71

CAP. 3. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV

3.1. Circuite de curent alternativ monofazat 3.1.1. Producerea curentului alternativ monofazat.

Considerm o spir plasat ntr-un cmp magnetic omogen (fig.3.1). Dac spira se rotete cu o vitez unghiular constant n jurul unei axe perpendiculare pe direcia liniilor de cmp magnetic, n spir, n baza legii induciei electromagnetice, se obine o t.e.m. alternativ

sinusoidal, deci i un curent alternativ. Fie unghiul pe care l face planul spirei cu un plan perpendicular pe liniile de cmp. Pentru =0, adic atunci cnd normala la planul spirei coincide cu direcia liniilor de cmp magnetic, fluxul magnetic care strbate suprafaa delimitat de spir, are valoarea maxim m dat de relaia: m=BS. Fluxul care strbate suprafaa determinat de spir este dat de relaia: = m cos . Dac spira se rotete cu o vitez

unghiular constant, la un moment oarecare t, unghiul este dat de relaia: += t , unde este unghiul format la t=0 ntre normala la planul spirei i direcia liniilor de cmp magnetic. In acest caz avem: = m cos(t+) (3.1)

T.e.m indus va fi: )sin()sin( +=+== tEtdtde mm (3.2)

unde: BSE mm == n cazul cnd avem N spire care

se rotesc, Em=NBS (3.3) Rezult de aici, c frecvena unghiular a t.e.m. induse (pulsaia) este egal cu viteza unghiular a spirei. n fig.3.2 sunt reprezentate curbele de variaie a fluxului i a t.e.m. pentru cazul = 0.

e Em

t 0 /2 3/2 2

Fig.3.2

Fig.3.1

N

S

72

3.1.2. Perioada i frecvena curentului alternativ Curentului alternativ poate avea forme de und foarte variate. n

fig.3.3a sunt prezentate formele: sinusoidal, dreptunghiular i triunghiular. Dac se suprapune un curent alternativ, de o anumit form, peste un curent continuu se obine un curent ondulatoriu (fig.3.3b). Dac se suprim o anumit alternan a curentului alternativ, rmne cealalt alternan care d un curent pulsatoriu. In acest caz, curentul are acelai sens de scurgere, dar este cu ntrerupere (fig.3.3c).

n curent alternativ toate mrimile (t.e.m., curent, tensiune) sunt variabile n timp. Prin convenie valorile pe care le au mrimile alternative la un moment dat t, se numesc valori instantanee sau momentane i se noteaz cu litere mici. n tehnic se folosesc, de cele mai multe ori, tensiuni electromotoare, cderi de tensiune i cureni electrici ca mrimi periodice, de forma: e=f(t)=f(t+T)=f(t+nT); u=f(t)=f(t+T)=f(t+nT); i= f(t) = f(t+T) = f(t+nT), unde n este un numr ntreg oarecare, iar T este perioada principal a mrimii periodice. Inversul perioadei se numete frecven, se noteaz cu f i se msoar n Hz, adic:

)(1 HzT

f = (3.4)

Gama frecvenelor utilizate n tehnic este foarte larg. Frecvena industrial standardizat pentru transportul i distribuia energiei electrice

Fig.3.3

a) b) c)

73

este de 50Hz. n telefonie se utilizeaz frecvene mrite (500-5000Hz). n electrotermie se folosesc frecvene pn la 106Hz, iar n radiotehnic de ordinul 106 - 109Hz.

Funciile periodice care determin legile de variaie a mrimilor din curentul alternativ, pot avea forme foarte complicate. De cele mai multe ori mrimile din curentul alternativ (t.e.m., tensiune, curent) sunt funcii sinusoidale de timp. n continuare ne vom ocupa numai de curenii sinusoidali. Generatoarele actuale de curent alternativ, de frecven industrial, se construiesc astfel nct forma

curbei t.e.m. s fie foarte apropiat de o sinusoid.. Tensiunile electromotoare, cderile de tensiune i curenii sinusoidali, se exprim prin funcii de forma: e=Em sin ( t+oe) u=Um sin ( t+ou) (3.5) i=Im sin ( t+oi) n care: - e, u i i reprezint valorile instantanee sau momentane; - Em, Um i Im reprezint valorile maxime;

- reprezint pulsaia funciilor periodice; - oe, ou, oi fazele iniiale ale mrimilor.

Din relaia ( )sin ( ) sin 2m me E t T E t = + = + rezult:

( ) 2+=+ tTt adic fT

22 == .

n fig.3.4 este reprezentat grafic variaia unei t.e.m. alternative. Cnd funcia periodic nu pornete din origine capt expresia:

e ( )sinmE t = , unde reprezint faza iniial a t.e.m..

Fig.3.4

e

(t) t

e=Emsin(t+)

e

(t) t

e=Emsin(t-)

Fig.3.5

>0

74

n fig.3.5 este dat reprezentarea grafic a t.e.m. sinusoidale pentru >0 i

75

mrimi sunt n faz sau sunt sincrone. Dac cele dou mrimi au diferena dintre fazele lor iniiale egal cu , se spune c ele sunt n opoziie de faz. 3.1.4. Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale Rezolvarea circuitelor electrice de curent alternativ (c.a.) necesit un volum de calcul sporit fa de cazul circuitelor de curent continuu, aceasta datorit faptului c toate variabilele din circuitele de c.a. sunt definite prin doi parametri: valoarea efectiv i faz iniial. Pentru uurarea calculelor acestor circuite, s-au elaborat metode bazate pe transformri ale mrimilor sinusoidale n mrimi simbolice. Cele mai utilizate metode simbolice, sunt cele geometrice (caracterizate prin vectori sau fazori) i cele complexe. La baza elaborrii acestor metode, stau urmtoarele idei:

- mrimile simbolice asociate, s fie caracterizate de aceeai parametri ca i mrimile sinusoidale;

- relaiile ntre mrimile sinusoidale i mrimile simbolice asociate lor, s fie biunivoce, adic unei mrimi sinusoidale s-i corespund o singur reprezentare simbolic i numai una i invers;

- operaiile aplicate mrimilor simbolice s reduc volumul de calcul i s nu altereze parametrii i deci, rezultatul final.

n aceste condiii, rezolvarea unei probleme printr-o metod simbolic se face n felul urmtor:

- se asociaz fiecrei mrimi sinusoidale cte o mrime simbolic (o parte din aceste mrimi, reprezint date iniiale ale problemei iar restul reprezint necunoscute);

- se efectueaz operaii de calcul asupra mrimilor simbolice, determinndu-se reprezentrile simbolice ale mrimilor sinusoidale necunoscute ;

- rezultatelor obinute prin calcul cu reprezentrile simbolice, li se pun n coresponden mrimile sinusoidale respective obinndu-se astfel necunoscutele problemei. 3.1.4.1. Reprezentarea fazorial

Aceast problem se rezolv foarte simplu i sugestiv, dac pentru reprezentarea funciilor sinusoidale folosim vectori rotitori sau fazori. S artm cum s utilizm vectorul rotitor pentru reprezentarea unei funcii sinusoidale de timp, de exemplu pentru reprezentarea t.e.m.

)sin( += tEe m .

76

Considerm sistemul de axe rectangulare NOM (fig.3.8) i convenim ca unghiurile pozitive s fie msurate n sens trigonometric. Aezm sub unghiul fa de axa ON vectorul OA , a crui lungime la scara aleas, este egal cu amplitudinea t.e.m. Em. S rotim vectorul OA n jurul originii O n sensul pozitiv, cu viteza unghiular constant , egal cu pulsaia t.e.m. Dup un timp t, vectorul OA va fi rotit cu

unghiul t i va forma cu axa ON unghiul t +. n acest caz, proiecia sa pe axa OM va avea valoarea OA sin(t +), adic, la scara aleas de noi, va da valoarea n momentul t a t.e.m. e, care este valoarea instantanee Em sin(t +). Ciclul complet de variaie a t.e.m. se obine pentru o rotaie complet a vectorului OA . Aadar, o funcie sinusoidal de timp se poate reprezenta printr-un vector rotitor (fazor) a crui vitez unghiular este egal cu pulsaia funciei sinusoidale respective, lungimea cu amplitudinea acestei funcii, iar poziia iniial a momentului t = 0 este determinat de faza iniial a funciei sinusoidale considerat. Se poate arta uor c reprezentarea unei funcii sinusoidale cu ajutorul vectorului rotitor concord cu reprezentarea grafic a funciei n coordonate carteziene, ceea ce se vede n fig.3.9 n care poziia iniial a vectorului este artat cu linie plin, iar poziiile intermediare prin linie ntrerupt.

S aplicm reprezentarea funciilor sinusoidale prin vectori rotitori pentru determinarea sumei a dou t.e.m. e1 i e2 de frecvene egale:

e1=E1m sin (t +1) e2=E2m sin (t +2)

Fig.3.8

Fig.3.9

77

n fig.3.10 vectorii 1OA i 2OA reprezint fazorii t.e.m. e1 i e2. Pentru ambele t.e.m. scara trebuie s fie aceeai. Valoarea instantanee a t.e.m. totale, n fiecare moment, este egal cu suma valorilor instantanee ale t.e.m. e1 i e2, adic cu suma proieciilor pe axa OM ale vectorilor

1OA i 2OA , care reprezint aceste t.e.m. Proiecia vectorului OA pe axa OM (n fiecare moment),

21 OAOAOA += , este suma e1+e2 =e, adic vectorul OA este vectorul care reprezint t.e.m. total e, iar unghiul , format de acest vector cu axa ON n momentul t = 0, d faza iniial acestei t.e.m. Deoarece t.e.m. e1 i e2 au aceeai frecven, vectorii 1OA i 2OA se

rotesc cu aceeai vitez unghiular i unghiul dintre vectori rmne invariabil. Vectorul OA , care reprezint t.e.m. total e, se va roti cu aceeai vitez unghiular, prin urmare aceast t.e.m., e, va fi o funcie sinusoidal de timp care va avea aceeai frecven ca i tensiunile electromotoare ce se adun.

Metoda indicat se poate aplica unui numr orict de mare de t.e.m. sau cureni sinusoidali de aceeai frecven, la adunarea i la scderea acestora. n rezultatele obinute vom avea totdeauna t.e.m. sau cureni sinusoidali de aceeai frecven, ale cror amplitudini depind de amplitudinile termenilor adunai i de diferenele dintre fazele lor iniiale. Din cele expuse rezult c fazorul care reprezint suma unor mrimi sinusoidale de aceeai frecven este egal cu suma vectorial a fazorilor care reprezint mrimile sinusoidale care se adun.

Dac intereseaz numai amplitudinile t.e.m. sau ale curenilor i defazrile dintre ele,