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, " * : CAPITULO II ANÁLISIS DE SEÑALES Como ya se expresó en la introducción a este curso, la señal usada en los sistemas de comunicación es de naturaleza eléctrica. Puede ser electromagnética, puesto que crea campos- De esta señal nos in- teresa estudiar su comportamiento en el dominio del tiempo, puesto que contiene una información, y en el dominio de la frecuencia, pue£ to que puede ser limitada por circuitos o dispositivos El análisis que haremos en el presente capítulo será suficientemente generaliza- do y tendremos que recordar conceptos como el análisis de Fourier y el teorema de la convolución con el objeto de ayudarnos en el aná- lisis frecuencial de la señal- ^ 2.1 DOMINIO DEL TIEMPO La información, transmitida por el canal de comunicación u ob - tenida por medición, está contenida en la señal. Hasta larece£ ción de la información la señal debe considerarse como un pro- ceso aleatorio, que representa en sí un conjunto de funciones a leatorias del tiempo. Una de estas funciones, que es completa- mente conocida después de recibir la información, se denomina realización del proceso aleatorio. Esta realización ya no es aleatoria sino una función determina- da del tiempo. Las alteraciones propias de todo canal de comii nicación, también son procesos aleatorios. La característica fundamental del proceso aleatorio es la ley de distribución de la probabilidad del valor instantáneo de la función aleatoria dado en cualquier instante de tiempo prefijado. En la Fig. 2.1.1 puede verse varias funciones x^it), X2(t).. . que for- man el proceso aleatorio x(t). Los valores que pueden tomar las funciones individuales en el instante t - to son las magnitu-

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  • , " * :

    C A P I T U L O II

    ANLISIS DE SEALES

    Como ya se expres en la introduccin a este curso, la seal usada en los s is temas de comunicacin es de naturaleza elctrica. Puede se r electromagntica, puesto que crea campos- De esta seal nos in-t e resa estudiar su comportamiento en el dominio del tiempo, puesto que contiene una informacin, y en el dominio de la frecuencia, pue to que puede ser limitada por circuitos o dispositivos El anlisis que haremos en el presente captulo ser suficientemente generaliza-do y tendremos que recordar conceptos como el anlisis de Fourier y el teorema de la convolucin con el objeto de ayudarnos en el an-l is is frecuencial de la seal- ^

    2.1 DOMINIO DEL TIEMPO

    La informacin, transmitida por el canal de comunicacin u ob -tenida por medicin, est contenida en la seal. Hasta l a r e c e cin de la informacin la seal debe considerarse como un pro-ceso aleatorio, que representa en s un conjunto de funciones a leator ias del tiempo. Una de estas funciones, que es completa-mente conocida despus de recibir la informacin, se denomina realizacin del proceso aleatorio.

    Esta realizacin ya no es aleatoria sino una funcin determina-da del tiempo. Las alteraciones propias de todo canal de comii nicacin, tambin son procesos aleatorios.

    La caracter s t ica fundamental del proceso aleatorio es la ley de distribucin de la probabilidad del valor instantneo de la funcin aleatoria dado en cualquier instante de tiempo prefijado. En la Fig. 2 .1 .1 puede verse varias funciones x^it), X2(t).. . que for-man el proceso aleatorio x(t). Los valores que pueden tomar las funciones individuales en el instante t - to son las magnitu-

  • - 23 -

    des aleatorias X-^IQ), X2(to)-

    La probabilidad de que, al medir, la magnitud xj^(to) d en algn intervalo prefijado (a,b) se determina por la expresin

    P ( a < X k ^ b ) = P(x) dx 2 .1 .1

    La funcin P(x) es una ley diferencial de distribucin de la magnitud aleatoria x y se denomina densidad unidimensional de probabilidad; mientras que, P es la probabilidad integral. La funcin P(x) tiene sentido para las magnitudes aleatorias de tipo continuo, que pueden tomar cualquier valor en c ier -to intervalo.

    x , ( t )

    P i g . 2 . 1 . 1

  • :! . I" !L '"

    - 24 -

    Para toda distribucin continua (para cualquier funcin p(x) ) debe cumplirse la igualdad

    r^mx

    .- ' / p(x) dx =

    ~^mn

    donde xinx Y ^mn ^on 1

    '/

    1

    os

    2 .1 .2

    son los lmites de los valores posibles de x .

    Si x es una magnitud aleatoria de tipo discreto y puede tomar s lo uno del nmero finito de valores discretos, tendremos que la ecuacin 2 .1 .2 debe ser sustituida por la expresin anloga

    < " / Pi = 1 2 .1 .3

    i^r En esta ecuacin Pi es la probabilidad correspondiente al i - s i -mo nivel de la magnitud x

    El planteamiento de la densidad unidimensional de probabilidad p(x) permite tomar el valor medio estadstico, tanto de la m i s -ma magnitud x como de cualquier funcin f(x). Por la toma de un valor medio estadstico se entiende la operacin de p r o -mediar X segn un conjunto, en cualquier seccin del proceso , es decir , en el intervalo de tiempo fijado.

    De la teora de la probabUidad se conocen las igualdades siguien t e s :

    r = / X p(x) dx 2 .1 .4

    llamado esperanza, valor medio o pr imer instante

    ' >

  • - 25 -

    0-2 = = < x 2 > - ( )^ 2 . 1 . 6

    Exis te diferenciacin ent re los p rocesos a lea to r ios es tac ionar ios y no e s t a c i o n a r i o s . En el caso del p roceso es tac ionar io la dens i -dad unidimensional de probabilidad p(x) no depende del t i empo .

    El p roceso es tac ionar io se denomina ergdico s i l a operacin de t omar la magnitud a leator ia media por un conjunto es equivalente a la toma de un valor medio segn el t i empo en los l mi t e s de u -na resQizacin. Un ejemplo elemental del p r o c e s o ergdico es ta -c lonar lo es el conjunto de osci laciones a r m n i c a s con fases i n i c i a -l es a l e a t o r i a s . Supongamos que las ampli tudes y l a s f recuencias de todas l a s osci laciones son idnticas y p rev iamen te conocidas con c e r t e z a , de m a n e r a que cualquiera de l as r ea l i zac iones del conjun-to puede e s c r i b i r s e de la forma siguiente

    Sk (t) = A eos (wt - ( 'k) 2 . 1 . 7

    La diferencia en t re la osci lacin a rmnica de te rminada y es ta fun cin cons i s t e en que su fase '^ k es una magnitud a lea to r ia que con idntica probabil idad puede tomar cualqulquier va lor en el i n -t e rva lo O a 2 T . Es to significa que la densidad de probabUidad p( if ) e s una magnitud constante en el in te rva lo 0 ,2 r r y en conse-cuencia , teniendo en cuenta la ecuacin 2 . 1 . 3 s e t endr que

    P ( < F ) = - ^ 2 . 1 . 8 2K

    M t o m a r el va lor medio de s (t) por el conjunto, por la frmula 2 . 1 . 4 s e obtiene

    '2Tr ^ 2 n

    eos (wt - ^ ) d V' = 0

    puesto que la funcin eos (wt -

  • - 26 -

    Al promediar S(t) por el tiempo, a lo largo de cualquier realiza cin, se obtiene un resultado idntico

    .T/2 ^T/2

    S(t) =

    T-.^ - T 7 2 T / 2

    lm JL i s ( t )d t - - 2 . Icos (wt - V ) dt =0^

    donde T = 2 TT /w es el perodo de la funcin del tiempo conside-rada .

    Las seales aleatorias continuas aplicadas en comunicaciones, g e -neralmente son la suma de un gran nmero de oscUaciones a r m -nicas cuyas amplitudes y fases o bien son completamente indepen-dientes o bien estn ligeramente relacionadas entre s . Ante esta eventualidad surge la pregunta: Cual es la distribucin de probabi-lidades de semejante seal ?

    La respuesta la da el teorema central lmite de la teora de proba-bilidades que afirma, que la distribucin de probabilidades para la suma de magnitudes aleatorias independientes en el crecimiento del nmero de sumandos tiende a la ley normal:

    p(x) =

    (x - x)2

    2

  • - 27 - '

    Si el proceso es estacionario y ergdico, x t i e n e ' e l s i g nificado de la componente constante, mientras que CT , el de lapo tencia media de la componente de fluctuacin de cualquiera de las realizaciones del proceso.

    2.2 DOMINIO DE LA FRECUENCIA

    Puesto que una multitud de las fimciones casuales se entiende co -mo un proceso casual, se debe tener en cuenta que a cada funcin de diferente forma le corresponde tambin caracterst ica espectral diferente.

    Para el anlisis espectral de las seales se hace necesario un r e -paso de nuestro estudio de anlisis de Fourier que iniciaremos de inmediato

    2.3 SERIES DE FOURIER

    Sabemos que una funcin compleja v(t) peridica con perodo funda mental TQ puede descomponerse en una ser ie de componentes s e -noidales as:

    v(t) = Ao + ^ An eos wnt + / Bn sen Wnt 2 .3 .1 "^l ~^l

    donde wn = 2)7 n/To es la frecuencia angular;

    ^ T o / 2

    Ao = - ^ 1 v(t) dt 2.3.2

    -To/2

    es el valor promedio de v(t); mientras que los coeficientes An y Bn son dados por

  • ^ : ' - 28 -

    'Pyzi-'-m "> V"'

    To /2

    An " - / v ( t ) eos Wnt dt T

    2 . 3 . 3

    - T o / 2

    .To/2

    Bn = = / V (t) sen w^t dt To

    2 . 3 . 4

    - T o / 2

    Una p r i m e r a forma a l te rna de las s e r i e s de F o u r i e r e s

    2 . 3 . 5

    donde Co, Cn y y n es tn relacionados a Ao, An y Bj^ por l a s e -

    euaeones

    Cn - A(

    Cn = n = J ^ l 2 2 . 3 . 6

  • - 29 -

    eifica la forma de onda v( t ) . I

    Las igualdades de Euler permiten dar una segunda forma alterna de la ser ie de Fourier, muy empleada en teora de comunicacio-nes . Esta forma est dada por:

    sw

    v( t ) = / D n e ^ " ^ * 2 .3 .8

    n=-3o

    donde Dn est dado por

    D n = ^ / v ( t ) e " ' ^ ^ * d t 2 .3 .9 T, o To/2

    Los coeficientes Dn tienen la propiedad de que Dn y D = n son con * jugados complejos uno del otro, es decir Dn = D-n . Los coefi-

    cientes son relacionados a los Cn de-la ecuacin 2 .3 .5 por:

    D,

    Dn = ^ e - ^ ^ n y D.n = D *

    2.3.10

    n

    Los Dn son las amplitudes espectrales de laa componentes espec-t ra les Dne^^*^** En la figura 2.3.1b se muestra el espectro de amplitudes Dn correspondiente al espectro de amplitudes Cn mos-trado en la figura 2 .3 .1a . Puede observarse que mientras Do = CQ. a cada lnea de amolitud Cn corresoonden dos lneas de am-plitudes Dn = Cn/2 colocadas en las frecuencias Wn y w-^ . El especi t ro de la figura 2.3.1a es Uamado espectro de amplitudes monola tera l mientras que el de la figura 2.3.1b es Uamado bi lateral .

    Para comunicaciones resulta ms apropiado trabajar con la forma exponencial de las ser ies de Four ie r .

    2.4 LA TRANSFORMADA DE FOURIER

  • - 30 -

    ^ ' . ^ :

    ^ 1 " 1041'

    m"-'

    ikf

    N'

    o f 2 3 4f 5f^ 6f m m m m n m

    p.r ID/ M

    te/

    '1^' ,,r ^^ \ ^ : r p.r ^ :i

    Sm 5fm *m ^^m 2''a ' n 'm ^^m 5f 4^^ 5f Sf^

    P i g . 2.3.3-

  • - 31 -

    Una forma de onda peridica puede expresarse como ya se vio por la suma de sus componentes espectrales. Estas componen tes tienen amplitudes finitas y estn separadas por intervalos fi nitos de frecuencia fo = I / T Q . Ahora podemos suponer que au menta sin limite el perodo de la seal. Tomemos como refe-rencia los pulsos de la figura 2 , 4 . 1 , al aumentar el valor del periodo indefinidamente, tendremos finalmente un solo pxilso o sea una seal no peridica.

    Cuando T^oe, el espaeiamiento entre las componentes espectra les llega a ser infinitesimal. La frecuencia de las componentes.

    -*

  • - 32 -

    transformada de Fourier de v(t). La transformada de Fourier e ta dada por

    V(f) = I v ( t ) e " J 2 ^ f t d t 2 .4 .2

    / . m : f i

    en correspondencia eon la ecuacin 2 .3 .9 para Dn.

    Si un circuito eon una funcin de transferencia H(f) es excitado por una seal vi(t), con transformada Vi(f), como se muestra en la fi-gura 2 . 4 . 2 , la seal de salida vo(t) estar dada por

    Vo(t) = I H(f) Vi(f)e^^'^^*df 2 . 4 . 3

    - ' - o - s

    V i ( t ) v(t)

    P i g . 2 . 4 . 2

    Comparadas las ecuaciones 2 .4 .1 y 2 .4 .3 se puede concluir

    y[vo(t)] = H(f)7r[vi(t)l

    Vo(f) = H(f) Vi (f) 2 . 4 . 4

    La ecuacin 2 .4 .4 est acorde con lo previsto en anlisis de cir-cuitos, donde se hace su presentacin en una forma fasorial .

    2 .5 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA

    La transformada de Fourier no es ms que una nueva forma de expresar una funcin. De manera que una supuesta funcin ya la

  • - 33 -

    podemos expresar en el dominio del tiempo y tambin en el donii nio de la frecuencia.

    De las ecuaciones 2.4.1 y 2.4.2 puede observarse que existe cier ta simetra entre la transformada y la transformada inversa; s i -metra que deben conservar las propiedades que posean tales t ran formadas.

    La notacin

    f(t)

  • - 34 -

    = ^[F(t)l

    De donde

    F(t) ^=^ f(-f)

    2.5.b Propiedad de Ljnealidad

    Si fl (t) ^ Fl (f)

    f2 (t) F2 (f)

    Entonces, para constantes arbitrarias cualesquiera ai y a2

    ai fi(t) + a2 f2 (t)

  • - 35 -

    entonces para a positiva; eon x = a t

    7tf(at)l = f (x)e-^ ; 2Tfx a dx 2.5.C2

    = 1 F ( ^ ) a ^ a '

    De igual manera si a es negativa se puede establecer

    y r f ( a t ) ] =- i F f X \ 2 . 5 . e 3 * a ^ a ^

    De las ecuaciones 2 .5 . c2 y 2.-5.c3 se concluye la 2 . 5 . c l .

    La propiedad escalar establece que el comprimir una fun cin en el dominio del tiempo llevndola de la fornaa f (t) a f (a t ) equivale a expandirla en el dominio de la frecuen cia nevndola de la forma F(f) a F ( t / a ) . Este resultado es , intuitivamente obvio puesto que si la fimein se com-prime en el dominio del tiempo quiere decir que varia ms rpidamente en ese factor y en eonseeuaieia las com ponentes de frecuencia se incrementan proporeionalmente.

    Este resultado se puede observar en el eiercicio

    De 2 . 5 . e l se puede observar que

    f(-t) = F (-f)

    2.5.d Propiedad de desplazamiento en la frecuencia

    Si f(t) 4=^ F(f)

    entonces f( t )e J^' fo^ ^ F( f - fo)

    La demostracin es sencilla partiendo de la definicin de la transformada directa de Fourier :

  • V-4

    ''y - 36 - ; . . ., _ .- ,;,; :-. ;..

    5?[f(t)e^2"^-*] = /'f(t)e2^fote-i2^ft^^

    Jt)e-2' (f-fe)t dt > "

    :..- = F ( f - f o ) .y,

    - Esta propiedad establece que un desplazamiento fo en el

    dominio de la frecuencia equivale a multiplicar f COpor yZj:Jx ' e^ en el dominio del tiempo.

    En los sistemas de comunicacin, muv a menudo hay ne-cesidad de trasladar el espectro de frecuencias y se efe ta multiplicando la seal f(t) por una funcin senoidal. Al proceso se le denomina modulacin el desarrollo mate^ mtieo puede verse en el ejercicio

    2 .5 . e Propiedad del desplazamiento en el tiempo

    Si f ( t ) ^ = ^ F ( f )

    entonces f( t - to)

  • - 37 -

    Es ta propiedad establece que si se desplaza una funcin en el dominio del t iempo en la cantidad to, entonces no s e al t e r a su e spec t ro de magnitud j F(f) | , pe ro s i el e s p e c -t r o de fase que sufre un cambio - 2 r t f t o . Concisamente se puede deci r que un desplazamiento en el dominio del -t iempo en to equivale a una desviacin de fase de - 2 n f t o , es dec i r a la multiplicacin por e - J 2 n f t o en el dominio de f recuencia .

    2 .5 . f Diferenciacin e integracin en el t iempo

    Si f ( t ) . = ^ F ( f )

    entonces J I = ^ (i w) F (w ) dt

    f ( t ) d t < ^ - ^ - F({)

    j 2 / I f

    Siempre y cuando que F (f) / 2 H f es t l imi tada en f = O

    Demos t rac in _ j2fTft

    f(t) = I F(f) e df

    de donde

    ** j 2 n f t j 2 n f F(f) e df

    de donde s e concluye que

    | | < = ^ j 2 7 r f F(f)

    y de igual m a n e r a s e puede extender a

    d' f ^=>(i2Tf) '^ F(f)

    dtn ' '

  • - 38

    Ahora considrese

    9 (t) = i ( V ) d t

    1 - = f ( C ) d r = f(t) dt dt

    Si ' -

    (f)

    j 2 n f (f)

    j2/Tf Z . df

    Demostracin

    F(f) = / f ( t ) e'-^^^^^dt

    /y> r o a

    dF \ , . -2Tr ft . . -Sf = -2. f(t) e ' dt df df /

    = f-j2/Tt f(t) e - 2 ^ " d t

    de donde

    - j2 f r t f ( t )^=^ dF dt

  • - 39 -

    y s e puede genera l i za r

    ( - j 2 n t ) n f ( t ) = ^ ^ dfn

    2 .6 E L TEOREMA DE LA CONVOLUCIN m

    Con la aplicacin del t eo rema de la convolucin se obtiene con fa cu idad muchos resu l tados i m p o r t a n t e s . P a r a su enunciado debe t e n e r s e en cuenta que existen dos : uno en el dominio del t iempo y o t ro en el dominio de la f recuencia .

    2 . 6 . a Convolucin en el t iempo

    Si fl (t) ^ F l (f)

    y f2 (t) - ^ F2 (f) .-o

    entonces fl(t) f2 (t - D d r ^ = ^ Fi(f) F2(f)

    que puede e s c r i b i r s e tambin como

    fl (t) * f2 (t) = F i ( f ) F2(f)

    2 . 6 . b Convolucin en la frecuencia

    SI fl (t) 4 = ^ Fi(f )

    y f2 (t)

  • - *i

    . - 40 - .

    La convolucin presenta leyes algebraicas similares a la mult^ plieaein. Estas son:

    Ley Conmutativa :. ' . ; . ^

    fl(t) * f2(t) = f2(t) * fi(t)

    Ley distributiva

    fl(t) * [f2(t) + f3(t)] = fi(t) * f2(t)- + fi(t) * f3(t)

    Ley Asociativa

    fl(t) * [f2(t) * f3(t)] = rfi(t) * f2(t)] * f3(t)

    La interpretacin grfica de la convolucin es muy t en el an-lisis de s is temas, puesto que permite visualizar los resultados de muchas relaciones abstractas, sobre-todo en la teora de la comu nicacin. Para obtener grficamente la convolucin de las funcio nes fi(t) y f2(t) se procede as:

    1. Se gira la funcin f2(t) alrededor del eje vertical que pasapor el origen para obtener f2 (- T )

    2 . Se considera la funcin girada como un cuadro rgido que se desplazar sobre el eje T en una cantidad to- Este cuadro r_f gido representa aqui la funcin f2 (t - iT ).

    3 . La funcin, representada por el cuadro rgido desplazado, miil tiplieada por fi( Z ) es la funcin \{ t )f2 ( Q - T ) y el rea bajo esta curva producto est dada por

    f l ( r ) f 2 ( t o - ) d T =[fi(t) * f2(t)] t=i

    A *

    4 . Se repite este procedimiento para diferentes valores de t, des plazando sucesivamente el cuadro en diferentes cantidades, ob teniendo los valores de la funcin de convolucin fi(t) * f2(t) para estos valores de t .

    Puesto que

  • - 41 -

    fl(t) * f2(t) = f2(t) * fl(t)

    Se podra mantener fija f2 ( r ) y tomar la imagen reflejada de ^iX) en la convolucin grfica en los dos casos se obtendr el mismo resultado.

    2.7 EL TEOREMA DE MUESTREO

    El teorema de muestreo que constituye una herramienta de gran-des Eilcances en la teora de la comunicacin puede enunciarse as :

    Una seal limitada en banda que no contiene componentes espec -t ra les mayores que la frecuencia fm Hz~ est dlerminad en for-rf^mQa-por sus valores" e^itrvatos'liJifOT'ines menores" de 1/2fm segundos.

    Esto implica que si la transformada de Fourier de f(t) vale cero fuera de determinada frecuencia fm, entonces toda la informacin acerca de f(t) queda contenida en sus muestras uniformemente es_ pactadas a intervalos menores de l /2fm segundos.

    Es fcil demostrar el teorema de muestreo con la ayuda del teo-rema de la convolucin en la frecuencia. ' Considrese una seal f(t) limitada en banda que no contenga componentes espectrales ma yores que fm Hz. Esto significa que F(f), la transformada de Fourier de i[t) es cero cuando|f I > fni. Supongamos que multipU camos la funcin f(t) por la funcin impulso peridica S T ) . La funcin producto es una sucesin de impulsos localizados a i n t e r -valos regulares de T segundos con intensidades iguales a los valo res de f(t) en los instantes correspondientes. El producto f(t) -p(t) representa una funcin f(t) muestreada a intervalos uni-formes de T segundos. La funcin muestreada ser denotada por

    fs(t) = f(t) ^T(t)

    El espectro de frecuencias de f(t) es F(f). La transformada de un tren uniforme de funciones impulso Sxt) es otro tren uniforme de funciones impulso 8 fo(f) . Los impulsos estn separados por un intervalo uniforme fo = l / T

    T(t)

  • - 42 -

    La transformada de Fourier de f(t) j t ) estar dada de acuerdo eon el teorema de la convolucin en la frecuencia por la convolu cin de F(f) con 2a fo 5 fo(f)

    fs(t)=^[,F(f) * fo6fo()T

    = ~ [F(f)* fo( f ) ] 2 .7 .1

    Por la ecuacin 2.7.1 es evidente que el espectro de la seal mus treada fs est dada por la convolucin de F(f) con un t ren de impx s o s . Podemos someter a las funciones F(f) y Sfo(f) a una convolu cin grfica con el procedimiento descrito en la seccin 2 . 6 . Para llevar a cabo esta operacin giramos la funcin bfo(f). Sobre el e je vertical f = 0. Como ^ fo(f) es una funcin par la funcin g i ra-da resulta igual a 6 fo(f) - Para efectuar la convolucin, desplaza-mos todo el tren de impulsos S Q O I en la direccin positiva de f. Cuando cada impulso pasa por F(f) reproduce la misma F(f). Como los impulsos estn a intervalos de fo = l / T i la operacin de convolucin resulta en que se repita la funcin de densidad espec -t ra l correspondiente a fs(t) es , por tanto la misma F(f) pero repe-tida peridicamente cada wo radianes por segundo. Designaremos esta funcin con F2(f). Obsrvese que F(f) se repetir per idica-mente sin t raslaparse siempre que fo-^ 2 fm , o sea

    Es decir T ^ - 4 2,7 .2

    Por consiguiente cuando se muestra la funcin f(t) a intervalos un formes, menores de l /2 fm segundos la densidad espectral defs(t) se r un rplica peridica de F(f) y, por lo tanto, contendr toda la informacin acerca de f(t). Se puede recuperar fcilmente F(f), a par t i r de Fs(f), pasando la seal muestreada a travs de un fil-t ro de paso bajo que permite la trasmisin de todas las componen tes de frecuencia inferior a fm y atena todas aquellas de frecuen cia superior a fm.

  • - 43 -

    2.8 POTENCIA NORMALIZADA

    En el anlisis de sistemas de comunieaciones se encuentra que con una seal v(t) est relacionada la cantidad v2(t)^ donde la barra in-dica el valor promedio. En el caso de funciones peridicas se to ma el valor promedio sobre un cielo se puede suponer que la seal v(t) se aplica sobre un resistor de 1 ohm, entonces la potencia dis_i pada ser v2(t) v2/jl = w watts, donde el nmero w sera numri camente igual a v2(t), el valor cuadrado medio de v(t). Por esta razn se le llama potencia normalizada de v(t) a la expresin v2(t). Debe recordarse sin embargo que las unidades de la poten -cia" normalizada es voltios2 y no wat ts .

    En la prctica se omite el trmino normalizado cuando no se d lu gar a confusin y an se llega a hablar de potencia en watts pero no debemos olvidar la aclaracin del prrafo anter ior .

    Considrese una funcin peridica v(t) que puede expresarse por la ser ie de Four ier . De la ecuacin 2 ,3 .8 se tendr

    o

    v(t) = 2 ^ Dn e J ^ ' 2.8.1

    Si se representa la potencia normalizada por la le t ra p ' se tendr

    To/2

    2.8.2

    -To /2

    Relacionando las ecuaciones 2 .8 .1 y 2.8.2, al calcular el cuadrado de v(t) se obtendr el cuadrado de cada trmino de la serie y los productos cruzados de ellos. Entre estos ltimos debe destacarse los productos Dn D_n o Dn Dn que representa el mismo resultado. Siendo los trminos de la serie de Fourier ortogonales, los nicos trminos de la ser ie elevada al cuadrado sern Dn I ' ya que el va Ior promedio de los dems trminos ser cero:

    QO

    p' =y DnDn 2.8.3 - o o

    o

    = y DnDn

  • - 44 -

    Puesto que

    DnD + D.nDn = 2Dni : f ,,

    la ecuacin 2 .8 .3 puede escribirse o

    2 D n D * 2 .8 .4

    De acuerdo con las ecuaciones 2 .8 .3 y 2 .8 .4 podemos establecer la relacin de los coeficientes Dn y la potencia normalizada que aporta cada trmino de la serie de Fourier a la seal compuesta v(t). Podramos hablar de la potencia Dn normalizada de un tr mino de orden n

    Pn = 2 D n D * = 2 | D n l

    y la potencia normalizada total:

    p ' ' 4 2lD|2

    2 .8 .5

    2 .8 .6

    En la figura 2 .8 .1a se muestra la distribucin de la potencia norma lizada correspondiente a la ecuacin 2.8.6

    'P K\ W

    V.I V

    V f

    p ( f ) r i

    P i g . 2 . 8 . 1

  • - 45 -

    2.9 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

    Supngase que la figura 2 .8 .1a representa la contribucin, Pn . de cada trmino de la serie de Fourier a la potencia normaliza da total . Si iniciamos en f = -o y nos vamos en la direccin positiva de la frecuencia podemos ir sumando cada contribucin y encontramos que p' resulta funcin de la frecuencia, p' ten -dr una forma como la graneada en la figura 2 . 8 . 1 b . No cam-bia cuando va de una linea espectral a otra pero si csonbia bru camente cuando la potencia normalizada de cada lnea es agrega-da. Para establecer la potencia normalizada en un rango df a l -rededor de una freeuenfcia f, se puede expresar por

    dp(f) = l df 2.9.1

    La cantidad dp ( t ) / d f es Uamada la densidad de potencia normaU zada G(f) asi

    G(f) = A g l i 2 .9 .2

    La potencia en el rango dt en la frecuencia f es G(f)dt . La po-tencia en el rango positivo de fi a f2 es

    2 .9 .3

    La potencia en el rsmgo negativo de frecuencias entre -f2 a -fi ser

    p(f) =/ G(f) df 2 .9 .4

    Las ecuaciones 2 .9 .3 y 2.94 tal como estn expresadas no tienen sentido fsico. Sin embargo, la potencia total en el rango de fre cuencias de fi a f2 si tiene significado y esta potencia est dada por

  • - 46 -

    -fl r h - V p(f) = / G(f)df + / G(f) df 2 .9 .5

    ^f2 - ^ f l

    f l ^ | f ) ^ f 2

    Pa ra hallar la densidad espectral de potencia, debe diferenciarse p(f) en la figura 2 . 8 . 1 b . Entre frecuencias armnicas tendremos G(f) = O. En las armnicas G(f) ser un impulso de amplitud i -gual al tanaao del salto en p(f).

    Asi se podr establecer r^

    X G(f) = > |Dnl ^ ( f - n f o ) 2 .9 .6 - 5 *

    La representacin grfica de la ecuacin 2 .9 .6 coincidir con la figura 2 . 8 . 1 a .

    BIBLIOGRAFA

    1 . GABEL, R. y ROBERTS R. Seales y Sistemas Lineales, Edi-torial Limusa, Mxico, 1975. Este libro est orientado al estudio de seales en los dominios de tiempo y frecuencia y el estudio de las transformadas z, de Fourier y de Laplace.

    2 . GONOROVSKI. Seales y Circuitos Radiotcnicos, Editorial Mir, Mosc, 1972. Libro ya presentado en la bibliografa del pri mer capitulo. Dedica los captulos 2,3 y 4 al estudio de se nales y de informacin.

    3 . LATHI, B . P . Introduccin a la Teora y Sistemas de Comuni-cacin, Editorial Limusa, Mxico, 1974. Libro que dedica su pr imer capitulo al anlisis de seales en los dominios de tiempo y frecuencia.

  • - 47 -

    4. TAUB, H. y SCHILLING, D. Principies of Communication Systems. McGraw-Hl Kogakusha, Tokyo, 1971. Este libro orientado al estudio de sistemas de eomtmieacin dedica su captulo inicial al anlisis espectral de sea -l e s .