27
Numeri Complessi Numeri Complessi Nuove Operazioni in R 2 ADDIZIONE Def. (a,b) + (c,d) := (a+c , b+d) Tale operazione è “analoga” alla somma di vettori, con essa R 2 assume la struttura di gruppo abeliano. PRODOTTO Def. (a,b) * (c,d) := (ac-bd ,ad+bc) 1 Def. (a,b) * (c,d) := (ac-bd ,ad+bc) Tale operazione NON è “analoga” alle usuali operazioni di prodotto, tuttavia, con essa R 2 assume la struttura di gruppo abeliano [tolto l’elemento (0,0)] Note: 1) Unità moltiplicativa (1,0) 2) Simmetrico di (a,b) [ l’elemento (x,y) tale che (a,b)*(x,y)=(1,0) …. ] 2 2 2 2 b a b y b a a x + - = + =

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Numeri ComplessiNumeri ComplessiNuove Operazioni in R 2

ADDIZIONE

Def. (a,b) + (c,d) := (a+c , b+d)

Tale operazione è “analoga” alla somma di vettori, con essa R2 assume la struttura di gruppo abeliano.

PRODOTTO

Def. (a,b) * (c,d) := ( ac-bd ,ad+bc )

1

Def. (a,b) * (c,d) := ( ac-bd ,ad+bc )Tale operazione NON è “analoga” alle usuali operazioni di prodotto, tuttavia, con essa R2 assume la struttura di gruppo abeliano [tolto l’elemento (0,0)]

Note:1) Unità moltiplicativa (1,0)2) Simmetrico di (a,b) [ l’elemento (x,y) tale che (a,b)*(x,y)=(1,0) …. ]

2222

ba

by

ba

ax

+−=

+=

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Numeri ComplessiNumeri ComplessiUna struttura algebrica siffatta è detta CAMPO e costituisce il CAMPO dei NUMERI COMPLESSI C.

I numeri complessa della forma (x,0) sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali e le operazioni appena introdotte si riducono alle usuali operazioni con i numeri reali.Identifichiamo allora il sottoinsiemi di C costituito dai numeri nella forma precedente con il campo dei numeri reali R (visto come sottoinsieme di C).In generale la prima componente di un numero complesso verrà chiamata “componente o parte reale ”.La seconda componente verrà chiamata “componente o parte immaginaria ”.I numeri complessi che hanno componente reale nulla sono chiamati “numeri immaginari (puri) ”.

2

immaginari (puri) ”.Il numero (0,1) è chiamata “unità immaginaria ”Ha la seguente proprietà:

)0,1()1,0(*)1,0( −=

Il “quadrato” di questo numero può essere identificato con il numero reale -1: potremmo allora risolvere equazioni sinora “proibite”!

12 −=x

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Forma Algebrica dei numeri complessiForma Algebrica dei numeri complessiPartendo dalla ulteriore proprietà che: ),0()1,0(*)0,( xx =

Abbiamo che il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria da un numero immaginario puro.

Seguendo Eulero introduciamo allora il simbolo “i” per identificare l’unità immaginaria. Avremo:

1)1,0( −==i

Per la proprietà algebrica precedentemente enunciata: (**) 12 −=i

E’ possibile allora introdurre la “forma algebrica ” dei numeri complessi scrivendo:

3

E’ possibile allora introdurre la “forma algebrica ” dei numeri complessi scrivendo:

iyxyxyxyx +=+=+= )0,)(1,0()0,(),0()0,(),(

Tutte le operazioni algebriche note per i numeri reali possono quindi essere trasportate sui numeri complessi con l’unica avvertenza data dalla proprietà (**).

ES. Prodotto =+++=++= bdiiadibcacidcibadcba 2))((),(*),(

),()( adbcbdacadbcibdac +−=++−=iyxzibaz +=+= .... Def. Numero Complesso

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Numeri Complessi: Proprietà AlgebricheNumeri Complessi: Proprietà Algebriche

ibaz −=

ibaz +=

Def. Complesso Coniugato

Def. Parte Reale di z: az =)Re(

Def. Parte Immaginaria di z: bz =)Im(

+=+ wzwz Def. Modulo di z: ( ) 222/1

* bazzz +==Es.

=−

=+

=

ibzz

azz

wzwz

2

2

**Es.

+≤+

=

=

=⇔=≥

wzwz

zz

wzzw

zz

zzz

)Re(

00,0

4

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Numeri Complessi: Proprietà AlgebricheNumeri Complessi: Proprietà AlgebricheEs. wzzw = ibaz += idcw +=

( ) ( ) =++−=++−= 2222)( bcadbdacbcadibdaczw

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222222 wzdcbabcadbdac ⋅=+⋅+=+++=

Es. wzwz +≤+

≤++=+++=++=+ 222)Re(2))(( wzwzwwwzzwzzwzwzwz

5

≤++=+++=++=+ )Re(2))(( wzwzwwwzzwzzwzwzwz

22222)(22 wzwzwzwzwz +=++=++≤

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L’insieme dei numeri complessi non è L’insieme dei numeri complessi non è ordinatoordinato

Moltiplichiamo entrambi i membri della (1) per i. Otteniamo: i2>0 cioè -1>0 ! Assurdo!.

Supponiamo allora che sia i<0 (2) (i ovviamente non può essere uguale a 0).

Moltiplichiamo entrambi i membri della (2) per i (essendo stavolta i<0 la disequazione cambia di verso). Otteniamo ancora: i2>0 cioè -1>0 ! Assurdo!.

Si supponga , per assurdo, che lo sia: e supponiamo che sia allora i>0 (1).

6

Ciò dimostra che C non è un campo numerico ordinato.

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Numeri Complessi: Espressioni AlgebricheNumeri Complessi: Espressioni Algebriche

Es. trovare 1/z con ibaz +=2222222

11

ba

bi

ba

a

ba

iba

z

z

z

z

zz +−

+=

+−==⋅=

Es. Trovare tutte le potenze di i

Es. Semplificare la seguente espressione:ii 221 −++

+− 31

i

7

Es. Semplificare la seguente espressione:i

i

i

i

5

2

3

21 −+−

+

+−1010

i

Es. Calcolare il modulo del seguente numero comples so:

( ) ii

i

−−

+−

1

1

1

32 [ ]5

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Numeri Complessi e vettori in RNumeri Complessi e vettori in R 22: piano di : piano di ArgandArgand --GaussGauss : rappresentazione geometrica : rappresentazione geometrica

I numeri complessi possono essere posti in corrispondenza con i punti del piano identificando la parte reale di z con l’ascissa del punto corrispondente P e la parte immaginaria di z con l’ordinata di P. iyxz +=

P

y|z|=ρ

oimmaginari asseDef. Fase (o Argomento) di z:

==x

yzArg arctan)(ϕ

Modulo di z:

8

x

y

reale asse

φ

22 yxz +==ρ

Valgono le relazioni (coordinate polari):

Modulo di z:

==

)sin(

)cos(

ϕρϕρ

y

x

=

+=

quadranteconsid

x

y

yx

.

arctan

22

ϕ

ρ

+=

+=

+=

22

22

22

sin

cos

yx

y

yx

x

yx

ϕ

ϕ

ρ

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Piano di Piano di ArgandArgand --GaussGauss

Es. La somma di numeri complessi nel piano di Argan d-Gauss equivale alla somma di vettori (regola del parallelogramma)

Es. Il prodotto per l’unità immaginaria di un nume ro complesso equivale ad una rotazione del vettore di 90 ° in senso antiorario.

Es Trovare il luogo dei punti del piano A-G tale che :

π

Es. Il coniugio corrisponde ad una simmetria rispet to all’asse delle x .

9

[circ.] 2=z ][semiretta 4

)(π=zArg

[circ.] 4=zzy] [asse .... 11

1 =+−

z

z] [circ. .... 3

1

1 =+−

z

z

] [parabola .... iz-z2

11 +=+z

][semiretta 4

5)(

π=zArg

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Forma Trigonometrica dei Numeri ComplessiForma Trigonometrica dei Numeri Complessi( ))sin()cos()sin()cos( ϕϕρϕρϕρ iiiyxz +=+=+=

Es. Mettere i seguenti numeri complessi in forma tr igonometrica

]2

isin2

cos [R. 1

1 ππ +=−+= z

i

iz

]4

3isin

4

3cos

2

2 [R.

)1(

)1(2

+=+−= ππ

zi

iiz

10

442)1( +i

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Forma Trigonometrica dei Numeri ComplessiForma Trigonometrica dei Numeri Complessi( ))sin()cos()sin()cos( ϕϕρϕρϕρ iiiyxz +=+=+=

Es. Inverso in forma trigonometrica

Es. Moltiplicazione e Rapporto con la forma trigonom etrica

Es. Complesso Coniugato in forma trigonometrica

( ))sin()cos()sin()cos( ϕϕρϕρϕρ −+−=−=−= iiiyxz

( ))sin()cos(11

2ϕϕ

ρρ−+−== i

z

z

11

Es. Moltiplicazione e Rapporto con la forma trigonom etrica

( ))sin()cos( 1111 ϕϕρ iz += ( ))sin()cos( 2222 ϕϕρ iz +=( )( ) =++−=⋅ 212121212121 sincoscossinsinsincoscos ϕϕϕϕϕϕϕϕρρ izz

( )( ))sin()cos( 21212121 ϕϕϕϕρρ +++=⋅ izzRegola: “Si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti”

( )( ))sin()cos( 21212

1

2

1 ϕϕϕϕρρ −+−= i

z

z Regola: “Si dividono i moduli e si sottraggono gli argomenti”

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Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi:Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi:Formula di De Formula di De MoivreMoivre

Es. Potenza di un numero complesso in forma trigonom etrica.

( )( ))sin()cos( 21212121 ϕϕϕϕρρ +++=⋅ izzPoiché:

Ponendo: ( )ϕϕρ sincos iz +=

12

( ) ( ) )( sin)( cos ϕϕρ ninz nn +=

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Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi( ) ϕρϕϕρ ieiiyxz =+=+= )sin()cos(

)sin()cos(: ϕϕϕ iei +=

Es. 1)sin()cos( −=+= πππ iei

1−=πie Contiene i simboli più importanti di tutta la

13

1−=e importanti di tutta la matematica

Es. 11111

ϕρ ieiyxz =+= 22222

ϕρ ieiyxz =+=)(

2121212121 ϕϕϕϕ ρρρρ +==⋅ iii eeezz

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Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi

Es. Potenza di numeri complessi in forma esponenziale

ϕρ ieiyxz =+= ( ) )( ϕρ ninn ez =

Es. Radici n-esime dell’unità: ( ) 1=nz0)( 1 inin ee =ϕρ

==

+ )20()(

1πϕ

ρkini

n

ee( ) 011 in ez ⋅==

14

= ee

==

πϕρ

kn 2

110

2,...,n-k

n

k == πϕ

Le radici n-esime dell’unità sono esattamente n ed hanno la forma:

10 2

,...,n-ke n

ki

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Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi

Es. Radici n-esime dell’unità:

Si dispongono, nel piano di Argand-Gauss, ai vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio 1, con il primo vertice nel punto (1,0)

15

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Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi

Es. Radici n-esime di un numero complesso (w):

( ) wz n =

ϕρ iez = 00

ϑρ iew = )2(0

0 πϑϕ ρρ kiinn ee +=

+==

πϑϕρρ n

0 2

0

+=

k

n

πϑρρ

16

+= πϑϕ kn 20

10

20

=+= ,..., n-k

n

kπϑϕ

Si dispongono, nel piano di Argand-Gauss, ai vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio: 0

n ρ 0

n

ϑϕ =Con il primo vertice nel punto della circonferenza individuato dall’angolo:

10 2

0

0

,..,n- keρw n

kπi

nk ==

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Equazioni in CEquazioni in C

Es. Si risolva in C l’equazione: 0164 =+x

πiex 16164 =−= 3210 4

2exp2 ,,,k

kixk =

+= ππ

22 4

exp20 iix +=

= π

17

4

22 4

3exp21 iix +−=

= π

22 4

5exp22 iix −−=

= π

22 4

7exp23 iix −=

= π

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Teorema Fondamentale dell’AlgebraTeorema Fondamentale dell’Algebra

Teorema: Ogni polinomio (non costante) a coefficienti in C

possiede almeno una radice in C.011

1 ....)( azazazazP nn

nn ++++= −

Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro

18

Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro molteplicità.I numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso .

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Altri EserciziAltri Esercizi

Es. Si trovi z tale che: ]3-b1[a 68)(32 =∧±=−=−+ izzzz

Es. Si risolva : 64]-[R. ...... )22( 4i+−

Es. Calcolare: ( )]

3

2i [R. ...... e

3i3-

3- 12iπ

+− i

Es. 4 calcoli si 344 ziz =+−= α += iz 73

19

Es. Calcolare v=z*u con:

−=+=

+=

++=+−=

iz

iz

iz

zz

zzzziu

2

3

73

con 1

3

2

1

32

321

Es. z=32i , calcolare: ( )leesponenzia forma 5 z=α

Es. z=1 , calcolare: ( )leesponenzia rica,trigonometalgebrica, forma 6 z=α

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Funzioni ComplesseFunzioni ComplesseDalla forma esponenziale dei numeri complessi:

)sin()cos( ϕϕϕ iei +=)sin()cos( ϕϕϕ ie i −=− 2

)cos(ϕϕ

ϕii ee −+=

i

ee ii

2)sin(

ϕϕ

ϕ−−=

Definizione

20

Es.:

2)cos(

1 eei

+=−

i

eei

2)sin(

1 −=−

Definizione

2)cos(

iziz eez

−+=i

eez

iziz

2)sin(

−−=

1)(sin)(cos 22 =+ ii

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Funzioni ComplesseFunzioni Complesse

Definizione: Funzioni Iperboliche

2)(

zz eezCh

−+=2

)(zz ee

zSh−−=

Es.

)(2

)cos( yChee

iyyy

=+=−

)cos(2

)( yee

iyChiyiy

=+=−

21

)(2

)sin( yiShi

eeiy

yy

=−=−

)sin(2

)( yiee

iyShiyiy

=−=−

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Frattali ed Insiemi di Frattali ed Insiemi di MandelbrotMandelbrot

Definizione:

L’insieme di Mandelbrot è l'insieme dei c ∈∈∈∈ C tali che, posto z 0 = 0, la successione

czz nn +=+2

1

È “convergente” (**)

22

+

−⇒

q

p

xy

yx

y

x

2

22

Se supponiamo lo schermo formato da a x b pixels con K+1 colori a disposizione, allora il seguente algoritmo permetterà di ottenere l’insieme di Mandelbrot in nero e le altre regioni colorate periodicamente a seconda del grado di “divergenza”. Il nero è identificato con 0 (Normalmente K=255)

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Frattali ed Insiemi di Frattali ed Insiemi di MandelbrotMandelbrot

Esempio:

Si consideri nel piano complesso la successione (c= 0)

21 nn zz =+

−⇒

xy

yx

y

x

2

22

23

Allora:•Se |z|<1 la successione converge verso lo 0 (lo zero è un attrattore� corrisponde all’insieme di Mandelbrot)•Se |z|>1 la successione diverge verso l’infinito (l’infinito è un attrattore� corrisponde all’insieme divergente colorato a seconda della “velocità” con cui la successione diverge)•Se |z|=1 la successione rimane ferma sulla circonferenza unitaria che è la frontiera che separa i due domini di attrazione (corrisponde alla frontiera dell’insieme di Mandelbrot)

1

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L’algoritmo dell’insieme di L’algoritmo dell’insieme di MandelbrotMandelbrot

+

−⇒

q

p

xy

yx

y

x

2

22

Passo 0 :Si fissa p_min(=-2.25), p_max(=0.75), q_min(=-1.5), q_max(1. 5), M=100Se lo schermo ha una risoluzione di a pixels in orizzontale e b pixels in verticale ogni pixel è identificato dalle coordinate (n_p, n_q) , con n_p=0,..,a-1 n_q=0,..,b-1 .Sia delta_p =(p_max-p_min)/(a-1) delta_q =(q_ma x-q_min)/(a-1)

Passo 1 :Si pone p_0=p_min+n_p*delta_p q_0=q_min+n_q*delta_qk=0 , x_0=y_0=0

(1)

24

k=0 , x_0=y_0=0

Passo 2 :Si calcola x_k+1 , y_k+1 secondo la (1). Scrivere k�k+1 (aumento di 1 il contatore)

Passo 3 :Si calcola r=(x_k) 2+(y_k) 2

a) Se r>M scegliere il colore k e passare al passo 4 b) Se k=K scegliere colore 0(nero) e passare al pas so 4c) Se r<=M e k<K ripetere il passo 2 (iterazione)

Passo 4 :Assegnare il colore k al pixel (n_p,n_q) e passare al pixel successivo

NB:Si sfrutti la simmetria della relazione (1) rispetto alla trasformazione (x,y) �(-x,-y)

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FrattaliFrattali

FRATTALIDimensione non interaAutosomiglianza (similitudine)

25

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Frattali ed Insiemi di JuliaFrattali ed Insiemi di Julia

Definizione:

L’insieme di Julia è l'insieme degli z ∈∈∈∈ C tali che, fissato c, la successione

czz nn +=+2

1È “convergente” (**)

C=0.285+i 0.013 C=0.25

26

C=0.45+i 0.1428C=i 0.25

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Frattali ed Insiemi di JuliaFrattali ed Insiemi di JuliaL’algoritmo è del tutto analogo al precedente

Gli insieme di Julia più interessanti si ottengono per valori di c appartenenti alla frontiera dell’insieme di Mandelbrot.Il comportamento della funzione z� z2+c per l’insieme di Julia è definito CAOTICO(Teoria del caos) nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

C=0.3+i 0.6 C=0.2+i 0.6 C=0.3+i 0.7

27

Il complementare dell’insieme di Julia si chiama insieme di Fatou. Esso è dotato di notevole stabilità rispetto all’insieme di Julia.