A cura di Ivana Niccolai1 I numeri celebri Dai numeri naturali ai numeri complessi 13/09/2004

A cura di Ivana Niccolai 1

I numeri celebri

Dai numeri naturali ai numeri complessi

13/09/2004


Un tentativo…genealogico

L’albero dei numeri, liberamente tratto dal libro “I numeri celebri” di Luciano Cresci, rappresenta un tentativo di indicare schematicamente soltanto le principali suddivisioni dei numeri, senza alcuna pretesa di esaustività, anzi sono stati trascurati “rametti” vari, per evitare di complicare la raffigurazione.


Precisazioni

Ogni diramazione, visibile nell’albero dei numeri (che compare nella seconda diapositiva), rappresenta un sottoinsieme proprio della diramazione precedente.

Ipotizzo sicuramente futuri sviluppi nell’ambito della ricerca matematica, grazie ai quali potranno sorgere nuove diramazioni…


I numeri naturali N

Sono i numeri interi positivi. Zero è un numero naturale?

A tale domanda, Mario Ferrari, dell’Università di Pavia, risponderebbe che c’è il diritto di libertà. Noi lo collochiamo tra i numeri naturali, ma chi non è d’accordo è libero di non collocarlo. Georg Cantor ha affermato: “L’essenza della matematica è la libertà”.


I numeri cardinali

L’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito: il numero cardinale di tale insieme non è un intero naturale e si dice “numero transfinito”; la potenza dell’insieme dei numeri naturali si dice “potenza del numerabile”, o semplicemente si dice che l’insieme dei numeri naturali è numerabile.

Un insieme si dice finito se il suo numero cardinale è un numero naturale, altrimenti si dice infinito.

Il numero cardinale, o potenza di un insieme A, è la classe degli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con A.


Esempio

Quando si considera, ad esempio, il numero naturale 9, s’intende un insieme composto da 9 elementi e 9 rappresenta la “cardinalità” dell’insieme 9.


Numeri tranfiniti

Il numero cardinale dell’insieme dei numeri naturali è un numero transfinito.

Cantor stabilì di chiamare aleph 0 il numero cardinale dell’insieme costituito da un’infinità di elementi che possano essere contati.


Com’è possibile numerare un insieme infinito? (1/3)

Il termine “numerabile” è dovuto al fatto che, se un insieme qualunque A è numerabile, stabilendo una corrispondenza biunivoca tra A e l’insieme dei numeri naturali, si possono numerare gli elementi di A.

Consideriamo, ad esempio, l’insieme A formato da tutti i numeri quadrati: 1, 4, 9,16…Essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali:1 2 3 4 …1 4 9 16 …


Qualunque sia il numero quadrato, esisterà sempre uno e un solo numero naturale corrispondente: quindi i numeri quadrati si possono numerare alla stessa stregua dei numeri naturali.



Perciò, anche l’insieme dei numeri quadrati, che è un sottoinsieme dei numeri naturali, ha lo stesso numero cardinale dell’insieme di questi ultimi.

Se ne deduce che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottinsieme, cioè con una sua “parte”.



I numeri ordinali transfiniti

Si dice numero ordinale il numero associato a un insieme ordinato che caratterizza, oltre alla quantità degli elementi che lo compongono, anche l’ordine in cui gli elementi sono disposti.

E’ Georg Cantor (1845-1918) ad aver esteso all’infinito anche gli ordinali, creando così i numeri ordinali transfiniti.


Primo principio

Sono due i principi che presiedono alla generazione degli ordinali

Il primo principio è il seguente: di ogni ordinale a si può fare il successore, indicato con a + 1

Indicando con 0 il più piccolo ordinale e applicando ripetutamente tale principio, si ottiene una successione di ordinali:

0, 1, 2, 3,…,n…


Il numero omega

Georg Cantor aggiunge il numero omega (ω) definendolo così: “Un nuovo numero, che indichiamo con omega,…, che possiamo immaginare come il limite a cui tendono i numeri n, che cioè deve essere dichiarato superiore a ogni numero n.”


Secondo principio

Il numero ω supera la successione infinita degli ordinali finiti e termina, quindi, con un numero infinito, o transfinito.


Applicazione del primo principio

Applicando il primo principio,che presiede alla generazione degli ordinali, otteniamo la successione:

0,1, 2, 3,…,n,…, ω, ω+1, ω+2…,ω+n…


Applicazione del secondo principio

Passando al secondo principio che presiede alla generazione degli ordinali, si ottiene:

lim (ω +n), che si indica con ω+ω = ω*2

Si dice ω*2 e non 2*ω, in quanto negli ordinali transfiniti le proprietà commutative usuali dell’aritmetica non sono più valide.


Spiegazione (1/2)

Se sommo un numero finito, per esempio 1, a un numero infinito come ω, il risultato sarà ancora ω; mentre se sommo 1 non a ω, ma partendo da ω, ho ω +1. Quindi la proprietà commutativa non è più valida.


Spiegazione (2/2)

Se si considera 2*ω, cioè ω coppie dell’ordinale 2, poste bene ordinate una dietro l’altra, si ottiene un insieme ordinato il cui numero ordinale è ω. Se, invece, si considera un ordinale costituito da due ω, uno dietro l’altro, si ottiene l’ordinale ω + ω, che si indica con ω*2


I numeri primi

Un numero naturale p>1 è primo se ha esattamente due divisori

I primi numeri della serie sono: 2, 3, 5, 7, 11…


I numeri composti

Un numero naturale p è composto se ha più di due divisori.

Un record appartiene al numero 7560, che vanta ben 64 fattori divisori e, nell’ambito di tutti i numeri fino a 10.000, il suo record è imbattuto, anche se eguagliato da 9240.


I numeri fattoriali

Sono contrassegnati dal punto esclamativo: n fattoriale si scrive n!

Il simbolo fu introdotto nel 1808 in Germania da Christian Kramp, a significare lo stupore per la rapidità con cui il fattoriale di n cresce al crescere di n.


I numeri perfetti

Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori, inclusa l’unità, ma escluso il numero stesso

6 e 28, ad esempio, sono numeri perfetti, perché:6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 +14


I numeri poligonali

Il nome di questi numeri poligonali deriva dalle disposizioni di punti che sono state studiate almeno fin dai tempi di Pitagora (circa 540 a.C.)

Tali numeri comprendono: i numeri triangolari, i numeri quadrati, i numeri pentagonali, ecc.


I numeri triangolari

Sono esprimibili mediante la formula: n*(n+1)/2

Quindi i primi numeri della serie sono: 1, 3, 6, 10, 15, 21…


I numeri quadrati

Ogni numero quadrato n2 è la somma di due numeri triangolari successivi.

Esempi rispettivamente con n=4; n=5; n=6 : 42 = 16 = 6 + 1052 = 25 = 10 + 1562 = 36 = 15 + 21


I numeri pentagonali

Sono dati dalla formula: n*(3n – 1)/2


Ogni numero pentagonale può essere ottenuto dalla somma di tre numeri triangolari: 5 = 1 + 1 + 3 12 = 3 + 3 + 622 = 6 + 6 + 10Ecc.


Numeri esagonali e numeri eptagonali

I numeri esagonali sono dati dalla formula: n*(2n – 1)


I numeri eptagonali sono dati dalla formula: n*(5n – 3)/2

I primi numeri della serie sono: 1, 7, 18, 34…


I primi numeri della serie dei numeri esagonali ed eptagonali


I numeri interi relativi Z

I numeri naturali costituiscono un sottoinsieme proprio di un insieme più generale, che è quello dei numeri interi relativi, cioè dei numeri contraddistinti dal segno positivo o negativo.

Anche l’insieme dei numeri interi relativi è numerabile.


I numeri razionali Q (1/2)

I numeri razionali si compongono di una parte intera e di una parte decimale, il periodo, formato da un numero finito di cifre, che si ripete indefinitamente. Se il periodo è 0, il numero decimale si dice limitato,(e il periodo non si scrive); se il periodo è diverso da 0, il numero si dice illimitato periodico.

I numeri razionali sono esprimibili mediante un rapporto di interi, quindi mediante frazioni.

L’insieme dei numeri razionali è numerabile.


I numeri razionali Q (2/2)

La potenza dell’insieme dei numeri razionali è ancora “numerabile”, è cioè la stessa dell’insieme dei naturali. (Come è stato dimostrato da Georg Cantor, i due insiemi si possono contare e possono, quindi, essere messi in corrispondenza biunivoca).


I numeri irrazionali (1/2)

I numeri irrazionali sono numeri non interi e non esprimibili mediante un rapporto di interi.

La scoperta dell’esistenza di grandezze tra loro non confrontabili numericamente, cioè incommensurabili, sconvolse i pilastri concettuali della scuola pitagorica, che riteneva i numeri interi come “misura di tutte le cose”. I pitagorici si resero conto che il rapporto tra il lato di un quadrato e la sua diagonale non può essere espresso da numeri interi.


I numeri irrazionali (2/2)

Il rapporto tra la diagonale d di un quadrato e

il suo lato a, cioè d/a vale V2, che non è esprimibile come rapporto di due numeri interi.


I numeri reali R (1/2)

I numeri razionali e irrazionali costituiscono nel loro insieme i numeri reali.

Un numero reale x si dice algebrico se è soluzione di un’equazione del tipo:

anxn + an-1x

n-1+ ... + a1x + a0 = 0

dove ogni aj (j = 1,...,n)è un intero

Un numero reale non algebrico si dice trascendente e necessariamente esso è un numero irrazionale.


I numeri reali R (2/2)

Georg Cantor (1845-1918) ha dimostrato che sono i numeri irrazionali trascendenti, presenti in numero infinito in qualsiasi intervallo prefissato, a conferire ai reali la “densità” necessaria per generare una potenza maggiore del numerabile; quindi l’insieme dei numeri reali non è più numerabile. La presenza dei numeri irrazionali trascendenti nel corpo dei numeri reali fa sì che la potenza del loro insieme sia la potenza del continuo, maggiore della potenza del numerabile.

La cardinalità dell’insieme dei numeri reali è espressa dal numero cardinale aleph 1.


I numeri trascendenti (1/2)

Il numero trascendente non è un numero algebrico, quindi non è soluzione di un’equazione algebrica con coefficienti razionali e con un numero finito di termini.

Nel 1873 Charles Hermite (1822-1901) ha dimostrato che il numero e, base dei logaritmi naturali,definito come

e=lim(n) (1+1/n)n

non poteva essere la soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali.


I numeri trascendenti (2/2)

Nel 1882 è stato Carl Ferdinand Lindermann (1852-1939) a raggiungere la prova che anche π è trascendente: infatti non può essere il risultato di un’equazione algebrica.

Aleph-uno è la potenza di Infinito associata ai numeri irrazionali trascendenti.


Numeri reali

Aleph- zero

Aleph-zero

SCHEMA di sintesi, relativo ai NUMERI REALI

Non interiAleph-uno

Razionali

Aleph-zero

IrrazionaliAleph-uno Algebrici

Trascendenti

Aleph-zero

Aleph-uno

Naturali


I numeri complessi C (1/2)

E’ stato C.F.Gauss (1777-1855) a coniare il termine “numeri complessi” per quei numeri a coppia

a+bi

dove a e b sono numeri reali, e i= V-1 si definisce unità immaginaria.

Essendo i = V-1, ne consegue che i2 = (V-1) * (V-1) = -1 i3 = i2 * i = -1 * i = - i

a + bi e a – bi si dicono numeri complessi coniugati; il loro prodotto è uguale a

(a + bi)(a – bi)=a2 + b2


I numeri complessi C (2/2)

L’insieme dei numeri complessi può essere pensato sia come un’estensione dei reali, sia come un’estensione degli immaginari e raccoglie le proprietà caratteristiche degli uni e degli altri (inoltre rende possibile l’esecuzione dell’operazione di radice, senza restrizioni).


I numeri infinitesimi e iperreali (1/4)

E’ stato l’americano Abraham Robinson (1918-1974) a sviluppare negli anni sessanta la non-standard analysis che introduce, a fianco dei numeri reali, i numeri iperreali, comprendenti anche i numeri infinitesimi.


Alcune informazioni base saranno sufficienti per introdurre l’innovativa impostazione di A. Robinson. Si parte dagli infinitesimi: un infinitesimo (limitandoci ai positivi) è un numero maggiore di zero e inferiore a qualsiasi numero reale positivo. Rispetto a Leibniz, secondo il quale gli infinitesimi erano delle variabili, Robinson attribuisce agli epsilon la dignità di numeri ben determinati: “la categoria dei numeri iperreali è l’insieme dei reali e degli infinitesimi”. Gli infinitesimi vengono, così, “promossi” a numeri veri e propri e si può parlare di due numeri iperreali infinitamente vicini se la loro differenza è rappresentata da un numero infinitesimo.

I numeri infinitesimi e iperreali (2/4)


I numeri infinitesimi e iperreali 3/4

Un numero iperreale finito ha la forma

a + dove a è un consueto numero reale ed un infinitesimo.

Intorno a un numero iperreale a finito esiste un “alone” di numeri infinitesimi, che costituiscono l’insieme dei numeri a+. Tale insieme viene detto, in omaggio a Leibniz, monade ed è indicato con µ(a).


Per i numeri iperreali valgono le stesse operazioni dei reali; ma il cosiddetto assioma di Archimede (che afferma: “Dato un numero reale a, esiste un numero intero n tale che na è maggiore di qualsiasi altro numero reale b.”) nell’analisi non–standard deve essere abbandonato.

I numeri infinitesimi e iperreali 4/4


I numeri immaginari I (1/3)

Fu Raffaele Bombelli (sec. XVI) a fornire per primo l’idea di pensare a un’unità immaginaria detta i, tale che il suo quadrato fosse l’unità negativa, cioè i2 = - 1. Bombelli fornì anche regole algoritmiche su tale entità. Ancora nel 1702 Leibniz esplicitava, forse, l’imbarazzo dei matematici riguardo a questa idea «assurda» di un quadrato negativo, dal momento che egli scriveva a proposito del numero immaginario: “Miracolo dell’analisi, mostro del mondo ideale, quasi anfibio tra essere e non essere”.


Un numero immaginario è il prodotto tra un numero reale e l’unità immaginaria.

Ad esempio: i, 6i, (8/5)i, sono tutti numeri immaginari.

Anche 0 si può pensare come 0i, quindi come numero immaginario.



Per comprendere l’entità di tali numeri, analizziamo i rispettivi quadrati dei numeri che sono stati scelti ad esempio: (6i)2 = 36*(-1) = - 36 (ì*8/5)2 = i2*64/25 = (-1)*64/25 = -(64/25)



Operazioni elementari in I

In I si possono anche definire le solite operazioni elementari. Basterà trattare i come se fosse una qualsiasi lettera e dunque applicare le regole scolastiche del calcolo letterale, non dimenticando che i2= -1

Esempi:Addizione: 6i + 7i = 13iSottrazione: 6i – 7i = - iMoltiplicazione: 6i*3i = 18i2 = -18Divisione: 6i / 3i = 2


I quaternioni (1/2)

L’estensione a una terza dimensione delle proprietà peculiari del piano complesso impegnarono a lungo l’irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865): il passaggio dai numeri complessi a+ib a terne ipercomplesse a+ib+jc, essendo i e j operatori simili, eluse per oltre dieci anni i suoi tentativi, non per l’operazione di somma, facile, ma per la moltiplicazione.


I quaternioni (2/2)

Nel 1843 ebbe l’illuminazione, mentre passeggiava con la moglie: doveva usare quaterne numeriche

a+bi+cj+dk

invece di terne, con a, b,c,d numeri reali e i, j, k aventi la stessa proprietà di i, cioè: i2=j2=k2=-1 e, sacrificando la proprietà commutativa della moltiplicazione, fare inoltre: ij = k, ma ji = -k e ki = j e ik = -j

Le quattro unità 1, i, j, k e le loro opposte –1, -i, -j, -k formano un gruppo dell’ottavo ordine non commutativo, detto gruppo dei quaternioni.


Ottetti o numeri di Carley

Sulla scia di Hamilton (che fu il primo a presentare un lavoro completo sui quaternioni), è fiorita tutta una serie di nuove algebre, tra cui l’algebra di Arthur Cayley (1821 – 1895), brillante studente a Cambridge, che formulò una teoria con 7 radici immaginarie di –1, creando così

un’ algebra di numeri a otto dimensioni. Tali numeri, chiamati ottetti o numeri di Cayley, sono utilizzati nello studio di spazi a n dimensioni.

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