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VIDEO SETTIMANA DA CASSIERE PRIMA DI COMINCIARE
ANALIZZA I DATI E RISOLVI IL PROBLEMA
CAPITOLO 1I NUMERI RELATIVI E GLI INSIEMI NUMERICI
Robert lavora alla cassa di un negozio e a fine giorna-ta deve vedere dagli scontrini quanto ha incassato, e verificare se effettivamente quella somma è presente in cassa. Può capitare che in cassa ci siano soldi in più o in meno: è possibile infatti che abbia commes-so degli errori nel dare i resti. Un venerdì sera Ro-bert si accorge di aver commesso errori ogni giorno della settimana. In particolare lunedì aveva 3,21 € in meno, martedì 2,55 € in più, mercoledì 2,16 € in più, giovedì 0,73 € in meno e venerdì 4,45 € in meno.
> Alla fine della settimana si ritrova ad avere dei soldi in più o dei soldi in meno?
È venerdì sera, Robert fa i conti:
• ha incassato 802,73 €
• ma in cassa ci sono 798,28 €
• quindi mancano €
Vediamo tutta la settimana di Robert. Completa la tabella.
giornata euro
lunedì −3,21
martedì
mercoledì
giovedì
venerdì
Rispondi ora alla domanda di Robert: €
1
GUARDA!IL VIDEO
2
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA
L’insieme R dei numeri reali
DA SAPERE
Nel volume di Aritmetica 1 hai studiato l’insieme N dei numeri naturali:
0, 1, 2, 3, 4, ...
Hai imparato che i numeri interi positivi e negativi sono raggruppati nell’insieme Z dei numeri interi:
-3, -2, -1, ..., +2, +3, +4, ...
In seguito hai visto anche l’insieme Q dei numeri razionali:
, , , ..., , , ...32
21
101
53
65
- - - + +
Hai osservato come ogni nuovo insieme numerico sia semplicemente un amplia-mento dell’insieme numerico precedente.
Cioè:
N 1 Z 1 Q.
Nel volume di Aritmetica 2 hai imparato a operare con i numeri irrazionali:
, , , , ...7 2 3 r- -
1
PRIMA DI COMINCIARERicorda che N rappresenta l’insieme dei
numeri naturali, Z l’insieme degli interi,
Q l’insieme dei razionali.
> Completa inserendo
i simboli ! o ! .
> Confronta i tuoi
risultati con
quelli dei tuoi
compagni.
37 N
2- N
8 N
636 N
5- Z
816
- Z
5- Z
,27 Z
71
- Q
,60 Q
2 Q
3 Q
RICORDA!! significa
«appartiene»
! significa «non appartiene»
ANIMAZIONE IN DIGITALE
L’insieme R dei numeri reali
N
NZ
N ZQ
3
T
TEORIA
Paragrafo 1. L’insieme R dei numeri reali
Puoi ora affermare che:
L’insieme R dei numeri reali (positivi, negativi e il numero 0) è l’unione tra l’insieme dei numeri razionali e l’insieme dei numeri irrazionali.
Possiamo rappresentare i numeri reali su una retta, chiamata retta numerica; a ogni punto della retta corrisponde un numero reale che è la sua ascissa.
PER ESEMPIO Sulla retta numerica puoi osservare i punti:
A di ascissa 5; B di ascissa ;23
- C di ascissa 2 ;
D di ascissa -3,3; E di ascissa 6.
irrazionali
N
Z
Q
questo • lÕinsieme R
0
– +
-5 -3,3 -1 0
BD C A E
1 5 64,12 7
2
3
2-
Esercizi a pag. 25
METTITI ALLA PROVA
Colloca sulla retta numerica i punti di ascissa: ; ; , ; ; ; .3 41 1 5 3 1 2- + - + - +
Leggi le istruzioni.
«Scrivi di seguito quattro numeri reali relativi, dei quali: il primo a piacere, il secondo maggiore o uguale al primo, il terzo maggiore del secondo e il quarto minore o uguale al primo.»
▶ Quale sequenza è corretta?
1
0 1
2
a 2- 1- 27 2
1-
b 3- ,4 2- 5- 1
c 1- 23 7
15 2-
d 29
- 25
- 0 3-
4
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Opposto di un numero reale
e valore assoluto
DA SAPERE
Osserva le coppie di numeri:
, , .3 3 2 2 21
21e e e- - -
Due numeri si dicono opposti quando la loro somma è uguale a 0.
PER ESEMPIO
103
- e 103
+ rappresentano una coppia
di numeri opposti.
2
PRIMA DI COMINCIAREOsserva i punti disegnati nel riferimento cartesiano.
> Per quali coppie di punti la somma delle ascisse è 0?
> Confronta i tuoi risultati con quelli dei tuoi compagni.
–10 –8 –6 –4 –2–9 –7 –5 –3 –1
O
2 4 6 8 101 3 5 7 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x
R
Q D
C
A
B
H
E
G
F
PI
Z
ANIMAZIONE IN DIGITALE
Opposto di un numero reale e valore assoluto
5
Paragrafo 2. Opposto di un numero reale e valore assoluto T
TEORIA¥ Valore assoluto
Individua sulla retta numerica il punto di ascissa -3,5 e (cambiando segno) quello di ascissa +3,5.Scopri che -3,5 e 3,5 sono rappresentati da due punti simmetrici rispetto all’o-rigine e che da questa hanno la stessa distanza: 3,5 (valore assoluto o modulo).
Il valore assoluto di un numero positivo o nullo è il numero stesso; il valore assoluto di un numero negativo è il suo opposto (che è posi- tivo).
Il valore assoluto di un numero si indica scrivendo il numero stesso entro barre verticali.
, ,3 5 3 5- = , ,3 5 3 5+ = 7 7- = 21
21
- =
-5 -4 -3
–3,5 3,5-2 -1 0 1 2 3 4 5
3,5 3,5
questa distanza rappresenta geometricamenteil valore assoluto dei due numeri
Esercizi a pag. 29
METTITI ALLA PROVA
Vero o falso?
a) Il valore assoluto di -3 è 3. V F
b) 1,5 e 1,5 rappresentano una coppia di numeri opposti. V F
c) 21
21
+ = V F
d) 5 5- =- V F
e) , ,0 2 0 2- = V F
f) -2,3 e +2,3 rappresentano una coppia di numeri opposti. V F
g) L’opposto dell’opposto di un numero è uguale al numero stesso. V F
h) Due numeri relativi opposti hanno lo stesso valore assoluto. V F
i) Sulla retta orientata due numeri relativi opposti stanno dalla stessa parte rispetto all’origine. V F
l) L’opposto di 0 è 0. V F
Leggi queste istruzioni.
«Scrivi di seguito tre numeri interi rela-tivi, tali che il valore assoluto del primo sia maggiore del valore assoluto del se-condo e minore del valore assoluto del terzo.»
▶ Quale sequenza è corretta?
1
2
a 9- 3- 4-
b 9+ 3+ 5-
c 9- 3- 12-
d 12- 3- 9-
6
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA
Confrontare numeri reali
DA SAPERE
Ogni numero reale è minore di ogni altro numero reale che è rappresen-tato alla sua destra sulla retta numerica.
• Due numeri reali si dicono concordi se hanno lo stesso segno:
2 e 3; -7 e -5; 23
- e -2.
• Due numeri reali si dicono discordi se hanno segno diverso:
-3 e 5; 7 e 32
- ; 3 e -7,2.
PER ESEMPIO
-4 1 -1 2- e 3- sono numeri reali concordi.
21 31- + -0,2 e 5
1+ sono numeri reali discordi.
3
PRIMA DI COMINCIAREOsserva la rappresentazione
dei numeri sulla retta numerica.
> Dopo avere osservato il pri-
mo esempio, completa nelle
zone punteggiate.
RICORDA!< significa
«minore di»
> significa «maggiore di»
ANIMAZIONE IN DIGITALE
Confrontare numeri reali
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
0 2214
4
0
-2 0 4
-4
0
-2 0
0
2 5
4
5
3
2-
7- 3-
METTITI ALLA PROVA
Inserisci il segno opportuno (> o <).
21
- < 31
+
5 41
-
0,2 0,6
11 12
-11 +12
4,2 -3,7
1 Vero o falso?
a) I numeri +4 e -5 sono numeri opposti. V F
b) L’opposto di un numero positivo è un numero positivo. V F
c) L’opposto di un numero negativo è un numero positivo. V F
d) Il valore assoluto di un numero negativo è un numero negativo. V F
e) Due numeri relativi opposti sono sempre discordi. V F
f) Due numeri relativi discordi sono sempre opposti. V F
2
7
T
TEORIA
Paragrafo 4. L’addizione nell’insieme Z dei numeri interi
L’addizione nell’insieme Z dei numeri interi
DA SAPERE
Indica così l’addizione tra due numeri interi di segno diverso: (+8) + (-5).Rappresenta i due numeri sulla retta numerica.
Scopri che, per addizionare i due numeri dati, devi retrocedere di cinque passi, partendo dalla posizione +8.
La somma di due numeri interi si ottiene contando sulla retta numerica di seguito al primo numero tante unità quante ne indica il secondo nu-mero, tenendo conto del verso (destra o sinistra) indicato dal segno del secondo addendo (+ o -).
PER ESEMPIO La somma di (+8) e (+5) è uguale a 13.
La somma di (-8) e (+5) è uguale a -3.
La somma di (-8) e (-5) è uguale a -13.
4
PRIMA DI COMINCIAREIl termometro segna –5 °C. La temperatura sale di 8 °C.
> A che punto si ferma la colonnina di mercurio?
0 1053 8-5
retrocedodi 5 passi
ANIMAZIONE IN DIGITALE
L’addizione nell’insieme Z dei numeri interi
5 1510 1380 1
faccio 5 passi avanti
faccio 5 passi avanti
-5-10-15 -8 -3 0
-5-10-15 -8-13 0
retrocedo di 5 passi
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
°C
Esercizi a pag. 33
8
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Osserva ancora che:
la somma di due numeri interi concordi è il numero intero, con-corde con gli addendi, che ha per valore assoluto la somma dei va-lori assoluti;
(+8) + (+5) = +13(-8) + (-5) = -13
la somma di due numeri interi di-scordi è il numero intero che ha il segno dell’addendo con il valore assoluto maggiore e che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti;
(+8) + (-5) = +3(-8) + (+5) = -3
la somma di due numeri interi opposti (che hanno stesso valore assoluto, ma segno diverso) è uguale a 0.
(+8) + (-8) = 0(-5) + (+5) = 0
RICORDA!
Tutte le proprietà delle operazioni che erano valide nell’insieme N dei numeri naturali sono ancora valide nell’insieme Z dei numeri interi.
Se a, b, c sono numeri interi relativi, avrai:
a + b = b + a proprietà commutativa dell’addizione
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) proprietà associativa dell’addizione
a $ b = b $ a proprietà commutativa della moltiplicazione
a $ b $ c = (a $ b) $ c = a $ (b $ c) proprietà associativa della moltiplicazione
proprietà distributiva della moltiplicazione (a + b) $ c = a $ c + b $ c
rispetto all’addizione
METTITI ALLA PROVA
Completa la tabella.
a b a + b b + a
-2 +5 ( )2 5 3– + + = + ( )5 2 3–+ + = +
-3 -4
+6 -2
+6 +2
-7 -1
-15 +8
-18 -3
+4 -10
1 Vero o falso?
a) ( ) ( )9 8 1- + + =- V F
b) ( ) ( )5 19 14+ + - = V F
c) ( ) ( )2 2 0- + - = V F
d) ( )0 5 5+ - = V F
e) ( )5 0 5+ + = V F
f) ( ) ( )11 11 22- + + =- V F
2
9
T
TEORIA
Paragrafo 5. La sottrazione nell’insieme Z dei numeri interi
La sottrazione nell’insieme Z dei numeri interi
DA SAPERE
Come fare per sottrarre numeri interi?
(+7) - (+4) = ?
(-7) - (-4) = ?
(+7) - (-4) = ?
(-7) - (+4) = ?
Ricorda che la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. Quindi, di fronte a una sottrazione:
• sostituisci al sottraendo il suo opposto;• esegui l’addizione.
(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = +3
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3
(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = +11
(-7) - (+4) = (-7) + (-4) = -11
Per sottrarre da un numero intero un altro numero intero, basta addi-zionare al primo numero (il minuendo) l’opposto del secondo numero (il sottraendo).
a – b = a + (–b)
5
PRIMA DI COMINCIARENella miniera l’ascensore è a quota -50 m.
Scende ancora di 300 m.
> Dove si ferma?
> Confrontati con i tuoi compagni.
GALLERIA 4
GALLERIA 3
GALLERIA 2
GALLERIA 1ascensore
livello del mare
+200 m
+50 m
–50 m
–250 m
–350 m
ANIMAZIONE IN DIGITALE
La sottazione nell’insieme Z dei numeri interi
Esercizi a pag. 35
10
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA PER ESEMPIO Nell’insieme N dei numeri naturali la sottrazione non è
sempre possibile:
8 - 6 = 2,ma 6 - 8 non è possibile.
Invece nell’insieme Z dei numeri interi la sottrazione è sempre possibile.
(+8) - (+6) = (+8) + (-6) = 2(+6) - (+8) = (+6) + (-8) = -2
METTITI ALLA PROVA
Completa la tabella.
a b a – b a + (– b)
+7 -3 ( ) ( )7 3 10– –+ = + ( ) ( )7 3 10+ + + = +
+5 +4
-8 -2
-2 -8
-10 -5
+10 -6
+7 +2
-4 +4
Vero o falso?
a) (-3) - (+7) = (-3) + (-7) V F
b) (+2) - (-3) = (-2) + (+3) V F
c) (+4) - (-11) = (+4) + (+11) V F
d) (-6) - (-6) = (-6) + (-6) V F
e) (-10) - (+8) = (-10) + (-8) V F
f) (+3) - (+5) = +8 V F
g) (-2) - (+4) = -6 V F
h) (+8) - (+5) = -3 V F
1
2
11
Paragrafo 6. L’addizione algebrica T
TEORIA
L’addizione algebrica
DA SAPERE
Hai visto che nell’insieme Z l’operazione di sottrazione si riduce a un’addi-zione. Non si devono dunque separare queste due operazioni: si può parlare, più in generale, di addizione algebrica.
Nell’espressione
(+3) + (-2) - (-6) - (+5) + (-4)
devi trasformare le sottrazioni in addizioni:
(+3) + (-2) + (+6) + (-5) + (-4).
Puoi eliminare le parentesi e il segno + che sta tra una parentesi e l’altra:
3 - 2 + 6 - 5 - 4 = -2.
Ottieni così un’addizione algebrica.
L’addizione algebrica di numeri interi può essere indicata in forma ab-breviata con l’eliminazione di tutte le parentesi, scrivendo il primo ter-mine seguito da tutti gli altri
• con il proprio segno se la parentesi eliminata era preceduta dal segno +;
• con il segno opposto se la parentesi era preceduta dal segno -.
6
PRIMA DI COMINCIAREOsserva la rappresentazione
grafica e completa la tabella.
> Confronta i tuoi risultati con
quelli dei tuoi compagni.
ANIMAZIONE IN DIGITALE
L’addizione algebrica
-10
10A
C
B
E
D
F
G
I
M
H
L
0 +10
+10
–6
–16 +9
+3
A B C D E F G H I L M0
-5
5
0
Esercizi a pag. 36
12
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Quando hai un’addizione algebrica, per eseguire i calcoli, ti sarà conveniente
applicare le proprietà commutativa e associativa dell’addizione.
PER ESEMPIO
+7 + (+4) + (-5) - (-6) + (-3) - (+2)
si semplifica in:
7 + 4 - 5 + 6 - 3 - 2.
Applicando la proprietà commutativa dell’addizione, si ottiene:
7 + 4 + 6 - 5 - 3 - 2.
Infine, applicando la proprietà associativa, ottieni:
17 - 10 = 7.
METTITI ALLA PROVA
Vero o falso?
a) (+5) + (-3) - (+2) = 5 - 3 - 2 V F
b) (-6) - (-2) + (+3) = -6 - 2 + 3 V F
c) (-3) - (-2) - (-1) = +3 + 2 + 1 V F
d) (+3) - (+2) - (+1) = -3 - 2 - 1 V F
e) (-11) + (+3) - (-2) = -11 + 3 + 2 V F
f) (+7) - (+7) + (-8) - (-1) = 7 - 7 - 8 - 1 V F
Quale proprietà è stata applicata in ogni uguaglianza?
a) (-3) + (-2) + (+5)= (-5) + (+5)
Risposta:
b) +7 - 2 - 4 + 5 = +5 - 4 + 7 - 2
Risposta:
c) (-10) + (-2) + (+3)= -7 + (-2)
Risposta:
d) (+3) + (-3) + (+3)= +3
Risposta:
1
2
13
T
TEORIA
Paragrafo 7. La moltiplicazione nell’insieme Z dei numeri interi
La moltiplicazione nell’insieme Z dei numeri interi
DA SAPERE
• Moltiplica due numeri interi relativi, entrambi positivi:
(+4) $ (+3).
Ricordando che la moltiplicazione è un’addizione ripetuta, ottieni:
.123 3 3 3
4 addendi
=+ + + +1 2 3444 444
• Moltiplica due numeri interi relativi, uno positivo e l’altro negativo:
(+4) $ (-3).
Ottieni:
.( ) ( ) ( ) ( ) 123 3 3 3
4 addendi
=- + - + - + - -1 2 3444444 444444
• Moltiplica ora due numeri interi relativi, uno negativo e l’altro positivo:
(-4) $ (+3).
Ma che cosa significa addizionare +3 «meno quattro volte»?
Per risolvere il tuo problema, puoi applicare la proprietà commutativa della moltiplicazione; ottieni così:
( ) ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )4 3 3 4 124 4 4
3 addendi
$ $- + = + - = =-- + - + -1 2 344444 44444
• Moltiplica due numeri interi relativi, entrambi negativi:
(-4) $ (-3).
Che significato dare a questa scrittura? Questa volta, anche applicando la proprietà commutativa, non risolvi il problema.
Ricorda allora che nell’insieme Z dei numeri interi deve valere, come nell’in-sieme N dei numeri naturali, la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
7
PRIMA DI COMINCIARECon l’aiuto della retta numerica esegui l’addizione di 4 addendi uguali a -3.
> Che risultato ottieni?
> Discutine con i tuoi compagni.
–15 –10
–3
–5 0 +5
ANIMAZIONE IN DIGITALE
La moltiplicazione nell’insieme Z dei numeri interi
(–4) · (–3) = ?
Esercizi a pag. 41
14
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Considera questa uguaglianza, in cui è applicata tale proprietà:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .4 3 4 3 4 4 3$ $ $- - + + - = - + -
Osserva:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).4 3 4 3 4 4 3$ $ $- - + + - = - + -1 2 3444444 444444 1 2 3444 444
Ma la scrittura che è alla destra del segno = è ... 0! Quindi, deve valere 0 anche la scrittura:
(-4) $ (-3) + (+4) $ (-3) = 0.
Da cui puoi congetturare che:
(-4) $ (-3) e (+4) $ (-3) sono numeri opposti.
Ma sai già che (+4) $ (-3) = -12. Devi allora concludere che:
(-4) $ (-3) = +12.
Il prodotto tra due numeri interi relativi è un numero positivo, quan- do i due numeri sono concordi; negativo, quando i due numeri sono di-scordi. In entrambi i casi il valore assoluto del prodotto è uguale al pro-dotto dei valori assoluti.
PER ESEMPIO
( ) ( )2 3 6$+ - =-
( ) ( ) ( )2 3 1 6$ $+ - - =+A CBBBBB
( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 12$ $ $+ - - - =-A CBBBBBBBBB
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 36$ $ $ $+ - - - + =-A CBBBBBBBBBBBB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 2 72$ $ $ $ $+ - - - + - =+A CBBBBBBBBBBBBBBB
ciò che è scritto a sinistra del segno =
a ciò che è scritto a destra
è uguale
Regola dei segni
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
METTITI ALLA PROVA
Vero o falso?
a) (-2) $ (-3) $ (+5) = +30 V F
b) (+4) $ (+1) $ (+1) = -4 V F
c) (+7) $ (-3) = -21 V F
d) (+4) $ (-3) $ (-2) = +24 V F
e) (+5) $ (+2) $ (-3) = -30 V F
f) (-2) $ (-1) $ (+1) = +2 V F
Quali affermazioni sono corrette?
a La moltiplicazione in Z gode della pro-prietà commutativa.
b In Z l’elemento neutro della moltiplica-zione è 0.
c In Z addizione e moltiplicazione sono legate dalla proprietà distributiva.
d In Z, dato un numero, è sempre possi-bile trovare il suo opposto.
1 2
15
T
TEORIA
Paragrafo 8. La divisione nell’insieme Z dei numeri interi
La divisione nell’insieme Z dei numeri interi
DA SAPERE
Puoi dividere il numero intero (-8) per il numero intero (+2):
( ) : ( )8 2 28
14 4- + =- =- =-
ma non puoi dividere il numero intero (-10) per il numero intero (+3):
( ) : ( ) ?10 3 310
- + =- =
perché in Z sono possibili solo le divisioni in cui il valore assoluto del dividendo è multiplo del valore assoluto del divisore.
Ricordando che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, trovi che:
(+10) : (+2) = +5 perché (+5) $ (+2) = +10
(-6) : (+2) = -3 perché (-3) $ (+2) = -6
(+6) : (-3) = -2 perché (-2) $ (-3) = +6
(-9) : (-3) = +3 perché (+3) $ (-3) = -9
8
PRIMA DI COMINCIARESupponiamo di indicare i crediti con il segno + e i debiti con il segno -.
Osserva:
> Chi ha risposto correttamente?
> Discutine con i compagni.
ANIMAZIONE IN DIGITALE
La divisione nell’insieme Z dei numeri interi
non è un numero intero–10
3
Ho un debito di 20 000 euro.
Lo divido con i miei fratelli. Che operazione devo
fare per trovare il debito di ognuno?
+20 000 : (–4) –20 000 : (–4) –20 000 : (+4)
+20 000 : (+4)
Esercizi a pag. 43
16
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Il quoziente tra due numeri interi relativi (tali che il valore assoluto del
dividendo è multiplo del valore assoluto del divisore) è un numero posi-tivo quando i due numeri sono concordi; negativo, quando i due numeri sono discordi. In entrambi i casi il valore assoluto del quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti.
Anche nella divisione è dunque valida, come nella moltiplicazione, una regola dei segni.
PER ESEMPIO
(+20) : (-4) = -5
(+15) : (+3) = +5
(-25) : (-5) = +5
(-20) : (+4) = -5
Regola dei segni
+ : + = ++ : – = –– : + = –– : – = +
METTITI ALLA PROVA
Vero o falso?
a) [(+30) : (+10)] : (-3) = +3 V F
b) [(+30) : (+10)] : (+1) = +3 V F
c) (-45) : (-9) = +5 V F
d) [(-60) : (-2)] : [(-6) : (-2)] = +5 V F
e) [(+45) : (-15)] : (-3) = +1 V F
f) [(-36) : (-2)] : (+9) = -2 V F
Leggi queste istruzioni.
«In una divisione in cui il dividendo è un numero dispari e il divisore un numero pari, moltiplica per uno stesso numero dispari dividendo e divisore.»
▶ Quale fra questi è il procedimento corretto?
a (-77) : 12 " (-77 : 4) : (12 : 4)
b (-39) : (-6) " [(-39) : (-3)] $ [(-6) $ (-3)]
c (-39) : (-6) " [-39 $ (-3)] : [-6 $ (-3)]
d 12 : (-77) " (12 $ 4) : (-77 $ 4)
1
2
17
T
TEORIA
Paragrafo 9. La potenza nell’insieme Z dei numeri interi
La potenza nell’insieme Z dei numeri interi
DA SAPERE
• Potenze con esponente positivoPer eseguire l’elevamento a potenza (-3)4, esegui una moltiplicazione ripetuta:
(-3)4 = (-3) $ (-3) $ (-3) $ (-3) = +81.
La potenza di un numero intero è il prodotto di tanti fattori, ciascuno uguale alla base, quante sono le unità dell’esponente.
Puoi osservare che:
• la potenza è positiva, se la base è positiva; (+3)3 = (+3) $ (+3) $ (+3) = +27
• la potenza è positiva, se la base è negativa e l’esponente è pari; (-2)4 = (-2) $ (-2) $ (-2) $ (-2) = +16
• la potenza è negativa, se la base è negativa e l’esponente è dispari. (-5)3 = (-5) $ (-5) $ (-5) = -125
• Le proprietà delle potenzeNell’insieme Z dei numeri interi rimangono valide tutte le proprietà delle po-tenze che erano valide nell’insieme N dei numeri naturali.
• Potenze con esponente negativo
Devi elevare a potenza con esponente negativo il numero intero +3:(+3)-2.
Puoi immaginare che la potenza (+3)-2 sia il risultato della divisione:32 : 34 = 3-2.
9
PRIMA DI COMINCIARE
> Ha ragione Anna o ha ragione Pietro?
> Discutine con i tuoi compagni.
ANIMAZIONE IN DIGITALE
La potenza nell’insieme Z dei numeri interi
an ∙ am = an + m
an : am = an – m
(an)m = an ∙ m
an ∙ bn = (a ∙ b)n
an : bn = (a : b)n
dove a, b ≠ 0
È sempliceeseguire le potenze.
È sufficiente ricordarele regole dei segni della
moltiplicazione!
Sarà semplice. Ma per me
tu hai commessoun errore...
(–3)3= –27
(+3)2= +9
(–3)4= 81
(–3)2= +9
(–2)5= +32
Esercizi a pag. 44
18
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Infatti, il quoziente di due potenze di base uguale è una potenza che ha per base
la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Ma: 33
3 3 3 33 3
3 31
31
4
2
2$ $ $
$
$
= = =
e quindi: ( )3312
2+ =- .
La potenza di un numero intero relativo (diverso da zero) con esponente negativo è uguale a una frazione che ha come numeratore 1 e come de-nominatore la stessa potenza con esponente positivo.
¥ Potenze con esponente 1 o 0
Osserva che:
• se l’esponente di un nu-mero intero relativo è 1, la potenza coincide con la base;
(-3)1 = -3
• se l’esponente di un nu-mero intero relativo è 0, e la base è diversa da zero, la potenza vale 1.
(-3)0 = 1
Ricorda che non è possibile dare una definizione coerente al simbolo 00.
PER ESEMPIO
(-2)4 = +16 ( )( )
221
412
2- =-
=-
(-2)3 = -8 ( )( )
221
81
813
3- =-
=-
=--
(-7)0 = 1 (+3)0 = 1 (-5)1 = -5
[(-2)2]3 = (-2)6 = +64
(-16)-3 : (-4)-3 = [(-16) : (-4)]-3 = 4-3 = 41
3 = 641
a
b
–n
=( ) b
a
n
( )
(–3)3 : (–3)2 = (–3)3 – 2 = (–3)1= –3
–27 : 9 = –3
(–3)2 : (–3)2 = (–3)2 – 2 = (–3)0
9 : 9 = 1
METTITI ALLA PROVA
Vero o falso?
a) (-3)2 = 9 V F
b) (-1)9 = -1 V F
c) (-1)12 : (-1)7 = (-1)5 = 1 V F
d) (-3)5 : (-3)3 = (-3)2 = 9 V F
e) (+8)3 : (-4)3 = (-2)3 = -8 V F
f) [(-2)2]3 = (-2)5 = -32 V F
Esprimi in parole quanto è rappresentato in forma simbolica.
a) aa1n
n=-
b) a a an m n m$ =
+
c) :a a an m n m=
-
d) ( )a an m n m=
$
e) ( )a b a bn n n$ $=
f) : ( : )a b a bn n n=
1
2
19
Paragrafo 10. Completiamo lo studio dei numeri razionali T
TEORIACompletiamo lo studio
dei numeri razionali
DA SAPERE
Al termine del volume di Aritmetica 1 e nel volume di Aritmetica 2, hai impa-rato a eseguire addizioni e moltiplicazioni, sottrazioni e divisioni, elevamenti a potenza di numeri razionali non negativi, come:
, , , .21
103 0 3 4
7 1 99 0 5
In questi ultimi paragrafi hai invece imparato ad adoperare i numeri con segno, in particolare i numeri interi con segno, come:
-2 +3 -7 -11 +201.
Ora puoi trasferire queste conoscenze anche nel mondo dei numeri razionali e operare con numeri decimali e frazioni provvisti di segno.
¥ I numeri decimali con segno
Osserva come l’operazione è rappresentata sulla retta numerica.
-0,7 - 2,1 + 1,5 = -2,8 + 1,5 = -1,3
10
PRIMA DI COMINCIAREQuali operazioni sono svolte
in modo corretto?
a31
41
121
$- - =+b bl l
b21
813
- =+b l
c32
942
- =+b l
d -2,5 + 0,5 - 3,1 + 4,8 = -0,3
e (-2,2) $ (-3) $ (-0,5) = -3,3
ANIMAZIONE IN DIGITALE
Completiamo lo studio dei numeri razionali
1,99 – 0,5 = 1,49+12
=3
10+
510
=3
108
10
0,3 : 0,5 = 0,6∙12
=74
78
(0,5)2 = 0,25( ) =74
4916
2
-1 -0,7
-0,7
-1,3
-2,1
+1,5
-1,3 0-2-2,8-3 +1
Esercizi a pag. 46
20
T CAPITOLO 1 • I numeri relativi e gli insiemi numericiTEORIA Ora sei in grado di eseguire le seguenti operazioni.
Quando si eseguono addizioni algebriche, moltiplicazioni, divisioni, ele-vamenti a potenza con numeri decimali provvisti di segno, si procede con le stesse regole che sono valide per i numeri interi.
PER ESEMPIO
-3,4 + 5,2 - 7,8 + 6,3 + 0,5 = (applico la proprietà commutativa)= +5,2 + 6,3 + 0,5 - 3,4 - 7,8 = (applico la proprietà associativa)= +12 - 11,2 = + 0,8
(-0,2) $ (0,1) + (0,6) : (-0,2) = = -0,02 + (-3) = = -0,02 - 3 = -3,02
¥ Le frazioni con segno
Osserva come l’operazione è rappresentata sulla retta numerica.
1028
1015
107
1021
1015
1013
=- + =- - + -
–1,2 ∙ (+0,4) = –0,48
–1,2 ∙ (–0,4) = +0,48
–1,2 : (+0,4) = –3
–1,2 : (–0,4) = +3
(–1,2)2 = +1,44
perché –3 ∙ (+0,4) = –1,2
perché (–1,2) ∙ (–1,2) = +1,44
(–1,2)3 = –1,728 perché (+1,44) ∙ (–1,2) = –1,728
perché +3 ∙ (–0,4) = –1,2
-1 0-2-3 +1 +2
28
10-
13
10-
21
10-
7
10-
13
10-
15
10+
7
10-
21
Paragrafo 10. Completiamo lo studio dei numeri razionali T
TEORIAOra sei quindi in grado di eseguire le seguenti operazioni.
Quando hai un segno - davanti a una frazione, fai attenzione!
Osserva:
–a
b =
a
–b
–a
b = –
a
b
Infatti ba- • la frazione opposta di
ba :
.ba
ba
ba a
b0 0+
-=
-= =
Quando si eseguono addizioni algebriche, moltiplicazioni, divisioni, ele-vamenti a potenza con frazioni, si procede con le stesse regole che sono valide per i numeri interi.
PER ESEMPIO
23
91
23
23
61
23
61
69 1
610
35
3
1
$- +-
=- + - =- - =- -
=- =-e bo l
143
71
51
251
143 2
255 1
141
254
1752
7
2
$ $ $- + + - =- + + -
=- =-b bl l
– –+ =
6
5
12
10∙
∙
2
5
2 3
1 1
4
10
12
25
– :28
3
– = =1
3–1
3–1
3+1
9
∙ ∙– = =1
3–1
3–1
3–1
3–1
27
– =14
9– ∙28
3– =
9
14+6( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
( )
moltiplico numeratore e denominatore per –1
Esercizi a pag. 46
METTITI ALLA PROVA
Vero o falso?
a) -1 ! N V F
b) 1 ! N V F
c) 0 ! N V F
d) -2 ! Z V F
e) -1,5 ! Z V F
f) -1,5 ! Q V F
g) 0 ! Q V F
h) 23 ! Q V F
i) 3 ! R V F
l) ,1 6- ! R V F
m) r ! Q V F
n) 4 ! Z V F
1
