NUMERI RELATIVI

MAPPA CONCETTUALE

nN

INSIEMI NUMERICI

N

NUMERI NATURALI

Qa

NUMERI RAZIONALI

Q

NUMERI RELATIVI

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI

OPERAZIONI CON I NUMERI RAZIONALI

OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

DEFINIZIONI E PROPRIETA’

ESPRESSIONI ESPRESSIONI ESPRESSIONI

Alcune grandezze, come la temperatura, l’altitudine, le somme

di denaro, possono assumere valori opposti rispetto a uno di

riferimento. Ad es.:

+5 °C ; -8 °C ;

+300 m s.l.m. ; -50 m s.l.m. ;

+ 200 € (credito) ; -100 € (debito).

Per rappresentare queste grandezze, e per eseguire sottrazioni

in cui il sottraendo è maggiore del minuendo ( es.:10-15),

sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se

preceduti dal segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-).

OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI 

Addizione La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso segno e per modulo la somma dei moduli. Es.: 

(+7) + (+8) = + 15 ; (-5) + (-4) = - 9  

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori assoluti degli addendi. Es.: 

(+9) + (-5) = +4 ; (+6) + (-9)= -3 

La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0

 Quando si devono addizionare più numeri relativi, applicando le proprietà commutativa e associativa dell’addizione, conviene addizionare separatamente tutti gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi ed infine addizionare le somme parziali ottenute. Es.: (-8) + (-2) + (+10) + (-4) + (+15) = (+10+15) + (-8-2-4) =(+25) +(-14) = +11

 

Sottrazione La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al minuendo l’opposto del sottraendo. Es.: 

(+5) – (+4) = (+5) + (-4) = +1 ;

(+6) – (-8) = (+6) + (+8) = +14 

(-7) – (+5) = (-7) + (-5) = -12 ;

(-8) – (-5) = (-8) + (+5) = -3 

 

L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni

distinte e assumono l’unico nome di addizione algebrica; si

chiama somma algebrica il risultato di addizioni e sottrazioni.

Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica

contenente le parentesi, si possono seguire due metodi:

1)     si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e infine delle graffe;2)     si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi:per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio segno; per eliminare una parentesi preceduta dal segno (-), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi cambiandoli di segno.

Calcolare la seguente espressione:  13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22 Primo metodo: 13 - {-2 - [ 4- (-2)] + 1} – 22 13 - {-2 - [+6 ] + 1} – 2213 - {-8 + 1} – 2213 - {-7} – 2220 – 22-2

Secondo metodo 13 - {-2 - [ 4-3+5)] + 1} – 22 13 - {-2 –4+3-5+1} – 22 13 +2+4-3+5-1– 22 13+2+4+5-3-1-22 24-26 -2

Calcolare la seguente espressione:

4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – (11 + 3/4)]}

Primo metodo:

4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 47/4]}

4 – {13/3 – [ - 161/12]}

4 – 213/12 = - 55/4

Secondo metodo:

4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 11 - 3/4)]}

4 – {13/3 + 2 - 1/3 + 11 + 3/4}

4 – 13/3 –2 + 1/3 –11 – 3/4

- 165/12 = - 55/4

 

Moltiplicazione  Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi.Es. : (+5) (+8) = +40 ;

(-6) (-7) = +42 ;

(+9) (-4) = -36 ;

(-3/4) (+3/5) = (-9/20) 

Divisione Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il quoziente del valore assoluto del dividendo per il valore assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono concordi (stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso).Es.: 

(+15):(+3) = (+5) ;

(-20):(-5) = (+4) ;

(+30):(-6) = (-5) ;

(-2/5):(+3/7) = (-2/5) x (+7/3) = - 14/15

Elevamento a potenza La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero.Il numero si chiama base; il numero dei fattori si chiama esponente.Es.:

  +2 = base 3 = esponente

822232

La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza di un numero relativo negativo è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari.Es.:  (+3)4 = +81 (+4)3 = +64

(-2)3 = -8 (-2)4 = +16

(-2/3)3 = -8/27 (-2/3)2 = +4/9

Esempio n. 1   7 – [(2-5) – (-4+5-7+2)] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:  7 – [(-3) – (-4)] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:  7 – [-3+4] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre:  7 – [+1] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:  7-1 = +6

 

Esempio n. 2  (19-35) + [5- (18-22)] – [13 + (12-42)] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:  (-16) + [5- (-4)] – [13 + (-30)] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:  -16 + [5+4] – [13 -30] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre:  -16 + [+9] – [-17] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:  -16 + 9 + 17 = +10

Esempio n. 3    Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:       Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: 

2

1

9

4

9

1

3

1

2

1

2

53

2

1

9

5

3

1

6

1

2

1

9

413

2

1

2

56

2

1

27

159

6

1

2

1

9

8

2

1

2

1

2

1

27

24

6

1

2

1

9

8

2

1

2

1

2

1

9

8

6

1

9

8

3:27

3:24

27

24

 

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:    Eliminiamo i termini opposti :    Ottenendo: 

2

1

9

8

2

1

2

1

2

1

9

8

6

1

09

8

9

8 0

2

1

2

1

6

5

6

331

2

1

2

1

6

1

Esempio n. 4    Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:      Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: 

6

5

3

21

4

5

3

2

6

11

2

5

4

3

6

546

12

158

6

16

4

103

6

5

12

7

6

5

4

7

6

5

12

7

6

5

4

7

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:    Eliminiamo i termini opposti :    Ottenendo:   Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe:    

6

5

12

7

6

5

4

7

06

5

6

5

12

7

4

7

3

7

12

28

12

721

12

7

4

7

FINE