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Davide Catania unibs.it Esercitazioni di ...alessandro-giacomini.unibs.it/davide/19_integrali_fratte.pdf · PDF fileEsercitazioni di Analisi Matematica 1. Funzioni razionali fratte:

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  • 19. Integrazione di funzioni razionali fratte

    Davide [email protected]

    Esercitazioni di Analisi Matematica 1

  • Funzioni razionali fratte:N(x)

    D(x), con N(x) e D(x) polinomi in x.

    Primo passo per calcolare

    N(x)

    D(x)dx

    Se il grado di N(x) maggiore o uguale del grado di D(x),usiamo la divisione fra polinomi.

    N(x)

    D(x)= Q(x)+ R(x)

    D(x),

    con Q(x) quoziente, R(x) restogrado di R(x) minore del grado di D(x).

  • Esercizio 1Usa la divisione fra polinomi per riscrivere

    5x3 x+2x2 +1 .

  • ax+b

    x2 +px+q dx

    Primo caso: := p2 4q > 0x2 +px+q = 0 ha due soluzioni reali distinte x1 =, x2 =cio x2 +px+q = (x)(x)

    Cerco una scomposizione

    ax+bx2 +px+q =

    A

    x +B

    xcon A,B costanti reali da stabilire.

  • Esercizio 2

    Trova

    3x3 3x2 +1x2 x dx in ]1,+[.

  • Esercizio 3

    Trova

    3x+1x2 5x+6 dx in [0,1].

  • ax+b

    x2 +px+q dx

    Secondo caso: := p2 4q = 0x2 +px+q = 0 ha una soluzione reale doppia x1 = x2 =cio x2 +px+q = (x)2

    Cerco una scomposizione

    ax+bx2 +px+q =

    A

    x +B

    (x)2

    con A,B costanti reali da stabilire.

  • Esercizio 4

    Trova

    x+2x2 4x+4 dx in [3,4].

  • b

    x2 +px+q dx

    Terzo caso: := p2 4q < 0, numeratore costante.x2 +px+q = 0 non ha soluzioni realix2 +px+q = (x+)2 +2 (trovo e 2)

    Uso

    b

    x2 +px+q =b

    (x+)2 +2 .

  • Esercizio 5Scrivi x2 +4x+10 nella forma (x+)2 +2.

  • Esercizio 6

    Trova

    1

    2x2 +x+1 dx.

  • ax+b

    x2 +px+q dx

    Terzo caso: := p2 4q < 0, numeratore di primo grado.x2 +px+q = 0 non ha soluzioni realix2 +px+q = (x+)2 +2 (trovo e 2)

    Cerco una scomposizione

    ax+bx2 +px+q = A

    2x+px2 +px+q +

    B

    (x+)2 +2

    con A,B costanti reali da stabilire.

  • Esercizio 7

    Trova

    2x+1x2 +2x+2 dx.

  • Esercizio 8

    Trova I := 12

    t2 +3t +4t2 +4t +5 dt.

  • Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 (con esponente 1)

    N(x)

    (x)(x)(x) dx

    (con grado del numeratore minore del grado del denominatore)

    Cerco una scomposizione

    N(x)

    (x)(x)(x) =A

    x +B

    x +C

    x +

    con A,B,C, . . . costanti reali da stabilire.

  • Esercizio 9Trova una primitiva di

    1

    (x1)(x2)(x3) dx in ]3,4[.

  • Esercizio 101

    (x1)(x2 +3) dx =

  • Esercizio 111

    (x1)(x2)(x2 +3)[(x1)2 +5] dx =

  • Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 con esponente qualsiasi

    N(x)

    (x)h(x)k dx

    (con grado del numeratore minore del grado del denominatore)

    Cerco una scomposizione

    N(x)

    (x)h =A1

    x +A2

    (x)2 + +Ah

    (x)h+ B1

    x +B2

    (x)2 + +Bk

    (x)k

    con A1,A2, . . .Ah,B1,B2, . . .Bk costanti reali da stabilire.

  • Esercizio 121

    (x1)2(x2)(x+1)3 dx =

  • Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 con esponente qualsiasio di grado 2 con esponente 1

    N(x)

    (x)h[(x)2 +2] dx(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)

    Cerco una scomposizione

    N(x)

    (x)h[(x)2 +2] = A1x + A2(x)2 + + Ah(x)h+ Bx+C[

    (x)2 +2]con A1,A2, . . .B,C costanti reali da stabilire.

  • Esercizio 131

    (x1)2(x2 +3) dx =

  • Esercizio 141

    (x2 +1)2(x1)[(x3)2 +1] dx =

  • Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti i tipi

    Esercizio 151

    (x1)(x2)2[(x+1)2 +3](x2 +1)2 dx =

  • Esercizio 16Ricordando che J2 :=

    1

    (1+x2)2 dx =1

    2arctanx+ 1

    2

    x

    1+x2 +c, trova

    J3 :=

    1

    (1+x2)3 dx.

  • Esercizio 17

    Trova J4 :=

    1

    (1+x2)4 dx.

  • In generale,

    I1 =

    dx

    x2 +a2 =1

    aarctan

    x

    a+ c

    In+1 =

    dx

    (x2 +a2)n+1 =1

    2na2x

    (x2 +a2)n +2n12na2

    In

  • Esercizio 18

    Trova

    dx

    x(x2 +1)2 in ]0,+[.

  • Esercizio 19 /20

    sinx+cosx1+ sinx dx =

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