Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones.A. Probaremos la parte a)Seacualquier nmero en.Comoyson continuas entonces se tiene quey.De los teoremas sobre lmites se sabe que:

Luego

por lo que se cumple lo establecido en la definicin de continuidad yes continua en. El resto de los apartados se demuestran similarmente.

B.Sea,,,,.Aplicando los diferentes teoremas sobre lmites se tiene que:

Al cumplirse lo establecido en la definicin de continuidad, se ha demostrado que la funcines continua para toda.

C.Seauna funcin definida pordondeyson funciones polinomiales.El dominio dees decir,.Aplicando el teorema para el lmite de un cociente se tiene que:

Comoyson funciones polinomiales, por el teorema B se tiene que son funciones continuas y por tanto

y.Luego

y concluimos quees continua en todo nmero de su dominio.

D.SeaComoes continua en d, entonces lmpor lo que existe unatal quecuando.Comoentonces dada dicha, existe unatal quesiempre que.Luego para estase tiene que cuandoentonces, con lo que queda demostrado el teorema.

E. Debemos probar que:, o sea que, dada unadebe existir algn nmerotal que sientonces.Comoes continua enentonces lm.Tomandocomoes continua enentonces, por lo que existe un nmerotal que sientonces.Luego, sientoncesy, que era lo que se quera demostrar.As los nmeros que estn a una distancia menor quede, por medio de la funcin, son llevados una distancia menor quede, y a continuacin son transportados poruna distancia menor quede.

F. Debemos probar que, o equivalentemente que:lmComo, entonces se tiene quelmlm=lmlm==Con lo que queda demostrado el teorema.

G. Demostracin del teorema de lmite de un cociente cuyo enunciado es el siguiente:"Siyconentonces."Sea h la funcin definida por. Para una funcin dada, la funcin continua para todo nmero realtal que, entonces:

Luego aplicando el teorema sobre el lmite de un producto se tiene que:

y el teorema queda demostrado.

H.Supongamos que. Comoes continua enentonces, por lo que para cada, existe untal que:siempre que, es decir:

siempre que.Tomando elcorrespondiente aque es positiva pues, entonces se tiene quesiempre que, o seacuando.Luego concluimos queen este intervalo y por tantoyposeen el mismo signo.Sientonces se tomocorrespondiente ay se llega a la misma conclusin

I.Teorema de BolzanoSupongamos quey. De hecho , pueden existir muchos valores de x entreytales que. Vamos a encontrar uno determinado el mayorpara el cual.Seael conjunto de todos los puntos del intervalopara los que. Note que hay por lo menos un punto en, ya que.Luego,es un conjunto n vaco.est acotado superiormente pues todos los puntos deestn en.Como todo conjunto no vaco de nmeros reales que est acotado superiormente tiene un extremo superior, designemos a ste con. Se debe probar entonces que.Existen solo tres posibilidades:,y. Sientonces hay un intervaloosi, tal quees positivo siest en este intervalo.Por tanto, ningn punto depuede estar a la derecha de, por lo quees una cota superior del conjunto. Peroyes el extremo superior de. Luego la desigualdades imposible.Si, entonces hay un intervaloosi, en el quees negativa, por lo quepara algn, lo que contradice el hecho quees una cota superior de.Luegotambin es imposible, quedando nicamente la posibilidad de.Adems,puesto quey.Queda demostrado el teorema.

J.Teorema del valor intermediopara funciones continuas.Supongamos, y seaun valor cualquiera que se encuentra entrey. Seauna funcin definida en el intervalode la siguiente manera:.Se tiene quees continua en cada punto de, pues es la diferencia de dos funciones continuas, y adems:

,

pues.Aplicando el teorema de Bolzano a la funcinse tiene quepara algnentrey, lo que significa, quedando demostrado el teorema.

K. 1. Comoes continua enentonces sies un nmero entrey, es decir, segn el teorema del valor medio, existe un nmerotal queLuego, si, existe al menos un nmerotal que. Se quiere demostrar que a cada nmerole corresponde unniconmero.Supongamostal queyconyen,. As.(*)Al suponerpuede suceder quesea menor queo quesea menor que.Si, comoes creciente enentonces, lo que contradice lo sealado en (*).Sientoncesy tambin contradice (*).Luego es falso suponer que, y por tanto a cada valor deenle correspondeexactamente un nmero xental que.Luegoposee una funcin inversa denotadaque est definida para todos los nmeros en

2. Para probar quees creciente en, hay que demostrar que siyson dos nmeros entales queentonces.Comoest definida enentonces existen nmerosyentales quey.Luego

y

. (**)Comoes decreciente en, sientonceso sea.Peroy por tantono puede ser menor.Si, por ser una funcin entonces, o sea que, lo que tambin contradice quesea menor que.Luego. Sino es menor que, yentonces necesariamente, de donde(ver (**)).Luegoes creciente en.

3. Para demostrar quees continua en el intervalo, se debe probar que si, entonces, es continua en,es continua por la derecha enyes continua por la izquierda en.Para probar que lm, o sea, parasuficientemente pequeo para queyestn ambos en, existetal quesiempre que.Sea, luego.Comoes estrictamente creciente enentoncespor lo que.Comoes estrictamente creciente enentonces:

Seael ms pequeo de los dos nmeros:y; asyes decir:y.Siempre quese cumple queo sea.Luego, siempre quese cumple que.Comoes creciente ense deduce de lo anterior que:

cuandoo sea, siempre que, de dondesi, es decir

cuando.Se ha probado as quees continua en.Se deja como ejercicio la prueba de quees continua por la derecha eny por la izquierda en.

Teorema del Mximo(mnimo) para funciones continuas

Vamos a probar quealcanza su extremo superior en. Para el extremo inferior es suficiente tener en cuenta que el extremo inferior dees el extremo superior de.Sea. Supongamos que no existe unpara el que.Sea. Para todose tiene quecon lo que la funcin recprocaes continua en. Escribamospara todo, siendo.Lo anterior implica quecon lo que, para todo, pero esto est en contradiccin con el hecho quees la menor de las cotas superiores deen.Luegopara unpor lo menos en