Upload
zaraki88
View
246
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
1
1. Comportamentul agentului consumator- modelul static - Recapitulare succintă a conceptelor teoretice. Aplicaţii -
Ipotezele modelului static sunt :
Pe piaţă există un consumator şi n bunuri Consumatorul nu poate influenţa preţurile bunurilor vândute şi nici venitul obţinut
(preţurile şi venitul sunt exogene) Optimizarea se face pe un singur orizont de timp (o singură perioadă) Agentul consumator are obiective bine stabilite:
maximizare utilităţii în condiţiile unui venit dat sau minimizarea cheltuielilor în condiţiile unui prag de utilitate prestabilit ce
determină un anumit program (o anumită structură) de consum Agentul consumator este raţional Agentul consumator este solvabil Bunurile ce fac obiectul alegerii sunt infinit divizibile
Relaţia dintre cantităţile de bunuri consumate şi utilitatea obţinută de consumator este dată de o anumită funcţie de utilitate. Funcţia de utilitate este definită astfel:
ℜ→ℜ+nU : , ),,,( 21 nqqqUU K= , unde iq reprezintă cantitatea consumată din bunul i.
Proprietăţile funcţiilor de utilitate:
1. Continue1, crescătoare – utilitatea creşte pe măsură ce consumul creşte2 2. Derivabile de ordinul 2 3. Funcţii concave (Matricea hessiană este negativ definită) – fiecare unitate
consumată dintr-un anumit bun aduce o utilitate marginală mai mică decât unitatea precedentă
2 2 2
1 1 1 2 111 12 12 2 2
21 22 22 1 2 2 2
1 22 2 2
1 2
........
.... ........ .... .... ....
.... .... .... ........
....
nn
nn
n n nn
n n n n
U U Uq q q q q q
U U UU U U U U U
H q q q q q q
U U UU U U
q q q q q q
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎟
Pentru ca matricea hessiană să fie negativ definită minorii trebuie să fie alternativ negativi şi pozitivi:
1 Deoarece bunurile consumate sunt infinit divizibile, utilitatea poate fi considerată o funcţie continuă în cantităţile consumate 2 În ipoteza în care agentul este raţional, el nu mai consumă un bun dacă acesta nu-i aduce o utilitate pozitivă
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
2
( )11 1
1
...1 ... ... ... 0
...
ii
i ii
U U
U U− >×
1.1. Rezolvarea problemei de optim pe caz general Problema consumatorului: Consumatorul doreşte i) să îşi maximizeze utilitatea generată de consumarea setului de bunuri ),,,( 21 nqqq K , fără a depăşi însă venitul pe care îl are la dispoziţie V. Rezultatul rezolvării problemei consumatorului: consumatorul determină ce cantitate să consume din fiecare bun de pe piaţă (adică determină funcţia sa de cerere pentru fiecare bun în parte) şi utilitatea maximă pe care o poate obţine. A. Formularea matematică a problemei: Problema consumatorului este o problemă de optimizare cu o restricţie care se rezolvă prin metoda Kuhn-Tucker. Prima etapă a acestei metode este construirea funcţiei de tip Lagrange. B. Construirea Lagrangeanului: asigură transformarea problemei de maximizare cu o restricţie ce avea n parametrii într-o problemă de maximizare fără restricţii dar cu n+1 parametrii.
( ) ( )1
1 2 , , ,ceea ce dorim sa optimizam restrictia
, ,....., maxn
n i i q qL U q q q p q V L
λλ= − × − ⇒∑
K1442443 1442443
După construirea Lagrangeanului, condiţiile de optim se obţin prin egalarea primei derivate a acesteia cu 03:
3 Punctele în care prima derivată a unei funcţii se anulează sunt puncte critice. Dacă a doua derivată a funcţiei calculată în punctul critic e pozitivă, punctul e un punct de minim; dacă a doua derivată e zero, este punct de inflexiune, iar dacă a doua derivată este negativă, punctul e punct de maxim.
( )1, ,
1 2max , ,.....,n
nq q
i i
U q q q
p q V
⎧⎪⎨
× ≤⎪⎩ ∑K
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
3
111
222 1 2
1 2
0 0
0 0
.... (1).... ....0 0
0 (2)0
n
n
nnn
i i
L U pq qL U UU Upq q qq q
p p pL U pq qL p q V
λ
λ
λ
λ
λ
∂⎧ ∂⎧=⎪ − =∂ ⎪ ∂⎪ ⎪∂⎪ ∂⎪= ∂∂ ∂⎪ − =∂ ⎪⎪ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪⇒ ⇒ = = = =⎨ ⎨⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ∂= − =∂⎪ ⎪ ∂⎪ ⎪∂⎪ ⎪ × − == ⎩⎪ ∂⎩
∑
Folosind egalitatea (1), se substituie toate cantităţile q2, …, qn în funcţie de q1 în relaţia (2). Din relaţia (2) se obţine o formulă pentru q1 în funcţie de preţuri şi de venit. Având relaţia pentru q1 se foloseşte din nou egalitatea (1) pentru a obţine formule pentru toate cantităţile:
( )( )
( )
*1 1 1 2
*2 2 1 2
*1 2
, ,..., ,
, ,..., ,..., ,..., ,
n
n
n n n
q f p p p V
q f p p p V
q f p p p V
⎧ =⎪
=⎪⎨⎪⎪ =⎩
Aceste funcţii de cerere sunt de tip Marshall, sau funcţii de cerere necompensate. Înlocuind aceste cantităţile optime obţinute mai sus în funcţia de utilitate vom determina utilitatea maximă pe care o poate obţine consumatorul în condiţiile venitului curent pe care îl obţine şi în condiţiile preţurilor actuale de pe piaţă. ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
* * *1 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
, ,.....,
, ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., , , ,..., ,
n
n n n n n
U q q q
U f p p p V f p p p V f p p p V Z p p p V
=
= =
Această utilitate maximă ce se poate obţine se numeşte şi funcţie de utilitate indirectă şi se notează cu Z. Proprietăţile funcţiei de utilitate indirectă - Z
1. este o funcţie descrescătoare în raport cu p este o funcţie crescătoare în raport cu V
2. este o funcţie omogenă de grad 0 în raport cu p şi V 3. este o funcţie continuă
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
4
1.2. Concepte şi definiţii uzuale a. Elasticitatea unei funcţii faţă de o variabilă Mod de calcul:
/ :i j
i if x
j j
f fEx xΔ
=Δ
. Pentru modificări foarte mici ale variabilei, adică 0jxΔ → , raportul
i
j
fxΔΔ
poate fi aproximat cu derivara funcţiei if faţă de variabila ix adică elasticitatea
devine egală cu: ( ) ( )1 2 1 2
/
, ,..., ,..., , ,..., ,...,:
i j
i j n i j nf x
j j
f x x x x f x x x xE
x x∂
=∂
(3)
Elasticitatea măsoară variaţia relativă a funcţiei f la o variaţie relativă a variabilei x. Considerând că f o funcţie de cerere, există mai multe tipuri de elasticităţi : Elasticitatea cererii faţă de preţ – directă
( ) ( ), 1 1,/E f pi i∈ −∞ − +∞U Bunuri cu cerere elastică (elasticitatea negativă – bunuri
normale; pozitivă – bunuri Giffen) }{ 1,1/E f pi i
∈ − Bunuri cu elasticitate unitară
( )1,1/E f pi i∈ − Bunuri cu cerere inelastică
Elasticitatea cererii faţă de preţ – încrucişată Bunuri substituibile Bunuri complementare Elasticitatea cererii faţă de venit Bunuri inferioare Bunuri normale Bunuri superioare
00
00
//
//
<<
>>
ijji
ijji
pfpf
pfpf
EsiE
EsiE
( )( )
( )+∞∈
∈
∞−∈
,1
1,0
0,
/
/
/
Vf
Vf
Vf
i
i
i
E
E
E
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
5
b. Rata marginală de substituţie
j
i
i
jji
qUqU
dqdq
RMS
∂∂∂∂
−==/ (4)
Rata marginală de substituţie reprezintă cantitatea din bunul i necesară substituirii unei unităţi din bunul j astfel încât utilitatea să rămână constantă. Demonstraţie pentru formula (4) - Aplicând diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate obţinem :
( )1 2 11
, ,..., ... ... ...n i j ni j n
U U U UdU q q q dq dq dq dqq q q q∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂
Deoarece doar cantităţile i şi j se modifică, avem :
0 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 j ii j
i j i
j
Udq qU Udq dq Uq q dq
q
∂∂∂ ∂
+ + + + + + + + + = ⇒ = −∂∂ ∂∂
c. Funcţii omogene de grad n O funcţie este omogenă de grad n dacă : ( ) ( )1 2 1 2, ,...., , , ,...., ,n
n nf ap ap ap aV a f p p p V= Dacă este omogenă de grad n, se verifică următoarea relaţie :
( )1 2 1 21 2
... , ,...., ,n nn
f f f fp p p V nf p p p Vp p p V∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂
(relaţia lui Euler)
Împărţind întreaga relaţie cu f obţinem :
1 2
1 2/ / / /
1 2
... ... (5)n
nf p f p f p f V
n
ff f fpp p V n E E E E nf f f f
p p p V
∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂+ + + + = ⇒ + + + + =
Funcţiile de cerere sunt omogene de gradul 0 în p şi V (unde p este vectorul preţurilor: p = (p1, p2, …, pn). Ca urmare, relaţia (5) se rescrie ca:
0... //// 21=++++ Vfpfpfpf EEEE
n. Dacă preţurile şi veniturile se modifică
în aceeaşi măsură, programul de consum rămâne neschimbat, ceea ce înseamnă că agenţii consumatori nu au iluzie monetară.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
6
d. Semnificaţia economică a lui λ Aplicând diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate dar şi asupra restricţiei de buget obţinem :
( )1 2 1 21 2
, ,..., ...n nn
U U UdU q q q dq dq dqq q q∂ ∂ ∂
= + + +∂ ∂ ∂
(6)
i ip dq dV× =∑ (7) Se folosesc rezultatele derivării Lagrangeanului
11
22
...
nn
U pqU pq
U pq
λ
λ
λ
∂⎧ =⎪∂⎪∂⎪
=⎪∂⎨⎪⎪∂⎪ =⎪∂⎩
care se introduc în (3). Se observă că, în urma substituţiei, diferenţiala totală a funcţiei de utilitate egalează dV – din (4) – iar relaţia (3) se poate rescrie astfel:
(8)
⇒ λ reprezintă utilitatea marginală a venitului (creşterea utilităţii la o creştere cu o unitate a venitului). e. Tipuri de funcţii de utilitate
Cobb – Douglas (1928, propusă de Wicksell4) CES (Constant Elasticity of Substitution). (Arrow, Chenery, Minhas, and Solow, 1961) De obicei a + b = 1.
Bernoulli (sec. XVII – XVIII)
4 Efectul Matei (propus de Stephen Stigler şi Robert Merton): multe din invenţiile sau rezultatele matematice celebre ce poartă numele celui ce le-a inventat/obţinut oficial au fost, de fapt, inventate sau obţinute de o altă persoană (după citatul biblic: „Căci cei ce au vor primi în abundenţă, iar celui ce nu are i se va lua şi ceea ce a avut” – Matei XXV:29 – sursa: Wikipedia)
( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
==
≠−
=
+=
=
−
−−−
1),ln(
1,1
,
,
1
/12121
2121
α
αα
α
ααα
βα
CCU
CCU
bqaqqqU
qqqqU
( ) ( )dVdUdqpqqqdU iin =⇒×= ∑ λλ,...,, 21
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
7
1.3. Rezolvarea problemei duale de optim pe caz general
a. Formularea matematică a problemei duale: Consumatorul doreşte să îşi minimizeze cheltuielile generate de cumpărarea setului de bunuri ),,,( 21 nqqq K în condiţiile obţinerii unei utilităţi cel puţin egale cu o utilitate considerată ţintă u. Problema de optim se rezolvă tot prin metoda Kuhn-Tucker, iar prima etapă constă tot în construirea funcţiei de tip Lagrange:
( )( )1 2, ,.....,i i nL p q U q q q uλ= × − −∑ După construirea Lagrangeanului condiţiile de optim se scriu astfel :
( )
111
222 1 2
1 2
1 2
0 0
0 01........ ....
0 0
, ,....., 00
n
n
nnn
n
L Upq qL U UU Upq q qq q
p p pL Upq qL U q q q u
λ
λ
λ
λ
λ
∂⎧ ∂⎧=⎪ − =∂ ⎪ ∂⎪ ⎪∂⎪ ∂⎪= ∂∂ ∂⎪ − =∂ ⎪⎪ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪⇒ ⇒ = = = =⎨ ⎨⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ∂= − =∂⎪ ⎪ ∂⎪ ⎪∂⎪ ⎪ − == ⎩⎪ ∂⎩
După obţinerea relaţiilor între cantităţi, acestea se introduc în ultima ecuaţie obţinându-se cantităţile q1,q2,...,qn doar funcţie de preţuri şi utilitate.
( )( )
( )
*1 1 1 2
*2 2 1 2
*1 2
, ,..., ,
, ,..., ,..., ,..., ,
n
n
n n n
q h p p p u
q h p p p u
q h p p p u
⎧ =⎪
=⎪⎨⎪⎪ =⎩
Aceste funcţii de cerere sunt de tip Hicks, sau funcţii de cerere compensate. Înlocuind cantităţile optime consumate în funcţia de cheltuieli se obţine nivelul minim al cheltuielilor care poate fi obţinut în condiţiile obţinerii unei utilităţi egale cu u şi în condiţiile preţurilor existente pe piaţă.
( ) ( )*1 2 1 2
1 1, ,..., , , ,..., ,
n n
i i i i n ni i
p q p h p p p u e p p p u= =
× = × =∑ ∑
- e se numeşte funcţia de cheltuieli minime.
( )
1
1 2
, ,
, ,.....,min
n
n
i iq q
U q q q up q
⎧ ≥⎪⎨ ×⎪⎩ ∑
K
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
8
Proprietăţile funcţiei e 1. este o funcţie crescătoare în raport cu p 2. este o funcţie omogenă de grad 1 în raport cu p 3. este o funcţie continuă
1.4. Legătura dintre problema consumatorului şi duala sa - Relaţii fundamentale
a. Lema lui Shephard (1953)5: Între funcţia e şi funcţiile de cerere de tip Hicks există următoarea relaţie.
( ) ( )1 21 2
, ,..., ,, ,..., , n
i ni
e p p p uh p p p u
p∂
=∂
b. Relaţii între funcţiile Z şi e Între funcţiile Z şi e există următoarele relaţii :
( )( ), ,Z p e p u u= (1.4.b.1) utilitatea maximă ce poate fi obţinută cu costuri minime este chiar pragul minim de utilitate ales
( )( ), ,e p Z p V V= (1.4.b.2) cheltuielile minime necesare pentru a obţine utilitatea maximă posibil a fi obţinută reprezintă întreg venitul disponibil ( ) ( )( ), , ,i if p V h p Z p V= (1.4.b.3) cerea de tip Marshall (f) este egală cu cererea de
tip Hicks (h) în condiţiile în care utilitatea căutată este cea maximă posibilă ( ) ( )( ), , ,i ih p u f p e p u= (1.4.b.4) cererea de tip Hicks este egală cu cererea de tip
Marshall în condiţiile efectuării unor cheltuieli minime
( )1 2unde , ,..., np p p p= este vectorul de preţuri b. Identitatea lui Roy Identitatea lui Roy face legătura între cerere, utilitatea optimă, preţ şi venit.
( )
( )
( )
,senzitivitatea utilitatii optime in raport cu pretul
,, senzitivitatea utilitatii optime in raport cu venituli
i
Z p Vpf p V
Z p VV
∂→∂
= −∂ →
∂
5 Folosită deja de Hicks (1939) şi Samuleson (1947)
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
9
Demonstraţie: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
1 1
, ,
, ,,(9)
n nj j
jj ji j i i
Z p V U f p V
f p V f p VZ p V U pp q p p
λ= =
=
∂ ∂∂ ∂= × = × ×
∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑
Relaţia de buget se rescrie în funcţie de fj
( )1 1
,n n
j j j jj j
p q V p f p V V= =
= ⇒ =∑ ∑
Derivând ambii membri în funcţie de pi se obţine:
( ) ( ) ( ) ( )1 1
, ,, 0 , (10)
n nj j
i j j ij ji i
f p V f p Vf p V p p f p V
p p= =
∂ ∂+ = ⇒ = −
∂ ∂∑ ∑
Înlocuind (10) în (9) se ajunge la :
( ) ( ),, (11)i
i
Z p Vf p V
pλ
∂= −
∂
Derivând în funcţie de V: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
1 1
, ,
, ,,(12)
n nj j
jj jj
Z p V U f p V
f p V f p VZ p V U pV q V V
λ= =
=
∂ ∂∂ ∂= × = × ×
∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑
şi derivând relaţia de buget în funcţie de V se obţine:
( )1
,1 (13)
nj
jj
f p Vp
V=
∂=
∂∑
Înlocuind (13) în (12) se ajunge la :
( ),(14)
Z p VV
λ∂
=∂
Împărţind (11) la (14) se obţine identitatea lui Roy:
( )
( )
( )
,
,,i
i
Z p Vpf p V
Z p VV
∂∂
= −∂
∂
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
10
c. Ecuaţia lui Slutsky Ecuaţia lui Slutsky descompune efectul modificării preţurilor asupra cererii pe două componente : efectul de venit şi efectul de substituţie. Pentru clarificare să presupunem că preţul bunului 1 creşte. Cum reacţionează consumatorul? i) îşi reduce consumul din bunul 1, dar pentru a păstra acelaşi nivel de utilitate îşi măreşte consumul dintr-un alt bun – efect de substituţie. ii)
( ) ( )( ) ( ) ( ), ,, ,
,jj ji
i i
h p Z p Vf p V f p Vf p V
p p V∂∂ ∂
= − ×∂ ∂ ∂
Demonstraţie: În relaţia (1.4.b.4)
( ) ( )( ), , ,j jh p u f p e p u= se derivează ambii termeni funcţie de pi :
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,j j j
i i i
h p u f p V f p V e p Vp p V p
∂ ∂ ∂ ∂= + ×
∂ ∂ ∂ ∂
Folosind lema lui Shephard pentru ( ),
i
e p Vp
∂∂
şi trecând termenul în membrul stâng, se
obţine ecuaţia lui Slutsky: ( ) ( )( ) ( ) ( )
, ,, ,,jj j
ii i
h p Z p Vf p V f p Vf p V
p p V∂∂ ∂
= − ×∂ ∂ ∂
Efect de venit
Efect de substituţie Efectul
preţului asupra cererii
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
11
1.5. Aplicaţii
şi restricţia bugetară i ip q V× =∑ 1. Fie funcţia de utilitate Cerinţe:
a) verificaţi proprietăţile funcţiei de utilitate b) găsiţi funcţiile de cerere de tip Marshall c) verificaţi dacă acestea sunt omogene de grad 0 în preţuri şi venituri d) calculaţi elasticităţile în funcţie de preţ şi venit e) verificaţi proprietăţile funcţiilor omogene
Rezolvare: a) Faptul că funcţia U este continuă este evident. Mai trebuie să punem condiţia ca funcţia U să fie crescătoare şi concavă. Funcţia U este crescătoare dacă derivatele parţiale ale funcţiei sunt pozitive
000 12
11
1
≥⇔≥⇒≥∂∂ −− αα αα qqqU şi 10)1(0 21
2
≤⇔≥−⇒≥∂∂ − αα αα qqqU .
Pentru a stabili dacă funcţia este concavă, determinăm matricea Hessiană:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=−−−
−−−
221
12
11
2
12
11
22
21
)1()1(
))(( αααααααα
qqqqqqqq
qUH aa
aaaa
Minorul de ordinul 1 ]1,0[0)1()1( 2
211 ∈⇒≥−−=Δ − ααα aa qq
Minorul de ordinul 2 ]2/1,0[0)21(
0])1([)1(22
222
12
222
221
4222
221
2222
∈⇒≥−
⇒≥−−−=Δ−−
−−−−
ααα
αααaa
aaaa
qqqq
În concluzie, U este funcţie de utilitate doar dacă ]2/1,0[∈α . b) pentru a determina funcţiile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim a consumatorului. Problema de optim:
VqpqpqqqqU
≤+= −
2211
12121 ),(max αα
Funcţia tip Lagrange:
][][),,( 2211121221121 VqpqpqqVqpqpUVqqL −+−=−+−= − λλ αα
Condiţiile de optim:
)3(0
)2()1(0)1(0
)1(00
2211
2212212
112
111
12
11
1
VqpqpL
pqqpqqqL
pqqpqqqL
=+⇒=∂∂
=−⇒=−−⇒=∂∂
=⇒=−⇒=∂∂
−−
−−−−
λ
λαλα
λαλα
αααα
αααα
( ) αα −= 12121, qqqqU
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
12
Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem: )4(1
1
1
221
1
2
2
1
αα
αα
−=⇒=
−ppqq
pp
Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 2:
)5()1(),,(2
212*2 p
VVppfq α−== .
Înlocuind relaţia (5) în (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1:
1211
*1 ),,(
pVVppfq α
== .
c) ⇒=⋅
=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅ ),,(),,( 2110
11211 Vppfh
pV
phVhVhphphf αα funcţie omogenă de grad 0.
d) 11
1
1
1/ 11
−=⋅∂∂
=fp
pfE pf
01
2
2
1/ 21
=⋅∂∂
=fp
pfE pf
11
1/1
=⋅∂∂
=fV
VfE Vf
e) 0101/// 12111=++−=++ Vfpfpf EEE
2. Aceleaşi cerinţe pentru următoarele funcţii de utilitate: a. b. c. ( ) 2121, qqqqU ×= d. ( )1 2 1 2,U q q q qα β=
e. ρρ
δρ
δ1
)2
)1(1
(2
,1
−−−+
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛qqqqU
3. Pentru fiecare din funcţiile de utilitate de mai sus, fie problema duală de optim
( )1 2, ,.....,min
n
i i
U q q q up q
⎧ =⎪⎨ ×⎪⎩ ∑
Cerinţe:
( ) ( )22121, qqqqU +=
( ) ( ) 2121 ln1ln, qqqqU αα −+=
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
13
a) funcţiile de cerere de tip Hicks – verificaţi dacă sunt omogene de grad 0 în preţuri b) construiţi funcţia Z – verificaţi dacă este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V c) construiţi funcţia e – verificaţi dacă este omogenă de grad 1 în raport cu p d) verificaţi identitatea lui Roy şi ecuaţia lui Slutsky
Rezolvare: a) Problema de optim:
1 1 2 21
1 2 1 2
min
( , )
p q p q
U q q q q uα α−
+
= =
Funcţia tip Lagrange:
11 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) [ ( , )] [ ]L q q p q p q u U q q p q p q u q qα αλ λ λ −= + + − = + + −
Condiţiile de optim: 1 1 1 1
1 1 2 1 2 11
2 1 2 1 2 22
11 2
0 0 (1)
0 (1 ) 0 (1 ) (2)
0 (3)
L p q q q q pqL p q q q q pqL q q u
α α α α
α α α α
α α
λα λα
λ α λ α
λ
− − − −
− −
−
∂= ⇒ − = ⇒ =
∂∂
= ⇒ − − = ⇒ − =∂∂
= ⇒ =∂
Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem: )4(1
1
1
221
1
2
2
1
αα
αα
−=⇒=
−ppqq
pp
Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Hicks pentru bunul 2: ( )* 1
2 2 1 22
1( , , ) (5)a
pq h p p u up
αααα− ⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Înlocuind relaţia (5) în (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1: ( ) 11
* 11 1 1 2 1
2
1( , , ) a
pq h p p u up
αααα
−−
−
− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Demonstrăm că funcţia Hicks 1h este omogenă de gradul 0 în preţuri, ceea ce înseamnă conform definiţiei funcţiilor omogene:
( ) ( )1 11 10 1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 21 12 2
1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a a
p ph p p u h p p u h p p u u u h p p up p
α αα αα αλλ λ λ λ λα λ α
− −− −
− −
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠b) funcţia Z (funcţia de utilitate indirectă) reprezintă utilitatea maximă ce poate fi atinsă în condiţiile încadrării în venitul disponibil V. Deci Z se obţine înlocuind în funcţia de utilitate cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Marshall:
( )αα
αααααα αααα
−
−−
− −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛====⇒ 1
21
11
21
12121
*2
*121
1)1(),(),(),,(pp
Vp
Vp
VffffUqqUVppZ
Z este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V dacă şi numai dacă
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
14
( ) ( ) ),,(1)()(
1),,(),,(),,( 21121
1
121
1
21210
21 VppZpp
Vpp
VVppZVppZVppZ =−
=−
=⇒= −
−
−
−
αα
αα
αα
αα ααλλααλλλλλλλλ
c) e reprezintă cheltuielile minime ce pot fi realizate în condiţiile obţinerii unei utilităţi egale cu u. Deci e se obţine înlocuind în funcţia de cheltuieli cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Hicks:
( )
( ) ( ) ( )
11* * 1
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 12
1 1 2 1 22 1 2
2 2 1 2
1( , , )
1 1 11 1
a
a a a
pe p p u p q p q p h p h p h p h p up
p p p p pp u u p p up p p p
αα
α α αα α α
αα
α α ααα α α α α
−−
−
− ⎛ ⎞= + = + = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
Funcţia e este omogenă de grad 1 în raport cu p dacă şi numai dacă: ( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 22 2
1 1( , , ) ( , , )
1 1a a
p p p pe p p u u u e p p up p
α αα αα αλ λλ λ λ λα λ α α α− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4. Se consideră funcţia de utilitate )1ln(ln),( LCLCU −+= cu restricţia de buget
wLCp ⋅=⋅ unde L=munca prestată (ore lucrate), w=salariul, p=preţul bunurilor şi serviciilor, C=cantitatea de bunuri şi servicii consumate. Să se determine: a) cererea de tip Marshall; b) funcţia de utilitate indirectă. Rezolvare: a) Problema de optim:
LwpCLC
=−+ )1ln(lnmax
Funcţia de tip Lagrange )()1ln(ln),,( LwpCLCLC −−−+= λλl
Condiţiile de optim:
)3(0
)2(1
101
10
)1(1010
LwpC
Lww
LL
pC
pCC
=⇒=∂∂
−=⇒=+
−−⇒=
∂∂
=⇒=−⇒=∂∂
λ
λλ
λλ
l
l
l
Împărţim relaţia (2) la (1): )4(11 w
pCLL
Cpw
−=⇒−
=
Înlocuind relaţia (4) în restricţie (relaţia (3)) obţinem: )5(2
*
pwC = .
Pentru a obţine numărul de ore lucrate optim înlocuim consumul optim în relaţia 4:
21
=L .
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
15
5. Un consumator are funcţia de cheltuieli minime egală cu 1 2 1 2( , , ) 2e p p u u p p= . a) cum se modifică venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dacă preţurile cresc cu 10%. Explicaţie. b) să se determine funcţia de utilitate indirectă ),,( 21 VppZ c) să se determine funcţiile de cerere Marshall ),,(),,,( 212211 VppfVppf d) să se determine funcţiile de cerere Hicks 1 1 2 2 1 2( , , ), ( , , )h p p u h p p u e) să se determine funcţia de utilitate a consumatorului ),( 21 QQU . Rezolvare: a) Faptul că preţurile cresc cu 10% se scrie 11 1,1 pp =′ şi 22 1,1 pp =′ . De aici funcţia de cheltuieli minime se modifică astfel:
),,(1,121,11,11,122),,( 2121212121 Vppeppppuppuuppe =⋅==′′=′ Acest lucru înseamnă că atunci când preţurile cresc cu 10 % şi cheltuielile minime cresc cu 10%, deci şi veniturile minime pentru a obţine o utilitate u trebuie să crească tot cu 10%! b) se foloseşte identitatea:
212121212121 2
),,(),,(2)),,(,,(pp
VVppVppVppVVppppe =⇒=⇒= ννν
! Punctele c şi d se pot rezolva prin 2 metode: - se aplică identitatea lui Roy pt a determina funcţiile Marshall şi pentru funcţiile Hicks se utilizează identitatea 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i if p p e p p u h p p u= -se aplică lema lui Shepard pentru a determina funcţiile Hicks şi pentru funcţiile Marshall se utilizează identitatea ),,()),,(,,( 212121 VppfVpppph ii =ν Să urmăm prima metodă. c) Scriem identitatea lui Roy pentru funcţiile Marshall 21 , ff
1
21
211
21
21
1
21
21
1
21
1 22
14
2
2
2
),,(
),,(
pV
pp
pppV
ppV
ppVp
ppV
VVpp
pVpp
f =−=
∂
∂
∂
∂
−=
∂∂
∂∂
−=ν
ν
Analog pentru cealaltă funcţie Marshall 2
2 2 pVf =
d) folosim relaţia 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i if p p e p p u h p p u=
1 21 2 21 1 2 1 1 2 1 2
1 1 1
2( , , )( , , ) ( , , ( , , ))2 2
u p pe p p u ph p p u f p p e p p u up p p
= = = =
Analog
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
16
1 21 2 12 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2
2( , , )( , , ) ( , , ( , , ))2 2
u p pe p p u ph p p u f p p e p p u up p p
= = = =
6. Funcţia de utilitate a unui consumator este βα
2121 ),( qqqqU = , iar venitul său este egal cu V. Ştiind că preţurile celor două bunuri sunt 1p , respectiv 2p se cere: i) funcţiile de cerere pentru bunurile 1 şi 2 care asigură maximizarea utilităţii consumatorului. ii) să se precizeze cu cât se modifică cantitatea optimă consumată dacă: 1. Venitul creşte cu 20%, 2. preţurile scad simultan cu 20%, 3. atât venitul cât şi preţurile cresc cu 20%, 4. elasticităţile α şi β cresc cu câte 10%. iii) să se determine cantităţile optime consumate dacă 6,0=α 4,0=β V=5000
121 =p 152 =p 7. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile q1 şi respectiv q2. Preţul unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:
)21
)(41
(2
,1
qqqqqU ++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Se cere: a. Functiile de cerere Marshall pentru cele doua bunuri daca consumatorul obtine un venit egal cu V. b. Cu cat de modifica utilitatea maxima obtinuta de consumator daca venitul creste cu o unitate monetara? c. Determinati functia de utilitate indirecta (functia de utilitate maxima). 8. Într-o economie există N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V) şi două bunuri ale căror preţuri sunt în prezent 1p şi 2p . N consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de utilitate egală cu 6,0
24,0
1211 ),( xxxxu = , iar M consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de utilitate egală cu 21212 ln7,0ln3,0),( xxxxu += , unde 1x reprezintă cantitatea consumată din bunul 1, iar 2x reprezintă cantitatea consumată din bunul 2. Să se determine: a) funcţiile de cerere agregată (la nivelul întregii economii) pentru bunurile 1 şi 2; b) cu cât se modifică cantitatea cerută din cele două bunuri dacă preţul lor creşte cu 10%? Rezultate: a)Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate )(1 xu
221
12
121
11 6,0),,(,4,0),,(
pVVppf
pVVppf ==
Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate )(2 xu
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
17
221
22
121
21 7,0),,(,3,0),,(
pVVppf
pVVppf ==
Funcţiile de cerere agregate
MpVN
pVVppfM
pVN
pVVppf
22212
11211 7,06,0),,(,3,04,0),,( +=+=
b) se calculează elasticitatea lui 1f şi 2f faţă de 1p şi 2p . Se obţine -1 ceea ce înseamnă că cantitatea cerută din ambele bunuri scade cu 10%. 9. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:
02
,01
,2
ln31
ln2
,1
>>+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛qqqqqqU unde q1, q2 reprezintă cantităţile consumate
din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este p = (1,1) . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V=12 u.m. a) Să se arate dacă funcţia este sau nu concavă; b) Să se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilităţii, u=k > 0 ; c) Dacă funcţia de utilitate indirectă este :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
24
3ln3
14
ln),2
,1
(p
V
p
VVppν ,să se deducă funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1.
10. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,H) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:
( ) 0,0,1
, >>−
= HCHCHCUφφ
(timp liber, H şi timp de lucru, L ). Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu p. Se cere: a) Determinaţi oferta de muncă a gospodăriei (L) şi funcţia de cerere pentru bunuri de consum (C) . Comentaţi relaţia existentă între aceste funcţii şi parametrii w şi θ . b) Să se deducă rata marginală de substituţie dintre timpul liber şi muncă. Să se interpreteze rezultatele obţinute. 11. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,R) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:
( ) 0,0,2/1
, >>+= RCRCRCU
Timpul total, T, (timp liber, R şi timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, w > 1/4 şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu unitatea.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
18
Se cere: a) Determinaţi oferta de munca (L) şi funcţia de cerere de bunuri şi servicii (C ) a gospodăriei. Comentaţi relaţia existentă între aceste oferte şi parametrii w şi θ , dacă restricţia bugetară a gospodăriei se scrie: pC=(1-θ )wL. b) Se presupune că w=1. Care este suma totală a impozitului plătit? 12. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate q1 şi q2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate,
02
,01
),21
(2
,1
>>=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛qqqqqqU unde q1 şi q2 sunt cantităţile consumate din cele
două bunuri. Venitul acestuia este de 12 u.m. iar vectorul de preţuri este p =(2 1). Se cere: a) Să se determine cererea Marshall din cele două bunuri; b) Dacă p2 şi V sunt constante iar p1 scade cu o unitate, să se determine natura bunului 1; c) Dacă p1 şi p2 rămân constante iar venitul creşte la 16 u.m., să se determine natura bunurilor.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
19
2. Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic
Exemplul 1: Se consideră că agenţii economici consumatori determină cantitatea pe care o vor consuma dintr-un coş de bunuri atât în momentul prezent (notat cu 1) şi într-un moment viitor (notat cu 2), precum şi economiile pe care le vor face în prezent. Funcţia de utilitate are următoarea formă :
( ) ( ) ( )1 2 1 21,
1U C C U C U C
δ= +
+
unde U(Ci) reprezintă utilitatea adusă de consumul Ci. Ci este consumul agregat din perioada i. δ reprezintă o rată de actualizare subiectivă a utilităţii viitoare şi are o valoare pozitivă. Cu cât δ este mai mic, cu atât consumatorul acordă o importanţă mai mare consumului din a doua perioadă. Consumatorii ţin cont de veniturile pe care le obţin în fiecare moment de timp şi de nivelul preţurilor asociat acelui coş de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate influenţa. Ca urmare, consumatorii au câte o restricţie bugetară pentru fiecare moment: unde E - economii ; r - rata nominală a dobânzii. Deoarece veniturile sunt exogene, în momentul curent consumatorii au de făcut următoarea alegere: să consume mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mici ceea ce îi va reduce consumul viitor sau să mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mari ceea ce îi va creşte consumul viitor. Consumatorii pot folosi mai mult decît ceea ce le permite venitul curent dacă aplează la credite, adică în prezent nu fac economii ci se împrumută 1 0E < . Fie funcţia de utilitate : Se cere: a) Stabiliţi în ce condiţii consumul prezent este mai mare decât consumul viitor
( 1 2C C> )? b) Calculaţi 1C şi 2C . c) Calculaţi economiile realizate şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0. d) Ce efect are asupra consumului curent o creştere a ratei dobânzii nominale?
( ) ( )11 ln CCU =
( )1 1 1 1
2 2 2 1 1p C E Vp C V E r
+ =⎧⎨ = + +⎩
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
20
a) Matematic, problema dinamică de optim a consumatorului se scrie astfel:
( ) ( ) ( )
( )
1 2 11 2 1 2, ,
1 1 1 1
2 2 2 1
1max ,1
1
C C EU C C U C U C
p C E Vp C V E r
δ= +
++ =⎧
⎨ = + +⎩
Modul de rezolvare al problemei de optim ar trebui să fie acelaşi ca şi în cazul modelului consumatorului static numai că în acest caz avem două restricţii bugetare. Avem două opţiuni: i) putem folosi doi multiplicatori Lagrange sau ii) putem transforma cele două restricţii în una singură şi astfel să folosim un singur multiplicator Lagrange ca şi în cazul problemei statice. Alegem varianta ii):
( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 12 2 2 1
11 1 0
1 1 1p C E V r p C Vp C r p C V r V p C V
p C V E r r r+ =⎧ ⋅ +
⇒ + + − + − = ⇒ + = +⎨ = + + + +⎩
În acest fel, problema de optim a consumatorului devine:
( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2,
2 2 21 1 1
1max ,1
1 1
C CU C C U C U C
p C Vp C Vr r
δ= +
+
+ = ++ +
O vom rezolva ca şi în cazul consumatorului static:
Condiţii de optim :
( ) ( )1 11 1 1
2 22 2 2
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1
1 10 1 0 1 (1)
1 1 1 10 0 (2)1 1
0 0 (3)1 1 1 1
L p r p rC C CL p pC C CL p C V p C Vp C V p C V
r r r r
λ λ
λ λδ δ
λ
⎧∂⎧ ⎧= − + = = +⎪⎪ ⎪∂ ⎪⎪ ⎪⎪∂⎪ ⎪= − = =⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒∂ + +⎨ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪= + − − = + = +∂ + + + +⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎩
( ) ( ) 2 2 21 2 1 1 1
1ln ln1 1 1
p C VL C C p C Vr r
λδ
⎡ ⎤⎡ ⎤= + − + − −⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
21
(2):(1) {
12 1 1 1 1
22relatia Fisher
1
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
pr r r iC C C C Cppp
δ δ π δ δ+ + + +
⇒ = = = =+ + + + +
, unde π este rata
inflaţiei, i este rata reală a dobânzii 2
1
1 1 (4)1
notatieC i cC δ
+⇒ = = +
+
În cele de mai sus am folosit faptul că raportul a doi indici de preţuri este 1+ rata inflaţiei
adică 2
1
1pp
π= + şi relaţia lui Fisher pentru legătura dintre rata nominală de dobândă şi rata
reală, adică 1 11
r iπ
+= +
+. S-a notat cu c ritmul de creştere al consumului.
Din relaţia 4 se pot trage următoarele concluzii: dacă i>δ => rata dobânzii mai mare decât coeficientul de actualizare al utilităţii conduce
la o scădere a consumului în prima perioadă şi la translatarea acestuia în a doua perioadă. Consumatorul preferă să economisească în prima perioadă o parte din venitul V1 şi să o aloce consumului din a doua perioadă => C2>C1
dacă i=δ => C2=C1 dacă i<δ => C2<C1 b) Înlocuind în restricţia de buget relaţia (4) dintre consumurile din cele 2 perioade se ajunge la :
( )
2 2 21 1 2 1 1 1 1 1
1
21 1 1
1
1 1 1 111 1 1 1 1 1
1 11 11 1 1
V p Vi ip C p C V p C Vr r p r r
Vip C Vr r
δ δ
πδ
⎛ ⎞+ ++ = + ⇒ + = + ⇒⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠
⎛ ⎞+⎜ ⎟⇒ + + = + ⇒⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠14243
, c) Introducând în prima restricţie de buget rezultatele anterioare se obţine valoarea economiilor: E1>0 este echivalent cu:
1 2*1
1
11 12
V VrC
pδδ
++ +=+
1 2*2
1
11 12
V Vi rCpδ
++ +=+
( )
( )
21
1
11
2
VV
rE
δ
δ
+−
+=+
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
22
( )( )
21 2
1
1 1 11 1
notatieVV V vr r Vδ δ+ +
> ⇒ > = ++ +
unde v este ritmul de crestere al veniturilor.
Folosind relaţia (4) de mai sus obţinem: 1 1c v c v+ > + ⇒ > . Consumatorii fac economii dacă ritmul de creştere a consumului este mai mare decât ritmul de creştere al veniturilor, adică fac economii pentru a-şi susţine consumul viitor. Desigur E1< 0, adică consumatorii aplează la credite dacă c v< - ritmul de creştere al consumului este mai mic decât ritmul de creştere al venitului. d) pentru a răspunde la această întrebare vom determina senzitivitatea consumului curent la modificarea ratei dobănzii adică vom calcula
( )
21
1
1 22
1
2 11
2 01 1
VVr
pC Vr r r p
δδ
δδ
⎛ ⎞+⎜ ⎟+ +∂⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎛ ⎞∂ +⎝ ⎠ ⎜ ⎟= = − <⎜ ⎟∂ ∂ + +⎝ ⎠
, adică relaţia dintre consumul curent
şi rata dobânzii este negativă. Cum se poate explica economic acest rezultat? Să presupunem că rata dobânzii creşte, consumatorii vor prefera să economisească în prezent. Cum venitul din perioada curentă este fixat, consumatorii nu au altă soluţie decât să îşi reducă consumul. Exemplul 2: Considerăm că agenţii economici consumatori au un orizont de previziune de 2 perioade, iar funcţia de utilitate are următoarea formă :
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21,1 , ,1 ,1 ,1
1U C l C l U C l U C l
δ− − = − + −
+
unde l1 este timpul lucrat în prima perioadă, iar l2 este timpul lucrat în cea de-a doua perioadă. Timpul lucrat este exprimat ca o fracţiune din timpul total (1 sau 100%). Ca urmare, 1-li reprezintă timpul liber din perioada i. Se observă că utilitatea consumatorului depinde atât de cantitatea consumată din coşul de bunuri cât şi de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricţia bugetară va evidenţia faptul că, în această problemă, consumatorii nu au de ales numai între cât să consume în prezent şi cât să consume în viitor, dar au de ales pentru fiecare moment de timpul liber pe care îl doresc. Cu cât au mai mult timp liber, utilitatea lor creşte, dar muncind mai puţin veniturile se diminuează şi au la dispoziţie o sumă mai mică destinată consumului. Pe scurt, restricţiile bugetare se scriu astfel:
( )1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1p C E w lp C w l E r
+ =⎧⎨ = + +⎩
w1 şi w2 reprezintă salariile pe care agenţii consumatori le-ar câştiga dacă ar munci întreg timpul disponibil. Deoarece ei optează să muncească doar o fracţiune din timpul total (l1 şi, respectiv, l2) veniturile încasate de ei sunt w1l1 şi respectiv w2 l2.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
23
Pentru funcţia de utilitate ( ) ( ) ( ), ln ln 1i i i iU C l C lα β= + − se cere:
a) Determinaţi C1, C2 b) Calculaţi E1 şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0
a) Matematic problema de optim se scrie:
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2 11 1 2 2 1 1 2 2, ,1 ,1 ,
1 1 1 1 1
2 2 2 2 1
1max ,1 , ,1 ,1 ,11
1
C C l l EU C l C l U C l U C l
p C E w lp C w l E r
δ− −− − = − + −
++ =⎧
⎨ = + +⎩
Transformăm cele două restricţii bugetare în una singură:
( ) ( )1 1 1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 1
1 11 : 1 1 1
p C E w lp C p C w l w l
p C w l E r r r r+ =⎧
⇒ + = +⎨ = + + + + +⎩
În aceste condiţii problema de optim devine:
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2, ,1 ,1
1 1 2 2 1 1 2 2
1max ,1 , ,1 ,1 ,11
1 11 1
C C l lU C l C l U C l U C l
p C p C w l w lr r
δ− −− − = − + −
+
+ = ++ +
Se scrie Lagrangeanul:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−−
++−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+
++−+= 221122112211 1
11
11lnln1
11lnln lwr
lwCpr
CplClCL λβαδ
βα
Prin derivare se obţin condiţiile de optim:
( )
( )
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
−−+
+
−++
=
−=
++
=
=
⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=−∂∂
=−∂∂
=∂∂
=∂∂
)16(01
11
1
)15(11
1
)14(1
)13(11
)12(
0
01
01
0
0
22112211
22
11
22
11
2
1
2
1
lwr
lwCpr
Cp
wlr
wl
Cpr
Cp
Ll
Ll
LCLCL
βδ
λ
βλ
αδ
λ
αλ
λ
Împărţind (12) la (13) şi (14) la (15) se obţin:
12 1
2
11
p rC Cp δ
+=
+ (17) şi
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
24
( ) 12 1
2
11 11
w rl lw δ
+= − −
+ (18)
Împărţind (12) la (14) rezultă
( )1 1 1 11p C l wαβ
= − (19)
Înlocuind C2, l2 şi l1 din (17), (18) şi (19) în (16) se obţin C1 şi C2:
1 2
11
11 12
w wrC
pδδ
++ +=+
, 1 2
22
11 12
w wr rCpδ
++ +=+
Probleme propuse
1. Refaceţi exemplul 1 pentru cazul în care funcţia de utilitate este ( ) CU Cα
α= .
2. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaşte funcţia de utilitate intertemporală: )1,0(,,),( 1010 ∈= βαβαCCCCU , rata nominală a dobânzii este r, rata inflaţiei este π , iar rata de creştere a veniturilor este egală cu γ . Se cere:
a) să se exprime indicele de creştere a consumului optim 0
1
CC în funcţie de rata reală de
dobândă şi de elasticitatea funcţiei de utilitate. b) să se stabilească volumul optim al economiilor. c) să se discute semnul volumului optim al economiilor în funcţie de parametrii modelului. Interpretare economică. 3. Se cunoaşte faptul că utilitatea individului consumator este modelat prin funcţia de
utilitate CRRA :
1
( )1
CU C
ν
ν
−
=−
, venitul disponibil al consumatorului în cele două
perioade este V0, respectiv V1. Preţul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p1, respectiv p2. Individul consumă cantiatea C0 în momentul 0 şi C1 în momentul 1, iar în momentul 1 face economii în valoare de E.
Cunoscând faptul că aversiunea relativă la risc a individului consummator este 12
ν = :
a) Să se descrie problema de optimizare intertemporală şi să se deducă funcţiile de cerere pentru bunuri şi servicii în momentele 0 şi 1. b) Să se studieze semnul economiilor.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
25
4. Agenţii consumatori din economie îşi fundamentează consumul de bunuri perisabile (Cp) şi consumul de bunuri duarbile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) şi momentul viitor (notat cu 2). Funcţia de utilitate intertemporală este dată de:
( ) ( ) ( )1 1, ln ln2 2
U Cp Cd Cp Cd= +
Restricţiile consumatorului în cele două perioade sunt:
( )1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1p d
p d
p Cp p Cd E Vp Cp p Cd V E r
+ + =⎧⎨ + = + +⎩
Unde pp este preţul bunurilor perisabile, iar dp este preţul bunurilor durabile. Restul variabilelor au notaţiile consacrate. Să se determine: a) consumul de bunuri perisabile şi durabile din fiecare perioada; b) economiile făcute de consumatori; c) care este efectul modificării ratei dobânzii asupra economiilor? 5. Considerăm un consumator care trăieşte două perioade, perioada 0 şi perioada 1. Utilitatea lui este dată de funcţia:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
++−−= 2
12
1120
200 221
122
lCbClCbCU φδ
φ
Unde C este cantitatea consumată dintr-un coş de bunuri, iar l este munca depusă de consumator. Restricţiile bugetare în cele două perioade sunt:
)1(011111
000000
rSlwpCplwpSCp
++==+
Unde p este indicele preţurilor pentru coşul de bunuri, w este salariul real, iar S economiile. a) În ce condiţii consumul şi munca sunt staţionare ( 0101 , llCC == )? b) Se ştie că δ=r . Să se determine consumul şi munca în cele două perioade şi economiile.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
26
3. Extensii ale modelului dinamic al consumatorului –perioadă infinită
1. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:
0max ( ,1 )t
t tt
U C lβ∞
=
−∑
Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea: 1 1(1 )t t t t t t tPC B W l r B− −+ = + +
Unde tP este nivelul preţurilor, tC este nivelul consumului, tB reprezintă volumul economiilor realizate sub forma cumpărării de obligaţiuni, tW salariul nominal, tl este munca depusă, tr este rata nominală a dobânzii, iar β este un factor de discount
subiectiv ce se poate scrie şi sub forma 11 δ+
.
Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă: ( ,1 ) ln ln(1 )U C l C lα γ− = + −
să se determine: a) O relaţie de recurenţă pentru nivelul consumului. Să se stabilească în ce condiţii
consumul este crescător ( 1t tC C+ > ), descrescător ( 1t tC C+ < ), staţionar ( 1t tC C+ = ). b) O relaţie de recurenţă pentru timpul liber. Să se stabilească în ce condiţii timpul
liber este crescător ( 11 1t tl l+− > − ), descrescător ( 11 1t tl l+− < − ), staţionar ( 11 1t tl l+− = − ).
c) Dacă rata reală a dobânzii este constantă ( 1t ti i t+ = ∀ ), să se calculeze lim ttC
→∞.
d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( 1t tv v t+ = ∀ ) şi rata reală a dobânzii este constantă ( 1t ti i t+ = ∀ ), să se calculeze lim(1 )tt
l→∞
− .
Rezolvare:
a) Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumată astfel:
0
1 1
max ( ,1 )
(1 )
tt t
t
t t t t t t t
U C l
PC B W l r B
β∞
=
− −
⎧−⎪
⎨⎪ + = + +⎩
∑
Înainte de a forma Lagrangean-ul şi de a pune condiţiile de ordinul I, vom transforma restricţia astfel încât ea să fie exprimată în variabile reale – vom împărţi prin nivelul preţurilor la momentul t:
1 11 1
1 1 11 1 1
1
1
(1 )(1 )
(1 ) 1 (1 )1
t t t t tt t t t t t t t
t t t
t t tt t t t t t t t t t t t t
tt t
t
B W l r BPC B W l r B CP P P
B r rC b w l C b w l b w l b iPPP
π
− −− −
− − −− − −
−
−
++ = + + ⇒ + = + ⇒
+ ++ = + ⇒ + = + = + +
+
În cele de mai sus am notat cu tb valoarea reală a economiilor, cu tw salariul real, iar cu
ti rata reală a dobânzii.
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
27
Formăm Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit:
1 10
1 10
1 11
1 1 1
( , , , ) [ ( ,1 ) ( (1 ))]
[ ln ln(1 ) ( (1 ))]
... [ ln ln(1 ) ( (1 ))]
[ ln ln(1 ) (
tt t t t t t t t t t t t t
t
tt t t t t t t t t
tt
t t t t t t t t tt
t t t
L C b l U C l C b w l b i
C l C b w l b i
C l C b w l b i
C l
λ β λ
β α γ λ
β α γ λ
β α γ λ
∞
− −=
∞
− −=
− −
++ + +
= − − + − − + =
= + − − + − − + =
+ + − − + − − + +
+ + − −
∑
∑
1 1 1 1 (1 ))] ...t t t t t tC b w l b i+ + + ++ − − + +
Punem condiţiile de ordinul I derivând Lagrangean-ul în toate argumentele sale:
( )
( )
( )
11
1 1
0 1
0 (1 ) 2 (1 )
0 (3)1
0 (1 ) 4
tt t
tt t t t
t t
t tt t
t t t t t tt
LC C
L i ib
L wl l
L C b w l b i
α λ
λλ βλ βλ
γ λ
λ
++
− −
∂⎧ = ⇒ =⎪ ∂⎪⎪ ∂
= ⇒ = + ⇒ = +⎪∂⎪⎨ ∂⎪ = ⇒ =⎪ ∂ −⎪
∂⎪ = ⇒ + = + +⎪ ∂⎩
a) scriem relaţia (1) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii:
( )1 1
11
1
(1 ) 5t
t t t tt
t t tt
t
C C C iC C
C
α λλ β
α λλ
+ +
++
+
⎫= ⎪⎪⇒ = ⇒ = +⎬⎪=⎪⎭
Am folosit relaţia (2) de mai sus.
În aceste condiţii:
-consumul este staţionar 1t tC C+ = dacă 1(1 ) 1 1 constantt ti i tββ
+ = ⇒ = − = ∀
-consumul este crescător 1t tC C+ > dacă 1(1 ) 1 1t ti i tββ
+ > ⇒ > − ∀
-consumul este descrescător 1t tC C+ < dacă 1(1 ) 1 1t ti i tββ
+ < ⇒ < − ∀
Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia (5) pentru 0,t = ∞ : 1
10
(1 )C iC
β= +
22
1
(1 )C iC
β= +
K 1
22
(1 )tt
t
C iC
β−−
−
= +
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
28
11
(1 )tt
t
C iC
β −−
= +
Înmulţind relaţiile de mai sus membru cu membru obţinem relaţia de recurenţă a consumului:
1
0 1 2 1 00
(1 )(1 ) (1 ) (1 )t
t tt t k
k
C C i i i C iβ β−
−=
= + + + = +∏K
b) scriem relaţia (3) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii:
( )1 1 1
11 1 11 1
1
1 1 1 (1 ) 1 (1 ) 61 1 1 1
1
t tt t t t t t t t
tt t t t t tt t
tt
wl l w l i l i
wl w l l vw wl
γ λλ β β
γ λλ
+ + +
++ + ++ +
+
⎫= ⎪− − − + − +⎪⇒ = ⇒ = ⇒ =⎬ − − − +⎪=⎪− ⎭
Am folosit relaţia (2) de mai sus şi am notat 1 1 ,tt t
t
w v vw+ = + rata de creştere a veniturilor
reale
Dar din relaţia (5) ştim că ( )1 1 1 1 1
1 1
1 1 11(1 ) 71 1 1 1
t t t t tt
t t t t t t
C l C l ciC l v C l v
β+ + + + +
+ +
− − += + ⇒ = ⇒ =
− + − +.
Am notat rata de creştere a consumului cu tc . În aceste condiţii:
-timpul liber este staţionar 11 1t tl l+− = − dacă 11 1
1
1 11
tt t
t
c c v tv
++ +
+
+= ⇒ = ∀
+, adică rata de
creştere a consumului este aceeaşi cu rata de creştere a venitului real;
-timpul liber este crescător 11 1t tl l+− > − dacă 11 1
1
1 11
tt t
t
c c v tv
++ +
+
+> ⇒ > ∀
+
-timpul liber este descrescător 11 1t tl l+− < − dacă 11 1
1
1 11
tt t
t
c c v tv
++ +
+
+< ⇒ < ∀
+
Pentru a determina realaţia de recurenţă pentru timpul liber se foloseşte relaţia (6) rescrisă astfel:
( )1
1 1)1()1(1
++ +
+−=−
t
ttt v
ill β
Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia de mai sus pentru 0,t = ∞ :
( )
( )
( )1
001
1
221
11
1)1()1(1
1)1()1(1
1)1()1(1
vill
vill
vill
t
t
ttt
t
ttt
++
−=−
++
−=−
++
−=−
−
−−−
−−
β
β
β
K
Înmulţim relaţiile membru cu membru şi obţinem:
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
29
( ) ( ) )8(1
)1(110 1
0 ∏= ++
+−=−
t
k k
ktt v
ill β
c) în relaţia de recurenţă a consumului se înlocuieşte ki i= şi se obţine
0 0(1 ) [ (1 )]t t ttC C i C iβ β= + = + . Putem calcula limita astfel:
0
0, (1 ) 1lim , (1 ) 1
, (1 ) 1tt
iC C i
i
βββ
→∞
+ <⎧⎪= + =⎨⎪∞ + >⎩
d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( 1t tv v t+ = ∀ ) şi rata reală a dobânzii este constantă ( 1t ti i t+ = ∀ ) atunci relaţia (8) devine:
t
t vill ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−=−)1()1()1(1 0
β
. Putem calcula limita astfel:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>++
∞
=++
−
<++
=−∞→
1)1()1(,
1)1()1(,1
1)1()1(,0
)1(lim 0
vivil
vi
ltt
β
β
β
2. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:
∑∞
=
−0
),1,(maxt
tttt mlCUβ
Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea: 111)1( −−− +++=++ ttttttttt MBrlWMBCP
unde tM reprezintă cantitatea de avere păstrată sub forma numerarului, iar tm reprezintă
masa monetară exprimată în termeni reali, t
tt P
Mm = .
Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă: b
tmb
lCmlCU −−−
−⋅+
−⋅−
−=− 111
11
11
11),1,( γ
μα
νμν
Să se răspundă la următoarele cerinţe: a) Să se scrie restricţia bugetară în termeni reali (se notează cu tb valoarea reală a economiilor deţinute sub formă de obligaţiuni şi cu tw salariul real. În cazul în care prin
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
30
tP se măsoară indicele preţurilor de la începutul perioadei t, sfârşitul perioadei t-1,
11
1 −−
+= tt
t
PP
π ).
b) Să se arate că elasticitatea utilităţii marginale a consumului este constantă şi să se interpreteze rezultatul în raport cu atitudinea consumatorului faţă de risc. c) Să se arate că elasticitatea funcţiei de utilitate în raport cu timpul lucrat şi respectiv cu masa monetară reală depinde în mod direct de α− şi respectiv de γ . d) Să se determine ecuaţia de dinamică pentru consum; e) Ecuaţia de dinamică pentru timpul lucrat; f) Să se arate că între oferta de muncă şi consum există o legătură directă, iar relaţia dintre oferta de muncă şi masa monetară este, de asemenea, directă. Explicaţi.
Pentru cazul în care rata reală a dobânzii şi rata de creştere a venitului real sunt constante:
g) Să se determine traiectoria de evoluţie a consumului ( tC în funcţie de 0C ); h) Să se determine traiectoria de evoluţie a timpului lucrat ( tl în funcţie de 0l ); i) În cazul în care singura destinaţie a PIB este consumul, să se determine şi să se
interpreteze în cheie keynesistă ecuaţia de cerere de monedă. j) Să se verifice dacă regula de politică monetară este una de tip Friedman. Rezolvare: a) Se împarte restricţia bugetară la indicele preţurilor tP ,
111)1( −−− +++=++ ttttttttt MBrlWMBCP şi se obţine:
t
t
t
ttttttt P
MP
BrlwmbC 111)1( −−− ++
+=++ .
Dar 11,1
111
111
1
1111 )1(1
1)1()1()1()1(−−
−−−
−−−
−
−
−−−− +=+
⋅+=⋅+=⋅+
=+
ttrealt
ttt
ttt
t
t
t
tt
t
tt brbrP
PbrP
PP
BrP
Brπ
Analog, 1
11
1 −
−−
+=
t
t
t
t mP
Mπ
Restricţia este deci următoarea:
1
111, 1
)1(−
−−− ++++=++
t
tttrealttttt
mbrlwmbCπ
.
b) Utilitatea marginală a consumului la momentul t este: ν−=∂∂
= tt
mg CCUU .
Elasticitatea unei funcţii în raport cu x are următoarea formulă:
fx
xffEx ⋅∂∂
= .
Elasticitatea utilităţii marginale la momentul t în raport cu consumul este:
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
31
νν νν
ν
ν
−=⋅⋅−=⋅∂∂
=⋅∂
∂= −
−−−
−
t
tt
t
t
t
t
mg
t
t
mgmgC C
CCCC
CC
UC
CU
UEt
1 şi este constantă, t∀ .
Interpretarea acestei elasticităţi este următoarea: mgC UEt
este egală cu aversiunea relativă la risc. Faptul că aceasta este constantă ne arată că indiferent de cantitatea consumată, agentul are aceeaşi atitudine faţă de risc.
c) U
lUll
Ul
lUUE tt
tt
tlt
1−−− ⋅−=⋅⋅−=⋅
∂∂
=μ
μ αα , unde 01
≥−−
Ult
μ
.
Um
Umm
Um
mUUE
bttb
tt
tmt
1−−− ⋅=⋅⋅=⋅
∂∂
= γγ , unde 01
≥−−
Um b
t .
d) Există două posibilităţi de a rezolva următoarele subpuncte ale problemei: pentru a forma Lagrangeanul, se poate obţine din toate restricţiile una singură, sau se poate introduce în Lagrangean fiecare restricţie de la fiecare moment în mod separat, cu un multiplicator λ ataşat. Vom prezenta în continuare a doua metodă, întrucât prima a fost discutată la seminar.
−+−+−++−+−= −−−− .....),1,(),1,(...),1,(),1,( 1111
1111
0000
tttt
tttt mlCUmlCUmlCUmlCUL ββββ
(0λ− )0000 lwmbC t−++ - (1λ0
000,11111 1
)1(π+
−+−−++m
brlwmbC real )-…-
2
222,111111 1
)1((−
−−−−−−−−− +−+−−++−
t
tttrealtttttt
mbrlwmbCπ
λ ) -
)1
)1((1
111,
−
−−− +−+−−++−
t
tttrealtttttt
mbrlwmbC
πλ -.....
Sau, altfel scris:
∑∞
= −
−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+−−++−−=0 1
111, 1
)1(),1,(t t
tttrealttttttttt
t mbrlwmbCmlCULπ
λβ
Mai trebuie menţionat că 0lim =∞→ tt
b .
Condiţiile de optim:
Funcţia obiectiv de la momentul t
Restricţia de la momentul t
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
32
ttt
tt
t
tC
CU
CL λβλβ ν =⋅⇒=−
∂∂
=∂∂ −0 )1( 0
111
11
1
1−
−−
−−
−
−
−
=⋅=−∂∂
=∂∂
ttt
tt
t
tC
CU
CL λβλβ ν
)2( 0
ν
ν
ν
λλ
βλλ
β
1
11
11
00 1)2(:)1(−
−−
−−
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⇒=⇒
t
ttt
t
t
t
t CCCC .
Dar λ este o necunoscută în această problemă, deci traiectoria consumului nu este identificată prin ecuaţia de mai sus.
Pentru a afla raportul 1−t
t
λλ folosim următoarea ecuaţie: 0
1=
∂∂
−tbL .
1,11,11,1
1 11)1(0)1(0
−−−−−−
− +=⇒+=⇒=++−⇒=
∂∂
trealt
ttrealtttrealtt
t rrr
bL
λλ
λλλλ
Prin urmare, ν
β
1
1,1 1
11−
−− ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⋅⋅=
trealtt r
CC
e) tttt
ttt
t
twlw
lU
lL λβαλβ μ −=⋅⋅−⇒=+
∂∂
=∂∂ −0
)1( 0
1111
111
1
1−−
−−
−−−
−
−
−
−=⋅⋅−=+∂∂
=∂∂
tttt
ttt
t
twlw
lU
lL λβαλβ μ
)2( 0
μμ
μ
μ
βλλ
βλλ
β
1
11,1
1
111
111
00
1111)2(:)1(
−
−−−
−
−−−
−−−
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=⇒=⇒
t
t
trealt
t
t
t
ttt
tt
tt
t
t
ww
rl
ww
llww
ll
f) Pentru a evidenţia relaţia dintre tl şi tC vom folosi următoarele două ecuaţii:
0=∂∂
tlL şi 0=
∂∂
tCL .
tttt
ttt
t
twlw
lU
lL λβαλβ μ −=⋅⋅−⇒=+
∂∂
=∂∂ −0
)1( 0
ttt
tt
t
tC
CU
CL λβλβ ν =⋅⇒=−
∂∂
=∂∂ −0
)2( 0
μμν
ν
μ
αα
1
00 )2(:)1(−
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⇒=⇒ t
tttt
t wClw
Cl unde 0
1
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−μ
αtw .
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
33
Pentru a evidenţia relaţia dintre tl şi tm vom folosi următoarele două ecuaţii: 0=∂∂
tlL și
0=∂∂
tmL .
tttt
ttt
t
twlw
lU
lL λβαλβ μ −=⋅⋅−⇒=+
∂∂
=∂∂ −0
)1( 0
ttreal
tt
bt
t
ttt
t
t
t rm
mU
mL
πλ
λβγπ
λλβ+
⋅+
−=⋅⋅⇒=+
⋅+−∂∂
=∂∂ −
+ 11
10
11
,1
)2( 0
μ
μμ
μ
παγ
πγα
1
,
1
,
00
11
111
11
111
)2(:)1(
−
−
−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⋅
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⇒
+⋅
+−
=⇒
ttreal
tb
tt
ttreal
tb
t
t
r
wml
r
wml unde
tt
t
tttreal rrr +=
+⋅
++
=+
⋅+ 1
11
1
11
11
11
1
, ππ
π.
μ
μν
αγ
1
1
111
−
−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
t
tbtt
r
wml .
⇒≥+
−⇒≤+
⇒≥+ 01
1111
111tt
t rrr .0
111
1
1
≥⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
−μ
μ
αγ
t
t
r
w
g) ştim că ν
β
1
1,1 1
11−
−− ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⋅⋅=
trealtt r
CC .
În acest caz, ν
β
1
1 111
−
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=real
tt rCC
ν
β
1
01 111
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=realr
CC
νννν
ββββ
2
0
11
0
1
12 111
111
111
111
−−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=realrealrealreal r
Crr
Cr
CC .
.
treal
tt
trealt
t
rr ,1
,
1
111
+=⇒
+= +
+ λλλλ
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
34
.
. Prin inducţie:
ν
β
t
realt r
CC−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅=1
110
h) ştim că μ
β
1
11,1 1
11−
−−− ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅=
t
t
trealtt w
wr
ll .
Dacă rata de creştere a venitului real (o putem nota cu realw ), este constantă. )1(1 realtt www += − .
μμ
ββ
t
realreal
trealreal
tt wr
llwr
ll−−
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
+⋅=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
+⋅= )1(
111)1(
111
0
1
1 .
i) În cazul extrem în care consumul este singura destinaţie a PIB, tt YC = .
Vom utiliza următoarele ecuaţii: 0=∂∂
tmL și 0=
∂∂
tCL
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=⋅⋅ −
rm t
bt
t
111λβγ )1( 0
tt
tt
t
t
tC
CU
CL λβλβ ν =⋅⇒=−
∂∂
=∂∂ −0
)2( 0
bbtt
t
bt
rYm
rCm
1
00
1111
111)2(:)1(
−
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⋅⋅=⇒
+−=⇒
ν
ν γγ )3( 0
Se observă că oferta reală de monedă depinde pozitiv de nivelul venitului şi negativ de rata dobânzii. În cazul în care nu se observă imediat realţia inversă între oferta reală de monedă şi rata dobânzii, trebuie verificat semnul următoarei derivate:
01
11
1111 211
≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅=
∂∂ −−
rrbY
rm b
btt
ν
γ
Relaţia )3( 0 confirmă teoria keynesistă conform căreia cererea de monedă (egală la echilibru cu oferta reală de monedă) este o funcţie crescătoare în raport cu venitul şi descrescătoare în raport cu rata dobânzii.
j) Milton Friedman a propus ca regulă de politică monetară alegerea unei rate constante pentru creșterea masei monetare, ceea ce implica o atitudine pasivă a băncii centrale. Rata de creştere a masei monetare se poate nota cu
πλ
λβγπ
λλβ+
⋅+
−=⋅⋅⇒=+
⋅+−∂∂
=∂∂ −
+ 11
10
11
1real
tt
bt
ttt
t
t
t rm
mU
mL
Mμ
Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar
35
)1(1 Mtt MM μ+= −
Regula Friedman constant=⇔ Mμ constant
1=⇔
−t
t
MM
constant1=
−t
t
MM
)1(
111
1
1π+⋅=⋅⋅=
−−−
−
− t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
mm
PP
MP
PM
MM
constant1=
−t
t
MM constant)1(
1=+⋅⇔
−
πt
t
mm , ⇔= constantπ constant
1=
−t
t
mm .
Pentru a analiza raportul 1−t
t
mm vom folosi următoarele ecuaţii 0=
∂∂
tmL şi 0
1=
∂∂
−tmL :
⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅=⇒+
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
−
−
tconrm
mrm
m b
realt
t
real
b
t
t tan1
111
11
11-t
t
1 βλλ
β
Regula de politică monetară este de tip Friedman. Întrebare: În cazul în care rata inflaţiei este 5%, rata nominală este 7%, b=0.5, iar factorul de actualizare, =0.97, cât este rata de creştere a masei monetare?
019.1%51%711 =
++
=+ realr
97699.0019.11
97.01 5.0
1
1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
−
−t
t
mm
0258.105.197699.0)1(11
=⋅=+⋅=−−
πt
t
t
t
mm
MM
Rata de creştere a masei monetare este 2.58%.
πλ
λβγπ
λλβ+
⋅+
−=⋅⋅⇒=+
⋅+−∂∂
=∂∂ −
−−
−−
−−
−
− 11
10
11 1
111
11
1
1 real
tt
bt
ttt
t
t
t rm
mU
mL
πλ
λβγπ
λλβ+
⋅+
−=⋅⋅⇒=+
⋅+−∂∂
=∂∂ −
+ 11
10
11
1real
tt
bt
ttt
t
t
t rm
mU
mL
β