Capitulo 1 - Tratamiento Digital de Señales

TRATAMIENTO DIGITAL,_ .

DE SENALES

PrenticeHall

TRATAMIENTO DIGITAL-DE SENALES

Cuarta Edici6n

JOHN G PROAKISDepartment of Electrical and Computer Engineering

Northeastern UniversityBoston, Massachusetts

DIMITRIS G MANOLAKISMIT Lincoln LaboratoryLexington, Massachusetts

Traducci6nVuelapluma

PEARSON

Madrid. Mexico. Santa Fe de Bogota. Buenos Aires. Caracas. LimaMontevideo. San Juan. San Jose. Santiago. Sao Paulo. White Plains.

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/ Datos de catalogaci6n bibliograflca

TRATAMTENTO DIGITAL DE SEN ALES

John G Proakis y Dimitris G ManolakisPEARSON EDUCACION S.A., Madrid, 2007

ISBN: 978-84-8322-347-5

Materia: Informatica, 0004.4

Formato: 195 x 250 mm. Paginas: 996

Todos los derechos reservados.Queda prohibida, salvo excepci6n prevista en la Ley cualquier forma de reproducci6n, distri-bucion, comunicacion publica y transformaci6n de esta obra sin con tar con autorizaci6n de lostitulares de propiedad intelectual. La infracci6n de 10 derechos mencionados puede ser constitu-tiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Codigo Penal).

DERECHOS RESERVADOS 2007 por PEARSON EDUCACrON S.A.Ribera del Loira, 2828042 Madrid

TRATAMIENTO DIGITAL DE SENALESJohn G Proakis y Dimitris G Manolakis

ISBN: 978-84-8322-347-5

Deposito Legal: M.18.440-2007PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACION S.A.

Authorized translation from the English language edition, entitled DIGITAL SIGNAL PROCES-S G, 4TH Edition by PROAKIS, JOHN G; MANOLAKIS, DIMITRIS G, published by PearsonEducation, Inc, publishing as Prentice Hall, Copyright 2007

EQUIPO EDITORIALEditor: Miguel Martin-RomoTecnico editorial: Marta Caicoya

EQUIPO DE PRODUCCION:Director: Jose A. ClaresTecnico: Diego Marin

Disetio de Cubierta: Equipo de disefio de Pearson Educacion S.A.

Impreso por: Closas-Orcoyen, S. L.

I\lPRESO E ESPANA - PRINTED IN SPAINEste libro ha sido impreso con papel y rintas ecol6gicos

A Anna- Dimitris Manolakis

A Felia, George y Elena-John G. Proakis

Contenido

Introducci6n 11.1 Senates, sistemas y tratamiento de sefiales 2

1.1.1 Elementos basicos de un sistema de tratamiento digital de sefiales A1.1.2 Ventajas del tratamiento digital de sefiales sobre el anal6gico 5

I Clasificacion de las sen ales 5

1.2.1 Sefiales multi canal y rnultidimensionales 61.2.2 Sefiales continuas y discretas en el dorninio del tiempo 81.2.3 Sefiales continuas y sefiales discretas 91.2A Sefiales deterministas y sefiales aleatorias 9

1 Concepto de frecuencia en sen ales continuas \hfiH y discretas en el tiempo 101.3.1 Sefiales sinusoidales continuas en el tiempo 101.3.2 Sefiales sinusoidales discretas en el tiempo 121.3.3 Exponenciales complejas armonicarnente relacionadas 15

lA Conversiones analoglca-digltal y digital-analogica .171.4.1 Muestreo de sefiales anal6gicas 181.4.2 Teorema de muestreo 23lA.3 Cuantificaci6n de sefiales continuas en amplitud 27lAA Cuantificaci6n de sefiales sinusoidales 291.4.5 Codificaci6n de muestras cuantificadas 31lA.6 Conversi6n digital-ana16gica 311.4.7 Analisis de sefiales y sistemas digitales frente a sefiales y sistemas

discretos en el tiempo 32

1 - Resumen y referencias 32

Problemas 33

2 Seiiales y sistemas discretos en el tiempo 37_.1 Sefiales discretas en el tiempo 37

2.1.1 Algunas sefiales discretas en el tiempo elementales 392.1.2 Clasificaci6n de las sefiales discretas en el tiempo Al2.1.3 Manipulaciones simples de las sefiales discretas en el tiempo A4

_.1 Sistemas discretos en el tiempo 48

2.2.1 Descripci6n de entrada-salida de los sistemas A92.2.2 Diagrama de bloques de los sistemas discretos en el tiempo 512.2.3 Clasificaci6n de los sistemas discretos en el tiempo 532.2A Interconexion de sistemas discretos en el tiempo 61

VIII Contenido

2.3 Analisis de sistemas lineales discretos e invariantes en el tiempo 62

2.3.1 Tecnicas para el analisis de los sistemas lineales 622.3.2 Descomposicion en impulsos de una sefial discreta en el tiempo 642.3.3 Respuesta de los sistemas LTl a entradas arbitrarias: la convolucion 652.304 Propiedades de la convoluci6n y la interconexion de sistemas LTI 712.3.5 Sistemas lineales invariantes en el tiempo causales 742.3.6 Estabilidad de los sistemas lineales invariantes en el tiempo 762.3.7 Sistemas con respuestas al impulso de duracion finita e infinita 79

2.4 Sistemas discretos en el tiempo descritos mediante ecuaciones en diferencias 79204.1 Sistemas discretos en el tiempo recursivos y no recursivos 80204.2 Sistemas lineales invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones

en diferencias de coeficientes constantes 83204.3 Solucion de las ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes 8720404 Respuesta al impulso de un sistema recursivo, lineal e invariante en el tiempo 94

2.5 Implementaclen de sistemas discretos en el tiempo 96

2.5.1 Estructuras para la realizacion de sistemas lineales invariantes en el tiempo 972.5.2 Realizacion de sistemas FIR recursivos y no recursivos 100

2.6 Correlacion de sen ales discretas en el tiempo 103

2.6.1 Secuencias de correlacion cruz ada y autocorrelacion .1042.6.2 Propiedades de la autocorrelacion y de la correlacion cruzada 1062.6.3 Correlacion de secuencias periodicas 1092.604 Secuencias de correlacion de entrada-salida .112

2.7 Resumen y referencias 113

Problemas 114

3 La transformada z y sus aplicaciones al anallsis de los sistemas LTI 1313.1 La transformada z 131

3.l.1 La transform ada z directa 1323.1.2 La transform ada z inversa 138

3.2 Propiedades de la transformada z 1403.3 Transformadas z racionales 152

3.3.1 Polosyceros 1523.3.2 Posicion de los polos y comportamiento en el dominio

del tiempo de sefiales causales 1553.3.3 Funcion de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo 158

3.4 Inversion de la transformada z 161304.1 Transformada z inversa por integraci6n de contomo 161304.2 Transformada z inversa mediante expansion en serie de potencias 163304.3 Transformada z inversa mediante expansion en fracciones parciales 16530404 Descomposici6n de las transformadas z racionales 172

3.5 Analisis en el dominio z de sistemas LTI 1733.5.1 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales 1733.5.2 Respuestas transitoria y en regimen permanente 1743.5.3 Causalidad y estabilidad 176

Contenido IX

3.5.4 Cancelaciones polo-cero .1773.5.5 Polos de orden multiple y estabilidad 1793.5.6 Estabilidad de los sistemas de segundo orden 180

3.6 Transformada z unilateral 1833.6.1 Defmici6n y propiedades 1843.6.2 Soluci6n de las ecuaciones en diferencias .1883.6.3 Respuesta de los sistemas de polos y ceros con condiciones

iniciales distintas de cero 189Resumen y referencias 191

Problemas 192

4 Anallsls en frecuencia de seiiales 203.1 Analisis en frecuencia de las sefiales continuas en el tiempo 203

4.1.1 Series de Fourier para sefiales peri6dicas continuas en el tiempo 2054.1.2 Espectro de densidad de potencia de sefiales peri6dicas 2084.1.3 Transformada de Fourier de senales aperi6dicas continuas en el tiempo 2114.1.4 Espectro de densidad de energia de sefiales aperi6dicas 215

Analisis en frecuencia de sen ales discretas en el tiempo 2184.2.1 Serie de Fourier para sefiales peri6dicas discretas en el tiempo 2184.2.2 Espectro de densidad de potencia de sefiales peri6dicas 2214.2.3 Transformada de Fourier de sefiales aperi6dicas discretas en eJ tiempo 2244.2.4 Convergencia de la transformada de Fourier 2264.2.5 Espectro de densidad de energia de sefiales aperi6dicas 2294.2.6 Relaciones entre la transformada de Fourier y la transfonnada z 2334.2.7 El Cepstro 2354.2.8 Transformada de Fourier de sefiales con polos en la circunferencia unidad 2364.2.9 Clasificaci6n de las sefiales en eJ dominio de Ja frecuencia:

concepto de ancho de banda 2384.2.10 Rangos de frecuencia de algunas sefiales naturales 240

Propiedades de la sefial en los dominios de la frecuencia y del tiempo 241

Propiedades de la transformada de Fourier para senates discretas en el tiempo 2444.4.1 Propiedades de simetria de Ja transformada de Fourier 2454.4.2 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier 252

Resumen y referencias 260

Problemas 261

Anallsls en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI 269: 1 Caracteristicas en el dominio de la frecuencia de los sistemas LTI 269

5.1.1 Respuesta a sefiales sinusoidales y exponenciales complejas:funci6n de respuesta en frecuencia 270

5.1.2 Respuestas en regimen permanente y transitoria a sefiales de entradasinusoidales 277

- .1.3 Respuesta en regimen permanente a sefiales de entrada peri6dicas 278- .1.4 Respuesta a sefiales de entrada aperi6dicas 279

- ~- ---;--- .'_ ~.-- -

-

_~_~ ~~ 0=

X Contenido

5.2 Respuesta en frecuencia de los sistemas LTI 2815.2.1 Respuesta en frecuencia de un sistema definido mediante una funci6n racional .2815.2.2 Calculo de la respuesta en frecuencia 284

5.3 Espectros y funciones de correlaciou en la salida de los sistemas LTI 288

5.3.1 Espectros y funciones de correlaci6n de entrada-salida 2885.3.2 Funciones de correlaci6n y espectros de potencia de sefiales de entrada

aleatorias 2895.4 Sistemas LTI como filtros selectivos de frecuencia 291

5.4.1 Caracteristicas del filtro ideal 2925.4.2 Filtros paso bajo, paso alto y paso banda 2945.4.3 Resonadores digitales 2995.4.4 Filtros de bendidura 3025.4.5 Filtros peine 3045.4.6 Filtros paso todo 3085.4.7 Osciladores sinusoidales digitales 310

5.5 Sistemas inversos y deconvoluci6n 3125.5.1 Invertibilidad de los sistemas LTI 3135.5.2 Sistemas de fase minima, fase maxima y fase mixta 3165.5.3 Identificaci6n del sistema y deconvoluci6n 3205.5.4 Deconvoluci6n bomom6rfica 322


Problemas 324

6 Muestreo y reconstrucci6n de seiiales 3446.1 Muestreo y reconstrucci6n ideales de sen ales continuas en el tiempo 344

6.2 Tratamiento discreto en el tiempo de senates continuas en el tiempo 353

6.3 Convertidores anal6gico-digital y digital-anal6gico 3596.3.1 Convertidores anal6gico-digitales 3606.3.2 Cuantificaci6n y codificaci6n 3616.3.3 Analisis de los errores de cuantificaci6n 3646.3.4 Convertidores digitales-anal6gicos 366

6.4 Muestreo y reconstrucci6n de seiiales paso banda continuas en el tiempo 3686.4.1 Muestreo uniforme 0 de primer orden 3686.4.2 Muestreo intercalado 0 no uniforrne de segundo orden 3746.4.3 Representaciones de sefiales paso banda 3796.4.4 Muestreo empleando las representaciones de la sefial paso banda 381

6.5 Muestreo de sefiales discretas en el tiempo 382

6.5.1 Muestreo e interpolaci6n de sefiales discretas en el tiempo 3836.5.2 Representaci6n y muestreo de senales paso banda discretas en el tiempo 387

6.6 Convertidores AID y D/A con sobremuestreo 3886.6.1 Convertidores NO con sobremuestreo 3886.6.2 Convertidores D/A con sobremuestreo 393


Problemas 395

Contenido XI

7 Transformada discreta de Fourier: propiedades y aplicaciones 403-.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia: la transformada discreta de Fourier 403

7.1.1 Muestreo en el dominic de la frecuencia y reconstrucci6n de sefialesdiscretas en el tiempo .403

7.l.2 Transformada discreta de Fourier (DFT) .4097.1.3 La DFT como una transformaci6n lineal .4117.1.4 Relaci6n de la DFT con otras transformadas .414

Propiedades de la DFT .4167.2.1 Propiedades de periodicidad, linealidad y simetria .4167.2.2 Multiplicaci6n de dos DFT y convoluci6n circular .4217.2.3 Propiedades adicionales de la DFT .426

Metodos de filtrado lineal basados en la DFT .4307.3.1 Uso de la DFT en el filtrado lineal .4307.3.2 Filtrado de secuencias de datos largas .434

Analisis en frecuencia de sefiales utilizando la DFT .436

Transformada discreta del coseno 4437.5.1 DCT directa .4437.5.2 DCT inversa .4447.5.3 La DCT como transformada ortogonal .445

Resumen y referencias 449

Problemas .449

Calculo eficiente de la DFT: algoritmos de la transformada rapida de Fourier . .4581 Calculo eficiente de la DFT: algoritmos FFT .458

8.1.1 Calculo direeto de la DFT .4598.1.2 Metodo divide y venceras para calcular la DFT .4608.1.3 Algoritrnos FFT base 2 .4658.1.4 Algoritmos FFT base 4 .4728.1.5 Algoritrnos FFT de base dividida .4778.1.6 Implementaei6n de los algoritmos FFT .480

.2 Aplicaciones de los algoritmos FFT .4818.2.1 Caleulo efieiente de la DFT de dos seeueneias reales .4818.2.2 Calculo efieiente de la DFT de una seeueneia real de 2 N puntos .4828.2.3 Uso de los algoritrnos FFT en el filtrado lineal y la eorreIaei6n .483

.3 Metodo de filtrado lineal para calcular la DFT .4858.3.1 Algoritrno de Goertzel .4858.3.2 Algoritrno de la transformada z chirp .487

.4 Efectos de cuantificaci6n en el calculo de la DFT .4918.4.1 Efectos de cuantificaci6n en el calculo directo de la DFT .4918.4.2 Errores de euantificaei6n en los algoritmos FFT .493

.s Resumen y referencias .496Problemas .497

XII Contenido

9 lrnplernentaclon de sistemas discretos en el tiempo 5039.1 Estructuras para la realizacien de sistemas discretos del tiempo 503

9.2 Estructuras para sistemas FIR 505

9.2.l Estructura de la forma directa 5069.2.2 Estructuras en cascada 5069.2.3 Estructuras basadas en el muestreo en frecuencia 5089.2.4 Estructura en celosia 513

9.3 Estructuras para sistemas IIR 520

9.3.1 Estructuras en forma directa 5209.3.2 Diagramas de flujo de sefiales y estructuras transpuestas 5229.3.3 Estructuras en cascada 5279.3.4 Estructuras en paralelo 5289.3.5 Estructuras en celosia y en celosia-escalera para sistemas IIR 531

9.4 Representacion de numerus 5379.4.1 Representaci6n de numeros en punto fijo 5379.4.2 Representaci6n de numeros en punto flotante binario 5409.4.3 Errores debidos al redondeo y el truncamiento 543

9.5 Cuantlflcacion de los coeficientes del filtro 546

9.5.1 Analisis de la sensibilidad en la cuantificaci6n de los coeficientes del filtro 5479.5.2 Cuantificaci6n de los filtros FIR 554

9.6 Efectos del redondeo en los flltros digitales 557

9.6.1 Oscilaciones de cicio limite en sistemas recursivos 5589.6.2 Cambio de escala para irnpedir el desbordamiento 5629.6.3 Caracterizaci6n estadlstica de los efectos de cuantificaci6n

en las realizaciones de punto fijo de filtros digitales 564


Problemas 572

10 Diseiio de filtros digitales 58410.1 Consideraciones generales 584

10.1.1 La causalidad y sus implicaciones 58510.l.2 Caracteristicas de los filtros practices selectivos en frecuencia 588

10.2 Diseiio de filtros FIR 589

10.2.110.2.210.2.3

Filtros FIR simetricos y antisimetricos 589Disefio de filtros FIR de fase lineal utilizando ventanas 592Disefio de filtros FIR de fase lineal mediante el metodo basadoen el muestreo en frecuencia 598Disefio de filtros FIR de fase lineal con rizado constante 6ptimo 605Disefio de diferenciadores FIR 616Disefio de transformadores de Hilbert 619

10.2.410.2.510.2.610.2.7 Comparaci6n de los metodos de disefio de los filtros FIR de fase lineal 623

10.3 Diseiio de filtros IIR a partir de filtros aualogicos 62510.3.1 Disefio de filtros IIR mediante aproximaci6n de derivadas 626

Contenido XIII

10.3.2 Diseiio de filtros IIR basado en la invarianza del impulso 63010.3.3 Diseiio de fi1tros IIR mediante la transformacion bilineal 63510.3.4 Caracteristicas de los filtros analogicos mas cornunmente utilizados 63810.3.5 Algunos ejemplos de disefios de filtros digitales basados

en la transformacion bilineal 647

1 .4 Transformaciones en frecuencia 64810.4.1 Transformaciones de frecuencia en el dominio analogico 64910.4.2 Transformaciones de frecuencia en el dominio digital 652

1 - Resumen y referencias 654

Problemas 655

1 Tratamiento digital de seiiales de tasa multiple 66911.1 Introduccion 670

) 1.2 Diezmado por un factor D 673

11.3 Interpolacion por un factor I 677

11.4 Conversion de la frecuencia de muestreo por un factor racional lID 680

11.5 Implementaclon de la conversion de la frecuencia de muestreo 68311.5.1 Estructuras de los filtros polifasicos 68411.5.2 Intercarnbio de filtros y submuestreadores/sobremuestreadores 68511.5.3 Conversion de la frecuencia de muestreo mediante filtros peine

con integrador conectado en cascada 68611.5.4 Estructuras polifasicas para filtros de diezmado e interpolacion 68811.5.5 Estructuras para la conversion de la frecuencia de muestreo racional 690

11.6 Implementacion multietapa de la conversion de la frecuencia de muestreo 692

11.7 Conversion de la frecuencia de muestreo de sefiales paso banda 696

11.8 Conversion de la frecuencia de muestreo por un factor arbitrario 69611.8.1 Remuestreo arbitrario con interpoladores polifasicos 69811.8.2 Remuestreo arbitrario con estructuras de filtros Farrow 698

11.9 Aplicaciones del tratamiento multitasa de sefiales 70011.9.1 Disefio de desplazadores de fase 70011.9.2 Interfaz de sistemas digitales con diferentes frecuencias de muestreo 7011l.9.3 Implernentacion de filtros paso bajo de banda estrecha 7021l.9.4 Codificacion subbanda de sefiales de voz 703

11.10 Bancos de filtros digitales 70511.10.1 Estructuras polifasicas de bancos de filtros uniformes 70911.10.2 Transmultiplexores 711

11.11 Banco de filtros espejo en cuadratura de dos canales 71111.11.1 Eliminacion del aliasing 71311.11.2 Condicion para una reconstruccion perfecta 71511.11.3 Forma polifasica del banco de filtros QMF 71511.1l.4 Banco de filtros FIR QMF de fase lineal 71511.11.5 Banco de filtros IIR QMF 717

XIV Contenido

1l.l1.6 Reconstruccion perfecta de bancos de filtros FIR QMF de dos canales 71711.11.7 Bancos de filtros QMF de dos canales con codificacion subbanda 718

11.12 Banco de flltros QMF de M canales 71911.12.1 Condiciones para reconstruccion perfecta y eliminacion del aliasing 7211l.12.2 Forma polifasica del banco de filtros QMF de M canales 721


Problemas 726

12 Predicci6n lineal y filtros lineales 6ptimos 735

12.1 Sefiales aleatorias, funciones de correlaclon y espectros de potencia 73512.1.1 Procesos aleatorios 73612.1.212.1.312.1.412.1.512.1.612.1.712.1.812.1.9

Procesos aleatorios estacionarios 737Promedios estadisticos 737Promedios estadisticos para procesos aleatorios conjuntos 738Espectro de densidad de potencia 739Sefiales aleatorias discretas en el tiempo 740Promedios temporales para un proceso aleatorio discreto en el tiempo 741Procesos ergodicos respecto de la media 742Procesos ergodicos respecto de la correlacion 743

12.2 Representaclou de innovaciones de un proceso aleatorio estacionario 744

12.2.1 Espectros de potencia racionales 74612.2.2 Relaciones entre los parametres del filtro y la autocorrelacion 747

12.3 Predlccion lineal directa e inversa 748Prediccion lineal directa 748Prediccion lineal inversa 751Coeficientes de reflexion optimos para los predictoresen celosia directo e inverso 753

12.3.4 Relacion entre un proceso auto-regresivo y la prediccion lineal 754

12.4 Soluciou de las ecuaciones normales 754

12.3.112.3.212.3.3

12.4.1 Algoritmo de Levinson-Durbin 75512.4.2 El algoritmo de Schur 758

12.5 Propiedades de los flltros lineales de error de prediccion 762

12.6 Filtros auto-regresivos en celosia y auto-regresivos de mediamovil en celosia-escalera 765

12.6.1 Estructura auto-regresiva en celosia 76612.6.2 Procesos auto-regresivos de media movil y filtros en celosia-escalera 767

12.7 Filtros de Wiener para filtrado y predicclon 76912.7.1 Filtro FIR de Wiener 77012.7.2 Principio de ortogonalidad en la estimacion lineal por minimos cuadrados 77212.7.3 Filtro IIR de Wiener 77312.7.4 Filtro de Wiener no causal 777

12.8 Resumen y referencias ..................................................... 778

Problemas 779

Contenido XV

13 Filtros adaptativos 785

13.1 Aplicaciones de los filtros adaptativos 78513.1.1 Identificaci6n del sistema 0 modelado del sistema 78713.1.213.1.313.1.413.1.513.1.613.1.713.1.8

Ecualizaci6n de canal adaptativa 787Cancelaci6n de eco en la transmisi6n de datos a traves de canales telef6nicos .. 791Supresi6n de interferencias de banda estrecha en una sefia1de banda ancha 794Mejorador de linea adaptativo 798Cancelaci6n de ruido adaptativa 799Codificaci6n lineal predictiva de sefiales de voz 799Matrices adaptativas 802

13.2 Filtros FIR adaptativos en forma directa: el algoritmo LMS 804

13.2.1 Criterio del error cuadratico medio minimo 80513.2.2 EI algoritmo LMS 80713.2.3 Algoritmos estocasticos de gradiente 80813.2.4 Propiedades del algoritmo LMS 810

13.3 FiJtros adaptativos en la forma directa: algoritmos RLS 816

13.3.1 Algoritmo RLS 81613.3.2 Algoritmos de factorizaci6n LDU y de raiz cuadrada 82013.3.3 Algoritmos RLS rapidos 82113.3.4 Propiedades de los algoritmos RLS para la forma directa 823

13.4 Filtros adaptativos en celosia-escalera 825

13.4.1 Algoritmos recursivos de minimos cuadrados en celosia-escalera 82513.4.2 Otros algoritmos en celosia 84313.4.3 Propiedades de los algoritmos en celosia-escalera 846


Problemas 850

14 Estimaci6n del espectro de potencia 855

14.1 Estimaclon de los espectros procedentes de observaciones de duracion finita de sefiales .855

14.1.1 Calculo del espectro de densidad de energia 85614.1.2 Estimaci6n de la autocorrelaci6n y del espectro de potencia

de sefiales aleatorias: el periodograma 86014.1.3 Uso de la DFT en la estimaci6n del espectro de potencia 864

14.2 Metodos no parametricos para la estimacion del espectro de potencia 866

14.2.1 El metoda de Bartlett: promediado de periodogramas 86714.2.2 Metodo de Welch: promediado de periodogramas modificados 86814.2.3 Metodo de Blackman y Tukey: suavizado del periodograma 87014.2.4 Prestaciones de los estimadores no pararnetricos del espectro de potencia 87214.2.5 Requisitos de calculo de los estimados no parametricos del

espectro de potencia 875

14.3 Metodos parametricos para la estimacion del espectro de potencia 876

14.3.1 Relaciones entre la autocorrelaci6n y los parametres del modelo 87814.3.2 Metodo de Yule-Walker para los parametres del modelo AR 88014.3.3 Metodo de Burg para los parametres del modelo AR 880

----=---------= - ~ --=- = --

~_ -_--_- :=:~- - =::- -

XVI Contenido

14.3.4 Metodo de minimos cuadrados no restringido para los parametresdel modelo AR 883Metodos de estimaci6n secuenciales para los parametres del modele AR 884Selecci6n del orden del modelo 885Modelo MA para la estimaci6n del espectro de potencia 886Modelo ARMA para la estimaci6n del espectro de potencia .

14.3.514.3.614.3.714.3.888814.3.9 Resultados experimentales 889

14.4 Metodos basados en bancos de filtros 89514.4.1 Realizaci6n mediante banco de filtros del periodograma 89614.4.2 Estimados espectrales de varianza minima 899

14.5 Algoritmos de autoanalisis para la estirnacinn del espectro 902

14.5.1 Metodo de descomposici6n arm6nica de Pisarenko 90314.5.2 Autodescomposici6n de la matriz de autocorrelaci6n para sinusoides

en ruido blanco 90514.5.3 Algoritrno MUSIC 90714.5.4 Algoritrno ESPRIT 90814.5.5 Criterios de selecci6n del orden 91114.5.6 Resultados experimentales 911


Problemas 915

A Generadores de nurneros aleatorios 925

B Tablas de los coeficientes de transiclon para el disefiode filtros FIR de fase lineal 931

Referencias y bibliograffa 937

Respuestas a los problemas seleccionados 956

lndlce 967

Prefacio

El desarrollo de este libro esta basado en nuestra experiencia en la impartici6n de cursos a estudiantes pre-universitarios y universitarios sobre el tratarniento digital de la seflal a 10largo de los ultimos afios. En ellibrose presentan los fundamentos de los sistemas y sefiales discretas en el tiempo y el procesamiento digital, asicomo aplicaciones para los estudiantes de Ingenieria electrica, Ingenieria Informatica y Ciencias de laComputaci6n. EI libro es adecuado para cursos de uno 0 dos semestres de duraci6n sobre sistemas discretostratamiento digital de sefiales, Tambien es adecuado para un curso sobre tratamiento digital de sefiales de unemestre destinado a estudiantes universitarios de primer afio.e supone que el estudiante ha seguido cursos sobre Calculo avanzado (incluyendo ecuaciones diferenciales

normales) y Sistemas lineales para sefiales continuas en el tiempo, incluyendo una introducci6n ala trans for-mada de Laplace. Aunque en el Capitulo 4 se describen las series de Fourier y las transformadas de Fourierde seftales peri6dicas y aperi6dicas, 10 mejor es que los estudiantes hayan adquirido estos conocimientos enun curso anterior.Ellibro incluye informaci6n te6rica, asi como aplicaciones practicas. Se proporcionan numerosos problemasbien disefiados, con el fin de ayudar al estudiante a dominar los temas. Hay disponible un manual de solucio-ne que s610 los profesores pueden descargar. Tambien en el sitio web del editor hay disponibles (en ingles)una serie de presentaciones en Microsoft PowerPoint para los profesores.En la cuarta edici6n dellibro, hemos afiadido un nuevo capitulo sobre filtros adaptativos. Los capitulos dedi-ados al tratamiento de sefiales multitasa y al muestro y reconstrucci6n de sefiales se han modificado y actua-

lizado sustancialmente. Tambien hemos afiadido material sobre la transformada discreta del coseno.En el Capitulo 1 se describen las operaciones implicadas en la conversi6n analogico-digital de sefiales analo-: a. EI proceso de muestreo de una sinusoide se ha descrito en detalle, asimismo, se explica el problema del.. iasing. La cuantificaci6n de sefiales y la conversi6n digital-analogica tambien se explican en terminos gene-1"31 . aunque el analisis se aborda en capitulos posteriores.E Capitulo 2 esta dedicado por completo a la caracterizaci6n y el analisis en el dominio del tiempo de los sis-

lineales discretos en el tiempo e invariantes en el tiempo (e invariantes en el desplazamiento) y de las- e discretas en el tiempo. Se deduce la operaci6n de convolucion y los sistemas se clasifican de acuerdon la duraci6n de su respuesta al impulso como FIR (finite-duration impulse response, respuesta al impulsodura ion finita) y como IIR (infinite-duration impulse response, respuesta al impulso de duraci6n infinita).

-", r entan los sistemas invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias y se obtiene_ lu i6n de las ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales. EI capitulo concluye con un tratamien-'" la correlaci6n discreta en el tiempo.

formada z se introduce en el Capitulo 3. Se presentan las transformadas z unilateral y bilateral, y loss para determinar la transformada z inversa. Se ilustra el uso de la transformada z en el analisis demas lineales invariantes en el tiempo e importantes propiedades de sistemas, tales como la causalidadilidad se relacionan con las caracteristicas en el dominio z.

itulo -l e ocupa del analisis de las seiiales en el dominio de la frecuencia. Se presentan la serie de-~ _ la tran formada de Fourier tanto para seiiales continuas en el tiempo como discretas en el tiempo.

- _ C . irulo _ e caracterizan los sistemas discretos LTI (linear time-invariant, lineal invariante en el tiem-_ el ominio de la frecuencia mediante su respuesta en frecuencia y se detennina su respuesta a seiiales

""_-.n.-I~""'_ .,,- :' aperi6dica . Se describen una serie de sistemas discretos en el tiempo, entre los que se incluyen~;:r;:3dor

XVIII Prefacio

En el Capitulo 6 se hace un estudio del muestreo de sefiales continuas en el tiempo y la reconstrucci6n desefiales a partir de sus muestras. Se cubre el muestreo y reconstrucci6n de sefiales paso banda, el muestreode sefiales discretas en el tiempo y la conversi6n AID y DIA. EI capitulo concluye con los convertidores AIDy DIA con sobremuestreo.La DFT, sus propiedades y aplicaciones, son los temas que se tratan en el Capitulo 7. Se describen dos meto-dos para utilizar la DFT en los procesos de filtrado lineal. Tambien se describe el uso de la DFT para llevar acabo el analisis en frecuencia. El ultimo tema que se aborda en este capitulo es la transfonnada discreta delcoseno.El Capitulo 8 trata el calculo efectivo de la DFT. En este capitulo se incluyen descripciones de los algoritmosFFT (fast Fourier transform, transformada rapida de Fourier) en base 2, base 4 y de base dividida, y las apli-caciones de los algoritmos FFT al calculo de la convoluci6n y la correlaci6n. Se presentan el algoritmo deGoertzel y la transformada chirp-z como dos metodos de calculo de la DFT utilizando filtrado lineal.EI Capitulo 9 se ocupa de la realizaci6n de los sistemas IIR yFIR. Se abordan las realizaciones en la formadirecta, en cascada, paralelo, en celosia y en celosia-escalera. EI capitulo tambien examina los efectos decuantificaci6n sobre una implementaci6n digital de sistemas FIR e I1R.En el Capitulo 10 se presentan tecnicas para el disefio de filtros digitales FIR e IIR. Las tecnicas de disefioinc1uyen tanto metodos directos en tiempo discrete como metodos que irnplican la conversi6n de filtros ana-16gicos en filtros digitales mediante varias transformaciones.El Capitulo 1I se ocupa de la conversi6n de la frecuencia de muestreo y sus aplicaciones al tratamientomultitasa digital de sefiales, Adernas de describir el diezmado y la interpolaci6n por un entero y por factoresracionales, se presentan metodos para la conversi6n de la frecuencia de muestreo por un factor arbitrario eimplementaciones mediante estructuras de filtros polifasicos. Este capitulo tambien se ocupa de los bancos defiltros digitales, los filtros QMF (quadrature mirror jilters, filtros espejo en cuadratura) de dos canales y losbancos QMF de M canales.Los filtros de predicci6n lineal y de Wiener se tratan en el Capitulo 12. En este mismo capitulo tambien seincluyen descripciones del algoritmo de Levinson-Durbin y del algoritrno de Schur para resolver ecuacionesnormales, asi como los filtros AR en celosia y ARMA en celosia-escalera.EI Capitulo 13 se ocupa de los filtros adaptativos de un unico canal basados en el algoritmo LMS y en losalgoritrnos recursivos de minimos cuadrados RLS (recursive least squares). Se describen los algoritmos FIRen la forma directa y RLS en celosia para las estructuras de los filtros.EI tema principal del Capitulo 14 es la estimaci6n del espectro de potencia. La exposici6n cubre una descrip-ci6n de los metodos no pararnetricos y basados en modelos (parametricos), Tambien se describen los meto-dos basados en la auto-descomposici6n, incluyendo MUSIC y ESPRIT.En un curso avanzado de un semestre para estudiantes con conocimientos previos sobre sistemas discretospueden utilizarse los Capitulos I hasta 5 para realizar un rapido repaso y luego continuar con los Capitulos 6hasta 10.En un primer curso universitario sobre tratamiento digital de la sefial, los primeros seis capitulos proporcio-naran al estudiante un buen repaso sobre los sistemas discretos. EI profesor puede ver rapidamente estos temasy luego ver en detalle los Capitulos 7 hasta 11, para seguir con temas seleccionados de los Capitulos 12hasta 14.Se inc1uyen muchos ejemplos a 10 largo del libro y aproxirnadamente 500 problemas que el estudiante puederealizar en casa. AI final del libro se incluyen las respuestas a problemas seleccionados. Muchos de los pro-blemas pueden resolverse numericamente utilizando una computadora, con un paquete software como parejemplo MATLAB. Hay disponible tarnbien (en ingles) un manual del estudiante: Student Manualfor DigitalSignal Processing with MATLAB.MATLAB se incluye como herramienta software basica para este manual. EI profesor puede considerartambien utilizar otros libros complementarios que contengan ejercicios basados en computadora, como porejemplo, Computer-Based Exercises for Signal Processing Using MA TLAB (prentice Hall, 1994) de C. S.Burrus et al.

Prefacio XIX

Los autore estan en deuda con los colegas que les han proporcionado valiosas sugerencias despues de haberrevisado la ediciones anteriores de este libro. Entre ellos queremos mencionar a W. E. Alexander, G. Arslan,Y. Bre ler, 1. Deller, F. DePiero, V. Ingle, J.S. Kang, C. Keller, H. Lev-Ari, L. Merakos, W. Mikhael,P. Monticciolo C. Nikias, M. Schetzen, E. Serpedin, T. M. Sullivan, H. Trussell, S. Wilson y M. Zoltowski.Tambien quieren expresar su agradecimiento a R. Price por su recomendaci6n de incluir los algoritmos FFTde ba e dividida y otras sugerencias relacionadas. Por ultimo, deseamos expresar nuestro reconocimiento amucbos estudiantes licenciados por sus sugerencias y comentarios, en especial a A. L. Kok, J. Lin, E. Sozer~ . Srinidhi, que ayudaron en la preparaci6n de diversas ilustraciones y del manual de soluciones.

John G. ProakisDimitris G. Manolakis

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Introducci6nEI tratamiento digital de seiiales es un area de la ciencia y la ingenieria que se ha desarrollado muy rapidamentea 10 largo de los tiltimos cuarenta aiios, Este rapido desarrollo es el resultado de los importantes avances tantoen la tecnologia digital en el campo de la informatica como en la fabricaci6n de los circuitos integrados. Lascomputadoras digitales y el hardware digital asociado de hace cuatro decadas eran de tamafio relativamentegrande, adem as de muy caros y, en consecuencia, su usa estaba limitado a las aplicaciones de prop6sito generalen tiempo no real (fuera de linea) cientificos y comerciales. El rapido desarrollo de la tecnologia de circuitosintegrados, empezando con la integraci6n a media escala (MSI, medium-scale integration), continuando conla integraci6n a gran escala (LSI, large-scale integration), y actualmente con la integracion a muy gran escala(VLSI, very-large-scale integration) de los circuitos electr6nicos ha estimulado el desarrollo de computadorasdigitales y hardware digital de prop6sito especial mas potente, de menor tamafio, mas rapido y menos costoso.Estos circuitos digitales baratos y relativamente rapidos han hecho posibIe la const:rucci6n de sistemas digita-les altamente sofisticados capaces de llevar a cabo tareas y funciones de tratamiento de sefiales digitales, quenonnalmente son bastante complejas y/o caras de implementar mediante circuiteria anal6gica 0 sistemas detratamiento de sefiales ana16gicas. En consecuencia, muchas de las tareas de tratamiento de senales que con-vencionalmente se realizaban par medios ana16gicos, actual mente se llevan a cabo empleando hardware digitalque es mas barato y a menudo mas fiable.

No queremos dar a entender que el tratarniento digital de sefiales es la soluci6n adecuada para todos losproblemas de tratarniento de sefiales, Asi, en el caso de much as sefiales con anchos de banda muy grandes, eltratarniento en tiempo real es un requisito. Para dichas sefiales, el procesarniento anal6gico, 0 quiza 6ptimo seala unica soluci6n posible. Sin embargo, siempre que se disponga de circuitos digitales y se tenga la velocidadsuficiente como para utilizar el tratamiento digital, sera preferible emplear dichos circuitos.

Los sistemas digitales no s610 proporcionan sistemas de tratamiento de sefiales mas baratos y fiables,sino que presentan tarnbien otras ventajas. En particular, el hardware de procesarniento digital permite realizaroperaciones program ables. Mediante software, es mas facil modificar las funciones de procesarniento de sefialesque mediante hardware. Por tanto, el hardware digital y el software asociado proporcionan un mayor grado defiexibilidad al disefio del sistema. Ademas, generalmente, se consigue un mayor grado de precisi6n con elhardware y el software digital que con los circuitos y sistemas de procesarniento de sefiales anal6gicos. Portodas estas razones, en las tres iiltimas decadas se ha producido un crecirniento explosivo en la teorfa deltratamiento digital de sefiales y sus aplicaciones.

El objetivo de este libro es presentar una introducci6n a las tecnicas y herramientas de analisis basicas parael tratamiento digital de sefiales. Comenzaremos presentando la terrninologia que es imprescindible conocery describiendo las operaciones asociadas con el proceso de convertir una serial anal6gica a un formato digital

2 Tratamiento digital de seFiales

adecuado para su procesamiento. Tambien veremos que el procesamiento digital de sefiales analogi cas tienesus inconvenientes. El primero y mas importante es que la conversion de una serial analogica a formato digitalimplica muestrear la seiial y cuantificar las muestras, 10 que produce una distorsion que nos impide reconstruir laserial analogica original a partir de las muestras cuantificadas, Esta distorsi6n puede controlarse seleccionandola adecuada tasa de muestreo y la precision del proceso de cuantificacion. En segundo lugar, hay que tener encuenta los efectos debidos a la precision finita en el procesarniento digital de las muestras cuantificadas. Aunqueestas importantes cuestiones se abordan con cierto detalle en ellibro, el enfasis se ha puesto en el analisis y eldisefio de los sistemas de tratamiento de sefiales y en las tecnicas de calculo,

1.1 Senales, sistemas y tratamiento de sefialesUna seiial se define como cualquier magnitud ffsica que vana con el tiempo, el espacio 0 cualquier otra variableo variables independientes. Matematicamente, describimos una sefial como una funcion de una 0 mas variablesindependientes. Por ejempJo, las funciones

s,(t) = St

S2(t) = 20t2(1.1.1)

describen dos sefiales, una que varia linealmente con la variable independiente t (tiempo) y una segunda quevaria cuadraticamente con t, Veamos otro ejemplo, con idere la funci6n

s(x,y) = 3x+2xy+ 101 (1.1.2)

Esta funcion describe una sefial de dos variables independientes x e y que podrfan representar las doscoordenadas espaciales de un plano.

Las sefiales descritas por las Ecuaciones (1.1.1) y (1.1.2) pertenecen a una clase de sefiales que se definen deforma precisa especificando la dependencia funcional de la variable independiente. Sin embargo, existen casosen los que tal relacion funcional es desconocida 0 extremadamente compleja como para tener ninguna utilidadpractica.

Por ejemplo, una sefial de voz (vease la Figura 1.1.1) no se puede describir funcionalmente medianteexpresiones como la Ecuaci6n (1.1.1). En general, un segmento de voz se puede representar con un alto gradode precision como la suma de varias sefiales sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias, es decir, como

N

:L,Ai(t) sen [2nF;(t)t + Bi(t)]i=!

(1.1.3)

G 0

wr;~' .R I

~~HII"TH 11

s.,...,,"".11 ~. t'TrTIr rr 1'.E S

Figura 1.1.1. Ejemplo de una sefial de voz.

Capitulo 1 Introducci6n 3

donde {Ai(l)}, {F;(t)} Y {Bi(t)} son los conjuntos de amplitudes, frecuencias y fases (posiblemente variableson el tiempo), respectivamente, de las sefiales sinusoidales. De hecho, una forma de interpretar la informacionel men aje enviado en un corto segmento de tiempo de la serial de voz consiste en medir las amplitudes,

re uencias y fases contenidas en dicho segmento de la sefial.Otro ejemplo de sefial natural es la de uu electrocardiograma (ECG). Una serial de este tipo proporciona

a un medico informacion sobre el estado del corazon de un paciente. De la misma manera, la sefial de unele troencefalograma (EEG) proporciona informacion sobre la actividad del cerebro.

Las sefiales de voz, de un electrocardiogram a y de un electroencefalograma son ejemplos de sefiales quecontienen informacion y que varian como funciones de una sola variable independiente que, normalmente, es eltiempo. Un ejemplo de una sefial que es una funcion de dos variables independientes es una sefial de imagen. Lasvariables independientes en este caso son las coordenadas espaciales. Se trata tan solo de unos pocos ejemplosde las innumerables sefiales naturales que pueden encontrarse en el mundo real.

Asociados a las sefiales naturales se encuentran los medios con los que se generan. POI'ejemplo, las sefiales devoz se generan al pasar el aire a traves de las cuerdas vocales. Las imageries se obtienen mediante la exposicionde una pelfcula fotografica ante una escena u objeto. POI' tanto, normalmente la generacion de sefiales estaasociada con un sistema que responde a un estfrnulo 0 fuerza. En una sefial de voz, el sistema esta formado porlas cuerdas vocales y el tracto bucal, tambien conocido como cavidad bucal. EI estfrnulo en cornbinacion con elistema es 10 que se denominafuente de sehal. Por tanto, existen fuentes de voz, fuentes de imagenes y muchosotros tipos de fuentes de sefial.

Un sistema tarnbien se puede definir como un dispositivo ffsico que realiza una operacion sobre una sefial.Por ejemplo, un filtro utilizado para reducir el ruido y las interferencias que distorsionan una sefial deseada quetransporta informacion es un sistema. En este caso, el filtro realiza ciertas operaciones sobre la sefial, que tienenel efecto de reducir (filtrar) el ruido y las interferencias de la sefial de informacion deseada.

Cuando pasamos una sefial a traves de un sistema, como en el caso del filtro, decirnos que hemos procesadoo tratado la sefial, En este caso, el procesamiento de la sefial implica filtrar el ruido y las interferencias de la serialdeseada. En general, el sistema se caracteriza pOI'el tipo de operacion que realiza sobre la sefial, Por ejemplo,si la operacion es lineal, el sistema es lineal. Si la operacion que se realiza sobre la serial no es lineal, se diceque el sistema es no lineal, etc. Tales operaciones suelen referirse como tratamiento de la seiial.

Para nuestros propositos, es conveniente ampliar la definicion de sistema para incluir no solo los dispositivosffsicos, sino tam bien la implementacion software de operaciones sobre una sefial. En e1 procesamiento digitalde sefiales de una computadora digital, las operaciones efectuadas sobre una sefial consisten en una serie deoperaciones matematicas especificadas por un program a de software. En este caso, el program a representa unaimplernentacion del sistema por software. Luego tenemos un sistema que se implementa sobre una computadoradigital por medio de una secuencia de operaciones maternaticas; es decir, tenemos un sistema de procesarnientodigital de sefiales implementado por software. POI'ejemplo, una computadora digital puede programarse parallevar a cabo un filtrado digital. Alternativamente, el tratamiento digital de sefiales se puede realizar mediantehardware digital (circuitos logicos) configurado para realizar las operaciones especificadas. En una implemen-tacion de este tipo, tendremos entonces un dispositivo ffsico que realizara las operaciones especificadas. En unsentido amplio, un sistema digital puede implementarse como una combinacion de hardware y software digital,realizando cada uno de eli os su propio conjunto de operaciones especificadas.

Este libro aborda el tratarniento de sefiales por medios digitales, tanto software como hardware. Dado quemuchas de las sefiales que Seencuentran en el mundo real son analogicas, tambien vamos a considerar el problemade convertir una sefial analogica en una sefial digital con el fin de poder procesarla. Las operaciones que Ilevea cabo un sistema as! podran normalmente especificarse en forma rnatematica. El metodo 0 conjunto de reglaspara implementar el sistema mediante un programa que realice las operaciones matematicas correspondientesse denomina algoritmo, Por 10 general, hay disponibles muchas form as 0 algoritmos mediante los que se puedeimplementar un sistema, bien por software 0 por hardware, para realizar las operaciones y calculos deseados. Enla practica, estaremos interesados en aquellos algoritmos que sean eficientes y rapidos en 10 que respecta a loscalculos, y tambien sean faciles de implementar. POI'tanto, un tema importante en el estudio del procesarniento

4 Tratamiento digital de sefiales

Sefialanal6gica----


CIony u velocidad, puede simplemente imprimirse en un papel. En este caso, no hay necesidad de utilizar unnv ertidor DIA.

1.1.2 Ventajas del tratamiento digital de senates sobre el analoqlcoComo hemos mencionado anteriormente, existen muchas razones por las que el tratamiento digital de sefiales

ogicas es preferible a procesar dichas sefiales analogicas directamente en el dominio analogico, En primer, gar. un sistema digital program able proporciona la f1exibilidad de reconfigurar las operaciones del tratarnientodigital de la serial simplemente modificando el programa. Sin embargo, normalmente, la reconfiguracion de unistema analogico implica un redisefio del hardware seguido de los procesos de realizacion de pruebas y deerificacion que permiten comprobar que todo funciona correctamente.

Tambien, las consideraciones de precision desempefian un papel importante en la determinacion de la formael procesador de sefiales, Las tolerancias de los componentes de los circuitos analogicos hacen extremada-

mente diffcil que el disefiador del sistema pueda controlar la precision de un sistema de tratamiento de sefialesanalogicas, Por el contrario, un sistema digital proporciona un control mucho mejor en 10 que respecta a losrequi itos de precision. Tales requisitos, a su vez, exigen especificar los requisitos de precision del convertidorAID y del procesador digital de sefiales, en terminos de longitud de palabra, artimetica en coma flotante 0 comafija. y factores similares.

La sefiales digitales se almacenan facilmente en soportes magneticos (cinta 0 disco) sin deteriorarse 0perder fidelidad, aparte de la introducida por la conversion ND. Como consecuencia, las sefiales se hacenrransportables y pueden procesarse en tiempo no real en un laboratorio remoto. El tratamiento digital de sefialestambien perrnite la implernentacion de algoritmos de tratamiento de sefiales mas sofisticados. Normalmente, esmuy diffcil efectuar operaciones matematicas precisas sobre sefiales analogicas, pero esas mismas operacionespueden implementarse de forma rutinaria en una computadora digital mediante software.

En algunos casos, una implementacion digital del sistema de procesarniento de sefiales es mas barata queu contrapartida analogica, Este menor coste puede deberse al hecho de que el hardware digital es mas barato 0,quiza , es el resultado de la flexibilidad de poder realizar modificaciones proporcionada por la implementaciondigital.

Como consecuencia de estas ventajas, el procesarniento digital de seiiales se ha aplicado en sistemas practicesubriendo un amplio rango de disciplinas. Por ejemplo, podemos citar la aplicacion de tecnicas de tratamiento

digital de sefiales en el procesarniento de voz y la transmision de sefiales a traves de canales telefonicos, enel procesarniento y transmision de imagenes, en los campos de la sismologia y la geoffsica, en la prospeccionpetrolifera, en la deteccion de explosiones nucleares, en el tratamiento de sefiales recibidas del espacio exteriory en muchas otras aplicaciones. Algunas de estas aplicaciones las comentaremos en los capitulos siguientes.

Sin embargo, como ya hemos mencionado, la implementacion digital tarnbien tiene sus lirnitaciones. Unalimitacion practica es la velocidad de operacion de los convertidores ND y de los procesadores digitales desenales. Veremos que las sefiales que tienen anchos de banda extremadamente grandes requieren convertidoresAID con una muy alta velocidad de muestreo y procesadores digitales de sefiales rapidos. Asf, existen sefialesanalogicas con anchos de banda grandes para las que la solucion que proporciona el tratamiento digital seencuentra mas alla del estado del arte del hardware digital.

1.2 Clasificaci6n de las seiialesLo metodos que utilicemos para procesar una sefial 0 para analizar la respuesta de un sistema dependeranenormemente de los atributos carateristicos de la serial especificada. Existen tecnicas que solo se aplican afarnilias especfficas de sefiales. En consecuencia, cualquier investigacion que hagamos sobre el procesamientode efiales deb era comenzar por la clasificacion de las sefiales implicadas en la aplicacion concreta.


1.2.1 Seiiales multicanal y multidimensionales

Como se ha explicado en la Seccion 1.1, una sefial se describe mediante una funcion de una 0 mas variablesindependientes. EI valor de la funcion (es decir, de la variable dependiente) puede ser una magnitud escalar real,una magnitud compleja 0 incluso un vector. Por ejemplo, la sefial

SJ (t) = Asen3nt

es una sefial real. Sin embargo, la serial

S2(t) = Aej3m = Acos3nt + jAsen3ntes compleja.

En algunas aplicaciones, multiples fuentes 0 multiples sensores generan las sefiales. Dichas sefiales puedenrepresentarse en forma vectorial. La Figura 1.2.1 muestra las tres componentes de una efial vectorial querepresenta la aceleracion en la superficie terrestre debida a un terremoto. Esta aceleracion es el resultado de tres

Vertical

-, / V E"" I / Ie ste

" I /_____ :Y'

Sur

Sur21

0-1

-2

21

o-1

-2obe 2 Estec"

21

o-1-2

c-0ue -1"Ql -2~

2 Vertical 2_:t~~_-- ...__-.._,u-.)1_:-2 t+ Ondas P j -2

o 8 16 18 20 22 24 26 28 3010 12 144 62Tiempo (segundos)

Figura 1.2.1. Tres componentes de la aceleracion en tierra medida a pocos kilometres del epicentro de unterrernoto. (De Ea.rthquakes, por B. A. Bold, 1988 de W. H. Freeman and Company. Reproducido con perrnisodel editor.)


y

x

Figura 1.2.2. Ejemplo de una sefial bidimensional.

tipos basicos de ondas elasticas. Las ondas primarias (P) y las ondas secundarias (S) se propagan dentro delcuerpo de la roca y son longitudinales y transversales, respectivamente. EI tercer tipo de onda elastica recibe elnombre de onda superficial, porque se propaga cerca de la superficie de la Tierra. Si Sk(t), k = 1,2,3, denotala efial electrica procedente del sensor k como una funci6n del tiempo, el conjunto de p = 3 sefiales se puederepresentar mediante un vector S3 (t), donde

Decimos que un vector de sefiales asf es una seiial multicanal. Por ejemplo, en electrocardiograffa, se utilizanelectrocardiogramas (ECG) de 3 tomas y de 12 tomas, que generan senales de 3 y 12 canales.

Fijemonos ahora en las variables independientes. Si la sefial es una funci6n de una sola variable indepen-diente, se dice que la seiial es unidimensional. Por otro lado, se dice que una sefial es M -dimensional si su valore una funci6n de M variables independientes.

La imagen de laFigura 1.2.2 es un ejemplo de una serial bidimensional, dado que laintensidad 0 brillol(x,y)en cada punto es una funci6n de dos variables independientes. Por otra parte, una imagen de televisi6n en blancoy negro puede representarse como l(x,y,t), puesto que el brillo es una funci6n del tiempo. Por tanto, la imagende TV puede tratarse como una sefial tridimensional. En cambio, una imagen de TV en color puede escribirsemediante tres funciones de intensidad de la forma I,.(x, y, t), 19(x,y, t) e h(x,y,t), las cuales se corresponden conel brillo de los tres colores principales (rojo, verde, azul) como funciones del tiempo. Por tanto, una imagen deTV en color es una sefial tridimensional de tres canales, que puede representarse mediante el vector:

[Ir(X,y,t)]

I(x,y,t) = 19(x,y,t)Ib(X,y,t)

En este libro vamos a tratar fundarnentalmente con senales unidimensionales de un solo canal, reales 0complejas, y vamos a referirnos a elias simplemente como sefiales. En terminos matematicos, estas sefiales se

x(n) = { 0.8''',0,

si n ~ 0en otro caso

(l.2.1)


describen mediante una funcion de un sola variable independiente. Aunque la variable independiente no tienepor que ser necesariamente el tiempo, es costumbre emplear t como la variable independiente. En muchoscasos, las operaciones y algoritmos para el procesarniento de sefiales desarrollados en el texto para sefialesnnidimensionales de un s610 canal pueden extenderse a sefiales multidimensionales y multicanal.

1.2.2 Sefiales continuas y discretas en el dominic del tiempoLas sefiales se pueden clasificar en cuatro categorfas diferentes dependiendo de las caracteristicas de la variableindependiente tiempo y de los valores que estas tomen. Las seiiales continuas en el tiempo 0 sehales anal6gicasestan definidas para cada instante de tiempo y toman sus valores en el intervalo continuo (a, b), donde a puedeser -00 y b puede ser 00. Matematicamente, estas sefiales pueden describirse mediante funciones de una variablecontinua. La onda de voz mostrada en la Figura 1.l.1 y las sefiales Xl (t) = cos 7U, X2 (t) = e-1rl, -00 < t < 00son ejemplos de sefiales anal6gicas. Las seiiales discretas en el tiempo s610 estan definidas en determinadosinstantes especificos de tiempo. Dichos instantes de tiempo no tienen que ser equidistantes, aunque, en la practica,normalmente estan igualmente espaciados para facilitar los calculos. La sefial x(tn) = e-1tlll, n = 0, 1, 2, ...es un ejemplo de una sefial discreta en el tiempo. Si utilizamos el Indice n para los instantes de tiempo discretoscomo la variable independiente, el valor de la sefial sera una funci6n de una variable entera (es decir, serauna secuencia de numeros). Por tanto, una sefial discreta en el tiempo se puede representar matematicamentemediante una secuencia de mimeros reales 0 complejos. Con el fin de res altar la naturaleza discreta de unasefial, denotaremos dicha sefial como x( n) en lugar de como x(t). Si los instantes de tiempo tn estan igualmenteespaciados (es decir, tn = nT), tambien se utiliza la notaci6n x(nT). Por ejemplo, la secuencia

es una sefial discreta en el tiempo, que se ha representado graficamente en la Figura 1.2.3.En la practica, las sefiales discretas en el tiempo pueden originarse de dos formas:

1. Seleccionando val ores de una sefial anal6gica en instantes discretos de tiempo. Este proceso se denorninamuestreo y se estudia mas en detalle en la Secci6n 1.4. Todos los instrumentos de medida que realizanmedidas a interval os de tiempo regulares proporcionan sefiales discretas en el tiempo. Por ejemplo, lasefialx(n) de laFigura 1.2.3 puede obtenerse muestreando la sefial anaI6gicax(t) = 0.8/, t ~ 0 y x(t) = 0,t < 0 una vez por segundo.

2. Acumulando una variable en un periodo de tiempo. Por ejemplo, el ntimero de coches que pasan por unacalle deterrninada en una hora 0 el valor del oro diario, dan lugar a sefiales discretas en el tiempo. LaFigura 1.2.4 muestra una grafica del mimero de manchas solares de Wolfer. Cada muestra de la sefialdiscreta en el tiempo proporciona el mimero de manchas observadas durante un interva]o de 1 afio.

xCn)

-1 0 2 3 4 5 6 7 11

F1!!UT3.1.2.3. Representaci6n grafica de la sefial discreta en el tiempo x(n) = 0 ..8" para n > 0 y x(n) = 0 para


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1770 1790 1810 1830 1850 1870Afio

Figura 1.2.4. Numero de manchas solares de Wolfer (1770-1869).

1.2.3 Senales continuas y senates discretasLos valores de una seiial continua 0 discreta en el dominio del tiempo pueden ser continuos 0 discretos. Siuna sefial toma todos los valores posibles en un rango finito 0 infinito, se dice que es una sefial continua.Alternativamente, si la sefial toma valores dentro un conjunto finito de posibles valores, se dice que la sefial esdiscreta. Normalmente, estos valores son equidistantes y, por tanto, pueden expresarse como un multiple enterode la distancia entre dos valores sucesivos. Una sefial discreta en el tiempo que tiene un conjunto de valoresdiscretos es una serial digital. La Figura 1.2.5 muestra una sefial digital que toma uno de cuatro valores posibles.

Para que una sefial pueda ser procesada digitalmente, debe ser discreta en el tiempo y sus valores tienen queser discretos (es decir, tiene que ser una sefial digital) ..Si la sefial que se va a procesar es una sefial analogica,se convierte en una sefial digital muestreandola en instantes discretos de tiempo, obteniendose asf una sefialdiscreta en el tiempo, y cuantificando a continuacion sus valores en un conjunto de valores discretos, comose describe mas adelante en el capitulo. EI proceso de conversion de una sefial continua en una sefial discretase denomina cuantificaci6n, y es basicamente un proceso de aproximacion. Puede realizarse de forma simplemediante redondeo 0 truncamiento. Por ejemplo, si los valores permitidos de la sefial digital son enteros, comopor ejemplo, de 0 hasta 15, la sefial de valores continuos se cuantifica empleando esos valores enteros, Por tanto,el valor de la sefial8.58 se aproximara al valor 8 si el proceso de cuantificacion se realiza mediante truncamiento,o a 9 si el proceso de cuantificacion se realiza par redondeo al entero mas proximo. Mas adelante en el capitulose proporciona una explicacion mas detallada del proceso de conversion analogi co-digital.

1.2.4 senates deterrninistas y seriales aleatoriasEl procesamiento y analisis matematico de sefiales requiere disponer de una descripcion matematica para lapropia sefial, Esta descripcion inatemitica, a menudo denominada modelo de serial, lleva a otra importanteclasificacion de las sefiales. Cualquier sefial que se pueda describir unrvocamente mediante una expresionmaternatica explicita, una tabla de datos 0 una regla bien definida se dice que es determinista. Este termino seemplea para destacar el hecho de que todos los valores pasados, presentes y futuros de la sefial se conocen deforma precisa, sin incertidumbre.

Xa(t) = Acos(Qt + e), -c-oo < t < oo (1.3.1)


x(n)

---T--------l 0 2 345 6 7 8 11

Figura 1.2.5. Sefial digital con cuatro valores de amplitud diferentes.

Sin embargo, en much as aplicaciones practicas, existen sefiales que 0 no se pueden describir con un gradorazonable de precision mediante formulas matematicas 0 una descripcion resulta demasiado compleja comopara resultar practica. La falta de una relacion de este tipo implica que dichas sefiales evolucionan en el tiempode manera no predecible. Decimos que este tipo de sefiales son aleatorias. La salida de un generador de ruido,1a sefial sismica de la Figura 1.2.1 y la serial de voz de la Figura 1.1.1 son ejemplos de sefiales aleatorias.

El marco de trabajo matematico para llevar a cabo e1analisis teorico de las sefiales aleatorias 10 proporciona1ateoria de 1aprobabilidad y los procesos estocasticos, En 1aSeccion 12.1 se presentan algunos de los elementosbasicos de este enfoque adaptados a las necesidades dellibro.

Debemos insistir en que la clasificacion de una sefial real como determinista 0 aleatoria no siempre es clara.En ocasiones, ambos enfoques llevan a resultados significativos que ayudan a clarificar e1comportamiento de lasefial. En otros casos, una clasificacion erronea puede Ilevar a resultados erroneos, ya que algunas herramientasmatematicas solo pueden aplicarse a sefiales deterministas mientras que otras solo pueden aplicarse a sefialesaleatorias. Vera esto mas claramente cuando examinemos herramientas matematicas especfficas.

1.3 Concepto de frecuencia en sefiales continuasy discretas en el tiempo

El concepto de frecuencia ya sera familiar a los estudiantes de ingeniena y ciencias. Este concepto es basico,por ejemplo, en el disefio de un receptor de radio, de un sistema de alta fidelidad 0 de un filtro espectralpara fotograffas en color. De 1a Ffsica, sabemos que la frecuencia esta estrechamente relacionada con un tipoespecifico de movimiento periodico denominado movimiento oscilatorio armonico, que se describe mediantefunciones sinusoidales. El concepto de frecuencia esta directamente relacionado con el concepto de tiempo, ysu dimension es 1a inversa de la del tiempo. En consecuencia, la naturaleza del tiempo (continuo 0 discreto)afectara a 1anatura1eza de 1a frecuencia.

1.3.1 Senales sinusoidales continuas en el tiempoUna oscilacion armonica simple se describe maternaticamente mediante 1a siguiente seiial sinusoidal continuaen el tiempo:

que se muestra en la Figura 1.3.1. EI subindice a uti1izado con x(t) indica que se trata de una sefial analogi ca.Esta sefial queda comp1etamente caracterizada mediante los tres parametres siguientes: A, que es la amplitudde la sinusoide, Q, que es lafrecuencia en radianes pOI'segundo (rad/s) y e, que es lajase en radianes. En lugarde Q, a menudo utilizaremos 1a frecuencia F medida en ciclos por segundo 0 hercios (Hz), donde

Q=2nF (1.3.2)

Capftulo 1 Introducci6n 11

/

Figura 1.3.1. EjempJo de una sefial sinusoidal analogica.

funcion de F, podemos escribir la expresion (1.3.1) como sigue

Xa(t)=Acos(2n:Ft+B), -oo


1m

-:\D?

,-'\

/

Re

A/2

:_}n

Figura 1.3.2. Representacion de una funci6n coseno mediante dos sefiales exponenciales complejas conjugadas(fasores),

en la Figura 1.3.2. A medida que transcurre el tiempo, los fasores giran en direcciones opuestas con frecuenciasangulares de Q radianes por segundo. Dado que unafrecuencia positivase corresponde con un movimientoangular uniforme en sentido antihorario, unafrecuencia negativa se correspondera con un movimiento angularen sentido horario.

Por comodidad para la realizaci6n de los calculos matematicos, utilizaremos tanto frecuencias negativascomo positivas a 10 largo del libro. Por tanto, el rango de frecuencias para las sefiales sinusoidales es -00 < F < 00.

1.3.2 Seiiales sinusoidales discretas en el tiempo

Una sefial sinusoidal discreta en el tiempo puede expresarse como sigue

x(n) = Acos(wn + e), -00 < n < 00 0.3.7)donde n es una variable entera, que se denomina mimero de muestra, A es la amplitud de la sinusoide, w es lafrecuencia en radianes por muestra y e es lafase en radianes.

Si en lugar de w utilizamos la variable frecuencia f definida por

w=2nf (1.3.8)

la relaci6n (1.3.7) se convierte en

x(n) = Acos(2nfn + e), -00 < n < 00 (1.3.9)La frecuencia f tiene dimensiones de ciclos por muestra. En la Secci6n lA, donde hemos visto el muestreo desinusoides anal6gicas, relacionamos la frecuencia f de una sinusoide discreta en el tiempo con la frecuenciaF en ciclos por segundo de una sinusoide anal6gica. Por el momento, consideremos la sinusoide discreta en eldominio del tiempo dada por (1.3.7), independientementede la sinusoide continua en el tiernpo dada por (1.3.1).La Figura 1.3.3 muestra una sinusoide de frecuencia w = n/6 radianes por muestra (f = 12 ciclos por muestra)y una fase e = 1[/3.

En comparaci6n con las sefiales sinusoidales continuas en el tiempo, la seiiales sinusoidales discretas en eltiempo se caracterizan pOI las propiedades siguientes:


x(n) =A cos(wn + ())

A

n

-A

Figura 1.3.3. Ejemplo de sefial sinusoidal discreta enel tiempo (m = n/6 yO = n/3).

BI U . id di I . . idi '[ . F . f , '~l na sinusoi e iscreta en e tiempo es peno tea so a si su J recuencia es un numero raciona .Por definicion, una sefial discreta en el tiempo x(n) es periodica de perfodo N (N > 0) si Ysolo si

x(n+N) =x(n) para todo n (1.3.10)

E: valor mfnimo de N para el que (1.3.10) se cumple es el periodo fundamental.

dernostracion de la propiedad de periodicidad es sencilla. Para que una sinusoide de frecuencia fo seaoeriodica, se tiene que cumplir que

cos[2nfo(N +n) + OJ = cos(2nfon+ 0)relacion es cierta si y solo si existe un entero k tal que

2nfoN = 2kn

que es 10mismo,k

fo=-N

(1.3.11)

De acuerdo con (l.3.11), una sefial sinusoidal discreta en el tiempo solo es periodica si su frecuencia fose puede expresar como la relacion de dos enteros (es decir, fo es racional).Para determinar el perfodo fundamental N de una sinusoide periodica, expresamos su frecuencia fo comoen (l.3 .11) Y cancelamos los factores comunes, de modo que k y N sean primos relativos. Entonces el .- 'odo fundamental de la sinusoide es igual a N. Observe que una pequefia variacion de la frecuencia

-~ dar lugar a una ariacion muy grande del perfodo. Por ejemplo, h= 31/60 implica que Nl = 60,- que h = "0/60 da como resuitado N2 = 2.

eiiales sinusoidales discretas en el tiempo cuyas frecuencias estan separadas un multiple entero de. ideruicas.

~ cemo trar e ta afirmacion, consideremos la sefial sinusoidal cos( Won + 0). Facilmente se deduce

co [(Wo +2n)n + OJ = cos(mon + Zttn. + 0) = cos( mon+ 0) (1.3.12)las ecuencias sinusoidales

k= 0, 1,2, ... (1.3.13)

tuk = mo +2kn,\'-

14 Tratamiento digital de seiiales

n

son indistinguibles (es decir, identicas). Cualquier secuencia resultante de una sinusoide con frecuencizIwi> n, 0 If I > ~, es identica a una secuencia obtenida a partir de una sefial sinusoidal de frecuenci;Iwl < n. Debido a esta sirnilitud, decirnos que la sinusoide que tiene la frecuencia Iwl > n es un alia!de la sinusoide cuya frecuencia es Iwl < n. Por tanto, consideremos las frecuencias comprendidas en erango -n:::; w :::;n, 0 21 :::;f:::; ~ como unicas y todas las frecuencias tal que Iwl > n, 0 If I > !, comalias. El lector debe darse cuenta de la diferencia entre sinusoides discretas en el tiempo y sinusoidcontinuas en el tiempo, ya que estas iiltimas dan lugar a sefiales distintas para Q 0 F en el rango complet-00 < Q < 000 -00 < F < 00.

B3. La tasa de oscilacion mas alta de una seiial sinusoidal discreta en el tiempo se alcanza cuando w = n (Iw = =n) 0,10 que es 10mismo, f = !(0 f = -~).Para ilustrar esta propiedad, vamos a investigar las caracteristicas de la siguiente secuencia de sefiale-sinusoidales

x(n) = cos woncuando la frecuencia varia entre 0 y tt. Para simplificar el argumento, tomamos valores de Wo = 0, n] .nf, n/2, n correspondientes a f = 0, ft" !, ~,~,10 que da como resultado secuencias peri6dicas qUEtienen periodos N = 00,16,8,4,2, como se ilustra en la Figura l.3.4. Observe que el periodo dela sinusoidedecrece cuando la frecuencia aumenta. De hecho, podemos ver que la tasa de oscilaci6n aumenta cuandaumenta la frecuencia.

Para ver 10 que ocurre para n :::;Wo :::;2n, consideremos las sinusoides de frecuencias WI = Wo YW:2 =2n - Wo. Observe que como WI varia entre tt y 2n, W2 varia entre tt y O. Podemos ver facilmente que

XI (n) = A cos WI n. = Acos wonx2 (n) = A cos W2n = A cos(2n - wo)n

= Acos(-mon) =xl(n)

Figura 1.3.4. La serial x( n) = cos won para varios valores de la frecuencia Wo.

zrx(n) Wo =2

11

n

Capitulo 1 lntroduccion 15

Por tanto, lil2 es un alias de WI. Si hubieramos empleado una funcion seno en lugar de una funcion coseno,el re ultado seria basicamente el rnismo, excepto por una diferencia de fase de 1800 entre las sinusoidesXI (n) Y x2(n). En cualquier caso, cuando aumentamos la frecuencia relativa Wo de una sefial sinusoidaldi creta en el tiempo de tt a Zst, su tasa de oscilacion disminuye. Para Wo = 2n, el resultado es una sefialon tante, como en el caso de roo = O. Obviamente, para Wo = n (0 f = 1) obtenemos la maxima tasa de

o cilacion.

Como en el caso de las sefiales continuas en el tiempo, pueden introducirse frecuencias negativas tambienpara las sefiales discretas en el tiempo. Para este proposito, utilizamos la siguiente identidad:

x(n) = Acos(wn + tI) = ~ e}(wn+8) +~ e" }(wn+8)2 2 0.3.15)

Puesto que las seiiales sinusoidales discretas en el tiernpo con frecuencias separadas entre sf un rmiltiploentero de 2n son identicas, se deduce que las frecuencias de cualquier intervalo WI ::; W ::; WI + 2nconstituyen todas las sinusoides discretas en el tiernpo 0 exponenciales complejas. Por tanto, el rangode frecuencias para sinusoides discretas en el tiempo es finito con una duracion de 2n. Normalmente,eleccionamos el rango 0 ::; W ::; 2n 0 - tt ::;W ::; n (0 ::; f ::;1, -;1 ::; f ::;1), el cual se denornina rango

fundamental .

.3.3 Exponenciales complejas armonlcamente relacionadas~ efiales sinusoidales y las exponenciales complejas desernpeiian un papel importante en el analisis de se-- .~ - y istemas. En algunos casos, trabajaremos con conjuntos de exponenciales complejas (0 sinusoides)

micamenie relacionadas. Se trata de eonjuntos de exponenciales eomplejas periodicas con frecuenciasentales que son multiples de una rnisma frecuencia positiva. Aunque vamos a limitar nuestra exposicion

exponenciales complejas, evidentemente estas propiedades son aplicables a las sinusoides. Vamos a con-erar exponenciales complejas armonicamente relacionadas tanto continuas como discretas en el dominio del

po.

nenciales continuas en el tiempo. Las senales basicas exponenciales continuas en el domini0 del tiempormonicamente relacionadas son:

k=0,1,2, ... (1.3.16)

servemos que para cada valor de k, Sk(t) es periodica de perfodo fundamental J /(kFo) = Tp/k 0 frecuenciadamental kFo. Dado que una sefial periodica de periodo Tp/k tambien es periodica con perfodo k(Tp/k) = Tpcualquier entero positivo k, tenemos que todas las Sk (t) tienen un periodo connin igual a Tp. Adernas, como

_ 0- vi to en la Seccion 1.3.1, Fo puede tomar cuaJquier valor y todos los miembros del conjunto son distintos,el entido de que si kJ =I ka, entonees Ski (r) =I Sk2(t) ..-\ partir de las sefiales basicas dadas por (1.3.16), podemos construir una combinacion lineal de exponen-_ omplejas armonicamente relacionadas de la forma

Xa(t).= L. CkSk(t) = L. qejkP4k=-~ k=-~

(1.3.17)

de ci, k = 0, 1, 2, ... con constantes complejas arbitrarias. La sefial xa(t) es periodica de perfododarnental Tp = I/Fo, Y su representacion en funcion de (1.3.17) se denomina expansion de la serie de

::- rier de Xa (t). Las constantes complejas son los coeficientes de la serie Fourier y la serial Sk (t) es el armonicoimo de xa(t).

sdn) = ej2nk/on, k=0,I,2, ... (1.3.18)

16 Tratamiento digital de seriales

Exponenciales discretas en el tiempo. Dado que una exponenciaJ compleja discreta en el tiempo es peri6dica sisu frecuencia relativa es un mimero racionaJ, seleccionamos fo = liN Ydefinimos los conjuntos de exponencialescomplejas arm6nicameote relacionadas como sigue

En contraste con el caso de sefiales continuas eo el tiempo, observe que

Lo que quiere decir que, de acuerdo con (1.3.10), s610 hay N exponenciales complejas peri6dicas distintas en elconjunto descrito por la expresi6n (1.3.18). Ademas, todoslos miembros delconjunto tienen un perfodo corruinde N muestras. Evidentemente, podemos elegir cualesquiera N exponenciales complejas consecutivas, es decir,desde k = 110 hasta k = 110 +N - 1, para formar un conjunto armonicamente relacionado con una frecuenciafundamental fo = liN. Por comodidad, generalmente, seleccionaremos el conjunto que se corresponde conno = 0, es decir, el conjunto

k=0,1,2, ... ,N-l (1.3.19)

Como en el caso de las sen ales continuas en el tiempo, es obvio que la combinaci6n lineal

N-l N-lx(n) = L cksk(n) = L qej2nkn/N

k=O k=O(1.3.20)

da como resultado una sefial peri6dica de periodo fundamental N. Como veremos mas adelante, se trata de larepresentaci6n de la serie de Fourier de una secuencia peri6dica discreta en el tiempo con coeficientes de Fourier{Ck}. La secuencia sk(n) es el arm6nico k-esirno de x(n).

EJEMPLO 1.3.1 _

En la memoria de un procesador digital de sefiales se ha aLmacenado un cicIo de la siguiente serial sinusoidal

(2nn )x(n) = sen N + e

donde e = 2nq IN, siendo q y N enteros.(a) Determine c6mo se puede emplear esta tabla.de valores para obtener valores de sinusoides arm6nicamente relacionadas

con la misma fase.

(b) Determine como se puede emplear esta tabla de valores para obtener sinusoides de la misma frecuencia pero fasesdiferentes.

Soluci6n

(a) Sea xk(n) la secuencia sinusoidal

(2nnk )xk(n) = sen ---;;;- + e

Se trata de una sinusoide con una frecuencia !k = kl N, relacionada armonicamente con x(n). Pero xk(n) puedeexpresarse como sigue

Xk(n) = sen [2n1kn)+ e] = x(kn)Luego Xk(O) = x(O), xk(l) =x(k), xk(2) =x(2k), etc. Por tanro, la secuencia sinusoidal xk(n) puede obtenerse de latabla de valores dex(n) tomando los valores k-esirnos dex(n), comenzando por x(O). De este modo, podemos generarlos valores de todas las sinusoides arm6nicamente relacionadas con frecuencias fk = kiN para k = 0, I, ... ,N - 1.


b Podemos conrrolar la fase e de la sinusoide de frecuencia fie = k/N tomando el primer valor de la secuencia de lapo icion de memoria q = eN /2n, donde q es un entero. Por tanto, la fase inicial e control a la posicion inicial enla tabla y nosotros barremos la tabla cada vez que el fndice (kn.) excede de N.

1.4 Conversiones analcqica-dlqital y diqltal-analoqlcaLa mayor parte de la senales con interes practice, tales como las sefiales de voz, las senales biologicas, sfsrnicas,

radar de sonar y las diversas sefiales de cornunicacion como las de audio y video, son analogicas. Para podere ar sefiales analogicas a traves de medios digitales, primero es necesario convertirlas a formato digital,

~ decir, convertirlas en una secuencia de mimeros coo una precision finita. Este procedimiento se denominanversion analogica-digital (AID), y los dispositivos que la realizan son los convertidores AID (ADC).Conceptualmente, la conversion AID es un proceso de tres pasos, el cual se ilustra en la Figura lA.l.

1. Muestreo, Este paso consiste en la conversion de una sefial continua en el tiempo en una sefial discreta enel tiempo obtenida mediante la toma de "muestras" de la serial continua en el tiernpo en instantes discretosde tiempo. POI'tanto, si xa(t) es la entrada del rnuestreador, la salida sera Xa (nT) == x(n), donde T es elintervalo de muestreo.

2. Cuantificacion. En este paso se realiza la conversion de una sefial de valores continuos tornados en instantesdiscretos de tiempo en una sefial de valores discretos en instantes de tiempo discretos (es decir, es unaserial digital). El valor de cada muestra de la serial se representa mediante un valor seleccionado dentrode un conjunto finito de posibles valores. La diferencia entre la muestra no cuantificada x(n) y la salidacuantificada xq(n) es el error de cuantificacion.

3. Codificacion. En el proceso de codificacion, cada valor discreto x.]n) se representa mediante una secuenciabinaria de b-bits.

Aunque hernos model ado el convertidor AID como un muestreador seguido de un cuantificador y un codi-fi ador, en la practica, la conversion AID se realiza mediante un unico dispositivo que toma xa (t) y produceun mimero codificado en binario. Las operaciones de muestreo y cuantificacion se pueden realizar en cualquierorden aunque, en la practica, el muestreo se efecnia siernpre antes que la cuantificacion.

En muchos casos practices (por ejemplo, el procesamiento de voz) es deseable convertir las sefiales digitalesprocesadas a formato analogico. Obviamente, no es posible escuchar la secuencia de muestras que representauna sefial de voz 0 ver los digitos correspondientes a una sefial de TV. El proceso de conversion de una sefialdigital en una sefial analogica se conoce como conversion digital-analogica (DIA). Todos los convertidores DIA.. onectan los puntos" de una sefial digital realizando alguna clase de interpolacion, cuya precision depende de la

Convertidor NO,------------------------------------------------------------------,,,

x(n)Muestreador

xqCn)Cuantificador Codificador

----------------------r---------------------

01011 ...

Sefialanalogies

Serial discretaeo el tiempo

Senalcuantificada

Serialdigital

Figura 1.4.1. Partes basicas de un convertidor analogico-digital (AID).

x(n) = xa(nT), -00 < n < 00 (l.4.1)


o 2T 4T 6T STTiempo

Figura 1.4.2. Conversi6n digital-anal6gica (D/A) con retenci6n de orden cero.

calidad del proceso de conversi6n DIA. La Figura 1.4.2 ilustra un metodo simple de conversi6n DIA, denominadoaproximaci6n mediante escalones 0 mediante retenci6n de orden cero. Existen otras aproximaciones, como porejemplo la conexi6n lineal de una pareja de muestras sucesivas (interpolaci6n lineal), el ajuste de una funci6ncuadratica a traves de tres muestras sucesivas (interpolaci6n cuadratica), etc. l,Existe un interpolador 6ptimo(ideal)? Para sefiales con un contenido limitado enfrecuencia (ancho de banda finito), el teorema de muestreoque se presenta en la siguiente secci6n especifica el rnetodo 6ptimo de interpolaci6n.

En esta secci6n se aborda el muestreo y la cuantificaci6n. En concreto, vamos a demostrar que el muestreono da lugar a una perdida de informaci6n, es decir, no introduce distorsi6n en la sefial si el ancho de banda de lasefial es finito. En principio, la sefial anal6gica puede reconstruirse a partir de las muestras, siempre y cuando latasa de muestreo sea 10 suficientemente alta como para evitar el problema general mente conocido como aliasing.Por el contrario, la cuantificaci6n es un proceso no reversible que distorsiona la sefial. Veremos que la cantidadde distorsi6n es dependiente de la precisi6n, determinada por el mimero de bits del proceso de conversi6n AID.Los factores que afectan ala elecci6n de la precisi6n deseada del convertidor AID son el coste y la frecuenciade muestreo. En general, el coste aumenta cuando aumenta la precisi6n y/o la frecuencia de muestreo.

1.4.1 Muestreo de seflales analoqlcas

Existen muchas formas de muestrear una sefial anal6gica. Vamos a limitar nuestra exposici6n al muestreouniforme 0 peri6dico, que es el tipo de muestreo empleado mas a menudo en la practica, y que se describemediante la siguiente relaci6n

donde x(n) es la sefial discreta en el tiernpo obtenida "tornando muestras" de la sefial anal6gica xa(t) cada Tsegundos. Este procedirniento se ilustra en la Figura 1.4.3. El intervalo de tiempo T entre rnuestras sucesivas eel periodo de muestreo 0 intervalo de muestreo y su recfproco 1IT = F, se denomina tasa de muestreo (muestraspor segundo) o frecuencia de muestreo (hercios).

El rnuestreo peri6dico establece una relacion entre las variables t y n de las sefiales continuas y discretas enel tiempo, respectivamente. Estas variables se relacionan linealmente a traves del periodo de rnuestreo T 0, deforma equivalente, a traves de la tasa de muestreo Fs = ut; como

nf =nT =-

Fs


Como consecuencia de (1.4.2), existe una relaci6n entre la variable de freeuencia F (u Q) para las sefiales6gicas y la variable de frecuencia f (u OJ) para las senales discretas en el tiempo. Para establecer la relaci6n,.dere una serial anal6gica sinusoidal d la forma-- Xa(t) =A os(2nFt+B) (1.4.3)

ual. cuando se muestrea periodicamente con una tasa de F, = irt muestras por segundo, da lugar a

(2nnF )xa(nT) == x(n) = Acos(2nFnT + B) = A cos ----p;- + B (1.4.4)

omparamos (1.4.4) con (1.3.9), vemos que las frecuencias F y f estan relacionadas lineal mente como sigueF

f=-r, (1.4.5)

. de forma equivalente, comoOJ=QT (1.4.6)

relaci6n (1.4.5) justifica el nombre de frecuencia relativa 0 normalirada, que se emplea en ocasiones paraescribir 1afrecuencia f. Como (1.4.5) implica, podemos usar f para determinar la frecuencia Fen hercios s610la frecuencia de muestreo F, es conocida.Recordemos de la Secci6n 1.3.1 que los rangos de las frecuencia F u Q para sinusoides continuas en el

empo on, respectivamente-00 < F < 00

< Q

tt n--=-nF


in embargo, cos 5nn/2 = cos(2nn + nn/2) = cos nn/2, par 10 que x2 (n) = x) (n). Par tanto, las sefiales sinusoidales sonidenticas y, en consecuencia, indistinguibles. Dados los valores muestreados generados por cos(n/2)n, existe una ciertaarnbiguedad, yaque no se puede determinar si dichos valores corresponden a x) (t) 0 a X2(t). Puesto que X2(t) tomaexactamente los mismos valores que x) (t) cuando ambas sefiales se muestrean a una frecuencia de F, = 40 muestras porsegundo, decirnos que la frecuencia F2 = 50 Hz es un alias de la frecuencia F[ = 10Hz para la tasa de muestreo de 40muestras por segundo.

E importante destacar que F2 no es el iinico el alias de FL. De hecho, para la tasa de muestreo de 40 muestras porsegundo, la frecuencia F3 = 90 Hz es tambien un alias de F), asf como de la frecuencia F4 = 130 Hz, etc. Todas las sinusoidesco 2n(Fl +40k)t, k = 1,2,3,4, ... , muestreadas a 40 muest:ras por segundo, tomaran valores identicos. En consecuencia,todas on alias de F) = 10Hz.

En general, el muestreo de una sefial sinusoidal continua en el tiempo

Xa(t) = A cos (2nFot + B) (1.4.14)una frecuencia de muestreo de ~. = l/T genera una serial discreta en el tiempo

x(n) = Acos(2nfon+ B) (1.4.15)

nde fo = Fo/ Fs es la frecuencia relativa de la sinusoide. Si suponemos que -Fs/2 ~ Fo ~ Fs/2, la frecuenciar. de x(n) se encuentra en el rango - ~ ~ fo ~ ~, que es el rango de frecuencias para las sefiales discretas enel tiempo. En este caso, la relaci6n entre Fo Y fo es una relaci.6n uno a uno y por tanto es posible identificar (0~ onstruir) la sefial ana16gica xa(t) a partir de las muestras x(n).

Por el contrario, si las sinusoidesXa(t) =Acos(2nFkt+B) (1.4.16)

ondeFk = Fo +kFs, k= 1,2, ... (1.4.17)

-".muestrean a una frecuencia Fs, esta claro que la frecuencia Fk no pertenece a] rango de la frecuencia funda-mental -Fs/2 < F < Fs/2. En consecuencia, la sella] muestreada es

(Fo+kFs )x(n) =xa(nT) = Acos 2n Fs n+ B

= A cos(2nnFo/ F,+ B +2nkn)= Acos(2nfon+B)

-:: e e identica a la sefial discreta en el tiempo dada por la expresi6n (1.4.15) obtenida al muestrear (1.4.14). Por- to, un mimero infinito de sinusoides continuas en el tiempo 'esta representado por el muestreo de la mismaseiial discreta en el tiempo (es decir, el mismo conjunto de muestras). En consecuencia, dada la secuencia x(n),no e posible representar la sefial continua en el tiempo Xa (t) a partir de estos valores. 0 10 que es 10 mismo,oodemos decir que las frecuencias Fk = Fa + kFs, -00 < k < 00 (k entero) son indistinguibles de la frecuenciar de pues del muestreo y, por tanto, son alias de Fa. La relaci6n entre las variables de frecuencia de las sefiales;; ntinua y discreta en el tiempo se ilustra en la Figura 1.4.4.

En la Figura 1.4.5 se ilustra un ejemplo de aliasing, en el que dos sinusoides de frecuencias Fa = ~Hz YF, = - ~Hz producen muestras identicas cuando la frecuencia de muestreo es Fs = 1 Hz. A partir de (1.4.17)~ deduce facilmente que para k = -1, Fa = FJ +Fs = (-~ + I) Hz = kHz.

Dado que Fs/2, que se corresponde con (()= n, es la frecuencia mas alta que puede representarse iinivo-ente con una frecuencia de muestreo Fs, es sencillo determinar la correspondencia de cualquier frecuencia


f w1

Figura 1.4.4. Relaci6n entre las variables de frecuencia de las sefiales continua y discreta en el tiempo en elcaso de muestreo peri6dico.

-0B~ O'_-r~~-+-L+--+L_+-_'~+-~--+-Lf--~~--~-----~ Tiempo, segundos

Figura 1.4.5. I1ustraci6n del aliasing.

(alias) por encima de Fs/2 (w = n) con la frecuencia equivalente por debajo de Fs/2. Podemos utilizar Fs/2u w = n como el punto de pivote y reftejar la frecuencia alias en el ran go 0 ::; w ::;n. Puesto que el punto depivote 0 solapamiento es F;..j2 (w = n), la frecuencia Fs/2 (w = n) se denominajreczenczc de solapamiento.

EJEMPLO 1.4.2 _

Considere la sefial analogica xa(t) = 3cos 100m

(a) Determine la frecuencia de muestreo minima necesaria para evitar el aliasing.

(b) Suponga que la sefial se muestrea a la frecuencia Fs = 200 Hz. i,Que serial discreta en el tiempo se obtiene despuesde la operacion de muestreo?

(c) Suponga que la sefial se muestrea a la frecuencia Fs = 75 Hz. i,Que seiial discreta en el tiempo se obtiene despues delmuestreo?

(d) i,Cmil es la frecuencia 0 < F < FsI'l: de una sinusoide que produce muestras identicas a las obtenidas en el apartado(c)?

Solucion.

(a) La frecuencia de la serial analogica es F = 50 Hz. Por tanto, la frecuencia de muestreo minima necesaria para evitarel aliasing es Fs = 100 Hz.

Capitulo 1 lntroduccion 23

(b) Si la sefial se muestrea a la frecuencia Fs = 200 Hz, la sefial discreta en el tiempo es

lOOn nx(n) = 3 cos 200 11= 3cos in

(c) Si la sefial se muestrea a la frecuencia Fs = 75 Hz, la sefial discreta eo el tiempo sera

(2n) 2n= 3cos 2n- 3 n = 3cos 3n

(d) Para la frecueocia de muestreo Fs = 75 Hz, tenemos

F=fFs=75f

La frecueocia de la sinusoide del apartado (c) es f = j. Por tanto,

F=25Hz

Evidentemente, la sefial sinusoidal

Ya(t) = 3cos2nFt= 3cos50m

muestreada a F, = 75 muestras/s proporcionara muestras identicas. Por tanto, F = 50 Hz es un alias de F = 25 Hzpara la frecuencia de muestreo Fs = 75 Hz.

1.4.2 Teorema de muestreo

D da cualquier sefial anal6gica, "c6mo podemos seleccionar el perfodo de muestreo T 0, 10 que es equivalente, lauencia de muestreo Fs? Para responder a esta pregunta, tenemos que disponer de alguna informaci6n sobre lasteristicas de la sefial que se va a muestrear. En concreto, necesitamos conocer informaci6n general acerca del

ntenido en frecuencia de la sefial, Normalmente, dicha informaci6n estara disponible. Por ejemplo, sabemos-: e la principales componentes de frecuencia de una sefial de voz se encuentran por debajo de los 3000 Hz.

r otro lado, las sefiales de televisi6n, generalmente, contienen componentes de frecuencia importantes hasta~ ~ MHz. La informaci6n contenida en tales sefiales se encuentra en las amplitudes, frecuencias y fases de- diversas componentes de frecuencia, pero la informaci6n detallada de las caracteristicas de dichas sefiales

- e tara disponible para nosotros antes de obtener las seiiales. De hecho, el prop6sito del procesamiento deefiale es extraer dicha informaci6n detallada. Sin embargo, si conocemos la frecuencia maxima de la clase=eneral de las seiiales (por ejemplo, la clase de las sefiales de video, etc.), podremos especificar la frecuencia

muestreo necesaria para convertir las sefiales anal6gicas en sefiales digitales.Supongamos que cualquier sefial anal6gica puede representarse como una suma de sinusoides de diferentes

plitudes, frecuencias y fases, es decir,

N

xa(t) = LA;cos(2nF;t+8i);=1

(1.4.18)

de indica el rnimero de componentes de frecuencia. Todas las seiiales, tales como las de voz y video,~ pre tan a dicha representaci6n en cualquier intervalo de tiempo pequefio. Normalmente, las amplitudes,

encias y fases varian lentamente con el tiempo de un intervalo a otro. Sin embargo, supongamos que

r; > 2Fmax (1.4.19


las frecuencias no exceden una determinada frecuencia conocida, que podemos denominar Fmax. Por ejemplo.Frnax = 3000 Hz para las sefiales de voz YFmax = 5 MHz para las sefiales de televisi6n. Dado que la frecuenciamaxima puede variar ligeramente dentro de la misma clase de sefiales (por ejemplo, la sefial de voz de dosoradores diferentes), podemos querer asegurarnos de que F;nax no excedera un valor predeterminado al pasar lasefial anal6gica a traves de un filtro que aternie de forma importante las componentes de frecuencia por encimade Fmax. De este modo, podemos estar seguros de que ninguna sefial de dicha clase contendra componentes defrecuencia (que tengan una potencia 0 amplitud significativa) por encima de F.nax. En la practica, dicho procesode filtrado suele realizarse antes deLmuestreo.

Conocida Fmax, podemos seleccionar la apropiada frecuencia de muestreo. Sabemos que la frecuenciamas alta de una sefial ana16gica que puede reconstruirse sin ambiguedades cuando se muestrea la sefial auna frecuencia F.~= l/T es Fs/2. Cual

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Capitulo 1 - Tratamiento Digital de Señales