I NUMERI COMPLESSI

Perché ampliare i numeri reali?

L’insieme dei numeri reali ha una “struttura”

matematica che permette di risolvere moltissimi

problemi, ma è insufficiente nella risoluzione di

equazione del tipo:

2 1 0x

E se provassimo a risolvere queste equazioni?

Unità immaginaria e numeri immaginari

Chiamiamo i una soluzione dell’equazione

i si chiama unità immaginaria. Vale che

i² = -1,

Chiamiamo numeri immaginari “ il prodotto fra numeri reali e unitàimmaginaria”

2i… -4i … -i …

In questo modo si risolve il problema dell’estrazione di radice

di un numero reale negativo

2 1 0x

Numeri complessi in forma

algebrica

Un numero complesso z si scrive nella forma

z = x+iy

Dove x,y sono numeri reali:

x è la parte reale

y è il coefficiente della parte immaginaria

Questi sono gli oggetti del nuovo insieme numerico:

C

Addizione e sottrazione Addizione (legge di composizione interna a C):

(a + ib)+(c + id)=(a + c)+ i(b + d)

Questa operazione ha le seguenti proprietà:

Estende la consueta operazione di somma tra reali;

Gode della proprietà associativa e commutativa.

Esiste l’elemento neutro 0

Ogni elemento z=a+ib ammette in C un “simmetrico” rispetto all’addizione (-z=-a-ib) che si chiama opposto di z .

Sottrazione (legge di composizione interna)

(a + ib) - (c + id) = (a-c)+ i (b-d)

Come definire la moltiplicazione?

La moltiplicazione deve soddisfare alcune condizioni:

1. Deve estendere la moltiplicazione tra numeri reali;

2. Deve soddisfare la proprietà i² = -1;

3. Deve essere commutativa e associativa;

4. Deve godere della proprietà distributiva rispetto all’addizione;

Moltiplicazione

(a + ib) · (c + id) = (a + ib) · c + (a + ib) ·(id)

=

= [ac + i(bc)] + [i(ad)+ (ib) ·(id)] =

= ac + i(bc) + i(ad) – bd =

(ac – bd) + i(bc + ad)

Coniugato

Dato un numero complesso

si dice coniugato di z il numero complesso che

ha la stessa parte reale e parte immaginaria

opposta:

z

z a ib

.

Reciproco

Ogni elemento z = a + ib , con a e b non

contemporaneamente nulli, ammette in C un

“simmetrico” rispetto alla moltiplicazione, che si chiama reciproco di z , dato da

2 2 2 2

1 1 z a bi

z a ib z z a b a b

Divisione tra complessi

La divisione in C si può introdurre utilizzando quanto

abbiamo fatto per il reciproco di un numero

complesso (non nullo).

(con c e d non entrambi nulli) si può calcolare con il

seguente prodotto:

a ib

c id

1

a ibc id

Rappresentazione geometrica: come

punti di un piano piano

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con assi x

e y, e un numero complesso u= x + iy , i numeri reali x e y si

possono interpretare come l’insieme vettori , dove P è il

punto di coordinate (x,y) e O è l’origine degli assiOP

Il piano ottenuto si chiama di Argand-Gauss o piano di Gauss.

L’asse delle ascisse viene anche chiamato asse reale e quello

delle ordinate asse immaginario.

Il modulo di un numero complesso è il modulo

del vettore che rappresenta u.

|u-v| è il modulo del vettore

22 yxu

PQ

Somma

Opposto e coniugato

Sottrazione

Moltiplicazione per un

numero intero

z

.

Se n è un intero positivo, si definisce il complesso

nu come la somma di u con se stesso n volte

e –nu come la somma di –u con se stesso n volte

Geometricamente, stiamo considerando

i multipli interi del vettore dato

Moltiplicazione per un numero intero

Forma goniometrica(immagini tratte dal sito de “Il Giardino di Archimede”)

|z| si chiama modulo di z

θ si chiama argomento di z

•Il modulo di z si indica con |z|

•L’argomento principale (quello compreso tra 0 e 2π) con arg(z)

Da z=x+iy si passa a

22|| yxz

||cos

z

x

||sin

z

y

)sin(cos|| izz

y

x

z

θ

|z|

o

Moltiplicazione in forma goniometrica

)sin(cos 1111 iz )sin(cos 2222 iz

)]sin()[cos( 21212121 izz

Eseguendo la moltiplicazione e ricordando le formule

di addizione del coseno e del seno

Il modulo si ottiene moltiplicando i moduli

L’argomento si ottiene addizionando gli argomenti

Divisione in forma goniometrica

111 iyxz

222 iyxz )0( 2 z

2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

2

1

yx

yxyxi

yx

yyxx

z

z

)sin(cos 1111 iz

)sin(cos 2222 iz )0( 2 z

)sin()cos( 21212

1

2

1

i

z

z

Il modulo si ottiene dividendo i moduli

L’argomento si ottiene sottraendo gli argomenti

Forma Algebrica Forma goniometrica

Potenza

z

.

formula di De Moivre

)sin(cos iz

)sin(cos ninz nn