Trigonometria e numeri complessi(rev nov.14)...Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica 1 CAPITOLO 1. Trigonometria e Applicazioni 1. Breve definizioni

CENNI DI TRIGONOMETRIA E

CENNI SUI NUMERI COMPLESSI

PER L’ELETTROTECNICA

(per classi elettrotecnica e automazione) Autore Nunzio Siciliano

rev. Nov.2014

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Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica

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CAPITOLO 1. Trigonometria e Applicazioni

1. Breve definizioni delle funzioni trigonometriche Sia dato il cerchio di raggio unitario di figura:

Il segmento OB, essendo il raggio sarà di lunghezza 1. Tale segmento forma con l’asse orizzontale un angolo αααα. I segmenti OC e CB sono definite come segue:

�� cos ��

Essendo il punto C interno alla circonferenza sarà necessariamente:

OC ≤ 1 CB ≤ 1

Pertanto: cos αααα ≤ 1 e sen αααα ≤ 1. Inoltre, per il Teorema di Pitagora, essendo il triangolo OBC un triangolo rettangolo:

OC� � CB� � OB� Ed essendo OB=1:

OC� � CB� � 1 Ossia:

cos�α � sen�α � 1 Al variare dell’angolo αααα variano le lunghezze dei segmenti OC e CB mentre il raggio OB sarà sempre unitario, il variare delle lunghezze dei segmenti implica, ovviamente, la variazione dei valori di cos αααα e sen αααα. Si può dunque concludere che per ogni angolo vi sono

due valori di cos αααα e sen αααα.

Si definisce, infine, la funzione tangente di un angolo αααα la seguente espressione:


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tan � � � ��cos �

2. Applicazioni delle funzioni trigonometriche per la risoluzione dei triangoli rettangoli.

Una delle applicazioni della trigonometria è la risoluzione dei triangoli rettangoli

Dato il triangolo rettangolo di figura, siano a e b i cateti e c l’ipotenusa: vale il Teorema di Pitagora:

�� !� � � ovvero:

c � "�� !� Essendo ϕϕϕϕ l’angolo tra il cateto a e l’ipotenusa c, dalle definizioni delle funzioni trigonometriche:

cosφ � ac

senφ � bc

tanφ � ba

3. Varie relazioni tra funzioni trigonometriche.

• � �% � cos &'� ( %) � cos90° ( %� • ��% � sen &'� ( %) � sen90° ( %�


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CAPITOLO 2. Numeri Complessi

1. Definizioni. Si definisce Unità Immaginaria j quel numero che elevato al quadrato da il valore −−−−1:

-. � (/ o, in modo equivalente:

- � √(/ . Operazioni che non possono essere eseguite nel campo dei numeri reali. Definita l’unità immaginaria è possibile definire il campo dei numeri immaginari come i multipli (positivi e negativi) e i sottomultipli (positivi e negativi) dell’unità j . Allo stesso modo dei numeri reali è possibile rappresentare i numeri immaginari su di una retta. Si definisce Numero Complesso una qualsiasi coppia di numeri individuabile su di un piano cartesiano nel quale su di un asse sono riportati i numeri reali e sull’altro asse i numeri immaginari. Il piano cartesiano sul quale si rappresentano i numeri complessi è detto piano di Gauss.

Un numero complesso di indica quindi con la somma a + jb dove a è la parte reale e b la parte immaginaria. Il segmento che unisce l’origine degli assi con il punto di intersezione fra a e b rappresenta in numero complesso ed è detto vettore complesso, i vettori complessi saranno indicati con una lettera sovrastata da una lineetta: 12. La “lunghezza” del vettore complesso si chiama Modulo l’angolo che forma con l’asse Re si chiama Fase. Il vettore forma un triangolo rettangolo dove i cateti sono rispettivamente la parte reale (a) e quella immaginaria (b) mentre l’ipotenusa è il modulo del vettore, in tal caso è possibile calcolare modulo e fase noti parte reale e parte immaginaria del vettore complesso: dato il numero complesso 12 � 3 � 45

• modulo Z � √a� � b�;

• fase θ � �89�� &ba) se a : 0

θ � �89�� &;<) � 180° se a > 0

Viceversa noti modulo e fase di un numero complesso è possibile determinarne la parte reale e la parte immaginaria:

dato il numero complesso12 di modulo Z e fase θθθθ

• parte reale Re@Z2A � Z ∗ cos θ

• parte Immaginaria Im@Z2A � Z ∗ senθ così che il numero complesso sarà espresso da 12 � 1EFGH � 41GIJH


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rappresentazione di numeri complessi sul piano di Gauss

2. Rappresentazione dei numeri complessi.

a) Forma Algebrica di un numero complesso È del tipo 12 � 3 � 45 (con a la parte reale e b quella immaginaria) b) Forma Polare di un numero complesso È del tipo 12 � @1, ∠MA (con Z il modulo e M la fase). c) Forma esponenziale del numero complesso

È del tipo 12 � 1N4M (con Z il modulo e M la fase, e = 2,71828 è il numero di Eulero). Si ricorda che OP � �� % � Q� �%


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2.1.Passaggio da forma Algebrica a forma Polare. 12 � 3 � 45

• modulo Z � √a� � b�;

• fase φ � �89�� &ba) per a : 0

φ � �89�� &;<) � 180° per a > 0

12 � @1, ∠MA

2.2.Passaggio da forma Polare a forma Algebrica. 12 � @1, ∠MA

• parte reale Re@Z2A � Z ∗ cos φ

• parte Immaginaria Im@Z2A � Z ∗ senφ 12 � 1EFGM � 41GIJM

3. Operazioni con i numeri complessi.

3.1.Somma (è da intendersi somma algebrica).

Z2R � aR � jbR Z2� � a� � jb�

Z2T � Z2R � Z2� � aR � jbR� � a� � jb�� aR � a�� jbR � b��

Per cui: Re@Z2TA � aR � a�� Im@Z2TA � bR � b��

3.2.Prodotto. Z2R � aR � jbR Z2� � a� � jb�

Z2T � Z2R ∙ Z2� � aR � jbR� ∙ a� � jb�� aR ∙ a�� jaR ∙ b�� ja� ∙ bR� � j�bR ∙ b�� Ed essendo j� � (1

Z2T � aR ∙ a� (bR ∙ b�� jaR ∙ b� �a� ∙ bR� Per cui: Re@Z2TA � a1 ∙ a2 (b1 ∙ b2� Im@Z2TA � a1 ∙ b2 �a2 ∙ b1� L’operazione si può effettuare anche con la forme polari dei numeri:

Z2R � @ZR, ∠φRA Z2� � @Z�, ∠φ�A

Z2T � Z2R ∙ Z2� � WZ1, ∠φ1X ∙ WZ2, ∠φ2X � YZ1 ∙ Z2, ∠φ1 �φ2�Z Quindi:

• modulo Z � ZR ∙ Z�;

• fase φ � φR � φ� 12[ � @1[, ∠MA

METODO CONSIGLIATO


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3.3.Rapporto.

Z2R � aR � jbR Z2� � a� � jb�

Si deve effettuare:

Z2T � Z2RZ2�

Si definisce complesso coniugato di un numero complesso quel numero che ha la stessa parte reale e quella immaginaria cambiata di segno, cioè se: Z2 � x � jy, il suo complesso coniugato sarà: Z2∗ � x ( jy Se si effettua il prodotto tra un numero complesso ed il suo coniugato si ottiene un numero reale:

Z2 ∙ Z2∗ � x ( jy� ∙ x ( jy� � x� � y� Per effettuare il rapporto espresso sopra è necessario determinare il complesso coniugato del

denominatore: Z2�∗ � a� ( jb� e successivamente moltiplicare numeratore e denominatore

della frazione per il complesso coniugato del denominatore: Z2�∗ Il rapporto sarà quindi:

Z2T � Z2RZ2� � Z2R ∙ Z2∗

Z2� ∙ Z2∗� aR � jbR� ∙ a2 ( jb2�

a� � jb�� ∙ a2 ( jb2� � aR ∙ a� (bR ∙ b�� jaR ∙ b� �a� ∙ bR�a�� b��

quindi il numero complesso risultante sarà:

Z2T � aR ∙ a� (bR ∙ b��a�� b�� j aR ∙ b� �a� ∙ bR�

a�� b��

L’operazione si può effettuare anche con la forme polari dei numeri: Z2R � @ZR, ∠φRA

Z2� � @Z�, ∠φ�A

Z2T � Z2RZ2� � WZ1, ∠φ1X

WZ2, ∠φ2X� _Z1Z2 , ∠φ1 (φ2�`

Quindi:

• modulo ZT � Z1Z2;

• fase φ � φR ( φ� 12[ � @1[, ∠MA

3.4.Inverso . Z2R � aR � jbR

Si deve effettuare:

Z2RaR � 1Z2R

Si può operare come per il rapporto considerando la divisione fra il numero 1+j0 e Z2R. Tuttavia per questo caso particolare si può dare una semplice regola:

METODO CONSIGLIATO


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Z2RaR � 1Z2R � aR

aR� � bR� ( j aRaR� � bR�

oppure, con la forma polare del numero

Z2R � @ZR, ∠φRA

Z2RaR � 1Z2R � _ 1ZR , ∠ ( φR�`

Quindi:

• modulo Z � 1Z1;

• fase φ � (φR 12 � @1, ∠MA

4. Somma Grafica di numeri complessi (da considerarsi somma algebrica).

Z2R � 3 � j2 Z2� � 4 ( j5

Z2T � Z2R � Z2� � 3 � j2� � 4 ( j5� � 7 ( j3 Z2T � Z2R ( Z2� � 3 � j2� ( 4 ( j5� � (1 � j7

NOTA IMPORTANTE Il modulo della somma algebrica di numeri complessi NON È pari alla somma algebrica dei moduli.

Metodo consigliato per il calcolo di impedenze in parallelo


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5. Angolo di sfasamento fra numeri complessi.

Z2R � @4,47, ∠63,43°A Z2� � @6,1, ∠34,99°A

• Fase di Z2R φR � 63,43° • Fase di Z2� φ� � 34,99°

Lo sfasamento fra i vettori Z2ReZ2�è la differenza fra le fasi:

φ � φR ( φ� � 64,43° ( 34,99° � 28,44°

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