CONTROLADORES PID INDUSTRIAIS COM

SINTONIA AUTOMTICA POR

REALIMENTAO A REL

Jos Roberto Caon Jnior

Dissertao apresentada Escola deEngenharia de So Carlos da Universidade deSo Paulo como parte dos requisitos paraobteno do ttulo de Mestre em EngenhariaEltrica

Orientadora: Profa. Dra. Vilma Alves de Oliveira

So Carlos1999

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Professora Dra. Vilma Alves de Oliveira, pela excelente orientao fornecidadurante a elaborao deste trabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico (CNPq)pela bolsa de estudo concedida.

A todos os colegas, professores e funcionrios do Departamento de EngenhariaEltrica da EESC/USP pela colaborao.

A empresa INCON Eletrnica Ltda. pela documentao e aparelhos fornecidospara uso nos experimentos.

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SUMRIO1. Introduo............................................................................................12. Controladores Industriais ..................................................................4

2.1 Efeito Reset - Windup....................................................................................... 62.2 Filtragem (atraso) no termo derivativo ........................................................... 72.3 Ponderao da referncia no termo proporcional ......................................... 8

Ganho do processo normalizado elevado (2.25 < k < 15) ....................................................... 10Ganho do processo normalizado pequeno (1.5 < k < 2.25) ..................................................... 11

2.6 Implementao Digital.................................................................................... 12Discretizao ............................................................................................................................... 12Ao proporcional ...................................................................................................................... 13Ao integral ............................................................................................................................... 13Ao derivativa ........................................................................................................................... 13Forma incremental ..................................................................................................................... 15

3. Sintonia de Controladores PID.......................................................163.1 Sintonia Automtica pelo Mtodo de Astrom-Hagglund ............................ 18

Sintonia pela especificao da margem de ganho .................................................................... 19Sintonia pela especificao da margem de fase ........................................................................ 20

3.2 Sintonia pelo Mtodo de W. Khuen Ho, C. Chieh Hang, L. S. Cao ........... 22Frmula para sintonia PI ........................................................................................................... 22Frmula para sintonia PID ........................................................................................................ 26

3.3 Sintonia pelo Mtodo timo No-Simtrico................................................. 27Modelo da planta ........................................................................................................................ 27Mtodo timo simtrico.............................................................................................................. 29Otimizao do ganho e ponto timo de tangncia.................................................................... 30

3.4 Re-sintonia Automtica de Controladores PI em Malhas de ControleOscilantes ............................................................................................................... 34

Identificao do Sistema............................................................................................................. 34Anlise das oscilaes ................................................................................................................. 35Oscilaes assimtricas............................................................................................................... 38Sintonia do controlador PI......................................................................................................... 40

3.5 Critrios de Otimizao Baseados em ndices Quadrticos de Desempenho................................................................................................................................. 42

Critrios de otimizao............................................................................................................... 42Sintonia de controladores PID timos....................................................................................... 44Critrio de desempenho integral utilizado................................................................................ 45Sintonia tima dos parmetros usando o ganho e freqncia crticos ................................... 45Sintonia tima dos parmetros pelas margens de fase e ganho (MFG) ................................. 48

4. Processos Industriais de Temperatura de 1 Ordem com TempoMorto ......................................................................................................505. Processo Industrial Utilizado ...........................................................53

5.1 Controlador Microprocessado ....................................................................... 535.2 Sensores de Temperatura ............................................................................... 565.3 Acionamento da Planta por PWM................................................................ 585.4 Planta Trmica para Teste ............................................................................ 59

6. Simulaes..........................................................................................626.1 Processos Utilizados ........................................................................................ 62

Ciclo Limites e Sintonia Automtica......................................................................................... 63Comparaes e Discusses ......................................................................................................... 69

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6.2 Diagramas de Simulao ............................................................................... 717. Implementao da Tcnica de Auto-Sintonia por Realimentao aRel..........................................................................................................74

7.1 Linguagem, Descrio dos Parmetros do Controlador PID em termos deBandas e Condies Necessrias para Oscilao Simtrica a Rel................... 75

Linguagem................................................................................................................................... 75Descrio dos parmetros do controlador PID em termos de bandas.................................... 75Condies Necessrias para obter Oscilao Simtrica no Experimento a Rel ................... 78

7.2 Questes Prticas de Implementao ............................................................ 80Ao integral ............................................................................................................................... 80Reconhecimento de picos e vales ............................................................................................... 80Influncia do perodo do PWM na resposta do controlador PID........................................... 81

7.3 Algoritmo de Sintonia Automtica e Descrio das Rotinas Desenvolvidas828. Resultados Experimentais ..............................................................86

8.1 Identificao de Modelo do Processo e Experimento a Rel ....................... 868.2 Estabilidade ..................................................................................................... 87

9. Concluses..........................................................................................91Referncias .............................................................................................94Apndice A .............................................................................................98Apndice B ...........................................................................................109

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 01. (a) Diagrama de bloco do controlador on-off; (b) forma de onda tpica da sada. .......... 4FIGURA 02. (a) Diagrama em bloco do controlador on-off com histerese; (b) forma de onda tpica

da sada. .......................................................................................................................................... 5FIGURA 03. Diagrama em bloco do controlador proporcional. ........................................................... 5FIGURA 04. Diagrama em bloco do controlador PID. .......................................................................... 6FIGURA 05. Sobre-sinal excessivo na resposta ao degrau para controle PID por Ziegler-Nichols, e

reduo do mesmo pela aplicao do fator de ponderao = 0.45 para e s0 4. /(1+s)2 . .............. 9FIGURA 06. Porcentagem de sobre-sinal e sub-sinal para controle PID por Ziegler-Nichols. ........... 10FIGURA 07. Fator de ponderao para controle PID. ........................................................................ 11FIGURA 08. Fator de ponderao e taxa de modificao do tempo integral para controle PID. ......... 12FIGURA 09. Diagrama em bloco da auto-sintonia. O sistema opera com um controlador a rel no

modo sintonia (t) e como controlador PID no modo (c). .............................................................. 19FIGURA 10. O ponto dado pode ser movido para uma posio arbitrria no plano-G pelos

controladores PI, PD ou PID. O ponto A pode ser movido nas direes G(jw), G(jw)/jw ejwG(jw) pela variao dos ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente. ............ 20

FIGURA 11. Aproximao da funo arco-tangente........................................................................... 24FIGURA 12. Regio de especificao para margem de fase e ganho.................................................. 26FIGURA 13. (a) Sintonia pelo Mtodo timo Simtrico; (b) Sintonia pelo Mtodo timo No

Simtrico;...................................................................................................................................... 31FIGURA 14. Arranjo do experimento controlador PI saturado, consistindo de um controlador PI

convencional e nveis de saturao sobre a entrada do processo e o processo. ............................ 35FIGURA 15. Sinais de entrada (u) do processo e sada (y) durante o experimento de identificao. O

processo exp(-80s)/(455s+1) com referncia r = 50, nveis de saturao 0 e 100 e controladorPI dado por Kc = 10 e Ti = 200. .................................................................................................... 35

FIGURA 16. No linearidade saturao ideal. .................................................................................... 36FIGURA 17. O ponto P sobre a curva de Nyquist identificado no terceiro quadrante pelo ngulo de

identificao P . Com um controlador PI este ponto pode ser movido para o ponto S que especificado pelo ngulo S e magnitude rS . ................................................................................ 37

FIGURA 18. A proposta da funo descritiva mais bias estimar um ganho mdio de reduo deamplitude dado pela no linearidade. ........................................................................................... 38

FIGURA 19. Ilustrao de como um perodo do sinal v passa atravs da no linearidade saturaodando um perodo do sinal u......................................................................................................... 40

FIGURA 20. Relaes entre os parmetros PID e o ponto crtico........................................................ 46FIGURA 21. Relaes entre os parmetros PI e o ponto crtico. ........................................................ 47FIGURA 22. Relao entre movimento do ponto crtico e k. .............................................................. 49FIGURA 23. Caracterstica de ngulo de fase para o termo e Ls . ..................................................... 51FIGURA 24. Diagrama de Bode da funo de transferncia de primeira ordem mais tempo morto

para os valores L = 0.5 e T = 1. .................................................................................................... 52FIGURA 25. Diagrama de Nyquist da funo de transferncia (2.48a) para L=0.5 e T=1. ................ 52FIGURA 26. Frontal do controlador industrial utilizado na implementao dos algoritmos de controle

PID e sintonia automtica. ............................................................................................................ 53FIGURA 27. Diagrama em blocos do microcontrolador 80535. ......................................................... 55FIGURA 28. (a) Ajuste de tenses internas a faixas de tenses externas das entrada analgicas; (b)

Operao do conversor A/D interno para converso resultante de 10 bits. .................................. 56FIGURA 29. Sensores PT100 e Termopar tipo J, da esquerda para a direita...................................... 57FIGURA 30. (a) Sada do PWM; (b) CT com valor correto; (c) CT com valor muito elevado.............. 58FIGURA 31. Processo industrial exemplo: mini-forno......................................................................... 59FIGURA 32: Diagrama em bloco do sistema de controle a malha fechada.......................................... 60FIGURA 33. Funes de transferncia aproximadas para o mini-forno. .............................................. 61FIGURA 34. Resposta temporal a entrada tipo degrau dos processos: (a) I e II; (b) III e (c ) IV. ..... 62

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FIGURA 35. Ciclos limites alcanados para os processos por oscilao a rel: (a) I: d = 5, ao = 0,48 eto = 0,38s; (b) II: d = 1, ao = 0,63 e to = 2,98s; (c ) III: d = 1, ao = 1,0 e to = 174,0s e (d) IV: d =15, ao = 0,75 e to = 129,6s............................................................................................................. 63

FIGURA 36. Ciclos limites alcanados pelos quatro processos pelo mtodo de Friman (referncia =1): (a) I : Kc = 4, Ti = 0,05; (b) II : Kc = 5, Ti = 3; (c ) III : Kc = 5, Ti = 100 e (d) IV: Kc = 50, Ti =100. ............................................................................................................................................... 64

FIGURA 37. Resposta ao degrau unitrio com os controladores obtidos pelos 5 mtodos................. 65FIGURA 38. Resposta ao degrau unitrio com os controladores obtidos pelos 5 mtodos................. 66FIGURA 39. Resposta ao degrau unitrio com o controlador obtido por 3 dos 5 mtodos................. 67FIGURA 40. Resposta ao degrau unitrio com os controladores obtidos pelos 5 mtodos.................. 68FIGURA 41. Diagrama utilizado para gerao do ciclo limite dos processos I, II, III e IV. ............... 71FIGURA 42 . Malha fechada com controlador PID para obteno da resposta ao degrau................... 72FIGURA 43. Diagrama de simulao contendo todos os elementos presentes na malha para realizao:

(a) do experimento a rel; (b) do controle a malha fechada com controlador PID. ...................... 73FIGURA 44. Exemplo de ganho proporcional do controlador PID apresentado como uma banda..... 76FIGURA 45. Exemplo da ao de reset do controlador PI.................................................................. 77FIGURA 46. Ilustrao da banda derivativa do controlador PD. ........................................................ 78FIGURA 47. Correo de distrbio de carga durante o procedimento de sintonia automtica para o

processo se 2 /(10s+1); (a) Sem a perturbao o rel chaveado em 0, (b) Uma perturbao de3C aplicada, (c) Correo: um bias de -3C aplicado na sada do rel.................................. 80

FIGURA 48. Efeito do chaveamento do PWM na forma de onda da sada do processo para e-80s/(430s+1) e CT = 10s durante o experimento de oscilao a rel. ............................................. 81

FIGURA 49. Efeito do PWM na forma de onda da sada do processo para e-80s/(430s+1), controladorPID com Kc = 2,4 Ti = 446, Td = 35 e Ref = 50 C : (a) CT = 10s ; (b) CT = 100s ........................ 82

FIGURA 50: Sintonia automtica do mini-forno (teste 5 da Tabela 10); de 0 a 1050s fase de estimaodos parmetros do modelo de primeira ordem mais tempo morto, de 1050s a 1755s fase desintonia automtica dos parmetros do controlador PID. ............................................................. 87

FIGURA 51: Diagrama de Nyquist do controlador Kc = 13,8 , Ti = 829,5s , Td = 27s e processo comvariao nos parmetros; (a) Pior caso: L = 41s, T = 207,7s , Kp = 0,74 , Am = 2,0 e m = 79,6;(b) Nominal: L = 34s, T = 247,1s , Kp = 0,69, Am = 2,7 e m = 84,9; (c) Melhor caso: L = 25s, T= 265,7s , Kp = 0,63 , Am = 3,3 e m = 89,0. ............................................................................... 88

FIGURA 52: Resposta ao degrau simulada (referncia = 50C) com o controlador Kc = 13,8 , Ti =829,5s , Td = 27s ; (a) Pior caso; (b) Nominal; (c) Melhor caso. .................................................. 89

FIGURA 53: Mudana da referncia ( para 15C) em 3000 s com controlador para o mesmo caso daFigura 52....................................................................................................................................... 89

FIGURA 54: Resposta do mini-forno com mudana da referncia (de 75,0C para 40,0C) comcontrolador PID do teste 5 programado no controlador de temperatura industrial. ...................... 90

FIGURA A1. Curvas de amplitude em funo da frequencia para oscilaes naturais para o sistemadado por (A1). ............................................................................................................................. 99

FIGURA A2. (a) Caracterstica de entrada-sada para no-linearidade tipo liga-desliga; (b) formas deonda de entrada e sada. .............................................................................................................. 104

FIGURA A3. Funo descritiva da no-linearidade tipo liga-desliga. .............................................. 104FIGURA A4. (a) Curva entrada-sada para no-linearidade tipo liga-desliga com histerese; (b) formas

de onda de entrada e sada. ......................................................................................................... 105FIGURA A5. Funo descritiva da no-linearidade tipo liga-desliga com histerese, (a) Fase, em graus

e (b) Amplitude........................................................................................................................... 106FIGURA A6. Sistema de controle no-linear. ................................................................................... 107FIGURA A7. Anlise da estabilidade de operaes de ciclo limite para sistemas no-lineraes. ....... 108FIGURA B1. Ambiente de simulao com diversas janelas ativas. ................................................. 111

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LISTA DE TABELASTABELA 1: Frmula de sintonia PI para critrio ITSE (1)................................................................. 47TABELA 2: Frmula de sintonia PID para critrio ITSE (1).............................................................. 47TABELA 3: Frmula de sintonia PI para critrio ITSE (2)................................................................. 48TABELA 4: Frmula de sintonia PID para critrio ITSE (2).............................................................. 48TABELA 5: Valores dos parmetros do controlador e margens de ganho e fase para o processo I. ... 65TABELA 6: Valores dos parmetros do controlador e margens de ganho e fase para o processo II... 66TABELA 7: Valores dos parmetros do controlador e margens de ganho e fase para o processo III. 67TABELA 8: Valores dos parmetros do controlador e margens de ganho e fase para o processo IV. 68TABELA 9: Caractersticas das rotinas implementadas. .................................................................... 85TABELA 10: Resultados experimentais para estimativas de L, T , KP , parmetros crticos (ao e to) e

respectivos parmetros do controlador PID calculados para o mini-forno. .................................. 86

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LISTA DE SMBOLOS

a: valor medido para a sada do processo para experimento a rel em malha fechada.

ao: valor exato da sada do processo para experimento a rel em malha fechada.

aREF : valor desejado para a sada do processo durante o experimento a rel.

aPOS : valor do semi-ciclo positivo da oscilao assimtrica durante o experimento a rel.

aNEG : valor do semi-ciclo negativo da oscilao assimtrica durante o experimento a rel.

aV : amplitude da sada do controlador PI durante o experimento controlador PI saturado.

aY : amplitude da oscilao de sada do processo durante o experimento controlador PI

saturado.

A/D: conversor analgico/digital.

Am: margem de ganho.

BD: banda derivativa.

BI: banda integral.

bias: valor do bias do rel.

BP: banda proporcional.

CT: tempo de ciclo da sada (perodo do PWM).

d: amplitude do rel.

D: operador derivada ( ddt

).

EPROM: memria somente de leitura programvel e apagvel.

EEPROM: memria somente de leitura programvel e apagvel eletricamente.

f1 : funo auxiliar para o calculo de Np.

G(s): funo de transferncia do processo de 1a. ordem mais tempo morto.

Gq(s): funo de transferncia do processo de 1a. ordem mais integrador.

Gpi(s): funo de transferncia do controlador PI.

j: unidade imaginria ( j = 1 )

k: valor calculado para o ganho do processo normalizado.

ko: valor exato do ganho do processo normalizado.

KCR: valor calculado para o ganho crtico.

Ko: valor exato do ganho crtico.

Kc: ganho do controlador proporcional.

Kq: ganho integrativo do processo.

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Kp: ganho esttico do processo (processos com auto-regulao).

KPI : contribuio de ganho do controlador PI.

Kv: ganho do processo para sistemas sem auto-regulao.

L: tempo morto.

Mg : magnitude da malha aberta no ponto de tangncia.

M(w) : magnitude da malha fechada na freqncia w.

MSB: byte mais significativo.

N: constante de limitao para o ganho derivativo em altas freqncias.

N(a): ganho da no linearidade saturao ideal.

Np: ganho da no linearidade saturao ideal entrada senoidal com offset.

PID: proporcional - integral - derivativo.

PWM: modulao por largura de pulso.

RAM: memria de acesso randmico.

rP : ganho do processo na freqncia de identificao.

rS : valor mnimo para a margem de ganho.

tCR: valor calculado para o perodo crtico.

to: valor exato do perodo crtico.

tK: instante de tempo da amostra k

ts: valor do tempo de amostragem.

tp: valor de tempo em que a sada permanece ligada.

T: constante de tempo de processos com auto-regulao.

Td: tempo derivativo.

Ti: tempo integral.

To: constante de tempo aproximada do processo integrativo.

Tq: constante de tempo do processo integrativo.

Tv: constante de tempo de processos sem auto-regulao.

uMAX : nvel mximo de saturao para o experimento controlador PI saturado.

uMIN : nvel mnimo de saturao para o experimento controlador PI saturado.

uo : mdia aritmtica dos nveis de saturao para o experimento controlador PI saturado.

vMAX : valor mximo da sada do controlador PI durante o experimento controlador PI

saturado.

vMIN : valor mnimo da sada do controlador PI durante o experimento controlador PI

saturado.

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vo : metade do valor pico-a-pico da sada do controlador PI durante o experimento

controlador PI saturado.

wCR: valor calculado para a freqncia angular crtica.

wo: valor exato para a freqncia angular crtica.

: fator de correo para clculo do tempo integral.

: fator de ponderao do sinal de referncia.1: tempo morto normalizado.m: margem de ganho.g: fase da malha aberta no ponto de tangncia.p: ngulo de identificao.PI: contribuio de fase do controlador PI.s: valor mnimo para a margem de fase.

: fator de correo de ganho do controlador PI.: taxa de modificao do tempo integral.: argumento da funo f1 . : ndice de desempenho.

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Resumo

O presente trabalho tem por objetivo a implementao de algoritmos de controle do

tipo PID com sintonia automtica de seus parmetros para controle de processos trmicos de

primeira ordem mais tempo morto. Existe um grande nmero de mtodos para a sintonia

automtica, os quais requerem informaes variadas sobre o processo. A sintonia automtica

dos parmetros do controlador escolhida para implementao baseada no mtodo da

realimentao a rel que utiliza o ganho esttico e o perodo e amplitude crticos do processo

e pode ser facilmente adotada na indstria. Este mtodo foi implementado em um

controlador industrial microprocessado que utiliza um microcontrolador da famlia 8051. A

correta identificao dos parmetros crticos do processo presume a gerao de oscilaes

simtricas durante a realimentao a rel. O algoritmo de sintonia automtica desenvolvido

inclui correo em tempo real da amplitude do rel para evitar identificao falsa de um

ciclo da oscilao e da assimetria na sada do processo durante a realimentao a rel. A

implementao do algoritmo simples e direta em termos de programao no ambiente de

microcontroladores mesmo em linguagem de baixo nvel (assembly). So apresentados

resultados de simulao e os resultados experimentais realizados em um aparelho industrial

comercial.

Palavras Chave: Controladores PID industriais, sintonia automtica, mtodo a rel,

oscilaes simtricas, controle de temperatura

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Abstract

The objective of this work is the implementation of a PID control algorithm with auto-

tuning for a thermal first order process plus dead-time. There is a number of methods for

the auto-tuning of PID controllers which require different information on the process. The

auto-tuning algorithm is implemented in a industrial controller based on the 8051

microcontroller family. The auto-tuning method considered for implementation is based on

the relay feedback procedure which require the process steady state gain and the ultimate

point on the Nyquist plot and can be easily adopted by industry. The method is also suited

for pre-tuning adaptive controllers. The auto-tuning method used assume symmetrical

oscillations during the relay feedback experiment to render the correct ultimate point on the

Nyquist plot The proposed auto-tuning algorithm includes on-line correction for asymmetry

oscillation and relay amplitude to avoid false capture of the limit cycle. The symmetrical

oscillations are ensured by a DC bias signal added to the relay output. The algorithm is

simply and straight to be written in a microcontroller programming language. Experimental

results accomplished in a industrial PID auto-tuner are presented.

Key Words: Industrial PID control, auto-tuning, relay method, symmetrical oscillations.

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1. Introduo

Temperatura, sem dvida alguma, uma das grandezas fsicas mais medidas e controladas

em todo o mundo, seja em ambiente industrial (fornos, estufas, reatores qumicos, etc) ou na

climatizao de ambientes (residenciais, shopping-centers, hospitais, etc.). Seu valor muitas

vezes determina a qualidade de um produto, a eficincia de um processo ou o bem estar de

um ambiente.

Em um mercado cada vez mais exigente, tendo disposio um leque de ofertas muito

diversificado, que busca por produtos de maior qualidade e confiabilidade, est claro que

qualidade fator de sucesso e de sobrevivncia de uma empresa.

neste cenrio que a srie de normas sobre sistemas de qualidade denominada ISO

9000 tm conduzido as aes industriais mundiais para melhoria e garantia da qualidade.

Esta srie, composta por cinco normas numeradas de 9000 a 9004, apresenta condies

bastante exigentes que permitem indstria apresentar produtos e servios competitivos em

nvel internacional, trazendo ao ambiente industrial a necessidade de um controle quase que

total sobre mquinas e processos. Isto d a engenharia de controle a obrigao de fornecer

solues tericas e prticas para atender as exigncias das normas industriais nacionais e

internacionais.

Desta forma o processo de automao industrial aumentou vertiginosamente na ltima

dcada visando obter produtos e servios com menor tempo de produo, menor consumo de

energia, maior preciso de ajuste e medidas, graas a maior eficincia nos processos de

produo industrial.

neste contexto que os controladores industriais microprocessados tornaram-se peas

fundamentais produo industrial. Maior eficincia, maior confiabilidade e menor nmero

de trabalhadores necessrios na atuao e superviso de processos so as principais

caractersticas trazidas com o uso destes controladores microprocessados na indstria.

No panorama internacional, estes aparelhos surgiram para atender a demanda

industrial a partir de meados dos anos 1980. Estes apresentavam esquemas de controle

variados: controlador PID e auto-ajuste de parmetros (self-tuning), controlador adaptativo

de uso geral, controlador PID adaptativo, controlador PID e auto-sintonia (auto-tuning) e

vrios outros; hoje um s aparelho reuni todas estas caractersticas (controle PID, auto-

sintonia e auto-ajuste) e outras indicaes de interesse industrial como indicao da potncia

de sada, sadas para alarme, tipo de entrada (sensor) configurvel por software, etc.

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No panorama nacional infelizmente no h aparelhos equivalentes a estes, os

dispositivos nacionais so limitados ao controle tipo on-off e somente poucas empresas tm

atuado no sentido de buscarem para seus produtos caractersticas semelhantes ao produtos

estrangeiros. Por exemplo somente em 1993, a Smar Equipamentos Industriais Ltda

colocou no mercado equipamentos dotados de algoritmo de controle PID e em 1996 a

possibilidade de auto-ajuste da varivel de processo; a empresa Novus Ltda. somente a partir

de 1996 colocou no mercado nacional um aparelho capaz de realizar a sintonia automtica

de parmetros. Desta forma a sintonia de parmetros dos processos industriais ainda feita

na maioria das vezes manualmente ou por meio de grficos. A sada frente a necessidade

imediata de um aparelho mais completo , portanto, recorrer a importao dos produtos

estrangeiros que hoje apresenta o inconveniente das altas taxas de importao. Desta forma

a necessidade do desenvolvimento de aparelhos nacionais microprocessados para a

indstria, similares aos importados, altamente conveniente e desejvel.

Portanto na indstria brasileira h uma demanda reprimida por aparelhos

microprocessados de menor custo que apresentem caractersticas de controle estveis,

confiveis, eficientes e com uma interface amigvel para os operadores. De modo que estes

no necessitem ter conhecimentos mais profundos sobre a teoria aplicada e na programao

do dispositivo. Isto ainda contribui para eliminar a figura do operador especializado que o

nico a conseguir acertar a sintonia manual dos parmetros de controle para os processos

industriais.

Atualmente outras formas de controle de processos esto surgindo com a utilizao de

lgica difusa (controle fuzzy) e redes neurais, contudo estes trabalhos situam-se ainda no

plano acadmico e sua implementao efetiva em larga escala no ambiente industrial ainda

so tmidas ou praticamente inexistentes e vo levar tempo para surgirem como uma opo

concreta a mais de utilizao.

A concorrncia mais forte com os aparelhos microprocessados o controle por

microcomputador devido a elevada velocidade e poder de processamento dos

microcomputadores que tornam possvel a implementao de esquemas de controle mais

sofisticados, em tempo real e com opo para monitorao grfica dos processos. No

entanto com o aparecimento de microcontroladores cada vez mais velozes, mais poderosos

(16 e 32 bits), com conversores A/D e D/A e PWM integrados na mesma pastilha a disputa

fica equilibrada e com espao no meio industrial para ambas as opes.

Da experincia acumulada e aplicaes industriais j realizadas e bem sucedidas fica

claro que nenhum mtodo utilizado ir resolver sozinho todos os problemas encontrados na

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indstria. H limitaes em todos eles e seu uso s ser definido aps extensiva anlise do

problema e parmetros considerados relevantes; h muitos casos em que mais conveniente

o uso de mais de um esquema de controle que so combinados de maneira a produzirem o

resultado desejado. Um exemplo desta interao so os algoritmos destinados supresso

de sobre-sinal que utilizam a lgica fuzzy e que atuam em conjunto com os controladores

PID, em YASUDA & CROTTY (1990) um destes algoritmos pode ser encontrado.

O presente trabalho est organizado como segue. No Captulo 2 apresentada a ao

de controle do tipo PID nas formas contnua e discreta com detalhes sobre questes prticas

de implementao das aes derivativa e integral. No Captulo 3 so apresentados os

algoritmos mais conhecidos na literatura para sintonia dos parmetros PID que utilizam

diferentes informaes e aproximaes do processo. Em seguida, no Captulo 4, feita a

caracterizao no tempo e na freqncia dos processos trmicos industriais para a aplicao

dos mtodos de sintonia apresentados no Captulo 3. O hardware que compe o controlador

industrial e a planta trmica utilizada descrito no Captulo 5. No Captulo 6 resultados de

simulaes para os mtodos de sintonia automtica tratados so apresentados e comparados

em termos do comportamento transitrio resultante e das margens de fase e ganho obtidas.

Neste captulo tambm apresentada a resposta experimental de um processo industrial

exemplo, um mini-forno. A implementao da tcnica de sintonia automtica adotada

apresentada no Captulo 7. No Captulo 8 os resultados de vrios experimentos realizados

com o processo industrial exemplo so apresentados juntamente com a avaliao da

estabilidade dos controladores sintonizados. No Captulo 9 so apresentadas concluses

acerca dos mtodos de sintonia automtica de parmetros bem como a indicao do mtodo

mais adequado para uso industrial para a classe de processos considerada.

__________________________________________________________________________ 4

2. Controladores Industriais

A evoluo dos controladores microprocessados industrias permite hoje em pouco tempo

obter automaticamente os parmetros do controlador necessrio para manter o processo com

um mnimo de erro em relao a um sinal de referncia desejado. Podem ser tambm

dotados com a possibilidade de ajuste contnuo dos parmetros (auto-ajuste) frente a

variaes devido a mudanas da planta ou perturbaes externas.

A forma mais simples de controle de processo utilizada na indstria o controlador

on-off que para um sinal de realimentao acima do sinal de referncia desejado mantm o

sinal atuante em um valor mnimo (ou zero) e consequentemente com nenhuma potncia

aplicada planta e para um nvel de realimentao abaixo do sinal de referncia a potncia

totalmente aplicada. Este controlador ilustrado na Figura 1 onde uma resposta tpica

tambm apresentada. Sua principal desvantagem a variao permanente da sada

controlada em torno do sinal de referncia desejado.

0 1 2 3 4 5 60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Said

a do

Pro

cess

o

tempo (s)

(a) (b)

FIGURA 01. (a) Diagrama de bloco do controlador on-off; (b) forma de onda tpica da sada.

u tdd( ) =

para e(t) > 0

para e(t) < 0

Para diminuir a freqncia desta oscilao acrescentado ao sistema de controle um

parmetro denominado histerese que corresponde a uma regio simtrica ao valor da

referncia desejada e cria assim uma regio na qual a sada do controlador u(t) mantenha seu

valor presente at que o sinal de erro atuante tenha sido movido alm do valor desta faixa. O

__________________________________________________________________________ 5

novo comportamento da sada mostrado na Figura 2. Com isto consegue-se uma

diminuio na freqncia de oscilao da sada, porm se a histerese for definida com um

valor muito elevado a variao na amplitude da sada ser muito grande e um novo problema

surge. Assim o valor da histerese ser um compromisso entre preciso desejada e a

durabilidade do elemento atuador.

0 1 2 3 4 5 60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Said

a do

Pro

cess

o

tempo (s)

(a) (b)

FIGURA 02. (a) Diagrama em bloco do controlador on-off com histerese; (b) forma de onda

tpica da sada.

Os esquemas de controle on-off e on-off com histerese podem ser implementados na

forma analogica ou digital.

Depois do controlador on-off em termos de simplicidade temos o controle de

processos por controladores proporcionais (um ganho) que j permitem algumas melhoras

na resposta da sada controlada como reduo da sensibilidade do sistema a variaes de

parmetros internos e perturbaes externas mas tambm a possibilidade de instabilidade.

Seu diagrama de blocos mostrado na Figura 3 e sua sada corresponde ao sinal de erro

multiplicado pelo valor de sua constante de proporcionalidade (o ganho proporcional).

FIGURA 03. Diagrama em bloco do controlador proporcional.

A funo de transferncia deste controlador

__________________________________________________________________________ 6

cKsEsU=

)()(

O prximo controlador de processos a ser considerado o PID, que soma ao

proporcional as aes integral e derivativa. A ao integral elimina erro em regime

estacionrio pois o sinal de controle apresenta um valor no nulo quando o erro for nulo; a

ao integral entretanto pode introduzir oscilao na resposta pelo aumento da ordem do

sistema. A ao derivativa antecipa o erro atuante e produz a ao corretiva mais cedo (pois

responde a taxa de variao do erro atual). O diagrama est ilustrado na Figura 4.

FIGURA 04. Diagrama em bloco do controlador PID.

A funo de transferncia do controlador PID

++= sTsT

KsEsU

di

c11

)()(

(2.1)

No momento da aplicao prtica deste controlador alguns cuidados devem ser

tomados para que se obtenha o desempenho adequado do sistema controlado sem os quais o

efeito final do controlador pode ser degradado ou mesmo inadequado. Os principais efeitos

a serem considerados so a saturao do sinal atuante, a limitao do ganho do termo

derivativo em altas freqncias e a ponderao do sinal de referncia por um fator adequado.

2.1 Efeito Reset - Windup

A ao temporal do controlador PID dada por:

++= dt

tdeTdtteT

teKtu dt

ic

)()(1)()(0

(2.2)

__________________________________________________________________________ 7

Da equao do controlador PID (2.2) observa-se que quando o sinal de erro for muito

grande a sada u(t) do controlador tambm ser podendo ocasionar uma saturao dos

atuadores, fonte de potncia ou do prprio processo. Este sinal demasiado pode provocar

um retardo para que a sada alcance o valor desejado da referncia, mantendo o sinal do erro

ainda positivo, e aumentando a ao de controle, devido ao efeito da integrao do

controlador PID. Quando a sada atingir o valor desejado, a inverso de sinal do erro e(t)

poder demorar a ter efeito sobre a ao de controle u(t) devido ao grande valor alcanado

pelo termo integral. Este efeito denominado reset-windup.

Para evitar este fenmeno utiliza-se um esquema denominado anti-reset-windup que

pode ser implementado de diversas maneiras, entre as quais as sugeridas por ISERMANN

(1989) :

Cancelamento da integrao: neste caso faz-se,

uI(k) = 0 quando u(k) umax Integrao condicional: aqui faz-se,

uI(k) = 0 se |e(k)| emaxonde uI(k) a contribuio da ao de controle integral na sada do controlador PID discreto.

No segundo caso o valor de emax pode ser determinado por experimentos ou simulao

a partir da funo de transferncia do processo.

2.2 Filtragem (atraso) no termo derivativo

A aplicao de um filtro no termo de ao derivativa necessria para atenuar o ganho de

malha em altas freqncias que pode levar o sistema instabilidade, devido ao ganho

crescente que a ao derivativa introduz nesta regio de freqncia. Este atraso (polo)

permite ainda que a funo de transferncia do controlador PID seja realizvel.

Da funo de transferncia do controlador PD observamos que este um controlador

de avano de fase com polo localizado no infinito. Da sua resposta em freqncia temos que

sua caracterstica somar ngulo de fase positivo a resposta em freqncia do sistema como

tambm melhorar a estabilidade, aumentar a largura de banda e a velocidade de resposta,

sendo que seus efeitos so sentidos em altas freqncias. Desta forma quando o controlador

PID estiver na malha de controle o ganho do controlador continua a aumentar

indefinidamente conforme a freqncia aumenta (pelo menos analiticamente). Assim o

__________________________________________________________________________ 8

ganho de malha (controlador mais processo) se aproximar do infinito para altas freqncias

o que poder levar o sistema para a instabilidade ou prejudicar o desempenho do sistema

pela amplificao de rudos que causam variao na sada do controlador, sendo este efeito

denominado quick derivate. Para evitar este problema, um polo (pelo menos) deve ser

adicionado ao termo derivativo resultando na seguinte funo de transferencia para este

termo:

sNT

sTKDd

dc

+=

1 (2.3)

com o valor de N situado entre 3 N 20 e usualmente utiliza-se N = 10, sem perda de

generalidade. Com isto o ganho em baixas freqncias praticamente mantido mas em altas

freqncias limitado a KCN.

2.3 Ponderao da referncia no termo proporcional

A principal modificao aplicada ao PID de controle que traz resultados significativos

a ponderao do sinal de referncia na ao proporcional de controle.

Esta modificao na ao de controle PID proposta por HANG;ASTROM;HO

(1991), mostrando-se ser uma prtica de relevante aplicao nos sistemas de controle. Neste

caso o controlador PID implementado como :

+= dttdy

TdtteT

teKtu fdi

cc

)()(1)()( (2.4)

)(1

1)()()(

1

ty

NsT

+=Lt y tyyte

dfr

= (2.5)

onde yr a referncia, y(t) a sada, L[ ]-1 a transformada inversa de Laplace e N = 10.

Quando a frmula de sintonia de ZIEGLER&NICHOLS (1942) usada para obteno

dos parmetros PID muitos sistemas resultam em sobre-sinal excessivo, HANG;

ASTROM;HO (1991). Assim a modificao proposta a introduo de um fator de

ponderao sobre a referncia desejada no termo proporcional,

__________________________________________________________________________ 9

1. 0 ,)(

)(1))( ()(

+= dttdy

TdtteTi

tyyKtu fdrcc (2.6)

Esta soluo melhor do que a remoo total da referncia no termo proporcional

como proposto por alguns autores que pode tornar a resposta do sistema muito lenta, e tem

sua eficincia confirmada por um extenso trabalho de simulaes, e como pode ser vista

pela resposta mostrada na Figura 5.

0 2 4 6 80,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

Ziegler-Nichols Refinado

Ziegler-Nichols

Said

a do

Pro

cess

o

tempo (s)

FIGURA 05. Sobre-sinal excessivo na resposta ao degrau para controle PID por Ziegler-Nichols,

e reduo do mesmo pela aplicao do fator de ponderao = 0.45 para e s0 4. /(1+s)2 .

A introduo do fator de ponderao proporciona um meio de ajustar os zeros dafuno de transferncia de malha fechada que afetam o valor do sobre-sinal na sada do

sistema. Os resultados alcanados mostram que a reduo do sobre-sinal conseguida

bastante acentuada tornando-se assim uma prtica quase obrigatria nos sistemas de

controle.

O ganho do processo normalizado definido como o produto do ganho crtico e do

ganho esttico do processo (vide Cap. 4). Ento,

k = kCR.KpA porcentagem de sobre-sinal e a porcentagem de sub-sinal esto relacionadas com o

ganho normalizado do processo como mostrado na Figura 6. Para valores de k > 4 o sobre-

sinal excessivo e para k < 2 o sub-sinal ultrapassa o sobre-sinal.

__________________________________________________________________________ 10

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60

70

k

%

___ % sobre-sinal----- % sub-sinal

FIGURA 06. Porcentagem de sobre-sinal e sub-sinal para controle PID por Ziegler-Nichols.

Esta relao entre sobre-sinal e sub-sinal com o ganho normalizado sugere que a

formula de sintonia de Ziegler-Nichols pode ser refinada em termos deste ganho

normalizado. Baseado em observaes empricas o seguinte critrio heurstico para refinar a

frmula de sintonia PID de Ziegler-Nichols recomendado: quando k > 2.25 manter as

frmulas de Ziegler-Nichols e aplicar o fator de ponderao no termo proporcional;quando k < 2.25 modificar as frmulas de Ziegler-Nichols por uma conveniente reduo do

tempo integral para melhorar a resposta ao degrau. Os valores do fator so determinadoscomo mostrado abaixo.

Ganho do processo normalizado elevado (2.25 < k < 15)

Dependendo da aplicao 10% ou 20% de sobre-sinal so admissveis sobre a varivel de

processo. Um extenso trabalho de simulao mostra que a relao entre o sobre-sinal e o

ganho do processo normalizado para a faixa 2.25 < k < 15 a apresentada na Figura 7. Os

valores fornecidos pelas expresses (2.7) e (2.8) esto plotados em linha slida.

__________________________________________________________________________ 11

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

10% sobre-sinal

20% sobre-sinal

FIGURA 07. Fator de ponderao para controle PID.

As expresses empricas para o fator de ponderao so ento dadas por,

= +

1515

kk

(2.7)

=+

3627 5.k

(2.8)

para 10% e 20% de sobre-sinal, respectivamente.

Ganho do processo normalizado pequeno (1.5 < k < 2.25)

Como visto na Figura 6 para a faixa 1.5 < k < 2.25 o sub-sinal elevado e as simulaes

mostraram que um conveniente tempo integral pode ser determinado sem mudanas no

ganho proporcional e tempo derivativo para reduzir o sub-sinal. Esta melhora , no entanto,

acompanhada de um aumento no sobre-sinal e ento a ponderao do sinal de referncia faz-

se necessria.

As expresses empricas para a ponderao do sinal de referncia no termo

proporcional so apresentadas nas equaes (2.9).

= 49

k (2.9a)

Ti = 0,5..tCR (2.9b)

__________________________________________________________________________ 12

= +

817

49

1k (2.9c)

para 20% de sobre-sinal.

O novo tempo integral dado por (2.9b) onde definido como a taxa demodificao do tempo integral para o mtodo de Ziegler-Nichols e tCR o perodo crtico. A

Figura 8 mostra as relaes entre , e o ganho do processo normalizado, sendo que para ovalor de ponderao foi considerado um sobre-sinal de 20%.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.40.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

k

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.40.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

k

FIGURA 08. Fator de ponderao e taxa de modificao do tempo integral para controle PID.

As linha slidas na Figura 8 correspondem aos valores fornecidos pelas equaes (2.9).

2.6 Implementao Digital

Discretizao

__________________________________________________________________________ 13

Para implementao da lei de controle contnua do controlador PID na forma digital

necessrio adotar aproximaes para os termos integral e derivativo e alguns mtodos

bastante conhecidos sero apresentados. As formas digitais dos termos proporcional,

integral e derivativo so ento apresentadas abaixo.

Ao proporcional

O termo proporcional implementado simplesmente trocando-se as variveis contnuas

pelas amostradas, desde que trata-se de um termo puramente esttico. Ento,

)]( = kykrKkP )([ )( c (2.10)

Ao integral

O termo integral dado por

=t

i

c dsseTK

tI0

)()( (2.11)

E podemos re-escrever,

eTK

dtdI

i

c= (2.12)

Aproximando o termo derivativo por uma diferena,

)()()1( keTK

tkIkI

i

c

S

=

+ (2.13)

que d a seguinte equao recursiva para o termo integral

)()()1( keT

tKkIkI

i

Sc+=+ (2.14)

Ao derivativa

__________________________________________________________________________ 14

Como apresentado em ASTROM & HAGGLUND (1995) o termo derivativo como dado em

(2.3) pode ser re-arranjado para

dtdyTKD

dtdD

NT

dcd

=+ (2.15)

H muitas maneiras de discretizar esta igualdade como as apresentadas a seguir.

Diferena posterior. Por esta aproximao temos

Sdc

S

d

tkykyTKkD

tkDkD

NT )()1()()()1( +=++ (2.16)

a qual re-escrevendo d

)]()1([)(1)1( kykyNKkDT

NtkD c

d

S+

=+ (2.17)

Diferena anterior. Com esta aproximao temos

Sdc

S

d

tkykyTKkD

tkDkD

NT )1()()()1()( =+ (2.18)

Re-escrevendo chega-se a

D kT

T NtD k

KcT NT Nt

y k y kdd S

d

d S( ) ( ) [ ( ) ( )]=

+

+ 1 1 (2.19)

Aproximao de Tustin. A aproximao proposta por Tustin

)]1()([22

)1(22

)( +

+

= kykyNtT

NTKkD

NtTNtT

kDSd

dc

Sd

Sd (2.20)

__________________________________________________________________________ 15

Observe que todas as aproximaes tm a mesma forma, isto ,

)]1()([)1()( k- - yky b k-D a kD ii += (2.21)

que diferem nos valores dos coeficientes ai e bi.

As aproximaes do termo derivativo discretizado so estveis apenas quando | ai | NtS/2. As aproximaes de Tustin e por diferena posterior resultaro em valores

negativos para ai se Td for pequeno e a aproximao exibir ringing. Assim apenas a

aproximao por diferena anterior dar bons resultados para quaisquer valores de Td.

Caso um grfico de fase das aproximaes apresentadas acima e da equao (2.3) seja

plotado veremos que a aproximao que mais assemelha-se ao caso contnuo a

aproximao de Tustin.

Forma incremental

O algoritmo PID at agora descrito denominado algoritmo posicional porque obtm-se a

sada do controlador diretamente. Em certos casos mais desejada uma forma incremental

da sada. Nesta forma apenas uma mudana u(k) da sada calculada em cada instante de

amostragem e somada a sada anterior, u(k-1), e neste caso o algoritmo denominado

algoritmo de velocidade.

)()()()( kDkIkPkukuku + + = 1)( )( = (2.22)O incremento das partes proporcional e integral so obtidos de (2.10) e (2.14) e

resultam,

)]1()1()()( + )( [ = 1)( )( = kykrkykrkPkPkP c (2.23)

)1()1()()( == keT

tKkIkIkI

i

Sc (2.24)

Para o termo derivativo tomando-se a equao geral (2.18) temos,

)]2()1(2)([1

)1()()( +

= kykykya

bkDkDkDi

i (2.25)

__________________________________________________________________________ 16

3. Sintonia de Controladores PID

O principal problema com os controladores PID na indstria a sintonia adequada dos seus

parmetros, necessria para produzir respostas suficientemente rpidas porm sem sobre-

sinal. Inicialmente esta sintonia era feita manualmente utilizando-se grficos como proposto

por Ziegler-Nichols, o que produz variao de valores de operador para operador, em

seguida os valores conseguidos eram introduzidos nos aparelhos e feita um acerto final por

tentativa e erro. Outra maneira muito utilizada era ligar o aparelho em modo manual de

controle sem nenhum parmetro inserido e ir ajustando cada parmetro a medida que a sada

do processo fosse aproximando-se da referncia desejada. No entanto este mtodo

demorado e no simples de ser realizado pois depende muito da experincia e

conhecimento do operador, chegando-se ao ponto de apenas certos operadores mais

experientes conseguirem realizar uma boa sintonia e mesmo assim sintonias feitas por

operadores diferentes resultam em valores diferentes para os parmetros do controlador para

o mesmo processo. Vrios mtodos ento so disponveis para se conseguir sintonizar os

parmetros operando-se diretamente o aparelho e em ISA (1989) pode ser encontrado

exemplos de alguns deles.

Assim mostra-se muito til a utilizao de mtodos de sintonia automtica dos

parmetros de controladores, pois esta ser feita em um tempo muito menor que a manual e

com uma repetibilidade dos parmetros garantida.

Nos ltimos anos, vrias tcnicas de auto-sintonia para reguladores clssicos e

simples como os PIDs, tm sido apresentadas na literatura especializada. Este grande

esforo motivado por duas razes principais: primeiro, um regulador simples rpido,

fcil de implementar e, usualmente, fcil de sintonizar; segundo, este regulador clssico

bem conhecido e aceito no ambiente industrial, LEVA (1993). Como resultado temos que

estes trabalhos tm encontrado aplicao industrial imediata.

Para a auto-sintonia dos parmetros de controladores (em sua maioria do tipo PID)

vrios autores propem mtodos distintos e que requerem informaes variadas sobre

caractersticas de projeto, como margem de ganho e fase, e sobre os parmetros da planta a

ser controlada. As informaes utilizadas por cada mtodo so variadas: conhecimento

preciso de estrutura da planta, caracterstica da resposta ao degrau unitrio de malha aberta,

conhecimento de pontos da curva de Nyquist, constante de tempo da malha fechada e outros.

Estes mtodos derivam leis de sintonia simples para reguladores PID e muitos auto-

__________________________________________________________________________ 17

sintonizadores comerciais baseados nestes mtodos de sintonia tm estado disponveis desde

1981.

Em NISHIKAWA et al. (1984), o conceito de reas caractersticas da malha fechada

utilizado para identificao de processos de primeira ordem mais tempo morto, e os

parmetros PID timos so obtidos com o critrio integral ISE, sendo resolvido com o uso

do determinante de Hurwitz. Em LEVA (1993) um procedimento de sintonia baseado no

mtodo de realimentao a rel com a incluso de dinmicas de primeira ordem (filtros) na

entrada e sada do processo usado na obteno do controlador PID, com estas dinmicas

extras a durao da auto-sintonia bastante prolongada. WANG; BARNES; CLUETT

(1995) obtm um controlador PID a partir de dois pontos da resposta em freqncia em

malha fechada do processo e da resposta desejada para o sinal de controle atravs de uma

funo de ponderao complexa para o sinal de controle aplicado. Com VODA &

LANDAU (1995) a auto-sintonia dos controladores PID feita combinando-se o

experimento a rel com regras de sintonia baseadas no princpio da simetria tima de

KRESSLER (1958), no entanto o tempo de acomodao alcanado o mais conservador de

todos os mtodos analisados. Em KHAN & LEHMAN (1996) apresentado um mtodo de

auto-sintonia que seleciona os ganhos de um controlador PI, que utiliza cancelamento polo-

zero, a partir da anlise do feito do controle proporcional sobre o sobre-sinal e tempo de

subida; este mtodo resulta em um bom tempo de subida para tempos de atraso menores ou

iguais a 10 segundos (L 10s.). Com POULIN et al. (1996) a sintonia automtica baseada

na minimizao do critrio ITAE aproximada para controladores PI , a ausncia de sobre-

sinal alcanada a custa de um tempo de acomodao muito elevado. FUNG; WANG;

LEE (1998) apresentam um mtodo grfico para obter a sintonia de controladores PI a partir

das especificaes de margem de ganho e fase que so desdobradas em duas funes

complexas. O ponto de interseo destas duas funes fornecem os parmetros procurados.

Embora o mtodo fornea bons resultados ele no prtico de implementar. Em SUNG;

LEE; LEE (1998), utilizado um procedimento de identificao dos parmetros do processo

que envolve o calculo de derivadas de alta ordem e os parmetros do controlador PID so

obtidos com o mtodo IMC (controle por modelo interno). O esforo computacional do

procedimento de estimao do modelo do processo inviabiliza sua implementao em

microcontroladores de baixo custo.

Todos os mtodos anteriores so contnuos no tempo e para a realizao do

controlador um mtodo de discretizao deve ser adotado. Outra possibilidade utilizar um

modelo de processo discreto e sintonizar um controlador discreto no tempo diretamente.

__________________________________________________________________________ 18

Com a escolha de um modelo de processo e um controlador discretos, o problema de

encontrar um mtodo de discretizao apropriado de um controlador continuo no tempo

evitado. A estrutura discreta do controlador permite tambm a compensao de tempos

mortos elevados de forma mais direta atravs de tcnicas de predio, ISERMANN (1989).

Cinco mtodos contnuos no tempo foram selecionados e sero apresentados: o

mtodo proposto por ASTROM & HAGGLUND (1984) que consiste na presena de

elementos no lineares (um rel) na funo de transferncia de malha para provocar a

sintonia dos parmetros desejados; o mtodo proposto por HO; HANG; CAO (1995) que

utiliza um procedimento analtico para desenvolver a sintonia dos parmetros de um

controlador PI; o mtodo de LORON (1997) que elaborado para sintonia de controladores

PI e PID e apresenta uma resposta comparvel aos demais (mas com a presena de sobre-

sinal) e que baseia-se num desenvolvimento analtico tambm; o mtodo apresentado por

FRIMAN (1997) tambm realiza a sintonia para controladores PI, com um controlador PI

inicial atuando durante o procedimento de auto-sintonia, e o mtodo apresentado por

ZHUANG & ATHERTON (1993) que obtm os parmetros do controlador a partir do

experimento a rel e otimizao de um critrio de desempenho.

3.1 Sintonia Automtica pelo Mtodo de Astrom-Hagglund

O diagrama em blocos do sistema de controle com auto-sintonia o mostrado na Figura 9.

O mtodo de Astrom-Hagglund baseia-se na idia de Ziegler-Nichols que observaram que os

parmetros de um controlador podem ser determinados pelo conhecimento de um ponto da

curva de Nyquist do sistema a malha aberta. Este ponto, a interseco da curva de Nyquist

com o eixo real negativo, dado em termos do ganho crtico, kCR, e do perodo crtico, tCR.

Ziegler-Nichols obtiveram kCR e tCR como segue: um controlador proporcional

colocado no sistema e seu ganho aumentado gradualmente at conseguir-se uma oscilao

peridica e de amplitude constante. Quando este ponto atingido o ganho utilizado o

ganho crtico e o perodo da oscilao o perodo crtico.

__________________________________________________________________________ 19

FIGURA 09. Diagrama em bloco da auto-sintonia. O sistema opera com um controlador a rel no

modo sintonia (t) e como controlador PID no modo (c).

No mtodo baseado no controle a rel observa-se que o sistema com um atraso de fase

de pelo menos em altas freqncias pode oscilar com perodo tCR. O sinal de erro ento

um sinal peridico com perodo tCR e se d a amplitude do rel, da expanso em srie de

Fourier tem-se que o primeiro harmnico da sada do rel tem amplitude 4d/. Com a

amplitude da sada do processo sendo a, o ganho crtico dado por

kd

CR =4 a

(3.1)

Assim obtm-se uma maneira automatizada de calcular o ganho e o perodo crticos;

os valores da freqncia e da amplitude de oscilao podem ser facilmente determinado pela

contagem de tempo entre passagens por zero e pela medida de valores pico a pico da sada.

Pode-se ento agora obter os parmetros de um controlador satisfazendo-se algum

critrio de desempenho em funo destes valores de kCR e tCR.

Sintonia pela especificao da margem de ganho

Quando o ponto crtico conhecido imediata a escolha de um controlador que apresente a

margem de ganho, Am, desejada; uma maneira simples escolher um controlador

proporcional com ganho dado por

mA

kK CRC = (3.2)

Considerando a resposta em freqncia de um controlador PID dada por

__________________________________________________________________________ 20

( )

+= dii

Cpid TTwjwTKjwG 2111)( (3.3)

com o ganho dado por (3.2) e com a relao entre Td e Ti sendo tomada como

Tw Td CR i

=

12 (3.4)

ter-se- tambm a margem de ganho desejada. O tempo integral pode ser escolhido

arbitrariamente e o tempo derivativo ser dado por (3.4). As equaes para sintonia dos

parmetros so dadas ento por (3.2) e (3.4).

Sintonia pela especificao da margem de fase

A partir de um ponto da curva de Nyquist do sistema em malha aberta conhecido, com

controladores PI, PD ou PID possvel mover este ponto da curva de Nyquist para uma

posio arbitrria do plano complexo como indicado na Figura 10.

FIGURA 10. O ponto dado pode ser movido para uma posio arbitrria no plano-G pelos

controladores PI, PD ou PID. O ponto A pode ser movido nas direes G(jw), G(jw)/jw e

jwG(jw) pela variao dos ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente.

O ponto A pode ser movido na direo de G(jw) pela mudana do ganho proporcional

e nas direes ortogonais pela mudana dos ganhos integral e derivativo. Ento valores de

margem de fase preestabelecidos so conseguidos movendo-se A para um ponto do crculo

unitrio.

__________________________________________________________________________ 21

A funo de transferncia de malha com controlador PID

)(11 sGsT

sTKi

dC

++

Assumimos que o ponto de cruzamento da curva de Nyquist de G(s) com o eixo real

negativo conhecido e dado por w = wCR; temos ento que

G iw G iwpid CR CR m( ) ( ) = (3.5)

que fornece a relao

w Tw TCR d CR i

m =1

tan (3.6)

Existem muitos Tds e Tis que satisfazem esta relao. Uma possibilidade de escolha para

Td e Ti

T Ti d= (3.7)

Substituindo (3.7) em (3.6) e resolvendo para Td obtm-se

Twd

m m

CR

=

+ +tan tan

4

2

2

(3.8)

A funo de transferncia de malha ter ganho unitrio em wCR se o ganho do

controlador for escolhido como

cos|)(|

cosmCR

CR

mC kiwG

K == (3.9)

As equaes para sintonia dos parmetros so dadas ento por (3.7), (3.8) e (3.9).

__________________________________________________________________________ 22

3.2 Sintonia pelo Mtodo de W. Khuen Ho, C. Chieh Hang, L. S. Cao

Normalmente a soluo para o projeto de controladores satisfazendo critrios de margem de

fase e ganho so obtidas por mtodos numricos ou graficamente por tentativa e erro usando

o diagrama de Bode. Estas aproximaes certamente no so convenientes para uso em

controle adaptativo e auto-sintonia.

Neste mtodo prope-se algumas aproximaes, que so apresentadas no

desenvolvimento das equaes, de forma que nem mtodos numricos nem mtodos grficos

tm de ser usados. Bastante precisa as frmulas analticas so obtidas para sintonia e

projeto de controladores PI e PID com as desejadas especificaes de margem de fase e

ganho para processos de primeira e segunda ordens mais tempo morto. As frmulas so

particularmente usuais no contexto de controle adaptativo e auto-sintonia, onde os

parmetros do controlador tm de ser calculados em tempo real. mostrado tambm que os

mtodos por especificao de margem de fase e ganho podem dar combinaes dos valores

de margem de ganho e fase que no so convenientes.

Frmula para sintonia PI

Com as funes de transferncia do processo e do controlador dadas por Gp(s) e Gc(s) e as

especificaes de margem de ganho e fase por Am e m , respectivamente, das definies demargem de ganho e fase, o seguinte conjunto de equaes so obtidos,

=)]()(arg[ pppc jwGjwG (3.10)

|)()(|1

pppc jwGjwGAm = (3.11)

1|)()(| =gpgc jwGjwG (3.12)

+= )]()(arg[ gpgcm jwGjwG (3.13)

onde a margem de ganho dada por (3.10) e (3.11) e a margem de fase por (3.12) e (3.13).

A freqncia wp, na qual a curva de Nyquist da planta tem fase -, conhecida como

__________________________________________________________________________ 23

freqncia de cruzamento de fase e a freqncia wg, onde a curva de Nyquist tem amplitude

1, como freqncia de cruzamento de ganho.

O controlador PI dado por

11)(

+=

iCC sT

KsG (3.14)

e o processo por

sLPP esT

KsG +

=

.1)( (3.15)

Das equaes (3.14) e (3.15) a funo de transferncia de malha

sL

i

iPCPC esTsT

sTKKsGsG

+

+=

).1()1(

)()( (3.16)

Substituindo a equao (3.16) nas equaes de (3.10) a (3.13) obtm-se

0)arctan()arctan(21

=+ LwTwTw ppip (3.17)

1

1=KKA 22

22

PCm+

+

ip

pp Tw

TwTiw (3.18)

1

122

22

+

+=

ig

gigPC Tw

TwTwKK (3.19)

LwTwTw ggigm += )arctan()arctan(21 (3.20)

Para um dado processo (Kp, T, L) e especificaes (Am, m) , as equaes (3.17) a(3.20) podem ser resolvidas para os parmetros do controlador PI (Kc, Ti) e as freqncias

de cruzamento (wp, wg) numericamente mas no analiticamente devido a presena da funo

arco-tangente. Entretanto uma soluo analtica aproximada pode ser obtida se a seguinte

aproximao da funo arco-tangente for usada:

__________________________________________________________________________ 24

1 42

1

1 41

arctan |x|>

x

|x|xx

(3.21)

como mostrado na Figura 11. A identidade

1 1arctan21arctan |x|>

xx = (3.22)

usada na expresso (3.18) quando |x| > 1.

A soluo numrica das equaes (3.17) a (3.20) mostram que para L/T > 0,3, Ti T

e para L/T < 0,3 , x >> 1 , onde x cada um dos argumentos wpTi, wpT, wgTi e wgT. A

aproximao dada por (3.21) para o caso |x| > 1 melhor que o caso |x| < 1. Isto ajuda a

aproximar (3.18) e (3.19) como

TwKKA pPCm = (3.23)

TwKK gPC = (3.24)

respectivamente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

arct

an(x

)

funo arcotangente

aproximao

FIGURA 11. Aproximao da funo arco-tangente.

__________________________________________________________________________ 25

A quantidade L/T definida como tempo morto normalizado. Usando a aproximao

em (3.21) para a funo arco-tangente as equaes (3.17) e (3.20) so aproximadas como

12 4 4

0

+ =w T w T

w Lp i p

p (3.25)

mg i g

gw T w Tw L= +

12 4 4

(3.26)

respectivamente.

Finalmente resolvendo para KC e Ti as equaes (3.23) a (3.26) tem-se

14

2

12

+=

=

TLw

wT

KATw

K

ppi

pm

pC

(3.27)

onde wA A A

A Lpm m m m

m

=

+

12

1

12( )

( ) (3.28)

Portanto as equaes de sintonia dos parmetros do controlador PI so (3.27) e (3.28).

Na escolha dos pares (Am,m) h algumas restries. Uma usual que os parmetrosdo controlador obtido sejam positivos, Kc > 0 e Ti > 0. Da equao (3.27) esta restrio

leva a fronteira AB na Figura 12. Esta fronteira funo de L/T e na Figura 12 mostrado o

caso L/T = 0,5. A soluo numrica mostra que a equao (3.27) torna-se menos precisa

fora da regio CD. Portanto as especificaes vlidas dos pares (Am,m) para a auto-sintoniados parmetros dada pela regio hachuriada da Figura 12, sendo que ela mantm-se

satisfatoriamente para L/T 1. Uma regra geral utilizar Am = 4 e m = 60.

__________________________________________________________________________ 26

FIGURA 12. Regio de especificao para margem de fase e ganho

Frmula para sintonia PID

sugerido por ASTROM & HAGGLUND (1995) que o controlador de ao PI suficiente

quando a dinmica do processo essencialmente de primeira ordem. Este mtodo tambm

mostra que para processos de primeira ordem mais tempo morto, os desempenhos de

controladores PI e PID so aproximadamente os mesmos. Assim a frmula de sintonia para

controladores PID ser desenvolvida para processos de segunda ordem mais tempo morto.

O controlador PID dado por

i

diCC sT

sTsTKsG

)1)(1()( ++= (3.29)

e o processo por

' T , )' 1)(1(

)( TesTsT

KsG sLPP ++

= (3.30)

Destas equaes a funo de transferncia de malha

sL

i

diPCma esTsTsT

sTsTKKsG

++

++=

)' 1)(1()1)(1(

)( (3.31)

__________________________________________________________________________ 27

Para simplificar a equao (3.31), escolhe-se Td = T para cancelar o menor plo do

processo. Ento a equao (3.31) fica

sL

i

iPCma esTsT

sTKKsG

+

+=

)1()1(

)( (3.32)

Note que a equao (3.32) idntica a equao (3.16). Desta maneira as solues

para Kc e Ti so as dadas pela equao (3.27). A frmula de sintonia para o controlador

com ao PID ento dada por

' ,14

2

12

TTT

LwwT

KATw

K

dp

pi

P

pC

m

=

+=

=

(3.33)

onde wp dado por (3.28). Portanto as equaes para sintonia dos parmetros do

controlador PID so (3.28) e (3.33).

3.3 Sintonia pelo Mtodo timo No-Simtrico

O mtodo timo no simtrico (NSOM) uma aproximao analtica para a sintonia de

controladores PI baseada no mtodo timo simtrico (SOM) de Kessler, KRESSLER

(1958). Estes mtodos utilizam a especificao do pico ressonante da malha fechada para a

otimizao do desempenho da malha fechada, para processos integrativos de primeira

ordem. Uma aproximao garante a aplicao do mtodo em processos de primeira ordem

mais tempo morto. A sintonia resulta em um ganho de malha aberta maximizado, portanto a

ao da malha fechada melhorada e a largura de banda aumentada. A seguir o mtodo

timo no-simtrico proposto por LORON (1997) apresentado.

Modelo da planta

Tanto o mtodo SOM quanto o mtodo NSOM so baseados em um modelo de processo

consistindo de um integrador e um sistema de primeira ordem:

__________________________________________________________________________ 28

)1()(

sTsK

sGq

qq +

= (3.34)

Embora este modelo simples seja usado para a sintonia automtica do controlador, a

funo de transferncia real do processo pode ter uma estrutura mais complexa, incluindo

mltiplas constantes de tempo, zeros e tempos mortos introduzidos, por exemplo, por

atuadores e sensores. O modelo real pode ento ser determinado analiticamente pela

aproximao de um modelo de ordem mais elevada.

Considerando a funo de transferncia real do processo por Gp(s), em geral, tem-se

LsPP esD

sNKsG =)()()( (3.35)

com N s T s T s z T sn ii

n i n i n ii

( ) ( ) ( ), , , ,= + + + 1 22 2 21 2 1 e (3.36) D s s T s T s z T sN d i

id i d i d i

i( ) ( ) ( ), , , ,= + + + 1 22 2 21 2 1 . (3.37)

Cada coeficiente Tx1,i corresponde a um plo real ou zero de um sistema de primeira

ordem, e cada coeficiente Tx2,i corresponde a um par de plos complexo conjugado ou zeros

de um sistema de segunda ordem sub-amortecido. Ambos os mtodos assumem sistema tipo

1 (N = 1). Pode-se aplicar uma aproximao para sistemas tipo zero (N = 0) com um plo

real dominante pela aproximao da constante de tempo To pela integrao:

LsqLs

o

Pp esD

sNs

Ke

sDsN

sTKsG +

=

)(')(

)(')(

1)( (3.38)

onde Kq a constante de velocidade,

o

Pq T

KK = (3.39)

Os demais termos (plos rpidos, zeros e tempos mortos) podem ser agrupados em uma

constante de tempo equivalente pela expanso em srie do modelo real:

__________________________________________________________________________ 29

G sN sD s

eT sp

Ls

q

' ( )( )' ( ) ( )

=

+

11

(3.40)

onde

T T z T T z T Lq d ii

d i d ii

n ii

n i n ii

= +

+

+ 1 2 1 22 2, , , , , , (3.41)

Mtodo timo simtrico

O mtodo SOM aplicado ao sistema em malha aberta formado pelo processo integrativo de

primeira ordem (1) e controlador PI definido como

+=

sTKsG

iCpi

11)( (3.42)

O mtodo de Kressler pode ser re-escrito com respeito a margem de fase m. Ento,os parmetros do controlador PI so obtidos das seguintes equaes:

=+

1 2sen( )cos( )

m

m (3.43)

wTg q

=

1

(3.44)

T Ti q= (3.45)

q

gC K

wK = (3.46)

onde wg a freqncia de cruzamento de ganho.

__________________________________________________________________________ 30

Otimizao do ganho e ponto timo de tangncia

Para auxiliar na motivao da necessidade de aumentar-se o ganho de malha aberta vamos

observar a Figura 13 onde o mtodo SOM foi aplicado a um sistema com Kq = 1s-1 , wq = 1

rad s-1 e m = 50. O grfico resultante, como esperado, simtrico com respeito freqncia de cruzamento de ganho (wg = 0.36rad s-1) e a margem de fase desejada

alcanada. A figura mostra tambm que o controlador ser melhor sintonizado se o avano

de fase mximo ocorrer em um ganho maior. Pelo aumento lento do ganho do controlador,

o desempenho dinmico e a estabilidade da malha fechada so melhorados devido ao

aumento da largura de banda do sistema e da freqncia do pico de ressonncia. O ganho

timo obtido quando o pico de ressonncia mnimo. Prprio da sua forma simtrica, o

grfico de Nichols deve ser tangente ao M-locus no ponto de freqncia wg , onde este tem

direo vertical.

Portanto, para aplicar o mtodo NSOM a magnitude mxima da malha fechada

usada para determinao da posio (g, Mg) do ponto de tangncia, no grfico de malhaaberta (onde g = (wg) e Mg = M(wg) ). Ento o mtodo SOM aplicado para determinaro controlador PI que satisfaa a margem de fase m = - g . Por fim , o ganho docontrolador multiplicado por Mg .

(a)

-180 -170 -160 -150 -140 -130-20

-10

0

10

20

30

3 dB

0.5 dB

1 dB

6 dB

Margem de fase = 50o

Grfico de N ichols

Ganh

o M

alha

Abe

rta (d

B)

Fase Malha Aberta (deg.)

__________________________________________________________________________ 31

(b)

FIGURA 13. (a) Sintonia pelo Mtodo timo Simtrico; (b) Sintonia pelo Mtodo timo No

Simtrico;

Ponto de Tangncia timo: Os pontos do M-locus onde o ponto de tangncia

vertical devem ser determinados. A funo de transferncia da malha fechada e sua

magnitude so ( M(w) = |Gmf(w)| ):

)()(1

)()()(1

)(:)( wjewM

wjewMjwG

jwGjwmfG

+=

+= (3.47)

)(2)](cos[)(221

)(2:)(2wMwwM

wMwmfM++

=

(3.48)

Re-ordenando os termos obtm-se a equao do M-locus:

1 2 022

2+ + =M w w M wM wM wmf

( ) cos[ ( )] ( )( )( )

(3.49)

Pela diferenciao desta equao no ponto wg e igualando a derivada primeira a zero

obtm-se a posio do ponto de tangncia procurado:

cos[ ( )] w MMgmf

mf=

2

2

1 (3.50)

-180 -170 -160 -150 -140 -130-20

-10

0

10

20

300.5 dB

1 dB

3 dB

6 dB

Grfico de N ichols

Ganh

o M

alha

Abe

rta (d

B)

Fase Malha Aberta (deg.)

__________________________________________________________________________ 32

M wwg g

( )cos[ ( )]

=

1 (3.51)

O atraso de fase m = - g , que o critrio de sintonia para o mtodo SOM, dadoento por

cos( ) cos[ ( )] m g mfmf

wM

M= =

2

2

1 (3.52)

Finalmente, o fator de correo do ganho do controlador :

= =M wg m( )

cos( )1

(3.53)

Dessa forma, os passos para a aplicao do mtodo NSOM so:

(a) obter o fator de correo do ganho do controlador a partir da margem de fase

desejada atravs de (3.53),

(b) o controlador PI sintonizado pelo mtodo SOM para a margem de fase m ,

=+

1 2sen( )cos( )

m

m (3.54)

wTg q

=

1

(3.55)

T Ti q= (3.56)

q

gc K

wK =' (3.57)

(c) o ganho do controlador corrigido pelo fator ,

'cc KK = (3.58)

Assim, as expresses para sintonia automtica dos parmetros do controlador PI so

as dadas em (3.53) a (3.58).

__________________________________________________________________________ 33

Atravs de uma simples aproximao possvel obter tambm a sintonia de

controladores PID. Das frmulas de sintonia (3.53) a (3.58) segue que os ndices de

desempenho dados pelo ganho do controlador e largura de banda so inversamente

proporcionais ao dado pela constante de tempo Tq .

)()(

)()(

)()(

PIDTPIT

PIwPIDw

PIKPIDK

q

q

BP

BP

C

C=== (3.59)

Um controlador PID pode ser expresso como um controlador PI mais um

compensador avano-atraso:

sTsT

sTKsG

F

d

iCPID +

+

+=

1111)( (3.60)

As constantes de tempo Td e TF devem ser escolhidas considerando-se a relao entre

desempenho (valor alto para Td/TF) e sensibilidade a rudos de alta-freqncia (valor baixo

para Td/TF). A funo de transferncia de malha aberta fica,

)1(1111)(

sTsK

sTsT

sTKsG

q

q

F

d

iCma

++

+

+= (3.61)

Tomando-se as constantes de tempo Td e TF da mesma ordem de magnitude de Tq ,

estas constantes de tempo podem ser includas numa nova constante de tempo equivalente:

Fdqq TTTT +=1 (3.62)

Ento o ndice de desempenho relativo fica,

1>+

=Fdq

q

TTTT

(3.63)

__________________________________________________________________________ 34

primeira vista pode-se tentar reduzir significativamente a constante de tempo

equivalente, escolhendo Td = Tq e TF

__________________________________________________________________________ 35

FIGURA 14. Arranjo do experimento controlador PI saturado, consistindo de um controlador

PI convencional e nveis de saturao sobre a entrada do processo e o processo.

Na anlise das oscilaes considera-se a situao onde a malha de controle ajustada

para tornar o sistema instvel. Esta situao mostrada na Figura 15 juntamente com os

parmetro