Capítulo 3. ANÁLISIS DE LAS EDES DE DIFRACCIÓN DE …bibing.us.es/proyectos/abreproy/70225/fichero/Volumen+1%2FCapitulo… · coeficiente de acoplo AC y 78 es el coeficiente de

Análisis de las Redes de Difracción de Bragg 31

Capítulo 3. ANÁLISIS DE LAS REDES

DE DIFRACCIÓN DE BRAGG

Este capítulo versa sobre los métodos de análisis aplicables a las Redes de Difracción de

Bragg y los resultados obtenidos de la realización de dicho análisis.

En primer lugar, se realizará una introducción en la que se expondrán los distintos

métodos existentes. Sin embargo, a la hora de llevarlo a la práctica, sólo se aplicará

uno, el método basado en medios multicapa y matrices de transmisión. Este

procedimiento será ampliamente explicado en el segundo apartado del capítulo.

A continuación, se realizará una caracterización de las redes de difracción, ya que,

como se explicó en el Capítulo 1, variando ciertos parámetros del perfil de índice de

refracción de la red se pueden conseguir diferentes características de filtrado. Todas

ellas serán descritas y posteriormente simuladas mediante una herramienta de

simulación desarrollada en el entorno de programación Matlab®, creada para realizar

los distintos análisis. El resultado de las simulaciones realizadas será mostrado en el

tercer apartado del capítulo.

3.1. INTRODUCCIÓN

La propagación de ondas electromagnéticas en fibra óptica puede ser analizada mediante la resolución de las ecuaciones de Maxwell, utilizando las condiciones de contorno adecuadas. Sin embargo, este problema resulta muy complejo, por lo que se simplifica asumiendo una serie de hipótesis. Una de ellas consiste en suponer guiado débil (es decir, que existe una diferencia muy pequeña entre los índices de refracción del núcleo y la corteza), lo que permite la descomposición de los modos en un conjunto ortogonal de modos polarizados linealmente. También se asumirá

Estudio de Redes de Difracción de Bragg en Fibra Óptica

32 Análisis de las Redes de Difracción de Bragg

por tanto que el rayo que viaja por la red está polarizado en uno de los ejes transversales al dispositivo, sin pérdida de generalidad.

Las soluciones obtenidas proporcionan las distribuciones de campo y los modos radiados en la guía onda. Los modos se propagan sin acoplamiento en la ausencia de cualquier perturbación. Sin embargo, el acoplamiento entre modos aparece cuando se produce alguna perturbación periódica en el índice de refracción del núcleo de la fibra a lo largo de su eje, hecho que da lugar a las redes de difracción de Bragg. Para modelar estas redes se han propuesto varios métodos, que se estudian a continuación.

3.1.1. MÉTODO BASADO EN LA TEORÍA DE MODOS ACOPLADOS

Uno de los métodos más extendidos para el análisis de redes de difracción se basa en la teoría de modos acoplados. Por simplicidad, en este proyecto solo se considerarán las propiedades de las redes de difracción cuando el acoplamiento se produce entre dos modos. Este caso conduce a soluciones más simples para el entendimiento de esta teoría, y dado que este es el objetivo fundamental del apartado, se ha considerado interesante hacer uso de esta simplificación.

La teoría de modos acoplados considera la red de difracción como un dispositivo capaz de acoplar potencia óptica entre dos modos cuando el periodo de dicha red verifica la condición de adaptación de fases con respecto a las constantes de propagación de los modos que se propagan por la red:

�� − �� = 2(� + 1)�Λ , � = 0,1,2, … (3.1)

donde �� y �� son las constantes de propagación de cada uno de los modos y Λ es el periodo de la red de difracción.

Partiendo de esta definición, las redes de difracción pueden ser clasificadas en dos clases:

� Redes en reflexión, también llamadas de periodo corto. En ellas, el acoplo de potencia se produce entre los modos fundamentales que viajan en sentidos opuestos. Por lo tanto si la constante de propagación de un modo es β, la constante del otro modo es –β, y la condición de adaptación de fases se cumple para la radiación óptica cuya longitud de onda sea:

�� = 2��Λ (3.2)



donde �� es el índice de refracción efectivo del modo fundamental y Λ es

el periodo de la red. La longitud de onda �� es conocida como longitud de onda de Bragg.

� Redes en transmisión, también conocidas como redes de periodo largo. En estas redes, el acoplo de potencia se produce entre dos modos que viajan en el mismo sentido. En este caso, la diferencia entre las constantes de propagación es pequeña, con lo cual, teniendo en cuenta la ecuación (3.1), el periodo de la red es grande, de ahí el nombre de estas redes. La longitud de onda para la cual que cumple la condición de adaptación de fases ahora es:

�� = (�� − ��)Λ (3.3)

donde �� y �� son los índices de refracción efectivo del modo

fundamental y el modo superior que viajan por la fibra.

Debido a que las redes de difracción de Bragg funcionan como filtros ópticos paso de banda en reflexión, en este proyecto solo se tratarán las redes de periodo corto, que son las basadas en un acoplo contradireccional.

La teoría de modos acoplados es una buena herramienta para obtener información cuantitativa sobre la eficiencia de difracción y la dependencia espectral de las redes de difracción. La formulación ideal de esta teoría asume que la componente transversal del campo eléctrico puede ser descrita como una superposición de modos ideales (modos en una guía onda sin ningún tipo de perturbación) (Erdogan, 1997):

"#$%(&, ', �, () = )*"+,(�) · .,/01 + "2,(�) · .2,/01* · .$,%(&, ') · .2,3%, (3.4)

donde "+,(�) y "2,(�) son las amplitudes del j-ésimo modo que viaja en las

direcciones +� y – � respectivamente, mientras que .$,%(&, ') describe los modos de

los campos transversales.

Como ya se ha comentado, es la presencia de una perturbación en el medio dieléctrico la que provoca un acoplamiento entre estos modos "+,(�) y "2,(�). Al

estar trabajando con redes basadas en acoplo contradireccional, las ecuaciones de



acoplo pueden ser simplificadas, resultando el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 565� = �786(�) + �9:(�) (3.5)

5:5� = −�78:(�) − �9∗6(�) (3.6)

donde 6(�) = "+(�)exp (�?� − @/2) y :(�) = "2(�)exp (−�?� + @/2). 9 es el

coeficiente de acoplo AC y 78 es el coeficiente de autoacoplo DC. Por último, ? es la desviación entre la longitud de onda que se propaga por el medio y la longitud de onda de Bragg. (Erdogan, 1997)

A pesar de ser un método bastante directo e intuitivo para el análisis de redes de difracción, presenta el inconveniente de que no trabaja directamente con los parámetros físicos de la red, como pueden ser su longitud o su periodo. El hecho de trabajar con estos parámetros es bastante conveniente a la hora de hacer el estudio ya que finalmente serán los que haya que modificar para cambiar la característica espectral de la red de difracción. En su lugar, trabaja con parámetros normalizados aproximados, como son el coeficiente de acoplo entre modos o las desviaciones sobre la condición de adaptación de fase. Además, el tratamiento de estructuras no uniformes con funciones de apodizado y funciones de variación del periodo de la red es muy complicado, y necesita de un sistema de ecuaciones particularizado para cada caso.

3.1.2. MÉTODO BASADO EN LA TEORÍA DE MODOS ACOPLADOS Y

MATRICES DE TRANSFERENCIA

Una combinación entre la teoría de modos acoplados y matrices de transferencia constituye una técnica también muy extendida para el modelado de las redes de difracción de Bragg. La ventaja que supone este método con respecto al explicado anteriormente es que simplifica el tratamiento de redes no uniformes con funciones de apodizado y/o funciones de chirp.

Consiste en dividir la red en varias secciones, y considerar cada una de ellas como una red uniforme que tenga como amplitud la amplitud media del segmento de red en cada caso (si existe un apodizado), y como periodo, el valor medio del periodo de la sección en cuestión (si existe chirp). Tras obtener una estructura de múltiples



secciones de redes uniformes concatenadas, se calcula el periodo y la constante de acoplo de cada sección tal y como se vio en el apartado anterior, y se expresa de forma matricial. La solución de la estructura completa vendrá dada por el producto de todas las matrices.

Ilustración 3.1: Modelado de las Redes de Difracción mediante separación en capas de longitud

superior al periodo de la red y modelado de cada capa como una red uniforme

Si bien esta técnica facilita el modelado de redes de difracción no uniformes, no se debe perder de vista que se trata de un método aproximado, y la exactitud del mismo vendrá dada por la longitud de las secciones. De esta forma, se conseguirá mayor exactitud con secciones más cortas. Sin embargo, existe un límite relacionado con el tratamiento de las mismas mediante la teoría de modos acoplados a partir del cual no se pueden acortar más estas secciones. Además, la técnica es válida con alteraciones sencillas de una red uniforme, como son los cambios en amplitud o en periodo, pero no puede tratar estructuras más complejas, como por ejemplo las redes de difracción muestreadas o las redes de Moiré (ambas serán estudiadas más adelante, en los apartados 3.3.6 y 3.3.7).

3.1.3. MÉTODO BASADO EN LA TEORÍA DE MEDIOS MULTICAPA

Un método para el modelado de las redes de difracción que no presenta los problemas anteriormente descritos es el basado en la teoría de medios multicapa. Ésta, en combinación con las matrices de transmisión, es una técnica que trabaja directamente con los parámetros físicos de la red, como son la variación del periodo a lo largo del eje o función de chirp, la variación en la amplitud o función de apodizado, su longitud y la modulación máxima del índice de refracción. Además, se



trata de un método genérico, cuya complejidad permanece invariable aunque se complique la estructura de la red, por ejemplo, utilizando saltos de fase o creando una red de Moiré.

Este método consiste en dividir la red en secciones más pequeñas, pero a diferencia del método anterior, en este caso estas secciones deben tener una longitud mucho menor que el periodo de la red (al menos, un orden de magnitud menor). Cada una de estas secciones se considerará como un medio de índice de refracción constante, y la zona comprendida entre una sección y otra se considerará como una interfaz entre dos medios de índice de refracción diferentes. De esta forma, haciendo uso de la teoría de matrices de transferencia puede obtenerse la característica en transmisión y reflexión de la red de difracción de Bragg.

Ilustración 3.2: Modelado de las Redes de Difracción mediante separación en capas y modelado de

cada capa como un medio de n constante

3.2. ANÁLISIS BASADO EN MEDIOS MULTICAPA Y

MATRICES DE TRANSMISIÓN

Tras este repaso a los principales métodos de modelado de redes de difracción, se ha seleccionado la técnica de medios multicapa y matrices de transmisión para realizar un análisis de dichas redes, debido a las ventajas ya comentadas en el apartado anterior:

� Trabaja directamente con los parámetros de la red, así que una vez desarrollado el modelo se puede comprobar cómo variando uno de estos parámetros, la característica espectral se ve modificada. De esta manera,



resulta un método más didáctico que ayudará a un mejor entendimiento de la influencia de cada uno de estos parámetros en el comportamiento final de la red.

� Al trabajar con dispositivos cuyas características pueden ser muy variadas, interesará trabajar con un método lo más genérico posible. Así, una vez desarrollado el modelo, puede variarse cualquiera de los parámetros de la red sin que el modelo en sí tenga que sufrir ninguna modificación.

� Es una técnica de modelado bastante exacta, que permite considerar cualquier tipo de perturbación en el perfil del índice de refracción, siempre que la longitud de las capas considerada sea lo suficientemente pequeña.

Como las redes de difracción de Bragg son filtros en reflexión, solo se estudiarán aquí las redes de acoplo contradireccional o de periodo corto.

Las hipótesis de partida para poder aplicar este método son las siguientes:

� En el presente proyecto, no se han tratado (por no ser objeto del mismo) los efectos no lineales que tienen lugar en la fibra óptica. Uno de ellos, causante de problemas como el mezclado de cuatro ondas o del scattering estimulado (Brillouin y Raman), es el hecho de que el índice de refracción tiene dependencia con el campo eléctrico. Esto ocurre cuando la potencia óptica incidente es muy alta (aproximadamente de 100mW). No obstante, por simplicidad en los cálculos y porque normalmente este problema está bien controlado en la práctica, se trabajará en régimen lineal, considerándose que el índice de refracción en el medio es independiente tanto del campo

eléctrico, E##$, como del campo magnético, H##$.

� Una segunda consecuencia de trabajar en régimen lineal es que puede considerarse que cada componente de frecuencia interactúa de forma independiente con el medio, lo cual hace posible el empleo de esta técnica de modelado, como se verá a continuación.

� La última consideración que se tendrá en cuenta es que el medio es isótropo,

homogéneo en el plano xy####$ y sin pérdidas. De esta forma, se considera que el

índice de refracción sólo varía a lo largo del eje de la fibra, �(�).



3.2.1. PERTURBACIÓN GENÉRICA DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN

Teniendo en cuenta todas estas hipótesis, se puede describir de forma general que la perturbación del índice de refracción generada en el núcleo de la fibra a causa de la exposición a la radiación ultravioleta puede ser descrita por medio de las siguientes expresiones:

�(�) = �E + Δ�GHI · J(�) · K(L(�)) (3.7)

L(�) = M 2�Λ(�′) 5�′1E (3.8)

donde �E es el índice de refracción de la fibra sin perturbar, Δ�GHI representa la

modulación máxima del índice de refracción, J(�) describe la función de

apodizado, K(·) es la forma de la perturbación periódica, L(�) es la fase en radianes

y Λ(�) es el periodo de la red de difracción.

Como puede intuirse por la forma de la expresión (3.7), el perfil de índice de refracción puede llegar a tener una forma muy compleja, lo que dificulta el tratamiento matemático de la misma a la hora de realizar el análisis de la red. Por este motivo, se realiza una aproximación en la cual se muestrea dicha perturbación en capas que serán consideradas como medios dieléctricos de índice de refracción constante.



Ilustración 3.3: (a) Muestreo del perfil del índice de refracción, (b) Estructura multicapa resultante del

muestreo de la red

Para que esta aproximación tenga una exactitud adecuada, es necesario que cada periodo del perfil esté lo suficientemente muestreado, y así no tener pérdida de información. Una posibilidad es escoger la longitud de las capas de como máximo un orden de magnitud inferior al periodo mínimo de la perturbación. Hay que tener en cuenta que un número muy elevado de capas incrementaría en gran medida el tiempo computacional del algoritmo.

Se ha considerado una estructura multicapa uniforme, es decir, la longitud de cada capa será la misma a lo largo de toda la red. Las ventajas de esta decisión son la sencillez del algoritmo y la posibilidad de utilizar técnicas de Fourier en el análisis. El esquema resultante puede verse en la Ilustración 3.3.

3.2.2. ESTRUCTURA DE LAS CAPAS Y MATRICES DE TRANSMISIÓN

Una vez muestreado el perfil del índice de refracción, es posible hacer uso de la teoría de medios multicapa, considerando cada capa como una guía onda de índice de refracción constante y longitud conocida. Así mismo, la discontinuidad del índice



de refracción entre capas puede considerarse como una interfaz entre dos medios dieléctricos de distintos índices de refracción.

De esta forma, es posible caracterizar el dispositivo completo y, calculando las matrices de transmisión de cada capa, se obtendrá la función de transferencia del dispositivo a la salida del mismo.

Pero para ello, antes es conveniente hacer un breve comentario acerca de la notación utilizada para la descripción del algoritmo:

E+(z=0,f)

E-(z=L,f)

E+(z=L,f)

E-(z=0,f)

z

MFG

Mi Ii

Ilustración 3.4: Notación de los elementos que intervienen en el método de medios multicapa y

matrices de transmisión

La Ilustración 3.4 muestra un segmento de fibra óptica a cuyo núcleo se le ha grabado una perturbación periódica en el índice de refracción. El campo eléctrico que se propaga por la fibra debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell para el caso de régimen lineal, y por tanto, debe tener esta forma:

"#$(O) = "(�, O).,�P%&8 = ["+(�, O) + "2(�, O)].,�P%&8 (3.9)

En la expresión anterior, al igual que en la Ilustración 3.4, "+(�, O) representa la

amplitud compleja del campo eléctrico que se propaga en sentido positivo del eje �,

mientras que "2(�, O) es la amplitud compleja del campo que se propaga en sentido

negativo del eje �. &8 es un vector unitario en el sentido del eje &. Se ha considerado que el campo eléctrico está linealmente polarizado en esta dirección.

Haciendo uso de la teoría de medios multicapa, se modela cada capa como una matriz. Existirán dos tipos de matrices en la estructura: ST, que será la que modele una capa de dieléctrico de índice de refracción constante, e UT , que modelará la interfaz entre dos medios de distinto índice de refracción. La red completa también tiene una matriz asociada, SVW , resultado de la multiplicación de las distintas



matrices que van componiendo la estructura. Cada una de estas matrices son las denominadas matrices de transmisión.

Las matrices de transmisión son consecuencia de modelar el dispositivo como una bipuerta, y su principal ventaja radica en que precisamente la cascada de bipuertas se modela como el producto de las submatrices de transmisión de las subestructuras que lo componen, ya que los campos a la entrada y a la salida tienen el sentido adecuado para que esta operación sea posible. No ocurre lo mismo con las matrices de impedancia o de parámetros S (Reina, y otros, 2005).

A. Interfaz Dieléctrica

Se denomina interfaz dieléctrica a un dispositivo bipuerta cuya longitud es aproximadamente igual a 0, y en la que los índices de refracción de entrada y de salida son diferentes. La nomenclatura utilizada para los campos de entrada y de salida a ambos lados de la bipuerta es la mostrada en la Ilustración 3.5:

Ilustración 3.5: Interfaz entre medios dieléctricos con distinto índice de refracción

Las expresiones que relacionan las amplitudes complejas de estos campos son deducidas a partir de las ecuaciones de Maxwell, teniendo en cuenta la incidencia perpendicular a la estructura de una onda plana monocromática de frecuencia f:

"�+(�T , O) + "�2(�T , O) = "�+(�T , O) + "�2(�T , O) (3.10)

�� · ("�+(�T , O) − "�2(�T , O)) = �� · ("�+(�T , O) + "�2(�T , O)) (3.11)

La matriz correspondiente a la interfaz dieléctrica se obtiene sin más que reordenar los términos y expresar estas ecuaciones de forma matricial:



X"�+(�T , O)"�2(�T , O)Y = 12�� Z�� + �� − �� + �� + ��[ X"�+(�T , O)"�2(�T , O)Y = UT X"�+(�T , O)"�2(�T , O)Y (3.12)

Así, la matriz Ii será la utilizada para caracterizar cualquier interfaz dieléctrica entre dos medios de distinto índice de refracción.

B. Medio de índice constante

La siguiente estructura que es necesario estudiar para caracterizar la red de difracción completa es una capa de dieléctrico isótropa y sin pérdidas, de longitud �, > 0, e índice de refracción constante a lo largo de esta longitud.

Ilustración 3.6: Capa de dieléctrico de Índice de refracción constante, homogénea y sin pérdidas

De nuevo se apunta en la ilustración la nomenclatura tomada para los campos de entrada y salida en la estructura y la dirección de cada uno de ellos. Se debe estudiar aquí la propagación de una onda plana monocromática de frecuencia f que incide perpendicular en la estructura. Las ecuaciones que relacionan las amplitudes complejas de estos campos son:

"�+]�T + �, , O^ = "�2(�T , O)).2,�P_ `010 (3.13)

"�+(�T , O) = "�2]�T + �, , O^).,�P_ `010 (3.14)

En las expresiones, c representa la velocidad de la luz en el vacío. Al igual que en el caso de la interfaz dieléctrica, es posible obtener la matriz que caracteriza esta estructura sin más que reordenar las ecuaciones anteriores y expresarlas de forma matricial. Así, se obtiene la siguiente relación:



X"�+(�T , O)"�2(�T , O)Y = a.,�P_ `010 00 .2,�P_ `010b X"�+(�T , O)"�2(�T , O)Y = ST X"�+(�T , O)"�2(�T , O)Y (3.15)

La matriz Mi caracteriza la propagación de una onda plana monocromática a través de una capa de dieléctrico homogénea, isótropa y sin pérdidas.

3.2.3. OBTENCIÓN DE LA CARACTERÍSTICA ESPECTRAL

El último paso para obtener la característica espectral de la red de difracción de

Bragg es el cálculo de matriz de transmisión total del dispositivo, SVW haciendo uso de las matrices de las subestructuras que se han estudiado hasta ahora. Esta matriz caracterizará al dispositivo completo como una bipuerta, relacionando las amplitudes complejas de los campos eléctricos a la entrada y a la salida de la red. Para obtenerla, se multiplican las matrices de la capa de dieléctrico homogénea y de interfaz entre capas tal y como aparecen en la estructura total, desde el extremo � = 0 al extremo � = �.

n1 n3n2

z3z2z1

z

z=0

n(m-1) nm

zmz(m-1)

z=L

E+(z=0,f)

E-(z=L,f)

E+(z=L,f)

E-(z=0,f)

MFG

Ilustración 3.7: Obtención de la matriz de transferencia total a partir de las subestructuras que la

forman

SVW = S� · U� · S� · U� · ⋯ · U(G2�) · SG (3.16)

donde d representa el número total de capas en las que se divide la red de

difracción completa, ST es la matriz correspondiente a la capa i-ésima de medio

dieléctrico homogéneo e UT representa la matriz de la interfaz entre la capa i y la (i-1).



Una vez obtenida SVW , la expresión que relaciona los campos a la entrada y a la salida de la red completa es la siguiente:

X"+(� = 0, O)"2(� = 0, O)Y = XSVW�� 0SVW��SVW�� SVW�� Y X"+(� = �, O)"2(� = �, O)Y= SVW X"+(� = �, O)"2(� = �, O)Y

(3.17)

Es importante tener en cuenta que a la hora de realizar el modelo, no se ha considerado en ningún momento la forma original de la perturbación, es decir, que se trata de un método totalmente genérico, que proporciona resultados válidos independientemente de la complejidad del perfil de la perturbación, y mantendrá una exactitud aceptable siempre que la longitud de las capas sea lo suficientemente pequeña como para capturar cualquier tipo de deformidad presente en la perturbación del índice.

También se hace notar que la longitud de las capas no tiene por qué permanecer constante a lo largo de la longitud de la red de difracción, en otras palabras, que el periodo de muestreo puede variar a lo largo del dispositivo. La longitud de cada capa individual afectará de manera independiente a la matriz correspondiente a la capa de medio dieléctrico homogéneo, y tras la multiplicación de todas las matrices, el resultado final no dependerá del periodo de muestreo. Esto no se aplicará a las simulaciones realizadas a la hora de hacer análisis, pero sí habrá que tener especial cuidado con esto al llevar a cabo la síntesis de filtros ópticos, como se verá más adelante.

Una vez en este punto, ya se tienen todos los datos necesarios para obtener la característica espectral del dispositivo: suponiendo que la red se excita por uno de

sus extremos (por ejemplo, por � = 0 → "+(� = 0, O) ), no existirá excitación propagándose en sentido contrario a la de entrada en el extremo opuesto, (en � = � → "2(� = �, O) = 0 ). Imponiendo esta condición sobre la ecuación (3.17), se tiene que la función de transferencia en reflexión del dispositivo es:

fg(O) = |fg(O)|.,ij() = k"2(� = 0, O)"+(� = 0, O)lmn(1op,)oE = SVW��SVW��

(3.18)

De la misma manera, aplicando la misma condición de contorno, se calcula la función de transferencia en transmisión como:



fq(O) = |fq(O)|.,ir() = k"+(� = �, O)"+(� = 0, O)smn(1op,)oE = 1SVW��

(3.19)

donde O es la frecuencia óptica de la onda que se propaga por la red.

3.3. CARACTERIZACIÓN DE LAS REDES DE DIFRACCIÓN

Una vez conocido el método a utilizar en el análisis de redes de difracción, se procederá a caracterizar los distintos tipos de redes que se han venido estudiando hasta nuestros días. Esta caracterización será tanto macroscópica como microscópica (Carballar, 1999):

A. Caracterización Macroscópica

La caracterización macroscópica se refiere a aquella que estudia el comportamiento de una red cuando se le induce una señal de entrada y se obtiene una salida. De esta forma, se puede considerar dicha red como una caja negra, y el único resultado obtenido es la salida completa del dispositivo, bien sea en el dominio frecuencial o en el temporal.

Esta caracterización viene dada por las funciones de transferencia en transmisión y

en recepción (fg(O) y fq(O), representadas por las ecuaciones (3.18) y (3.19)) y sus

correspondientes respuestas impulsivas (ℎg(() y ℎq(()), que se obtienen sin más que aplicar la transformada de Fourier inversa a las primeras (Erdogan, 1997), tal y como se detalló en el apartado 3.2.3.

ℎg(() = ℱ2�[fg(O)] (3.20)

ℎq(() = ℱ2�[fq(O)] (3.21)

De las funciones de transferencia mencionadas no solo es posible obtener la caracterización en el dominio temporal. También se obtiene otra información que resulta de interés en el estudio de las redes de difracción, como son la reflectividad 6(O) y la transmitividad v(O) en potencia del dispositivo, que se calculan a partir del módulo de la función de transferencia:



6(O) = |fg(O)|� = lSVW��SVW��l�

(3.22)

v(O) = |fq(O)|� = l 1SVW��l�

(3.23)

También el retardo de grupo en transmisión y en reflexión, que se calculan diferenciando la fase de la función de transferencia con respecto a la frecuencia óptica:

wx(O) = − 12� 5@x(O)5O

(3.24)

w%(O) = − 12� 5@%(O)5O

(3.25)

B. Caracterización Microscópica

La caracterización microscópica, sin embargo, permite conocer y estudiar con mayor profundidad los fenómenos físicos que se producen en el interior del dispositivo, ya que con ella se puede observar cómo se comporta el dispositivo con cada frecuencia en cada punto del mismo. Con este tipo de caracterización se representa el flujo de potencia de las ondas que viajan tanto en sentido codireccional como en sentido contradireccional en cada punto interior de la red y para cada frecuencia.

Para realizar esta caracterización, se utilizará la matriz de transmisión SVW del dispositivo completo, calculada tal y como se ha visto en el apartado 3.2.3. La red de

difracción se excita por el extremo � = 0 ("+(� = 0, O) conocido), por lo que no existirá campo propagándose en sentido contrario más que el de las propias

reflexiones. Por eso, en el extremo � = �, el campo será nulo ("2(� = �, O) = 0). De esta forma, es posible conocer todos los campos a la entrada y a la salida del dispositivo utilizando las siguientes expresiones:

"+(� = �, O) = 1S�� "+(� = 0, O) (3.26)



"2(� = 0, O) = S��S�� "+(� = 0, O) (3.27)

Existen dos alternativas para el cálculo de las amplitudes complejas de los campos en un plano cualquiera en el interior del dispositivo: comenzar a calcular los campos haciendo un barrido por todos los planos del mismo comenzando por el plano de

salida � = �; o bien realizar dicho barrido comenzando por el plano de entrada, � = 0 (Carballar, 1999). En este proyecto se utilizará el segundo método, por ser más intuitivo y más sencillo de implementar computacionalmente.

Ilustración 3.8: Cálculo del campo eléctrico en un plano interior del dispositivo

El formalismo matemático a seguir para desarrollar este tipo de caracterización es el siguiente. Para un plano de referencia arbitrario en el interior del dispositivo:

1. Se calcula la matriz de transferencia Sy’, multiplicando las submatrices de

interfaz y medio de n constante desde el plano de entrada � = 0 hasta el

plano � = �y. La ecuación matricial resultante es la siguiente:

X"+(� = 0, O)"2(� = 0, O)Y = Sy{ a"+]� = �y , O^"2]� = �y , O^b (3.28)



= aSy��{ Sy��{Sy��{ Sy��{ b a"+]� = �y, O^"2]� = �y, O^b

2. De ahí se puede calcular el valor de los campos en el plano de referencia, sin más que despejarlos de la ecuación (3.28). Será necesario también hacer uso de la ecuación (3.27):

"+]� = �y , O^ = 1*S′y* |Sy��{ "+(� = 0, O) − Sy��{ "2(� = 0, O)}= 1*S′y* ~Sy��{ − Sy��{ S��S�� "+(� = 0, O)

(3.29)

"2]� = �y, O^ = 1*S′y* |−Sy��{ "+(� = 0, O) − Sy��{ "2(� = 0, O)}= 1*S′y* ~−Sy��{ + Sy��{ S��S�� "+(� = 0, O)

(3.30)

donde *S′y* es el determinante de S′y.

3. A continuación, se calcula la amplitud del campo total en el plano � = �y

mediante la suma de los campos eléctricos que van en los dos sentidos de propagación en dicho plano.

"]� = �y , O^ = "+]� = �y , O^ + "+]� = �y , O^ = = 1*S{y* ~]Sy��{ − Sy��{ ^ + ]−Sy��{ − Sy��{ ^ S��S�� "+(� = 0, O) (3.31)

La distribución de potencia óptica a lo largo del dispositivo es directamente proporcional a módulo al cuadrado del campo eléctrico:

�(� = �y) ∝ *"(� = �y)*� (3.32)

4. Una vez conocido el valor de los campos en el plano de referencia interior del dispositivo, para caracterizarlo microscópicamente hay que obtener la función de transferencia en transmisión (mismo sentido que la excitación) y en reflexión (sentido opuesto a la excitación) en ese plano:



f+]� = �y , O^ = k"+]� = �y , O^"+(� = 0, O) smn(1op,)oE (3.33)

f2]� = �y , O^ = k"2]� = �y , O^"+(� = 0, O) smn(1op,)oE (3.34)

y las correspondientes respuestas impulsivas internas, también en transmisión y en reflexión. De nuevo, estas se obtienen calculando la transformada de Fourier inversa de las anteriores:

ℎ+]� = �y, O^ = ℱ2�|f+]� = �y , O^} (3.35)

ℎ2]� = �y, O^ = ℱ2�|f2]� = �y , O^} (3.36)

5. Por último, se repite esta secuencia de pasos para un número representativo de planos internos del dispositivo y se representa de forma tridimensional los resultados obtenidos. La gráfica así mostrada representará en un eje, el rango de frecuencias considerado; en otro, la longitud el dispositivo a través de los planos internos que se hayan tomado para el cálculo; y en el último, la función de transferencia calculada con las ecuaciones (3.33) y (3.34). De esta forma, se tiene completamente caracterizado el dispositivo tanto en el dominio frecuencial como en el temporal, y tanto en transmisión como en reflexión.

Ya se ha comentado cómo las redes de difracción presentan una gran flexibilidad en el sentido que permiten conseguir distintas características espectrales para el filtrado óptico. Para ello basta con modificar el perfil de índice de refracción en el núcleo de la red. De esta forma, introduciendo funciones de apodizado, chirp o saltos de fase entre otras posibilidades, se puede modelar las características espectrales y conseguir un filtrado acorde con los requerimientos en cada caso. A continuación se realizará el análisis detallado de las estructuras existentes, en el que se hará hincapié en:

� Cómo afectan las variaciones de cada parámetro de la red en la característica final del filtro.

� El resultado de cada uno de los tipos de caracterización comentados: macroscópica y microscópica.



� Análisis en reflexión y en transmisión.

� Análisis en el dominio frecuencial y en el dominio temporal.

3.3.1. RED DE DIFRACCIÓN UNIFORME

Las redes de difracción uniformes son aquellas cuyo perfil de índice de refracción en el núcleo de la fibra tiene un periodo constante a lo largo de su eje, y una envolvente también constante e igual al incremento del índice de refracción inducido en el núcleo de la fibra (Hill, y otros, 1978).

Analíticamente, la función que describe el perfil de la perturbación del índice de refracción en el núcleo de la red que se va a analizar es la siguiente:

�(�) = �E + ∆�GHIsen� XπzΛ�Y (3.37)

y se extiende a lo largo de una longitud �. Esta expresión se puede relacionar con la ecuación (3.7) para identificar cada uno de sus parámetros. De esta manera, se

comentaba que �E es el índice de refracción de la parte de la fibra que no ha sufrido

perturbación y Δ�GHI es la modulación máxima del índice de refracción, que en este caso coincide con la amplitud de la senoide. Al ser una red uniforme, no se tiene en

cuenta la función de apodizado, J(�) y el periodo Λ(�) no depende de �.

Los valores numéricos de cada uno de los parámetros mencionados son, para la red analizada como ejemplo en este apartado:

Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 Fibra AT&T Accutheter �� 5·10-4 �� 535 nm L 5 mm

Tabla 3.1: Valores de los parámetros para una red de difracción uniforme

Por lo tanto, la forma de la red es la mostrada en la siguiente ilustración:



(a) (b)

Ilustración 3.9: (a) Perfil de la perturbación uniforme, (b) Ampliación del inicio de la perturbación

En la figura (a) se representa la perturbación completa. Como se puede apreciar, se trata de una red de 5 mm de perfil sinusoidal, cuya amplitud no se encuentra

centrada en �E, sino que la perturbación crece a partir de ese valor. Esto es debido a que, en la expresión analítica, se ha considerado el seno elevado al cuadrado. Con esto se pretende representar el hecho de que al fotoimprimirse la red de difracción en el proceso explicado en el apartado 1.2.1, se produce un crecimiento del índice de refracción con respecto al índice del núcleo. En la figura (b), se muestra una

ampliación de la figura de la izquierda en la parte inicial de la red (� = 0), para ver con más detalle la forma del índice de refracción.

El primer paso para llevar a cabo el análisis es muestrear la red en capas que serán consideradas de índice de refracción constante, para obtener así la estructura de bipuertas a analizar mediante las matrices de transmisión. Con el objetivo de considerar cualquier pequeña perturbación en el perfil de la perturbación, resulta conveniente que estas capas sean lo más delgadas posible, mucho menor que el

periodo de la red (�G ≪ Λ�). Se considera un buen valor de compromiso entre exactitud y tiempo de cómputo tomar las capas de al menos un orden de magnitud menor al periodo. En este caso, se ha tomado que la longitud de cada capa será 11 veces menor que el periodo, es decir, de 48,636 nm. Aunque no es necesario, se ha tomado un número primo de capas por periodo por comodidad a la hora de analizar los resultados, ya que de esta manera, en una red sin función de chirp, los puntos de muestreo son los mismos en cada periodo.

Una vez teniendo la estructura de capas, se calcula la característica espectral completa del dispositivo mediante el algoritmo de las matrices de transmisión, obteniéndose así la función de transferencia en reflexión (codireccional) y en transmisión (contradireccional).



La información que la herramienta de análisis implementada proporciona se obtiene a partir de las citadas funciones de transferencia y se muestra en los siguientes apartados.

A. Reflectividad y Transmitividad

En la figura, se muestra el módulo al cuadrado de las funciones de transferencia obtenidas mediante el modelo explicado en el apartado 3.2.3. En ella, se ha acotado un rango de frecuencias suficiente para visualizar la parte más representativa de la característica espectral.

(a)

(b)

Ilustración 3.10: (a) Reflectividad de la red de difracción uniforme, (b) Transmitividad de la red

uniforme



Se puede comprobar cómo efectivamente la red de difracción de Bragg actúa como un filtro paso de banda, de banda muy estrecha centrada en la frecuencia de Bragg, que en este caso es de:

O� = �2��Λ� = 192,928 vf� (3.38)

donde � es igual a la velocidad de la luz en el vacío, y se toma como 2,997393�108 m/s en lugar de la aproximación de 3�108 m/s. Esto se debe a que se están tratando con órdenes de magnitud muy altos, del orden de 1012, por lo que cualquier mínimo error en los valores se verá magnificado a la larga en los cálculos. �� es el índice

de refracción efectivo, que se corresponde con el valor medio del perfil sinusoidal

de la perturbación, en este caso �� = �E + Δ� 2 = 1,45225⁄ .

El ancho de banda de paso es de aproximadamente unos 50 GHz. Se ha demostrado experimentalmente que el valor del ancho de banda de paso está relacionado con la longitud de la red y la modulación máxima del índice de refracción de la perturbación, de tal manera que a mayor longitud de la red, menor será el ancho de banda acoplado por la estructura. Una explicación de este hecho se puede encontrar en (Carballar, 1999). Aquí, se expone cómo si se hiciera un análisis de una red infinita, idealmente la función de transferencia sería un filtro paso de banda que sólo dejaría pasar una única frecuencia, la frecuencia de Bragg. Así, a medida que se va reduciendo la longitud de la red de difracción, la forma de la característica espectral se va alejando más de este impulso en frecuencia, ensanchándose su ancho de banda de paso.

La Ilustración 3.10 muestra también unos lóbulos en ambos lados de la banda de paso del filtro en reflexión, y de la banda de rechazo del filtro en transmisión. Estos lóbulos secundarios se producen como consecuencia de la brusca variación que sufre el índice de refracción en los extremos de la red: el índice pasa de ser constante

a tener un perfil sinusoidal con una amplitud igual a Δ� al comienzo de la red, y al contrario al final de la misma. A este fenómeno se le denomina resonancias Fabry-Perot, y posteriormente, en el apartado 3.3.2, se verá cómo reduciendo esa variación tan brusca mediante la introducción de un cierto apodizado, los lóbulos secundarios se hacen más pequeños.

B. Característica en el dominio temporal

La caracterización en el dominio temporal se obtiene aplicando la transformada de Fourier inversa a la función de transferencia obtenida. En la ilustración se representa



la respuesta impulsiva del filtro en un rango de tiempos que ha sido recortado para poder visualizar mejor la forma de la gráfica.

La respuesta impulsiva es una función causal (es cero para valores negativos de tiempo), y estable (para una entrada acotada, la salida también es acotada), lo que asegura que el filtro es realizable, y es algo que se tendrá que tener en cuenta a la hora de hacer síntesis, pero esto se estudiará con más detalle más adelante, en el Capítulo 4.

De la información que se obtiene de la característica en el dominio temporal, es importante notar dónde se encuentran situados los picos, tanto en la respuesta en transmisión como en la respuesta en reflexión. En transmisión (Ilustración 3.11.b), el pico más alto se encuentra en el punto en el cual las frecuencias de la onda que no son reflejadas en su propagación por la red alcanzan el extremo opuesto de la misma.

(y = �� = 2,42 · 102�� (3.39)

Este es el único pico que muestra la respuesta en transmisión. Sin embargo, se pueden apreciar minúsculos lóbulos tanto anteriores como posteriores a este pico. Estos son debidos a las resonancias internas que se producen en el interior de la red.

(a)



(b)

Ilustración 3.11: Respuesta impulsiva de la red de difracción uniforme analizada: (a) En reflexión, (b)

En transmisión

La figura correspondiente a la respuesta impulsiva en reflexión, la Ilustración 3.11.(a), muestra cómo ésta contiene más lóbulos y picos que la respuesta en

transmisión. El pico que se produce alrededor del punto ( = 0,5 · 102�E segundos corresponde con el tiempo de ida y vuelta de la onda en su propagación por el dispositivo.

(′y = 2�� = 2 · (y = 4,84 · 102�� (3.40)

Anterior a este pico, se encuentra un lóbulo principal, que se corresponde con la primera reflexión de la radiación electromagnética en su propagación por la red, y un segundo lóbulo más pequeño provocado por las resonancias internas. Tras el pico antes mencionado, siguen sucediéndose lóbulos secundarios, que también son provocados por las reflexiones internas de la radiación que queda dentro del dispositivo.



C. Retardo de grupo

(a) (b)

Ilustración 3.12: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red uniforme analizada

Para finalizar con la caracterización macroscópica, en la Ilustración 3.12 se representa el retardo de grupo en reflexión (a) y en transmisión (b), obtenidos como la diferenciación de la fase de la función de transferencia con respecto a la frecuencia.

En redes que no presentan variación en el periodo de la perturbación, el retardo de grupo es aproximadamente simétrico con respecto a la frecuencia de Bragg (salvo por los picos de retardo positivo que aparecen en la gráfica del retardo de grupo en reflexión).

La dispersión (generalmente medida en ps/nm o ps2) se calcula como la variación del retardo de grupo con respecto a la longitud de onda:

5y = 5wy5� = 2wy� − ��2�� 5�@y5�� = − 2�� 5�@y5�� (3.41)

donde el subíndice p puede ser sustituido por r para representar la característica en reflexión, o por t, para la característica en transmisión.

En la red uniforme, la dispersión en reflexión es cero cerca de la frecuencia de Bragg, y solo se hace apreciable cerca de las bandas en las que se producen los lóbulos secundarios del espectro, donde varía rápidamente con la frecuencia. Este



comportamiento también es debido a las resonancias Fabry-Perot, anteriormente comentadas (Erdogan, 1997).

D. Espectro de potencia interno

(a)

(b)

Ilustración 3.13: Espectro de potencia interno de la red uniforme analizada: (a) En reflexión, (b) En

transmisión



En la figura se muestra la característica microscópica de la red en frecuencia. Esta caracterización aporta más información que la característica macroscópica ya que permite estudiar los fenómenos físicos que se producen en el interior del dispositivo.

La Ilustración 3.13 (a) representa el flujo de potencia interno que viaja en el sentido codireccional para cada punto interior a la red. El eje horizontal representa el rango de frecuencias considerado en la simulación, mientras que el eje vertical muestra la longitud del dispositivo. La variación en el nivel de gris de la imagen representa el módulo al cuadrado de la función de transferencia para cada punto interior a la red, siendo los niveles más claros los más próximos a cero, mientras que los más oscuros corresponden a los niveles más altos (más próximos a la unidad).

En la figura se aprecia cómo la red de difracción actúa como un filtro selectivo en frecuencia óptica, y la existencia de los lóbulos secundarios alrededor de la banda de paso del filtro en recepción; y de la banda de rechazo en transmisión. También se puede ver el comportamiento de estas bandas a lo largo de la longitud del dispositivo.

E. Respuesta Impulsiva Interna

Para finalizar con el estudio de la red de difracción uniforme, se muestra la caracterización interna en el dominio temporal.



(a)

(b)

Ilustración 3.14: Respuesta impulsiva interna de la red uniforme analizada, y comparación con la

respuesta impulsiva macroscópica: (a) En reflexión, (b) En transmisión



La ilustración representa el módulo de la respuesta impulsiva interna en reflexión y transmisión, para cada punto del dispositivo. En ella, se observa cómo se comporta el campo eléctrico en el dispositivo de una forma muy intuitiva. En reflexión (Ilustración 3.14 (a)), se puede ver la propagación del rayo directo en su camino de ida y vuelta, y cómo actúan las reflexiones internas en ambos caminos de propagación. En transmisión (Ilustración 3.14 (b)), se aprecia claramente la propagación del campo en el sentido ida, hasta el otro extremo de la red, que se produce en unos 5ps, tal y como se calculó en el apartado B.

Se ha representado la caracterización microscópica acompañada de la caracterización macroscópica temporal con la que está relacionada. De esta forma, se puede ver cómo efectivamente este tipo de caracterización aporta más información, ya que muestra el comportamiento de los campos electromagnéticos tanto a lo largo del tiempo, como en su desplazamiento longitudinal por la red de difracción. La gráfica que muestra la caracterización macroscópica está relacionada

con la visualización de los campos en el tiempo en � = 0 en reflexión, y � = � en transmisión.

3.3.2. RED DE DIFRACCIÓN UNIFORME CON FUNCIÓN DE APODIZADO

Una vez analizada una red uniforme, se tomará como base para realizar una comparativa con el resto de las redes presentadas hasta nuestros días. A continuación, se va a proceder a incluir a una red como la anterior una función de apodizado. Para ello, se multiplica la función sinusoidal por otra función que modifica su amplitud, de tal manera que reduce la envolvente de la senoide por los extremos de la red. Con esto se persigue reducir el perfil de la perturbación del índice de refracción por las zonas más próximas al trozo de fibra con índice de refracción constante, para que la interfaz entre la fibra y la red no presente un cambio brusco. De esta forma, se conseguirá reducir los lóbulos secundarios de la función de transferencia de filtrado óptico.

Por lo tanto, se tiene que la expresión analítica que representa la perturbación del índice de refracción en este caso es la siguiente:

�(�) = �E + ∆�GHIA(z)sen� XπzΛ�Y (3.42)

Los valores de cada uno de los parámetros utilizados son los que aparecen en la siguiente tabla:



Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 8·10-4 �� 535 nm L 10 mm

A(z) �� Z�2 + �� [

Tabla 3.2: Valores de los parámetros para una red de difracción con apodizado

Con estos valores, la forma del índice de refracción resultante es la mostrada en la siguiente ilustración:

(a) (b)

Ilustración 3.15: Forma del Índice de refracción de la perturbación con apodizado: (a) Perturbación

completa, (b) Ampliación del fragmento inicial

De nuevo se ha representado en la figura (a) la perturbación completa y en la figura (b), una ampliación de la primera cercana al comienzo de la red. La nueva red es del doble de longitud de la analizada anteriormente, y con una modulación de índice de refracción máxima también doble al primer caso. De nuevo, el perfil de la

perturbación crece a partir del valor �E.

Utilizando el modelo general propuesto para el análisis de las redes de difracción en fibra se calcula de nuevo la función de transferencia del dispositivo, y a partir de ella, se calcularán los demás elementos hasta obtener la característica macroscópica y microscópica al completo, tanto en tiempo como en frecuencia. Para el muestreo en capas y la obtención de la estructura multicapa se ha vuelto a tomar la cantidad de 11 capas por periodo.

Tras el análisis del dispositivo, se han obtenido los siguientes resultados:




Comparando la siguiente ilustración con la Ilustración 3.10, lo primero que se observa es una reducción significativa del número y el tamaño de los lóbulos laterales en la característica de reflectividad y transmitividad del dispositivo. De hecho, los lóbulos secundarios que se encontraban en frecuencias menores a la frecuencia de Bragg (frecuencia para la cual la reflectividad es máxima) han sido completamente eliminados, mientras que para frecuencias mayores a esta frecuencia de Bragg siguen apareciendo algunos lóbulos.

(a)

(b)

Ilustración 3.16: Reflectividad (a) y Transmitividad (b) de la red de difracción con función de

apodizado analizada



Este hecho se interpreta en (Carballar, 1999) como el resultado de la variación en el índice de refracción efectivo que ve la radiación electromagnética en su propagación por el dispositivo. Al no permanecer constante esta cantidad, la condición de Bragg va variando a lo largo de la estructura y se produce un comportamiento asimétrico en la red con respecto a las frecuencias ópticas, a pesar de que la perturbación del índice de refracción sí sea simétrica.

En este caso, debido a la forma asimétrica de las características de transmitividad y reflectividad, se interpreta la frecuencia de Bragg como aquella para la que la

reflectividad del dispositivo es máxima, en este caso, O� = 193,09 THz.

Por otro lado, el ancho de banda de 3dB acoplado por la red se ha reducido como consecuencia del aumento de la longitud de la red, siendo ahora de unos 40GHz. En el apartado 3.3.5 se verá la forma de conseguir filtros de gran ancho de banda sin tener que reducir infinitamente la longitud de la red, ya que esto supondría un problema a la hora de acoplar potencia al modo contradireccional.


Aplicando la transformada de Fourier inversa a la función de transferencia, se obtiene la caracterización macroscópica temporal. De nuevo se trata de una función causal y estable, con unos picos significativamente más pequeños que la respuesta impulsiva anterior. En esta disminución se aprecia el efecto de la reducción de las resonancias Fabry-Perot.

Debido a que se ha considerado una red de longitud doble a la red anterior, el tiempo de propagación del rayo en el dispositivo se ha duplicado, apareciendo el pico en la respuesta en transmisión en el instante:

(y = �� = 4,84 · 102�� (3.43)

Alrededor de este punto, los lóbulos que aparecían en la red uniforme se han reducido considerablemente.



(a)

(b)

Ilustración 3.17: Respuesta impulsiva de la red de difracción con apodizado analizada: (a) En reflexión,

(b) En transmisión

En el caso de la respuesta impulsiva en reflexión, la ilustración muestra un lóbulo principal suavizado con respecto al caso anterior debido la influencia del apodizado, y a un segundo lóbulo correspondiente a las resonancias internas que se producen en la red.



C. Retardo de grupo

(a) (b)

Ilustración 3.18: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red con apodizado

analizada

En cuanto a la característica de retardo de grupo, se puede comprobar cómo en reflexión, la dispersión introducida se ha aplanado en la zona donde se han eliminado los lóbulos secundarios (frecuencias anteriores a la frecuencia de Bragg), aunque el problema de la dispersión permanece en las demás frecuencias.


(a)



(b)

Ilustración 3.19: Espectro de potencia interno de la red con apodizado analizada: (a) En

reflexión, (b) En transmisión

En la figura se muestra el comportamiento interno del dispositivo, en reflexión y en transmisión. De nuevo se aprecia en la gráfica la inexistencia de lóbulos secundarios anteriores a la frecuencia de Bragg, gracias a la introducción del apodizado.


En esta última gráfica para la red con apodizado, de nuevo se puede visualizar claramente el mismo comportamiento comentado en el apartado de la característica macroscópica en el dominio temporal, pero esta vez incluyendo también el comportamiento a lo largo del eje longitudinal de la red.



(a)

(b)

Ilustración 3.20: Respuesta impulsiva interna de la red con apodizado analizada, y comparación con la




3.3.3. RED DE DIFRACCIÓN UNIFORME CON FUNCIÓN DE APODIZADO

SINC E ÍNDICE DE REFRACCIÓN MEDIO CONSTANTE

La siguiente red propuesta tiene como objetivo fundamental conseguir que la característica de filtrado óptico en reflexión se aproxime a un filtro cuadrado ideal, cuyo retardo de grupo sea constante. Para ello, se propone una red de difracción de

periodo uniforme a lo largo de su longitud, y apodizado con forma de función ��

(�.�(&)/&).

El diseño de este filtro está basado en la técnica de la transformada de Fourier aplicada a la síntesis de filtros de capa delgada (Carballar, 1999). Existe una relación entre la forma de la envolvente de la perturbación y el coeficiente de reflexión en campo, dada por la transformada de Fourier. De esta manera, buscando el conseguir un coeficiente de reflexión cuadrado, se propone dotar al perfil sinusoidal de

periodo constate de una envolvente con forma de �� . Además de esta consecuencia, también se produce la eliminación de los lóbulos secundarios de la función de transferencia de la red, por los mismos motivos comentados en el apartado anterior. Una diferencia con respecto a la red con apodizado anteriormente analizada es que en este caso, el índice de refracción medio será igual al índice de refracción de la red sin perturbar, es decir, �� = �E. El proceso para la grabación

de este tipo de redes consta de dos etapas, una que graba un índice de refracción medio a lo largo del eje de la fibra, y otro que genera el apodizado.

La expresión analítica que representa la perturbación del índice de refracción en este caso es la siguiente:

�(�) = �E + ∆�GHIA(z)sen X2πzΛ� Y (3.44)

Los valores de cada uno de los parámetros utilizados son:



Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 8·10-4 �� 534,54 nm L 5 mm

A(z) �� − � 2�Λ� � = �� 2�]� − � 2� ^

Λ� �2�]� − � 2� ^

Λ�

�� 1,66mm Parámetro que determina

la periodicidad de los lóbulos de la sinc

Tabla 3.3: Valores de los parámetros para una red de difracción con apodizado sinc

La forma del índice de refracción resultante es la mostrada en la siguiente ilustración:

(a) (b)

Ilustración 3.21: Forma del Índice de refracción de la perturbación con apodizado Sinc: (a)

Perturbación completa, (b) Ampliación de un fragmento de su longitud

Se introduce esta red en la herramienta de análisis implementada y se obtienen los siguientes resultados:


En la Ilustración 3.22 se aprecia cómo los lóbulos secundarios que aparecían en las simulaciones anteriores han desaparecido por completo, y que la forma tanto de la



reflectividad como de la transmitividad se asemeja a una función cuadrada. Sin embargo, la ganancia en la banda de paso no es constante, sino que presenta un cierto rizado. Esto es producido por el fenómeno de Gibbs, y depende del número de lóbulos de la función sinc a lo largo de la longitud de la perturbación,

coincidiendo con la cantidad ( + 1)/2, siendo el número de lóbulos total.

(a)

(b)

Ilustración 3.22: Reflectividad (a) y transmitividad (b) de la red de difracción con función de

apodizado sinc analizada



En este caso, el ancho de banda del filtro no solo viene impuesto por la longitud �

de la red, sino que también influye el parámetro de la sinc Λ� , a través de la expresión:

� = �2��Λ¡

(3.45)

Al tratarse de una función de transferencia periódica, la frecuencia de Bragg se

encuentra situada en el centro de la banda de paso, O� = 193,1 THz.


En cuanto a la caracterización temporal, se observa que la respuesta impulsiva en reflexión presenta una serie de lóbulos secundarios. Los dos primeros son debidos a los lóbulos de la función de apodizado, pero no ocurre lo mismo con los siguientes, que son debidos a resonancias internas que ocurren en el dispositivo (Carballar, 1999).

(a)



(b)

Ilustración 3.23: Respuesta impulsiva de la red de difracción con apodizado sinc analizada: (a)

En reflexión, (b) En transmisión

C. Retardo de grupo

Como se puede ver en las gráficas que muestran el retardo de grupo de esta red, en reflexión los efectos de dispersión se han reducido en gran medida, y la característica de retardo de grupo se mantiene aproximadamente constante en el rango de frecuencias de interés.

(a) (b)

Ilustración 3.24: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red con apodizado

sinc analizada




La Ilustración 3.25 muestra la cuadratura de la caracterización microscópica espectral del dispositivo. Además, a través de los niveles de gris de la gráfica se puede apreciar cómo el acoplo de potencia entre los modos codireccional y contradireccional está más distribuido en frecuencia, y se produce en la primera mitad de la red. Esto es precisamente lo que consigue la cuadratura mencionada.

(a)

(b)

Ilustración 3.25: Espectro de potencia interno de la red con apodizado sinc analizada: (a) En reflexión,

(b) En transmisión



En este caso no se producen picos de acoplo de potencia, como ocurría en los dos casos anteriores, por lo que los lóbulos laterales no aparecen con la aplicación de este tipo de apodizado.


En la siguiente figura, cabe destacar la resonancia que aparece en la gráfica (b), hacia

la mitad del dispositivo (� = 5dd). Esto se puede relacionar fácilmente con la forma de la perturbación del índice de refracción, ya que la onda electromagnética, cuando llega al dispositivo, encuentra en primer lugar dos pequeños lóbulos que

modifican el valor de �(�). Tras ellos, en torno al centro del dispositivo, encuentra un lóbulo de amplitud muy superior a los anteriores, generándose así la resonancia que se representa con tonos más oscuros en la gráfica.

(a)



(b)

Ilustración 3.26: Respuesta impulsiva interna de la red con apodizado sinc analizada, y

comparación con la respuesta impulsiva macroscópica: (a) En reflexión, (b) En transmisión

3.3.4. RED DE DIFRACCIÓN UNIFORME CON SALTO DE FASE DE “Π”

RADIANES

El hecho de introducir un salto de fase de π radianes en el perfil sinusoidal de índice de refracción permite trabajar en transmisión con una red de difracción de periodo corto, evitando así la utilización de los indeseables circuladores ópticos.

Para estudiar cómo se genera esta banda de paso en transmisión, se analizará la red representada por la siguiente expresión analítica para el índice de refracción:

�(�) ¢£¤ �E + ∆�GHIsen� XπzΛ�Y , z ∈ ~0, E XL/2Λ� Y Λ��

�E + ∆�GHIsen� Xπ2 + πzΛ�Y , z ∈ ~E XL/2Λ� Y Λ�, L�k

(3.46)




Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 7·10-4 �� 535 nm L 4 mm

Tabla 3.4: Valores de los parámetros para una red de difracción con salto de fase

La ecuación (3.46) no representa más que una red de perfil sinusoidal de 4mm, que sería uniforme si no fuera porque a la mitad de la red (2 mm), se introduce un salto de fase de π radianes. El hecho de que la función sinusoidal esté al cuadrado (por los motivos que se explicaron en el apartado de la red uniforme) hace que en su argumento, para conseguir este desfase, haya que sumar π/2 radianes. Finalmente, el efecto conseguido es el deseado, como muestra la siguiente ilustración:

(a) (b)

Ilustración 3.27: Forma del Índice de refracción de la perturbación con salto de fase: (a) Estructura

completa, (b) Ampliación del centro de la perturbación (en z=2mm)

Tras analizar esta perturbación, se consiguen los resultados de la caracterización de la red, que se comentan a continuación:




(a)

(b)

Ilustración 3.28: Reflectividad (a) y transmitividad (b) de la red de difracción con salto de fase

analizada

En primer lugar, si se compara esta imagen con la reflectividad y la transmitividad obtenida en el caso de red uniforme, se puede ver como para la frecuencia de Bragg

(O� = 192,91 THz), el acoplo de potencia que se produce entre la componente codireccional y contradireccional interfiere destructivamente. Por esto, para esa frecuencia existe un mínimo en la característica de reflectividad y un máximo en la característica de transmitividad. Este pico es muy abrupto, lo que supone una gran selectividad en frecuencia.




En la caracterización temporal, se puede apreciar como la respuesta impulsiva en reflexión está compuesta por un lóbulo principal, debido al acoplo de potencia constructivo entre los dos modos que se propagan en sentidos contrarios, un pico más estrecho que se forma debido a la interferencia destructiva que genera el salto de fase, y de nuevo otro pico provocado por la interferencia constructiva final del dispositivo. Los lóbulos siguientes son producidos por las interferencias Fabry-Perot en los extremos de la red.

(a)

(b)

Ilustración 3.29: Respuesta impulsiva de la red de difracción con salto de fase analizada: (a) En




C. Retardo de grupo

La estructura de la red de difracción sigue siendo simétrica, por lo que los retardos de grupo en transmisión y reflexión son también simétricos. Ambos presentan una variación abrupta a la frecuencia de Bragg, inducida por el salto de fase del índice de refracción, al igual que ocurre con la característica en magnitud.

(a) (b)

Ilustración 3.30: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red con salto de fase

analizada


(a)



(b)

Ilustración 3.31: Espectro de potencia interno de la red con salto de fase analizada: (a) En reflexión,

(b) En transmisión


(a)



(b)

Ilustración 3.32: Respuesta impulsiva interna de la red con salto de fase analizada, y comparación con

la respuesta impulsiva macroscópica: (a) En reflexión, (b) En transmisión

3.3.5. RED DE DIFRACCIÓN CHIRPEADA CON FUNCIÓN DE APODIZADO

La función de chirp o variación del periodo de red a lo largo del eje de la fibra consigue acoplar mayores anchos de banda sin necesidad de disminuir la longitud de la red y permite obtener características espectrales de fase con retardo de grupo lineal en función de transferencia.

La expresión analítica que representa la perturbación del índice de refracción en este caso es la siguiente:

�(�) = �E + ∆�GHIJ(�)sen� aM πΛ(z′) dz′¨E b

(3.47)




Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 5·10-4 L 20 mm

A(z) © (ª�ℎ X2azL Y , 0 ≤ z ≤ L 2�

(ª�ℎ X2a(L − z)L Y, L 2� ≤ z ≤ L k

Función de apodizado

�() Λ(� = 0) + ∆Λ� � Función de chirp

a 4 Parámetro de la

tangente hiperbólica �( = �) 535,2 nm �� 0,4 nm Incremento de la red a lo

largo de su longitud Tabla 3.5: Valores de los parámetros para una red de difracción chirpeada

El motivo por el que se ha utilizado en este caso la tangente hiperbólica como función de apodizado es porque tras realizar diversos estudios en busca de la función óptima, se concluye que ésta es la forma que ofrece mejores resultados. La forma del índice de refracción resultante es la mostrada en la siguiente ilustración:

(a) (b)

Ilustración 3.33: Forma del Índice de refracción de la perturbación con apodizado y chirp

A continuación, se muestran los resultados obtenidos tras introducir esta red en la herramienta de análisis desarrollada.




En la siguiente figura se puede observar cómo tanto la reflectividad de la red como la transmitividad presentan un ancho de banda mayor que las redes anteriormente analizadas, a pesar de que la longitud de esta red es significativamente mayor que aquellas. Esto es debido a la mencionada propiedad de que las redes que presentan variaciones en el periodo de la perturbación son capaces de acoplar mayores anchos de banda sin modificar la longitud de la red.

La explicación de este fenómeno es simple. Si una red con un periodo fijo acopla potencia a una única frecuencia, la frecuencia de Bragg, una red que contenga varios periodos distintos acoplará potencia en esa serie de frecuencias ópticas. Como consecuencia de esto, el ancho de banda resultante estará compuesto por todas las frecuencias ópticas que verifiquen la condición de Bragg.

(a)



(b)

Ilustración 3.34: Reflectividad (a) y transmitividad (b) de la red de difracción con función de

apodizado y chirp analizada

A raíz de que esta red también contiene una función de apodizado que suaviza las variaciones bruscas del índice de refracción, las resonancias Fabry-Perot se ven reducidas, por lo que no aparecen los lóbulos laterales que se presentaban en las primeras redes analizadas.

Sin embargo, para acoplar grandes anchos de banda no solo hay que aumentar el número de periodos en la función de chirp, sino que también hay que aumentar la

modulación máxima del índice de refracción de la perturbación, Δ�GHI . De lo contario, se acoplaría el ancho de banda deseado pero con una reflectividad menor.


Una característica importante en este tipo de redes se deduce de la caracterización en el dominio del tiempo. De esta gráfica se interpreta que a lo largo del recorrido del campo electromagnético, en cada instante se acopla una frecuencia óptica, es decir, que la red de difracción con chirp funciona reordenando en el tiempo todas las frecuencias que se acoplan en su interior. De ahí la forma que tiene la respuesta impulsiva de la red en reflexión.



(a)

(b)

Ilustración 3.35: Respuesta impulsiva de la red de difracción con apodizado y chirp analizada: (a) En


C. Retardo de grupo

En este caso, tal y como se puede comprobar en la siguiente figura, la red con chirp presenta un retardo de grupo en reflexión lineal con la frecuencia en el rango de frecuencias ópticas que acopla la red. Este es el motivo por el que estas redes se utilizan como compensadores de la dispersión, para cancelar el efecto de la dispersión cromática introducido en las fibras de largas distancias.



(a) (b)

Ilustración 3.36: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red con apodizado y chirp

analizada

La frecuencia acoplada por este tipo de redes varía a lo largo de su longitud, de tal manera que si se fabrican para que las frecuencias que viajan más rápido se acoplen tras haber recorrido toda la longitud del dispositivo, y las que viajan más despacio se acoplen al principio del mismo, estos dispositivos consiguen compensar la dispersión generada a lo largo del enlace de una forma muy simple, a través de un dispositivo pasivo.


En la Ilustración 3.38 (a) se puede comprobar cómo la caracterización microscópica en frecuencia de estas redes difiere de la de las redes uniformes en que el acoplo de potencia se produce de forma distribuida a lo largo del toda la red.



(a)

(b)

Ilustración 3.37: Espectro de potencia interno de la red con apodizado y chirp analizada: (a) En


Hay que notar en un efecto que se produce en el interior de la red: en las figuras, se aprecia cómo el lugar en el que se acoplan las diferentes frecuencias a lo largo de la red no forma una línea recta, como se esperaría de la definición de periodo de la red, sino que aparece una ligera curvatura. Esto es debido a la influencia del apodizado en el índice de refracción de la estructura, que afecta a la condición de Bragg a lo largo de la misma (Carballar, 1999).




De esta gráfica se deduce, en conjunción con la caracterización temporal macroscópica, que el reordenamiento que se explicaba en el apartado C no es solo temporal.

Observando la caracterización interna se puede comprobar que la reordenación de las frecuencias acopladas se realiza en diferentes puntos de la estructura. Esto era fácilmente deducible a partir de la visualización de la característica macroscópica, donde a medida que se va propagando la señal por la estructura, se va produciendo el acoplo en función de la frecuencia. Esta ilustración verifica claramente este comportamiento.

(a)



(b)

Ilustración 3.38: Respuesta impulsiva interna de la red con apodizado y chirp analizada, y comparación

con la respuesta impulsiva macroscópica: (a) En reflexión, (b) En transmisión

3.3.6. RED DE DIFRACCIÓN MUESTREADA

El interés por las redes de difracción muestreadas radica en que permiten lograr un filtrado multicanal, muy útil en sistemas de comunicaciones ópticas con multiplexación en longitud de onda (WDM).

Anteriormente a la aparición de estas redes, el filtrado de diversos canales se hacía mediante la concatenación de redes de difracción uniformes sintonizadas a diferentes frecuencias. Como consecuencia, cada canal recibía un filtrado diferente, ya que es muy complicado conseguir que las amplitudes de todos los filtros sean similares.

La red de difracción utilizada en este apartado se compone de 20 redes con función de apodizado sinc (similares a las presentadas en el apartado 3.3.3). Cada una de estas redes tiene una longitud de 516 µm, y la perturbación del índice de refracción



del núcleo viene dado por la expresión (3.44), donde A(z) es el que aparece en la Tabla 3.3:

J(�) = �� X� − �/2Λ� Y = �� X2�(� − �/2)

Λ� Y2�(� − �/2)Λ�

(3.48)

Los valores dados a cada uno de los parámetros son:

Parámetro Valor Observaciones �®¯¯ 4·10-4 Índice de refracción

medio de la red �� 4·10-4 Modulación máxima del

índice de refracción �° 535 nm Periodo de la red �± 127 µm Parámetro de la sinc Tabla 3.6: Valores de los parámetros para una red de difracción muestreada

Para el diseño de la característica espectral en reflexión se utiliza la normalización de frecuencias ópticas para sistemas WDM de la ITU-T (Unión Internacional de Telecomunicaciones) norma G.692, que fija una separación de canales de 200 GHz.

Con todo esto, la perturbación del índice de refracción del núcleo que da lugar a la red de difracción es que se muestra en la siguiente figura:

(a) (b)

Ilustración 3.39: Forma del Índice de refracción de la perturbación muestreada




(a)

(b)

Ilustración 3.40: Reflectividad (a) y transmitividad (b) de la red de difracción muestreada analizada

La separación entre canales viene marcada por la longitud de cada muestra de la red de difracción (L = 516 µm) siguiendo la expresión:

ΔO = �2�� = 200²f� (3.49)



Por otro lado, el parámetro de la sinc determina el ancho de banda acoplado por la red, tal y como determina la ecuación (3.45). Esto hace que este último parámetro sea el que determine el número de canales seleccionado, en este caso, 6 canales. De esta forma, si se quiere seleccionar un número mayor de canales, por ejemplo, habrá

que aumentar el parámetro Λ� de la sinc.


(a)

(b)

Ilustración 3.41: Respuesta impulsiva de la red de difracción muestreada analizada: (a) En reflexión,

(b) En transmisión



C. Retardo de grupo

Tal y como se desprende de la caracterización de la red, los seis canales sufren el mismo filtrado tanto en amplitud (Ilustración 3.40) como en fase, como se puede ver en esta ilustración. Gracias a esto, el retardo que afecta a cada uno de los canales es el mismo, por lo que no aparecerán fenómenos de dispersión entre ellos.

(a) (b)

Ilustración 3.42: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red muestreada analizada


De la siguientes figuras (Ilustración 3.43 e Ilustración 3.44), se ha de notar cómo cada muestra de la red de difracción acopla potencia al modo contradireccional, y su amplitud depende de que la propagación de la señal electromagnética interfiera de forma constructiva o destructiva con las demás. Así, puede verse como el comportamiento de cada muestra se asemeja con el de una red uniforme formada por un solo lóbulo principal.



(a)

(b)

Ilustración 3.43: Espectro de potencia interno de la red muestreada analizada: (a) En reflexión, (b) En

transmisión


En la Ilustración 3.44.(a) se observa de forma muy clara en qué instantes de tiempo ha llegado la onda electromagnética a una de las redes superpuestas que forman la estructura completa. En esta imagen se aprecia con un color más oscuro todas y cada una de las reflexiones a lo largo de la longitud del dispositivo (eje de ordenadas). A partir de este instante (aproximadamente en 5ps), las reflexiones aparecen con un gris más claro, ya que se corresponden con las reflexiones internas.



(a)

(b)

Ilustración 3.44: Respuesta impulsiva interna de la red muestreada analizada, y comparación con la




Es aproximadamente en torno a los 5ps cuando la respuesta impulsiva en transmisión marca que la señal electromagnética ha llegado al otro extremo del dispositivo.

3.3.7. RED DE DIFRACCIÓN DE MOIRÉ CHIRPEADA

Las redes de difracción de Moiré son un tipo de redes cuya estructura permite, al igual que la inserción de un desfase de π radianes en el perfil de índice de refracción, la utilización de las redes de periodo corto en transmisión.

Estas redes están compuestas por dos tipos de perturbaciones del índice de refracción superpuestas (dos FBGs). Con ello, se pretende conseguir características de filtrado en transmisión, bien mediante la ausencia de la perturbación que se produce en algunos puntos a lo largo del eje de la fibra como consecuencia del patrón Moiré, o bien reflejando bandas espectrales anchas y dejando entre ellas bandas de paso estrechas que se transmiten.

Por consiguiente, este diseño tiene como objetivo conseguir un filtro óptico multicanal, para su uso en sistemas WDM, que trabaje en transmisión. El espaciamiento entre canales se ha fijado en este caso a 100GHz. La perturbación del índice de refracción viene dada por la siguiente expresión:

�(�) = �E + Δ�� + Δ��

(3.50)

donde:

Δ�T = Δ�GHI,T · �.�� aM �ΛT(�{)1E 5�′b , � = 1,2 (3.51)




Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 ��,³ 5·10-4 ��,³ 5·10-4 L 20 mm �³() 535,41 · 102´ + −0,8 · 102´� � Rango de variación de z

�µ() 535,367 · 102´ + −0,8 · 102´� �

Tabla 3.7: Valores de los parámetros para una red de difracción de Moiré

La forma que adquiere esta perturbación se muestra en la siguiente gráfica:

(a) (b)

Ilustración 3.45: Forma del Índice de refracción de la perturbación de la red de Moiré

Aplicando el modelo general para redes de difracción en fibra se obtiene la caracterización completa del dispositivo:


Como puede observarse de la característica de transmitividad, el dispositivo proporciona un filtrado compuesto por tres bandas de paso en transmisión, para las

frecuencias O� = 192,8 THz, O� = 192,9 THz y O̧ = 193 THz. Es decir, constituyen un filtrado óptico multicanal con una separación de canales de 100 GHz.



(a)

(b)

Ilustración 3.46: Reflectividad (a) y transmitividad (b) de la red de difracción de Moiré analizada


La caracterización en el dominio del tiempo es similar a la que presenta la red chirpeada, con la diferencia de que los máximos y los mínimos se producen fruto del patrón Moiré.



(a)

(b)

Ilustración 3.47: Respuesta impulsiva de la red de difracción e Moiré analizada: (a) En reflexión, (b) En

transmisión

C. Retardo de grupo

En la característica de retardo de grupo en transmisión también se hace notar el hecho de que el retardo para los tres canales es similar, y en consecuencia, los efectos dispersivos entre canales son muy pequeños.



(a) (b)

Ilustración 3.48: Retardo de grupo en reflexión (a) y transmisión (b) de la red de Moiré analizada


En la característica microscópica en frecuencia se aprecian claramente los puntos a lo largo de la longitud del dispositivo en los que el patrón de Moiré anula la

perturbación del índice de refracción. Estos puntos son �� = 3,33 mm, �� = 10

mm y �¸ = 16,64 mm. El espaciamiento entre canales se fija mediante la pendiente de la función lineal de variación de periodo de la red a lo largo del eje de la fibra.

(a)



(b)

Ilustración 3.49: Espectro de potencia interno de la red de Moiré analizada: (a) En reflexión, (b) En

transmisión


(a)



(b)

Ilustración 3.50: Respuesta impulsiva interna de la red de Moiré analizada, y comparación con la


3.4. EJEMPLO DE FUNCIONAMIENTO: TRANSMISIÓN DE

UN PULSO POR LA RED

A través de la herramienta de análisis diseñada no solo es posible conocer la caracterización de una red de difracción. También se puede estudiar cómo se propaga una señal de información a través de la misma. (Chen, y otros, 1997)

Una vez que se tiene la función de transferencia de la red, para conocer la señal

salida del sistema a partir de una entrada &(() determinada, no hay más que multiplicar ésta por la transformada en frecuencia de la entrada, haciendo uso de las propiedades de la transformada de Fourier:

¹(�) = fg(�) · º(�) (3.52)

donde º(�) es el espectro en frecuencial de la señal de entrada &(() , ¹(�) se

corresponde con el espectro de señal a la salida, y fg(�) es la función de



transferencia de la red de difracción por la que se hace pasar la señal. Para conocer la forma de la señal a la salida del sistema, no hay más que aplicar la transformada de

Fourier inversa a ¹(�).

En este apartado, se va a analizar la transmisión de un pulso gaussiano por una red de difracción uniforme, caracterizando esta propagación tanto en frecuencia como en tiempo, y estudiando no solo la señal a la salida, sino también su comportamiento interno en la red.

La expresión analítica del pulso de entrada es:

&(() = JE%(() · .,�P»% (3.53)

J¼%(() = JE.Z2%2%½�q½ [¾ (3.54)

donde JE%(() es la envolvente del pulso y Oy es la frecuencia de la portadora. De los

parámetros de la envolvente gaussiana, JE es la amplitud, (E es el instante de tiempo

en el que está centrado y vE es el factor de decaimiento y está relacionado con la amplitud del pulso. El valor de estos parámetros para la simulación realizada es:

Parámetro Valor ¿p fB− fmin = 2·1012 Hz �� 1 Á� 2 ps Â� 3 ps Tabla 3.8: Valores de los parámetros del pulso gaussiano de entrada

Se impone como frecuencia de portadora Oy = O� − OGT` exclusivamente por

motivos de cálculo. Debido a que el rango de frecuencias con el que se trabaja para

hallar la función de transferencia del filtro no comienza en 0Hz (OGT` = 191vf�), es necesario tener en cuenta esta frecuencia mínima para definir la portadora adecuada a la hora de aplicar la ecuación (3.52).

En la tabla, fB es la frecuencial de Bragg y fmin corresponde con la mínima frecuencia de la banda de paso de la red por la que se propaga la fibra. Con estos parámetros, el pulso adquiere la forma mostrada en la siguiente figura:



(a) (b)

Ilustración 3.51: Pulso de entrada en la red de difracción: (a) Pulso en el tiempo; envolvente del pulso

en rojo, y la portadora en azul, (b) Espectro del pulso

En la Ilustración 3.51 (a) aparece el pulso en el domino temporal, donde en rojo se representa la envolvente y en azul, la portadora asociada. En la ilustración (b) se

representa el espectro en frecuencia del pulso, es decir, º(�), que se corresponde también con una función gaussiana.

La perturbación del índice de refracción que se va a utilizar para esa simulación se corresponde con la de la ecuación (3.37), y los valores cada uno de los parámetros son los que aparecen en la siguiente tabla:

Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 5·10-4 L 5 mm ¿Ã 193 THz

Tabla 3.9: Valores de los parámetros para la red de difracción uniforme

A continuación, se realiza un análisis de la red y tras esto, se caracteriza el comportamiento del pulso en el interior del dispositivo, dando lugar a los siguientes resultados:



(a)

(b)

Ilustración 3.52: Caracterización macroscópica: (a) Pulso a la entrada en frecuencia, salida en

reflexión y salida en transmisión, (b) Pulso a la entrada en tiempo, salida en reflexión y salida en

transmisión

En la ilustración (a), aparece la densidad espectral de potencia en frecuencia del

pulso, normalizada por su amplitud máxima en frecuencia, J = 904,76. En (b) se muestra la caracterización temporal. En ambas filas, aparecen de izquierda a derecha, el pulso a la entrada del dispositivo, la salida del pulso en reflexión y la salida del pulso en transmisión.

En la figura (b) central, se observa que el pulso en reflexión tiene una amplitud de poco más de 0,35. Esto es debido a que el pulso definido en tiempo es muy estrecho, y esto hace que en el dominio frecuencial su anchura espectral sea superior



al ancho de banda del filtro. De esta manera, existe potencia de señal en las frecuencias exteriores a la banda de paso del filtro en reflexión, que es transmitida hasta el final del dispositivo.

(a)

(b)

Ilustración 3.53: Caracterización microscópica, (a) Propagación del pulso en reflexión y propagación

en transmisión, dominio frecuencial, (b) Propagación del pulso en reflexión y propagación en

transmisión, dominio temporal

En esta figura aparece la caracterización microscópica del pulso en su propagación por la red. En la fila superior (ilustración (a)) se representa el dominio frecuencial y en la inferior, el temporal. De la misma forma, las figuras de la izquierda muestran el comportamiento en reflexión y las de la derecha, el comportamiento en transmisión.

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Capítulo 3. ANÁLISIS DE LAS EDES DE DIFRACCIÓN DE …bibing.us.es/proyectos/abreproy/70225/fichero/Volumen+1%2FCapitulo… · coeficiente de acoplo AC y 78 es el coeficiente de