Corso di Analisi Matematica

Le funzioni elementari

Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale

A.A. 2013/2014

Universita di Bari

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1 Funzioni lineari

2 Funzione valore assoluto

3 Funzioni potenza

4 Funzione esponenziale

5 Funzione logaritmo

6 Operazioni sui grafici

7 Polinomi quadratici

8 Funzioni trigonometriche e loro inverse

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Funzioni lineari

Dati a, b ∈ R, sia f : R→ R, f(x) = ax+ b per ogni x ∈ R.

−b/a

−b/a

a=0

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Funzione valore assoluto

Sia f : R→ R, f(x) = |x| per ogni x ∈ R.

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Funzione potenza con esponente naturale

Sia n ∈ N n ≥ 2 e f : R→ R definita da f(x) = xn per ogni x ∈ R.

f(x) = xn n = 2, 4 f(x) = xn n = 3, 5

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Invertibilita della funzione potenza

Se n ∈ N \ {0} e pari, la restrizione di xn ad [0,+∞) e strettamente

crescente, quindi e invertibile. La sua inversa e la funzione

x ∈ [0,+∞) 7→ n√x = x

1n .

Se n ∈ N e dispari, xn e strettamente crescente, quindi e invertibile.

La sua inversa e la funzione

x ∈ R 7→ n√x = x

1n .

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n√x, n pari n

√x, n dispari

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Funzione potenza con esponente intero negativo

Sia n un intero naturale, n ≥ 1. Sia f : R \ {0} → R definita da

f(x) = x−n = (xn)−1 =1

xnper ogni x ∈ R \ {0}.

f(x) = 1/x2 f(x) = 1/x3

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Funzione potenza con esponente reale

Sia α ∈ R∗, si consideri la funzione

f(x) = xα

definita per x ∈ (0,+∞) se α < 0 e per x ∈ [0,+∞) se α > 0.

α<0

xα, α ≤ 0

0<α<1

α>1

xα, α > 0

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Funzione esponenziale

Dato a ∈]0,+∞), a 6= 1, la funzione x ∈ R 7→ ax ∈ R si chiama

funzione esponenziale.

a > 1 0 < a < 1

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Funzione logaritmo

La funzione esponenziale e invertibile (poiche e strettamente

monotona). La sua inversa e la funzione logaritmo in base a, loga.

Si ha loga : (0,+∞)→ R. Si scrive loga x invece di loga(x).

a > 1 0 < a < 1

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Operazioni sui grafici

Dato il grafico di una funzione f(x),

fissato a ∈ R∗, il grafico di g1(x) = f(x+ a), si ottiene da quello di f

mediante una traslazione orizzontale di a unita (a sinistra se a > 0, a

destra se a < 0);

fissato a ∈ R∗, il grafico di g2(x) = f(x) + a, si ottiene da quello di f

mediante una traslazione verticale di a unita (in alto se a > 0, in

basso se a < 0);

fissato k ∈ R∗, il grafico di g3(x) = k · f(x), si ottiene da quello di f

moltiplicando per k tutte le ordinate.

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Polinomi quadratici

Si consideri il polinomio quadratico

f(x) = ax2 + bx+ c ∀x ∈ R a, b, c ∈ R, a 6= 0.

Detto ∆ = b2 − 4ac (discriminante), si ha cheI se ∆ > 0, f ammette due zeri (x ∈ R tali che f(x) = 0) uguali a

−b±√

∆

2a;

I se ∆ = 0, f ammette un solo zero uguale a

− b

2a;

I se ∆ < 0, f non ammette zeri .

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a > 0, ∆ > 0 a > 0, ∆ = 0

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a > 0, ∆ < 0

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Seno e coseno

Si considerino le funzioni

x ∈ R 7→ senx x ∈ R 7→ cosx.

senx

cosx

Le funzioni sen e cos sono 2π–periodiche.

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Tangente

E la funzione definita da

tg : x ∈ dom tg 7→ senx

cosx∈ R

ove

dom tg = R \{π

2+ kπ | k ∈ Z

}.

tg x

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Funzioni trigonometriche inverse

Le funzioni trigonometriche, essendo periodiche, non sono invertibili .

Infatti, ad esempio l’eq. cosx = y ammette infinite soluzioni per ogni

y ∈ [−1, 1].

Le loro restrizioni ad opportuni intervalli sono strettamente crescenti

o strettamente decrescenti, quindi invertibili.

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Arcoseno

sen : [−π/2, π/2]→ R e strettamente crescente ed ha come

immagine [−1, 1]. La sua funzione inversa si chiama funzione

arcoseno:

arcsen : [−1, 1]→[−π

2,π

2

].

arcsenx

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Arcocoseno

cos : [0, π]→ R e strettamente decrescente ed ha come immagine

[−1, 1]. La sua funzione inversa e la funzione arcocoseno:

arccos : [−1, 1]→ [0, π] .

arccosx

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Arcotangente

tg : (−π/2, π/2)→ R e strettamente crescente ed ha come immagine

R. La sua funzione inversa e la funzione arcotangente:

arctg : R→(−π

2,π

2

).

arctg x

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