Embed Size (px)
DESCRIPTION
LIUTLUITKUYFKYHF
Citation preview
Derivati i funksionit
6.1. Derivati i rendit të parë
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë f funksion i përkufizuar në intervalin
),( ba dhe 0 ( , ).x a b∈ Shënojmë me x∆ një shtesë të çfardoshme të 0x të tillë që
0 ( , ).x x a b+ ∆ ∈ Shtesa përkatëse e funksionit f që i përgjigjet shtesës x∆ është
0 0( ) ( ).y f x x f x∆ = + ∆ − Formojmë raportin
0 0( ) ( ).
f x x f xy
x x
+ ∆ −∆=
∆ ∆
Vlera kufitare
0 0
0 0
( ) ( )lim lim ,x x
f x x f xy
x x∆ → ∆ →
+ ∆ −∆=
∆ ∆
nëse ekziston dhe është e fundme quhet derivat i parëderivat i parëderivat i parëderivat i parë ose shkurt derivatderivatderivatderivat i
funksionit f në pikën 0x dhe e shënojmë me '
0( ).f x Pra:
' 0 00
0 0
( ) ( )( ) lim lim .
x x
f x x f xyf x
x x∆ → ∆ →
+ ∆ −∆= =
∆ ∆
Derivati i majtëDerivati i majtëDerivati i majtëDerivati i majtë )( 0
' xf− dhe i djathtëi djathtëi djathtëi djathtë )( 0
' xf+ i funksionit funksionit f në pikën 0x
përkufizohen me barazimet :
x
xfxxfxf
x ∆−∆+
=−→∆
−
)()(lim)( 00
00
'
' 0 00
0
( ) ( )( ) lim .
x
f x x f xf x
x++∆ →
+ ∆ −=
∆
Funksioni i cili ka derivat në secilën pikë të intervalit ),( ba quhet funksion i
derivueshëm në intervalin ).,( ba Nëse nuk veçohet pika e intervalit në të cilën
gjendet derivati, shkruajmë
x
xfxxfxf
x ∆−∆+
=→∆
)()(lim)(
0
' ose ' ' ( ) .dy
y f xdx
= =
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.1.1. Nëse ndryshorja 0x merrë shtesën 0.002,x∆ = funksioni 1)( 2 −+= xxxf
merrë shtesën .006004.0=∆y Caktoni vlerën fillestare të ndryshores së pavarur.
Zgjidhje : Nga barazimi 0 0( ) ( ),y f x x f x∆ = + ∆ − kemi:
62
11)002.0()002.0(006004.0 0
2
00
2
0 +−−−+++= xxxx
.10 =⇒ x ■
6.1.2. Gjeni derivatin e funksionit ( ) ( , ).f x ax b a b= + ∈ℝ
Zgjidhje: Kemi:
xaaxxxaxfxxfy ∆=−∆+=−∆+=∆ )()()(
'
0 0( ) lim lim .
x x
y a xf x a
x x∆ → ∆ →
∆ ∆⇒ = = =
∆ ∆■
6.1.3. Gjeni derivatin e funksionit .)( 2xxf =
Zgjidhje: Kemi: 222 )(2)()()( xxxxxxxfxxfy ∆+∆=−∆+=−∆+=∆
⇒ .2)2(lim)(2
limlim)(0
2
00
' xxxx
xxx
x
yxf
xxx=∆+=
∆∆+∆
=∆∆
=→∆→∆→∆
■
6.1.4. Gjeni derivatin e funksionit .)( xxf =
Zgjidhje: Kemi:
xxxxfxxfy −∆+=−∆+=∆ )()(
( )xxx
xxxx
xxx
xxx
+∆+
∆=+∆+
+∆+
−∆+=
'
0 0 0
1 1( ) lim lim lim .
2x x x
x
y x x xf x
x x x x x x∆ → ∆ → ∆ →
∆∆ + ∆ +⇒ = = = =∆ ∆ + ∆ +
■
1.1.5. Gjeni derivatin e funksionit .)(x
kxf =
Zgjidhje: Kemi:
( ) ( )( )
k k k xy f x x f x
x x x x x x
∆∆ = + ∆ − = − = −
+ ∆ + ∆
⇒ .)(
lim)(
limlim)(2000
'
x
k
xxx
k
x
xxx
xk
x
yxf
xxx−=
∆+−=
∆∆+∆
−=
∆∆
=→∆→∆→∆
■
6.1.6. Gjeni derivatin e funksionit 2( ) ( , , ).f x ax bx c a b c= + + ∈ℝ
Zgjidhje: Kemi:
cbxaxcxxbxxaxfxxfy −−−+∆++∆+=−∆+=∆ 22 )()()()(
2)(2 xaxbxax ∆+∆+∆=
2
'
0 0
2 ( )( ) lim lim
x x
y ax x b x a xf x
x x∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ + ∆⇒ = =
∆ ∆
( ) .22lim0
baxxabaxx
+=∆++=→∆
■
63
6.1.7. Gjeni ' ( ),f a nëse )()()( xaxxf ϕ−= ku ϕ është funksion i
vazhdueshëm në pikën .x a= Zgjidhje: Sipas përkufizimit të derivatit, kemi
=∆
−∆+=
→∆ x
xfxxfxf
x
)()(lim)(
0
'
x
xaxxxaxx
x ∆ϕ−−∆+ϕ−∆+
→∆
)()()()(lim
0
⇒ =)(' af )()(lim)(
lim00
axxx
xxx
xxϕϕ
ϕ=∆+=
∆∆+∆
→∆→∆■.
6.1.8. Le të jetë f funksion i derivueshëm dhe periodik me periodë .p Tregoni se 'f është periodik me periodë .p
Zgjidhje: Kemi:
'
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim .
x x
f x x f x f x p x f x pf x
x x∆ → ∆ →
+ ∆ − + + ∆ − += =
∆ ∆■
6.1.9. Caktoni shtesën x∆ të argumentit 0x në mënyrë që shtesa e funksionit
32)( 2 ++−= xxxf të jetë .0199.0=∆y
Rezultati: 01.0=∆x dhe .99.1=∆x
6.1.10. Caktoni shpejtësinë mesatare të ndryshimit të funksionit xxf sin)( =
nëse 0
0 5=x dhe .20'=∆x
Rezultati: .99485.0=∆∆
x
y
1.1.11. Të gjendet shtesa x∆ e argumentit x dhe shtesa y∆ e funksionit f për
vlerat e ndryshores së pavarur nga 1x në 2 ,x nëse :
xxfa log)()( = dhe .1000,1 21 == xx
xxfb 2log)()( = dhe .5,5.0 21 == xx
Rezultati: .1,5.4)(.3,999)( =∆=∆=∆=∆ yxbyxa
1.1.12. Është dhënë funksioni .1)( −= xxf Njehsoni ).5('f
Rezultati: .4
1)5(' =f
1.1.13. Është dhënë funksioni .)( 3 xxf = Njehsoni ( ).22'f
Rezultati: ( ) .6
122' =f
1.1.15. Gjeni derivatin e funksionit ( ) .mx n
f xpx q
+=
+
Rezultati: .)(
)(2
'
qpx
npmqxf
+−
=
64
6.2. Rregullat për gjetjen e derivatit
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e
Tabela e derivateveTabela e derivateveTabela e derivateveTabela e derivateve :
' 11 ( ) .v xαα −=�
'2 ( ) ln ( 0, 1).x xa a a a a= > ≠�
'3 ( ) .x xe e=�
' 14 (log ) ( 0, 1).
lna x a a
x a= > ≠�
' 15 (ln ) .x
x=�
'6 (sin ) cos .x x=�
'7 (cos ) sin .x x= −�
'
2
18 ( ) .
costgx
x=�
'
2
19 ( ) .
sinctgx
x= −�
'
2
110 (arcsin ) .
1x
x=
−
�
'
2
111 (arccos ) .
1x
x= −
−
�
'
2
112 ( ) .
1arctgx
x=
+�
'
2
113 ( ) .
1arcctgx
x= −
+�
Rregullat për gjetjen e derivatitRregullat për gjetjen e derivatitRregullat për gjetjen e derivatitRregullat për gjetjen e derivatit : Le të jenë )(xu dhe )(xv funksione të
derivueshme, atëherë janë të vërteta këto formula :
( ) '''vuvu ±=±
( ) '''uvvuuv +=
2
''
v
uvvu
v
u −=
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
65
6.2.1. Gjeni derivatin e funksionit .2)( xxxf =
Zgjidhje: Funksionin e dhënë e shkruajmë në formën 2
3
2)( xxf = e pastaj
zbatojmë formulën ,10 kemi:
.332
3222)( 2
11
2
3'
2
3'
2
3
' xxxxxxf ==⋅=
=
=
−■
6.2.2. Gjeni derivatin e funksionit .1
)(x
xf =
Zgjidhje: Funksionin e dhënë e shkruajmë në formën 2
1
)(−
= xxf e pastaj
zbatojmë formulën ,10 kemi:
.2
1
2
1
2
1)(
3
2
31
2
1'
2
1
'
xxxxxf −=−=−=
=
−−−−■
6.2.3. Njehsoni )1(' −f dhe )2('f , nëse .1
)(4x
xf =
Zgjidhje: Kemi:
( )5
514'4
'
4
' 544
1)(
xxxx
xxf −=−=−==
= −−−−
.8
1
2
4)2(4
)1(
4)1(
5
'
5
'
−=−=∧
=
−−=−⇒ ff ■
6.2.4. Gjeni derivatin e funksionit .7424)( 35 −+−= xxxxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të shumës dhe formulën ,10
kemi: ' 5 3 ' 4 2 4 2( ) (4 2 4 7) 4 5 2 3 4 1 0 20 6 4.f x x x x x x x x= − + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − + ■
6.2.5. Gjeni derivatin e funksionit .45
132)(
32
3 +−+−=xxx
xxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të shumës dhe formulën ,10
kemi: '
3
2
22
1
3
1'
32
3' 45
13324
5
132)(
+−+−=
+−+−= −−−
xx
xxxxxx
xxf
1312
12
11
3
1
)3(5
1)2(3
2
12
3
1 −−−−−−−−−−+
−−= xxxx
66
2 3
3 43 23 43 2
1 3 1 1 6 36 .
3 5 53x x x x
x xx xx
− − − −= + − + = + − + ■
6.2.6. Gjeni derivatin e funksionit ).21)(51()( 23 xxxf −+=
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të prodhimit, kemi: ' 3 2 ' 3 ' 2 3 2 '( ) ((1 5 )(1 2 )) (1 5 ) (1 2 ) (1 5 )(1 2 )f x x x x x x x= + − = + − + + −
442322 2043015)51(4)21(15 xxxxxxxx −−−=+−−=
xxx 41550 24 −+−= .■
6.2.7. Gjeni derivatin e funksionit ).1)(1()( 23 ++−= xxxxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të prodhimit, kemi: ' 3 2 ' 3 ' 2 3 2 '( ) (( 1)( 1)) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)f x x x x x x x x x x= − + + = − + + + − + +
)15)(1()1()12()1(3 22322 −−++=−++++= xxxxxxxxx ■.
6.2.8. Gjeni derivatin e funksionit .1
1)(
2
2
−+
=x
xxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të herësit, kemi:
22
'222'2'
2
2'
)1(
)1)(1()1()1(
1
1)(
−−+−−+
=
−+
=x
xxxx
x
xxf
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
)1(2)1(2
−−=
−−−−
=−
+−−=
x
x
x
xxxx
x
xxxx.■
6.2.9. Gjeni derivatin e funksionit .sin1
sin1)(
x
xxf
+−
= Njehsoni pastaj .4
'
πf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të herësit, kemi:
2
'''
'
)sin1(
)sin1)(sin1()sin1()sin1(
sin1
sin1)(
x
xxxx
x
xxf
++−−+−
=
+−
=
2)sin1(
)sin1(cos)sin1(cos
x
xxxx
+−−+−
=
.)sin1(
cos2
)sin1(
sincoscossincoscos22
x
x
x
xxxxxx
+−=
++−−−
=
⇒ =
4
' πf .268
4sin1
4cos2
2−=
+
−π
π
■
D e t y r a m e r e z u l t a t e
67
Njehsoni derivatet e funksioneve të mëposhtme :
6.2.10. 5 4 3 1( ) 3 15 2 2.f x x x x x− − − −= − + − + +
Rezultati: .66015 2456 −−−− −+− xxxx
6.2.11. 23 1
34 2( ) 4 4 3 .f x x x x x= + + + Rezultati: .3223 2
1
3
1
4
1
++−−−−
xxx
6.2.12. .8123
)(23
4 3 +++−=xxx
xxf
Rezultati: .43
4 234
3
4
1
−−−−−−+ xxxx
6.2.13. .112
2
32)(
3 2+−−+=
xxxxxf Rezultati: .22
3
3
5
2
1
−−−−−+− xxxx
6.2.14. .)( ctgxtgxxf −= Rezultati: .2sin
42 x
6.2.15. ).13)(12()( 2 −++= xxxxf Rezultati: .1146 2 ++ xx
6.2.16. ).32)(13()( 22 ++= xxxf Rezultati: .2224 3 xx +
6.2.17. ).1)(1()( 23 +++−= xxxxxf Rezultati: .4 3x
6.2.18. ).91)(1()( 22 xxxf −−= Rezultati: ).59(4 2 −xx
6.2.19. ).21)(41()( 23 xxxf ++= Rezultati: ).1031(4 3xxx ++
6.2.20. ).311)(52()( 2 −+−= xxxxf Rezultati: .61346 2 −+ xx
6.2.21. ).3)(()( 23 bxaxxf ++= Rezultati:4 215 3 6 .x bx ax+ +
6.2.22. ).)(()( bxabxaxf −+= Rezultati: .2 2xb−
6.2.23. ).12123)(34()( 22 ++−+= xxxxxf
Rezultati: ).182)(2(6 2 +++ xxx
6.2.24. ).44)(331()( 3322 xxxxxxxf +−+++=
Rezultati: ).764()1)(2( 22 xxxxx −++−
6.2.25. .cossin)( xxxf ⋅= Rezultati: .2cos x
6.2.26. .cossin)( xxxxf ⋅−= Rezultati: .sin2 2 x
6.2.27. .)( ctgxtgxxf −= Rezultati: .2sin
42 x
6.2.28. .cos)2(sin2)( 2 xxxxxf −−= Rezultati: .sin2 xx
6.2.29. .sin)2(cos2)( 2 xxxxxf −+= Rezultati: .cos2 xx
6.2.30. .cos)6(sin)63()( 32 xxxxxxf −−−= Rezultati: .sin3 xx
68
6.2.31. .cos)2412(sin)244()( 243 xxxxxxxf +−−−= Rezultati: .sin4 xx
6.2.32. .sin)2412(cos)244()( 243 xxxxxxxf +−−−= Rezultati: .cos4 xx
6.2.33. .4
34)(
++
=x
xxf Rezultati: .
)4(
132+x
6.2.34. .3
)(−
=x
xxf Rezultati: .
)3(
32−
−x
6.2.35. .1
1)(
−=
xxf Rezultati: .
)4(
1
−−
x
6.2.36. .1
1)(
x
xxf
+−
= Rezultati: .)1(
22x+
−
6.2.37. .1
1)(
2xxf
+= Rezultati: .
)1(
222x
x
+−
6.2.38. .1
1)(
2
2
+−
=x
xxf Rezultati: .
)1(
422 +x
x
6.2.39. .1
1)(
2 ++
=x
xxf Rezultati: .
)1(
1222
2
+−+
−x
xx
6.2.40. .)(dcx
baxxf
++
= Rezultati: .)( 2dcx
bcad
+−
6.2.41. .23
3)(
2
2
+−−
=xx
xxxf Rezultati: .
)23(
6422 +−
−xx
x
6.2.42. .4
132)(
2
2
−+−
=x
xxxf Rezultati: .
)4(
)46(322
2
−+−
x
xx
6.2.43. .23
1)(
2
3
−++
=xx
xxf Rezultati: .
)23(
326622
234
−+−−−+
xx
xxxx
6.2.44. .1
1)(
3
2
−+
=x
xxf Rezultati: .
)1(
)23(23
3
−++
−x
xxx
6.2.45. .cos
1)(
xxf = Rezultati: .
cos
sin2 x
x
6.2.46. .sincos
cossin)(
xxx
xxxxf
+−
= Rezultati: .)sin(cos 2
2
xxx
x
+
6.3. Derivatet e funksioneve të përbëra
69
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Zgjidhjen e detyrave në këtë paragraf do ta bazojmë në tabelën e derivateve të funksioneve të përbëra të cilën po e japim më poshtë :
' 1 '1 ( ( )) ( ) ( ).f x f x f xα αα −=�
( ) ' ( ) '2 ( ) ln ( ) ( 0, 1).f x f xa a a f x a a= > ≠�
( ) ' ( ) '3 ( ) ( ).f x f xe e f x=�
' '14 (log ( )) ( )( 0, 1).
( ) lna f x f x a a
f x a= > ≠�
' '15 (ln ( )) ( ).
( )f x f x
f x=�
' '6 (sin ( )) cos ( ) ( ).f x f x f x= ⋅�
' '7 (cos ( )) sin ( ) ( ).f x f x f x= − ⋅�
' '
2
18 ( ( )) ( ).
cos ( )tgf x f x
f x=�
' '
2
19 ( ( )) ( ).
sin ( )ctgf x f x
f x= −�
' '
2
110 (arcsin ( )) ( ).
1 ( )f x f x
f x=
−
�
' '
2
111 (arccos ( )) ( ).
1 ( )f x f x
f x= −
−
�
' '
2
112 ( ( )) ( ).
1 ( )arctgf x f x
f x=
+�
' '
2
113 ( ( )) ( ).
1 ( )arcctgf x f x
f x= −
+�
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.3.1. Të gjendet derivati i funksionit 2 3( ) ( 5 6) .f x x x= − +
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 1 ,� kem ' 2 3 ' 2 2 2 ' 2 2( ) (( 5 6) ) 3( 5 6) ( 5 6) 3(2 5)( 5 6) .f x x x x x x x x x x= − + = − + − + = − − + ■
6.3.2. Të gjendet derivati i funksionit .sinsin21)( 42 xxxf +−=
Zgjidhje: Zbatojmë formulen 1 ,� kemi: ' 2 4 ' 2 1 ' 4 1 '( ) (1 2sin sin ) 2 2sin (sin ) 4sin (sin )f x x x x x x x− −= − + = − ⋅ +
)sin1(cossin4cossin4cossin4 23 xxxxxxx −−=+−=
70
.cossin4 3 xx−= ■
6.3.3. Të gjendet derivati i funksionit .)sin()( dcbxaxf ++=
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 6 ,� kemi :
' ' '( ) ( sin( ) ) cos( )( ) cos( ).f x a bx c d a bx c bx c ab bx c= + + = + + = + ■
6.3.4. Të gjendet derivati i funksionit .22
)(2
−= xtgxfπ
Zgjidhje: Zbatojmë formulen 08 , kemi:
' '
' 2( ) 2 2 2 22 2 2
f x tg x tg x tg xπ π π = − = − −
'
'
32 3
sin 21 cos 22
2 2 2 4 4 .2 2 sin 2
cos 2 cos 22 2
xx
tg x xx
x x
ππ π
π π
− = − − = − = − − −
■
6.3.5. Të gjendet derivati i funksionit .)(a
xxxf =
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 5 ,� kemi:
' '( ) ln ( ) ln (ln ( )) ( ln )ax a af x x f x x x f x x x= ⇒ = ⇒ =
1 ' 1 1
'
( ) 1ln ( ) ( )( ln )
( )
a a a af xax x x f x f x ax x x
f x x
− − −⇒ = + ⇒ = +
' 1( ) ( ln 1).a
x af x x a x+ −⇒ = + ■
6.3.6. Të gjendet derivati i funksionit .)(sin)( cos xxxf =
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 5 ,� kemi :
cos ' '( ) (sin ) ln ( ) cos ln sin (ln ( )) (cos ln sin )xf x x f x x x f x x x= ⇒ = ⇒ =
xx
xxxxf
xfcos
sin
1cossinlnsin
)(
)('+−=⇒
+−=⇒
x
xxxxfxf
sin
cossinlnsin)()(
2'
+−=⇒
x
xxxxxf
x
sin
cossinlnsin)(sin)(
2cos'
■
D e t y r a m e r e z u l t a t e
Njehsoni derivatin e këtyre funksioneve :
71
6.3.7. .)()( 4baxxf += Rezultati: .)(4 3baxa +
6.3.8. .)23()( 42xxf += Rezultati: .)23(16 32xx +
6.3.9. .1)( 2xxf −= Rezultati: .1 2x
x
−−
6.3.10. .)sin23()( 5xxf −= Rezultati: .cos)sin23(10 4 xx−−
6.3.11. .cos52)( 3 xxxf −= Rezultati: .sincos152 2 xx−
6.3.12. .sinlog)( xxf = Rezultati: .log ectgx ⋅
6.3.13. ).1ln()( 2xxf −= Rezultati: .1
22x
x
−−
6.3.14. .2arcsin)( xxf = Rezultati: .41
22x−
6.3.15. .arcsin)( xxf = Rezultati: .2
12xx −
−
6.3.16. .1
1)(
x
xarctgxf
−+
= Rezultati: .1
12x+
−
6.3.17. ).ln(lnln)( 2 xxxf −= Rezultati: .ln
1ln2
xxx
x−
6.3.18. ).ln()(ln)( arctgxxarctgxf +=
Rezultati: .)1(
1
)ln1(
122 arctgxxxx +
++
6.3.19. ).1ln(1ln)( +++= xxxf
Rezultati: .)(2
1
1ln2
1
xxxx ++
+
6.3.20. .)5()( 2xtgxf = Rezultati: .)5(cos
1022 x
x
6.3.21. .sin2
1)( 2xxf = Rezultati: .cos 2xx
6.3.22. .1
arcsin)(2
2
x
xxf
−= Rezultati: .
12
2
2 −xx
6.3.23. ).5ln(arcsin)( xxf = Rezultati: .5arcsin251
52 xx−
6.3.24. .)(2
sin xexf = Rezultati: .2sin2sin
xex
72
6.3.25. ).ln()( 2 cbxaxxf ++= Rezultati: .22 cbxax
bax
+++
6.3.26. ( ).ln)( 22 axxxf ++= Rezultati: .1
22 ax +
6.3.27. .ln)( xarctgxf = Rezultati: 2
1.
(1 ln )x x+
6.3.28. .)( xxxf = Rezultati: (1 ln ).xx x+
6.3.29. .)( x xxf = Rezultati: 2
1 ln.x x
xx
−
6.3.30. .)(cos)( sin xxxf =
Rezultati : ).sincosln(cos)(cos sin xtgxxxx x −⋅
6.3.31. .)(2
1
xexf−
= Rezultati: .2 2
1
3xe
x
−
6.3.32. .2
)(3
x
x
e
xxf
+= Rezultati: 22 (ln 2 1 (3 )) .x xx x e−− + −
6.3.33. .2)( 3x
xf = Rezultati: .3ln2ln323
⋅xx
6.3.34. .)( ln xexf = Rezultati: .ln2
1 ln xexx
6.3.35. .2)( ln x
x
xf = Rezultati: .ln
2ln)1(ln2
2ln
x
xx
x −
6.3.36. ).1ln(2
1)( 2xxarctgxxf +−= Rezultati: .arctgx
6.3.37. .sin1
sin1)(
x
xxf
−+
= Rezultati: .sin1
1
x−
6.3.38. .)(sin)( xxxf = Rezultati: .sin
lncos)(sin
+⋅x
xxxx
x
6.3.39. .arcsin)12()( 33 xxarctgxf +−=
Rezultati: .)1(2
arcsin3
122
)12(3 22
2
2
xx
x
xx
xarctg
−+
+−−
6.3.40. .1
1)(
2
2
x
xexf x
−+
= Rezultati: .)1(1
)12(
22
2
xx
exx x
−−
−+
73
6.3.41. .)16(
)13()4(ln)( 3
53
752
xtgex
xxxf
+−+
=
Rezultati: .53
1
16
12
13
7
4
2
3
53
2
2xtg
x
x
xx
x−
+−
−+
+
1.4. Diferenciali i funksionit
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë f funksion i derivueshëm në
intervalin ).,( ba
1� Prodhimi xxf ∆)(' quhet diferendial i funksionit f dhe shënohet me dy ose
.df Pra .)(' xxfdy ∆=
2� Për ,)( xxf = nga barazimi xxfdy ∆= )(' rrjedh se ,xdx ∆= d.m.th.
diferenciali i argumentit x është i barabartë më shtesën e argumentit. Prandaj ' ( ) .dy f x dx=
3� Duke ditur se ,)(' xxfdyy ∆=≈∆ nga )()( xfxxfy −∆+=∆ rrjedh se
'( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x+ ∆ − ≈ ∆ Pra '( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆
4� Vlejnë barazimet : dvduvud ±=± )(
udvvduvud +=⋅ )(
2.
u vdu udvd
v v
− =
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.4.1. Njehsoni diferencialin e funksionit .)1ln( 510 xx arctgeey −+= Njehsoni
pastaj dy për 0=x dhe .2.0=dx
Zgjidhje: Kemi: 10 ' 5 ' 5 5
10 5
10 10 10
(1 ) ( ) 5 (2 1)(ln(1 ) )
1 1 1
x x x xx x
x x x
e e e edy e arctge dx dx dx
e e e
+ −= + − = − = + + +
.5.02.02
52.00
=⋅=⇒=∧= dxx
dy ■
6.4.2. Njehsoni vlerën e përafërt të funksionit xxf log)( = për .11=x
74
Zgjidhje: Zbatojmë formulen xxfxfxxf ∆+≈∆+ )()()( ', për 10=x dhe
,1=∆x kemi:
718281821.2log10
11log
10
1)10()110()11( +=+=+= efff
.0434294.14342944819.010
11 =⋅+≈ ■
6.4.3. Njehsoni vlerën e përafërt të .)01.1( 3
Zgjidhje: Marrim funksionin 3)( xxf = dhe kemi:
01.0)1()1()01.1()()()( '' ⋅+≈⇒∆≈−∆+ fffxxfxfxxf
.03.101.031)01.0( 3 =⋅+≈⇒ ■
6.4.4. Gjeni rritjen dhe diferencialin e funksionit 13 2 −+= xxy në pikën 1=x
për .1.0=∆x Gjeni gabimin apsolut dhe procentual që bëhet me zëvendësimin e shtesës së funksionit me diferencialin.
Zgjidhje: Kemi:
( ) )13(1)(3)()( 2 −+−−∆++∆+=−∆+=∆ xxxxxxxfxxfy
xxxxxx ∆+∆+∆+∆= 322 )()(99
xxdy ∆+=⇒ )19( 2
32 )(3)(9 xxxdyy ∆+∆=−∆⇒
Prej nga për 1=x dhe ,1.0=∆x ,093.0)1.0(3)1.0(19 32 =⋅+⋅⋅=−∆ dyy
1=dy dhe .093.1=∆y Në këtë rast gabimi apsolut është ,093.0|| =−∆ dyy
kure gabimi procentual %.5.8085.0093.1
093.0=≈=
∆−∆y
dyy■
6.4.5. Duke zbatuar vetitë e diferencialit njehsoni përafërsisht vlerën e funksionit
5
2
2)(
x
xxf
+−
= për .15.0=x
Zgjidhje: Meqenëse yxfxxfxfxxfy ∆+=∆+⇒−∆+=∆ )()()()( dhe
meqenëse ,dyy ≈∆ atëherë dyxfxxf +≈∆+ )()( . Në detyrën tonë marrim
1=x dhe ,15.0=∆x kemi:
.03.015.05
1
5
1)0(
)2(
4
2
2
5
1)( '
25
4
−=⋅−=∧
−=⇒+
−+
−= dyfxx
xxf
Rrjedhimisht .97.003.01)0()15.0( =−=+≈ dyff ■
75
6.4.6. Syprina e sipërfaqes së rrethit njehsohet me formulën 2rS π= . Nëse rrezja
cmr 2.5= është përcaktuar me gabim maksimal cmr 05.0±=∆ , caktoni gabimin apsolut dhe procentual që bëhet gjat njehsimit të syprinës së sipërfaqes së rrethit. Zgjidhje: Gabimi apsolut është:
,63.152.005.02.522 ≈=⋅⋅==≈∆ πππ rdrdSS
kurse gabimi procentual
%.252
1
2.5
05.022
22
≈=⋅====∆
r
dr
r
rdr
S
dS
S
S
ππ
■
6.4.7. Me anë të derivatit, njehsoni me afërsi .120
Zgjidhje: Le të jetë ,)( xxf = atëherë nga ,)()()( ' xxfxfxxf ∆+≈∆+ për
121=x dhe ,1−=∆x kemi:
)1)(121()121()1121( ' −+≈− fff
.95.1022
111
1212
1121120 ≈−=−≈⇒ ■
6.4.7. Njhehsoni me afërsi sin 46 .�
Zgjidhje: Le të jetë .sin)( xxf = Për 4
45π
== �x dhe 180
1π
==∆ �x , kemi:
xxfxfxxf ∆+≈∆+ )()()( '
180441804
46sin' πππππ
⋅
+
≈
+=⇒ fff�
.719.0180
12
1
4cos
1804sin ≈
+=+≈ππππ
■
6.4.9. Lartësia e konit është cm18 kurse rrezja është .5cm Lartësia është plotësisht e saktë, kurse rrezja është dhënë me gabim cm03.0 . Gjat njehsimit të përafërt të vëllimit të konit njehsoni gabimin relativ dhe procentual. Zgjidhje: Le të jetë V vëllimi i konit me lartësi cmh 18= dhe rreze
cmr 5= . Meqenëse 2 2 21 1
18 6 ,3 3
V r h r rπ π π= = ⋅ = atëherë
.1212 rrVrdr
dV∆=∆⇒= ππ
Prej nga gabimi relativ i bërë gjat njehsimit të vëllimit të konit është
2
12 2 0.032 0.012,
6 5
V r r r
V r r
ππ
∆ ∆ ∆ ⋅= = = =
kurse gabimi procentual
76
%.2.1%100012.0%100 =⋅=⋅∆V
V■
6.4.10. Të gjendet rritja procentuale e vëllimit të sferes nëse rrezja e saj është rritur për %.3
Zgjidhje: Nëse më r shenojmë rrezen e sferes, atëherë %.3=∆r
rMeqë
,3
4 3rV π= atëherë
%,93
3
4
444
3
222 =
∆=
∆=
∆⇒∆=∆⇒=
r
r
r
rr
V
VrrVr
dr
dV
π
πππ
d.m.th. vëllimi i sferes rritet për %.9 ■
D e t y r a m e r e z u l t a t e
6.4.11. Njehsoni përafërsisht rritjen e funksionit 87)( 23 +−= xxxf kur x
ndryshon nga 5 në .01.5
Rezultati: .05.0=≈∆ dyy
6.4.12. Njehsoni përafërsisht :
3
3
1( ) 255, ( ) 257, ( ) 215, ( ) , ( ) cos59 ,
215a b c d e �
.80)(,998.3)(,46sec)(,134)(,31sin)( 4jihtggf ���
Rezultati: 5151.0)(,1667.0)(,9907.5)(,03.16)(,97.15)( edcba ,
.9907.2)(,9995.1)(,5389.1)(,0349.1)(,5151.0)( jihgf −
6.4.13. Vëllimi i sferes është rritur për %3 . Të gjendet se sa përqind është rritur syprina e sferes. Rezultati: %.2
6.4.14. Brinja a e ABC∆ duhet të gjendet me anë të formulës së kosinusit 22 ba = .cos22 αbcc −+ Nëse ,8cmc = �60=α dhe brinja b është
përafërsisht cm20 me gabim cm02.0 , gjeni vlerën .a Gjeni pastaj gabimin relativ dhe procentual që bëhet me rastin e njehsimit të vlerës .a
Rezultati: .4.17 cma = Gabimi relativ .01053.0 Gabimi procentual %.053.1
6.5. Derivatet e rendeve të larta
77
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e
1� Le të jetë f funksion −n herë i derivueshëm . Janë të vërteta barazimet :
( ) ( 1) '( ) ( ( )) ( ).n nf x f x n−= ∈ℕ
( ) ( ) ( )( ( )) ( )( , ).m n m nf x f x m n+= ∈ℕ ( ) ( )( , )m nf x m n+= ∈ℕ .
2� Formula e LajbnicitFormula e LajbnicitFormula e LajbnicitFormula e Lajbnicit. Le të jenë vu, funksione −n herë të derivueshme, atëherë
edhe funksioni uv është −n herë i derivueshëm dhe është ie vërtetë kjo formulë:
( ) ( ) ( 1) ' ( 2) '' ( 3) ''' ( )( ) ... .0 1 3 4
n n n n n nn n n n n
uv u v u v u v u v uvn
− − − = + + + + +
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.5.1. Gjeni derivatin e tretë të funksionit .1234)( 34 −++= xxxxf
Zgjidhje: Kemi: ' 4 3 ' 3 2( ) (4 3 2 1) 16 9 2f x x x x x x= + + − = + +
'' ' ' 3 2 ' 2( ) ( ( )) (16 9 2) 48 18f x f x x x x x⇒ = = + + = +
''' '' ' 2 '( ) ( ( )) (48 18 ) 96 18.f x f x x x x⇒ = = + = + ■
6.5.2. Gjeni derivatin e katërt të funksionit .sin)( xxf =
Zgjidhje: Kemi:
' '( ) (sin ) cos sin2
f x x x xπ = = = +
' '
'' ' '( ) ( ( )) sin cos sin 2 .2 2 2 2
f x f x x x x xπ π π π ⇒ = = + = + ⋅ + = + ⋅
'
''' '' '( ) ( ( )) sin 22
f x f x xπ ⇒ = = + ⋅
'
cos 2 2 sin 3 .2 2 2
x x xπ π π = + ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅
'
( ) ''' '( ) ( ( )) sin 32
IVf x f x xπ ⇒ = = + ⋅
'
cos 3 3 sin 4 .2 2 2
x x xπ π π = + ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅
■
6.5.3. Gjeni derivatin e dytë të funksionit ).1ln()( xxf −=
Zgjidhje: Kemi:
78
( )x
xx
xxf−
−=−−
=−=1
1)1(
1
1)1ln()( '''
' '
'' ' '
2
1 1 1( ) ( ( )) .
1 1 (1 )f x f x
x x x
⇒ = = − = − = − − − ■
6.5.4. Gjeni derivatin e dytë të funksionit .)(2
xexf =
Zgjidhje: Kemi:
( ) 222
2)()( '2'
' xxx xexeexf ===
( ) ( )2 2 2' ''' ' '( ) ( ( )) 2 2 2x x xf x f x xe e x e⇒ = = = +
( ) ).21(24222 22' 22222
xeexeexe xxxxx +=+=+= ■
6.5.5. Gjeni sukcesivisht derivatet e funksioneve :
.)()1( 2 cbxaxxf ++=
.596)()2( 24 +++= xxxxf
.9611873)()3( 2345 +−++−= xxxxxxf
Zgjidhje : Kemi : ' 2 '(1) ( ) ( ) 2 .f x ax bx c ax b= + + = +
'' ' ' '( ) ( ( )) (2 ) 2 .f x f x ax b a⇒ = = + =
''' '' ' '( ) ( ( )) (2 ) 0.f x f x a⇒ = = =
).3(0)()( ≥=⇒ kxf k
' 4 2 ' 3(2) ( ) ( 6 9 5) 4 12 9.f x x x x x x= + + + = + +
'' ' ' 3 ' 2( ) ( ( )) (4 12 9) 12 12.f x f x x x x⇒ = = + + = +
''' '' ' 2 '( ) ( ( )) (12 12) 24 .f x f x x x⇒ = = + =
( ) ''' ' '( ) ( ( )) (24 ) 24.IVf x f x x⇒ = = =
( ) ( ) ' '( ) ( ( )) (24) 0.V IVf x f x⇒ = = =
).5(0)()( ≥=⇒ kxf k
' 5 4 3 2 ' 4 3 2(3) ( ) (3 7 8 11 6 9) 15 28 24 22 6.f x x x x x x x x x x= − + + − + = − + + −
'' ' ' 4 3 2 '( ) ( ( )) (15 28 24 22 6)f x f x x x x x⇒ = = − + + −
3 260 84 48 22.x x x= − + +
''' '' ' 3 2 ' 2( ) ( ( )) (60 84 48 22) 180 168 48.f x f x x x x x x⇒ = = − + + = − +
( ) ''' ' 2 '( ) ( ( )) (180 168 48) 360 168.IVf x f x x x x⇒ = = − + = −
( ) ( ) ' '( ) ( ( )) (360 168) 360.V IVf x f x x⇒ = = − =
).6(0)()( ≥=⇒ kxf k■
6.5.6. Nëse 3( ) ,f x x px q= + + tregoni se :
79
).(!3
)(!2
)()()( '''3
''2
' xfh
xfh
xfhxfhxf ++⋅+=+
Zgjidhje: Kemi:
qphpxhxhhxxqhxphxhxf ++++++=++++=+ 32233 33)()()(
2 3
3 2( ) (3 ) 6 62 6
h hx px q h x p x= + + + + + ⋅ + ⋅
).(!3
)(!2
)()( '''3
''2
' xfh
xfh
xfhxf ⋅+⋅+⋅+= ■
6.5.7. Gjeni derivatin e rendit n të funksionit .2)( 3xxf =
Zgjidhje: Zgjidhjen do ta bëjmë me induksion matematik. Kemi:
' 3 ' 3( ) (2 ) 2 3ln 2x xf x = = ⋅
'' ' ' 3 ' 3 2 2( ) ( ( )) (2 3ln 2) 2 3 ln 2x xf x f x= = ⋅ = ⋅
''' '' ' 3 2 2 ' 3 3 3( ) ( ( )) (2 3 ln 2) 2 3 ln 2x xf x f x= = ⋅ = ⋅
Supozojmë se
2ln32)( 3)( nnxn xf ⋅= .
Duhet të tregojmë se
2ln32)( 113)1( +++ ⋅= nnxn xf .
Vërtetë
( 1) ( ) ' 3 ' 3 1 1( ) ( ( )) (2 3 ln 2) 2 3 ln 2.n n x n n x n nf x f x+ + += = ⋅ = ⋅ ■
6.5.8. Gjeni derivatin e rendit n të funksionit ( ) ln(1 ).f x x= +
Zgjidhje: Zgjidhjen do ta bëjmë me induksion matematik. Tregojmë se
( ) 1 ( 1)!( ) ( 1) ( ).
(1 )
n n
n
nf x n
x
− −= − ∈
+ℕ
Vërtetë
' ' 1 11 (1 1)!( ) (ln(1 )) ( 1) .
1 1f x x
x x
− −= + = = −
+ +
'
'' ' ' 1 1 2 1
2
(1 1)! (2 1)!( ) ( ( )) ( 1) ( 1) .
1 (1 )f x f x
x x
− −− − = = − = − + + .
Supozojmë se barazimi është i vërtetë për ,n d.m.th.
( ) 1 ( 1)!( ) ( 1) ( ),
(1 )
n n
n
nf x n
x
− −= − ∈
+ℕ
atëherë ' 1
( 1) ( ) ' 1 1
2
( 1)! ( 1)!(1 )( ) ( ( )) ( 1) ( 1)
(1 ) (1 )
nn n n n
n n
n n n xf x f x
x x
−+ − − − − +
= = − = − − + +
1
!( 1) .
(1 )
n
n
n
x += −+
■
80
6.5.9. Gjeni )(nf nëse ( ) ln .a bx
f xa bx
+=
−
Zgjidhje: Meqenës ' 2( ) ,
( )( )
ab b bf x
a bx a bx a bx a bx= = +
+ − + − atëherë
( 1) ( 1)
( ) ' ( 1)( ) ( ( ))
n n
n n b bf x f x
a bx a bx
− −− = = + + −
1
1
11
1
11
)1()(
)!1()1(
)(
)!1()1( −−
−−
−
−−
−−
−−+
+−−
= n
n
nn
n
nn
bxa
nbb
bxa
nbb
1
1 1
( 1) 1( 1)! .
( ) ( )
nn
n nb n
a bx a bx
−
− −
−= − + + −
■
6.5.10. Gjeni derivatin e rendit n të funksionit 2( ) (1 )cos .f x x x= +
Zgjidhje: Do ta zbatojmë formulën e Lajbnicit. Shënojmë me ∧= xu cos
21 .v x= + Me induksion matematik, trgohet se ( ) cos ( ).2
nu x n nπ = + ∈
ℕ
Gjithashtu )3(0)(2)(2)( )(''' ≥=∧=∧= nxvxvxxv n. Prandaj
( ) )(''')3('')2(')1()()(...
4310
nnnnnnuv
n
nvu
nvu
nvu
nvu
nuv
++
+
+
+
= −−−
( ) ( )
π++
=+=⇒
2cos1
0cos)1()(
2)(2)(nxx
nxxxf
nn
π−+
+
π−+
+
2)2(cos2
22)1(cos2
1nx
nnxx
n■
6. 5.11. Gjeni )0()(nf nëse 2( ) .axf x x e=
Zgjidhje: Shënojmë me 2 ,axv x u e= ∧ = atëherë ∧=∧= 2)(2)( ''' xvxxv
)0(0)()( ≥= nxv n dhe ( ) ( ) ( ).n n axu x a e n= ∈ℕ Prej nga
( ) 2 ( )( ) ( )n ax nf x x e= = axnaxnaxnea
nxea
nexa
n2
22
10
212 −−
+
+
( ) 2(0) ( 1) .n nf n n a −⇒ = − ■
6.5.12. Gjeni derivatin e rendit n të funksionit 52
23)(
2 +−+
=xx
xxf në pikën
.0=x
81
Zgjidhje: Zgjidhjen do ta bëjmë duke u bazuar në formulën e Lajbnicit për
2≥n . Kemi:
2
2
3 2( ) ( )( 2 5) 3 2
2 5
xf x f x x x x
x x
+= ⇒ − + = +
− +
2 ( ) ( )( ( )( 2 5)) (3 2)n nf x x x x⇒ − + = +
( ) 2 ( 1) 2 '( )( 2 5) ( )( 2 5)n nf x x x nf x x x−⇒ − + + − +
( 2) 3 ''( 1)( )( 2 5) 0
2
nn nf x x x−−
+ − + =
( ) 2 ( 1) ( 2)( )( 2 5) ( )(2 2) ( 1) ( ) 0n n nf x x x nf x x n n f x− −⇒ − + + − + − =
.
Për ,0=x marrim
0)0()1()0(2)0(5 )2()1()( =−+− −− nnn fnnnff
( ) ( 1) ( 2)2 ( 1)(0) (0) (0).
5 5
n n nn nf nf f− −−
⇒ = −
Barazimi i fundit paraqet formulën rekurente për njehsimin e derivatit të rendit
)2( ≥nn të funksionit të dhënë në pikën .0=x Vlerat )0(f dhe )0('f i
njehsojmë drejtëpërsëdrejti:
5
2)0(
52
23)(
2=⇒
+−+
= fxx
xxf
2
' '
2 2
3 4 19 19( ) (0) .
( 2 5) 25
x xf x f
x x
− − += ⇒ =
− +
Duke zbatuar formulën rekurente të gjetur më lartë dhe barazimet e fundit, gjejmë:
125
56
5
2
5
2
25
192
5
2)0(
5
12)0(2
5
2)0( ''' =⋅−⋅⋅=
⋅−⋅= fff
.625
234
25
19
5
6
125
563
5
2)0(
5
23)0(3
5
2)0( '''''' =⋅−⋅⋅=
⋅−⋅= fff ■
D e t y r a m e r e z u l t a t e
6.5.13. Le të jetë f funksion n herë i derivueshëm. Tregoni se është i vërtetë
barazimi
( ) ( )( ( )) ( )( ).n n nf ax b a f ax b n+ = + ∈ℕ
Udhëzim: Shfrytëzoni induksionin matematik.
6.5.14. Duke zbatuar formulën e Lajbnicit, njehsoni :
)()( )20( xfa nëse 3( ) sin .f x x x=
82
)()( ''' xfb nëse ( ) sin .xf x e x−=
)()( )( xfc n nëse 2( ) (3 4).xf x e x= −
)()( )2( xfd n nëse 2( ) (1 )cos .f x x x= −
Rezultati: .cos8640sin1140cos60sin)()( 23)20( xxxxxxxxfa +−−=
).cos(sin2)()( ''' xxexfb x += −
( ) 2( ) ( ) (3 6 3 ( 1) 4).n xc f x e x nx n n= + + − −
(2 ) 2 2( ) ( ) ( 1) ((4 2 1 )cos 4 sin ).n nd f x n n x x nx x= − + + − −
6.6. Interpretimi gjeometrik i derivatit të parë
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Nëse : ( , )f a b → ℝ është funksion i
derivueshëm në pikën 0 ( , ),x a b∈ grafiku i tij në pikën ))(,( 000 xfxM ka
tangjentë me koeficient të drejtimit '
0( ).k f x=
Ekuacionet e tangjentës dhe normalës së grafikut të funksionit f në
pikën 0M shprehen përkatësisht me relacionet
'
0 0 0: ( ) ( )( ).t y f x f x x x− = −
0 0'
0
1: ( ) ( ).
( )n y f x x x
f x− = − −
α
x
y
t
s
β
0M
M
0x x O
α
Fig.6.1.2
fG
83
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.6.1. Të shkruhet ekuacioni i tangjentës së lakores 2( )f x x= në pikën 0 (1, 2).M
Zgjidhje: Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën 0(1,2)M me koeficient të
drejtimit k është 2 ( 1).y k x− = − Caktojmë tani koeficientin e drejtimit k .
Sipas interpretimit gjeometrik të derivatit të parë, '(1) 2,k f= = prandaj kemi:
: 2 2( 1) 2 1 0.t y x x y− = − ⇔ − + = ■
6.6.2. Të caktohet këndi nën të cilin tangjentja e grafikut të funksionit
2( ) 4 3f x x x= − + në pikën me abshisë 5
2x = e pret boshtin .Ox
Zgjidhje: Derivati i funksionit të dhënë është ' ( ) 2 4,f x x= − kurse koeficienti
i drejtimit të tangjentës së lakores 2( ) 4 3f x x x= − + në pikën me abshisë
5
2x = ,
' 51
2f =
. Pra 1 45 .tgα α= ⇒ = �■
6.6.3. Të shkruhet ekuacioni i tangjentës së lakores 3 2( )f x x x= + që e ka
koeficientin e drejtimit 8.k =
Zgjidhje:Meqenëse ' 2
1 2
4( ) 8 3 2 8 1, ,
3f x x x x x= ⇒ + = ⇒ = − = atëherë
lakorja e dhënë ka dy tangjente me koeficient të drejtimit të barabatrë me 8 dhe
Fig.6.6.1
45�
fG
84
ato kalojnë përkatësisht nëpër pikat 1( 1, ( 1)) ( 1, 4)M f− − = − − dhe
2
4 4 4 112, , .
3 3 3 27M f
=
Ekuacionet e këtyre tangjenteve janë:
1 : 4 8( 2) 8 12 0t y x x y+ = + ⇔ − + =
2
112 4: 8 216 27 176 0.
27 3t y x x y
− = − ⇔ − − =
■
6.6.4. Të shkruhet ekuacioni i tangjentës dhe ormales së grafikut të funksionit
( )f x x= në pikën me abshisë 4.x =
Zgjidhje: Meqenëse ' 1( ) ,
2f x
x= atëherë koeficienti i drejtimit të tangjentës
së lakores ( )f x x= është ' 1(4) ,
4t
k f= = kurse koeficienti i drejtimit të
normales është 1
4.n
t
kk
= − = − Prej nga
1: (4) ( 4) 4 4 0.
4t y f x x y− = − ⇔ − + =
: (4) 4( 4) 4 18 0.n y f x x y− = − − ⇔ + − = ■
6.6.5. Shkruani ekuacionin e normales së grafikut të funksionit 3 2( ) 6 11 6f x x x x= − + − në pikën me abshisë 0 1.x =
Fig.
fG
85
Zgjidhje: Normale e lakores së dhënë në pikën e dhënë quhet drejtëza që është
normale në tangjentën e lakores në pikën e dhënë. Koeficienti i drejtimit të
tangjentës së lakores së dhënë në pikën me abshisë 0 1x = është '(1) 2,tk f= =
kurse koeficienti i drejtimit të normales është 1 1
.2
n
t
kk
= − = − Rrjedhimisht
1: (1) ( 1) 2 1 0.
2n y f x x y− = − − ⇔ + − = ■
6.6.6. Të shkruhet ekuacioni i tangjentës së rrethit 2 2 25x y+ = që kalon nëpër
pikën 0 0( 3, ) ( 0).y y− >
Zgjidhje: Për 0 03, 0x y= − > nga ekuacioni 2 2 25x y+ = gjejmë se 0 4.y =
Meqenëse 2 2 ' ' ' 3
25 2 2 ( 3) ,4
xx y x yy y y
y+ = ⇒ + ⇒ =− ⇒ − = atëherë ekuacioni
i tangjentës së kërkuar është
3: 4 ( 3) 3 4 25.
4t y x x y− = + ⇔ − = ■
6.6.7. Gjeni këndin nën të cilin pritën lakoret 1
( )f xx
= dhe ( ) .g x x=
Zgjidhje: Kënd ndërmjet lakoreve në pikëprerjen e tyre quhet këndi që
formojnë tangjentet e tyre në ate pikë. Meqenëse 1
1,x xx= ⇒ = lakoret e
dhëna priten në pikën (1, (1)) (1,1).M f M= Shënojmë me 1t dhe 2t
Fig.
86
përkatësisht tangjentët e lakoreve f dhe g në pikën (1,1)M , atëherë 1t
k =
'(1) 1f = − dhe 2
' 1(1) .
2tk g= = Shënojmë me 1ϕ dhe 2ϕ përkatësisht këndet
që mbyllim tangjetet 1t dhe 2t me pjesën pozitive të boshtit ,Ox kurse me ϕ
këndin ndërmjet tangjenteve 1t dhe 2t . Atëherë
2 1
1 2
'2 12 1
1 2
11
2( ) 3 71 30.11 1 1 12
t t
t t
k ktg tgtg tg
tg tg k k
ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
+−−= − = = = = ⇒ =
+ + − ⋅
�■
6.6.8. Shkruani ekuacionin e tangjentës së grafikut të funksionit 2( ) 6f x x x= − −
që është paralele me drejtëzën 5.y x= −
Zgjidhje: Vërejmë se koeficienti i drejtimit të drejtëzës 5y x= − është 1.k =
Meqenëse drejtëzat paralele kanë koeficiente të drejtimit të barabartë, atëherë
edhe tangjentja e kërkuar ka koeficientin e drejtimit 1.k = Tani gjejmë pikën
x për të cilën '( ) 1 1.f x x= ⇒ = Për 1,x = (1) 6.y f= = − Pra tangjenta e
kërkuar kalon nëpër pikën me koordinata (1, 6).− Ekuacioni i saj është
: 6 1 7 0.t y x x y+ = − ⇔ − − = ■
6.6.9.Gjeni këndin nën të cilin pritën rrathëst 2 2 4 1x y x+ − = dhe 2 2 2 9.x y y+ + =
ϕ
Fig.
1ϕ
2ϕ
fG
gG
87
Zgjidhje: Ekuacionet e lakoreve të dhëna mund ti shkruajmë në këtë formë 2 2( 2) 5x y− + = dhe
2 2( 1) 10,x y+ + = d.m.th. se ato paraqesin ekuacione të
rrathëve. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve 2 2(( 2) 5)x y− + = ∧ 2 2( ( 1) 10)x y+ + =
gjejmë se këta rrathë priten në pikat 1(1,2)A dhe 2 (3, 2).A − Shënojmë me 1t
k
dhe 2t
k koeficientët e drejtimit të tangjenteve 1t dhe 2t përkatësisht të lakoreve
2 2 4 1x y x+ − = dhe 2 2x y+ 2 9y+ = në pikën 1(1,2).A Kemi:
2 2 ' '
1
2 14 1 (1) .
2
xx y x y k y
y
− ++ − = ⇒ = ⇒ = =
2 2x y+ ' '
2
12 9 (1) .
1 3
xy y k y
y+ = ⇒ = − ⇒ = = −
+
Nëse me ϕ shenojmë këndin ndërmjet tangjenteve 1t dhe 2t të lakoreve
2 2 4 1x y x+ − = dhe 2 2x y+ 2 9y+ = në pikën 1(1,2),A ngjashëm sikur
edhe në detyrën 1.8.7, gjejmë se
2 1
1 2
1 1
2 3 1 45 .1 11
12 3
t t
t t
k ktg
k kϕ ϕ
+−= = = ⇒ =
+ + ⋅ −
�
Provohet lehtë se edhe këndi ndërmjet lakoreve në pikën 2 (3, 2)A − është 45 .� ■
Fig.
1A
2A
1t
2t
88
D e t y r a m e r e z u l t a t e
6.6.10. Përcaktoni këndin që mbyllë me boshtin Ox sekanta e parabollës 2( )f x x= − 7 10x + që kalon nëpër pikat me abshisa 2 2x = dhe 2 6.x =
Rezultati: 45 .α = �
6.6.11. Skrueni ekuacionin e tangjentës së lakores 2 20y x= nëse dihet se ajo me
boshtin Ox formon këndin 45 .α = �
Rezultati: 5 0.x y− + =
6.6.12. Shkrueni ekuacionin e tangjentës së lakores 2( ) 3 4f x x x= + − e cila është
paralele me drejtëzën :
) 3 3. ) 2 3 1 0.a y x b x y= − − + =
Rezultati: ) 3 4. ) 24 36 149 0.a y x b x y= − + + =
6.6.13. Në cilën pikë të lakores 2( ) 2 5f x x x= − + tangjentja është normale në drejtëzën .y x=
Rezultati: Në pikën 1 17
, .2 4
6.6.14. Përcaktoni pikën e lakores 2( ) 1f x x= − në të cilën :
)a Normalja është paralele me drejtëzën 1y x= + .
)b Normalja është normale në drejtëzën .y x= −
Rezultati: )a Në pikën 1 3
, .2 4
− −
)b Në pikën 1 3
, .2 4
− −
6.6.15. Në drejtëzën y kx l= + catoni parametrat ,k l në mënyrë që ajo të jetë
tangjente e lakores 2 4 .y x=
Rezultati: 1.k l= =
6.6.16. Nga pika (2, 2)M − është hequr tangjenta në lakoren 2( ) 3 1f x x x= − + .
Gjeni pikën takuese. Rezultati: Tangjenta e ka ekuacionin 0,y x+ = kurse pika takuese është
(1, 1).−
6.6.17. Caktoni këndin nën të cilin priten lakoret 2 2 2x y+ = dhe 2.y x=
Rezultati: arctg( 3).α = −
89
6.6.18. Caktoni vlerën e parametrit a në mënyrë që lakorja 2ax x
yx
−= ta prej
boshtin Ox nën këndin 45 .α = �
Rezultati: 1
.4
a =
