Corso di Analisi Matematica - Calcolo integrale per ...germinario/icd/integrali-hand.pdf · Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica

Corso di Analisi Matematica

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale

A.A. 2013/2014

Universita di Bari

ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 40

1 L’integrale come limite di somme

2 Classi di funzioni integrabili

3 Proprieta dell’integrale

4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale

5 Metodi per la ricerca di primitive

6 Integrali generalizzati

7 Funzioni integrali


Introduzione al calcolo integrale

Problemi che hanno portato alla nascita del calcolo integrale:

Definire e misurare l’area di una figura piana a contorno curvilineo.

Definire e misurare la lunghezza di una curva.

Fine 1600, inizio 1700: viene introdotto a questo scopo il concetto di

integrale come limite di somme e viene anche fornito un algoritmo per

il suo calcolo effettivo utilizzabile in casi generali.

Esempio: data f(x) = x2, calcoliamo la misura dell’area compresa tra

l’asse x e f(x) per x ∈ [0, 1].


La definizione di integrale

Sia f : [a, b]→ R limitata.

Consideriamo la suddivisione di [a, b] individuata dai punti

a = x0, x1, x2, . . . xn−1, xn = b

ove, per ogni j = 0, . . . , n

xj = a+ j · b− an

in modo che per ogni j = 1, . . . , n si abbia

xj − xj−1 =b− an

.



Consideriamo in ciascuno degli n intervalli [xj−1, xj ] un punto

arbitrario ξj .

Costruiamo la somma (detta di Cauchy–Riemann):

Sn =

n∑j=1

f(ξj) · (xj − xj−1) =b− an

n∑j=1

f(ξj).

Passiamo al limite per n→ +∞.

Si osservi che i punti ξj scelti ad ogni posso possono essere diversi da

quelli scelti nei passi precedenti o successivi.



Definizione

Si dice che una funzione limitata f : [a, b]→ R e integrabile in [a, b] se,

detta Sn una sua qualsiasi successione di Cauchy–Riemann, esiste finito

limn→+∞

Sn

e non dipende dalla scelta i punti ξj ad ogni passo della costruzione

iterativa.

In tal caso si pone

limn→+∞

Sn =

∫ b

af(x)dx.

Il simbolo ∫ b

af(x)dx

si chiama integrale di f(x) da a a b.


Interpretazione geometrica

Sia f ≥ 0 e continua.

Ogni addendo della somma di Cauchy–Riemann rappresenta l’area del

rettangolo avente come base il segmento [xj−1, xj ] e come altezza

f(ξj).

La somma Sn rappresenta un’approssimazione dell’area della parte di

piano compreso tra l’asse x, a ≤ x ≤ b, e il grafico di f (trapezoide

individuato da f).

Passando al limite per n→ +∞ si ha

Sn →∫ b

af(x)dx

che si puo definire come area del trapezoide.

Se f cambia segno, l’integrale rappresenta una somma di aree con

segno.


Classi di funzioni integrabili

Teorema

Sia f : [a, b]→ R una funzione continua. Allora f e integrabile.

Teorema

Sia f : [a, b]→ R una funzione limitata e monotona. Allora f e integrabile.

Teorema

Se f1[a, b]→ R e f2 : [b, c]→ R sono integrabili allora

f(x) =

{f1(x) se x ∈ [a, b)

f2(x) se x ∈ (b, c]

(f definita in qualsiasi modo in b) e integrabile in [a, c].


Esempi

Ogni funzione costante f(x) = c e integrabile su qualunque intervallo

[a, b] e ∫ b

af(x)dx = c(b− a).

La funzione di Dirichlet f : [0, 1]→ R definita da

f(x) =

{1 se x ∈ [0, 1] ∩Q;

0 se x ∈ [0, 1]\Q

non e integrabile.


Proprieta dell’integrale

Proposizione (Linearita dell’integrale)

Siano f, g : [a, b]→ R integrabili in [a, b].

Allora per ogni α, β ∈ R anche αf + βg e integrabile e∫ b

a(αf(x) + βg(x)) dx = α

∫ b

af(x)dx+ β

∫ b

ag(x)dx.



Proposizione (Additivita dell’integrale)

Sia f : [a, b]→ R integrabile in [a, b]. Se a ≤ r ≤ b allora f e integrabile

anche su [a, r] e [r, b] e∫ b

af(x)dx =

∫ r

af(x)dx+

∫ b

rf(x)dx.

Convenzione: ∫ a

af(x)dx = 0.

Se a > b si definisce ∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx.

Allora la formula precedente vale qualunque sia l’ordinamento dei punti

a, b, r.ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 40


Proposizione (Positivita e monotonia dell’integrale)

Siano f, g : [a, b]→ R integrabili in [a, b].

Allora

f ≥ 0 ⇒∫ b

af(x) ≥ 0;

f ≥ g ⇒∫ b

af(x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx.

Conseguenza: ∣∣∣∣∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(x)| dx.



Teorema (della media)

Sia f : [a, b]→ R una funzione continua in [a, b]. Allora esiste c ∈ [a, b]

tale che1

b− a

∫ b

af(x)dx = f(c).

Interpretazione geometrica: se f ≥ 0, l’area sottesa dal grafico di f in

[a, b] e uguale all’area di un rettangolo di base [a, b] e altezza

opportuna f(c).


Il teorema fondamentale del calcolo integrale

La definizione di integrale non e agevole da usare per il suo calcolo

effettivo.

Il metodo piu usato per il calcolo dell’integrale di una funzione

richiede l’uso della nozione di primitiva.

Definizione

Sia f : [a, b]→ R una funzione. Una primitiva di f e una funzione

G : [a, b]→ R derivabile in [a, b] e tale che

G′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].


Proprieta delle primitive

Proposizione

Sia f : [a, b]→ R una funzione.

se G : [a, b]→ R e una primitiva di f , allora, per ogni c ∈ R, G+ c e

una primitiva di f ;

se G1, G2 : [a, b]→ R sono due primitive di f , allora esiste c ∈ R tale

che G1 = G2 + c.


Esempi

Una funzione che non ammette primitive:

sia f : [−1, 1]→ R definita da

f(x) =

{−1 se x ∈ [−1, 0);1 se x ∈ [0, 1].

Vedremo che ogni funzione continua ammette primitive.


Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema

Sia f : [a, b]→ R una funzione continua in [a, b]. Se G : [a, b]→ R e una

primitiva di f allora ∫ b

af(x)dx = G(b)−G(a).

Per indicare G(b)−G(a) di solito si usa il simbolo

[G(x)]ba.

Si prova che ogni f : [a, b]→ R continua ammette una primitiva.

Succede talvolta che tale primitiva non sia esprimibile tramite le

funzioni elementari.


Integrale indefinito

Definizione

Sia f : [a, b]→ R.

L’insieme i cui elementi sono le primitive di f si chiama integrale indefinito

di f e si denota con il simbolo ∫f(x)dx.

Dato che le primitive di f , se esistono, differiscono per una costante si

scrive ∫f(x)dx = G(x) + c c ∈ R

(G primitiva di f).


Alcune primitive

Leggendo la tabella delle derivate delle funzioni elementari:∫kdx = kx+ c k ∈ R;∫xpdx =

xp+1

p+ 1+ c p 6= −1;∫

1

xdx = log |x|+ c x < 0 oppure x > 0;∫

axdx =ax

log a+ c;∫

exdx = ex + c;∫senxdx = − cosx+ c;∫cosxdx = senx+ c;


Alcune primitive

∫1

cos2 xdx =

∫(1 + tg2x)dx = tg x+ c;∫

1

1 + x2dx = arctg x+ c;∫

1√1− x2

dx = arcsenx+ c.


Integrazione per scomposizione

Date f e g funzioni continue e α, β ∈ R, dalla linearita della derivata

segue che ∫(αf(x) + βg(x)) dx = α

∫f(x)dx+ β

∫g(x)dx.

Questa proprieta e stata gia vista per l’integrale definito (vedere la

proprieta di linearita dell’integrale).


Integrazione per sostituzione, integrale indefinito

Siano

ϕ : [a, b]→ R una funzione derivabile in [a, b] con derivata continua

tale che ϕ([a, b]) ⊂ I, I ⊂ R intervallo;

f : I → R una funzione continua in I.

Allora ∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx =

[∫f(t)dt

]t=ϕ(x)

.


Integrazione per sostituzione, integrale definito

Siano

ϕ : [a, b]→ R una funzione derivabile in [a, b] con derivata continua

tale che ϕ([a, b]) ⊂ I, I ⊂ R intervallo;

f : I → R una funzione continua in I.

Allora ∫ b

af(ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x)dx.


Simmetrie

Sia f : [−k, k]→ R.

Se f e pari, allora ∫ k

−kf(x)dx = 2

∫ k

0f(x)dx.

Se f e dispari, allora ∫ k

−kf(x)dx = 0.


Integrazione di funzioni razionali

Calcolo di integrali del tipo ∫Pn(x)

Qm(x)dx

ove Pn e Qm sono polinomi di grado n ed m rispettivamente.

Se n ≥ m, eseguire la divisione tra polinomi.

Se n < m, distinguiamo tre casi:I m = 1 (immediato);I m = 2;I m > 2.


Integrazione di funzioni razionali, denominatore di

grado 2

In tal caso Qm(x) ≡ Q(x) = ax2 + bx+ c.

Occorre distinguere tre casi:

Q(x) ha due radici distinte;

Q(x) e un quadrato perfetto;

Q(x) non si annulla mai.


Integrazione per parti

Se f e g sono derivabili in [a, b] si ha

(fg)′ = f ′g + fg′

ossia

fg′ = (fg)′ − f ′g.

Allora prendendo l’integrale indefinito di ambo i membri e osservando che∫(fg)′(x)dx = f(x)g(x)

si trova la formula di integrazione per parti:∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x)dx.


Integrazione per parti

Per l’integrale definito vale la formula:∫ b

af(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −

∫ b

af ′(x)g(x)dx.


Integrazione di funzioni non limitate

Sia f : [a, b)→ R continua e tale che

limx→b−

f(x) = ±∞.

Si considera il limite

limε→0+

∫ b−ε

af(x)dx. (1)

Definizione

Se il limite (1) esiste finito si dice che f e integrabile in senso improprio in

[a, b) o che l’integrale∫ ba f(x)dx e convergente.

Se il limite (1) e uguale a ±∞ l’integrale si dice divergente.

Se il limite (1) non esiste si dice che l’integrale non esiste.



Analoghe definizioni si hanno se f : (a, b]→ R e continua e tale che

limx→a+

f(x) = ±∞.

Si considera il limite

limε→0+

∫ b

a+εf(x)dx. (2)

Definizione


(a, b] o che l’integrale∫ ba f(x)dx e convergente.





In simboli, nel primo caso si scrive∫ b

af(x)dx = lim

ε→0+

∫ b−ε

af(x)dx,

nel secondo caso si scrive∫ b

af(x)dx = lim

ε→0+

∫ b

a+εf(x)dx.


Criteri di integrabilita al finito

Siano f, g : [a, b)→ R continue e tali che

limx→b−

f(x) = limx→b−

g(x) = +∞.

Criterio del confronto: Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x) in [a, b) allora

g integrabile ⇒ f integrabile,

f non integrabile ⇒ g non integrabile.


Criteri di integrabilita al finito

Criterio del confronto asintotico: Se f > 0 e g > 0 e f ∼ g per x→ b−

allora

f integrabile ⇔ g integrabile.

Teorema

∫ b

a|f(x)|dx convergente ⇒

∫ b

af(x)dx convergente.


Integrazione su intervalli illimitati

Sia f : [a,+∞)→ R continua. Si considera il limite

limω→+∞

∫ ω

af(x)dx. (3)

Definizione


[a,+∞) o che l’integrale∫ +∞a f(x)dx e convergente.





Analogamente se f : (−∞, b]→ R e continua, si considera il limite

limω→−∞

∫ b

ωf(x)dx. (4)

Definizione


(−∞, b] o che l’integrale∫ b−∞ f(x)dx e convergente.





In simboli, si scrive ∫ +∞

af(x)dx = lim

ω→+∞

∫ ω

af(x)dx,

∫ b

−∞f(x)dx = lim

ω→−∞

∫ b

ωf(x)dx.

Inoltre se f : R→ R e continua si pone∫ +∞

−∞f(x)dx =

∫ c

−∞f(x)dx+

∫ +∞

cf(x)dx.

dove c ∈ R e scelto arbitrariamente.


Criteri di integrabilita all’infinito

Siano f, g : [a,+∞)→ R continue.

Criterio del confronto: Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x) in [a,+∞). Allora

g integrabile ⇒ f integrabile,

f non integrabile ⇒ g non integrabile.

Criterio del confronto asintotico: Se f > 0 e g > 0 e f ∼ g per x→ +∞allora

f integrabile ⇔ g integrabile.

Teorema

∫ +∞

a|f(x)|dx convergente ⇒

∫ +∞

af(x)dx convergente.


Funzioni integrali

Sia f una funzione integrabile in un intervallo I.

Si fissi x0 ∈ I e si faccia variare x ∈ I.

E ben definito ∫ x

x0

f(t)dt

e, quindi, la funzione

F : x ∈ I 7→∫ x

x0

f(t)dt.

La funzione F prende il nome di funzione integrale associata ad f .


Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema

Sia f : [a, b]→ R una funzione integrabile, sia x0 ∈ [a, b] e sia

F (x) =

∫ x

x0

f(t)dt.

Allora

1 F e continua in [a, b];

2 se f e continua in [a, b], F e derivabile in [a, b] e

F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].


Osservazioni

La seconda parte del teorema afferma che F e una primitiva di f se f

e continua. Quindi ogni funzione continua ammette una primitiva (la

sua funzione integrale).

Regolarita:

f continua, F ′ = f ⇒ F ′ continua cioe F e derivabile con derivata

continua.

f derivabile con derivata continua, F ′ = f ⇒ F ′ derivabile e F ′′ = f ′

⇒ F ′′ continua cioe F e derivabile due volte con derivate continue.

In generale la funzione integrale ha sempre un grado di regolarita in

piu rispetto alla funzione integranda.


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