Upload
syamimialifah
View
248
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 1/14
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
Sifat determinan yang penting adalah sebagai berikut:
1. Nilai determinan tidak berubah bila semua baris diubah menjadi kolom atau semua
kolom diubah menjadi baris, dengan kata lain:
det(A) = det(AT )
Contoh:
A=[6 5
2 0] ,maka AT =[6 2
5 0 ]det(A) = 6.0 - 2. ! -10
det(AT ) ! 6.0-.2 ! -10
2. det"#$% ! det"#% det"$%
Contoh:
A=[6 5
2 0]danB=[ 0 4
15 10] , maka AB=[6 5
2 0 ][ 0 4
15 10]=[75 74
0 8 ]det"#% ! 6.0 & 2. ! -10
det"$% = 10.0 & '.1 ! & 60
det"#% det"$% ! "& 10%." & 60% ! 600
det"#$% = (.) & 0.(' ! 600
*. +ika dua bariskolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah.
Contoh:
A=[
0 1 4
2 1 1
0 0 1]makaB= H
12( A )=[
2 1 1
0 1 4
0 0 1] danC = K 12
( A )=[1 0 4
1 2 1
0 0 1]
det ( A )=0.|1 4
1 1|−0.|0 4
2 1|+1.|0 1
2 1|=−2 ekspansibariske−3
det ( B )=2.|1 4
0 1|−0.|1 1
0 1|+0.|1 1
1 4|=2 ekspansi kolom ke−1
det (C )=0.|0 4
2 1|−0.|1 4
1 1|+1.|1 0
1 2|=2 ekspansi baris ke−3
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 2/14
'. ada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga
determinan itu ! 0.
Contoh:
A=[1 2 0
1 2 0
0 0 1]bariske−1dan ke−2 sama ,maka| A|=0
. $ila nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah bariskolom
ditambah atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-elemen dari
bariskolom lain.
Contoh:
A=[0 1 4
2 1 1
0 0 1]maka,B= H
13
(−2) ( A )=[0 1 2
2 1 1
0 0 1] ,C = K 21
(3) ( A )=[0 1 4
2 7 1
0 0 1]
det ( A )=0.|1 4
1 1|−0.|0 4
2 1|+1.|0 1
2 1|=−2 ekspansibariske−3
det ( B )=0.|1 2
1 1|−0.|0 2
2 1|+1.|0 1
2 1|=−2 ekspansi baris ke−3
det (C )=0.|1 4
7 1|−0.|0 4
2 1|+1.|0 1
2 7|=−2ekspansib ariske−3
6. $esar determinan menjadi β kali, bila suatu bariskolom dikalikan dengan skalar β .
Contoh:
A=[0 1 4
2 1 1
0 0 1]maka,B= H
3
(2 ) ( A )=[0 1 4
2 1 1
0 0 2] , C = K
1
(2) ( A )=[0 1 4
4 1 1
0 0 1]
det ( A )=0.|1 4
1 1|−0.|0 4
2 1|+1.|0 1
2 1|=−2 ekspansi baris ke−3
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 3/14
det (B )=0.|1 4
1 1|−0.|0 4
2 1|+1.|0 1
2 1|=−4ekspansibaris ke−3
det (C
)=
0.
|1 4
7 1
|−0.
|0 4
4 1
|+1.
|0 1
4 1
|=−4
ekspansi baris ke−3
(. #pabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom ! 0, maka harga determinan
! 0.
Contoh
A=[0 0
4 5 ] det "#% ! 0. & 0.' !0 & 0 !0
). +ika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga baah, maka hasil
determinannya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang terletak pada
diagonal utamanya.
Contoh:
A=[2 0 0
1 3 0
4 1 2]maka| A|=2.3.2=12
B=[2 7 7
0 3 0
0 0 2]maka|B|=2.3 .2=12
/. +ika # adalah matriks segitiga n x n maka det"#% adalah hasil kali elemen-elemen
pada diagonal utama
Contoh:
MENGHITUNG DETERMINAN MENGGUNAKAN SIFAT- SIFAT
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 4/14
DETERMINAN
Contoh:
itung determinan matriks
akukan transformasi 2,1"-%, *,1
"-/%, ',1"-1*%, sehingga diperoleh matriks:
$aris ke-2,*,dan ' berkelipatan sehingga dengan transformasi *,2"-2%, ',2
"-*% diperoleh
matriks
enggunakan ekspansi baris ke- *
Contoh:
itung det"#% dimana+aab:
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 5/14
embentuk matriks segitiga atas, sehingga
Contoh:
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 6/14
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 7/14
APLIKASI DETERMINAN PADA GEOMETRI
#pabila diketahui beberapa titik yang terletak pada bidang datar atau pada ruang *-3,
permasalahannya adalah apa bentuk geometri dari gambar yang meleati titik-titik
tersebut4 5ntuk mengetahuinya diperlukan pengetahuan tentang penyelesaian sistem
linier dan perhitungan determinan.
Persamaan Garis Lrs !an" Me#a#i Da Titi$:
isalkan #1 ! (x1 , y1% dan #2 !(x2 , y2 ) adalah dua titik pada bidang. entukan persamaan
garis yang meleati kedua titik tersebut.
jaab:
isalkan ! "7, y) adalah titik pada , maka untuk persamaan garis lurus berlaku
ax + by + c = 0
8arena #1 dan #2 terletak pada , maka berlaku
ersamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. $ila ketiga persamaan
di atas disusun kembali diperoleh
#gar persamaan di atas punya solusi nontri9ial, maka determinan koefisien-koefisien
matriksnya harus nol:
Contoh:
+ika A1 !"-1, 2% dan #2!"0,1%, maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut
adalah
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 8/14
x y 1 - 1 2 1 0 1
atau
atau
7 y & 1 ! 0
Persamaan Lin"$aran !an" Me#e%ati Ti"a Titi$
3iketahui tiga titik #1 ! (x1,y1%, #2 !(x2 , y2 ), dan #* ! (x3, y3 ) terletak pada bidang datar
"dan tidak berada pada garis yang sama%, tentukan persamaan lingkaran yang melalui
ketiga titik tersebut.
+ika !"7, y% adalah titik yang terletak pada lingkaran tersebut, maka berlaku
persamaan berikut:
a(x2 + y2 ) + bx + cy + d = 0
dimana a, b, ;, dan d adalah konstanta. 5ntuk ketiga titik di atas juga harus memenuhi
naan berikut:
ersamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. #gar sistem
mempunyai nontri9ial, maka determinan koefisien-koefisien matriksnya harus nol.
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 9/14
Contoh:
entukan persamaan lingkaran yang meleati tiga titik #1"l, 0%, #2"-l, 2%, dan #*"*, 1%.
+aab:
3eterminan dari koefisien-koefisien matriksnya adalah
Setelah disederhanakan didapatkan persamaan berikut:
672 6y2 - 1'7 - 26y ) ! 0
#tau
( x−7
6 )2
+( y−13
6 )2
=37
18
ingkaran mempunyai pusat "(6, 1*6% dan jari-jari sebesar √37
18 satuan.
Persamaan &i'an" Datar !an" Me#e%ati Ti"a Titi$
isalkan tiga titik #1 ! "71 y1, <1%, #2 !"72,y2 ,<2% dan #* ="7*, y*,<*% terletak pada bidang
"tidak pada garis yang sama%. entukan persamaan bidang yang meleati ketiga titik
tersebut.
+aab:ersamaan bidang se;ara umum dapat ditulis sebagai berikut: ax + by + cz + d ! 0,
a,b,c ∈ R
+ika !"7, y, z) titik pada bidang tersebut dan setelah ketiga titik disubstitusi ke
persamaan bidang diperoleh sistem persamaan linier homogen berikut
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 10/14
Sekali lagi agar persamaan tersebut punya solusi, haruslah
Contoh:
eintukan persamaan bidang yang meleati tiga titik "1, -1, *%, "0, 1, (%, dan "',0,-1%.+aab:
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 11/14
Setelah dihitung dan disederhanakan diperoleh persamaan bidang berikut:
127 )y - (< '1 ! 0
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 12/14
8
7
6.
5.
4
3
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 13/14
7/25/2019 SIFAT Determinan
http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 14/14
23
22
21
20
19
18
17