Capitulo 2 Señales Sistemas

COMUNICACIONES I

CAPITULO 2

ANALISIS ESPECTRAL REPRESENTACION DE SEÑALES

Y SISTEMAS

U.N.S.L. Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales Carrera: INGENIERIA ELECTRONICA C/ ORIENTACION EN SIST. DIGITALES Materia: COMUNICACIONES I

______________________________________________________________________ Ing. Alfredo Debattista CAPITULO 2 Página 1 de 51

Capítulo 2: Análisis espectral – Representación de Señales y Sistemas

Sistemas de C.A. y Redes:

Fig. 2-1

Esto es válido si la red es lineal, invariante en el tiempo y estable asintóticamente, o sea, que acepta la superposición, no hay parámetros variables en el tiempo y el comportamiento natural decae con éste.

y(t) es también sinusoidal y de igual frecuencia, difiriendo solo en amplitud y fase.

Dado x(t) y las características de la red, solo se necesita resolver Ay y θy. Esto es el problema de C.A. en estado permanente. Mas simple: cuando se usan funciones exponenciales del tiempo, del tipo e jωt:

Si la impedancia compleja de un circuito es Z(jω) y la corriente es e jωt

Ent. Por la definición de impedancia, la tensión es Z(jω) e jωt De manera similar, para el caso de la Fig. 2.1 se define la Función Transferencia de la red:

tωjetxcuandotxtyjH == )()()()( ω (2-1)

Si x(t) es una combinación lineal de exponenciales y usamos el principio de superposición, tendremos:

!

!

++=

++=tjtj

tjtj

ejHejHty

eetx21

21

2211

21

)()()(

)(ωω

ωω

αωαω

αα donde: α1 y α1 son constantes (2-2)

Retomando la entrada de la Figura 2.1, en vez de usar [ ]tjjx ee ARex(t) 0ωθ= , usamos un

corolario del Teorema de Euler:

( )φφφ jj ee −+= 21cos (2-3)

Así: ( ) ( )[ ] tjjxtjjxtjtj

x eeA

eeA

eeAtx xxxx 0000

22)( 2

1 ωθωθθωθω −−+−+ +=+= (2-4a)

Ent.:

( ) ( ) tjjxtjjx eeA

jHeeA

jHty xx 00

22)( 00

ωθωθ ωω −−−+= (2-4b)



H(jω) es una cantidad compleja. Además, independientemente de ello, y(t) debe ser una función real del tiempo, puesto que x(t) es real; y esto será si y solo si:

( ) ( ) ( )[ ]ωωω jHjejHjH arg= y ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ωωωω jHjejHjHjH arg* −==− (2-5)

donde H*(jω) es el complejo conjugado de H(jω). Esto es válido para cualquier red real. Tendremos:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )[ ]( ) ( )[ ]( )000

argarg0

argcos2

)( 0000

ωθωω

ω ωθωωθω

jHtAjH

eeA

jHty

xx

jHtjjHtjx xx

++=

+= ++−++

(2-6)

Donde:

( ) xy AjHA 0ω= y ( )[ ]0arg ωθθ jHxy += (2-7)

Fasores y espectros de línea: Conversión de sinusoides a exponenciales facilita el análisis de redes

fundamenta la noción de dominio de la frecuencia, vía diagramas fasoriales

Fig. 2-2

Consideramos que: v(t) = A cos(ω0 t + θ) ω0 = 2π f0

Donde:

( ) ( )[ ] [ ]tjjtj eAeReeARetA 000cos ωθθωθω ==+ + (Representación fasorial) (2-8)

Dominio de la frecuencia: Espectro de Líneas Amplitud vs. Frec. y Fase vs. Frec.



Cuatro (4) normas convencionales que se usan en la construcción de espectros de líneas:

! Variable independiente: frecuencia cíclica f [Hertz], en vez de frecuencia angular ω [radianes], o una frecuencia específica f0 [cte.]. A veces se usará ω, por simplicidad.

! Ángulos de fase: medidos con respecto a ondas cosenoidales, con relación al eje real positivo del diagrama fasorial. Las ondas senoidales se convierten como:

( )º90cos −= ttsen ωω (2-9)

! La amplitud siempre se considera como una cantidad positiva, por lo cual:

( )º180coscos ±=− tAtA ωω (2-10)

! Los ángulos de fase se expresan en grados, aunque otros ángulos estén en radianes (por ej. ωt). No genera confusión.

Ejemplo:

( ) ttsenttw 352cos43023º30102cos62)( πππ −+++=

será:

( ) ( ) ( )º180352cos4º90302cos3º30102cos602cos2)( −+−+++= tttttw ππππ

Su espectro de líneas será:

Fig. 2-3

Lo visto hasta ahora son espectros de líneas de un lado o de frecuencia positiva

Si colocamos:

( ) tjjtjj eeAeeAtA 00

22cos 0

ωθωθθω −−+=+ (2-11)



Fig. 2-4

Esto es la Representación Fasorial Conjugada, donde la suma siempre cae en el eje real, lo cual debe ser así, ya que v(t) es real.

Esta representación incluye las frecuencias negativas: indica las 2 direcciones de rotación.

En el espectro de líneas de dos lados, la mitad de la amplitud queda asociada a c/u de ±f0

Si v(t) es una función de tiempo real: Las líneas de amplitud tienen simetría par en f

Las líneas de fase tienen simetría impar en f

Para el caso del ejemplo:

Fig. 2-5



Espectro de líneas de doble lado La función real del tiempo se obtiene con el término conjugado y no con un fasor sencillo.

Intervalo de frecuencias f1 y f2: se debe considerar el intervalo negativo -f1 y -f2. Notación simplificada: f1 ≤ | f | ≤ f2

Espectro de amplitud Contenido de frecuencias de la señal, con sus proporciones.

Funciones de Transferencias y respuesta en frecuencia:

Desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, conviene reemplazar ω = 2π f en la Función de Transferencia, donde H(f) es idéntica a H(jω), aunque viole ligeramente la notación formal matemática.

Si reemplazamos ω0 = 2π f0, en la ec. 2-7, tenemos

( )0fHAA

x

y= y ( )[ ]0arg fHxy =−θθ (2-12)

Son válidas las consideraciones hechas para el espectro de líneas de doble lado y las simetrías par (amplitud) e impar (fase).

Introducción - Fourier:

Señal Determinística Señales cuya forma de onda está definida exactamente como función del tiempo.

Transformada de Fourier Provee un link entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, para la descripción de la señal. La forma de onda de una señal y su espectro (contenido en frecuencia) son 2 vehículos naturales para entender a la señal.

Sistemas Lineales La Transformada de Fourier juega un rol clave en su Invariantes en el tiempo análisis. Filtros de diferentes tipos y ciertos canales

de comunicaciones son ejemplos de este tipo de sistemas.

Transformada de Fourier:

Si g(t) es una señal determinística y no periódica, función del tiempo “t”, la Transformada de Fourier es, por definición:

∫∞

∞−

−= dtetgfG tfj π2)()( (2-13)



Y la Transformada de Fourier Inversa es:

∫∞

∞−

= dfefGtg tfj π2)()( (2-14)

g(t) y G(f) constituyen un Par de Transformada de Fourier. (puede usarse ω=2π f, en vez de f).

Para que exista la Transformada de Fourier de una función g(t), es suficiente, pero no necesario, que g(t) satisfaga las Condiciones de Dirichlet: " g(t) es de valor único, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier

intervalo finito de tiempo. " g(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito de tiempo.

" g(t) es absolutamente integrable:

∞<∫∞

∞−

dttg )(

Si la función g(t) es una precisa descripción de una señal físicamente realizable, entonces la Transformada de Fourier existe. Es más:

Todas las funciones de energía ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∞<∫

∞

∞−

dttg 2)( son transformables por Fourier.

Notación:

[ ])()( tgFfG = (2-15)

[ ])()( 1 fGFtg −= (2-16)

Donde F[ ] y F -1[ ] son operadores lineales

Fig. 2-6

Para el Par de Transformadas de Fourier: g(t) ! G(f) (2-17)

Espectro Continuo:

Si: g(t) = pulso, de energía finita, observando la ec. (2-2)

Ent.: Se expresa por una suma continua de funciones exponenciales, con -∞ < f < ∞ La amplitud de un componente de frecuencia f es proporcional a G(f). A cualquier f, la función e j2πft es ponderada por el factor G(f) df, que es la

contribución de G(f) en un intervalo infinitesimal df, centrado en la frecuencia f.



• La transformada de Fourier G(f), define la representación de la señal en el dominio de la frecuencia, donde especifica las amplitudes relativas de las componentes en frecuencia de dicha señal.

• La señal se puede definir en términos del dominio del tiempo, si se especifica g(t) para cada instante de tiempo t.

• La señal está unívocamente definida, por cada representación

En general, G(f) es una función compleja de la frecuencia, por lo que según la ec. (2-5): ( )[ ]fjefGfG θ)()( = 1

Espectro continuo de amplitud, de g(t) Espectro continuo de fase, de g(t)

De igual forma, si la función g(t) es real: ( ) ( ) ( ) ( )fjefGfGfG θ−==− *

Donde, aquí también, la señal real exhibe una simetría conjugada (espectro de amplitud con simetría par y espectro de fase con simetría impar)

Pulso Rectangular

Pulso rectangular de duración T y amplitud A, según la figura 2-7(a)

Fig. 2-7(a) Fig. 2-7(b)

Usemos la función rectangular, con amplitud y duración unitaria, centrada en t=0, como estándar:

1, -½ < t < ½ rect (t) = (2-18) 0, t > ½

1 Si Hr y Hi son las partes real e imaginaria de G(f), respectivamente, entonces:

H f( ) = Hr2 +Hi

2 arg H f( )!" #$= arctanHiHr



El pulso rectangular será:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=TtrectAtg )(

Ent.:

G( f ) = A−T

2

T2

∫ e− j2π f tdt = A− j2π f

e− jπ fT − e jπ fT( ) = AT sen π f T( )π f T

#

$%

&

'( (2-19)

Para simplificar, usaremos otra función estándar, llamada función senc (Seno Cardinal) y definida por:

( ) ( )λπλπ

λsensenc = (2-20)

Con λ como variable independiente. Esta función es muy importante en la teoría de las comunicaciones. Su figura se muestra en la fig. 2-8. Analizar su trazado.

Fig. 2-8

Ent. ( )TfsencTAfG =)( (2-20)

Y tendremos el Par de Transformadas de Fourier:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛TtrectA ! ( )TfsencTA (2-21)

La transformada G(f) es una función de valor real y simétrica respecto de f, debido a que el pulso rectangular g(t) es una función simétrica del tiempo.

Si se analiza la figura 2-7(b) se observa:



# Si la duración T del pulso se reduce Ent. el 1º cruce por cero se corre hacia arriba en frecuencia

# Si la duración T del pulso aumenta Ent. el 1º cruce por cero se corre hacia el origen

La relación entre la descripción de la señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia, es una relación inversa:

# Un pulso angosto en el tiempo, tiene una significativa descripción en frecuencia, sobre un amplio rango del espectro.

# Un pulso de duración significativa en el tiempo, tiene un espectro angosto.

Pulso Exponencial

Pulso exponencial decreciente (en una versión truncada), según la figura 2-9(a)

Fig. 2-9(a) Fig. 2-9(b)

Usemos la función escalón unitario, como estándar:

1, t > 0 u (t) = ½, t = 0 (2-22)

0, t < 0

El pulso exponencial decreciente será: ( )tuetg ta−=)(

Ent.:

( )fja

dtedteefG fjattfjtaπ

ππ

21)(

0

22

0 +=== ∫∫

∞+−−

∞− (2-23)


( )tue ta− ! fja π2

1+

(2-24)

Para el caso del pulso exponencial creciente (en una versión truncada), figura 2-9(b):

( )tuetg ta −=)(



Donde u(-t) es la unidad para t < 0, un medio (½) para t = 0 y cero para t > 0. Su transformada es:

( )fja

dtedteefG fjattfjtaπ

ππ

21)(

022

0

−=== ∫∫

∞−

−−

∞−


( )tue ta − ! fja π2

1−

(2-25)

Como ambos pulsos exponenciales son asimétricos respecto del tiempo, entonces sus transformadas de Fourier son complejas en f. Además, tienen el mismo espectro de amplitud, mientras que el espectro de fase de uno es el negativo del otro.

Propiedades de la Transformada de Fourier: Relación entre g(t) y su transformada G(f) y, asimismo evaluar varias operaciones sobre g(t) y el efecto que producen sobre G(f).

Propiedad 1: Linealidad (superposición)

Si: g1(t) ! G1(f) y g2(t) ! G2(f) y para cualquier constante c1 y c2

Ent.: c1 g1(t) + c2 g2(t) ! c1 G1(f) +c2 G2(f) (2-26)

Esto se debe a la linealidad de las integrales que definen a G(f) y a g(t).

Ejemplo de uso: Combinación de pulsos exponenciales

Si tomamos la figura 2-10(a):

e – a t, t > 0 g(t) = 1, t = 0 = e – a | t | e a t , t < 0

(2-27)

Usando la ec. 2-26 y el par de transformadas de las ec. 2-24 y 2-25:

( )22 22

21

21)(

faa

fjafjafG

πππ +=

−+

+=

Ent.:

tae− ! ( )22 22

faaπ+

(2-28)

Fig. 2-10 (a) y (b)

Simetría de g(t) en el tiempo El espectro es real y simétrico [G(f)]



Si tomamos la figura 2-10(b): e – a t, t > 0 g(t) = 0, t = 0 (2-29) – e a t, t < 0

Podemos emplear la función signo, como estándar:

+ 1, t > 0 sgn(t) = 0, t = 0 (2-30) – 1, t < 0

Ent.:

( )tetg ta sgn)( −=

Según las ec. 2-24 y 2-25

( )[ ] ( )( )22 24

21

21sgn

fafj

fjafjateFtgF ta

π

πππ +

−=

−−

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= −


( )te ta sgn− ! ( )22 24fafj

π

π

+

− (2-31)

Asimetría de g(t) en el tiempo El espectro es imaginario y asimétrico [G(f)]

Propiedad 2: Cambio de escala

Si: g(t) ! G(f)

Ent.: g(at) ! ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛afG

a1 (Ver demostración en el libro) (2-32)

g(at) representa a g(t) comprimida en el tiempo por un factor “a”, mientras que G(f/a) representa a G(f) expandida en frecuencia por el mismo factor “a”. Esto es, como vimos en el análisis del pulso rectangular:

La propiedad de cambio de escala establece que la compresión de una función g(t) en el dominio del tiempo es equivalente a la expansión de su transformada de Fourier G(f) en el dominio de la frecuencia o viceversa.

Si a = – 1 Ent.: g(– t) ! G(– f) (2-33)

Propiedad 3: Dualidad

Si: g(t) ! G(f)



Ent.: G(t) ! g(– f) (2-34)

Se comprueba intercambiando t y f en las integrales transformadas de Fourier

Ejemplo, para aclarar ideas: Pulso senc

Si: g(t) = A senc (2Wt)

Aplicando las propiedades de dualidad y de cambio de escala al par de transformadas de la

ec. 2-21 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛TtrectA ! ( )TfsencTA y reconociendo que la función rectangular es una

función par del tiempo [ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

Ttrect

Ttrect ] tendremos:

A senc (2Wt) ! ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Wfrect

WA

22 (2-35)

Fig. 2-11

# La transformada de Fourier de un pulso senc es cero para | f | > W

# El pulso senc es asintóticamente limitado en el tiempo ( g(t) → 0 cuando t → ∞)

Propiedad 4: Retardo en el Tiempo

Si: g(t) ! G(f)

Ent.: g(t – t0) ! ( ) 0tfπj2efG − (2-36)

La demostración se basa en tomar la transformada de Fourier de g(t – t0) y emplear una nueva variable τ = t – t0 para obtener:

( )[ ] ( ) ( )fGedegettgF tfjfjtfj 00 2220

πτππ ττ −−∞

∞−

− ==− ∫



Desplazar a g(t) en la dirección positiva por un valor t0 (o sea que se retrasa), es equivalente a multiplicar su transformada G(f) por un factor 02 tfje π− . O sea que la amplitud de G(f) no es afectada por el retardo, pero la fase es afectada por un corrimiento lineal o de pendiente igual a (– 2π t0).

Propiedad 5: Traslación en frecuencia (modulación) Si: g(t) ! G(f)

Ent.: ( ) tfπj2 cetg ! ( )cf-fG (2-37)

Donde fc es un valor real constante.

Esto es porque: ( )[ ] ( ) ( ) ( )ctffjtfπj ffGdtetgetgF cc −== −−∞

∞−∫ π22

Multiplicar a g(t) por un factor tfj ce π2 es equivalente a desplazar a su transformada G(f) en la dirección positiva por un valor de fc.

Esta propiedad también se llama Teorema de Modulación, ya que un desplazamiento en frecuencia se logra con la modulación.

Analizar la dualidad entre las operaciones de retardo en el tiempo y traslación en frecuencia dadas por las ec. 2-36 y 2-37.

Por ejemplo, tengamos una señal v(t) que tiene un espectro de banda limitada como el indicado en la figura 2-12 (a), donde se indican la amplitud y fase sobre el mismo eje y se aplica la propiedad de traslación de frecuencia, dando como resultado la figura 12-2 (b).

Fig. 2-12

Analizando la traslación, vemos que:

" Las componentes significativas están concentradas alrededor de fc " Aunque la señal V(f) tiene una banda limitada en W, V(f – fc) tiene un ancho espectral

de 2W. O sea que la traslación a doblado el ancho espectral (la porción de frecuencia negativa ahora aparece dentro de las frec. positivas).



" V(f – fc) no tiene simetría hermitiana pero tiene simetría con respecto al origen, trasladado a f = fc

Ya que g(t) tfj ce π2 no es una función real del tiempo, no puede ocurrir como señal de comunicaciones. Pero, son comunes las funciones del tipo g(t) cos (2π fc t + θ), que son la base de la modulación de portadora y, por extensión directa de la ec. 2-37, se tiene:

g(t)cos 2π fc t +θ( ) ! ( ) ( )cj

c

jffGeffGe

++−−

22

θθ (2-38)

O sea que:

Multiplicando una señal por una sinusoide, se traslada su espectro en frecuencia, arriba y abajo de fc. El espectro tiene simetría hermitiana, ya que g(t) cos (2π fc t + θ) es una función real del tiempo.

Ejemplo, para aclarar ideas: Pulso de Radio Frecuencia (RF)

Consideramos el pulso de la figura 2-13 (a). Esta señal es también llamada pulso de RF, cuando la frecuencia fc cae dentro de la banda de radiofrecuencia.

Su expresión matemática es la siguiente:

( )tfTtrectAtg cπ2cos)( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

Como se tiene que:

( ) ( )tfjtfjc

cc eetf πππ 22

212cos −+=

Aplicando la propiedad de la traslación de frecuencia al par transformado de la ec. 2-21, tendremos que:

( )[ ] ( )[ ]{ }cc ffTsencffTsencTAfG ++−=2

)(

Fig. 2-13 (a)

Si: fcT » 1 Ent.: Se puede usar el resultado aproximado (superposición despreciable de los espectros):

( )[ ]cffTsencTA−

2, f > 0

G (f) = 0, f = 0 (2-39)

( )[ ]cffTsencAT+

2, f < 0

El espectro de amplitud se muestra a continuación, en la figura 2-13 (b)



Fig. 2-13 (b)

Propiedad 6: Area bajo g(t) Si: g(t) ! G(f)

Ent.: ( ) ( )0Gdttg =∫∞

∞−

(2-40)

Esto es, el área bajo la función g(t) es igual al valor de la transformada de Fourier G(f), valuada en f = 0.

Propiedad 7: Area bajo G(f) Si: g(t) ! G(f)

Ent.: ( ) ( )dffGg ∫∞

∞−

=0 (2-41)

Esto es, el valor de la función g(t), valuada en t = 0, es igual el área bajo la transformada de Fourier G(f).

Propiedad 8: Diferenciación en el dominio del tiempo Si: g(t) ! G(f) y asumimos que la 1º derivada de g(t) tiene transformada de Fourier,

Ent.: ( )tgdtd ! ( )fGfπ2j (2-42)

Esto es, la diferenciación de una función del tiempo g(t), tiene el efecto de multiplicar su transformada de Fourier G(f) por un factor j 2 π f.

La demostración se obtiene derivando a ambos lados de la definición de la transformada inversa de Fourier G(f) e intercambiando las operaciones de integración y diferenciación.



Generalizando:

( )tgdtdn

n ! ( ) ( )fGfπ2j n (2-43)

Esta ecuación asume que existe la transformada de Fourier, de la n-ésima derivada.

Ejemplo: Pulso Gaussiano Usaremos la propiedad de la diferenciación, para derivar la particular forma de un pulso de señal que tiene la misma forma matemática que su propia transformada de Fourier. Supongamos que g(t) denota el pulso expresado como función del tiempo y G(f) es su transformada. Si hacemos la derivada de G(f) con respecto a f, tendremos:

Diferenciación en el dominio de la frecuencia ( )tgtπ2j- ! ( )fGdfd (2-44)

De las ec. 2-42 y 2-44, deducimos que:

Si: ( ) )(2 tgttgdtd

π−= (2-45) Ent.: ( ) )(2 fGffGdfd

π−= (2-46)

Lo que significa que el pulso de señal y su transformada son la misma función, por que la expresión de la derivada de ambas tiene la misma forma.

O sea que si g(t) satisface la ecuación diferencial 2-45, tendremos que G(f) = g(f). La solución para la ecuac. diferencial 2-45 es:

2)( tetg π−= (2-47)

Este es el pulso gaussiano, dado en la figura 2-14. Su nombre deriva de la similitud con la función Gaussiana de densidad de probabilidad (Teoría de la Probabilidad).

Si aplicamos la Propiedad 6 (ec. 2-40): Fig. 2-14

12

=∫∞

∞−

− dte tπ (2-48)

Pulso Normalizado Cuando: Ordenada central = 1 Pulso Area bajo la curva = 1 Gaussiano

Si: Se considera al Pulso Gaussiano Normalizado,

Ent.: 2tπe− !

2fπe− (2-49)



Propiedad 9: Integración en el dominio del tiempo Si: g(t) ! G(f) y siempre que G(0) = 0

Ent.: ( ) ττ d∫∞

t

-

g ! ( )fGfπ2j

1 (2-50)

Esto es, la integración de una función del tiempo g(t), tiene el efecto de dividir su transformada de Fourier G(f) por un factor j 2 π f, asumiendo que G(0) es cero (o sea, el área bajo g(t) es cero).

La demostración se obtiene expresando g(t) como: ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫

∞

dττgdtdtg

t

-

)(

Y aplicando la propiedad de la diferenciación en el tiempo a la transformada de Fourier:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫

∞

dττgFfπjfGt

-

2)(

Ejemplo: Pulso Triangular

Tomemos el doble pulso g1(t) de la figura 2-15 (a). Si integramos este pulso respecto del tiempo, tendremos el pulso triangular g2(t) de la figura 2-15 (b)

El doble pulso es la suma de dos pulsos rectangulares:

1) Amplitud A para –T ≤ t ≤ 0

2) Amplitud –A para 0 ≤ t ≤ T

Aplicando la propiedad de retardo del tiempo

a la ec. 2-21 [ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛TtrectA ! ( )TfsencTA ]

Para cada caso nos da:

1): ( )TfsencTAe Tfjπ

2): ( )TfsencTAe Tfjπ−−

Así:

G1 f( ) = AT senc f T( ) e jπ f T − e− jπ f T"# $%

= 2 j AT senc f T( ) sen π f T( ) (2-51)

Vemos que G(0) = 0 Fig. 2-15



Usando las ec. 2-50 y 2-51:

G2 f( ) = 1j2π f

G1 f( ) =ATsen π f T( )

π fsenc f T( ) =AT 2 senc2 f T( ) (2-52)

Observe la asimetría de la fig. 2-15 (a) y la simetría de la 2-15 (b) y sus respectivas transformadas.

Si analizamos el espectro de amplitud del pulso triangular, indicado en la figura 2-16, vemos que:

" El pulso triangular tiene menos contenido de alta frecuencia que un pulso rectangular con amplitud A y duración T (fig. 2-7), aun cuando ambas tengan igual área.

Esto es consecuencia de que el pulso triangular se extiende sobre 2T segundos y no tiene las marcadas variaciones en tiempo que la forma rectangular.

Fig. 2-16

Podemos generar un par transformado, en base a la función triangular, como estándar, siendo esta:

1 – (|t| / T), | t| < T triang (t / T) = (2-53)

0, | t| > T

Ent.: AT triang (t / T) ! ( )TfsencAT 22 (2-54)

Así, las funciones triangulares pueden ser generadas a partir de funciones rectangulares por medio de otra operación matemática, o sea, la convolución. En breve lo veremos con más detalles.

Propiedad 10: Funciones Conjugadas

Si: g(t) ! G(f) y para una función compleja del tiempo g(t)

Ent.: ( )tg∗ ! ( )f-G∗ (2-55)

Demostración:

∫∞

∞−

= dfefGtg tfj π2)()( ∫∞

∞−

∗∗ −= dfefGtg tfj π2)()(



Reemplazando f por – f:

∫∫∞

∞−

∗−∞

∞

∗∗ −=−−= dfefGdfefGtg tfjtfj ππ 22 )()()(

Corolario: ( )t-g∗ ! ( )fG∗ (2-56)

Ejemplo: Parte Real e Imaginaria de una Función del Tiempo

Si: ( ) ( )[ ] ( )[ ]tgjtgtg ImRe += (2-57) Ent.: ( ) ( )[ ] ( )[ ]tgjtgtg ImRe −=∗ (2-58)

Por lo que:

( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtgtg ∗+=21Re (2-59) y ( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtg

jtg ∗−=

21Im (2-60)

De aquí se obtienen los 2 siguientes pares transformados de Fourier:

( )[ ]tgRe ! ( ) ( )[ ]fGfG −+ ∗

21 (2-61)

( )[ ]tgIm ! ( ) ( )[ ]fGfGj

−− ∗

21 (2-62)

Si la función g(t) es real, tendremos que G(f) = G*(-f), por lo que tiene simetría conjugada o hermitiana, tal como ya se había visto.

Propiedad 11: Multiplicación en el Dominio del Tiempo Si: g1(t) ! G1(f) y g2(t) ! G2(f)

Ent.: (t)(t)gg 21 ! ( )∫∞

∞−

− dλλ)(fGλG 21 (2-63)

Demostración: definamos que la transformada de Fourier del producto g1(t) g2(t) es G12(f) g1(t) g2(t) ! G12(f)

Donde: G12 ( f ) = g1(t)g2 (t)e− j2π ft dt

−∞

∞

∫

Si para g2(t) su antitransformada de fourier es: ∫∞

∞−

= ''22

'2)()( dfefGtg tfj π

Ent.: ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=−−

dtdfefGtgfGtffj

''2112

'2)()()(

π



Si λ = f –f’, intercambiando el orden de integración:

( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−= dtetgfGdfG tj λπλλ 2)()()( 1212

La integral interna es simplemente G1(λ), por lo que:

( )∫∞

∞−

−= λλλ dfGGfG )()( 2112

Esta integral es conocida como la Integral de Convolución, expresada en el dominio de la frecuencia y la función G12(f) es referida como la Convolución de G1(f) y G2(f).

La multiplicación de dos señales en el dominio del tiempo es transformado en la convolución de sus transformadas individuales de Fourier, en el dominio de la frecuencia.

Esta propiedad es conocida como el Teorema de la Multiplicación, y su notación abreviada es:

( ) ( ) ( )fGfGfG 2112 ∗=

Si reemplazamos en la ec.(2-63) g1(t) g2(t) ! G1(f)∗ G2(f) (2-64)

La convolución es conmutativa: ( ) ( ) ( ) ( )fGfGfGfG 1221 ∗=∗

Tal como surge de la ec. (2-64).

Propiedad 12: Convolución en el Dominio del Tiempo Si: g1(t) ! G1(f) y g2(t) ! G2(f)

Ent.: ( ) dττ) -(tg τg-

21∫∞

∞

! (f)G(f)G 21 (2-65)

Esto resulta de combinar la Propiedad 3 (dualidad) con la Propiedad 11 (multiplicación en el dominio del tiempo).

La convolución de dos señales en el dominio del tiempo es transformado en la multiplicación de sus transformadas individuales de Fourier, en el dominio de la frecuencia.

Esta propiedad es conocida como el Teorema de la Convolución.

Esto permite intercambiar una operación de convolución por una multiplicación de transformadas, que en general es mucho más simple de manipular. Usando la notación abreviada:

g1(t)∗ g2(t) ! G1(f) G2(f) (2-66)

Aquí también, las Propiedades 11 y 12, son duales, cada una de la otra.



Convolución, otra mirada:

Convolución Ampliamente usada en las comunicaciones.

Buen modelo de los procesos físicos dentro de un sistema lineal

Ayuda a comprender las relaciones entre los dominios del tiempo y de la frecuencia. En ambos casos, va de la mano con la función conocida como función impulso o Delta de Dirac.

Su interpretación gráfica es: Si:

( ) ( ) ( ) λλλ d) w(t - vtwtv-∫∞

∞

=∗

Conforme v(t)*w(t) se evalúa para ∞<<∞− t , la gráfica de w(t-λ) se mueve de izquierda a derecha con respecto a v(λ) y la forma real de la integración de convolución puede cambiar dependiendo del valor de t. En la fig. 2-17 se tiene:

( ) ( ) 00 <=∗ ttwtv

De manera similar: Fig. 2-17

( ) Ttd) w(t - vt

<<∫ 00

λλλ

( ) ( ) =∗ twtv

( ) Ttd) w(t - vt

Tt

>∫−

λλλ

Propiedades de la Convolución: vwwv ∗=∗ (2-67)

( ) ( ) zwvzwv ∗∗=∗∗ (2-68) ( ) ( ) ( )zwzvzwv ∗+∗=∗+ βαβα (2-69)

( ) wdtdv

dtdwvwv

dtd

∗=∗=∗ (2-70)

Ya que v(λ) = 0 para λ < 0 y w(t-λ) = 0 para λ < t-T y λ > t Aquí t aparece como límite de integración.



Ejemplo: Convolución de pulsos rectangulares Usando la Interpretación gráfica y dividiendo el problema en 3 casos:

( ) ( ) ( ) ( )21

212121212222 ττττττττττ ≥−<+<<−+> conttt

Fig. 2-18

Si 21 ττ = , entonces la Convolución da como resultado una gráfica que es un triángulo.

Teorema de la Energía de Rayleigh:

Método tradicional: Definir la energía de una señal, en el dominio del tiempo.

Método alternativo: Definir la energía de una señal, usando la Transf. de Fourier Para ello: emplearemos la noción de densidad espectral de energía.

Supuestos: g(t) está definida para todo el intervalo –∞ < t < ∞ y puede ser compleja. La transformada G(f) existe

Energía total de la señal: ∫∞

∞−

= dttgE 2)( (2-71)

Según esta definición, el integrando 2)(tg puede ser visto como una intensidad de energía que varía en el tiempo. La energía total bajo la curva es la energía total de la señal.

También: ( ) ( )tgtgtg ∗=2)( . Como la transformada de g*(t) es G*(-f) [por Propiedad 10]

Aplicado la ec.(2-63) [Propiedad 11] y evaluando el resultado para f = 0, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∗∞

∞−

∗ = λλλ dGGdttgtg

Reemplazando λ por f y notando que ( ) ( )fGfGfG ∗=2)( , la energía total será:

Teorema de la Energía de Rayleigh: E = g(t) 2 dt−∞

∞

∫ = G( f ) 2 df−∞

∞

∫ (2-72)



Si conocemos el espectro de amplitud de la señal, conoceremos la energía total.

Definamos como: ( ) 2)( fGfg =ε (2-73)

Ent.:

( )∫∞

∞−

= dffE gε (2-74)

Donde ( )fgε es la Densidad Espectral de Energía de la señal g(t).

Supongamos que g(t) es la tensión de una fuente conectada a través de un resistor de carga de 1 ohm; entonces la ec. (2-71) da la energía total E entregada por la fuente. Según el teorema de Rayleigh, esta energía es igual al área bajo la curva ( )fgε . De allí que la función ( )fgε sea una medida de la densidad de energía contenida en g(t), en joules por Hertz. Si g(t) es una función real $ )( fG es una función par de f $ ( )fgε es simétrica respecto del eje vertical, pasando a través del origen.

Ejemplo: Pulso Senc (continuación)

Tomemos de nuevo el pulso g(t) = A senc (2Wt). Su energía será: ( )∫∞

∞−

= dttWsencAE 222

Si consideramos que: A senc (2Wt) ! ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Wfrect

WA

22, aplicando el teorema de Rayleigh:

W2AE2

∫∫−

∞

∞−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

W

W

dfWAdf

Wfrect

WA

22

2

222 (2-75)

Relación inversa entre Tiempo y Frecuencia: Las propiedades de la transformada de Fourier muestran que la descripción de la señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia están inversamente relacionadas: ! Si la descripción de la señal en el dominio del tiempo es cambiada, entonces la

descripción en el dominio de la frecuencia cambia de manera inversa y viceversa. Podemos especificar una función arbitraria del tiempo o de espectro arbitrario, pero no podemos especificar ambos al mismo tiempo.

! Si la señal es estrictamente limitada en frecuencia, entonces la descripción de dicha señal en el dominio del tiempo se extenderá indefinidamente, aunque su amplitud puede asumir un valor progresivamente pequeño. Una señal es estrictamente limitada en frecuencia o de banda estrictamente limitada cuando su transformada de Fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias (ver fig. 2-11). De manera inversa, si una señal es estrictamente limitada en tiempo (la señal es exactamente cero fuera de un intervalo finito de tiempo), entonces su espectro de frecuencias se extenderá indefinidamente, aunque su amplitud del espectro puede asumir un valor progresivamente pequeño (ver fig. 2-7, 2-15 y 2-16).

Una señal no puede ser estrictamente limitada en tiempo y en frecuencia, simultáneamente.



Ancho de Banda: Ancho de Banda Medida de la extensión del contenido espectral significativo de

una señal, para frecuencias positivas. Banda estrictamente limitada El ancho de banda está perfectamente definido

Banda no estrictamente limitada Dificultad para “definir” el ancho de banda. Definiciones de Ancho de Banda:

Existen 3 definiciones comúnmente utilizadas. La formulación de cada definición depende de si la señal es pasabajo (contenido espectral significativo alrededor del origen) o pasabanda (contenido espectral significativo alrededor de ± fc, con fc ≠ 0): 1. Si el espectro de la señal es simétrico, con un lóbulo principal limitado por valores

nulos bien definidos (frecuencias a las que el espectro es cero), entonces podemos usar el lóbulo principal como la base para definir el ancho de banda de la señal. Si la señal es pasabajo: BW = ½ Ancho total del lóbulo principal (fig. 2-7).

Si la señal es pasabanda BW = Ancho total del lóbulo principal (fig. 2-13b) 2. Ancho de banda de -3 dB.

Si la señal es pasabajo, el BW de -3 dB es definido como la separación entre f = 0, donde la amplitud del espectro tiene su valor pico, y la frecuencia positiva a la cual la amplitud del espectro tiene una caída de 21 de su valor pico (fig. 2-9, BW = a/2π).

Si la señal es pasabanda, centrada en ± fc, el BW de -3 dB es definido como la separación (a lo largo del eje de frec. positivas) entre las 2 frecuencias a las cuales la amplitud del espectro cae a 21 de su valor pico a fc. Puede ser difícil de determinar, cuando la amplitud del espectro de la señal decrece muy lentamente.

3. Valor medio cuadrático (rms) del ancho de banda. Optimo para la evaluación matemática pero difícil de medir en laboratorio:

( )

( )

21

2

22

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

dffG

dffGfBWrms

Producto Tiempo – Ancho de Banda:

Para cualquier familia de señales de pulsos que difieren en un factor de escala de tiempo, el producto de la duración de la señal y su ancho de banda es siempre igual a una constante:

(duración) x (ancho de banda) = constante Esto es otra manifestación de la relación inversa entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia de una señal dada. Independientemente de cual definición adoptemos para el ancho de banda, siempre esta relación es válida; solo cambiará el valor de la constante.



Función Delta de Dirac: Teoría de la transformada de Fourier: aplicable solo a funciones que cumplen condiciones

de Dirichlet, (se incluyen las señales de energía). Es deseable extender dicha teoría a:

1. Combinar las series y las transformadas de Fourier en una teoría unificada, tal que las series de Fourier sean tratadas como un caso especial de las transformadas de Fourier.

2. Incluir las señales de potencia en la lista de las señales a las que se les puede aplicar la transformada de Fourier.

Solución: función Delta de Dirac o Impulso Unitario. Donde:

( ) 0,0 ≠= ttδ (2-76)

y ( ) 1=∫∞

∞−

dttδ (2-77)

Una implicancia de este par de relaciones es que la función ( )tδ debe ser una función par del tiempo t.

Para que la función delta tenga sentido, sin embargo, debe aparecer como un factor en el integrando de la integral con respecto al tiempo y entonces, estrictamente hablando, solamente sucede cuando el otro factor en el integrando es una función continua del tiempo

Si tenemos g(t) y la multiplicamos por la función delta desplazada en el tiempo ( )0tt −δ ,

Ent.: ( ) ( ) ( )00 tgdttttg =−∫∞

∞−

δ (2-78)

A esta ec. se la llama propiedad de desplazamiento de la función delta.

Como ( )tδ es una función par del tiempo, podemos reescribir la ec. (2-78):

( ) ( ) ( )tgdtg =−∫∞

∞−

ττδτ (2-79)

O usando la notación de la convolución: ( ) ( ) ( )tgttg =∗δ

A esta ecuación se la llama propiedad de replicación de la función delta.

Por definición, la transformada de Fourier a la función delta es:

( )[ ] ( ) dtettF tfj πδδ 2−∞

∞−∫=

Si usamos la propiedad de desplazamiento de ( )tδ y notamos que 12 =− tfje π para t = 0, tendremos:

( )[ ] 1=tF δ

Y el par de transformada de Fourier, de la función Delta de Dirac es:

( )tδ ! 1 (2-80)



La función delta y su espectro se muestra en la fig. 2-19

Fig. 2-19

Ejemplo: La función Delta como una forma límite de un pulso Gaussiano Consideremos un pulso Gaussiano de área unitaria, definido por:

( ) 2

2

1 τ

π

τ

t

etg−

= (2-81)

donde: τ es un parámetro variable.

La función Gaussiana g(t) tiene 2 propiedades:

1. Sus derivadas son todas continuas.

2. Se disipa más rápidamente que cualquier potencia de t.

La función delta se obtiene tomando el límite para τ → 0

La figura 2-20(a) muestra la secuencia de pulsos, en función de τ.

El pulso Gaussiano usado aquí es el mismo que el pulso

2te π− , solo que está expandido en el tiempo en un valor τ y la amplitud del espectro está comprimida por igual factor. Fig. 2-20

Aplicando las propiedades de linealidad y retardo en el tiempo, de la transformada de fourier, a la ec. (2-49), tendremos:

( )22 fefG τπ−=

Que es también un pulso Gaussiano, como se ve en la fig. 2-20 (b). Si hacemos τ = 0, obtenemos que la transformada de la función delta es la unidad, tal como esperábamos.



Aplicaciones de la función delta:

1. Señal de Continua:

Aplicando la propiedad de la dualidad al par de transformadas de la ec. (2-80), tenemos:

1 ! ( )fδ (2-82)

Lo que establece que una señal de continua es transformada en el dominio de la frecuencia en una función delta ( )fδ a la frecuencia cero, como muestra la figura 2-21

Fig. 2-21 Según la definición de la transformada de Fourier, aplicada a la ec. (2-82), obtendremos:

( )fδdte tfj =∫∞

∞−

− π2

Reconociendo que la función delta es real (simetría par en el dominio de la frecuencia) y considerando que e± j2π f t = cos 2π ft( )± jsen 2π ft( ) , podemos simplificar la notación:

( ) ( )fδdttf =∫∞

∞−

π2cos (2-83)

Esta ecuación da otra definición de la función delta, aunque en el dominio de la frecuencia.

2. Señal Exponencial Compleja

Aplicando la propiedad de traslación en frecuencia a la ec. (2-82), tenemos: tfπj2 ce ! ( )cf-fδ (2-84)

Para una función exponencial compleja de la frecuencia fc. Esta función es transformada en el dominio de la frecuencia en una función delta ( )cf-fδ ocurriendo a f = fc.

3. Función Sinusiodal Previo a obtener la transformada de Fourier de una función coseno, apliquemos el corolario del teorema de Euler:

( ) [ ]tfjtfjc

cc eetf πππ 22

212cos −+= (2-85)

Luego, usando la ec. (2-84), tendremos:

( )tfπ2cos c ! ( ) ( )[ ]cc ffδf-fδ21

++ (2-86)



Esto se muestra en la figura 2-22

Fig. 2-22

4. Función Signo Veamos la función signo, mostrada en la fig. 2-23(a). Esta función ya había sido definida en la ec. (2-30) y era: + 1, t > 0 sgn(t) = 0, t = 0 – 1, t < 0 Esta función no satisface las condiciones de Dirichlet (no es integrable) y, estrictamente hablando, no tiene transformada de Fourier. Pero podemos definir la transformada de Fourier para una función Signo que es vista como el límite de un pulso doble exponencial asimétrico:

tae− , t > 0 g(t) = 0, t = 0 (2-87)

– tae , t < 0 Con a aproximándose a cero.

Fig. 2-23 La señal g(t) se muestra en línea punteada en la fig. 2-23(a)y satisface las condiciones de Dirichlet. Si recordamos la ec. (2-31), tendremos:

( )( )22 24fafjfG

π

π

+

−=

La amplitud del espectro se muestra en la fig 2-23(b) en línea punteada. En el límite:

( )[ ]( ) fjfa

fjtFa ππ

π 124limsgn 220

=+

−=

→



O sea que:

( )tsgn ! fjπ1 (2-88)

Viendo la figura, observamos que para a suficientemente pequeña, la aproximación es muy buena, excepto cerca del origen del eje de la frecuencia. En el origen, el espectro de la función aproximada g(t) es cero, mientras que el de sgn(t) tiende a infinito. Aquí no se ha involucrado la función . La transformada de Fourier fjπ1 solo puede obtenerse desde la función sgn(t) si ella está dada como un caso especial que implica el uso de la función delta.

5. Función Escalón Unitario Veamos la función escalón unitario, mostrada en la fig. 2-24(a). Esta función ya había sido definida en la ec. (2-30) y era: 1, t > 0 u (t) = ½, t = 0 0, t < 0 De las fig. 2-23(a) y 2-24(a) vemos que las funciones signo y escalón unitario están relacionadas por:

( ) ( )[ ]1sgn21

+= ttu (2-89)

Fig. 2-24 Así, usando las propiedades de linealidad y los pares de transformadas de la ec. (2-88) y la ec. (2-89), tendremos:

( )tu ! ( )fδ21

fj2π1

+ (2-90)

Esto se ve en la fig. 2-24(b)

6. Integración en el dominio del tiempo (revisada)

Consideremos el caso mas general que el dado en la ec. (2-50), sin asumir ninguna condición como la de G(0) = 0.

Sea:

( )∫∞−

=t

dgty ττ)( (2-91)

La señal integrada y(t), podemos verla como la convolución de la señal original g(t) y la función escalón unitario u(t) como sigue:

( ) ( )∫∞

∞−

−= τττ dtugty )(

( )tδ



Donde: 1, τ < t u (t-τ) = ½, τ = t 0, τ > t

Usando la ec. (2-65), tenemos: ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ffj

fGfY δπ 2

121 (2-92)

Ya que: ( ) ( ) ( ) ( )fGffG δδ 0= , podemos reescribir:

( ) ( ) ( ) ( )fGfGfj

fY δπ

021

21

+=

El par de transformadas de Fourier será:

( )∫∞−

tdττg ! ( ) ( ) ( )fδ0G

21fG

fj2π1

+ (2-93)

Donde para el caso particular de G(0) = 0, da el resultado de la ec.(2-50)

Transformada de Fourier de señales periódicas:

Usando las Series de Fourier, una señal periódica puede ser representada como una suma de exponenciales complejas. Asimismo, en un sentido límite, las transformadas de Fourier pueden ser definidas por exponenciales complejas. Por lo tanto, parece razonable que una señal periódica pueda ser representada en términos de la transformada de Fourier, con tal que esta transformada incluya a la función delta.

Sea una señal periódica )(0tgT de periodo T0. Su representación por series de Fourier

complejas exponenciales es:

∑∞

−∞=

=n

tfnjnT ectg 0

02)( π (2-94)

Donde cn es el coeficiente complejo de Fourier, definido por:

∫−

−=20

20

00

2

0)(1

T

T

dtetgT

c tfnjTn

π (2-95)

y f0 es la frecuencia fundamental, donde f0 = 1/ T0.

Utilicemos una función g(t) semejante a un pulso, que es igual a )(0tgT sobre un periodo y

cero para todo otro t, esto es:

)(0tgT

2200 T

tT

≤≤−

g(t) = (2-96) 0 Para todo otro t

Ahora podemos expresar )(0tgT en función de g(t), como una sumatoria infinita, esto es:



( )∑∞

−∞=

−=m

T mTtgtg 0)(0

(2-97)

O sea que g(t) es una función generadora, que genera la señal periódica )(0tgT .

Como g(t) es transformable por Fourier, podemos reescribir la ec. (2-95) como sigue:

( )002

00)( nfGfdtetgfc tfnj

n == ∫∞

∞−

− π (2-98)

Donde G(nf0) es la transformada de Fourier de g(t), evaluada a la frecuencia nf0.

Podemos reescribir la fórmula para la reconstrucción de la señal periódica )(0tgT como:

( )∑∞

−∞=

=n

tfnjT enfGftg 00

200)( π (2-99)

O equivalentemente, según la ec. (2-97) [Dominio del Tiempo]

( ) ( )∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

=−n

tfnj

menfGfmTtg 02

000π (2-100)

Esta ec. es una forma de la fórmula de la suma de Poisson.

Finalmente, empleando las ec. (2-84) y (2-100), tenemos el siguiente par de transformadas para una señal periódica )(

0tgT , con una función generadora g(t) y periodo T0 [Dominio de

la Frecuencia]

( )∑∞

−∞=

−m

0mTtg ! ( ) ( )∑∞

−∞=

−n

000 nffδnfGf (2-101)

Esto indica que la transformada de Fourier de una señal periódica consiste de funciones delta ocurriendo a múltiplos enteros de la frecuencia fundamental f0, incluido el origen, con cada función delta ponderada por un factor igual al valor de G(nf0).

La señal g(t), constituyendo un periodo de )(0tgT , tiene un espectro continuo definido por

G(f). Mientras, la señal )(0tgT tiene un espectro discreto. O sea que:

La periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efecto de cambiar la descripción en el dominio de la frecuencia o espectro de la señal, en una forma discreta definida a múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

Ejemplo: Función ideal de Muestreo Una función ideal del muestreo, consiste de una secuencia infinita de funciones delta, uniformemente espaciadas, como se ve en la figura 2-25(a). Su ecuación es:



( )∑∞

−∞=

−=m

T mTtt 0)(0

δδ (2-102)

Fig. 2-25

La función generadora g(t) de la función ideal de muestreo )(0tTδ es simplemente la

función delta )(tδ . En consecuencia G(f) = 1 y ( ) 10 =nfG Para todo n

Usando la ec. (2-101), tenemos:

( )∑∞

−∞=

−m

0mTtδ ! ( )∑∞

−∞=

−n

00 nffδf (2-103)

Esta ec. establece que la transformada de Fourier de un tren periódico de funciones delta, espaciadas en T0 segundos, consiste en otro tren periódico de funciones delta, ponderadas por el factor f0 = 1/ T0 y regularmente especiadas en f0 Hertz a lo largo del eje de las equis, como indica la figura 2-25(b). Para el caso especial de T0 = 1, un tren periódico de funciones delta es su propia transformada, de similar manera que el pulso Gaussiano.

Asimismo, a partir de la fórmula de la suma de Poisson, ec. (2-100), podemos obtener la siguiente relación útil [Dominio del Tiempo]:

( ) tfnj

nmefmTt 02

00πδ ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

=− (2-104)

La dualidad de esta relación es [Dominio de la Frecuencia] [Ver Propiedad 4]:

( )∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

− −=nm

Tfmj nffδfe 002 0π (2-105)



Transmisión de señales a través de sistemas lineales: Analicemos ahora una clase especial de sistemas conocidos por ser lineales.

Sistema Cualquier dispositivo físico que produce una señal de salida en respuesta a una señal de entrada.

Señal de entrada = Excitación Señal de salida = Respuesta

Sistemas lineales Se mantiene válido el principio de superposición (la respuesta de un sistema lineal a un número de excitaciones aplicadas simultáneamente es igual a la suma de las respuestas del sistema, cuando cada excitación es aplicada individualmente)

Ej. de sistemas lineales filtros (Dispositivo selectivo en frecuencia, usado para limitar el espectro de una señal a una banda de frecuencias)

canales de comunicaciones (medio de transmisión que conecta a Tx con Rx en un sistema de comunicaciones)

Ambos operando en su zona lineal. La evaluación del efecto de la transmisión de señales a través de filtros y canales de comunicaciones, puede ser hecha de dos maneras (dominio del tiempo o dominio de la frecuencia), dependiendo de la descripción adoptada para el filtro o el canal.

Respuesta en el tiempo: Dominio del tiempo: Un sistema lineal, es descrito en términos de su respuesta al impulso:

Respuesta del sistema (con condiciones iniciales iguales a cero) al impulso unitario o función delta ( )tδ aplicada a la entrada del sistema

Si el sistema es invariante en el tiempo, la forma de la respuesta al impulso es la misma, sin importar cuando se aplica ( )tδ al sistema.

se aplica para t = 0. Por definición h(t) será la respuesta al impulso, de un sistema lineal invariante en el tiempo. O sea, y(t) = h(t), cuando x(t) = ( )tδ

Sea ahora x(t) una excitación arbitraria, como muestra la figura 2-26(a)

Para determinar la respuesta del sistema y(t), inicialmente aproximemos a x(t) por una función escalera, formada por pequeños pulsos rectangulares, cada uno de duración τΔ , como muestra la fig. 2-26(b). Mientras menor es τΔ , mejor es la aproximación. Fig. 2-26

( )tδ



Cuando se aproxima a cero, cada pulso se aproxima, en el límite, a una ( )tδ ponderada por un factor igual a la altura del pulso por τΔ . Si tomamos el pulso de la fig. 2-26(b), para t = τ , este pulso tiene un área igual a ( ) ττ Δx .

La respuesta del sistema a la función delta, ponderada por el factor ( ) ττ Δx y ocurriendo para t = τ , debe ser ( ) ( ) τττ Δ−thx .

Para hallar y(t) para algún tiempo t, aplicamos el principio de superposición y tendremos:

(2-106)

Que es la integral de convolución o también conocida como la integral de superposición. Es la base del análisis en el dominio del tiempo, de sistemas lineales invariantes en el tiempo.

Aquí hay 3 escalas de tiempo involucradas: tiempo de excitación , tiempo de respuesta t y tiempo de memoria del sistema τ−t .

Establece que el valor presente de la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo es una integral ponderada sobre la historia pasada de la señal de entrada, ponderada a su vez según la respuesta al impulso del sistema. Esto es, la respuesta al impulso actúa como una función de memoria del sistema. Por las propiedades de la convolución:

(2-107)

Causalidad y Estabilidad: Un sistema es causal si no responde antes de que la excitación sea aplicada.

Para que un sistema lineal invariante en el tiempo sea causal, es necesario y suficiente que: h(t) = 0, t < 0 (2-108)

Claramente, para que un sistema operando en tiempo real sea físicamente realizable, el mismo debe ser causal. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las cuales la señal a ser procesada está disponible en forma almacenada; en esa situación el sistema puede ser no causal y ser físicamente realizable.

Un sistema se dice que es estable si la señal de salida está definida para todas las señales de entradas definidas. Esto se conoce como el criterio de estabilidad BIBO (bounded input – bounded output) el cual es apropiado para el análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo.

Sea la señal de entrada definida como: ( ) Mtx ≤ con M = numero finito real positivo

Sustituyendo en la ec. (2-107):

τΔ

( ) ( ) ( ) τττ dthxty ∫∞

∞−

−=

τ

( ) ( ) ( ) τττ dtxhty ∫∞

∞−

−=

( ) ( ) ττ dhMty ∫∞

∞−

≤



O sea que para que un sistema lineal invariante en el tiempo sea estable, la respuesta al impulso debe ser absolutamente integrable. O sea que la condición necesaria y suficiente para el criterio de estabilidad BIBO es que:

( ) ∞<∫∞

∞−

ττ dh (2-109)

Respuesta en Frecuencia:

Supongamos un sistema lineal invariante en el tiempo, con una respuesta al impulso h(t), cuya entrada es una exponencial compleja de amplitud unitaria y frecuencia f: ( ) tfjetx π2=

Ent., usando la ec. (2-107):

( ) ( ) ( ) ( ) ττττ τππτπ dehedehty fjtfjtfj ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

− == 222 (2-110)

Definiendo la función de transferencia del sistema como la transformada de Fourier de su respuesta al impulso, se tiene lo siguiente:

(2-111)

Comparando las ec. (2-110) y (2-111), podemos reescribir:

(2-112)

La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo, a una función exponencial compleja de la frecuencia f es igual a la misma función exponencial compleja multiplicada por un coeficiente constante H(f).

También: ( ) ( )( ) ( ) tfjetxtxtyfH

π2=

= (2-113)

Si ahora consideramos que una señal arbitraria x(t) es aplicada al sistema y la expresamos por su transformada inversa de Fourier:

(2-114)

O en su forma límite, como:

(2-115)

O sea que x(t) puede ser vista como una superposición de exponenciales complejas de amplitud incremental. Esto es muy útil para el análisis del comportamiento de sistemas lineales invariantes en el tiempo.

( ) ( ) dtethfH tfj∫∞

∞−

−= π2

( ) ( ) tfjefHty π2=

( ) ( ) dfefXtx tfj∫∞

∞−

= π2

( ) ( ) fefXtxk

tfjΔf

Δ= ∑∞

−∞=→=

π20

lim

fkΔf



Como el sistema es lineal, la respuesta a la superposición de las entradas exponenciales complejas será:

(2-116)

O sea que la transformada de Fourier de la salida y(t) será:

( ) ( ) ( )fXfHfY = (2-117)

Que es una forma mucho más simple de describir a la señal de salida, en el dominio de la frecuencia. Esto podría obtenerse simplemente a partir de la convolución de x(t) con h(t), o viceversa.

Nuevamente, como en el caso de G(f), la función de transferencia será una función compleja de la frecuencia, por lo que puede expresarse como:

( )[ ]fjefHfH β)()( = (2-118)

Amplitud de Respuesta en f Fase de Respuesta en f

En el caso especial de un sistema lineal con una respuesta al impulso h(t) real, la función de transferencia H(f) exhibirá simetría conjugada, o sea que:

( ) ( )fHfH −= y ( ) ( )ff −−= ββ

Donde, aquí también, la señal real exhibe una simetría conjugada (amplitud de respuesta con simetría par y fase de respuesta con simetría impar)

En algunas aplicaciones es preferible trabajar con el logaritmo de H(f), expreado en forma polar:

(2-119)

Donde:

(2-120)

La función es llamada la ganancia del sistema. Se mide en nepers mientras que ( )fβ se mide en radianes.

La ganancia también se puede expresar en decibeles (dB), según la definición:

( ) ( )fHf 10' log20=α (2-121)

Donde las dos ganancias se relacionan por:

( ) ( )ff αα 69.8' = (2-122)

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∑

∞

∞−

∞

−∞=→=

=

Δ=

dfefXfH

fefXfHty

tfj

k

tfjΔf

π

π

2

20

lim

fkΔf

( ) ( ) ( )fjffH βα +=ln

( ) ( )fHf ln=α

( )fα



O sea que: 1 Neper = 8.69 dB En la figura 2-27(a) y (b) se observa la definición de ancho de banda, a través de la caída de -3dB de su ganancia, tanto para un sistema pasabajo como pasabanda.

Fig. 2-27

Criterio de Paley-Wiener:

Una condición necesaria y suficiente para que la función sea la ganancia de un filtro causal es la convergencia de la integral:

( )∞<

+∫∞

∞−

dff

f21

α (2-123)

Esta ecuación es conocida como el Criterio de Paley-Wiener.

Si ( )fα cumple el criterio anterior, entonces podemos asociar con esta ganancia una adecuada fase ( )fβ , tal que el filtro resultante tenga una respuesta al impulso causal, que es cero para valores negativos del tiempo. O sea que este criterio es el equivalente en el dominio de la frecuencia, del requerimiento de causalidad. Una función con una característica de ganancia realizable puede tener atenuación infinita para un grupo discreto de frecuencias, pero no puede tener atenuación infinita sobre una banda de frecuencias; de otra forma, se viola el principio de Paley-Wiener.

( )fα



Filtros:

Filtro Dispositivo selectivo en frecuencia, usado para limitar el espectro de una señal a alguna banda específica de frecuencias

Caracterizado por una pasabanda (frecuencias transmitidas con pequeña o sin distorsión) y una eliminabanda (frecuencias rechazadas)

Tipos de Filtros: Pasabajo Pasaalto Pasabanda Eliminabanda

Ahora estudiaremos la respuesta en el dominio del tiempo de un filtro pasabajos ideal, como se ve en la figura 2-28. Su función de transferencia está definida por:

K 02 tfje π− BfB ≤≤− H(f) = (2-124) 0 Bf >

El parámetro B define el ancho de banda del filtro pasabajos ideal, mientras que t0 es el retardo en el tiempo, que se le aplica al pulso de entrada, el cual solo afecta a la fase de H(f) (ver Propiedad 4; ec. (2-36)).

Fig. 2-28 El filtro pasabajo ideal es no causal, ya que viola el criterio de Paley-Wiener. Esto puede confirmarse observando la función h(t), como luego se grafica; (h(t) ≠ 0 para t <0). Su transformada inversa de Fourier es:

( ) ( ) dfeKthB

B

ttfj∫−

−= 02π (2-125)

Esto da como resultado:

( ) ( )[ ]( )

( )[ ]00

0 222

ttBsencBKttttBsen

Kth −=−

−=

ππ (2-126)

Comparen esta expresión con el par de transformadas de Fourier de la ec. (2-35)

La respuesta al impulso se observa en la figura 2-29, donde su amplitud tiene un pico de K2B centrado en t0, para t0 = 1/B, para el caso particular de la figura. Para cualquier valor finito de t0 hay alguna respuesta desde el filtro antes de t = 0, momento en que se aplica el impulso unidad a la entrada, lo

K



que confirma que el filtro pasabajos ideal es no causal. Fig. 2-29

Pero siempre podemos hacer que el retardo t0 sea lo suficientemente grande para que la condición: ( )[ ] 12 0 <<− ttBsenc para t < 0 sea satisfecha.

Haciendo esto, podremos construir un filtro causal que se aproxime suficientemente a un filtro ideal pasabajos. Sea x(t) un pulso rectangular de amplitud unitaria y duración T, que es aplicado a un filtro pasabajos ideal de ancho de banda B, como el indicado en la figura 2-28. Ya dedujimos que la respuesta del filtro al impulso está dada por la ec. (2-126). Como el retardo no tiene efecto sobre la forma de la respuesta del filtro y(t), sin perder generalidad hagamos t0 = 0 y K = 1:

( ) ( )BtsencBth 22= (2-127)

En ese caso y sin considerar las ecuaciones asociadas, por interesarnos por ahora la interpretación gráfica,2 la Respuesta y(t) del Filtro Ideal Pasabajos al Pulso x(t) estará dada por la gráfica de la figura 2-30, asumiendo que BT >> 1. La respuesta del filtro y(t) oscilará a una frecuencia igual a la frecuencia de corte (ancho de banda) B del filtro pasabajos, como se indica en la figura 2-30.

Fig. 2-30

Cuando el producto tiempo – ancho de banda BT >> 1, pueden hacerse las siguientes observaciones:

• El porcentaje de exceso (overshoot) en la respuesta del filtro es del 9% aprox.

• El exceso (overshoot) es prácticamente independiente del ancho de banda B del filtro.

2 Ver la deducción matemática en el libro Communications Systems, de Simon Haykin, 3º Edición.



El fenómeno que subyace bajo estas dos observaciones se llama fenómeno de Gibb. La fig 2-30 muestra la naturaleza oscilatoria de la respuesta del filtro y la característica del 9% de overshoot, asumiendo que BT >> 1. La figura 2-31 (normalizada en T) muestra la respuesta del filtro para cuatro productos BT = 5, 10, 20, 100 asumiendo que la duración del pulso T = 15. La tabla 2.1 muestra las correspondientes frecuencias de oscilación y porcentajes de overshoot.

Fig. 2-31 Tabla 2.1 3

Producto BT Frecuencia de Oscilación Porcentaje de Overshoot

5 5 Hz 9.11

3 La frecuencia de oscilación de las figuras es igual al producto BT, porque se muestran normalizadas

respecto de T



10 10 Hz 8.98

20 20 Hz 8.99

100 100 Hz 9.63

La figura 2-32 muestra la respuesta del filtro para ondas cuadradas periódicas como entradas, de diferentes frecuencias: f = 0.1, 0.25, 0.5 y 1 Hz y con un ancho de banda del filtro pasabajos fijado en B = 1 Hz.

Fig. 2-32

De la figura 2-32 [T = 1/(2 f0)] se pueden hacer las siguientes observaciones: • Para f0 = 0.1 Hz, correspondiente a un BT = 5, el filtro distorsiona un poco el pulso de

entrada, pero la forma de la onda de entrada es todavía evidente a la salida del filtro. La salida del filtro tiene tiempos de crecimiento y caída distintos de cero (slew rate) y son



inversamente proporcionales al ancho de banda del filtro. Asimismo, exhibe oscilaciones (ringing) a ambos flacos.

• Como la frecuencia fundamental f0 de la onda cuadrada de entrada se incrementa, el filtro pasabajos corta más de los componentes de alta frecuencia de la entrada. Esto es: Para f0 = 0.25 Hz, correspondiente a un BT = 2, solamente las componentes de la frecuencia fundamental y la primera armónica pasan a través del filtro. Los tiempos de crecimiento y caída son significativos comparados con la duración del pulso de entrada. Para f0 = 0.5 Hz, correspondiente a un BT = 1, solamente la componentes de la frecuencia fundamental es preservada por el filtro, por lo que la salida es esencialmente sinusoidal.

• Cuando al frecuencia fundamental de la onda cuadrada de entrada es mucho más alta que el ancho de banda del filtro pasabajos (f0 = 1 Hz, correspondiente a un BT = 0.5), la componente de dc se vuelve la salida dominante y la forma de la onda cuadrada de entrada es completamente destruida por el filtro.

De esto obtenemos que debemos usar un producto tiempo – ancho de banda 1≥BT para asegurar que la salida del filtros sea reconocible

Diseño de filtros:

Caracterización Por su respuesta al impulso, h(t). Por su función de transferencia, H(f) $ Recomendada

Hay dos pasos fundamentales en el diseño de un filtro: 1. La aproximación de una respuesta en frecuencia predefinida (amplitud de respuesta,

fase de respuesta o ambos) por medio de una función de transferencia realizable. 2. La realización de la función de transferencia aproximada, por medio de un dispositivo

físico. Para que una función de transferencia aproximada H(f) sea realizable fisicamente, debe representar un sistema estable. (ver criterio de estabilidad BIBO, ec. (2-109), en términos de h(t)).

Para especificar la correspondiente condición de estabilidad, hacemos: fjes π2= y reformulamos a H(f) en términos de s, que puede tener parte real e imaginaria (s es la frecuencia compleja). Tendremos:

H ' s( ) = H f( ) e j 2π f =s = Ks− z1( ) s− z2( )! s− zm( )s− p1( ) s− p2( )! s− pn( )

Donde K es un factor de escala, z1, z2,…zm son los ceros y p1, p2,…pn son los polos de la función de transferencia. Para pasabajos y pasabandas: m < n

Si el sistema es causal, entonces la condición de estabilidad BIBO para el sistema es satisfecha restringiendo a todos los polos de H’(s) dentro de la mitad izquierda del plano s:

[ ] 0Re <ip para todo i

No hay restricciones para los ceros de H’(s), pero se pueden distinguir dos tipos de sistemas aquí:



• Sistemas de fase mínima: los polos y ceros de H’(s) están todos dentro de la mitad izquierda del plano s.

• Sistemas de fase no-mínima: los ceros de H’(s) pueden estar sobre el eje imaginario así como la mitad derecha del plano s.

Filtros Butterworth Son las dos familias más populares Filtros pasabajos Ambos tienen todos los ceros en ∞=s

Filtros Chebyshev Ambos tienen los polos en la ½ izq. del plano s

Filtros Butterworth los polos de H’(s) están sobre un círculo centrado en el origen y con radio = Bπ2 , donde B es el ancho de banda de -3dB.

Filtros Chebyshev los polos de H’(s) están sobre una elipse.

Para la realización física hay varias alternativas, dependiendo de la tecnología elegida:

• Filtros analógicos: usando (a) inductores y capacitares o (b) capacitares, resistores y amplificadores operacionales

• Filtros discretos en el tiempo: las señales son muestreadas en el tiempo, pero sus amplitudes son continuas. Incluyen filtros de capacitor conmutado (switched-capacitor) y filtros de onda acústica superficial (surface acoustic wave – SAW)

• Filtros digitales: las señales son muestreadas en el tiempo y sus amplitudes son cuantizadas. Se construyen empleando hardware digital. Una importante característica es que son programables, ofreciendo una gran flexibilidad en el diseño.

Transformada de Hilbert

Transformada de Fourier: Base matemática para analizar y diseñar filtros selectivos en frecuencia, para la separación de señales sobre la base de su contenido en frecuencia.

Otro método $ separación de señales sobre la base de la selectividad en fase, que usa la traslación en fase entre las señales pertinentes, para lograr la separación deseada.

Traslación de ± 180º $ Reversión de polaridad, en una onda sinusoidal. La traslación de ángulos de fase de todas las componentes de una señal dada, por ± 180º, requiere de un transformador ideal.

Traslación de ± 90º $ Cuando la traslación de ángulos de fase de todas las componentes de una señal dada, es de ± 90º, la función del tiempo resultante se conoce como la transformada de Hilbert de la señal.

Si tenemos una señal g(t) con una transformada de Fourier G(f). La Transformada de Hilbert de g(t) está definida por

( ) ( )τ

ττ

πd

tgtg ∫

∞

∞−−

=1ˆ (2-128)



La transformación de Hilbert de g(t) es una operación lineal. La Transformada Inversa de Hilbert está definida por:

( ) ( )τ

ττ

πd

tgtg ∫

∞

∞−−

−=ˆ1 (2-129)

g(t) y ( )tg constituyen el Par de Transformadas de Hilbert.

Desde la definición de la transformada de Hilbert, se ve que ( )tg puede ser interpretada como la convolución de g(t) con la función del tiempo tπ1

Para esta última función: 1π t

! -j sgn f( ) (2-130)

Donde la función sgn(f), está definida en el dominio de la frecuencia por:

+ 1, f > 0 sgn(f) = 0, f = 0 (2-131) – 1, f < 0

El par de transformadas de Fourier de la ec. (2-130) se obtiene por aplicar la propiedad de dualidad a la ec. (2-88).

La transformada de Fourier ( )fG de ( )tg está dada por:

( ) ( ) ( )fGfjfG sgnˆ −= (2-132)

Esta ec. establece que, dada g(t), podemos obtener su transformada de Hilbert ( )tg , pasando g(t) a través de un dispositivo lineal de dos puertos, cuya respuesta en frecuencia es igual a ( )fj sgn− . Este dispositivo puede ser considerado como uno que produce un corrimiento de fase de -90º para todas las frecuencias positivas de la señal de entrada y +90º para todas las frecuencias negativas, como se ve en la figura 2-33.

La amplitud de todas las componentes de frecuencia de la señal no son afectadas por la transmisión a través del dispositivo. Este dispositivo ideal es conocido como el transformador de Hilbert.

La transformada de Hilbert es útil para: 1. Ser usada para realizar selectividad en fase, en la generación de un tipo especial de modulación conocido como modulación de banda lateral única, que luego veremos. 2. Proveer la base matemática para la representación de señales pasa-banda.

Fig. 2-33

Propiedades de la Transformada de Hilbert:



La transf. de Hilbert opera exclusivamente en el dominio del tiempo. Asumiendo que g(t) es una función real (dominio usual de aplicación de la transf. de Hilbert), tenemos las siguientes propiedades:

• g(t) y ( )tg tienen el mismo espectro de amplitud

• Si ( )tg es la transformada de Hilbert de g(t), entonces la transformada de Hilbert de ( )tg es –g(t).

• g(t) y ( )tg son ortogonales sobre todo el intervalo de tiempo ( )∞∞− , , o sea:

( ) ( ) 0ˆ =∫∞

∞−

dttgtg

Pre-Envolvente:

Consideremos una señal real valuada g(t). Definimos la Pre-Envolvente de la señal g(t) como la función compleja:

( ) ( ) ( )tgjtgtg ˆ+=+ (2-137)

Donde ( )tg es la transformada de Hilbert de g(t). Notemos que la señal g(t) es la parte real de la Pre-Envolvente g+ (t) y la transformada de Hilbert de la señal es la parte imaginaria de la Pre-Envolvente. Así como el uso de fasores simplifica la manipulación de corrientes y tensiones alternas, así se verá que la Pre-Envolvente es particularmente útil en el manejo de señales y sistemas pasa-banda. La razón de la denominación de Pre-Envolvente, se verá más adelante.

Una de las características importantes de la Pre-Envolvente ( )tg es el comportamiento de su transformada de Fourier. Sea G+ (f) la transformada de Fourier de g+ (t). Entonces, podemos escribir:

( ) ( ) ( )[ ] ( )fGfjjfGfG sgn−+=+ (2-138)

Usando la definición de la función Signo sgn (f), dada en la ec. (2-30), podemos hallar que:

2 G (f), f > 0 G+ (f) = G (0), f = 0 (2-139) 0, f < 0

Donde G(0) es el valor de G(f) a la frecuencia f = 0. Esto significa que la Pre-Envolvente de una señal no tiene contenidos en frecuencia para todas las frecuencias negativas, como se indica en la figura 2.34 (b), para el caso de una señal pasa-bajos. Se aclara que el uso del espectro triangular para la señala pasa-bajos, en la figura 2.34 (a) es solo a los efectos ilustrativos. Del análisis hecho hasta aquí, dada una señal g(t), aparentemente se puede determinar su Pre-envolvente g+ (t) en una de las dos formas equivalentes que se indica a continuación:

1. Determinar la Transformada de Hilbert ( )tg de la señal g(t) y, entonces, utilizar la ecuación (2-137) para computar la Pre-Envolvente g+ (t).



2. Determinar la Transformada de Fourier G(f) de la señal g(t), luego usar la ecuación (2-139) para determinar G+ (f) y, entonces, evaluar la Transformada Inversa de Fourier de G+ (f) para obtener:

( ) ( )∫∞

+ =0

22 dfefGtg tfj π (2-140)

Para una señal g(t) particular, de transformada G(f), una forma puede ser mejor que la otra. A efectos de ilustrar el tema, en la figura 2.34 se ha utilizado una señal pasa-bajo con un espectro limitado a la banda – W ≤ f ≤ W y centrado en el origen. Independientemente de ello, la Pre-Envolvente puede ser definida para cualquier tipo de señal, sea pasa-bajos o pasa-banda, con cualquier espectro de frecuencias.

La ecuación (2-137) define la Pre-Envolvente g+ (t) para frecuencias positivas. Simétricamente, podemos definir la Pre-Envolvente para frecuencias negativas como:

( ) ( ) ( )tgjtgtg ˆ−=− (2-141)

Cada Pre-Envolvente g+ (t) y g- (t) son simplemente la compleja conjugada una de la otra, indicado por:

( ) ( )tgtg ∗+− = (2-142)

Fig. 2.34

El espectro de la Pre-Envolvente g+ (t) es distinto de cero solo para frecuencias positivas, como se indicó en la ec. (2-139). En contraste, el espectro de la otra Pre-Envolvente g- (t) es distinto de cero solo para frecuencias negativas, como se muestra en su transformada de Fourier:

0, f > 0 G- (f) = G (0), f = 0 (2-143)

2 G (f), f < 0

Así, las Pre-Envolventes g+ (t) y g- (t) constituyen un par complementarios de señales complejamente valuadas. Note, así mismo, que la suma de g+ (t) y g- (t) es exactamente el doble de la señal g(t) original.

Representación Canónica de Señales Pasa-Banda: Decimos que una señal g(t) es una señal pasa-banda si su Transformada de Fourier G(f) es diferente de cero solamente en una banda de frecuencias de extensión total 2W, centrada alrededor de alguna frecuencia ± fc. Esto se ilustra en la figura 2.35(a).

Nos referimos a fc como la frecuencia de Portadora. En la mayoría de las señales de comunicaciones, encontramos que el ancho de banda 2W es pequeño comparado con la



frecuencia fc por lo que nos referimos a ellas como señal de banda angosta. Sin embargo, una afirmación precisa de cuan pequeño debe ser el ancho de banda, para que la señal sea considerada de banda angosta, no es necesaria en este punto de la discusión.

Sea la Pre-Envolvente de una señal de banda angosta g(t), con su transformada de Fourier G(f) centrada alrededor de alguna frecuencia ± fc, la cual se puede expresar en la forma:

( ) ( ) tfj cetgtg π2~=+ (2-144)

Nos referimos a ( )tg~ como la Compleja Envolvente de la señal. La ecuación anterior puede ser vista como la base de la definición de la compleja envolvente en términos de la Pre-Envolvente g+ (t).

Notemos que el espectro de g+ (t) está limitado a la banda de frecuencia:

fc – W ≤ f ≤ fc + W, como se indica en la figura 2.35(b).

Por lo tanto, aplicando la propiedad de desplazamiento de frecuencia de la transformada de Fourier a la ecuación (2-144), hallamos que el espectro de la compleja envolvente ( )tg~ está limitado a la banda – W ≤ f ≤ W y centrada en el origen, como se muestra en la figura 2.35(c).

Esto es, la compleja envolvente ( )tg~ de una señal pasa-banda g(t) es una señal pasa-bajos, lo cual es un importante resultado. Por definición, la señal g(t) dada es la parte real de la Pre-Envolvente g+ (t). Entonces, podemos expresar la señal pasa-banda original g(t) en términos de la compleja envolvente ( )tg~ como sigue:

( ) ( )[ ]tfj cetgtg π2~Re= (2-145) Fig. 2.35

En general, ( )tg~ es una cantidad complejamente valuada. Para remarcar esta propiedad, podemos expresarla en la forma:

( ) ( ) ( )tjgtgtg QI +=~ (2-146)

Donde gI (t) y gQ (t) son ambas funciones pasa-bajos real-valuadas. Sus propiedades de pasa-bajos son inferidas desde la compleja envolvente ( )tg~ .



Ahora podemos emplear las ecuaciones (2-145) y (2-146) para expresar la señal pasa-banda original g(t) en la forma canónica: 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftgtftgtg cQcI ππ 2sen2cos −= (2-147)

Nos referimos a gI (t) como la componente en fase de la señal pasa-banda g(t) y gQ (t) como la componente en cuadratura de la señal. Esta nomenclatura reconoce que sen (2πfct) [que es el factor multiplicador de gQ (t)] está en cuadratura de fase respecto de cos (2πfct) [que es el factor multiplicador de gI (t)].

De acuerdo a la ecuación (2-146), la compleja envolvente ( )tg~ puede ser dibujada como un fasor variable en el tiempo, posicionado en el origen del plano gI –gQ, como se indica en la figura 2.36(a). Con el tiempo t variando, el final del fasor se mueve respecto de dicho plano.

Fig. 2.36

La figura 2.36(b) muestra la representación fasorial de la exponencial compleja tfj ce π2 .

En la definición dada en la ecuación (2-145), la compleja envolvente ( )tg~ está multiplicada por la exponencial compleja tfj ce π2 . El ángulo de estos dos fasores están, por ende, sumados y sus longitudes multiplicadas, tal como se muestra en la figura 2.37(c). Más aún, en esta última figura, se muestra el plano gI –gQ rotando con una velocidad angular igual a 2πfct radianes por segundos. Esto es, en la figura descripta aquí, el fasor 4 Considerar que tfj ce π2 = cos (2πfct) + j sen (2πfct)



representante de la compleja envolvente ( )tg~ se mueve en el plano gI –gQ y, al mismo tiempo, el propio plano gira alrededor del origen. La señal pasa-banda original g(t) es la proyección de su fasor variable en el tiempo sobre una línea fija representando el eje real, como se indica en la figura 2.36(c).

Ambas señales gI (t) y gQ (t) son señales pasa-bajos, limitadas a la banda – W ≤ f ≤ W. Por lo tanto, excepto por un factor de escala, ellas pueden ser derivadas desde la señal pasa-banda g(t) usando el esquema mostrado en la figura 2.37(a), donde ambos filtros pasa-bajos son idénticos, cada uno con un ancho de banda igual a W. Se puede reconstruir la señal g(t) desde las componentes en fase y cuadratura, tal como se muestra en el esquema de la figura 2.37(b).

Los dos esquemas de la figura 2.37 son básicos para el estudio de los sistemas de modulación lineal. La multiplicación del componente en fase pasa-bajo gI(t) por cos (2πfct) y la multiplicación del componente en cuadratura gQ (t) por sen (2πfct), representan formas lineales de modulación.

Fig. 2.37

Dado que la frecuencia de portadora fc es suficientemente grande, la función g(t) pasa-banda resultante definida por la ecuación (2-147) es referida como una forma de onda señalizadamente pasa-banda. Correspondientemente, el mapeo desde gI (t) y gQ (t) en g(t) es conocido como modulación pasa-banda. La ecuación (2-147) es conocida como la forma “Cartesiana” de expresión de la compleja envolvente ( )tg~ . Alternativamente, podemos expresarla en la forma “Polar”:

( ) ( ) ( )tjetatg φ=~ (2-148)

Donde a(t) y Φ(t) son, ambas, funciones pasa-bajos real valuadas. Basada en esta representación polar, la señal pasa-banda original g(t) está definida por:

( ) ( ) ( )( )ttftatg c φπ += 2cos (2-149)



Nos referimos a a(t) como la envolvente natural o simplemente la envolvente de la señal pasa-banda g(t) y a Φ(t) como la fase de la señal.

La ecuación (2-149) representa una forma híbrida de modulación de amplitud y modulación angular. En realidad, incluye modulación de amplitud, modulación de frecuencia y modulación de fase, como caso especial.

Tanto ( )tg~ como a(t) son independientes de la selección de la frecuencia de portadora fc.

Más adelante, en el capítulo 4, veremos que la señal a(t) se obtiene de la detección de la envolvente de la señal pasa-banda g(t), a través de la rectificación y filtrado pasa-bajo. Por esta razón, hemos llamado a a(t) como la envolvente de g(t) y llamamos a ( )tg~ como la compleja envolvente y a g+ (t) como la Pre-Envolvente, respectivamente.

La envolvente a(t) y la fase Φ(t) de g(t) están relacionadas con las componentes en fase gI (t) y cuadratura gQ (t) como sigue [ver la representación del fasor variable en el tiempo, de la figura 2.36(a)]:

( ) ( ) ( )tgtgta QI22 += ( )

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

tgtg

tI

Q1tanφ

Inversamente: ( ) ( ) ( )[ ]ttatgI φcos= ( ) ( ) ( )[ ]ttatgQ φsen=

Retardo de Fase y Retardo de Grupo:

Siempre que una señal es transmitida a través de un dispositivo dispersivo (selectivo en frecuencia), tal como un filtro o un canal de comunicaciones. Algún retardo es introducido en la señal de salida en relación con la señal de entrada.

La respuesta de fase varía linealmente con la frecuencia dentro de la banda de paso. El filtro introduce un retardo constante igual a t0. Donde t0 controla la pendiente de la fase de respuesta lineal del filtro. [Ver ec. (2-124)].

¿Si la fase de respuesta del filtro no es lineal?, ¿Qué pasa?

Supongamos que se transmite una señal sinusoidal continua de frec. fc a través de un canal dispersivo o filtro que tiene un corrimiento de fase total de rad. a esa frecuencia.

Usando dos fasores para representar las señales de entrada y recibida, vemos que el fasor de la señal recibida atrasa respecto a la señal de entrada en rad. El tiempo tomado por el fasor de la señal recibida para barrer este atraso en la fase es ( ) cc ff πβ 2/ segundos.

Este tiempo es llamado el retardo de fase del canal.

( )cfβ

( )cfβ

Filtro ideal pasabajo o pasabanda



La señal que vimos no lleva información y eso puede llevar al error de creer que el retardo de fase es el verdadero retardo de la señal, cuando no necesariamente es así.

Supongamos que una señal que varía muy lentamente es multi-plicada por una onda portadora sinusiodal, tal que la señal modulada resultante consiste en un angosto conjunto de frecuencias centradas alrededor de la frec. de la portadora. Ver figura 2-38.

Fig. 2-38

Cuando la señal modulada se transmite a través del canal de comunicaciones, se produce un retardo entre la envolvente de la señal de entrada y la de la señal recibida. Esto se llama retardo de grupo o de envolvente del canal y representa el verdadero retardo de la señal.

Asumamos que el canal dispersivo es descrito por:

( ) ( )fjeKfH β= (2-150)

Donde: K es una constante y es una función no lineal de la frecuencia.

La señal de entrada es de banda angosta, definida por:

Donde: m(t) es una señal pasabajos (con la información) con su espectro limitado al intervalo Wf ≤ . Asumimos que fc >> W.

Expandiendo en una serie de Taylor sobre el punto f = fc y reteniendo solo los dos primeros términos:

(2-151)

Definiendo:

(2-141) y ( )

cffg f

f

=∂

∂−=

βπ

τ21 (2-152)

Reemplazando ( ) ( ) gcpc ffff τπτπβ −−−≅ 22 (2-153)

La función de transferencia del canal será:

( ) ( )[ ]gcpc fffeKfH τπτπ −−−≅

22

La señal recibida será:

( ) ( ) ( )[ ]pcg tftmKty τπτ −−= 2cos (2-154)

O sea que ocurren dos retardo, por efecto de la transmisión sobre el canal:

1. La portadora sinusoidal ( )tfcπ2cos es retardada en

seg., por ello pτ es el retardo de fase. Algunos prefieren llamarlo retardo de portadora.

( )fβ

( ) ( ) ( )tftmtx cπ2cos=

( )fβ

( ) ( ) ( ) ( )

cffcc f

fffff=∂

∂−+≅

βββ

( )c

cp f

fπβ

τ2

−=

pτ



2. La envolvente m(t) es retardada en gτ seg., por ello gτ es el retardo de grupo o de envolvente.

gτ es la pendiente de la fase , medida en f = fc. Por otro lado, cuando ( )fβ varía linealmente con la frec. y ( ) 0=cfβ , el retardo de fase y el retardo de grupo asumen un valor común.

( )fβ

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Capitulo 2 Señales Sistemas