Funciones de dos variables - Universidad de Murciawebs.um.es/mhcifre/apuntes/Capitulo2_2.pdf · Cap´ıtulo 2: C´alculo diferencial de una y varias variables Funciones de varias

Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables

Funciones de varias variables

Funciones escalares de dos variables

Funcion de dos variables

Funciones de dos variablesUna funcion de dos variables F : R2 −→ R es una regla que asigna acada punto (x , y) ∈ R2 un numero real z = F (x , y) ∈ R.

El dominio de F es el subconjunto dom(F ) ⊂ R2 en el cual se puededefinir la funcion.

El rango o imagen de F es el conjunto Im(F ) ⊂ R de valores quetoma z .

x e y se llaman variables independientes, y z es la variabledependiente.

El conjunto Gr(F ) ={(x , y , z) ∈ R3 : z = F (x , y)

}se denomina la

grafica o el grafo de F y es una superficie de R3.

Todo lo anterior se define de igual manera para 3 o mas variables.





Ejemplos:

Si F (x , y) =√

y − x2, entonces:

dom(F )={(x , y) ∈ R2 : y ≥ x2

}.

Im(F ) = {z ∈ R : z ≥ 0}.Si F (x , y) = x2 + y2, entonces:

dom(F ) = R2.

Im(F ) = {z ∈ R : z ≥ 0}.El grafo Gr(F ) es la superficie quese muestra en la figura.





Funciones de una variable asociadasDada F : R2 −→ R, F (x , y) = z , obtenemos dos familias de funcionesasociadas:

una en la variable y fijando la variable x = c , y 7→ F (c , y),

y otra en la variable x fijando la variable y = d , x 7→ F (x , d).

¡Esta es la idea clave para derivare integrar funciones de varias va-riables!



Lımites y continuidad de funciones de dos variables

Lımite y continuidad

Las ideas de ((lımite)) y ((continuidad)) son identicas al caso de unafuncion de una variable:

Definicion (intuitiva) de lımite

Sea F : R2 −→ R y sea (a, b) ∈ R2. Decimos que el lımite de F (x , y),cuando (x , y) tiende a (a, b), es L, si F (x , y) se aproxima a L a medidaque el par (x , y) se acerca a (a, b). Escribiremos

L = lım(x,y)→(a,b)

F (x , y).

Una funcion F : R2 −→ R es continua en (a, b) cuando se satisfacen lastres siguientes condiciones:

1 Existe F (a, b).

2 Existe lım(x,y)→(a,b) F (x , y).

3 F (a, b) = lım(x,y)→(a,b) F (x , y).



Lımites y continuidad de funciones de dos variables

Lımite y continuidad

Pero ahora, la situacion es mucho mas compleja, porque, ¿que significaque (((x , y) se acerca a (a, b))) ?

Lımites iterados:

lımy→b

(lımx→a

F (x , y))

y lımx→a

(lımy→b

F (x , y)).

Si el lımite depende de la curva,entonces no existe.



Las derivadas parciales

Derivadas parciales de 1er orden

Dada una funcion z = F (x , y), llamamos derivada parcial de Frespecto a x a la derivada de la funcion x 7→ F (x , y), es decir,suponemos y constante y derivamos respecto a x .

Se representa como: Fx o∂F

∂x.

Analogamente, llamamos derivada parcial de F respecto a y a laderivada de la funcion y 7→ F (x , y).

Se representa como Fy o∂F

∂y.




El plano tangente a una superficie

z − F (a, b) = Fx(a, b)(x − a) + Fy (a, b)(y − b)

Ejemplo:

F (x , y) = x2 + y2

La ecuacion del plano tangente a lasuperficie que determina en el punto(1, 1, 2) viene dada por

z − 2 = Fx(1, 1)(x − 1) + Fy (1, 1)(y − 1).

Esto es:

z = 2x + 2y − 2.




El cambio a coordenadas polares

Las coordenadas polares de un punto P = (x , y), son el modulo y elangulo del vector que dicho punto determina.

Luego el cambio a coordenadas polares es:{x = r cos ϕ,y = r senϕ.

Dada una funcion z = F (x , y), su expresion en coordenadas polareses la funcion compuesta F (r cos ϕ, r senϕ).

En muchos casos, los problemas se simplifican cuando se trabaja concoordenadas polares.



Gradiente y derivada direccional


GradienteDada una funcion F (x , y), con derivadas parciales Fx y Fy definidas enun punto P = (a, b), el gradiente de F en P es el vector

∇F (P) = gradF (P) = (Fx ,Fy )(a, b).

Derivada direccionalDado un vector ~u, la derivada de F en P en la direccion de ~u es el valor

(D~uF )(P) =⟨∇F (P), ~u

⟩.

El gradiente ∇F es la direccion en la que F crece mas rapidamente.

La derivada direccional nos dice como varıa F en la direccion ~u.

Si ~u es perpendicular al gradiente, entonces, a lo largo de ~u, lafuncion F se mantiene constante.




Ejemplos: calculo de gradiente y derivada direccional1 F (x , y) = x3 − xy2, P = (1, 1) y ~u = (2,−3). Entonces

(∇F )(1, 1) = (2,−2) y (D~uF )(P) =⟨(∇F )(P), ~u

⟩= 10.

2 Estimar la variacion de la funcion F (x , y) = xey + y cuando nosmovemos, en lınea recta, desde el punto A = (2, 0) al B = (4, 1),una distancia de 1/

√20 ≈ 0,22 unidades.

En este caso, el vector director de la recta es ~AB = (2, 1), y el

vector ~u con modulo 1/√

20 en la direccion de ~AB viene dado por

~u =1

10(2, 1).

Ası, el gradiente de F en A es

(∇F )(2, 0) = (1, 3),

y la derivada direccional es

(D~uF )(2, 0) =1

2= 0, 5.




Derivadas parciales segundasUna derivada parcial segunda (o de orden 2) de una funcion z = F (x , y)es la funcion obtenida al realizar la derivada parcial dos vecesconsecutivas, con respecto a cualquiera de las variables:

∂

∂x

(∂F

∂x

),

∂

∂x

(∂F

∂y

)=

∂

∂y

(∂F

∂x

),

∂

∂y

(∂F

∂y

).

Se representan: Fxx o∂2F

∂x2; Fxy o

∂2F

∂x∂y; Fyy o

∂2F

∂y2.

Ejemplo. Si F (x , y) = y cos(xy), las posibles derivadas segundas son:

Fx = −y2 sen(xy),

Fxx = −y3 cos(xy),

Fy = cos(xy)− xy sen(xy),

Fyy = −2x sen(xy)− x2y cos(xy)l

Fxy = Fyx = −2y sen(xy)− xy2 cos(xy).

Analogamente pueden definirse las derivadas parciales de orden 3 y, engeneral, de orden m, para cualquier m ∈ N.



Extremos de funciones de dos variables

Extremos relativos de funciones de dos variables

En R, un entorno de un punto es un intervalo.Ejemplo: (−r , r) = entorno de 0.

En R2, un entorno de un punto es un disco (cırculo):

B(P, r) = bola de centro P = (a, b) y radior > 0

={(x , y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < r2

}.

Extremos relativosSea F : A ⊂ R2 −→ R y sea P = (a, b) ∈ A. Si F (a, b) ≥ F (x , y)(respectivamente, F (a, b) ≤ F (x , y)) en un entorno de P –es decir, paratodo punto (x , y) ∈ B(P, r), entonces F alcanza en P un maximorelativo (un mınimo relativo).




Extremos y derivadas parciales

Un punto (a, b) es estacionario si

∇F (a, b) = 0, es decir, Fx(a, b) = 0 y Fy (a, b) = 0.

Sea F (x , y) una funcion con derivadas parciales segundas Fxx , Fxy ,Fyy continuas en un punto estacionario (a, b). Sea

∆ =

∣∣∣∣∣ Fxx(a, b) Fxy (a, b)

Fxy (a, b) Fyy (a, b)

∣∣∣∣∣ = Fxx(a, b)Fyy (a, b)− Fxy (a, b)2.

Condicion para la existencia de extremos

1 Si ∆ > 0 y Fxx(a, b) > 0, =⇒ F tiene un mınimo relativo en (a, b).

2 Si ∆ > 0 y Fxx(a, b) < 0, =⇒ F tiene un maximo relativo en (a, b).

3 Si ∆ < 0, entonces F tiene un punto de silla en (a, b).




Extremos y derivadas parciales

Sea F (x , y) =√

x2 + y2 + 1. Entonces

Fx =x√

x2 + y2 + 1−→ Fx(0, 0) = 0,

Fy =y√

x2 + y2 + 1−→ Fy (0, 0) = 0. -2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

1

1.5

2

2.5

3

-2

-1

0

1

2

Ademas,

Fxx =y2 + 1

(x2 + y2 + 1)3/2, Fxy =

−xy

(x2 + y2 + 1)3/2, Fyy =

x2 + 1

(x2 + y2 + 1)3/2.

Luego Fxx(0, 0) = Fyy (0, 0) = 1, Fxy (0, 0) = 0, y ∆ = 1 > 0.

=⇒ F tiene un mınimo en el (0, 0).

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