MATRIKS DAN DETERMINAN

  • View
    12.135

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

MATRIKS DAN DETERMINAN Pada Matematika Dasar

Text of MATRIKS DAN DETERMINAN

  • 1. BAB IXMATRIKS DAN DETERMINAN

2. 9.1 MatriksDalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubunga antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukk pada contoh berikut.Tek.Sist. Tek.Mtk.Str.Pemrogr.BasisDiskrit 45Data 35(P) 30Dt. 4040 4242 3129 2229 37 3. Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua bua kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah, 4. Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n. Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i Umumnya ke j. dan kolom suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal.Selain cara penulisan diatas, ditulis sebagai A = [a ij ].matriks dapat jugaJika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks. 5. 9.2 Matriks Bentuk KhususJika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matrik maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 9.2.1 Vektor KolomVektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom). 40 32 2512 6. 9.2.2 Vektor BarisVektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolo adalah[4 2 5 1]9.2.3 Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom 7. .2.4 Matriks SegitigaMatriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i j, a ij = 0 8. 9.2.5 Matriks DiagonalJika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama denga dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk etiap i j, a ij =0. 9. 9.2.6 Matriks SkalarMatriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah matriks D, maka d 11 = d 22 = d.. ..= d nn9.2.7 Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-e baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol d entri pada diagonal sama dengan 1. 10. 9.2.8 Matriks 0 Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama deng.2.9 Matriks Transpose Contoh 9.1 Jika A =, maka A T =.10 Matriks Simetri dan Skew-SimetriJika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = A T ) maka matriks tersebut adalah matriks simetri. Contoh 9.2 Jika A =, maka A T = 11. arena A = A T , maka A adalah matriks simetri. edangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang memenuhi A = A T . Contoh 9.3 Misal A =,maka A T =,A =Karena A = A T , maka A adalah matriks skew-simetri . 12. 3 Operasi Aritmatika pada MatriksOperasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, erkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks. 9.3.1 Penjumlahan Misal terdapat matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] yang masing-masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [c ij ], dengan [c ij ] = [a ij ] + [b ij ]. Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama. Contoh 9.4Misal A =B= 13. Maka A + B = C3.2 Perkalian Skalar dengan MatriksJika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.a atau dapat ditulis dalam bentuk: cA = c 14. Contoh 9.5 Jika A =maka 3A =3.3 Perkalian Matriks dengan MatriksPerkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jum kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sam Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B, 15. Nilai dari c ij adalah, Contoh 9.6Diketah A= uiB=ika terdapat matriks C = A.B, maka C= 16. 3.4 Kombinasi linier matriksJika A 1 , A 2 , , A p adalah matriks yang mempunyai ukuran Sama, dan k 1 , k 2 , , k p adalah skalar, maka k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k p A p disebut kombinasi linier dari A 1, A 2, , A p Contoh 9.7 Jika , A1 =A2 =tentukan A 1 + 3A 2 2A 3 PenyelesaianA3 = 17. A 1 + 3A 2 2A 33.5 Sifat-sifat Operasi MatriksJika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku: 18. A+B=B+A ) A + (B + C) = (A + B) + C) A(BC) = (AB)C ) A(B C) = AB AC (B C)A = BA CA vi) a(B C) = aB aC ii) (a b)C = aC bC ii) (ab)C = a(bC)ix) x) xi) xii) iii)a(BC) = (aB)C = B(aC) (A T ) T = A (A + B) T = A T B T (cA)T =cA T (AB)T = B T A Thukum komutatif penjumlaha hukum asosiatif penjumlahan hukum asosiatif perkalian hukum distributif kiri huklum distributif kanan 19. 9.4 Matriks yang Diperluas ( Augmented matrix ) Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier,Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien, 20. 5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris atu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika emenuhi: ) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks ) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol (disebut leading coefficient atau pivot ) harus terletak disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumny 21. Contoh 9.8 Matriks dalam bentuk eselon barisontoh 9.9 atriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon barisMatriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang mempunyai bentuk eselon baris. 22. 9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika: i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1 (selanjutnya disebut leading 1 ) dan satu-satunya eleme matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan. Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusu dari matriks eselon baris tereduksi Contoh 9.10Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon tereduksi 23. 7 Operasi Baris Elementerperasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu atriks adalah: ) Perkalian sembarang baris dengan skalar ) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu ) Penjumlahan antara i) dan ii). etiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE) ontoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris an kolom: ) R 3 2R 3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kal baris ke tiga ) R 1 R 2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertuka ) R 2 R 2 + 3R 3 artinya baris kedua diganti dengan baris ke ditambah dengan tiga kali baris ketiga 24. Contoh 9.11kukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matr elon baris tereduksi. PenyelesianElemen pivot 2 1 1 5 3 474Elemen dieliminasi5 25. Langkah pertamaah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris rtama dengan 1/2. R15R 1 +R 22R24R 1 +R 3 26. 9.8 Determinaneterminan adalah besaran atau nilai yang berhubungan engan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks ersegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi ersebut mempunyai balikan ( inverse ).ebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sam engan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan 27. Jika terdapat matriks dari matriks A adalah, maka determinaContoh 9.12Tentukan determinan dari Penyelesaian9.8.1 Sifat-sifat determinan i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determin yang sama atau det A = det A T 28. ) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B) iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnyaa matriks B adalah matriks yang didapat dari empertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A 29. ka matriks a)dan c adalah konstanta, mab)ka seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama engan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol. 30. Misal A = [a ij ] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah 9.8.2 Kofaktor matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A. Determinan dari M disebut minor dari a ij (selanjutnya ditulis M ij ). Sedangkan c ij adalah kofaktor a ij dan didefinisikan sebagai, Contoh 9.9 DiketahuiTentukan minor dan kofaktor dari a 11 dan a 13 Penyelesaian 31. 8.3 Determinan dari matriks n x n Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah 32. Contoh 9.10Tentukan determinan darienyelesaian Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara , 2, atau 3. Kita tentukan i=1Dari rumus 9.4a didapat, det A = 33. = 8 det A =(4)(2)+(1)(9)+(5)(6) + 9 30 = 29 Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2.Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus. Jika terdapat matriks 34. Maka det A =( ) ( ) ( ) +( ) +( ) + ( )A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 34 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 35. 9.9 Adjoin MatriksJika terdapat matriks A = [aij], makaContoh 9.11Penyelesaian, tentukan adjoin A 36. 0 Balikan Matriks ( Inverse of a Matrix ) Jika matriks A = [a ij ] adalah matriks perseg