I numeri complessi

I numeri complessi 1

Ed. 1.0 www.claudiocancelli.it April 2011

Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)



INDICE DEI CONTENUTI

11.. ll nnuummeerroo ccoommpplleessssoo,, ffoorrmmaa aallggeebbrriiccaa....................................................................................3

22.. IIll ppiiaannoo ccoommpplleessssoo,, rraapppprreesseennttaazziioonnee ggeeoommeettrriiccaa .............................................................5

NUMERO COMPLESSO OPPOSTO E COMPLESSO CONIUGATO ..................................................................................... 5

33.. PPaarrttee rreeaallee ee ppaarrttee ii mmmmaaggiinnaarriiaa.............................................................................................7

44.. LL’’uunniittàà iimmmmaaggiinnaarriiaa ccoommee ooppeerraattoorree ddii rroottaazziioonnee ..............................................................8

55.. FFoorrmmaa ttrriiggoonnoommeettrriiccaa oo ppoollaarree.............................................................................................11

DDaall ll ee cc oooorr ddiinnaa ttee ccaarrtt eessiiaa nnee aa llll ee cc oooorr ddiinnaatt ee ppoollaarr ii ...................................................................................................................... 11

DDaall ll ee cc oooorr ddiinnaa ttee ppoollaarr ii aallll ee cc oooorr ddiinnaatt ee ccaarrtt eessiiaann ee ..................................................................................................................... 12

66.. FFoorrmmaa eessppoonneennzziiaallee .................................................................................................................14

77.. OOppeerraazziioonnii ccoonn ii nnuummeerrii ccoommpplleessssii .......................................................................................16

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica ..................................................................... 16

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica........................................................... 16

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica .............................................................................................. 17

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica ................................................................................... 17

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica ........................................................................................... 18

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica ................................................................................ 18

CCOONN SSIIDDEERRAA ZZIIOONN II ((…….. ll ee mmii ee ee llee vv oossttrr ee ……....))............................................................................................................................20

88.. EEsseerrcciizzii ......................................................................................................................................21



Figura 2 - i al quadrato

Figura 3 - Radice quadrata di -64

Figura 1 - L'unità

immaginaria

11.. ll nnuummeerroo ccoommpplleessssoo,, ffoorrmmaa aallggeebbrriiccaa

Un numero complesso z si scrive nella forma algebrica:

z = a + ib (ma anche a + jb)

Dove a, b sono numeri reali: l a è la parte reale l b è il coefficiente della parte immaginaria l ib è la parte immaginaria;

i, o j è detta unità immaginaria. Dal punto di vista matematico l’unità immaginaria è un oggetto che elevato al quadrato dà come risultato – 1, e quindi il nuovo amico immaginario è uguale alla radice di -1.

CCoonn ll’’ iinnttrroodduuzziioonnee ddeellll’’uunniittàà iimmmmaaggiinnaarriiaa ii,, èè ccoossìì ppoossssiibb iillee ccaallccoollaarree llaa rraaddiiccee qquuaaddrraattaa ddii

qquuaalluunnqq uuee nnuummeerroo nneeggaattiivv oo..

Esempio: Calcolare la radice quadrata di -64.

INTERROGATICO: esiste nell’ambito dei numeri reali n numero che elevato al quadrato da come risultato -64?

RISPOSTA: NO!!!! Per tutti noi è ben chiaro che non c’è soluzione: non si riuscirà mai a trovare un numero che elevato al quadrato dia – 64.

Per definizione il quadrato di qualsiasi numero, positivo o negativo, sarà sempre positivo.

Quindi la radice quadrata di un numero negativo non ha alcun significato. MA ORA, AVENDO INTRODOTTO UNO SPAZIO IMMAGINARIO, LA RISPOSTA SARA’ SI!!!! DEFINITA L’UNITA’ IMMAGINARIA, i, COME: Avremo:

( ) i81*6416464 =−=−⋅=−



Esempio Calcolare le potenze dell’unità immaginaria fino all’indice 4:

iiii −=−−== 1*1*23

1)1(*)1(* 224 =−−== iii

11 −=i

1)1(1*1* 22 −=−=−−== iii



Figura 4 - Piano complesso

Figura 5 – Numero complesso opposto e

complesso coniugato

22.. IIll ppiiaannoo ccoommpplleessssoo,, rraapppprreesseennttaazziioonnee ggeeoommeettrriiccaa Dopo aver introdotto l’unità immaginaria allarghiamo la nostra visione sui numeri e pensiamo ad un nuovo piano: il piano complesso.

Il piano complesso è un modo per rappresentare e visualizzare lo spazio dei numeri complessi, ossia dei numeri che hanno una parte reale ed una parte immaginaria.

Il piano complesso è il piano cartesiano con la parte reale del numero complesso riportata sull'asse delle ascisse, x e la parte immaginaria riportata sull'asse delle ordinate, y (vedi figura 4).

Tale piano prende il nome di Piano di Gauss.

L'asse x pertanto è l'asse reale e l'asse y è l’asse immaginario.

Se pensiamo al nostro numero complesso composto z = a + jb, individueremo il segmento a sull’asse reale ed il segmento b sull’asse immaginario.

NUMERO COMPLESSO OPPOSTO E COMPLESSO CONIUGATO

Dato il numero complesso, z:

il numero complesso opposto – z si ottiene cambiando il segno sia della parte reale sia della parte immaginaria:

jbaz −−=− mentre il numero complesso coniugato si ottiene cambiano solo il segno della parte immaginaria:

jbaz −=

Esempio: Dato il numero complesso z,

iz 43 +−= calcolare l’opposto ed il complesso coniugato.

Il numero complesso opposto a z risulta:

iz 43 −=− Il numero complesso coinugato di z risulta:

iz 43 −−=

jbaz +=

Fig. 6 – Espressione

di un numero opposto e del

complesso coniugato



Esercizio da svolgere: Rappresenta sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi facendo uso dello spazio sottostante, dopo aver rappresentato e quotato i due assi cartesiani:

z1 = 3 + 4i

z2 = -5 + 4i

z3 = -4 – 2i

z4 = -1 – 4i



33.. PPaarrttee rreeaallee ee ppaarrttee iimmmmaaggiinnaarriiaa Se si effettua la somma tra il numero complesso ed il suo complesso coniugato (cambia il segno solo della parte immaginaria) ed il risultato si divide per due (figura 7) si risale facilmente, come riportato nel grafico di figura 8, alla parte reale del numero complesso Analogamente per la parte immaginaria, il risultato si ottiene effettuando la differenza tra il numero complesso ed il numero complesso coniugato e dividendo il risultato per 2i (figure 7/8).

Esempio: dato il numero complesso z = 6 +2i, verificare sulla base delle indicazioni fornite in figura 7, la parte reale e la parte immaginaria.

Figura 8 – Piano complesso: parte reale e parte immaginaria

Figura 7 – Parte reale e parte immaginaria

iz 26 −=

62

122

26262

==−++

=+

=iizz

a

224

2)26(26

2==

−−+=

−=

ii

iii

izz

b

baz += 2

)Re(zz

za+==

izz

zb2

)Im(−

==



Figura 9 - Rotazione di 180o




44.. LL’’uunniittàà iimmmmaaggiinnaarriiaa ccoommee ooppeerraattoorree ddii rroottaazziioonnee Casa vuol dire moltiplicare per -1? Pensiamo ad un numero reale positivo +a posizionato sull’asse dei numeri reali. Moltiplicare tale numero per -1 vuol dire ottenere come risultato –a, e ciò corrisponde ad una rotazione di a intorno all’origine di 180°, o di π (vedi fig. 9)

Perché (-1)(-1) = 1? Moltiplicare il numero +a due volte vuol dire effettuare una rotazione di 360°, o 2π, come dire non effettuare alcuna rotazione. Quindi moltiplicare per +1 equivale ad una rotazione pari a 0o(vedi fig. 10)

Cos’e i? Moltiplicare il numero a per i, l’unità immaginaria vuol dire ruotare il numero di π/2 in senso antiorario (vedi fig. 11).

Perché i*i = -1? Moltiplicare il numero a per i2 vuol dire ruotare il numero di π/2 + π/2 = π in senso antiorario e ciò, come già visto, equivale a moltiplicare il numero a per -1 (vedi fig. 12).



Figura 14 - Prodotto di un numero complesso per l'unità immaginaria

Figura 13- Rotazione di un angolo θ

Ecco il numero complesso Se l’unità immaginaria i è associata ad un angolo di 90°, il numero complesso è l’operatore che consente di ruotare il numero a di un angolo θ, variabile a piacere (vedi fig. 13).

Sul piano complesso il numero reale a è individuabile sull’asse reale, mentre il numero immaginario ia, è individuabile sull’asse immaginario; per estensione si può quindi affermare la seguente: CCOONNCCLLUUSSIIOONNEE:: mmoollttiipplliiccaarree uunn nnuummeerroo ccoommpplleessss oo zz,, ccoommppoossttoo ddaa uunnaa ppaarrttee rreeaallee eedd uunnaa

iimmmmaaggiinnaarr iiaa,, ppeerr ll’’uunniittàà iimmmmaaggiinnaarr iiaa ii vv uuoollee ddiirree rruuoottaarree ddii 9900°° iinn sseennssoo aa nnttiioorraarriioo iill nnuummeerroo ccoommpplleessssoo zz ..

IILL RRIISSUULLTT AATTOO èè qquuiinnddii uunn nnuuoovv oo vv eettttoorree rruuoottaattoo iinn aannttiicciippoo ddii 9900°° rriissppeettttoo aa zz..

Esempio: moltiplicare per l’unità immaginaria i il numero complesso z = 2 +i3 e giustificare il risultato. Posto w = i p =z*w = i(2 + i3) = i2 + i23 =i2 -3 p rispetto a z risulta ruotato di 90° in senso antiorario, come si può osservare dalla figura 14.

Per estensione, moltiplicare un numero complesso z = a + ib:

Ø per i, vuol dire ruotarlo di 90° in senso antiorario, ossia z90 = -b + ia. Ø per i2, vuol dire ruotarlo di 180° in senso antiorario, ossia z180 = -a -ib. Ø per i3 = -i, vuol dire ruotarlo di 270° in senso antiorario, ossia z270 = –b -ia. Ø per i4 = 1, vuol dire ruotarlo di 360° in senso antiorario ed ottenere ancora lo stesso

numero complesso z = a + ib.



Esempio: dividere per l’unità immaginaria il numero complesso z = a +ib e giustificare il risultato.

Il risultato z1 è un numero complesso che ha lo stesso modulo di z ma ruotato di 90° in senso orario. Dividere un numero complesso per i, equivale a moltiplicare il numero per –i.

CCOONNCCLLUUSSIIOONNEE:: ddiivv iiddeerree uunn nnuummeerroo ccoommpplleessssoo zz ppeerr ll’’uunniittàà iimmmmaaggiinnaarr iiaa ii vv uuooll ddiirree rruuoottaarree ddii 9900°° iinn sseennssoo oorraarriioo iill nnuummeerroo ccoommpplleessssoo zz ..

IILL RRIISSUULLTT AATTOO èè qquuiinnddii uunn nnuuoovv oo vv eettttoorree rruuoottaattoo iinn rriittaarrddoo ddii 9900°° rriissppeettttoo aa zz..

Si può pensare all’unità immaginaria quindi come ad un operatore di rotazione di 90° o π/2 radianti. In virtù di tale proprietà l’unità immaginaria viene utilizzata nelle applicazioni che richiedono di giustificare analiticamente il ritardo o l’anticipo di una grandezza vettoriale rispetto ad un’altra di 90°. Esempio1: per un induttore in regime sinusoidale la tensione è in anticipo rispetto alla corrente di 90°, ossia:

In un condensatore la tensione è in ritardo rispetto alla corrente di 90°, ossia: Si può completare il paragrafo sostenendo che un numero complesso viene utilizzato nelle applicazioni che richiedono di giustificare analiticamente il ritardo o l’anticipo di una grandezza vettoriale rispetto ad un’altra di un angolo compreso tra 0 e 360° (vedi l’esempio e il punto b delle considerazioni di paragrafo 7).

1 Per gentile concessione da parte dei lettori ad un docente di elettronica

aibbiai

bia

iib

ia

iiba

z −=+=+=+=+

=21

ILiV ω=

IC

iVω1−=

Figura 1 - Condensatore, V in

ritardo sulla I

Figura 16 - Induttore, V in anticipo su I

Figura 15 - Induttore

Figura 17 - Condensatore



Figura 19 - Modulo e argomento

55.. FFoorrmmaa ttrriiggoonnoommeettrriiccaa oo ppoollaarree

Il numero complesso si può rappresentare nella forma trigonometrica (o polare) nel seguente modo:

Dove:

è il modulo del numero complesso z (lunghezza del vettore z), |z|,

e rappresenta l’argomento del numero complesso (angolo che il vettore z forma con l’asse reale), arg z

Con la rappresentazione polare di un numero complesso, ρ e θ rappresentano le coordinate polari del numero complesso.

DDaa llllee ccoooorrddiinnaattee ccaarrtteessiiaannee aallllee ccoooorrddiinnaattee ppoollaarrii

Tra le coordinate cartesiane del numero complesso (a,b) e le coordinate polari ρ e θ, esistono le seguenti relazioni:

Poiché ci deve essere corrispondenza tra le coordinate polari e le coordinate cartesiane, vale:

poiché risulta che il coseno di un angolo è uguale al cateto dell’angolo opposto fratto l’ipotenusa, ed il seno di un angolo è uguale al cateto dell’angolo adiacente fratto l’ipotenusa, vale:

22|| baz +==ρ

)sin(cos||)sin(cos θθθθρ iziz +=+=

ρθ

ab

tag =θ

ibaizz +=+= )sin(cos|| θθ

22||cos

baa

za

+==θ

22|| bab

zbsen

+==θ

Figura 20 - Relazione trigonometrica - polare

θabtag =θ

22 ba +

iba +

a

b

Re

Im



Esempio: dato il numero complesso nella forma algebrica z = 3 +4i, calcolare il modulo, dopo averlo rappresentato sul piano di Gauss. Quanto vale l’angolo che l’ipotenusa forma con l’asse reale?

Esercizio da svolgere: dato il numero complesso nella forma trigonometrica z = 6 +2i, calcolare modulo ed argomento. Calcolare inoltre il seno ed il coseno dell’argomento.

θ =arctg(2/6)=arctg0,333= 18,42o

cosθ = cos 18,42 = 6/6,32 =0,949

senθ = sen18,42 = 2/6,32 =0,316

DDaa llllee ccoooorrddiinnaattee ppoollaarrii aa llllee ccoooorrddiinnaattee ccaarrtteessiiaannee

Tra le coordinate polari del numero complesso ρ e θ e le coordinate cartesiane (a,b), esistono le seguenti relazioni:

a è la proiezione del modulo sull’asse reale

b è la proiezione del modulo sull’asse immaginario

θρ cos=a

θρ sin=b

32,62626|| 2222 =+=+== zρ

θ = arctg 4/3 = 53o

22|| baz +==ρ

22|| baz +==ρ

ab

tag =θ

22 ba +=ρ

Figura 21 - Relazione polare -

trigonometrica

θ

a

b

Re

Im

ρ ρsinθ

ρcosθ

θ



Esempio: dato il numero reale positivo + 3, esprimerlo nella forma trigonometrica

poiché deve risultare

risulta che la parte immaginaria deve essere uguale a zero, quindi senθ = 0, ossia θ = 0.

Di conseguenza cosθ = 1, quindi ρ = 3.

Esempio: data l’unità immaginaria + i esprimerla nella forma trigonometrica


risulta che la parte reale deve essere uguale a zero, quindi cosθ = 0, ossia θ = 90o.

Di conseguenza senθ = 1, quindi ρ = 1.

Esempio: dato il numero 3i, esprimerlo nella forma trigonometrica


risulta che la parte reale deve essere uguale a zero, quindi cosθ = 0, ossia θ = 90o.

Di conseguenza senθ = 1, quindi 3i = ρi, ρ = 3.

Si comprende dalla figura sottostante la rotazione di 90° che si ottiene moltiplicando il numero 3 per l’unità immaginaria i.

Esempio: dato il numero complesso espresso in forma polare:

z = 6,32(cos26,56 + isen26,56),

calcolare le coordinate cartesiane a,b.

Poiché il numero è nella forma

Risulta: a = 6,32*cos18,41 = 6,32*0,948 = 5,99 ≅ 6,0

b = 6,32*sen18,41 = 6,32*0,315= 1,99 ≅ 2,0

quindi il numero complesso in forma algebrica:

z = 6 + 2i

)sin(cos θθρ iz +∗=

)sin(cos||)sin(cos3 θθθθρ izi +=+=

)sin(cos||)sin(cos θθθθρ izii +=+=

)sin(cos||)sin(cos3 θθθθρ izii +=+=



66.. FFoorrmmaa eessppoonneennzziiaallee Il numero complesso si può rappresentare in forma esponenziale nel seguente modo:

Dove e indica il numero di Nepero ed è la base dei numeri naturali, ρ rappresenta il modulo del numero complesso z e θ l’argomento del numero complesso.

Le operazioni tra numeri complessi espressi in forma esponenziale seguono le proprietà delle potenze. Regola del prodotto ( )βαβα +=⋅ iii eee

Regola del quoziente ( )βαβα −= iii eee :

Regola della potenza di potenza ( ) ( )αα nini ee =

Tenendo conto delle formule di Eulero:

Prima formula θθθ sincos iei +=

Seconda formula θθθ sincos ie i −=−

Terza formula 2

cosθθ

θii ee −+

=

Quarta formula iee ii

2sin

θθ

θ−−=

Importante è anche la formula di De Moivre:

z n = (ρ eiθ)n = ρ n (cos θ + i sin θ)n = ρ n (cos nθ + i sin nθ)

Tenendo conto della prima formula di Eulero risulta che per la rappresentazione di un numero complesso vale l’identità:

Esempio: esprimere il numero complesso in forma algebrica.

Esempio: esprimere il numero complesso z = 1 – i in forma trigonometrica ed esponenziale.

La forma trigonometrica risulta:

θθρ ii ezez ==

)sin(cos θθρ θθ izezez ii +===

6πi

ez =

21

23

66cos iisenz +=+=

ππ

( ) 211 22 =−+=ρ 111

−=−

=θtg4

451π

θ −=−=−= oarctg

)4545(cos41,1)4()4(cos(2 −+−=−+−= ìsenisenz ππ



La forma esponenziale risulta:

Esempio: calcolare

Risulta per la formula di De Moivre:

Esempio: calcolare

Poiché risulta con k = 0,1, le soluzioni

risultano

454 22 iieez −−

==π

6 1 iz +=

[ ]66

6

1

)44(cos2)2

12

1(cos2)1( ππ iseniseniz +=

+=+=

iisenisenz 8)2

32

3(cos2)4

64

6(cos2 26

6−=+=+= ππππ

iz 2−=

23πi

ei =− 21)2

23(

21

21

21

21

)2()()2()2(ππ ki

eiiz+

=−=−=

iiisenezi

+−=+−=+== 1)22

22

(2)135135(cos2)2( 43

21

1

π

iiz −=+−−= 1)22

22

(22



77.. OOppeerraazziioonnii ccoonn ii nnuummeerrii ccoommpplleessssii22 E’ vero che i numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali: infatti il numero 5 può essere visto come un numero complesso con la parte immaginaria uguale a zero, ma è altrettanto vero che per le operazioni tra numeri complessi valgono le regole dei polinomi che tutti noi ben conosciamo!

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica Dati due numeri complessi e la somma e la differenza tra i numeri z1 e z2 risultano:

Esempio: dati i numeri complessi z1 = 4-3i e z2 = -3+5i, la somma e la differenza tra z1 e z2 risultano: zs = z1 +z2 = (4–3i) + (–3+5i) = 4 – 3i – 3 + 5i = 1 + 2i

zd = z1-z2 = (4–3i) - (– 3+5i) = 4 – 3i + 3 - 5i = 7 - 8i

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica Dati due numeri complessi rappresentati in forma trigonometrica:

risulta che il numero complesso somma si ottiene

2 Per esercitarsi on_line, possono risultare utili gli applet richiamati all’indirizzo: www.claudiocancelli.it/web_education/matematica

Figura 22 - Somma e differenza, significato geometrico

)()( 212121 bbiaazz +++=+ )()( 212121 bbiaazz −+−=−

)( 111 ibaz += )( 222 ibaz +=

)sin(cos 1111 θθρ iz += )sin(cos 2222 θθρ iz +=

=+++=+ )sin(cos)sin(cos 22211121 θθρθθρ iizz

)sinsin(coscos 22112211 θρθρθρθρ +++= i



mentre il numero complesso differenza è uguale a:

Esempio: dati i numeri complessi in forma trigonometrica:

z1 = 5(cos37 - i sen37) e z2 = -5,83(cos59 - i sen59)

calcolare la somma e la differenza tra i due numeri complessi

Somma zs = z1 + z2 = 5*cos37 - 5,83*cos59 + i(5*sen37 +5,83*sen59) =

= 5*0,8 – 5,83*0,51 +i(-5*0,6 + 5,83*0,857) = 4-2,98 + i(-3+5) ≅ 1 + 2i

Differenza zd = z1 - z2 = 5*cos37 - 5,83*cos120 +i(5*sen37 - 5,83*sen59)

=5*0,8 + 5,83*0,51 +i((-5*0,6 - 5,83*0,857) = 4 + 2,98 +i (-3-5) ≅ 7 -8i

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica Dati due numeri complessi espressi in forma algebrica: e applicando la proprietà distributiva e ricordando sempre che i2 = -1, il prodotto z1*z2 risulta uguale a:

Esempio: dati i numeri complessi z1 = 4-3i e z2 = -3+5i, il prodotto z1*z2 risulta:

zp = z1*z2 = (4–3i) * (–3+5i) = -12–15i2 +i20+i9 = -12+15+20i+9i = 3+i29

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica Dati due numeri complessi z1 e z2, rappresentati in forma trigonometrica: e il prodotto tra z1 e z2 fornisce ancora una rappresentazione polare del numero complesso con il modulo uguale al prodotto tra i moduli dei numeri complessi e con l’argomento uguale alla somma degli argomenti.

)()( 1221212121 babaibbaazz ++−=⋅

)( 111 ibaz += )( 222 ibaz +=

)]sin()[cos( 21212121 θθθθρρ +++= izz


]sin[cos θθρ iz +=

=+−+=− )sin(cos)sin(cos 22211121 θθρθθρ iizz

)sinsin(coscos 22112211 θρθρθρθρ −+−= i



Esempio: dati i numeri complessi in forma trigonometrica:

z1 = 5(cos37 - i sen37) e z2 = -5,83(cos59 - i sen59)

calcolare il prodotto z1*z2.

Risulta:

zp = z1*z2 = 5*(-5,83)*[(cos(37+59) + isen(37+59)] =

-29,15*(-0,104 + i0,99) ≅ 3 + i29

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica Dati due numeri complessi e

il quoziente si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato di z2 (denominatore) come di seguito riportato: Esempio: dati i numeri complessi

z1 = 0,433 + i0,25 e z2 = 1,41 + i1,41

calcolare il quoziente tra z1 e z2.

Risulta:

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica Dati due numeri complessi z1 e z2, rappresentati in forma polare: e il quoziente tra z1 e z2 (con z2 diverso da zero) fornisce ancora una rappresentazione polare del numero complesso con il modulo uguale al quoziente tra i moduli dei numeri complessi e con l’argomento uguale alla differenza degli argomenti.

Con: ρ = ρ1/ρ2 e θ = θ1-θ2

risulta:

)( 111 ibaz += )( 222 ibaz +=

[ ])sin()cos( 2121

2

1

2

1 θθθθρρ −+−= i

zz


]sin[cos θθρ iz +=

=−−

++

=++

==)41,141,1()41,141,1(

*)41,141,1()25,0433,0(

41,141,1)25,0433,0(

2

1

ii

ii

ii

zz

z

065,024,0976,3

)256,096,0()41,141,1(

)35,035,0606,061,0(22

iiii

−=−

=+

++−=



Esempio:: dati i numeri complessi:

z1 = 0,5(cos30+isen30) e z2= 2,0(cos45+isen45)

calcolare il quoziente tra i due numeri complessi ed esprimerlo in forma algebrica.

Risulta ρ = ρ1/ρ2 = 0,5/2,0= 0,25 e θ = θ1-θ2= -15o

Quindi z = 0,25(cos(-15)+isen(-15) = 0,25(0,965-i0.258) = 0,24 – i0,065



CCOONNSSIIDDEERRAAZZIIOONNII ((…….. llee mmiiee ee llee vvoossttrree ……....))

a. L’unità immaginaria i è un operatore che ha modulo unitario e argomento -π/2. Ma perché è utile nella descrizione di fenomeni fisici?

Valutiamo un paio di fenomeni e vediamo se l’operatore immaginario ci può aiutare. a1. Pensiamo a due punti che si muovono su una circonferenza di moto circolare uniforme e distano di 90°. Se il fenomeno fisico che li contraddistingue è il medesimo (v=2πRf), come si può distinguere la differenza angolare tra i due punti? a2. La differenza di fase tra tensione e corrente in due fondamentali componenti elettrici, il condensatore e l’induttore, descritti idealmente dalla capacità e dall’induttanza, è pari a 90° (vedi par. 4). Come può essere messo in evidenza tale fenomeno, tenendo presente che la legge che li governa (Ohm) è la stessa? E’ l’operatore j che vi viene in aiuto: in particolare è il metodo simbolico che con una semplice rappresentazione in campo complesso delle grandezze reali ci consente di effettuare l’analisi di tali fenomeni fisici e di molti altri. Ci si può fermare qui con l’intento di aver messo in evidenza solo il problema; la trattazione è rimandata alla materia disciplinare.

b. Il numero complesso z = ρejθ = cos θ + i senθ, è un operatore che determina una rotazione intorno all’origine di un angolo θ. Effettuare il prodotto tra due numeri complessi z = cosθ + i senθ e z1 = cos ϕ + i senϕ, vuol dire determinare una rotazione complessiva pari alla somma dei singoli argomenti di ciascun numero complesso θ e ϕ, come si può evidenziare dalla figura 21.

c. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

d. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

Figura 23 - Prodotto tra numeri complessi



88.. EEsseerrcciizzii

Riempire gli spazi bianchi della seguente tabella.

Forma algebrica Forma geometrica Forma esponenziale

1 2/πje cos sin

2 2i

π π− −+

-1 6/je6 π

-i

-1 - i

10 cos sin4 4

iπ π +

5 - 5i -8 - 8i

6 cos sin3 3

iπ π− − −

i355 −

33π

ie



Risolvere i seguenti esercizi

Nr. Esercizio Soluzione 1 ( ) ( )6524 jj +++ 89 j+

2 ( ) ( )3726 jj −++ j−13

3 ( ) ( )j2j23 −−− 1 - j 4 ( )( )5243 jj ++ 2314 j+−

5 ( )( )( )463725 jjj +−− 58290 j−

6 ( )( )2424 jj −+ 20

7 (3 + i)2 8 + 6i

8 ( ) ( )j43/j247 −−− j43 −

9 ( ) ( )j31/j42 −+ j1 +−

10 ( ) ( )j75/j193 −− j2 −



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Qualsiasi osservazione che possa contribuire a rendere il documento più completo è ben accolta!

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… e per concludere un bel bicchiere di vino, ma immaginario!

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I numeri complessi