza de gruposfinitos a cursos de Ingeniera en la dcada siguiente, en cualquier caso).


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se puede culpar hasta el parvulario); los alumnos estn ms flojos que antes [se ha venido diciendo desdehace miles de aos9]; habra que exigir ms, "subir los niveles" [esa estrategia no est resultando].

Por su parte, la comunidad cientfica mirara con desconfianza los esfuerzos de los educadores.

Segn el parecer de aquellos, estos pensaran al tenor siguiente: el nio debera descubrir todo elconocimiento [completamente irreal, salvo para K. F. Gauss o alguien parecido]; la clase frontal deberaprohibirse [lo cual parece inconsecuente10 y un tanto fundamentalista]; el cientfico sabe, pero no sabeensear [quin lo dice?]; la educacin es asunto de los educadores, quienes pueden hacerlo sin importarqu materia les corresponda impartir [fue dicho por Comenius, un adelantado para su poca en 1647(Comenio, 2000)].

Es conveniente aadir que la OECD (2004) manifiesta que no hay suficiente interaccin entrequienes se encargan de la formacin disciplinaria de los futuros profesores y quienes de los aspectospedaggicos. Ello se traduce en que los estudiantes de pedagoga aprenden algunas cosas con losprimeros, otras con los segundos, y la sntesis armoniosa que el estudiante hara de ambas vertientes essolo una ilusin.

Hay seales adicionales de que, pese a los esfuerzos, los diversos actores no estn en realidadrespondiendo a la misin que el pas comunitariamente les confa.

La contraproducente irreductibilidad de algunas posiciones se puede apreciar incluso endocumentos de importancia. Por ejemplo, el Informe del Consejo Asesor Presidencial para la Calidad enla Educacin (2006, p. 180), sin el respaldo a que estara obligado a hacer y pese a las contundentesevidencias en contrario que incluye como referencias, pone una defensa de intereses sectoriales porencima de las urgentes necesidades del pas que se le encomendy de la calidad que expresamente se leconfi 11.

Tan lamentable situacin se puede ilustrar con el antiguo relato de los ciegos y el elefante: Enuna aldea reciben la noticia de que a un pueblo vecino han trado un elefante. Envan a una delegacin averlo; circunstancialmente, ella est formada solo de ciegos. Llegados al ignoto animal, cada uno seaproxima y trata de tocarlo. De vuelta a la aldea, los relatos son variados: una columna, un rbol, unalanza, un abanico, una serpiente Lo peor del caso es que cada uno afirma que slo su versin es laverdadera.

Mirar al exterior

Es evidente que, durante los ltimos aos, el MINEDUC ha llevado adelante una polticacoherente, informada y gravitante; ha habido tambin serios esfuerzos realizados desde universidades yotros organismos: una labor de la nacin.

Lo anterior no obstante, preocupa la persistencia de cierta propensin a volverse hacia el exteriorbuscando que personas o grupos de individuos proporcionen al pas una llave que resuelva los problemasque no sabemos manejar una actitud dependiente, de colonia; peor an, la costumbre inclina a buscarrespuestas en lugares en los que obviamente no estn.

Fue inevitable que en los siglos XVII y XVIII mirramos siempre hacia Espaa y hacia elVirreinato. Quienes dirigieron el pas en el XIX estuvieron, por su parte, vueltos hacia Francia 12. El sigloXX y el comienzo de este nos muestran vueltos hacia los Estados Unidos de Norteamrica, ello incluso enmateria educacional, a pesar de que hay ejemplos sensiblemente mejores13.

9 Scrates se habra quejado de algo parecido, y, con mayor probabilidad, Hesodo antes que l; habra adems una tabletababilnica ms de mil aos precedente que lo hara. En cualquier caso, una reaccin no demasiado original, ni fructfera.10 Se puede or conferencias al respecto.11 VII.5.6. Recomendaciones especficas referidas a la formacin docente inicial. Coordinacin efectiva de la formacin docente;(quinto acpite).12 Ello se percibe an con claridad en nuestras historia, literatura, arquitectura13

Evidentemente, no estamos hablando de que no podamos encontrar ideas fructferas en cualquiera parte del mundo, nuestra crticase refiere al recurso obligado a esa nacin que se encuentra, por ejemplo, en algunos medios de comunicacin, a pesar de lasevidencias en contrario: por ejemplo, en la ltima medicin de PISA, ese pas est sensiblemente bajo la media de los pasesencuestados.


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Ciertamente, la globalizacin nos seala con claridad la necesidad de abrirnos a los aportesexternos, muchas veces substantivos; es imperativo hacerlo. Ello no obstante, si acaso vamos a limitarnos

a copiar lo que otros hacen, seguiremos enfrentados a tres problemas que hoy nos afectan: que estaremossiempre a la vera de otros (si se quiere: fuera de competicin); que no existen respuestas prefabricadas, y,no menos importante, que no estaremos cumpliendo el deber de defender nuestra identidad cultural.

Qu duda puede caber: para aprovechar de buena manera lo que nos ofrece el exterior, debemospararnos sobre nuestros propios pies.

Relevancia de los profesores

Un dato que debemos tomar en cuenta consiste en que aquellas virtudes ciudadanas queprovienen del aprendizaje de las ciencias (Matemticas incluida) se obtienen en la enseanza bsica ymedia o bien ya no se lograrn. Para eso y pese a lo que afirman opiniones menos informadas el rol del

profesor es crucial.

Lo anterior nos trae nuevamente a una cuestin previa, ahora en formato ms explcito: Qu esaquello que constituye, hoy en da14, el saber de un profesor?

Tal pregunta no parece tener una respuesta homognea, y es fcil comprobar que las que seofrecen en el pas son variadas. En efecto, una carrera de pedagoga en Matemticas tendr unacomposicin bastante diversa si se asienta en una facultad de educacin la cual tender a enfatizar losaspectos pedaggicos generales o en una de ciencias que relevar el conocimiento matemtico.

Por supuesto, no es siquiera saludable esperar que haya una sola alternativa para enfrentar estedifcil y complejo tema. Sin embargo, forzoso es reiterarlo, estando en juego tantos proyectos del pas yde sus individuos, temas como este no deberan depender, en definitiva, del solo arbitrio de las opiniones,y es preciso buscar evidencias que sustenten las decisiones correspondientes.

Pedagoga y contenidos

Para tratar el tema de los conocimientos que debe poseer un profesor (de Matemticas, enparticular), la literatura internacional ha venido utilizando cierta nomenclatura debida a Lee Shulman(Shulman 1986, 1987) y que se ha ido popularizando en Chile en fecha ms reciente. Ella divide esosconocimientos en tres componentes o ejes: el Conocimiento pedaggico (Pedagogical Knowledge, PK),Conocimiento de los contenidos (Content Knowledge, CK) y Conocimiento pedaggico de loscontenidos15 (Pedagogical Content Knowledge, PCK).

Segn Shulman, el Conocimiento pedaggico de los contenidos se refiere a las formas derepresentar y formular un determinado tema y hacerlo comprensible a otros. Incluye las formas ms tilesde representacin, las mejores analogas, ilustraciones, ejemplos y demostraciones. Comprende tcnicaspedaggicas, estrategias de enseanza que incorporan representaciones conceptuales apropiadas, discernirqu tipo de enseanza sirve para un determinado contenido, saber cmo se pueden ordenar suscomponentes para ensearlo mejor. Incluye adems conocimiento de qu hace que los conceptos seandifciles o fciles de ensear. Repara en qu es lo que los alumnos traen a la situacin de enseanza, locual puede facilitar o dificultar la tarea que enfrentan: estrategias, concepciones previas (ingenuas yaprendidas), errores conceptuales (misconceptions) en que tienden a incurrir, aplicaciones errneas deconocimientos previos. Procura abordar las dificultades anteriores y fomentar la compresin significativa.

14 Esta cualidad de contemporneo suele ser olvidada: con frecuencia se invita a recuperar ciertas virtudes que se cultivaron en elpasado, que, en conjunto son hoy insuficientes y algunas de las cuales deben ser reemplazadas por otras ms pertinentes,15 O, mejor, Conocimiento didctico de los contenidos.


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Saberes relevantes para los aprendizajes

El Centro para la Investigacin Educacional del Instituto Max Planck para el DesarrolloHumano, en Alemania, en su proyecto COACTIV (2002-2006), estableci con claridad que, de aquellos

tres ejes de formacin pedaggica en Matemticas16, son los dos ltimos los determinantes para aumentarlos aprendizajes de los alumnos. No se trata de una opinin, sino de un hecho comprobable17.

Por supuesto, son propsitos pedaggicos los que fundan una universidad; son ellos tambin losque impulsan a los padres a ocuparse de la formacin de sus nios; la motivacin de un buen profesor es,tambin, pedaggica. Es, por tanto, difcil encontrar consideraciones ms importantes que esas respectode la formacin de nuestros semejantes. Sin embargo, nos dice la investigacin, si se quiere que un nioaprenda una determinada disciplina, habr que saber de esa ciencia y conocer, adems, las dificultadesespecficas que el aprendiz debe enfrentar y los propios padres, en plan de ayudar a sus hijos en susdeberes escolares, enfrentan una y otra vez esta realidad.

Articular ambos aspectos es seguramente una tarea imprescindible. A su vez, esto requierereconocer su importancia y tambin de distinguir sus mbitos diversos so pena de tomar, como estrategiade aprendizaje, la reflexin acerca de los fines generales de la educacin, e. g.

En cualquier caso, y pesar de estudios como el sealado son accesibles incluso al grueso pblico,hasta fecha muy reciente, en documentos oficiales acerca de la formacin de profesores en Chile, hayescasa o nula referencia a la importancia de que el profesor sepa la materia que ha de ensear 18 setratara de un asunto opinable.

Al respecto, conviene invocar una vez ms el informe de la OECD, que indica con delicadezapero tambin francamente que, en un segmento de edad, la mitad o ms de los estudiantes de nuestro pasaprende Matemticas y Ciencias con profesores que no solo no saben las materias, sino que no tienenconfianza en lo que hacen. (OECD, 2004, p. 57)

Desafortunadamente, aun la ptica de las competencias (controvertible pero de innegablesefectos saludables), ha sido utilizada para desvalorizar el aprendizaje de los contenidos: ellas estaran porencima de los contenidos19.

Temas como estos hacen divergir a actores cuya mutua colaboracin es necesaria para el pas.

Basta con conocer los contenidos?

Se ha estado invitando a involucrarse en la enseanza de las Matemticas en las enseanzasmedia y elemental a profesionales de distintas ocupaciones que requieren de la Matemtica, y que, por lotanto, conocen de ella. Al fin y al cabo, segn los datos que mencionamos recin, se puede invocar conrazn que el conocer esa disciplina es una variable de la mayor relevancia para ensearla

Lo anterior no obstante, es preciso traer a colacin con presteza una de las evidencias mscontundentes en la Educacin Matemtica, en toda su historia, cual es el resultado de la introduccin delas Matemticas Modernas en los currculos escolares, en la dcada de los 60 y por todo el mundo: pesea las calificaciones de quienes disearon este profundo cambio en la enseanza y a la importancia que leatribuyeron los diversos actores polticos que la apoyaron y/o adoptaron20, la reforma fue un fracaso aescala global.

16 El Estudio incluye, adems, Conocimiento para Aconsejar (Counseling Knowledge) y Conocimiento Organizacional.17 En un interesante experimento adicional, el Proyecto pidi ensear Matemticas a dos grupos, uno de profesores de Cienciasexperimentales del Gymnasium y otro de estudiantes de postgrado en Matemticas; ambos grupos ensearon a nios de una mismaedad. Los resultados fueron, ya adivin a usted, ligeramente superiores en el segundo grupo. INICIA ha puesto las cosas en mejorpie.18 Ejemplos interesantes de esto son elInforme de la Comisin sobre Formacin Inicial Docente (2005), documento que acompaa la firma de un documento por el Ministro Bitar y medio centenar de rectores para mejorar la calidad de las pedagogas de todoChile pese a que en su elaboracin particip solo un 8% (OCHO por ciento) de profesores de regiones, y el libroDocentes parael nuevo siglo. Hacia una poltica de desarrollo profesional docente, (2006), ambos de la Serie Bicentenario del MINEDUC.19 Desplazar la atencin desde los contenidos a las competencias es indudablemente positivo, pero concluir desde all que los

contenidos no sean importantes revela, como sabemos, desinteligencia de la ptica de las competencias.20 Al nmero considerable de pases que adoptaron esta gran reforma curricular, se unieron la Organizacin de Pases rabes, la delos Pases Nrdicos, la de la antigua versin del Mercado Comn europeo, la de los Estados Americanos y la de las NacionesUnidas.


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Una de las lecciones de esa experiencia es que no basta elaborar lo que creemos que es un "buendiseo" de enseanza por ejemplo, un orden lgicamente apropiado de las materias, y que es necesarioapoyarse en evidencias que manifiesten que, en realidad, aquel diseo produce o facilita los aprendizajes.

Multi o interdisciplina

Parece claro, entonces, que se requiere verdaderamente de multi o, ms bien, interdisciplina. Sinembargo, dnde y cmo se pueden encontrar los diferentes actores?

Por de pronto y segn sugerimos antes, los discursos muchas veces parecen a lo sumo contiguos,no convergentes: el educador (en su acepcin, digamos, especfica) tiende a hacer nfasis en losprincipios y la importancia general de la educacin para los seres humanos y, por su parte, el matemtico,en los aprendizajes de la disciplina. Adems, este, de acuerdo a su experiencia, no cree realmente que lasasignaturas pedaggicas ayuden realmente a mejorar esos aprendizajes (cuestin que es, como dijimos,respaldada por la investigacin). Peor an, el matemtico se preocupa de las materias mismas, cosa acercade la cual el educador no siempre parece experimentar mucho entusiasmo.

Ante ello, parece natural que cada cual perciba que sus puntos de vista no son debidamentevalorados, y que uno reaccione en defensa de los fines superiores de la educacin y el otro en resguardode la integridad de la disciplina...

De esta manera, el pas pierde parte de los recursos con los que debera contar. Entre esoshaberes se cuentan tambin la experiencia de aula del profesor del sistema (insuficientemente consideradapor las instituciones formadoras, segn los estudios).

Superar las desconfianzas parece difcil, pero necesario para conseguir los fines quecomunitariamente nos proponemos. Trabajar en comn tiene adems la virtud de establecer un sustratohomogneo para las acciones: un profesor de aula que no estudia (bien sea su prctica o lo que le ofrece elambiente) puede estar atascado en un juicio equivocado acerca de las virtudes de su hacer21; unmatemtico puede aprender a buscar evidencias que sustenten aquellos de sus puntos de vistaeducacionales que no provienen de su conocimiento de la disciplina; un educador podra darse cuenta deque la problemtica contiene elementos fuera de su alcance.

Para el caso de programas de pedagoga en los que participan educadores y matemticos, laausencia de acercamientos disciplinarios se suele traducir en un acuerdo puramente 'poltico' en que cadagrupo se encarga de un aspecto, sin mayor apoyo de los unos por lo que hacen los otros. Ya sabemosquines son los perjudicados.

La Didctica de la Matemtica

Desde hace ms de treinta aos, se ha venido desarrollando, a partir de los trabajos de francesesprominentes, la Didctica de la Matemtica. Hasta antes de su paricin (y tras el fracaso de lasmatemticas Modernas) quienes se interesaban en la enseanza de la matemtica se haban preocupadoprincipalmente de los currculos (los programas, su orden) y de anlisis estadsticos (qu estrategiaresultaba mejor). Esa aproximacin no daba resultados satisfactorios, y la atencin se desplaz a otrosmbitos, que sealaremos brevemente a continuacin.

Hoy en da, la Didctica de la Matemtica (o Matemtica Educativa) es una disciplinaexperimental, provista de marcos tericos explcitos, y que exhibe resultados bien conocidos en elescenario internacional. Sus fundamentos nacen de la reflexin, la observacin y la experimentacin apartir de la propia Matemtica.

Esta disciplina difiere por tanto de las metodologas de aula, y se distingue, adems, de losestudios pedaggicos generales. Se sita directamente ante las relaciones entre profesores que ensean un

21 Segn han mostrado los recientes proceso de evaluacin de desempeo docente


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saber y alumnos que lo aprenden; es esa disciplina que se ensea y aprende a la vez la oportunidad dereunirse profesores y alumnos y lo que determina sus relaciones recprocas. La concepcin subyacente esdiversa de aquella que afirma que hay conocimientos pedaggicos generales que se especializan para lasdiversas disciplinas, al modo en que se suele entender las "didcticas especficas".

La Didctica de la Matemtica tiene algunos puntos de encuentro con la propuesta de Shulman,pero difiere en la amplitud y organizacin de sus resultados y en sus alcances tericos, que comportanclaros aspectos epistemolgicos.

Esta disciplina no habla, por tanto, de un vago e incomunicable arte del profesor, no se reduce ala metodologa de enseanza y, cuando propone alguna metodologa, lo hace desde un marco terico,provisto a su vez de las correspondientes evidencias.

La importancia de la teora

Como en todo mbito del conocimiento, es conveniente disponer de una teora. La teora esmejor que la sola, necesaria (y no siempre extrapolable) experiencia. Por lo dems, en ausencia de teora,

lo que precede a la observacin es puramente ideologa (desde un punto de vista cientfico, no soloexterna, sino casi inevitablemente inconducente).

Ninguna disciplina es una coleccin de 'hechos'. Sin embargo, en educacin parece haberquienes piensan que bastara con una coleccin deshilvanada de acaecimientos, desprovista deconsideraciones epistemolgicas.

La interaccin entre teora, observacin, experimentacin y anlisis es, como sabemos, un asuntode la mayor relevancia. Sin embargo, espritus que tal vez se autodenominan pragmticos o tal vezprcticos prefieren22 que los hechos hablen por s mismos. Curiosamente, esta actitud anticientfica escultivada tambin a veces por cientficos.

Naturalmente, sera ilusorio pensar que todo lo que un cientfico dice en el mbito de suespecialidad proviene de las evidencias encontradas (por lo dems, las disciplinas cognitivas nos danmejores explicaciones al respecto): mucho de lo que dice proviene de su experiencia y su opinin. Suspuntos de vista, intuiciones, etc., son, naturalmente, autorizados, respetables y posiblemente iluminadores,pero es preciso distinguirlos de aquello que constituye propiamente un haber disciplinario.

Thomas Kuhn (1996) ha propuesto que el pensamiento cientfico tiene componentesparadigmticas que varan en el tiempo. En ausencia de un paradigma compartido, cada investigacincomienza, en verdad, ab initio, y se discute una y otra vez las nociones fundamentales.

Lakatos y Musgrave (1975) aaden que una ciencia es una sucesin de teoras enlazadas enprogramas de investigacin cientfica: hay un ncleo o centro firme, hecho de evidencias que son el frutode las teoras; hay tambin un cinturn protector de hiptesis auxiliares, que las comunidades compartensin disponer de evidencias suficientes; y hay adems las heursticas, procedimientos aplicables a lasolucin de los problemas, reglas metodolgicas acerca de cules vas de investigacin son evitables ycules vlidas, y que definen implcitamente marco conceptual del programa.

La historia de la ciencia, dice Kuhn, es la de paradigmas que compiten entre s. La competenciasera buena para el progreso cientfico: se trata de determinar, independientemente de cules son losfundamentos de una y otra teoras, cul de ellas ofrece mejores explicaciones y respuestas. Lakatos agregaque es importante que una ciencia encuentre pronto su punto de saturacin, en el cual aparecen connitidez sus contradicciones y pueda entonces ser reemplazada por otra ms pertinente.

Lo anterior corresponde a una reflexin un tanto abstracta acerca de la ciencia, pero describebien, nos parece, el estado actual de lo que pasa, por ejemplo, con los proyectos en educacin: no hayparadigmas (suficientemente) compartidos, se discuten siempre los fundamentos (lo cual se encuentrasolo en forma ocasional en las ciencias establecidas), quienes evalan los proyectos muchas veces no

22 Ingenuamente, osamos decir.


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pertenecen al rea y no entienden bien las problemticas ni las propuestas, el inevitable sesgo en lasevaluaciones es mayor23.

Para el caso de un cientfico inclinado al determinismo, aparte de las consideraciones anteriores,

hay otras dificultades que enfrentar antes de acercarse a un estudio propiamente didctico: este se hacecon el concurso de las disciplinas sociales o en su modalidad, cosa que aquel tiende a considerarinsuficiente: no hay unas cuantas leyes simples, la prediccin es inexacta, la replicabilidad dudosa.

La cuestin es, sin embargo y como de costumbre (y aparte de otras consideraciones, de carcterepistemolgico) si, en ausencia de una disciplina que satisfaga las propias aspiraciones de rigor, espreferible basarse en la propia opinin, rica en conocimiento disciplinario pero seguramente restringidaen su experiencia24.

Al respecto, es conveniente tener presente que el slo pensarlo bien (el tema de la educacinmatemtica) significa abordar el asunto a la manera en que se haca hasta poco antes de Roger Bacon(1214-1294) o, en el mejor de los casos, a la primera mitad del siglo XVI25: en verdad, como nosensearon ese autor, Francis Bacon (1561-1626), el propio Galileo y otros muchos, es necesario ir msall del paradigma aristotlico, y buscar evidencias experimentales.

Las ciencias que concurren

La Didctica de la Matemtica es, de suyo, una empresa interdisciplinaria: la investigacin de loque sucede en un aula y la generacin de propuestas de una problemtica tan amplia como la de laeducacin de la Matemtica forzosamente requiere del concurso de varias disciplinas: hay involucradosaspectos organizacionales, procesos cognitivos, realidades e historias personales diferentes de quienesaprenden

Varias ciencias o disciplinas sociales proveen su aporte: sicologa, sociologa de la educacin,economa, administracin, son solo algunas de las que concurren.

La Matemtica, por cierto, est en el origen y en el centro, independientemente de la concepcin,ya sea pragmtica o realista que tenemos de ella, y de si nos inclinamos ms por el edificio matemticoabstracto o por la actividad que la genera.

La historia de la Matemtica y su epistemologa son tambin ingredientes substantivos.

Cuando hablamos de Didctica de la Matemtica, entonces, no hablamos del estudio general dela pedagoga, sino a uno inextricablemente unido a la Matemtica. Tampoco hablamos de la manera que acada quien se le ocurra pensar que es buena para la enseanza de una determinada materia, sin tenerevidencias de que ella funciona. S nos referimos, reiteramos, a marcos tericos explcitos, a evidenciasempricas o tericas que fundamentan o, al menos, acompaan las estrategias de accin.

La Didctica de la Matemtica se adentra, profundiza all donde otras disciplinas detienen sureflexin, bien sea por falta de visin o por una explicable carencia de incentivo ante fenmenos que noson realmente tema de su estudio, y frente a los cuales pueden ofrecer puntos de vista y aplicacin dehallazgos previos, pero no son modificadas por ellos. Vamos a ilustrar esto ltimo a continuacin.

Ilustracin

Ejemplos notorios de la importancia de la historia y la epistemologa para la Didctica de lamatemtica, as como de la insuficiencia de las aproximaciones que provienen de otras disciplinas, son: lalenta evolucin de los conceptos de funcin, de lmite, de continuidad; la difcil introduccin de losnmeros indo-arbigos en Europa; la trabajosa clarificacin y construccin rigurosa de los diferentes

23 Por qu preocuparse de cuestiones tan obvias o sin importancia? Es preferible subir los niveles y trabajar con estudiantesmejor dotados y menos flojos24 Esto ltimo es muy relevante: un cientfico es naturalmente una persona muy motivada y de buenos hbitos de estudio, suele tenero desarrollar habilidades especficas para la disciplina que cultiva, y puede no entender las dificultades que enfrentan los alumnos.Ms an, su prctica docente suele estar circunscrita a estudiantes que tienen cualidades similares.25

Considere, por ejemplo, la opinin de Jean Dieudonn, uno de los matemticos ms eminentes del siglo pasado: Jespre quonme croira si jajoute, que je nai aucun intrt personnel dans ces questions dEnseignement secondaire Jai simplement vouluverser au dossier de lhistorien futur un exemple de ce que lon pourrait faire en la matire si lon cherchait agir de faonrationnelle . (Dieudonn, 1964, xi).


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sistemas numricos; la elucidacin de la diferencia entre continuidad y continuidad uniforme, laaspiracin de rigor matemtico y sus lmites

Ms adelante haremos una mencin a algunos aportes muy elementales de la Didctica de lamatemtica.

Ahora nos limitaremos a un ejemplo particularmente grfico y central para mostrar cmo es queotras disciplinas se detienen en el punto donde un matemtico y un didacta perciben que est la cuestinsubstantiva: el tema de las ecuaciones. La de primer grado fue conocida por babilonios y egipcios,nmeros en la Edad Media, aparicin de las variables.

En un sentido informal, las ecuaciones lineales fueron conocidas por muchos pueblos.Por su parte, la ecuacin cuadrtica era conocida por los antiguos babilonios y egipcios, ya hacia

1600 a. C.La ecuacin cbica es seguramente el problema abierto de mayor duracin en la historia de la

matemtica. Hay algunos intentos en Grecia, en Alejandra, entre los rabes. Fibonacci en 1225 ymatemticos italianos posteriores procuran tambin una solucin. Esta aparece con Nicolo Fontana, quiense la comunica a Gerolamo Cardano en 1543: hace un cambio de variable y obtiene una resolvente, de

grado menor y cuyas races puede, por tanto, obtener.Un discpulo de Cardano, Ludovico Ferrari, usando una metodologa similar a la de Tartaglia,

encuentra poco despus una resolvente para la ecuacin curtica.Joseph Louis Lagrange, en 1770, usa el mtodo de resolventes para ecuaciones de grado 5, pero

ahora el grado, en lugar de disminuir, sube; concluye que se necesita un nuevo punto de vista.Este enfoque lo encuentra Galois, quien enva varias memorias a la Academia de Ciencias de

Pars, entre 1829 y 1832, con escaso xito, en parte debido a la oscuridad de sus escritos. Su resolucinincluye las ideas de grupo, subgrupo normal y grupo cociente.

Camille Jordan elabora sobre el trabajo de Galois, que detalla en su libro Trait des substitutionset des quations algbriques (1870). Los grandes matemticos Flix Klein y Sophus Lie reunidos en Paristratan de leer el texto Jordan y les parece un libro sellado.

A pesar de la manera ms clara en que hoy en da se puede exponer la teora de Galois, que eltema de los subgrupos normales y el de los grupos cocientes sea de difcil acceso para los estudiantes nodebera sorprendernos: se trata de una dificultad intrnseca, que no tiene relacin con, por ejemplo, lamotivacin que se tenga para aprenderlo.

Algunos aportes de la Didctica de la Matemtica

El espacio del que disponemos es excesivamente breve para intentar siquiera dar una idea acercade las grandes lneas de la Didctica de la Matemtica. Sin embargo, debemos mencionar siquiera algunasideas que la disciplina ha introducido, algunos de los resultados de que ha provisto, de manera de dar unaidea de la fecundidad que ella tiene para el tema que nos ocupa, y de cmo ella ha aportado evidencias ycategorizaciones precisas, que van constituyendo, precisamente, un campo del saber en lo que se refiere ala enseanza, el aprendizaje y aun la construccin de la Matemtica. Nos referiremos solo a aquellasteoras en las cuales se trabaja en nuestro Instituto, sin nimo de jerarquizarlas, y las traeremos a colacindesde los trabajos de sus creadores y/o de sus autores ms prominentes.

En primer lugar, la escuela francesa, algunos de cuyos representantes mencionamos acontinuacin, mostr evidencias de que hay fenmenos didcticos, que ocurren sin importar quines sonlos actores de los procesos de enseanza y aprendizaje. Donde una mirada un tanto externa ve solo erroresde los alumnos, esta escuela ha mostrado evidencias de que se est, en realidad, ante saberes incompletosde los estudiantes, los cuales son producidos ya sea por dificultades intrnsecas de la materia bajo estudio,o por la bien conocida incapacidad transitoria de tener acceso a aquella, o bien son introducidos por elpropio proceso de enseanza y aprendizaje y que deben ser tratados correspondientemente.

Yves Chevallard (Chevallard, 1991) introdujo y explicit una teora particularmenteiluminadora para nuestro tema: el profesor hace una transposicin didctica, esto es, el saber que enseano es el mismo que el de los matemticos el saber sabio no es lo mismo que el saber que se ensea.Dicha transposicin requiere, naturalmente, de conocimiento de la disciplina, pero hay anexas unamultitud de consideraciones que se requieren para realizarla (no limitarse a exhibir lo que expresan los


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textos del saber, resguardar la integridad de la matemtica introducir conceptos correctos, no limitarse atcnicas de clculo, etc.).

Guy Brousseau (Brousseau, 1998) puso en relieve que los saberes culturales no pueden

aprenderse sin la presencia de un sistema enseante; de all el famoso tringulo didctico: importaconsiderar, de manera sistmica, el saber, quin ensea y quin aprende. Hay un contrato didctico,largamente implcito, que regula las relaciones entre los actores, siempre presente, siempre cambiante, yque explica aspectos un tanto inesperados del comportamiento de los alumnos en un aula, por ejemplo. Esapropiado y fecundo disear situaciones didcticas, que comportan varias fases26, para inducir losaprendizajes.

Michle Artigue (Cf., por ejemplo, Artigue, 1989) ha impulsado el desarrollo de la metodologade la ingeniera didctica: sea para investigar el aula o para hacer una propuesta didctica, se haceprimero un anlisis preliminar (que incluye anlisis: epistemolgico del objeto matemtico, de laenseanza tradicional del objeto bajo estudio, de las concepciones de los alumnos, de los obstculos quese presentan, y otros); luego un anlisis a priori (diseo, control de la variabilidad, anlisis predictivo enrelacin a las posibles respuestas: expertas, incompletas, incluso errneas), diseo de investigacin y/o

de accin (creacin de una situacin didctica, una secuencia de instruccin basada en las fases de lateora de situaciones didcticas), y un anlisis a posteriori a partir de las producciones de los alumnosy una confrontacin de los anlisis a priori y a posteriori. Como se aprecia, una metodologa muy precisa,basada en la teora, que busca y encuentra evidencias, de soporte y de consecuencias epistemolgicosclaros27.

Alain Kuzniak y Katherine Houdement (Kuzniak, 1994; Houdement & Kuzniak, 2006), consu teora de Paradigmas y Espacio de trabajo geomtrico, ponen en evidencia equvocos importantes queinciden en el rol del profesor: la enseanza que este recibi en cuanto tal posee estndares de rigor, que ltrata de imponer a alumnos que no pueden cumplirlos o que no los necesitan o a los cuales les impidenprogresar debidamente. (El anlisis de un texto de estudio, e. g. muestra, por lo general, los diferentesparadigmas que se superponen, a veces sin concierto y sin fruto).

Ed Dubinsky (Dubinsky, 2001), ha encontrado que las concepciones que los aprendices deMatemticas son diversas: hay concepciones accin (propuestas desde el exterior y realizadas sinindependencia del alumno), proceso (sin realizar cada paso, puede imaginar lo que hay que hacer) yobjeto (puede trabajar con ellas como un todo). Dichas concepciones dependen de ciertos mecanismosinternos que el estudiante generalmente posee. Esta conceptuacin entrega, para el caso de la Matemtica,una lectura en mayor profundidad de los esquemas de Piaget. (Cf. adems Trigueros, 2005). (Para el casode los textos de estudio, resulta iluminador comprobar que con frecuencia se aspira a concepciones-objetopero se dan elementos para construir concepciones-accin).

Ricardo Cantoral, Francisco Cordero y otros proponentes de la Socioepistemologa (Cf.Cordero, 2001) nos invitan a resignificar los contenidos matemticos, focalizndose en las prcticassociales que los generan y de modo de obtener un conocimientofuncional de la Matemtica uno que nose restringe a aplicar algunos conocimientos dispersos. (Entre otras virtudes, esto tiene sumaimportancia, por ejemplo, para la enseanza universitaria, que suele desatender el modo en que losdiversos profesionales generan matemticas y hacen uso de ella).

Dejamos para el final una mencin a la iluminadora teora de nuestro distinguido invitado, elprofesor Raymond Duval: la Teora de registros de representacin semitica (Duval, 1995). En primerlugar, la actividad matemtica, nos dice, est intrnsecamente ligada al lenguaje: no hay noesis sinsemiosis, esto es, no hay actividad matemtica sin utilizacin de registros de representacin. Elaprendizaje depende del uso de diversos registros, del paso o la transformacin de unos a otros y demantener cierta independencia respecto de ellos. (Note que el profesor suele hacer uso de diversosregistros para mejor presentar conceptos y propiedades, y el alumno puede ir quedando cada vez msconfundido piense, por ejemplo, en vectores). Por otra parte, el aprendizaje de la Matemtica requierede reemplazar ciertas concepciones semnticas lo que una persona buenamente cree por otras tericas

26No pretendemos hacer aqu siquiera mencin a la complejidad de este fructfero concepto.27 Es posible articular esta metodologa con las estrategias colaborativa del Estudio de Clases japons, lo cual resulta muyproductivo para profesores en ejercicio.


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lo que ofrecen, precisamente, las teoras matemticas; un profesor que intenta convencera sus alumnosde la veracidad de una afirmacin mediante demostraciones, encuentra un terreno difcil: si ellos no creenque ella es verdadera, tendern a persistir en su propia opinin, y si, por otra parte, estiman que laafirmacin es verdadera, la demostracin les resulta redundante.

Didctica en Chile

En el ao 1986, Ismenia GuzmnRetamal, entonces Magster en Matemticas y profesora deeste Instituto, viaj a Estrasburgo a estudiar Didctica de la Matemtica en la Universidad Louis Pasteur.Su tesis Le rle des reprsentation dans lappropriation de la notion de fonction fue realizada bajo lagua del profesor Franois Pluvinage y presentada en 1990.

De vuelta a Chile, ella se encontr de lleno con la situacin que hemos descrito, solo que unpoco peor: no se conoca la Didctica de la Matemtica en el pas; en efecto, a ella le debemos suintroduccin en la nacin.

Con el tesn que todos quienes la conocen pueden testimoniar, la doctora Guzmn intentconvencer a una comunidad de matemticos y profesores poco receptiva a esa nueva disciplina. Algunosle apoyamos, sin embargo, y un grupo secund su liderazgo. Como resultado, no solo introdujo elementosde Didctica en nuestro programa de Pedagoga, sino que se dise y lider un Magster en Enseanza delas Ciencias con mencin en Didctica de la Matemtica, indito en el pas.

El impacto de la disciplina prontamente se hizo notar, y ya las primeras promociones delMagster contaron a alumnos del norte y del sur del pas. Cuatro profesoras de la Universidad Nacional deCuyo viajaron por dos aos semanalmente a clases en este recinto; el programa se impartira al aosiguiente en esa universidad a una veintena de acadmicos; vinieron tambin alumnos del norte deArgentina, de Per, de Honduras.

Ismenia se hizo conocida en Latinoamrica; en nuestro pas, presidi la Sociedad de EducacinMatemtica de Chile, SOCHIEM.

Ella tiene un lugar bien ganado en la historia de la enseanza de la matemtica en nuestro pas.Seguramente y debido a las investigaciones que realiza y a las respuestas que provee, la Didctica de laMatemtica habra llegado necesariamente a Chile. Sin embargo, para aquilatar la contribucin de ladoctora Ismenia Guzmn bien podramos preguntarnos en dnde estaramos hoy si ella no hubierainiciado un proceso que llev esta disciplina a la consideracin de las autoridades y las universidades, yque se tradujo posteriormente en la graduacin en la disciplina de profesores especialmente dedicados yaventajados algunos de ellos, hoy doctores en el rea.

Esta conferencia se hace en su honor, y en agradecimiento por su liderazgo adelantado.

Palabras finales

Nuestra misin como educadores en Matemticas es construir el conocimiento que el pasnecesita, en donde sea que nos corresponda actuar: en las aulas, en la investigacin, en la elaboracin detextos de estudio, en el diseo y ejecucin de polticas pblicas.

Para cada una de estas tareas, la Didctica de la Matemtica nos ofrece evidencias, metodologas,teoras y, en fin, luces de las cuales no dispondramos sin ella.

Hace un par de das, el Consejo Superior de la Pontificia Universidad Catlica de Valparasoaprob la creacin de un Doctorado en Didctica de la Matemtica, que se impartir en nuestro Instituto.Este programa se realizar en conjunto con dos instituciones del mayor prestigio posible, como son elLaboratorio Andr Revuz de la Universidad de Pars-Diderot y el Departamento de Matemtica Educativadel Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados de Mxico; pioneros, uno en el mundo, el otro enLatinoamrica.


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Tal como hemos hecho con el actual Magster en Didctica de la Matemtica, y estando estedoctorado concebido como un servicio a nuestro pas y a la regin, invitamos a participar en l comoprofesores a los escasos especialistas en el rea dispersos a lo largo de nuestra geografa, con la nicarestriccin de produccin cientfica que exigen un programa de esta naturaleza y las instituciones

asociadas.

El doctorado es una muestra adicional del progresivo desarrollo de la Didctica de la Matemticaen el pas. Nos parece oportuno, por tanto, agradecer a quienes nos han permitido introducirnos en ella.En este momento, podemos hacerlo en dos personas particularmente relevantes que nos acompaan hoy:el creador de una de las teoras que guan nuestro estudio y nuestras propuestas, y quien introdujo ladisciplina en el pas y la regin.

Profesor Raymond Duval, doctora Ismenia Guzmn: tengo el honor y el privilegio de representara ustedes el agradecimiento de todos quienes nos hemos beneficiado de su saber a travs de estainstitucin, y el de muchos otros que lo aprovechan o lo recibirn mediante nosotros, incluso sinconocerles a ustedes.

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Didactica de la Matemática en Chile - Arturo Mena