Der Abakus Geschichte und Funktionsweise des Abakus von Michael Balceris

Der AbakusDer Abakus

Geschichte und Geschichte und Funktionsweise des AbakusFunktionsweise des Abakus

von Michael Balcerisvon Michael Balceris

InhaltInhalt

1.1. AllgemeinesAllgemeines

2.2. Typen des AbakusTypen des Abakus

3.3. Geschichte des AbakusGeschichte des Abakus

4.4. Funktionsweise am Beispiel des „suan pan“Funktionsweise am Beispiel des „suan pan“

5.5. ResümeeResümee

6.6. LiteraturverzeichnisLiteraturverzeichnis

InhaltInhalt

„„Wo kommt das Wort „Abakus“ Wo kommt das Wort „Abakus“ eigentlich her…???“eigentlich her…???“

AllgemeinAllgemein Typen Geschichte Funktionsweise Resümee Typen Geschichte Funktionsweise Resümee

• griechisch: „αβαξ“griechisch: „αβαξ“• lateinisch: „abacus“lateinisch: „abacus“

übersetzt: übersetzt: Tablett, Tisch, TafelTablett, Tisch, Tafel

• möglicherweise auch aus dem möglicherweise auch aus dem semitischen: „abq“ semitischen: „abq“

übersetzt: übersetzt: „Sand, Staub“„Sand, Staub“(für diese Möglichkeit vgl. Kapitel „Geschichte“-Frühformen (für diese Möglichkeit vgl. Kapitel „Geschichte“-Frühformen

des Abakus)des Abakus)(vgl. Ifrah, S. 136)(vgl. Ifrah, S. 136)

AllgemeinAllgemein Typen Geschichte Funktionsweise Resümee Typen Geschichte Funktionsweise Resümee

• im abendländischen Kulturraum so gut im abendländischen Kulturraum so gut wie unbekannt: wird häufig mit dem wie unbekannt: wird häufig mit dem Rechenschieber verwechselt oder als Rechenschieber verwechselt oder als Kinderspielzeug tituliert Kinderspielzeug tituliert

• dennoch: man schätzt, dass ca. 40% der dennoch: man schätzt, dass ca. 40% der Menschen in Ostasien, Indien und Menschen in Ostasien, Indien und Russland den Abakus täglich benutzten Russland den Abakus täglich benutzten

Allgemein Allgemein TypenTypen Geschichte Funktionsweise Resümee Geschichte Funktionsweise Resümee

„ „Gibt es nur eine Sorte Abakus, Gibt es nur eine Sorte Abakus, oder mehrere..???“oder mehrere..???“


• Chinesische Chinesische Abakus: Abakus: suan pansuan pan

• Hartholzrahmen mit Hartholzrahmen mit mehreren senkrecht mehreren senkrecht angeordneten, parallelen angeordneten, parallelen Stäben (meistens Stäben (meistens

10-12), an denen jeweils 10-12), an denen jeweils 2+5 Perlen (kugelförmig) 2+5 Perlen (kugelförmig) aufgereiht sind. Eine aufgereiht sind. Eine Querstrebe Querstrebe

teilt den suan pan in zwei teilt den suan pan in zwei Bereiche: Bereiche:

Himmel (oberer Bereich) Himmel (oberer Bereich) und Erde (unterer Bereich).und Erde (unterer Bereich).


• Japanische Abakus: Japanische Abakus: sorobansoroban

• Eine Weiterentwicklung Eine Weiterentwicklung des suan pan: besteht nur des suan pan: besteht nur noch aus 1+4 noch aus 1+4 (doppelkegligen) Perlen (doppelkegligen) Perlen pro Stab. Das japanische pro Stab. Das japanische Wort soroban entstand aus Wort soroban entstand aus dem chinesischen suan dem chinesischen suan pan: soo-pa im südlichen pan: soo-pa im südlichen Dialekt oder sur-pan in der Dialekt oder sur-pan in der MandschureiMandschurei

(nordöstlichen Teil (nordöstlichen Teil Chinas).Chinas).


• Russische Abakus: Russische Abakus: stschjotystschjoty

• 10x10 Kugeln werden an 10x10 Kugeln werden an

waagerechten Zehnerreihen waagerechten Zehnerreihen aufgespannt. Zur besseren aufgespannt. Zur besseren Übersichtlichkeit bekommen Übersichtlichkeit bekommen

sie verschiedene Farben. Die sie verschiedene Farben. Die vier Perlen in der vierten vier Perlen in der vierten Reihe sind Platzhalter für die Reihe sind Platzhalter für die Kommastelle (praktische Kommastelle (praktische Verwendung bei: Verwendung bei:

Rubel-Kopeken, Kilogramm-Rubel-Kopeken, Kilogramm-Gramm) (Eng verwandt vom Gramm) (Eng verwandt vom Aufbau mit dem stschjoty ist Aufbau mit dem stschjoty ist der deutsche Abakus)der deutsche Abakus)


• Römischer Römischer AbakusAbakus(hier: Rechenbrett. (hier: Rechenbrett. Variation: Rechenbrett Variation: Rechenbrett fest auf einem Tisch fest auf einem Tisch integriert)integriert)

• Jede Querspalte steht für Jede Querspalte steht für eine Zehnerpotenz. eine Zehnerpotenz. Darstellung einer Zahl: Darstellung einer Zahl: Anzahl der jeweiligen Anzahl der jeweiligen Einheiten durch Einheiten durch entsprechend viele entsprechend viele Steinchen oder Münzen Steinchen oder Münzen ausgedrückt. Im oberen ausgedrückt. Im oberen Teil stehen die Münzen für Teil stehen die Münzen für die Hälfte der die Hälfte der nächsthöheren Ordnung nächsthöheren Ordnung (5)(5)


• TaschenabakusTaschenabakus(häufig von den (häufig von den römischen Rechen-römischen Rechen-Meistern benutzt)Meistern benutzt)

• Metallplatte mit Metallplatte mit verschiebbaren Knöpfen verschiebbaren Knöpfen (calculi)(calculi) . .Die drei Schlitze auf der Die drei Schlitze auf der rechten Seite stehen jeweils rechten Seite stehen jeweils für 1/2, 1/4 , 1/3 (Bruchteile für 1/2, 1/4 , 1/3 (Bruchteile gemessen am „As“ (römische gemessen am „As“ (römische Währungseinheit))Währungseinheit))

• Koreanische Abakus: Koreanische Abakus: tschu pantschu pan

• siehe: soroban (1+4)siehe: soroban (1+4)

Allgemein Typen Allgemein Typen GeschichteGeschichte Funktionsweise Resümee Funktionsweise Resümee

„„Durchlebte der Abakus auch eine Durchlebte der Abakus auch eine Geschichte…???“Geschichte…???“

(vgl. Ifrah, S. 136ff)(vgl. Ifrah, S. 136ff)


• In der Literatur ist man sich über In der Literatur ist man sich über den genauen Ursprung des Abakus den genauen Ursprung des Abakus nicht sichernicht sicher

• Viele Autoren sehen die Sumerer Viele Autoren sehen die Sumerer (Mesopotamien) als „Erfinder“. Sie (Mesopotamien) als „Erfinder“. Sie benutzten ein Zeichenbrett, welches benutzten ein Zeichenbrett, welches mit Sand bestreut war. (daher auch mit Sand bestreut war. (daher auch „abq“) „abq“) (ca. 3./4. Jahrtausend v. Chr.)(ca. 3./4. Jahrtausend v. Chr.)(vgl. Maxwell, S. 2)(vgl. Maxwell, S. 2)


• Antike (~ 1200 v. Chr. – 600 n. Chr.)Antike (~ 1200 v. Chr. – 600 n. Chr.)klassisches Altertum:klassisches Altertum:

• am weitesten verbreitete Art des Abakus: Münztafelnam weitesten verbreitete Art des Abakus: MünztafelnEine Tafel, die durch parallele Linien unterteilt war, Eine Tafel, die durch parallele Linien unterteilt war, wobei jede Linie die Einheiten des jeweiligen wobei jede Linie die Einheiten des jeweiligen Zahlensystems trennt. Steine oder Münzen werden in Zahlensystems trennt. Steine oder Münzen werden in die Reihen gelegt und können verschoben oder die Reihen gelegt und können verschoben oder weggenommen werden.weggenommen werden.

• Beispiel für die Einteilung des Zahlensystems (anhand Beispiel für die Einteilung des Zahlensystems (anhand des römischen Abakus): jede Querspalte steht für eine des römischen Abakus): jede Querspalte steht für eine ZehnerpotenzZehnerpotenz

• Je nach Verwendungszweck wurden auch Sandabaki Je nach Verwendungszweck wurden auch Sandabaki gebraucht:gebraucht:In einen Kasten wurde Sand gefüllt. Anschließend In einen Kasten wurde Sand gefüllt. Anschließend wurde dieser glatt gestrichen und man konnte auf ihm wurde dieser glatt gestrichen und man konnte auf ihm „schreiben“ (wie früher die Sumerer)„schreiben“ (wie früher die Sumerer)


• 1846 wurde auf der Insel Salamis (griechische 1846 wurde auf der Insel Salamis (griechische Insel an der Küste Attikas) eine alte Rechentafel Insel an der Küste Attikas) eine alte Rechentafel vermutlich aus dem 5./4. Jh. v. Chr. gefunden.vermutlich aus dem 5./4. Jh. v. Chr. gefunden.In der Literatur wird sie als „Salaminische In der Literatur wird sie als „Salaminische Rechentafel“ bezeichnetRechentafel“ bezeichnet

• Aussehen:Aussehen:Sie misst eine Größe von 149x75x4,5 cm.Sie misst eine Größe von 149x75x4,5 cm.In einem Teil befinden sich 5 parallele Linien. Im In einem Teil befinden sich 5 parallele Linien. Im anderen Teil 11 parallele Linien, die durch dazu anderen Teil 11 parallele Linien, die durch dazu senkrecht stehende Linien halbiert werden. Die senkrecht stehende Linien halbiert werden. Die Schnittpunkte an der 3., 6., 9. Linie sind durch Schnittpunkte an der 3., 6., 9. Linie sind durch ein Kreuz gekennzeichnet.ein Kreuz gekennzeichnet.


• Neben den Münzbrettern benutzen die Römer Neben den Münzbrettern benutzen die Römer aber auch eine „bessere Rechenmaschine“:aber auch eine „bessere Rechenmaschine“:

römischer Handabakus (Abb. siehe Typen)römischer Handabakus (Abb. siehe Typen)• Bezeichnung für die römischen Bezeichnung für die römischen

Rechenmeister: „Calculatores“. Einerseits Rechenmeister: „Calculatores“. Einerseits wurden damit diejenigen Römer bezeichnet, wurden damit diejenigen Römer bezeichnet, die den Menschen das Rechnen am Abakus die den Menschen das Rechnen am Abakus beibrachten, zum Anderen auch die beibrachten, zum Anderen auch die BuchhalterBuchhalter

• Nach dem Untergang des römischen Reiches Nach dem Untergang des römischen Reiches verschwand aber diese Sorte des Abakusverschwand aber diese Sorte des Abakus


• Mittelalter (~ 4-6 Jh. – Ende 15./Anfang Mittelalter (~ 4-6 Jh. – Ende 15./Anfang 16. Jh.)16. Jh.)

Abendland:Abendland:• Abaki ähnlich den antiken Münztafeln:Abaki ähnlich den antiken Münztafeln:

Tafel, auf der gemalte Linien und Spalten die Tafel, auf der gemalte Linien und Spalten die verschiedenen Einheiten voneinander verschiedenen Einheiten voneinander trennen. Zahlen wurden auch hier durch trennen. Zahlen wurden auch hier durch Münzen dargestellt (sog. „Rechenpfennig“)Münzen dargestellt (sog. „Rechenpfennig“)

• bis zur Französischen Revolution waren diese bis zur Französischen Revolution waren diese Abaki im Abendland sehr weit verbreitet Abaki im Abendland sehr weit verbreitet


• Während der Kreuzzüge (1095-1270 n. Chr.) traten Während der Kreuzzüge (1095-1270 n. Chr.) traten die Europäer in Kontakt mit der islamischen Kultur die Europäer in Kontakt mit der islamischen Kultur → → erlernten das Schreiben von (arabischen) Zahlen erlernten das Schreiben von (arabischen) Zahlen im Sand → Einführung dieser Methode im Abendlandim Sand → Einführung dieser Methode im Abendland=> Streit zwischen: Rechenbrett vs. arabischer => Streit zwischen: Rechenbrett vs. arabischer Methode des Methode des SchreibensSchreibensAusgang: Kirche hatte als Ziel die Verbreitung Ausgang: Kirche hatte als Ziel die Verbreitung ihrerihrer Kultur. Sie hatte außerdem großen Einfluss auf die Kultur. Sie hatte außerdem großen Einfluss auf die Wissenschaft Wissenschaft => arabische Methode wurde (vorerst) als => arabische Methode wurde (vorerst) als Teufelswerkzeug angesehenTeufelswerkzeug angesehen

• ab 16 Jh. entstand ein Streit zwischen den ab 16 Jh. entstand ein Streit zwischen den „Abakisten“ (verwendeten Abaki bzw. Rechenbretter) „Abakisten“ (verwendeten Abaki bzw. Rechenbretter) und den „Algoristen“ (verwendeten arabische Zahlen und den „Algoristen“ (verwendeten arabische Zahlen und Tinte/Federn) über die „beste“ Rechentechnikund Tinte/Federn) über die „beste“ Rechentechnik


• 1623: Wilhelm Schickard (1592-1635) 1623: Wilhelm Schickard (1592-1635) erfand die erste Maschine, die die vier erfand die erste Maschine, die die vier Grundrechenarten+Radizieren Grundrechenarten+Radizieren durchführen konntedurchführen konnte

• Anmerkung: brit. Finanzminister heißt: Anmerkung: brit. Finanzminister heißt: „Chancellor of the exchequer“. „Chancellor of the exchequer“. urspr.: Rechenbrett = „exchequer“ urspr.: Rechenbrett = „exchequer“

• 1789 Französische Revolution: Verbot des 1789 Französische Revolution: Verbot des Gebrauches der Abaki in Schulen und Gebrauches der Abaki in Schulen und Verwaltung. Grund: Arabisches System ist Verwaltung. Grund: Arabisches System ist unabhängiger als das Vorhandensein unabhängiger als das Vorhandensein eines Abacus (z.B. bei verschiedenen eines Abacus (z.B. bei verschiedenen Zahlensystemen)Zahlensystemen)


• Ungefähr 2. Jh. v.Chr., Ungefähr 2. Jh. v.Chr., höchstwahrscheinlich aber viel höchstwahrscheinlich aber viel früherfrüher

ChinaChina• Chinesen übernehmen von den tche´ou (1123-Chinesen übernehmen von den tche´ou (1123-

223 v. Chr.) die Methode: 223 v. Chr.) die Methode:

Zahlen werden mit Hilfe von Stäbchen aus Zahlen werden mit Hilfe von Stäbchen aus Elfenbein oder Bambus auf dem Boden, einem Elfenbein oder Bambus auf dem Boden, einem „Schachbrett“ oder auf einem Tisch dargestellt „Schachbrett“ oder auf einem Tisch dargestellt

• später übernahmen auch die später übernahmen auch die

Japaner diese ZahlendarstellungJapaner diese Zahlendarstellung


• über den genauen Ursprungszeitpunkt des über den genauen Ursprungszeitpunkt des chinesischen Abakus (suan pan) kann nach chinesischen Abakus (suan pan) kann nach heutigem Wissensstand nichts genaues gesagt heutigem Wissensstand nichts genaues gesagt werden: man geht jedoch davon aus, dass er werden: man geht jedoch davon aus, dass er durch Händler aus den westlichen Ländern in durch Händler aus den westlichen Ländern in China bekannt wurde. Die erste Erwähnung eines China bekannt wurde. Die erste Erwähnung eines Abakus in der chinesischen Literatur findet sich Abakus in der chinesischen Literatur findet sich im 11./12. Jh. n. Chr.im 11./12. Jh. n. Chr.(vgl. Moon, S. 30)(vgl. Moon, S. 30)

• sicher ist jedoch: Der suan pan ist Vorgänger des sicher ist jedoch: Der suan pan ist Vorgänger des japanischen soroban. japanischen soroban. Um 1850 büßte der suan pan in Japan die zweite Um 1850 büßte der suan pan in Japan die zweite obere Kugel ein; seit Ende des 2. Weltkrieges obere Kugel ein; seit Ende des 2. Weltkrieges (1945) auch die fünfte untere Kugel(1945) auch die fünfte untere Kugel→ → heutige Form des sorobanheutige Form des soroban


• 1945: Kiyoshi Matsuzaki (japanischer 1945: Kiyoshi Matsuzaki (japanischer Champion des Soroban) besiegte Champion des Soroban) besiegte Thomas Nathan Wood (bester Bediener Thomas Nathan Wood (bester Bediener elektr. Rechenmaschinen) mit 4:1elektr. Rechenmaschinen) mit 4:1

• auch heute gibt es noch Vereinigungen: auch heute gibt es noch Vereinigungen:

All-Japan Federation of Abacus All-Japan Federation of Abacus Operation, National Federation of Operation, National Federation of Abacus OperatorsAbacus Operators


• „„Wie sah denn dieser Wettkampf aus…???“Wie sah denn dieser Wettkampf aus…???“


• 13.2.1987: Studie in der Zeitschrift „Stars and 13.2.1987: Studie in der Zeitschrift „Stars and Stripes“ erscheint: japanische Grund- und Stripes“ erscheint: japanische Grund- und Hochschüler schneiden in der Mathematik Hochschüler schneiden in der Mathematik besser ab, als Gleichaltrige aus den USA.besser ab, als Gleichaltrige aus den USA.

• Richard Osners (Leiter der Schulen für Japan) Richard Osners (Leiter der Schulen für Japan) gewagt These: Grund ist der Umgang mit dem gewagt These: Grund ist der Umgang mit dem Abakus, der bereits in der Grundschule Abakus, der bereits in der Grundschule eingeführt wird. eingeführt wird. Frage nach der Korrelation:Frage nach der Korrelation:→ → bessere Mathefähigkeiten durch den bessere Mathefähigkeiten durch den Gebrauch eines Abakus ab dem Gebrauch eines Abakus ab dem Grundschulalter??????????????????Grundschulalter??????????????????

Allgemein Typen Geschichte Allgemein Typen Geschichte FunktionsweiseFunktionsweise Resümee Resümee

„„Ja,… wie funktioniert denn so ein Ja,… wie funktioniert denn so ein Abakus nun??“Abakus nun??“

(vgl. Bergmann, S. 59)(vgl. Bergmann, S. 59)


• System des Abakus stellt ein System des Abakus stellt ein Stellenwertsystem dar:Stellenwertsystem dar:

• berücksichtigt die Einteilung der berücksichtigt die Einteilung der römischen Zahlen in Fünferschritten (I, V, römischen Zahlen in Fünferschritten (I, V, X, L, C, D, M)X, L, C, D, M)

• römische Ziffernsystem stellt Kombination römische Ziffernsystem stellt Kombination aus Zweier- und Fünferpotenzen dar…:aus Zweier- und Fünferpotenzen dar…:


0 0

0 1

1 1

1 2

2 2

2 3

3 3

2 5 I (1)

2 5 V (5)

2 5 X (10)

2 5 L (50)

2 5 C (100)

2 5 D (500)

2 5 M (1000)


• => übersichtliche und => übersichtliche und verhältnismäßig einfache Darstellung verhältnismäßig einfache Darstellung der ganzen Zahlen auf dem Abakus der ganzen Zahlen auf dem Abakus

• Mischung aus Fünferschritten und Mischung aus Fünferschritten und Dopplung ist wohl auf die Anzahl der Dopplung ist wohl auf die Anzahl der Finger der Hand zurückzuführen Finger der Hand zurückzuführen


• Verbindung zwischen Verbindung zwischen Fünferschritten und Dopplung Fünferschritten und Dopplung ermöglicht praktisches Rechnen im ermöglicht praktisches Rechnen im Zehnerstellenwertsystem, d.h. …Zehnerstellenwertsystem, d.h. …


1.1.Einer:Einer: a.) 1…4 = I…IIIIa.) 1…4 = I…IIIIb.) 5 = Vb.) 5 = Vc.) 6...9 = VI...VIIIIc.) 6...9 = VI...VIIII

2.2.Zehner:Zehner: d.) 10…40 = X…XXXXd.) 10…40 = X…XXXXe.) 50 = Le.) 50 = Lf.) 60…90 = LX…LXXXXf.) 60…90 = LX…LXXXX

3. Hunderter:3. Hunderter: g.) 100…400 = C…CCCCg.) 100…400 = C…CCCCh.) 500 = Dh.) 500 = Di.) 600…900 = DC…i.) 600…900 = DC…

DCCCCDCCCC


„„Was heißt das jetzt nun für meinen Was heißt das jetzt nun für meinen Abakus…???“Abakus…???“

• Also: im oberen Teil der Tafel wird die Also: im oberen Teil der Tafel wird die „Dopplung“ der Werte (V, L, D usw.) „Dopplung“ der Werte (V, L, D usw.) dargestellt, im unteren Teil die Fünferteilungdargestellt, im unteren Teil die Fünferteilung=> Die Zahlen 1…9 können mit nur 5 Perlen, => Die Zahlen 1…9 können mit nur 5 Perlen, 1…99 mit 10, 1…999 mit 15 dargestellt 1…99 mit 10, 1…999 mit 15 dargestellt werdenwerden

• Vorteil: Übersichtlichkeit, da nie mehr als 4 Vorteil: Übersichtlichkeit, da nie mehr als 4 Perlen in einer Kolumne auftauchen Perlen in einer Kolumne auftauchen (menschliche Auge kann diese Anzahl ohne (menschliche Auge kann diese Anzahl ohne nachzählen erfassen)nachzählen erfassen)


1. Bild:1. Bild:Hier wird die ZahlHier wird die Zahl19721972dargestellt dargestellt (M DCCCC LXX II)(M DCCCC LXX II)

2. Bild:2. Bild:Hier wird die ZahlHier wird die Zahl40254025dargestelltdargestellt(MMMM XX V)(MMMM XX V)


„„Und wie rechne ich nun genau Und wie rechne ich nun genau damit…???“damit…???“

Um nun die vier Grundrechenarten + Um nun die vier Grundrechenarten + Radizieren am Abakus Radizieren am Abakus durchzuexerzieren, habe ich eine durchzuexerzieren, habe ich eine zweite Powerpoint-Präsi erstellt: zweite Powerpoint-Präsi erstellt: „Funktionsweise“„Funktionsweise“

Allgemein Typen Geschichte Funktionsweise Allgemein Typen Geschichte Funktionsweise ResümeeResümee

„„Was ist das Fazit…???“Was ist das Fazit…???“


• Rechnen besteht nicht so sehr aus Rechnen, Rechnen besteht nicht so sehr aus Rechnen, sondern aus Rückführen eines Problems in sondern aus Rückführen eines Problems in mehrere kleine und leichter lösbare mehrere kleine und leichter lösbare ProblemeProbleme

• Unabhängigkeit von elektronischer Energie, Unabhängigkeit von elektronischer Energie, Tinte oder frischem Papier Tinte oder frischem Papier

• günstige Herstellungskostengünstige Herstellungskosten• keine Berechnung höherer Funktionen keine Berechnung höherer Funktionen

(trigonometrische Funktionen, (trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, etc.)Exponentialfunktion, etc.)

• Abhängigkeit von einem festen ZahlensystemAbhängigkeit von einem festen Zahlensystem


„„durch seine Unkompliziertheit und durch seine Unkompliziertheit und Anspruchslosigkeit findet der Anspruchslosigkeit findet der

Abakus in der heutigen Abakus in der heutigen hochtechnisierten Welt seine hochtechnisierten Welt seine

Existenzberechtigung“Existenzberechtigung“

Allgemein Typen Geschichte Funktionsweise ResümeeAllgemein Typen Geschichte Funktionsweise Resümee

„„Wo kann ich mich noch mal schlau Wo kann ich mich noch mal schlau machen…???“machen…???“

LiteraturverzeichnisLiteraturverzeichnis

Bergmann, Werner: Innovationen im Quadrivium des 10. und 11. Bergmann, Werner: Innovationen im Quadrivium des 10. und 11. Jahrhunderts. In: Sudhoffs Archiv. Zeitschrift für Jahrhunderts. In: Sudhoffs Archiv. Zeitschrift für Wissenschaftsgeschichte – Stuttgart: Franz Steiner Verlag Wissenschaftsgeschichte – Stuttgart: Franz Steiner Verlag Wiesbaden GmbH, 1985Wiesbaden GmbH, 1985

Johann, Michael & Matros Norbert: Wechselspiele. Kreatives Johann, Michael & Matros Norbert: Wechselspiele. Kreatives Rechnen Rechnen am Schulabakus – Landau: Knecht, 2001am Schulabakus – Landau: Knecht, 2001

Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen – Frankfurt am Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen – Frankfurt am Main, New York: Campus Verlag, 1986Main, New York: Campus Verlag, 1986

Maxwell, R. Perceval: How to use the chinese Abacus - Kings Maxwell, R. Perceval: How to use the chinese Abacus - Kings Langley: Maxwell, 1979Langley: Maxwell, 1979

Moon, Perry: The Abacus. Ist history; ist design; ist possibilities in Moon, Perry: The Abacus. Ist history; ist design; ist possibilities in the the modern world – New York: Gordon and Breach, 1971modern world – New York: Gordon and Breach, 1971

Naumann, Friedrich: Vom Abakus zum Internet. Die Geschichte der Naumann, Friedrich: Vom Abakus zum Internet. Die Geschichte der Informatik – Darmstadt: Primus Verlag GmbH, 2001Informatik – Darmstadt: Primus Verlag GmbH, 2001

Internet:Internet: http://www.joernluetjens.de/sammlungen/abakus/abakus.htm http://www.joernluetjens.de/sammlungen/abakus/abakus.htm

[8.06.06, 14:16 Uhr][8.06.06, 14:16 Uhr]

VIELEN DANK FÜR EURE VIELEN DANK FÜR EURE AUFMERKSAMKEIT AUFMERKSAMKEIT

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VIEL SPAß BEIM AUSPROBIEREN…VIEL SPAß BEIM AUSPROBIEREN…

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