Determinan presentasi

Aljabar Linear:Chapter 2 : Determinant

Dipo Aldilaemail : ([email protected])

Department of Mathematics,Universitas Indonesia, Indonesia

Linear Algebra, 2014-2015

Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 1 / 17

Determinan Pendahuluan

IntroductionDeterminan / fungsi determinan:

1 Memetakan suatu matriks persegi ke suatu bilangan .

2 Sangat berguna dalam menganalisa / menyelesaikan SPL.


Determinan Pendahuluan

Diberikan matriks

A =[a bc d

].

Determinan matriks A adalah

det(A) = |A| = a bc d

= ad bc.

A1 =1

det(A)

[d bc a

].

Catatan: bedakan notasi antara matriks ([]) dan determinan matriks (| |).


Determinan Minor dan kofaktor

Definisi

Misalkan A adalah matriks persegi (n n).Minor dari entri aij , dinotasikan sebagai Mij adalah determinan darisubmatriks hasil penghapusan baris ke i dan kolom ke j .

Kofaktor dari entri aij adalah Cij = (1)i+j Mij .

Catatan: minor dan kofaktor dari suatu entri merupakan bilangan , bukanmatriks.


Determinan Determinan matriks n n

Cara mencari determinan matriks A ukuran n n:1 Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j .

det(A) = a1j C1j + a2j C2j + + anj Cnj .2 Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i .

det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + + ain Cin.



Misalkan

A =

a b cd e fg h i

.

det(A) =

a b cd e fg h i

= a e fh i

b d fg i+ c d eg h

= a e i + b f g + c d h c e g b d i a f h.

Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861, matematikawan Perancis) : caramengingat (mnemonic) perhitungan determinan matriks 3 3.



TheoremJika A adalah matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah atau matriksdiagonal (n n), maka det(A) didapat dari hasil kali entri-entri di diagonalutamanya.

det(A) = a11 a22 . . . ann


Menghitung determinan dengan reduksi baris

TheoremMisalkan A adalah matriks persegi. Jika A punya baris nol atau kolom nol,maka det(A) = 0.

Theorem

Jika A adalah matriks persegi, maka det(AT ) = det(A).



Misalkan A adalah matriks persegi (n n).1 Jika B adalah matriks yang didapat dari perkalian 1 baris (atau 1

kolom) dari A dengan bilangan k , maka det(B) = k det(A).

2 Jika B adalah matriks yang didapat dari pertukaran 2 baris (atau 2kolom) dari A, maka det(B) = det(A).



3 Jika B adalah matriks yang didapat dari penjumlahan suatu baris dari Adengan hasil kali baris lain dari A (atau suatu kolom dari A dengan hasilkali kolom lain dari A), maka det(B) = det(A).



TheoremMisalkan E adalah matriks elementer berukuran n n, maka

1 Jika matriks E dihasilkan dari mengalikan suatu matriks identitas Indengan konstanta tak nol k, maka |E | = k.

2 Jika matriks E dihasilkan dari menukar posisi baris di matriks identitas In,maka |E | = 1.

3 Jika matriks E dihasilkan dari menjumlahkan suatu baris dengan hasilkali baris lainnya, maka |E | = 1.

TheoremJika A adalah matriks persegi dengan 2 baris atau 2 kolom yang proporsional,maka det(A) = 0.


Sifat determinan

Misalkan A dan B adalah matriks persegi (n n).1 det(kA) = kn det(A).

2 det(AB) = det(A)det(B).3 det(A+ B) 6= det(A) + det(B)

TheoremMisalkan matriks A,B dan C adalah matriks berukuran n n yang hanyaberbeda pada satu baris saja, sebut saja baris ke r , dan misalkan baris ke rdari matriks C didapatkan dari menjumlahkan baris ke r dari matriks A dan B.Maka berlaku :

|C| = |A|+ |B|. (1)Hal yang sama berlaku untuk "kolom".


Sifat determinan

Theorem

Matriks A dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) 6= 0.

TheoremJika matriks A dapat dibalik, maka

det(A1) =1

det(A).


Sifat determinan Matriks kofaktor

Matriks Kofaktor

Misalkan A adalah matriks persegi (n n) dan Cij adalah kofaktor dari aij .Matriks

C11 C12 . . . C1nC21 C22 . . . C2n

......

......

Cn1 Cn2 . . . Cnn

disebut matriks kofaktor dari A.

Transpose dari matriks kofaktor tersebut disebut adjoint dari A, dinotasikansebagai adj(A).Jika A matriks yang dapat dibalik, maka

A1 =1

det(A)adj(A).


Aturan Cramer

Aturan Cramer

SPL

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2...an1 x1 + am2 x2 + + ann xn = bn

dapat ditulis sebagaia11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . ann

x1x2...xn

=

b1b2...bm

atau Ax = b.


Aturan Cramer

Aturan Cramer

Jika Ax = b dan det(A) 6= 0, maka

x1 =det(A1)det(A)

, x2 =det(A2)det(A)

, . . . , xn =det(An)det(A)

.

adalah solusi dari SPL tersebut.

Catatan:Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti kolom ke j dari matriks Adengan vektor b.


Aturan Cramer

TheoremJika A adalah matriks persegi, maka pernyataan berikut ekivalen.

1 A dapat dibalik.2 Ax = 0 hanya punya solusi trivial.3 Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In.4 Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran n 1.5 Ax = b punya hanya 1 solusi setiap matriks b yang berukuran n 1.6 det(A) 6= 0.


DeterminanPendahuluanMinor dan kofaktorDeterminan matriks n n

Menghitung determinan dengan reduksi barisSifat determinanMatriks kofaktor

Aturan Cramer

Documents

Determinan presentasi