derivati (1)

Matematika II FAKULTETI I XEHTARISE DHE METALURGJISE

RREGULLAT PËR GJETJEN E DERIVATIT. TABELA E DERIVATEVE

TABELA E DERIVATEVE :

Rregullat për gjetjen e derivatit : Le të jenë dhe funksione të derivueshme, atëherë janë të vërteta këto formula :

D e t y r a t ë z g j i d h u r a

1. Gjeni derivatin e funksionit

Zgjidhje: Funksionin e dhënë e shkruajmë në formën e pastaj zbatojmë

formulën kemi:


Pergatiti: Faton Merovci, Prill 2007


Zgjidhje: Funksionin e dhënë e shkruajmë në formën e pastaj zbatojmë

formulën kemi:

3. Njehsoni dhe , nëse

Zgjidhje: Kemi:

4. Gjeni derivatin e funksionit Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të shumës dhe formulën

kemi:4.2.5.

Gjeni derivatin e funksionit

Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të shumës dhe formulën kemi:

5. Gjeni derivatin e funksionit Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të prodhimit, kemi:

.

6. Gjeni derivatin e funksionit Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të prodhimit, kemi:

.


Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të herësit, kemi:



.

8. Gjeni derivatin e funksionit Njehsoni pastaj

Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të herësit, kemi:

D e t y r a m e r e z u l t a t e

Njehsoni derivatet e funksioneve të mëposhtme :9. . Rezultati:

10. . Rezultati:

11. Rezultati:

12. Rezultati:

13. Rezultati:

14. Rezultati:15. Rezultati:16. Rezultati:17. Rezultati:18. Rezultati:19. Rezultati:20. Rezultati:21. Rezultati:

2 Derivatet e funksioneve të përbëra

Zgjidhjen e detyrave në këtë paragraf do ta bazojmë në tabelën e derivateve të funksioneve të përbëra të cilën po e japim më poshtë :




1. Të gjendet derivati i funksionit Zgjidhje: Zbatojmë formulën , kemi:

.2. Të gjendet derivati i funksionit

Zgjidhje: Zbatojmë formulën , kemi:

3. Të gjendet derivati i funksionit

Zgjidhje: Zbatojmë formulën , kemi :

4. Të gjendet derivati i funksionit

Zgjidhje: Zbatojmë formulën , kemi:



5. Të gjendet derivati i funksionit Zgjidhje: Zbatojmë formulën , kemi:

.

6. Të gjendet derivati i funksionit Zgjidhje: Zbatojmë formulën , kemi :

.

D e t y r a m e r e z u l t a t e

Njehsoni derivatin e këtyre funksioneve :7. Rezultati: 8. Rezultati:

9. Rezultati:

10. Rezultati: 11. Rezultati: 12. Rezultati:

13. Rezultati:

14. Rezultati:



15. Rezultati:

16. Rezultati:

17. Rezultati:

18.

Rezultati:

19.

Rezultati:

20. Rezultati:

21. Rezultati:

22. Rezultati:

23. Rezultati:

24. Rezultati:

25. Rezultati:

26. Rezultati:

27. Rezultati: .

28. Rezultati: .

29. Rezultati: .

30. Rezultati :

DERIVATET E RENDEVE TE LARTA

1. Gjeni derivatin e tretë të funksionit Zgjidhje: Kemi:

2. Gjeni derivatin e katërt të funksionit



Zgjidhje: Kemi:

.3. Gjeni derivatin e dytë të funksionit Zgjidhje: Kemi:

4. Gjeni derivatin e dytë të funksionit Zgjidhje: Kemi:

Monotonia dhe vlerat ekstreme të funksionit

Le të jetë f funksion i përkufizuar në intervalin . Thuhet se funksioni është rritës në intervalin , nëse për çdo

Thuhet se funksioni është jozvoglues në intervalin , nëse për çdo

Thuhet se funksioni është zvoglues në intervalin , nëse për çdo

Thuhet se funksioni është jorritës në intervalin , nëse për çdo

Le të jetë funksion i derivueshëm në intervalin



(1) Nëse , funksioni f është rritës në . (2) Nëse , funksioni f është zvoglues në .

Vlerat ekstreme të funksionit: Le të jetë funksion i përkufizuar në intervalin dhe

Thuhet se funksioni ka maksimum në pikën nëse ekziston i tillë

Thuhet se funksioni ka minimum në pikën nëse ekziston i tillë

Maksimumi dhe minimumi i funksionit quhen vlera ekstreme të funksionit. Nëse funksioni ka vlerë ekstreme në pikën , atëherë ose

nuk ekziston. Pikat në të cilat ose nuk ekziston quhen pika kritike të funksionit .

Le të jetë pikë kritike e funksionit

Nëse dhe , funksioni ka minimum në

pikën

Nëse dhe , funksioni ka maksimum

në pikën


1. Caktoni intervalet e monotonisë dhe vlerat ekstreme të funksionit Zgjidhje: Derivati i parë i funksionit është

Vërejmë se për dhe Formojmë tabelën:

+ 0 0 +

Rritës 4 zvoglues 0 rritës

Nga tabela e mësipërme vërejmë se funksioni i dhënë ka maksimum për , kurse minimum për dhe ate , 2. Caktoni intervalet e monotonisë dhe vlerat ekstreme të funksionit

Zgjidhje: Derivati i parë i funksionit të dhënë është Vërejmë se për dhe Formojmë tabelën:

+ 0 0 +

Rritës 9 zvoglues 18 rritës



Nga tabela e mësipërme vërejmë se funksioni i dhënë ka maksimum për , kurse minimum për dhe ate ,

3. Caktoni intervalet e monotonisë dhe vlerat ekstreme të funksionit

Zgjidhje: Vërejmë se . Provohet se derivati i parë i funksionit të dhënë është

Vërejmë se për dhe Formojmë tabelën:

+ 0 0 +

Rritës 3 zvoglues 3 rritësNga tabela e mësipërme vërejmë se funksioni i dhënë ka maksimum për , kurse minimum për dhe ate ,

Zhdukja e pacaktueshmërive

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e

Nëse duke njehsuar vlerën kufitare të një funksioni të dhënë kur (ose në njërin nga simbolet ) pas zëvendësimit formal të it me në funksionin e dhënë

merret njëra nga shprehjet , nuk mund të konkludohet

për vlerën kufitare në pikën e shqyrtuar. Shprehjet e tilla i quajmë pacaktu-eshmëri.

Pacaktueshmëria e formës . Rregulla e parë e Lopitalit. Le të jenë

funksione të përkufizuara në dhe . Në qoftëse : (i) (ii) Funksionet f, g janë të derivueshme në me përjashtim ndoshta në pikën

(iii) Ekziston

atëherë ekziston edhe dhe

Pacaktueshmëria e formës . Rregulla e dytë e Lopitalit. Le të jenë



funksione të përkufizuara në dhe . Në qoftë se :

(i)

(ii) Funksionet f, g janë të derivueshme në me përjashtim ndoshta në pikën dhe

(iii) Ekziston

atëherë ekziston edhe dhe

Pacaktueshmëria e formës Në qoftë se dhe janë funksione të tilla që

dhe , atëherë shprehja paraqet një

pacaktueshmëri të formës e cila shndërrohet në pacaktueshmëri të formës ose

në këtë mënyrë :

ose

.



pacaktueshmëri të formës e cila shndërrohet në pacaktueshmëri të formës në

këtë mënyrë :

.



pacaktueshmëri të formës e cila shndërrohet në pacaktueshmëri të formës në këtë mënyrë :

.






.




.


1. Njehsoni

Zgjidhje: Shprehja paraqet një pacaktueshmëri të formës kur .

Zbatojmë dhe kemi:

2. Njehsoni

Zgjidhje: Shprehja paraqet një pacaktueshmëri të formës kur

. Zbatojmë dhe kemi:

3. Njehsoni


Zbatojmë dhe kemi:

.



.4. Njehsoni .


Zbatojmë rregullën e parë të Lopitalit, kemi

5. Njehsoni .


Zbatojmë rregullën e parë të Lopitalit, kemi:

.

6. Njehsoni .


Zbatojmë rregullën e parë të Lopitalit, kemi:

7. Njehsoni


Zbatojmë dhe kemi:



.


Documents

derivati (1)