19. Integrazione di funzioni razionali fratte

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 1

Funzioni razionali fratte:N(x)

D(x), con N(x) e D(x) polinomi in x.

Primo passo per calcolare∫

N(x)

D(x)dx

Se il grado di N(x) è maggiore o uguale del grado di D(x),usiamo la divisione fra polinomi.

N(x)

D(x)= Q(x)+ R(x)

D(x),

con Q(x) quoziente, R(x) restogrado di R(x) minore del grado di D(x).

Esercizio 1Usa la divisione fra polinomi per riscrivere

5x3 −x+2

x2 +1.

∫ax+b

x2 +px+qdx

Primo caso: ∆ := p2 −4q > 0x2 +px+q = 0 ha due soluzioni reali distinte x1 =α, x2 =βcioè x2 +px+q = (x−α)(x−β)

Cerco una scomposizione

ax+b

x2 +px+q= A

x−α + B

x−βcon A,B costanti reali da stabilire.

Esercizio 2

Trova∫

3x3 −3x2 +1

x2 −xdx in ]1,+∞[.

Esercizio 3

Trova∫

3x+1

x2 −5x+6dx in [0,1].

∫ax+b

x2 +px+qdx

Secondo caso: ∆ := p2 −4q = 0x2 +px+q = 0 ha una soluzione reale doppia x1 = x2 =αcioè x2 +px+q = (x−α)2

Cerco una scomposizione

ax+b

x2 +px+q= A

x−α + B

(x−α)2

con A,B costanti reali da stabilire.

Esercizio 4

Trova∫

x+2

x2 −4x+4dx in [3,4].

∫b

x2 +px+qdx

Terzo caso: ∆ := p2 −4q < 0, numeratore costante.x2 +px+q = 0 non ha soluzioni realix2 +px+q = (x+α)2 +β2 (trovo α e β2)

Uso

b

x2 +px+q= b

(x+α)2 +β2 .

Esercizio 5Scrivi x2 +4x+10 nella forma (x+α)2 +β2.

Esercizio 6

Trova∫

1

2x2 +x+1dx.

∫ax+b

x2 +px+qdx

Terzo caso: ∆ := p2 −4q < 0, numeratore di primo grado.x2 +px+q = 0 non ha soluzioni realix2 +px+q = (x+α)2 +β2 (trovo α e β2)

Cerco una scomposizione

ax+b

x2 +px+q= A

2x+p

x2 +px+q+ B

(x+α)2 +β2

con A,B costanti reali da stabilire.

Esercizio 7

Trova∫

2x+1

x2 +2x+2dx.

Esercizio 8

Trova I :=∫ −1

−2

t2 +3t +4

t2 +4t +5dt.

Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 (con esponente 1)∫

N(x)

(x−α)(x−β)(x−γ) · · · dx

(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)

Cerco una scomposizione

N(x)

(x−α)(x−β)(x−γ) · · · =A

x−α + B

x−β + C

x−γ +·· ·

con A,B,C, . . . costanti reali da stabilire.

Esercizio 9Trova una primitiva di

∫1

(x−1)(x−2)(x−3)dx in ]3,4[.

Esercizio 10∫1

(x−1)(x2 +3)dx =

Esercizio 11∫1

(x−1)(x−2)(x2 +3)[(x−1)2 +5

] dx =

Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 con esponente qualsiasi∫

N(x)

(x−α)h(x−β)kdx

(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)

Cerco una scomposizione

N(x)

(x−α)h= A1

x−α + A2

(x−α)2 +·· ·+ Ah

(x−α)h

+ B1

x−β + B2

(x−β)2 +·· ·+ Bk

(x−β)k

con A1,A2, . . .Ah,B1,B2, . . .Bk costanti reali da stabilire.

Esercizio 12∫1

(x−1)2(x−2)(x+1)3 dx =

Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 con esponente qualsiasio di grado 2 con esponente 1∫

N(x)

(x−α)h[(x−β)2 +γ2

] dx

(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)

Cerco una scomposizione

N(x)

(x−α)h[(x−β)2 +γ2

] = A1

x−α + A2

(x−α)2 +·· ·+ Ah

(x−α)h

+ Bx+C[(x−β)2 +γ2

]con A1,A2, . . .B,C costanti reali da stabilire.

Esercizio 13∫1

(x−1)2(x2 +3)dx =

Esercizio 14∫1

(x2 +1)2(x−1)[(x−3)2 +1

] dx =

Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti i tipi

Esercizio 15∫1

(x−1)(x−2)2[(x+1)2 +3

](x2 +1)2

dx =

Esercizio 16Ricordando che J2 :=

∫1

(1+x2)2 dx = 1

2arctanx+ 1

2

x

1+x2 +c, trova

J3 :=∫

1

(1+x2)3 dx.

Esercizio 17

Trova J4 :=∫

1

(1+x2)4 dx.

In generale,

I1 =∫

dx

x2 +a2 = 1

aarctan

x

a+ c

In+1 =∫

dx

(x2 +a2)n+1 = 1

2na2

x

(x2 +a2)n + 2n−1

2na2 In

Esercizio 18

Trova∫

dx

x(x2 +1)2 in ]0,+∞[.

Esercizio 19∫ π/2

0

sinx+cosx

1+ sinxdx =