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Capıtulo 1: Numeros y funciones
(Fundamentos Matematicos de la Biotecnologıa)
Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia
Capıtulo 1: Numeros y funciones
ContenidosNumeros
Primeras clases de numerosNumeros realesOperaciones con numeros realesEcuaciones e inecuacionesSistemas de ecuaciones
FuncionesDefiniciones basicasOperaciones con funcionesGrafica de una funcion
Funciones mas relevantesFunciones linealesFunciones potencialesFunciones polinomicasFunciones exponencialesFunciones logarıtmicasFunciones periodicasFunciones trigonometricas
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Primeras clases de numeros
Primeras clases de numeros
N = Numeros naturales (de natural): Los utilizamos para contar.
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
Z = Numeros enteros (de Zahlen): Sirven para contar en ((direccionesopuestas)) a partir de un nuevo numero: el ((cero 0)).
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Q = Numeros racionales (de quotient): Son los que resultan de dividir unnumero entero m por otro n, es decir, m/n.
Q =
{. . . ,−13
2,−10
3,−7
4, 0,
1
2,2
3,5
6, . . .
}.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
Numeros irracionalesLa expresion decimal de un numero racional tiene:
un numero finito de cifras decimales (0, 6231), o
un numero infinito de decimales y es periodico (2, 01010101 . . . ).
I = Numeros irracionales (de irrational): Tienen infinitas cifras decimalesy estas no siguen ningun patron. Por ejemplo:
π = 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 . . . ((numero pi))
e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 . . . ((numero e))
√2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 . . .
R = Numeros reales (de real): Son el conjunto formado por los numerosracionales y los irracionales, y completan todos los huecos de larecta real: R = Q ∪ I
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
El orden de los numeros reales
Existe una relacion de orden < (que se lee ((menor que))) tal que dadosdos numeros reales x e y (distintos), se cumple
x < y o y < x .
Signo de un numero x : positivo si 0 < x ; negativo si x < 0.
El orden en N:
1 < 2 < 3 < 4 < · · · < 200 < · · · < 106 < · · ·
El orden en Z:
· · · < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < · · ·
El orden en R:Dos numeros reales se ordenan comparando su expresion decimal.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
Otras relaciones de orden
> (((mayor que)))
x > y si se cumple que y < x .
≤ (((menor o igual que)))
x ≤ y si se cumple que
x = yo
x < y
≥ (((mayor o igual que)))
x ≥ y si se cumple que
x = yo
x > y
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
La recta real
Los numeros reales se representan en una recta, en la cual se fija unpunto 0, llamado origen, una unidad de longitud y un sentido positivo:
Los numeros positivos (x > 0) se colocan a la derecha del origen, y losnegativos (x < 0) a la izquierda:
Resultado muy importante: A cada numero real le corresponde un unicopunto en la recta y viceversa. La recta se denomina recta real y es unarepresentacion geometrica de R.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
Subconjuntos especiales: los intervalos finitos
abiertos: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
cerrados: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
semiabiertos (o semicerrados):
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
Subconjuntos especiales: los intervalos infinitos
(a,+∞) = {x ∈ R : x > a}
[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Numeros reales
Propiedades de los numeros reales
La suma y la multiplicacion de numeros reales poseen las siguientespropiedades:
Propiedad Suma Multiplicacion
Conmutativa x + y = y + x xy = yx
Asociativa (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz)
Elemento neutro x + 0 = x x1 = x
Elemento inverso x + (−x) = 0 xx−1 = 1
Propiedad distributiva x(y + z) = xy + xz
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Operaciones con numeros reales
Operaciones especiales con numeros reales (I)
La potenciaSi n es un numero natural, se define la potencia n-esima de x ∈ R como
xn = x · (n). . . · x .
Propiedades:
(xn)m = xn·m,
xn · xm = xn+m,
(xy)n = xnyn,
pero (x + y)n = xn + yn
x0 = 1 y x−n =1
xn.
X
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Operaciones con numeros reales
Operaciones especiales con numeros reales (II)
La raızSi n es un numero natural, se define la raız n-esima de x como
n√
x = y siempre que yn = x .
Propiedades:
Si n es par, entonces debe ser x ≥ 0.
Potencias racionales: xmn = n
√xm.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Operaciones con numeros reales
Operaciones especiales con numeros reales (III)
Se define el valor absoluto de un numero x como
|x | ={
x si x ≥ 0−x si x < 0
Propiedades basicas del valor absoluto:
1 |x | = 0 ⇐⇒ x = 0.
2
√x2 = |x |.
3 |x | = | − x |.4 |xy | = |x | |y |.
5 |xn| = |x |n.6
∣∣∣ xy
∣∣∣ = |x||y | .
7 |x + y | ≤ |x |+ |y |.8 |x − y | ≥ |x | − |y |.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Ecuaciones e inecuaciones
Ecuaciones: definicion y ejemplosLas ecuaciones son igualdades algebraicas construidas con numeros(naturales, enteros, racionales, reales) y una variable desconocida,denominada incognita y representada por una letra (generalmente x ,aunque tambien valdrıa y , z ,. . . ).Los valores de la incognita que hacen cierta la igualdad se denominansoluciones de la ecuacion.
Ecuacion Solucion en. . .
x − 1 = 0 Nx + 1 = 0 Z2x + 1 = 0 Qx2 − 2 = 0 Rx2 + 1 = 0 C
C = Numeros complejos (de complex):
C = {a + bi : a, b ∈ R}
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Ecuaciones e inecuaciones
Inecuaciones: definicion y ejemplos
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas construidas connumeros (naturales, enteros, racionales, reales) y una variabledesconocida, denominada incognita.Si existen valores de la incognita que hacen cierta la desigualdad, estos sedenominan conjunto solucion de la inecuacion.
Algunos ejemplos
3x − 8 ≥ 0
2x − 1 ≤ 3x + 2
5x + 1 ≤ 2x − 1 < 3x + 5
|x − 1| < 2
|2x + 3| ≥ 7
|x − 1| < |2x + 3|
2x + 1
3x − 2≥ 0
4x − 3
5x − 9< 0
x2 + 2x + 2 > 0
2x2 + x − 6 ≥ 0
5x2 − 4x + 5 ≥ 4x2 − 2x + 9
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Numeros
Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es una serie de igualdades en las que aparecendos o mas variables desconocidas, denominadas incognitas.Si existen valores de las incognitas que hacen ciertas todas las ecuacionesa la vez, estos se denominan soluciones del sistema.
Por ejemplo: {x + y = 12x − y = 2
Ecuaciones y sistemas pueden relacionar funciones de cualquier tipo:{3x + 2y = 64log x − log y = 1
sen 3x − sen x = cos 2x .
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Definiciones basicas
Definicion de funcion
¿Que es una funcion?
Sean A y B dos conjuntos (formados por numeros o no). Una funcionf : A −→ B
es una ((regla)) que a cada elemento a ∈ A le asigna un unico elementob ∈ B (su imagen). Esto se suele escribir como
f (a) = b
Ejemplos
1 A ={alumnos}, B = R y f (alumno) = su altura.
2 A ={planetas}, B = R y f (planeta) = su diametro.
3 A ={alumnos}, B ={colores} y f (alumno) = su color favorito.
4 A = N, B = R y f (n) =√
n.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Definiciones basicas
Conceptos basicos
f : A −→ B, f (a) = b
El conjunto A en el cual esta definida la funcion se denominadominio de la funcion, y se denota por dom(f ).
a = variable independiente (es variable porque puede tomarcualquier valor en A y es independiente porque su valor no dependede nada externo)
b = variable dependiente (es variable porque en principio puedetomar cualquier valor dentro de B y es dependiente porque su valorconcreto esta ((en funcion)) de a).
Dependiendo de los valores que toma la funcion (es decir, de comosea B), se distinguen entre funciones (llamadas, a veces, variables)cuantitativas (peso, altura, edad...) y cualitativas (color, sexo...).
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Definiciones basicas
Funciones reales de variable real
A lo largo del curso, las funciones con las que habitualmentetrabajaremos seran las dadas por
f : R −→ R.
Escribiremos normalmente f (x) = y o y = f (x) para designar que x e yson numeros reales, siendo y la variable dependiente mientras que x es laindependiente.
¡Nota muy importante!
Las letras son irrelevantes, solo importa la funcion. Por ejemplo, lafuncion f (x) = 1/
√x es la misma que g(t) = 1/
√t, aunque las letras
sean distintas.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Operaciones con funciones
Operaciones basicas con funciones
Nombre Operacion Dominio
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) dom(f ) ∩ dom(g)
Resta (f − g)(x) = f (x)− g(x) dom(f ) ∩ dom(g)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x) dom(f ) ∩ dom(g)
Divisionf
g(x) =
f (x)
g(x)dom(f ) ∩ {x ∈ dom(g) : g(x) 6= 0}
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Operaciones con funciones
Composicion de funciones
La composicion
Dadas dos funciones f , g : R −→ R, su composicion es la funcion f ◦ gdefinida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x)
).
El dominio de la composicion es
dom(f ◦ g) ={
x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f )}
.
Es facil ver que, en general, la composicion no es conmutativa, esdecir:
f ◦ g 6= g ◦ f .
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Operaciones con funciones
Funcion inversa o recıproca
La funcion identidad se define como
f (x) = x .
La representaremos por Id.
La funcion inversa o recıproca
Si f es una funcion, decimos que g es la funcion inversa o recıproca de fcuando f ◦ g = Id y g ◦ f = Id, es decir:
f(g(x)
)= x y g
(f (x)
)= x
para todo x en los correspondientes dominios. Se denota por f −1.
Ejemplos
1 La funcion inversa de f (x) = x + 2 es g(x) = x − 2.
2 La funcion inversa de f (x) = 3x es g(x) = x/3.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones
Grafica de una funcion
Grafica o grafo de una funcion
La grafica o grafo de una funcion f : R → R, cuyo dominio es el conjuntoA ⊂ R, es el subconjunto del plano R2 definido por
Gr(f ) ={(
x , f (x))∈ R2 : x ∈ A
}.
Sı Sı No
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones lineales
La funcion lineal
Las funciones mas sencillas son las que estan dadas por
f (x) = ax ,
donde a es un numero constante.
Esto significa que y es proporcional a x .
Su grafica es siempre una recta.
a representa la velocidad de crecimiento y es la pendiente de la recta.
a = 0, pendiente nula y rectahorizontal
a > 0, pendiente positiva yproporcionalidad directa
a < 0, pendiente negativa yproporcionalidad inversa
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones lineales
La funcion lineal general
Es la funcion dada por f (x) = ax + b, donde a y b son constantes.De nuevo a es la pendiente, mientras que ahora b es simplemente unatraslacion vertical (se llama la ordenada en el origen).
Observacion: Ahora y no es proporcional a x .
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
y = −xy = 1− xy = (1/2)x + 1
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones potenciales
La funcion potencial
Una funcion se llama potencial si es de la forma
f (x) = axn,
donde a y n son constantes. El valor n es el exponente.
Este tipo de funciones sı aparecen en las llamadas relacionesalometricas que determinan el tamano de los organismos enrelacion al tamano de alguna de sus partes (el numero n sedenomina constante alometrica).
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones potenciales
Representacion grafica de funciones potenciales
-1 -0.5 0.5 1
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
y = −2x2 y = 8x3 y = 5x4
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones polinomicas
Los polinomios
Una funcion polinomica o polinomio es una suma de funcionespotenciales:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx
n.
Los numeros a0, . . . , an son los coeficientes del polinomio. El terminoque no lleva variable (a0) se llama termino independiente.
Se denominan raıces a las soluciones de la ecuaciona0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn = 0.
Calcular las raıces de un polinomio es, en general, imposible. Cuandolos coeficientes son numeros enteros, las raıces racionales son de laforma r/m, donde r y m son divisores enteros de a0 y an,respectivamente. La regla de Ruffini permite obtener, segun sea elpolinomio, nuevas raıces.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones exponenciales
La funcion exponencialLa funcion exponencial de base b es
f (x) = abx ,
donde a y b son constantes.
La funcion exponencial es similar a la funcion potencial, con ladiferencia que la variable independiente x es el exponente de lapotencia, en lugar de ser la base.
Observese que a = f (0).
Ejemplo
La funcion que explica el crecimiento de N0 celulas en condiciones idealesviene dada por una funcion exponencial de base 2:
N(t) = N0 2t ,
donde t es la variable tiempo expresada en las unidades adecuadas.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones exponenciales
Representacion grafica de funciones exponenciales
-3 -2 -1 1 2
-4
-2
2
4
6
y = ex
y = −ex
y = (0, 7)x
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones exponenciales
Funcion exponencial y tasa de crecimientoLa tasa de crecimiento T (t) (en%) de una funcion f (t) esta dada por
T (t) =f (t + 1)− f (t)
f (t)× 100.
Si f (t) = abt , la tasa de crecimiento es T = (b − 1)× 100 constante.
Interpretacion de la tasa de crecimiento (si a > 0)
1 Si b > 1, entonces T > 0 =⇒ f es creciente.2 Si b = 1, entonces T = 0 =⇒ f es constante.3 Si b < 1, entonces T < 0 =⇒ f es decreciente.
La funcion f en terminos de la tasa TSi f (t) es una funcion con tasa de crecimiento constante T , entonces
f (t) = f (0)
(1 +
T
100
)t
.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones exponenciales
La funcion exponencial estandarEntre todas las funciones exponenciales destaca la de base b = e,
f (x) = ex = exp(x),
que se llama, simplemente, la funcion exponencial.
Propiedades de la funcion exponencial
-3 -2 -1 1 2 3
5
10
15
20
e0 = 1.
e1 = e.
ex+y = exey .
ex−y =ex
ey.
e−x =1
ex.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones logarıtmicas
La funcion logaritmo
La funcion logaritmo de base b, que denotaremos por logb, es la funcioninversa de la funcion exponencial de base b (con a = 1). Por tanto:
logb(bx) = x = blogb x .
Es decir, logb x es el numero al que debemos elevar b para obtener x .
Casos especiales
Entre todas las bases destacan dos:
1 b = 10. Se denomina logaritmo decimal y se denota por log x .
2 b = e. Se denomina logaritmo neperiano y se denota por ln x .
3 b = 2. Se denomina logaritmo binario.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones logarıtmicas
Propiedades basicas de la funcion logaritmo
1 2 3 4
-10
-8
-6
-4
-2
2logb b = 1.
logb 1 = 0.
logb(xy) = logb x + logb y .
logb
(xy
)= logb x − logb y .
logb(xy ) = y logb x .
logb(y√
x) =logb x
y.
logb x logx b = 1.
logb x logk b = logk x(cambio de base)
y= log2 x
y= ln x
y= log x
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones periodicas
Funciones periodicas
Una funcion f : R → R es periodica si se ((repite)) cada cierto perıodo detiempo T > 0. Mas formalmente, si cumple
f (x + T ) = f (x), para todo x .
En la Naturaleza uno puede encontrar muchos ejemplos de situacionesperiodicas:
los ritmos de las estaciones,
las orbitas de los planetas,
el latido del corazon,
las fases de la luna, etc.
Las funciones periodicas por excelencia en Matematicas son lastrigonometricas: seno, coseno y tangente.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones trigonometricas
Definicion de las funciones trigonometricas
Las funciones trigonometricas elementales pueden definirse utilizando untriangulo rectangulo.
senα =cateto opuesto
hipotenusa=
a
h.
cos α =cateto contiguo
hipotenusa=
b
h.
tg α =senα
cos α=
cateto opuesto
cateto contiguo=
a
b.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones trigonometricas
Definicion de las funciones trigonometricas
Las funciones trigonometricas elementales en un cırculo:
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones trigonometricas
Grafica de las funciones trigonometricas elementales
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones trigonometricas
Funciones inversas de las funciones trigonometricas
Las funciones inversas:arc sen α: Arcoseno (funcion inversa del seno), arc sen(sen α) = α.
arc cos α: Arcocoseno (funcion inversa del coseno), arc cos(cos α) = α.
arc tg α: Arcotangente (funcion inversa de la tangente), arc tg(tg α)=α.
((El inverso de)) las funciones trigonometricas:
cosec α: Cosecante (el inverso del seno), cosec α =1
senα.
sec α: Secante (el inverso del coseno), sec α =1
cos α.
cotg α: Cotangente (el inverso de la tangente), cotg α =1
tg α.
Capıtulo 1: Numeros y funciones
Funciones mas relevantes
Funciones trigonometricas
Identidades trigonometricas basicas
Identidad trigonometrica fundamental:
sen2 α + cos2 α = 1
1 sen(α + 2π) = senα
2 cos(α + 2π) = cos α
3 sen(−α) = − senα
4 cos(−α) = cos α
5 tg(−α) = − tg α
6 sen(α + π) = − senα
7 cos(α + π) = − cos α
8 tg(α + π) = tg α
9 sen(α2 ) = ±
√1−cos α
2
10 cos(α2 ) = ±
√1+cos α
2
11 sen(2α) = 2 sen α cos α
12 cos(2α) = cos2 α− sen2 α
13 sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ
14 cos(α± β) = cosα cos β ∓ senα senβ
15 tg(α± β) = tg α±tg β1∓tg α tg β