of 28/28
ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1 : (3đ) a) Phân tích đa thức x 3 5x 2 + 8x 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết A = 10x 2 7x 5 và B = 2x 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x y x y y x xy Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12 b) 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 x x x x x x Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4 : (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 … · ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a)

  • View
    273

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 … · ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH...

  • 1

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    Bi 1: (3) a) Phn tch a thc x3 5x

    2 + 8x 4 thnh nhn t

    b) Tm gi tr nguyn ca x A M B bit

    A = 10x2 7x 5 v B = 2x 3 .

    c) Cho x + y = 1 v x y 0 . Chng minh rng

    3 3 2 2

    20

    1 1 3

    x yx y

    y x x y

    Bi 2: (3) Gii cc phng trnh sau:

    a) (x2 + x)

    2 + 4(x

    2 + x) = 12

    b) 2003

    6

    2004

    5

    2005

    4

    2006

    3

    2007

    2

    2008

    1

    xxxxxx

    Bi 3: (2) Cho hnh vung ABCD; Trn tia i tia BA ly E, trn tia i tia CB ly F

    sao cho AE = CF

    a) Chng minhEDF vung cn b) Gi O l giao im ca 2 ng cho AC v BD. Gi I l trung im EF. Chng

    minh O, C, I thng hng.

    Bi 4: (2)Cho tam gic ABC vung cn ti A. Cc im D, E theo th t di chuyn trn

    AB, AC sao cho BD = AE. Xc nhv tr im D, E sao cho:

    a/ DE c di nh nht

    b/ T gic BDEC c din tch nh nht.

  • HD CHM

    Bi 1: (3 im)

    a) ( 0,75) x3 - 5x

    2 + 8x - 4 = x

    3 - 4x

    2 + 4x x

    2 + 4x 4

    (0,25)

    = x( x2 4x + 4) ( x

    2 4x + 4) (0,25)

    = ( x 1 ) ( x 2 ) 2 (0,25)

    b) (0,75) Xt 2A 10x 7x 5 75x 4B 2x 3 2x 3

    (0,25)

    Vi x Z th A M B khi 7

    2 3x Z 7 M ( 2x 3) (0,25)

    M (7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 th A M B (0,25)

    c) (1,5) Bin i 3 3

    x y

    y 1 x 1

    =

    4 4

    3 3

    x x y y

    (y 1)(x 1)

    = 4 4

    2 2

    x y (x y)

    xy(y y 1)(x x 1)

    ( do x + y = 1 y - 1= -x v x - 1= - y) (0,25)

    = 2 2

    2 2 2 2 2 2

    x y x y x y (x y)

    xy(x y y x y yx xy y x x 1)

    (0,25)

    = 2 2

    2 2 2 2

    x y (x y 1)

    xy x y xy(x y) x y xy 2

    (0,25)

    = 2 2

    2 2 2

    x y (x x y y)

    xy x y (x y) 2

    = 2 2

    x y x(x 1) y(y 1)

    xy(x y 3)

    (0,25)

    = 2 2

    x y x( y) y( x)

    xy(x y 3)

    =

    2 2

    x y ( 2xy)

    xy(x y 3)

    (0,25)

    = 2 2

    2(x y)

    x y 3

    Suy ra iu cn chng minh (0,25)

    Bi 2: (3 )a) (1,25)

    (x2 + x )

    2 + 4(x

    2 + x) = 12 t y = x

    2 + x

    y2 + 4y - 12 = 0 y

    2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25)

    (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25)

    * x2 + x = - 6 v nghim v x

    2 + x + 6 > 0 vi mi x (0,25)

    * x2 + x = 2 x

    2 + x - 2 = 0 x

    2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25)

    x(x + 2) (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25)

    Vy nghim ca phng trnh x = - 2 ; x =1

    b) (1,75) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 62008 2007 2006 2005 2004 2003

    x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

    2008 2007 2006 2005 2004 2003

    2003

    2009

    2004

    2009

    2005

    2009

    2006

    2009

    2007

    2009

    2008

    2009

    xxxxxx x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 02008 2007 2006 2005 2004 2003

    (0,25)

  • 0)2003

    1

    2004

    1

    2005

    1

    2006

    1

    2007

    1

    2008

    1)(2009( x (0,5) V

    1 1

    2008 2005 ;

    1 1

    2007 2004 ;

    1 1

    2006 2003

    Do : 02003

    1

    2004

    1

    2005

    1

    2006

    1

    2007

    1

    2008

    1 (0,25) Vy x + 2009 = 0 x = -2009

    Bi 3: (2 im) a) (1)

    Chng minh EDF vung cn

    Ta c ADE =CDF (c.g.c) EDF cn ti D

    Mt khc: ADE =CDF (c.g.c) 1 2

    E F

    M 1 2 1

    E E F = 900

    2 2 1 F E F = 90

    0

    EDF= 900. VyEDF vung cn

    b) (1) Chng minh O, C, I thng

    Theo tnh cht ng cho hnh vung CO l trung trc BD

    MEDF vung cn DI =1

    2EF

    Tng t BI =1

    2EF DI = BI

    I thuc dng trung trc ca DB I thuc ng thng CO

    Hay O, C, I thng hng

    Bi 4: (2 im)

    a) (1)

    DE c di nh nht

    t AB = AC = a khng i; AE = BD = x (0 < x < a)

    p dng nh l Pitago vi ADE vung ti A c: DE

    2 = AD

    2 + AE

    2 = (a x)

    2 + x

    2 = 2x

    2 2ax + a

    2 = 2(x

    2 ax) a

    2 (0,25)

    = 2(x 2a

    4)

    2 +

    2a

    2

    2a

    2 (0,25)

    Ta c DE nh nht DE2 nh nht x =

    a

    2 (0,25)

    BD = AE =a

    2 D, E l trung im AB, AC (0,25)

    b) (1)

    T gic BDEC c din tch nh nht.

    Ta c: SADE =1

    2AD.AE =

    1

    2AD.BD =

    1

    2AD(AB AD)=

    1

    2(AD

    2 AB.AD) (0,25)

    A

    B

    E I

    D

    C

    O

    F

    2 1

    1 2

    A

    D

    B

    C

    E

  • = 1

    2(AD

    2 2

    AB

    2.AD +

    2AB

    4) +

    2AB

    8 =

    1

    2(AD

    AB

    4)

    2 +

    2AB

    2

    2AB

    8 (0,25)

    Vy SBDEC = SABC SADE 2AB

    2

    2AB

    8 =

    3

    8AB

    2 khng i (0,25)

    Do min SBDEC =3

    8AB

    2 khi D, E ln lt l trung im AB, AC (0,25)

    2

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    Bi 1: Phn tch a thc thnh nhn t:

    a) x2 y2 5x + 5y

    b) 2x2 5x 7

    Bi 2: Tm a thc A, bit rng:

    x

    A

    x

    x

    2

    1642

    2

    Bi 3: Cho phn thc: xx

    x

    22

    552

    a) Tm iu kin ca x gi tr ca phn thc c xc nh.

    b) Tm gi tr ca x gi tr ca phn thc bng 1.

    Bi 4: a) Gii phng trnh : )2(

    21

    2

    2

    xxxx

    x

    b) Gii bt phng trnh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

    Bi 5: Gii bi ton sau bng cch lp phng trnh:

    Mt t sn xut lp k hoch sn xut, mi ngy sn xut c 50 sn

    phm. Khi thc hin, mi ngy t sn xut c 57 sn phm. Do hon

    thnh trc k hoch mt ngy v cn vt mc 13 sn phm. Hi theo k hoch t

    phi sn xut bao nhiu sn phm v thc hin trong bao nhiu ngy.

  • Bi 6: Cho ABC vung ti A, c AB = 15 cm, AC = 20 cm. K ng cao AH v

    trung tuyn AM.

    a) Chng minh ABC ~ HBA

    b) Tnh : BC; AH; BH; CH ?

    c) Tnh din tch AHM ?

  • BIU IM - P N

    p n Biu

    im

    Bi 1: Phn tch a thc thnh nhn t:

    a) x2 y

    2 5x + 5y = (x

    2 y

    2) (5x 5y) = (x + y) (x y) 5(x y)

    = (x - y) (x + y 5) (1 im)

    b) 2x2 5x 7 = 2x

    2 + 2x 7x 7 = (2x

    2 + 2x) (7x + 7) = 2x(x +1)

    7(x + 1)

    = (x + 1)(2x 7). (1 im)

    Bi 2: Tm A (1 im)

    A =

    84)2(4)2(

    )2(2).2(2.

    )2(

    )42)(42(

    2

    4)2[(

    2

    164(2

    22

    2

    2

    xx

    xx

    xxx

    xx

    xxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    Bi 3: (2 im)

    a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0

    2x 0 v x + 1 0

    x 0 v x -1 (1 im)

    b) Rt gn:

    xxx

    x

    xx

    x

    2

    5

    )1(2

    )1(5

    22

    552

    (0,5 im)

    2

    5251

    2

    5 xx

    x (0,25 im)

    V 2

    5 tho mn iu kin ca hai tam gic nn

    2

    5x (0,25 im)

    Bi 4: a) iu kin xc nh: x 0; x 2

    - Gii: )2(

    2

    )2(

    2) -(x -2)x(x

    xxxxx

    2 + 2x x +2 = 2;

    x= 0 (loi) hoc x = - 1. Vy S = 1

    b) x2 9 < x

    2 + 4x + 7

    x2 x

    2 4x < 7 + 9 - 4x < 16 x> - 4

    Vy nghim ca phng trnh l x > - 4

    1

    1

    Bi 5: Gi s ngy t d nh sn xut l : x ngy

    iu kin: x nguyn dng v x > 1

    Vy s ngy t thc hin l: x- 1 (ngy)

    - S sn phm lm theo k hoch l: 50x (sn phm)

    - S sn phm thc hin l: 57 (x-1) (sn phm)

    0,5

    0,5

  • Theo bi ta c phng trnh: 57 (x-1) - 50x = 13

    57x 57 50x = 13

    7x = 70

    x = 10 (tho mn iu kin)

    Vy: s ngy d nh sn xut l 10 ngy.

    S sn phm phi sn xut theo k hoch l: 50 . 10 = 500 (sn phm)

    0,5

    0,5

    1

    Bi 6: a) Xt ABC v HBA, c:

    Gc A = gc H = 900; c gc B chung

    ABC ~ HBA ( gc. gc)

    b) p dng pitago trong vung ABC

    ta c : BC = 22 ACAB = 22 2015 = 625= 25 (cm)

    v ABC ~ HBA nn 15

    252015

    HAHBhay

    BA

    BC

    HA

    AC

    HB

    AB

    AH = 1225

    05.20 (cm)

    BH = 925

    15.15 (cm)

    HC = BC BH = 25 9 = 16 (cm)

    c) HM = BM BH = )(5,392

    25

    2cmBH

    BC

    SAHM = 2

    1AH . HM =

    2

    1. 12. 3,5 = 21 (cm

    2)

    - V ng hnh: A

    B H M C

    1

    1

    1

    1

    1

    1

  • 3

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    Bi 1(3 im): Tm x bit:

    a) x2 4x + 4 = 25

    b) 41004

    1x

    1986

    21x

    1990

    17x

    c) 4x 12.2

    x + 32 = 0

    Bi 2 (1,5 im): Cho x, y, z i mt khc nhau v 0z

    1

    y

    1

    x

    1 .

    Tnh gi tr ca biu thc: xy2z

    xy

    xz2y

    xz

    yz2x

    yzA

    222

    Bi 3 (1,5 im): Tm tt c cc s chnh phng gm 4 ch s bit rng khi ta thm 1

    n v vo ch s hng nghn , thm 3 n v vo ch s hng trm, thm 5 n v vo

    ch s hng chc, thm 3 n v vo ch s hng n v , ta vn c mt s chnh

    phng.

    Bi 4 (4 im): Cho tam gic ABC nhn, cc ng cao AA, BB, CC, H l trc tm.

    a) Tnh tng 'CC

    'HC

    'BB

    'HB

    'AA

    'HA

    b) Gi AI l phn gic ca tam gic ABC; IM, IN th t l phn gic ca gc AIC v gc

    AIB. Chng minh rng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

    c) Chng minh rng: 4'CC'BB'AA

    )CABCAB(222

    2

    .

  • P N

    Bi 1(3 im): a) Tnh ng x = 7; x = -3 ( 1 im )

    b) Tnh ng x = 2007 ( 1 im )

    c) 4x 12.2

    x +32 = 0 2

    x.2

    x 4.2

    x 8.2

    x + 4.8 = 0 ( 0,25im )

    2x(2

    x 4) 8(2

    x 4) = 0 (2

    x 8)(2

    x 4) = 0 ( 0,25im )

    (2x 2

    3)(2

    x 2

    2) = 0 2

    x 2

    3 = 0 hoc 2

    x 2

    2 = 0 ( 0,25im )

    2x = 2

    3 hoc 2

    x = 2

    2 x = 3; x = 2 ( 0,25im )

    Bi 2(1,5 im):

    0z

    1

    y

    1

    x

    1 0xzyzxy0

    xyz

    xzyzxy

    yz = xyxz ( 0,25im )

    x2+2yz = x

    2+yzxyxz = x(xy)z(xy) = (xy)(xz) ( 0,25im )

    Tng t: y2+2xz = (yx)(yz) ; z

    2+2xy = (zx)(zy) ( 0,25im )

    Do :)yz)(xz(

    xy

    )zy)(xy(

    xz

    )zx)(yx(

    yzA

    ( 0,25im )

    Tnh ng A = 1 ( 0,5 im )

    Bi 3(1,5 im):

    Gi abcd l s phi tm a, b, c, d N, 090 a,d,c,b,a (0,25im)

    Ta c: 2kabcd

    2m)3d)(5c)(3b)(1a(

    2kabcd

    2m1353abcd (0,25im)

    Do : m2k

    2 = 1353

    (m+k)(mk) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25im)

    m+k = 123 m+k = 41

    mk = 11 mk = 33

    m = 67 m = 37

    k = 56 k = 4 (0,25im)

    Kt lun ng abcd = 3136 (0,25im)

    vi k, mN, 100mk31 (0,25im)

    hoc

    hoc

  • Bi 4 (4 im):

    V hnh ng (0,25im)

    a) 'AA

    'HA

    BC'.AA.2

    1

    BC'.HA.2

    1

    S

    S

    ABC

    HBC ; (0,25im)

    Tng t: 'CC

    'HC

    S

    S

    ABC

    HAB ; 'BB

    'HB

    S

    S

    ABC

    HAC (0,25im)

    1S

    S

    S

    S

    S

    S

    'CC

    'HC

    'BB

    'HB

    'AA

    'HA

    ABC

    HAC

    ABC

    HAB

    ABC

    HBC (0,25im)

    b) p dng tnh cht phn gic vo cc tam gic ABC, ABI, AIC:

    AI

    IC

    MA

    CM;

    BI

    AI

    NB

    AN;

    AC

    AB

    IC

    BI (0,5im )

    AM.IC.BNCM.AN.BI

    1BI

    IC.

    AC

    AB

    AI

    IC.

    BI

    AI.

    AC

    AB

    MA

    CM.

    NB

    AN.

    IC

    BI

    c)V Cx CC. Gi D l im i xng ca A qua Cx (0,25im)

    -Chng minh c gc BAD vung, CD = AC, AD = 2CC (0,25im)

    - Xt 3 im B, C, D ta c: BD BC + CD (0,25im)

    -BAD vung ti A nn: AB2+AD

    2 = BD

    2

    AB2 + AD

    2 (BC+CD)

    2 (0,25im)

    AB2 + 4CC

    2 (BC+AC)

    2

    4CC2 (BC+AC)

    2 AB

    2

    Tng t: 4AA2 (AB+AC)

    2 BC

    2

    4BB2 (AB+BC)

    2 AC

    2 (0,25im)

    -Chng minh c : 4(AA2 + BB

    2 + CC

    2) (AB+BC+AC)

    2

    4'CC'BB'AA

    )CABCAB(222

    2

    (0,25im)

    (ng thc xy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC

    ABC u)

    (0,5im )

    (0,5im )

    B

    A

    CI

    BH

    N

    x

    A

    C

    M

    D

    B

    A

    CI

    BH

    N

    x

    A

    C

    M

    D

  • 4

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    Cu 1: (4,0 im)

    Phn tch cc a thc sau thnh nhn t :

    a) 3x2 7x + 2; b) a(x

    2 + 1) x(a

    2 + 1).

    Cu 2: (5,0 im)

    Cho biu thc :

    2 2

    2 2 3

    2 4 2 3( ) : ( )2 4 2 2

    x x x x xA

    x x x x x

    a) Tm KX ri rt gn biu thc A ?

    b) Tm gi tr ca x A > 0?

    c) Tnh gi tr ca A trong trng hp : |x - 7| = 4.

    Cu 3: (5,0 im)

    a) Tm x,y,z tha mn phng trnh sau :

    9x2 + y

    2 + 2z

    2 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

    b) Cho 1x y z

    a b c v 0

    a b c

    x y z . Chng minh rng :

    2 2 2

    2 2 21

    x y z

    a b c .

    Cu 4: (6,0 im)

    Cho hnh bnh hnh ABCD c ng cho AC ln hn ng cho BD. Gi E, F ln

    lt l hnh chiu ca B v D xung ng thng AC. Gi H v K ln lt l hnh chiu

    ca C xung ng thng AB v AD.

    a) T gic BEDF l hnh g ? Hy chng minh iu ?

    b) Chng minh rng : CH.CD = CB.CK

    c) Chng minh rng : AB.AH + AD.AK = AC2.

  • HNG DN CHM THI

    Ni dung p n im

    Bi 1

    a 2,0

    3x2 7x + 2 = 3x

    2 6x x + 2 = 1,0

    = 3x(x -2) (x - 2) 0,5

    = (x - 2)(3x - 1). 0,5

    b 2,0

    a(x2 + 1) x(a

    2 + 1) = ax

    2 + a a

    2x x = 1,0

    = ax(x - a) (x - a) = 0,5

    = (x - a)(ax - 1). 0,5

    Bi 2: 5,0

    a 3,0

    KX :

    2

    2

    2 3

    2 0

    4 0 0

    2 0 2

    33 0

    2 0

    x

    x x

    x x

    xx x

    x x

    1,0

    2 2 2 2 2 2

    2 2 3

    2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )( ) : ( ) .2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)

    x x x x x x x x x xA

    x x x x x x x x x

    1,0

    24 8 (2 ).

    (2 )(2 ) 3

    x x x x

    x x x

    0,5

    24 ( 2) (2 ) 4

    (2 )(2 )( 3) 3

    x x x x x

    x x x x

    0,25

    Vy vi 0, 2, 3x x x th 24x

    3A

    x

    . 0,25

    b 1,0

    Vi 24

    0, 3, 2 : 0 03

    xx x x A

    x

    0,25

    3 0x 0,25 3( )x TMDKXD 0,25

    Vy vi x > 3 th A > 0. 0,25

    c 1,0

    7 4

    7 47 4

    xx

    x

    0,5

  • 11( )

    3( )

    x TMDKXD

    x KTMDKXD

    0,25

    Vi x = 11 th A = 121

    2 0,25

    Bi 3 5,0

    a 2,5

    9x2 + y

    2 + 2z

    2 18x + 4z - 6y + 20 = 0

    (9x2 18x + 9) + (y

    2 6y + 9) + 2(z

    2 + 2z + 1) = 0 1,0

    9(x - 1)2 + (y - 3)

    2 + 2 (z + 1)

    2 = 0 (*) 0,5

    Do : 2 2 2( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z 0,5

    Nn : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25

    Vy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25

    b 2,5

    T : ayz+bxz+cxy

    0 0a b c

    x y z xyz 0,5

    ayz + bxz + cxy = 0 0,25

    Ta c : 21 ( ) 1x y z x y z

    a b c a b c 0,5

    2 2 2

    2 2 22( ) 1

    x y z xy xz yz

    a b c ab ac bc 0,5

    2 2 2

    2 2 22 1

    x y z cxy bxz ayz

    a b c abc

    0,5

    2 2 2

    2 2 21( )

    x y zdfcm

    a b c 0,25

    Bi 4 6,0

    OF

    E

    K

    H

    C

    A

    D

    B

    0,25

    a 2,0

  • Ta c : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5

    Chng minh : ( )BEO DFO g c g 0,5

    => BE = DF 0,25

    Suy ra : T gic : BEDF l hnh bnh hnh. 0,25

    b 2,0

    Ta c: ABC ADC HBC KDC 0,5

    Chng minh : ( )CBH CDK g g : 1,0

    . .CH CK

    CH CD CK CBCB CD

    0,5

    b, 1,75

    Chng minh : AF ( )D AKC g g : 0,25

    AF

    . A .AK

    AD AK F ACAD AC

    0,25

    Chng minh : ( )CFD AHC g g : 0,25

    CF AH

    CD AC 0,25

    M : CD = AB . .CF AH

    AB AH CF ACAB AC

    0,5

    Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC

    2

    (fcm). 0,25

    5

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    Bi 1: (4 im)

    Phn tch cc a thc sau thnh nhn t:

    a) (x + y + z) 3 x3 y3 z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

    Bi 2: (2 im)

    Gii phng trnh:

  • x 241 x 220 x 195 x 166

    1017 19 21 23

    .

    Bi 3: (3 im)

    Tm x bit:

    2 2

    2 2

    2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

    492009 x 2009 x x 2010 x 2010

    .

    Bi 4: (3 im)

    Tm gi tr nh nht ca biu thc 2

    2010x 2680A

    x 1

    .

    Bi 5: (4 im)

    Cho tam gic ABC vung ti A, D l im di ng trn cnh BC. Gi E, F ln lt l

    hnh chiu vung gc ca im D ln AB, AC.

    a) Xc nh v tr ca im D t gic AEDF l hnh vung. b) Xc nh v tr ca im D sao cho 3AD + 4EF t gi tr nh nht.

    Bi 6: (4 im)

    Trong tam gic ABC, cc im A, E, F tng ng nm trn cc cnh BC, CA, AB

    sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF .

    a) Chng minh rng: BDF BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tnh di on BD.

    P N

    Bi 1:

    a) (x + y + z) 3 x

    3 y

    3 z

    3 =

    3 3 3 3x y z x y z

    = 2 2 2 2y z x y z x y z x x y z y yz z

    = 2y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y

    = 3 x y y z z x .

    b) x4 + 2010x

    2 + 2009x + 2010 = 4 2x x 2010x 2010x 2010

  • = 2 2x x 1 x x 1 2010 x x 1 = 2 2x x 1 x x 2010 . Bi 2:

    x 241 x 220 x 195 x 166

    1017 19 21 23

    x 241 x 220 x 195 x 166

    1 2 3 4 017 19 21 23

    x 258 x 258 x 258 x 258

    017 19 21 23

    1 1 1 1

    x 258 017 19 21 23

    x 258 Bi 3:

    2 2

    2 2

    2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

    492009 x 2009 x x 2010 x 2010

    .

    KX: x 2009; x 2010 .

    t a = x 2010 (a 0), ta c h thc:

    2 2

    2 2

    a 1 a 1 a a 19

    49a 1 a 1 a a

    2

    2

    a a 1 19

    3a 3a 1 49

    2 249a 49a 49 57a 57a 19 28a 8a 30 0

    2 22a 1 4 0 2a 3 2a 5 0

    3a

    2

    5a

    2

    (tho K)

    Suy ra x =4023

    2 hoc x =

    4015

    2 (tho K)

    Vy x =4023

    2 v x =

    4015

    2 l gi tr cn tm.

    Bi 4:

    2

    2010x 2680A

    x 1

    = 2 2 2

    2 2

    335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)335 335

    x 1 x 1

    Vy gi tr nh nht ca A l 335 khi x = 3.

  • Bi 5:

    a) T gic AEDF l hnh ch nht (v $ oE A F 90 )

    t gic AEDF l hnh vung th AD l tia phn

    gic ca BAC .

    b) Do t gic AEDF l hnh ch nht nn AD = EF

    Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

    3AD + 4EF nh nht AD nh nht

    D l hnh chiu vung gc ca A ln BC.

    Bi 6:

    a) t AFE BFD , BDF CDE , CED AEF .

    Ta c 0BAC 180 (*)

    Qua D, E, F ln lt k cc ng thng vung gc vi BC, AC, AB ct nhau ti O.

    Suy ra O l giao im ba ng phn gic ca tam gic DEF.

    oOFD OED ODF 90 (1)

    Ta c oOFD OED ODF 270 (2)

    (1) & (2) o180 (**)

    (*) & (**) BAC BDF .

    b) Chng minh tng t cu a) ta c:

    B , C

    AEF DBF DEC ABC

    BD BA 5 5BF 5BF 5BFBD BD BD

    BF BC 8 8 8 8

    CD CA 7 7CE 7CE 7CECD CD CD

    CE CB 8 8 8 8

    AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24

    AF AC 7

    CD BD 3 (3)

    Ta li c CD + BD = 8 (4)

    (3) & (4) BD = 2,5

    6

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    E

    F

    A B

    C

    D

    O

    A

    B C

    F

    D

    E

    s

    s

    s

  • Bi 1: (2 im)

    Phn tch a thc sau y thnh nhn t:

    1. 2 7 6x x 2. 4 22008 2007 2008x x x

    Bi 2: (2im) Gii phng trnh:

    1. 2 3 2 1 0x x x

    2. 2 2 2

    22 2

    2 2

    1 1 1 18 4 4 4x x x x x

    x x x x

    Bi 3: (2im) 1. CMR vi a,b,c,l cc s dng ,ta c: (a+b+c)( 9)111

    cba

    3. Tm s d trong php chia ca biu thc 2 4 6 8 2008x x x x cho a thc 2 10 21x x .

    Bi 4: (4 im)Cho tam gic ABC vung ti A (AC > AB), ng cao AH (HBC). Trn

    tia HC ly im D sao cho HD = HA. ng vung gc vi BC ti D ct AC ti E.

    1. Chng minh rng hai tam gic BEC v ADC ng dng. Tnh di on BE theo m AB .

    2. Gi M l trung im ca on BE. Chng minh rng hai tam gic BHM v BEC ng dng. Tnh s o ca gc AHM

    3. Tia AM ct BC ti G. Chng minh: GB HD

    BC AH HC

    .

    BI

    1

    Cu Ni dung

    im

    1. 2,0

    1.1 (0,75 im)

  • 2 27 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x

    1 6x x

    0.5

    0,5

    1.2

    (1,25 im)

    4 2 4 2 22008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x

    0,25

    24 2 2 2 2 21 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x

    0,25

    2 2 2 2 21 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x

    0,25

    2.

    2,0

    2.1 2 3 2 1 0x x x (1)

    + Nu 1x : (1) 2

    1 0 1x x (tha mn iu kin

    1x ).

    + Nu 1x : (1)

    2 24 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x

    1; 3x x (c hai u khng b hn 1,

    nn b loi)

    Vy: Phng trnh (1) c mt nghim duy nht l 1x .

    0,5

    0,5

    2.2

    2 2 2

    22 2

    2 2

    1 1 1 18 4 4 4x x x x x

    x x x x

    (2)

    iu kin phng trnh c nghim: 0x

    (2) 2 2

    22 2

    2 2

    1 1 1 18 4 4x x x x x

    x x x x

    2

    2 22

    2

    1 18 8 4 4 16x x x x

    x x

    0 8x hay x v 0x .

    Vy phng trnh cho c mt nghim 8x

    0,25

    0,5

    0,25

    3

    2.0

    3.1 Ta c:

    A= 111)111

    )(( b

    c

    a

    c

    c

    b

    a

    b

    c

    a

    b

    a

    cbacba

    = )()()(3c

    b

    b

    c

    a

    c

    c

    a

    a

    b

    b

    a

    0,5

  • M: 2x

    y

    y

    x (BT C-Si)

    Do A .92223 Vy A 9

    0,5

  • 3.2 Ta c:

    2 2( ) 2 4 6 8 2008

    10 16 10 24 2008

    P x x x x x

    x x x x

    t 2 10 21 ( 3; 7)t x x t t , biu thc P(x) c vit li:

    2( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t

    Do khi chia 2 2 1993t t cho t ta c s d l 1993

    0,5

    0,5

    4

    4,0

    4.1 + Hai tam gic ADC

    v BEC c:

    Gc C chung.

    CD CA

    CE CB (Hai tam

    gic vung CDE v

    CAB ng dng)

    Do , chng dng dng (c.g.c).

    Suy ra: 0135BEC ADC (v tam gic AHD vung cn ti H

    theo gi thit).

    Nn 045AEB do tam gic ABE vung cn ti A. Suy

    ra: 2 2BE AB m

    1,0

    0,5

    4.2 Ta c:

    1 1

    2 2

    BM BE AD

    BC BC AC (do BEC ADC : )

    m 2AD AH (tam gic AHD vung vn ti H)

    nn 1 1 2

    2 2 2

    BM AD AH BH BH

    BC AC AC BEAB (do ABH CBA : )

    Do BHM BEC : (c.g.c), suy ra: 0 0135 45BHM BEC AHM

    0,5

    0,5

    0,5

    4.3 Tam gic ABE vung cn ti A, nn tia AM cn l phn

    gic gc BAC.

    Suy ra: GB AB

    GC AC , m

    //AB ED AH HD

    ABC DEC ED AHAC DC HC HC

    :

    0,5

    Do :

    GB HD GB HD GB HD

    GC HC GB GC HD HC BC AH HC

    0,5

  • 7

    THI HC SINH GII CP HUYN

    MN: TON LP 8

    Thi gian: 150 pht

    Bi 1( 6 im): Cho biu thc:

    P =

    2

    2 2 2

    2 3 2 8 3 21 2 8: 1

    4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3

    x x x x

    x x x x x x x

    a) Rt gn P

    b) Tnh gi tr ca P khi 1

    2x

    c) Tm gi tr nguyn ca x P nhn gi tr nguyn.

    d) Tm x P > 0.

    Bi 2(3 im):Gii phng trnh:

    a) 215 1 1

    1 123 4 4 3 3

    x

    x x x x

    b)

    148 169 186 19910

    25 23 21 19

    x x x x

    c) 2 3 5x

    Bi 3( 2 im): Gii bi ton bng cch lp phng trnh:

    Mt ngi i xe gn my t A n B d nh mt 3 gi 20 pht. Nu ngi y tng vn tc

    thm 5 km/h th s n B sm hn 20 pht. Tnh khong cch AB v vn tc d nh i

    ca ngi .

    Bi 4 (7 im):

    Cho hnh ch nht ABCD. Trn ng cho BD ly im P, gi M l im i xng

    ca im C qua P.

    a) T gic AMDB l hnh g? b) Gi E v F ln lt l hnh chiu ca im M ln AB, AD. Chng minh EF//AC v

    ba im E, F, P thng hng.

    c) Chng minh rng t s cc cnh ca hnh ch nht MEAF khng ph thuc vo v tr ca im P.

  • d) Gi s CP BD v CP = 2,4 cm, 9

    16

    PD

    PB . Tnh cc cnh ca hnh ch nht

    ABCD.

    Bi 5(2 im): a) Chng minh rng: 20092008

    + 20112010

    chia ht cho 2010

    b) Cho x, y, z l cc s ln hn hoc bng 1. Chng minh rng:

    2 21 1 2

    1 1 1x y xy

  • p n v biu im

    Bi 1: Phn tch:

    4x2 12x + 5 = (2x 1)(2x 5)

    13x 2x2 20 = (x 4)(5 2x)

    21 + 2x 8x2 = (3 + 2x)(7 4x)

    4x2 + 4x 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5

    iu kin: 1 5 3 7

    ; ; ; ; 42 2 2 4

    x x x x x

    0,5

    a) Rt gn P =2 3

    2 5

    x

    x

    2

    b) 1

    2x

    1

    2x hoc

    1

    2x

    +) 1

    2x P =

    1

    2

    +) 1

    2x

    P =

    2

    3 1

    c) P =2 3

    2 5

    x

    x

    =

    21

    5x

    Ta c: 1 Z

    Vy P Z khi 2

    5Z

    x

    x 5 (2) M (2) = { -2; -1; 1; 2}

    x 5 = -2 x = 3 (TMK) x 5 = -1 x = 4 (KTMK) x 5 = 1 x = 6 (TMK) x 5 = 2 x = 7 (TMK) KL: x {3; 6; 7} th P nhn gi tr nguyn. 1

    d) P =2 3

    2 5

    x

    x

    =

    21

    5x

    0,25

    Ta c: 1 > 0

    P > 0 th 2

    5x > 0 x 5 > 0 x > 5 0,5

    Vi x > 5 th P > 0. 0,25

    Bi 2:

  • a) 215 1 1

    1 123 4 4 3 3

    x

    x x x x

    15 1 11 12

    4 1 4 3 1

    x

    x x x x

    K: 4; 1x x

    3.15x 3(x + 4)(x 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)

    3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoc x + 4 = 0

    +) 3x = 0 => x = 0 (TMK)

    +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMK)

    S = { 0} 1

    b)

    148 169 186 19910

    25 23 21 19

    x x x x

    148 169 186 199

    1 2 3 4 025 23 21 19

    x x x x

    (123 x)1 1 1 1

    25 23 21 19

    = 0

    Do 1 1 1 1

    25 23 21 19

    > 0

    Nn 123 x = 0 => x = 123

    S = {123} 1

    c) 2 3 5x

    Ta c: 2 0x x => 2 3x > 0

    nn 2 3 2 3x x PT c vit di dng:

    2 3 5x

    2x = 5 3

    2x = 2

    +) x - 2 = 2 => x = 4

    +) x - 2 = -2 => x = 0

  • S = {0;4} 1

    Bi 3(2 )

    Gi khong cch gia A v B l x (km) (x > 0) 0,25

    Vn tc d nh ca ngi xe gn my l:

    3( / )

    1 103

    3

    x xkm h

    (3h20

    =

    13

    3h ) 0,25

    Vn tc ca ngi i xe gn my khi tng ln 5 km/h l:

    3

    5 /10

    xkm h 0,25

    Theo bi ta c phng trnh:

    3

    5 .310

    xx

    0,5

    x =150 0,5

    Vy khong cch gia A v B l 150 (km) 0,25

    Vn tc d nh l: 3.150

    45 /10

    km h

    Bi 4(7)

    V hnh, ghi GT, KL ng 0,5

    a) Gi O l giao im 2 ng cho ca hnh ch nht ABCD. PO l ng trung bnh ca tsm gic CAM. AM//PO t gic AMDB l hnh thang. 1

    b) Do AM //BD nn gc OBA = gc MAE (ng v) Tam gic AOB cn O nn gc OBA = gc OAB

    A B

    C D

    O M

    P

    I

    E

    F

  • Gi I l giao im 2 ng cho ca hnh ch nht AEMF th tam gic AIE cn I

    nn gc IAE = gc IEA.

    T chng minh trn : c gc FEA = gc OAB, do EF//AC (1) 1

    Mt khc IP l ng trung bnh ca tam gic MAC nn IP // AC (2)

    T (1) v (2) suy ra ba im E, F, P thng hng. 1

    c) MAF DBA g g : nn MF ADFA AB

    khng i. (1)

    d) Nu 9

    16

    PD

    PB th 9 , 16

    9 16

    PD PBk PD k PB k

    Nu CP BD th CP PB

    CBD DCP g gPD CP

    : 1

    do CP2 = PB.PD

    hay (2,4)2 = 9.16 k

    2 => k = 0,2

    PD = 9k = 1,8(cm)

    PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d

    BD = 5 (cm)

    C/m BC2= BP.BD = 16 0,5

    do BC = 4 (cm)

    CD = 3 (cm) 0,5

    Bi 5:

    a) Ta c: 20092008

    + 20112010

    = (20092008

    + 1) + ( 20112010

    1)

    V 20092008

    + 1 = (2009 + 1)(20092007

    - )

    = 2010.() chia ht cho 2010 (1)

    20112010

    - 1 = ( 2011 1)(20112009

    + )

    = 2010.( ) chia ht cho 2010 (2) 1

    T (1) v (2) ta c pcm.

    b) 2 21 1 2

    1 1 1x y xy

    (1)

  • 2 2

    2 2

    2

    2 2

    1 1 1 10

    1 1 1 1

    01 1 1 1

    10 2

    1 1 1

    x xy y xy

    x y x y x y

    x xy y xy

    y x xy

    x y xy

    V 1; 1x y => 1xy => 1 0xy

    => BT (2) ng => BT (1) ng (du = xy ra khi x = y) 1