cur 1 004 EspaciosVectoriales - math.com.mx · PDF filePrimero debemos saber que un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores. 2. Todo espacio vectorial contiene

Espacios Vectoriales

Definiciones básicas de Espacios Vectoriales

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José de Jesús Angel [email protected]

MathCon c© 2007-2009

Contenido

1. Espacios Vectoriales 31.1. Idea Básica de Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Hechos importantes de los espacios vectoriales . . . .. . . . . . . . . . . . . . 31.2. Espacios vectoriales generados por un elemento no cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Espacios vectoriales generados por dos elementos no cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Definición de espacio vectorial y ejemplos . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 71.5. Combinación lineal y espacio generado . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13

1.5.1. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 141.5.2. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 161.5.3. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

1.6. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 221.6.1. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 221.6.2. Norma y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 221.6.3. Bases ortogonales y ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 23

2

1.6.4. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231.6.5. Complementos Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

1Espacios Vectoriales

1.1. Idea Básica de Espacio Vectorial

Antes de iniciar con las definiciones que involucran un espacio vectorial veamos algunas ideas que nosayudarán a comprender mejor qué es un espacio vectorial.

1.1.1. Hechos importantes de los espacios vectoriales

1. Primero debemos saber que un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores.

2. Todo espacio vectorial contiene su “cero”.

3. Los vectores se pueden “sumar”.

Con los anteriores hechos podemos ya dar ejemplos de espacios vectoriales.

1.2. Espacios vectoriales generados por un elemento no cero 4

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6

Figura 1.1: Un espacio vectorial cero{(0, 0)}

El ejemplo más sencillo de espacio vectorial es el conjunto cero V = {0}. Obsérvese que el cerosumado al cero siempre da cero.

1.2. Espacios vectoriales generados por un elemento no cero

Los espacios vectoriales que siguen en complejidad son aquellos generados por un elemento diferentede cero.

Observemos los siguientes hechos del espacio vectorialV generado por un elementoa diferente decero.

1. Seaa el elemento diferente de cero que generará al espacio vectorial.

2. Si estáa, como los elementos de un espacio vectorial conservan las sumas también están2a, 3a, 4a, ...

3. Extendiendo el punto anterior a los inversos aditivos, enel espacio vectorial también están...,−3a,−2a,−a

4. Hasta el momentoV contiene a= {...,−2a,−a, 0, a, 2a, ...}

5. Es decir,V contiene los múltiplos dea tanto positivos como negativos.

6. Más aúnV debe contener también las fracciones como1

2a,

1

3a,

2

3a, ...

7. De hechoV contiene a cualquier múltiplo realra.

1.2. Espacios vectoriales generados por un elemento no cero 5

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Figura 1.2: Construcción del Espacio vectorial generado por un elemento

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Figura 1.3: El espacio generado por un elemento llega ser unalinea recta que pasa por el origen

Los ejemplos concretos de espacios vectoriales generados por un elemento diferente de cero son varia-dos, cabe mencionar que para las matemáticas todos estos espacios vectoriales son “iguales” o isomorfos.

1. Consideremos al plano, y al vector diferente de cero~a = (1, 1), (en el plano y el espacio los vectoressuelen escribirse con una flecha). Entonces, este espacio debe tener también a−~a, 0,~a, 2~a, 3~a, ...

como en la figura 1.8.

2. De hecho debe tener también a todos los múltiplos enteros,a los múltiplos racionales y en generala todo vector de la formar~a, llegando a convertirse en una línea recta 1.3.

3. Debemos observar que todo puntob en la línea puede escribirse comor~a, decimos que~b es combi-nación lineal de~a, o que~b es generado por~a

4. Se dice también que~a genera toda la línea.

1.3. Espacios vectoriales generados por dos elementos no cero 6

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Figura 1.4: Espacios vectoriales generado por(2, 2) y (−1,−1) respectivamente

Nota 1 Los sub-espacios vectoriales generados por un vector enR2 son las líneas rectas que pasan porel origen.

1.3. Espacios vectoriales generados por dos elementos no cero

Para el caso de dos elementos diferentes de cero tenemos las siguientes observaciones.

1. Seaa, b elementos diferentes de cero que generan un espacio vectorial.

2. Si estána, b, como los elementos de un espacio vectorial conservan las sumas también están2a, 2b, 3a, 3b, ...

3. En general están{ra, rb}.

4. Pero también esta la sumaa + b.

5. De manera genérica, tenemos queV = ra + sb.

Para ejemplos concretos de espacios vectoriales generadospor dos elementos diferentes de cero en elplano tenemos dos casos:

1. Sib es múltiplo dea, entonces el espacio vectorial generados pora y b es el mismo 1.4.

2. Sib no es múltiplo dea, el espacio generado es todo el plano.

1.4. Definición de espacio vectorial y ejemplos 7

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Figura 1.5: Espacio vectorial generado por(1, 0) y (0, 1)

1.4. Definición de espacio vectorial y ejemplos

Sea un campoK, por ejemplo los números racionalesQ, los números realesR, o los números com-plejosC.

Definición 1 SeaK un campo, un conjunto no vacíoV , se llama espacio vectorial, (donde loselementos deV se llaman vectores), y los deK escalares, siV tiene definida una suma que lo haceun grupo abeliano.Además se define un producto escalarkv ∈ V , dondek ∈ K, y v ∈ V , y se cumplen las siguientesreglas:

1. Para todok ∈ K y todou, v ∈ V , k(u + v) = ku + kv.

2. Para todoa, b ∈ K y todou ∈ V , (a + b)(u) = au + bu.

3. Para todoa, b ∈ K y todou ∈ V , (ab)(u) = a(bu).

4. Para el escalar1 ∈ K, y todou ∈ V , 1u = u.


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Figura 1.6: Arriba: Espacio vectorial generado por(1, 0) y (0, 2) Abajo: el EV generado por(3, 0) y (0, 2)


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1

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6

Figura 1.7: Arriba: Espacio vectorial generado por(1, 1) y (−1, 1) Abajo: el EV generado por(2, 0) y(−1, 1)


Ejemplos:

1. K = R, V = R.

2. K = R, V = R2.

3. K = R, V = R3.

4. K = R, V = Rn.

5. K = R, V = Mnm.

6. K = R, F [a, b].

7. K = R, R[x], g ∈ R[x], gr(g) ≤ n.

8. K = R, R[x].

Más ejemplos:

1. Sea el símbolo estrella⋆.

2. Además es posible sumar estrellas, por ejemplo⋆ + ⋆ = 2⋆.

3. De la misma manera⋆ + ⋆ + ⋆ + ⋆ + ⋆ = 5⋆.

4. También5⋆ − 3⋆ = 2⋆.

5. Así mismo3⋆ − 3⋆ = 0⋆.

Lo anterior nos indica que con el objeto⋆ y la suma podemos formar el conjunto:

E = {... − 2⋆,−1⋆, 0⋆, 1⋆, 2⋆, ...}

Esto nos dice que el conjuntoE es un grupo abeliano.Pero además podemos hacer operaciones entre estrellas y números reales, no solo enteros:

1. Sea el símbolo estrella⋆.

2. Es posible factorizar estrellas2,5⋆ + 5,2⋆ = (2,5 + 5,2)⋆ = 7,7⋆.


-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20H 5,15L

H 10,-10 L

Figura 1.8:R2 como espacio vectorial.

3. Es posible multiplicar2,5(3⋆) = (2,5 · 3)⋆ = 7,5⋆.

4. También es posible distribuir números3(⋆ + 5⋆) = 3⋆ + 15⋆ = 18⋆.

Finalmente nuestro conjuntoE llega a ser un continuo de estrellas.

E = {... − 2⋆,−1⋆, 0⋆, 1⋆,1

2⋆, π⋆, ...}

E es un espacio vectorial generado por el objeto estrella⋆.

EspacioRn y representación gráfica paran = 2 y 3Uno de los espacios vectoriales más usado esRn sobre los realesR.Si n = 2, entonces tenemos al plano, sin = 3 tenemos al espacio.

Definición 2 Un subconjuntoW ⊂ V es un subespacio vectorial, si es espacio vectorial por simismo.

Un subconjunto no vacíoW ⊂ V es subespacio si:


1. W no es vacío.

2. Siu, v ∈ W , entoncesu + v ∈ W.

3. Siu ∈ W , y k ∈ K, entoncesku ∈ W.

a) R2 es subespacio deR3. Los elementos deR2 se pueden ver como(a, b, 0) ∈ R3. Entoncesseax = (a1, a2, 0), y = (b1, b2, 0) ∈ R3, entoncesx + y = (a1 + b1, a2 + b2, 0) ∈ R3, yrx = r(a1, a2, 0) = (ra1, rb1, 0) ∈ R3.

b) W = 0 es un subespacio vectorial de cualquier espacio vectorial.

c) Si un subconjuntoW no contiene al cero, entoncesW no es subespacio vectorial.

d) W = (a, b) tal quea, b > 0, es espacio vectorial deR2?. Este conjunto no es espacio vectorialya que sir = −1, entoncesrx 6∈ W .

e) SeaW = {(a, b, 1) ∈ R3}, entoncesW no es subespacio vectorial deR3.

f ) Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneoAx = 0, entoncesW = {x|Ax = 0},entoncesW es subespacio vectorial deRn dondeA es una matrizm × n.

g) Para el sistema no-homogéneoAx = b, el conjunto solución no es un subespacio vectorial.

Ejercicios

1. Listar todos los subespacios deR2.

2. Cuales de los siguientes conjuntos son subespacios deR3.

a) (a, b, 2).

b) (a, b, c), dondec = a + b.

c) (a, b, c), dondec > 0.

d) (a, b, c), dondea = c = 0.

e) (a, b, c), dondea = −c.

f ) (a, b, c), dondeb = 2a + 1.

3. Cuales de los siguientes conjuntos son subespacios deR4.

a) (a, b, c, d) dondea − b = 2.

b) (a, b, c, d) dondec = a + 2b, y d = a − 3b.

c) (a, b, c, d) dondea = 0, y b = −d.

d) (a, b, c, d) dondea = b = 0.

e) (a, b, c, d) dondea = 1, b = 0 y c + d = 1.

f ) (a, b, c, d) dondea > 0, b < 0.

1.5. Combinación lineal y espacio generado 13

1.5. Combinación lineal y espacio generado

Definición 3 SeaV un espacio vectorial sobreK, y seanv1, v2, ..., vn ∈ V , entonces una combi-nación lineal de estos vectores con los escalaresa1, ..., an es:a1v1 + a2v2 + · · · + anvn ∈ V.

Ejemplos:

1. Una combinación lineal del vector(1, 2) es2(1, 2) = (2, 4), ó−3(1, 2) = (−3,−6).

2. Una combinación lineal de los vectores(1, 2), (3,−1) es una combinación de suma de múltiplosde estos vectores. Por ejemplo2(1, 2) + 5(3,−1), ó−3(1, 2) + 4(3,−1).

3. Una combinación lineal de los vectores(1, 1,−1), (2, 1, 4) es por ejemplo3(1, 1,−1)− 3(2, 1, 4).

4. Una combinación lineal de las matricesA,B es4A + 5B.

5. Una combinación lineal de los símbolos♣,♠,♦ es5♣ + 4♠− 3♦.

Nota 2 La idea principal de las combinaciones lineales es la posibilidad de construir espaciosvectoriales a partir de elementos básicos. Lo que nos lleva ala definición de espacio generado.

Definición 4 SeaS un subconjunto no vacío de vectores en un espacio vectorialV , entonces elsubespacio vectorial de todas las combinaciones lineales de vectores deS, es el subespacio vectorialgenerado porS.

1. Seaa ∈ R2, entonces el subespacio generado pora, es la linea recta que pasa pora.

2. Seana, b ∈ R2 dos vectores diferentes, no cero y no múltiplos. Entonces ellos generan aR2.

3. Dos vectores o más (uno múltiplo del otro), generan una misma línea recta.

4. Tres vectores enR3 no múltiplos a pares generan a todo el espacio, un vector enR3 genera unalínea, dos vectores no múltiplos generan un plano que pasa por el origen.


Ejercicios

1. Listar todos los subespacios deR2, y unos generadores.

2. Dar un vector que genere la línea rectay = 3x.

3. Dar dos vectores enR2 que generen una misma línea recta.

4. Dar dos vectores que generen el planoz = x + y enR3.

5. Dar dos vectores que generen el plano2x − 3y + 4z = 0 enR3.

1.5.1. Independencia lineal

Definición 5 SeaV un espacio vectorial, entonces se dice los los vectoresv1, v2, ..., vn ∈ V , sonlinealmente dependientes sobreK si existen escalaresa1, a2, ..., an ∈ K no todos cero, tal que:a1v1 + a2v2 + · · · anvn = 0 En caso contrario, los vectores se dicen linealmente independientes.

Ejemplos:

Sean los vectoresv1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 1) en R3, y escalaresx, y, z entoncesxv1 + yv2 + zv3 = 0, implica que:

x + z = 0y + z = 0

x + y + z = 0

Como el sistema tiene una única solución (mostrarlo), entonces la única solución esx = y = z = 0,entonces los vectoresv1, v2, v3 sonl.i.

Todo conjunto que incluya al vector0 esl.d.

Ejercicios:


1. cuales de los siguientes vectores generan aR2.

a) (1, 2), (−1, 1).

b) (0, 0), (1, 1), (−2,−2).

c) (1, 3), (2,−3), (0, 2).

d) (2, 4), (−1, 2).

2. Cuales de los siguientes vectores generan aR3.

a) (1,−1, 2), (0, 1, 1).

b) (1, 2,−1), (6, 3, 0), (4,−1, 2), (2,−5, 4)

c) (2, 2, 3), (−1,−2, 1), (0, 1, 0).

d) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1).

3. Cuales de los siguientes vectores generan aR4.

a) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0).

b) (1, 2, 1, 0), (1, 1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)

c) (1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 1).

4. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes, en este caso expresaruno de los vectores en combinación lineal de los otros.

a) (1, 2,−1), (3, 2, 5).

b) (4, 2, 1), (2, 6,−5), (1,−2, 3).

c) (1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6).

d) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 1).

5. Para que valores dec, son los vectores(−1, 0,−1), (2, 1, 2), (1, 1, c) enR3 linealmente dependi-entes.

6. Demostrar que enR3, los vectoresi,j,k sonl.i. y generan aR3.

7. Mostrar que el espacioU generado por los vectores(1, 2,−1, 3), (2, 4, 1,−2), (3, 6, 3,−7) y elespacioV generado por los vectores(1, 2,−4, 11), (2, 4,−5, 14), son el mismo.

8. SeaV el espacio vectorial de todas las matrices2 × 2, sobre los reales. Mostrar queW no es unsubespacio deV donde:

a) W son las matrices con determinante cero.

b) W son las matrices tales queA2 = A.

9. Para que valor dek el vector(1,−2, k) ∈ R3, será una combinación lineal de los vectores(3, 0,−2), (2,−1,−5).


10. Escriba la matrizE =

(

3 11 −1

)

, como combinación lineal de las matrices:A =

(

1 11 0

)

,

B =

(

0 01 1

)

, C =

(

0 20 −1

)

.

11. Escriba la matrizE =

(

3 −11 −2

)

,E =

(

2 1−1 −2

)

, como combinación lineal de las matri-

ces:A =

(

1 10 −1

)

, B =

(

1 1−1 0

)

, C =

(

1 −10 0

)

.

1.5.2. Bases y dimensión

Definición 6 Un espacio vectorialV , tiene dimensiónn si existen vectores linealmente independi-entese1, e2, ..., en ∈ V , tales que generan aV , de donde al conjunto{e1, e2, ..., en} se le llamauna base deV .

Teorema 1 SeaV un espacio vectorial de dimensión finitan, entonces toda base deV tiene elmismo número de elementos.

Ejemplos:

1. SeaK un campo, entonces el espacio vectorialKn sobreK, tiene como base a los vectores:

e1 = (1, 0, 0, 0, ..., 0, 0)

e2 = (0, 1, 0, 0, ..., 0, 0)

e2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, 0)

...

en−1 = (0, 0, 0, 0, ..., 1, 0)

en = (0, 1, 0, 0, ..., 0, 1)

2. SeaU , el espacio vectorial de todas las matrices2 × 3, sobre un campoK. Entonces las ma-

trices:

(

1 0 00 0 0

)

,

(

0 1 00 0 0

)

,

(

0 0 10 0 0

)

,

(

0 0 01 0 0

)

,

(

0 0 00 1 0

)

,(

0 0 00 0 1

)

. Forman una base paraU .


3. SeaW el espacio vectorial de todos los polinomiosR[x], de grado≤ n. Entonces el conjunto{1, x, x2, x3, ..., xn} forman una base paraW.

Teorema 2 SeaW un subespacio de un espacio vectorialV de dimensiónn, entoncesdim(W ) ≤n. Sidim(W ) = n, entoncesW = V.

Ejemplo: Si V = R3, y W un subespacio deR3 entonces:

1. Sidim(W ) = 0, W = {0}.

2. Sidim(W ) = 1, W es una recta que pasa por el origen.

3. Sidim(W ) = 2, W es un plano que pasa por el origen.

4. Sidim(W ) = 3, W = R3.

Suma directa: seanU,W dos subespacios del espacio vectorialV , la suma directa deU y W U ⊕W ={u + w|u ∈ U,w ∈ W}.

U ⊕ W es un subespacio deV , V se dice que es la suma directa de los subespaciosU,W si y sólo siV = U ⊕ W , y U ∩ W = {0}.

SeanU , W dos subespacios de dimensión finita de un espacio vectorialV , entoncesU ⊕ W tienedimensión finita y

dim(U ⊕ W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W ).

Ejemplo

SeaU el planoxy, y W el planoyz. U = {(a, b, 0)}, W = {(0, b, c)}. ComoR3 = U ⊕ W ,dim(U ⊕ W ) = 3. Tambiéndim(U) = dim(W ) = 2, Por lo tanto3 = 2 + 2 − dim(U ∩ W ), es decirdim(U ∩ W ) = 1, o sea queU ∩ W = {0, b, 0} es el ejey de dimensión 1.

Ejercicios:

1. Determinar si los siguientes vectores forman una base paraR2.

a) (1, 1), (3, 1).

b) (0, 1), (0,−3).


c) (2, 1), (1,−1).

d) (2, 1), (−3, 87).

e) (1, 3), (1,−1).

f ) (1, 3), (−2, 6).


a) (1, 1, 1), (1,−1, 5).

b) (1, 2, 3), (1, 0,−1), (3,−1, 0), (2, 1,−2).

c) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (2,−1, 1).

d) (1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4).

e) (3, 2, 2), (−1, 2, 1), (0, 1, 0).


a) (1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1).

b) (0, 0, 1, 1), (−1, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 0), (2, 1, 2, 1).

4. Demuestre que las siguientes matrices son base para las matricesM22,

(

1 10 0

)

,

(

0 01 1

)

,(

1 00 1

)

,

(

0 11 1

)

.

5. Determine una base paraR4 que incluya a los vectores(1, 0, 1, 0), (0, 1,−1, 0).

Definición 7 SeaA una matrizm × n, la nulidad o el kernel deA es la dimensión del espaciosolución del sistema homogéneoAx = 0.

Ejercicios:

1. Encuentre la dimensión y una base para el espacio solucióndeAx = 0, dondeA =

2 −1 −2−4 2 4−8 4 8

.

2. Encuentre la dimensión y una base para el espacio solucióndeAx = 0, dondeA =

1 1 −2−2 −2 4−1 −1 2

.


3. Encuentre la dimensión y una base para el espacio solucióndel sistema:

x1 + x2 + x3 + x4 = 02x1 + x2 − x3 + x4 = 0


x1 − x2 + x3 − 2x4 + x5 = 03x1 − 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0


x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 02x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + 3x3 + 3x4 = 0

6. Encuentre la dimensión y una base para los siguientes espacios solución:

a)x1 − x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 0

−x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0x1 − x2 + 3x3 + 5x4 + 6x5 = 0

3x1 − 4x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0

b)x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 0

2x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 = 0+ x3 − x4 − x5 = 0

c)x1 + 2x2 + 2x3 − x4 + x5 = 0

2x2 + 2x3 − 2x4 − x5 = 02x1 + 6x2 + 2x3 − 3x4 + x5 = 0x1 + 4x2 − 3x4 = 0


Ahora tenemos las siguientes equivalencias:

1. El determinante deA es diferente de cero.

2. A es no singular.

3. Existe la matriz inversaA−1.

4. La matriz es equivalente por OE a la matriz Identidad.

5. El sistema homogéneoAx = 0 tiene como única solución a la trivial.

6. El sistemaAx = b, tiene una única solución.

7. Baja la transformación linealAx, la imagen inversa de cualquier vectorb, en no vacía yconsiste de un solo elemento. Es decirAx es sobre.

8. Bajo la transformación linealAx la imagen inversa del cero, es no vacía, y consiste únicamentedex = 0.

9. A tiene rangon.

10. A tiene nulidad 0,dim(kernel) = 0.

11. Las filas (columnas) deA forman un conjunto linealmente independiente den vectores enRn.


1.5.3. Cambio de base

Definición 8 Sea{e1, e2, ..., en} una base del espacio vectorialV , y {f1, f2, ..., fn} otra base.Supongamos que:

f1 = a11e1 + a12e2 + a13e3 + · · · + a1nen

f2 = a21e1 + a22e2 + a23e3 + · · · + a2nen

f3 = a31e1 + a32e2 + a33e3 + · · · + a3nen

...

fn = an1e1 + an2e2 + an3e3 + · · · + annen

Entonces la matriz transpuestaP de los coeficientes se llama matriz de cambio de base:

P =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2

......

...a1n a2n · · · ann

Cambia de la base vieja{ei} a la base nueva{fi}. Como los vectores{fi} son linealmente inde-pendientes, entonces existe la matriz inversaP−1, que es la matriz de cambio de base de{fi} a labase nueva{ei}.

Por ejemplo si{ei} = {(1, 0), (0, 1)} y {fi} = {(1, 1), (−1, 0)} son bases deR2, entonces(1, 1) =(1, 0) + (0, 1), y (−1, 0) = −(1, 0) + 0(0, 1). Por lo tanto la matriz de cambio de base de{ei} a{fi} es(

1 −11 0

)

. Y la matriz inversa

(

0 1−1 1

)

es la matriz de cambio de base de{fi} a{ei}.

Ejercicios, encontrar la matriz de cambio de bases para los casos:

1. {ei} = {(1, 0), (0, 1)}, {fi} = {(1, 2), (2, 3)}.

2. {ei} = {(1, 2), (2, 3)}, {fi} = {(1, 3), (1, 4)}.

1.6. Producto interno 22

1.6. Producto interno

Definición 9 SeaV un espacio vectorial sobre un campoK (R, C). Una función〈u, v〉 7→ k ∈ K.Se llama producto interno si cumple las siguientes propiedades:

1. 〈au1 + bu2, v〉 = a〈u1, v〉 + b〈u2, v〉.

2. 〈u, v〉 = 〈v, u〉, (en caso de queK = C.)

3. 〈u, u〉 ≥ 0, y 〈u, u〉 = 0 si y sólo siu = 0.

Definición 10 SeaV = Rn un espacio vectorial, yu, v ∈ Rn definimos el producto interno usualcomo〈u, v〉 = u • v = a1b1 + a2b2 + · · · anbn.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

|u • v| ≤‖ u ‖‖ v ‖ .

1.6.1. Ortogonalidad

Definición 11 SeaV = Rn un espacio vectorial, yu, v ∈ Rn, se dice que los vectoresu, v sonortogonales siu • v = 0.

1.6.2. Norma y sus propiedades

Definición 12 SeaV = Rn un espacio vectorial, yu ∈ Rn definimos la norma deu como:

‖ u ‖=√

u • u.

Definición 13 SeaV = Rn un espacio vectorial, yu ∈ Rn, si ‖ u ‖= 1, se dice queu es unitarioo normalizado.

Definición 14 SeaV = Rn un espacio vectorial, yu, v ∈ Rn, definimos la distancia entreu y v

comod(u, v) =‖ v − u ‖ .


1.6.3. Bases ortogonales y ortonormales

Definición 15 Un conjunto de vectores{ui} ⊂ V es ortogonal si todos los pares de vectores difer-entes son ortogonales.

Teorema 3 Un conjunto de vectores{ui} ⊂ V ortogonal no nulos, es linealmente independiente.

Definición 16 Un conjunto de vectores{ui} ⊂ V se dice ortonormal si

ui • uj = δij .

Dondeδij es la delta de Kronecker.

Teorema 4 Un conjunto de vectores{ui} ⊂ V ortonormal no nulos, es linealmente independiente.

1.6.4. Proyecciones

Definición 17 La proyección de un vectoru en la “dirección"de otro vectorv, es:

Proyvu = (u • v

‖ v ‖2)v.

Teorema 5 (Proceso de Gram-Schmidt)SeaW un subespacio no nulo deRn con baseS ={u1, u2, ..., um}, entonces existe una base ortonormalT = {w1, w2, ..., wm} paraW .

Proceso de Gram-Schmidt: suponemos que tenemos una base dadaS = {u1, u2, ..., um}, y queremoscalcular una base ortonormalT = {w1, w2, ..., wm}.

1. Hacerv1 = u1.

2. Calcular los vectoresv2, v3, .., vm, por la fórmula:

vi = ui − (ui · v1

v1 · v1

)v1 − (ui · v2

v2 · v2

)v2 − · · · − (ui · vi−1

vi−1 · vi−1

)vi−1


3. Hacerwi =vi

||vi||.

4. Entonces la base ortonormal esT = {w1, w2, ..., wm}.

Ejercicios:

1. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son ortogonales:

a) {(1,−1, 2), (0, 2,−1), (−1, 1, 1)}.

b) {(1, 2,−1, 1), (0,−1,−2, 0), (1, 0, 0,−1)}.

c) {(0, 1, 0,−1), (1, 0, 1, 1), (−1, 1,−1, 2)}.

2. Para que valores dea son ortogonales los vectores:

a) u = (1, 1,−2), v = (a,−1, 2).

3. Para que valores dea, b son ortonormales los vectores:

a) u = (1√2, 0,

1√2), v = (a,

1√2,−b).

4. Calcular una base ortonormal para los siguientes casos:

a) {(1,−1, 0), (2, 0, 1)}.

b) {(1, 0, 2), (−1, 1, 0)}.

c) {(1,−1, 0, 1), (2, 0, 0,−1), (0, 0, 1, 0)}.

d) {(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.

1.6.5. Complementos Ortogonales

Definición 18 SeaW un subespacio deRn, un vectoru es ortogonal aW si es ortogonal a cadavector deW . El conjunto de vectores deRn que son ortogonales a todos los vectores deW se llamacomplemento ortogonal deW y se denota comoW⊥.

Teorema 6 SeaW un subespacio deRn, entoncesW⊥ es subespacio deRn y W ∩ W⊥ = {0}.

Teorema 7 SeaW un subespacio deRn, entonces

Rn = W ⊕ W⊥


Teorema 8 SeaW un subespacio deRn, entonces

(W⊥)⊥ = W.

Teorema 9 SeaA una matrizm × n, entonces:

1. El espacio nulo deA es complemento ortogonal del espacio fila deA.

2. El es espacio nulo deAT , es el complemento ortogonal del espacio columna deA.

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cur 1 004 EspaciosVectoriales - math.com.mx · PDF filePrimero debemos saber que un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores. 2. Todo espacio vectorial contiene