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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones

Esta propuesta es sufragada con fondos federales Tıtulo II-B,“Mathematics and Science Partnerships” del Departamento

de Educacion de Puerto Rico.

Demostraciones de Teoremas deTriangulos - Primera Parte

Prof. Carlos A. Rivera-Morales

Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales

Contenido


Tabla de Contenido



Contenido


Objetivos:

Discutiremos:

Algunos conceptos basicos

postulado; axiomademostracion matematicateorema

algunos metodos de demostraciones matematicas

directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo


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Objetivos:

Discutiremos:






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Objetivos:

Discutiremos:


postulado; axioma

demostracion matematicateorema




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Objetivos:

Discutiremos:


postulado; axiomademostracion matematica

teorema




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Objetivos:

Discutiremos:






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Objetivos:

Discutiremos:






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Objetivos:

Discutiremos:




directo

por contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo


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Objetivos:

Discutiremos:




directopor contraposicion

por reduccion al absurdocontraejemplo


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Objetivos:

Discutiremos:




directopor contraposicionpor reduccion al absurdo

contraejemplo


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Objetivos:

Discutiremos:






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Objetivos:

Discutiremos:






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Demostraciones de Teoremas de Triangulos

Postulado:

Definicion: En matematicas, un postulado es una afirmacion(enunciado o proposicion) que se acepta como verdadera y quesirve como base para construir matematica.

Notas:

1 Como un postulado se considera verdadero, no se tiene quedemostrar que lo es.

2 Los postulados son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.


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Postulado:


Notas:




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Postulado:


Notas:




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Postulado:


Notas:




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Postulado:


Notas:




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Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides,

que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.

1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.

2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.

3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.

4 Todos los angulos rectos son congruentes.

5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)


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Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.







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Axioma:

Definicion: Un axioma es una afirmacion (enunciado oproposicion) que se considera evidente y, por lo tanto, se aceptasin requerir demostracion previa.

Nota:

Los axiomas tambien son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.


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Axioma:


Nota:



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Axioma:


Nota:



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Axioma:


Nota:



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Ejemplos de Axiomas:

1 El todo es mayor que sus partes.

2 Si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces soniguales entre sı.

3 En el plano euclidiano, la distancia mas corta entre dospuntos es el segmento de lınea que los une.


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Demostraciones Matematicas:

Definicion: Una demostracion matematica o prueba esun argumento deductivo valido para una afirmacion partiendode definiciones, hipotesis y propiedades conocidas hasta llegar ala conclusion.


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Definicion: Una demostracion matematica o prueba esun argumento deductivo valido para una afirmacion

partiendode definiciones, hipotesis y propiedades conocidas hasta llegar ala conclusion.


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Definicion: Una demostracion matematica o prueba esun argumento deductivo valido para una afirmacion partiendode definiciones, hipotesis y propiedades conocidas hasta llegar ala conclusion.


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Notas:

1 Un argumento deductivo valido es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).

2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas; ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.


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Notas:

1 Un argumento deductivo valido

es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).



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Notas:




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Notas:


2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas;

ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.


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Notas:




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Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:

Hipotesis:

1 Todo hombre es mortal.

2 Socrates es hombre.

Conclusion:

Socrates es mortal.


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Hipotesis:



Conclusion:

Socrates es mortal.


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Hipotesis:



Conclusion:

Socrates es mortal.


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Hipotesis:



Conclusion:

Socrates es mortal.


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Hipotesis:



Conclusion:

Socrates es mortal.


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Hipotesis:



Conclusion:

Socrates es mortal.


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Demostracion Directa:

Definicion: La demostracion directa consiste en demostrarque A⇒ B (A implica B) partiendo de A y deduciendoproposiciones hasta llegar a B.


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Definicion: La demostracion directa consiste en demostrarque A⇒ B (A implica B)

partiendo de A y deduciendoproposiciones hasta llegar a B.


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Definicion: La demostracion directa consiste en demostrarque A⇒ B (A implica B) partiendo de A y deduciendoproposiciones hasta llegar a B.


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Ejercicio 1: Demostrar que el cuadrado de un numero enteropar, tambien es un numero par.

Nota: Si probamos con el 2, con el 4 o con el 6, vemos que suscuadrados respectivos, 4, 16 y 36 son pares. Pero esto noconstituye una demostracion porque tenemos que demostrarlopara todos los numeros pares.

Ejercicio 2: En el conjunto de los numeros enteros, demostrarque si m y n son multiplos de p, entonces m+n y m-n tambienson multiplos de p.


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Demostracion por Contraposicion:

Definicion: La demostracion por contraposicion consiste endemostrar que (no B) ⇒ (no A), que es el enunciadocontrapositivo o contrarecıproco del enunciado A⇒ B.


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Definicion: La demostracion por contraposicion consiste endemostrar que (no B) ⇒ (no A),

que es el enunciadocontrapositivo o contrarecıproco del enunciado A⇒ B.


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Ejercicio: Construya el contrapositivo o contrarecıproco de lossiguientes enunciados:

1 Si un animal es gato, entoces es felino.

2 Si un numero entero es impar, entonces no es divisible pordos.

3 Si un triangulo es equilatero, entoces es isosceles.


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Notas:

1 Un enunciado y su contrapositivo tienen la propiedad deser equivalentes, es decir, si uno es verdadero, tambien lo esel otro y si el primero es falso tambien es falso el segundo.

2 Este mecanismo es aconsejable cuando no sabemos comotrabajar a partir de la hipotesis A y, en cambio, la negacionde B proporciona un buen punto de partida.


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Notas:




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Ejercicio 1: Demostrar que si n2 es un numero natural par,entonces n es par.


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Ejercicio 1: Demostrar que si n2 es un numero natural par,entonces n es par.


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Demostracion por Reduccion al Absurdo:

Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente: se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion. Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.


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Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente:

se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion. Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.


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Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente: se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion.

Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.

Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito.

Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.

Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1.

Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo.

Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas.

Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion.

Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.


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Demostracion por Contraejemplo:

Definicion: Una demostracion por contraejemplo es unadonde la validez de una propiedad se refuta dando un ejemploen el que no se cumple dicha propiedad. De esa manera sedemuestra que la propiedad en cuestion, en general, es falsa.


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Definicion: Una demostracion por contraejemplo es unadonde la validez de una propiedad se refuta dando un ejemploen el que no se cumple dicha propiedad.

De esa manera sedemuestra que la propiedad en cuestion, en general, es falsa.


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Ejemplo 1: ¿Es cierto que para cada entero positivo n secumple que n2 − n + 17 es un numero primo?


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