71

CAP. 3. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV

3.1. Circuite de curent alternativ monofazat 3.1.1. Producerea curentului alternativ monofazat.

Considerm o spir plasat ntr-un cmp magnetic omogen (fig.3.1). Dac spira se rotete cu o vitez unghiular constant n jurul unei axe perpendiculare pe direcia liniilor de cmp magnetic, n spir, n baza legii induciei electromagnetice, se obine o t.e.m. alternativ

sinusoidal, deci i un curent alternativ. Fie unghiul pe care l face planul spirei cu un plan perpendicular pe liniile de cmp. Pentru =0, adic atunci cnd normala la planul spirei coincide cu direcia liniilor de cmp magnetic, fluxul magnetic care strbate suprafaa delimitat de spir, are valoarea maxim m dat de relaia: m=BS. Fluxul care strbate suprafaa determinat de spir este dat de relaia: = m cos . Dac spira se rotete cu o vitez

unghiular constant, la un moment oarecare t, unghiul este dat de relaia: += t , unde este unghiul format la t=0 ntre normala la planul spirei i direcia liniilor de cmp magnetic. In acest caz avem: = m cos(t+) (3.1)

T.e.m indus va fi: )sin()sin( +=+== tEtdtde mm (3.2)

unde: BSE mm == n cazul cnd avem N spire care

se rotesc, Em=NBS (3.3) Rezult de aici, c frecvena unghiular a t.e.m. induse (pulsaia) este egal cu viteza unghiular a spirei. n fig.3.2 sunt reprezentate curbele de variaie a fluxului i a t.e.m. pentru cazul = 0.

e Em

t 0 /2 3/2 2

Fig.3.2

Fig.3.1

N

S

72

3.1.2. Perioada i frecvena curentului alternativ Curentului alternativ poate avea forme de und foarte variate. n

fig.3.3a sunt prezentate formele: sinusoidal, dreptunghiular i triunghiular. Dac se suprapune un curent alternativ, de o anumit form, peste un curent continuu se obine un curent ondulatoriu (fig.3.3b). Dac se suprim o anumit alternan a curentului alternativ, rmne cealalt alternan care d un curent pulsatoriu. In acest caz, curentul are acelai sens de scurgere, dar este cu ntrerupere (fig.3.3c).

n curent alternativ toate mrimile (t.e.m., curent, tensiune) sunt variabile n timp. Prin convenie valorile pe care le au mrimile alternative la un moment dat t, se numesc valori instantanee sau momentane i se noteaz cu litere mici. n tehnic se folosesc, de cele mai multe ori, tensiuni electromotoare, cderi de tensiune i cureni electrici ca mrimi periodice, de forma: e=f(t)=f(t+T)=f(t+nT); u=f(t)=f(t+T)=f(t+nT); i= f(t) = f(t+T) = f(t+nT), unde n este un numr ntreg oarecare, iar T este perioada principal a mrimii periodice. Inversul perioadei se numete frecven, se noteaz cu f i se msoar n Hz, adic:

)(1 HzT

f = (3.4)

Gama frecvenelor utilizate n tehnic este foarte larg. Frecvena industrial standardizat pentru transportul i distribuia energiei electrice

Fig.3.3

a) b) c)

73

este de 50Hz. n telefonie se utilizeaz frecvene mrite (500-5000Hz). n electrotermie se folosesc frecvene pn la 106Hz, iar n radiotehnic de ordinul 106 - 109Hz.

Funciile periodice care determin legile de variaie a mrimilor din curentul alternativ, pot avea forme foarte complicate. De cele mai multe ori mrimile din curentul alternativ (t.e.m., tensiune, curent) sunt funcii sinusoidale de timp. n continuare ne vom ocupa numai de curenii sinusoidali. Generatoarele actuale de curent alternativ, de frecven industrial, se construiesc astfel nct forma

curbei t.e.m. s fie foarte apropiat de o sinusoid.. Tensiunile electromotoare, cderile de tensiune i curenii sinusoidali, se exprim prin funcii de forma: e=Em sin ( t+oe) u=Um sin ( t+ou) (3.5) i=Im sin ( t+oi) n care: - e, u i i reprezint valorile instantanee sau momentane; - Em, Um i Im reprezint valorile maxime;

- reprezint pulsaia funciilor periodice; - oe, ou, oi fazele iniiale ale mrimilor.

Din relaia ( )sin ( ) sin 2m me E t T E t = + = + rezult:

( ) 2+=+ tTt adic fT

22 == .

n fig.3.4 este reprezentat grafic variaia unei t.e.m. alternative. Cnd funcia periodic nu pornete din origine capt expresia:

e ( )sinmE t = , unde reprezint faza iniial a t.e.m..

Fig.3.4

e

(t) t

e=Emsin(t+)

e

(t) t

e=Emsin(t-)

Fig.3.5

>0

74

n fig.3.5 este dat reprezentarea grafic a t.e.m. sinusoidale pentru >0 i

75

mrimi sunt n faz sau sunt sincrone. Dac cele dou mrimi au diferena dintre fazele lor iniiale egal cu , se spune c ele sunt n opoziie de faz. 3.1.4. Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale Rezolvarea circuitelor electrice de curent alternativ (c.a.) necesit un volum de calcul sporit fa de cazul circuitelor de curent continuu, aceasta datorit faptului c toate variabilele din circuitele de c.a. sunt definite prin doi parametri: valoarea efectiv i faz iniial. Pentru uurarea calculelor acestor circuite, s-au elaborat metode bazate pe transformri ale mrimilor sinusoidale n mrimi simbolice. Cele mai utilizate metode simbolice, sunt cele geometrice (caracterizate prin vectori sau fazori) i cele complexe. La baza elaborrii acestor metode, stau urmtoarele idei:

- mrimile simbolice asociate, s fie caracterizate de aceeai parametri ca i mrimile sinusoidale;

- relaiile ntre mrimile sinusoidale i mrimile simbolice asociate lor, s fie biunivoce, adic unei mrimi sinusoidale s-i corespund o singur reprezentare simbolic i numai una i invers;

- operaiile aplicate mrimilor simbolice s reduc volumul de calcul i s nu altereze parametrii i deci, rezultatul final.

n aceste condiii, rezolvarea unei probleme printr-o metod simbolic se face n felul urmtor:

- se asociaz fiecrei mrimi sinusoidale cte o mrime simbolic (o parte din aceste mrimi, reprezint date iniiale ale problemei iar restul reprezint necunoscute);

- se efectueaz operaii de calcul asupra mrimilor simbolice, determinndu-se reprezentrile simbolice ale mrimilor sinusoidale necunoscute ;

- rezultatelor obinute prin calcul cu reprezentrile simbolice, li se pun n coresponden mrimile sinusoidale respective obinndu-se astfel necunoscutele problemei. 3.1.4.1. Reprezentarea fazorial

Aceast problem se rezolv foarte simplu i sugestiv, dac pentru reprezentarea funciilor sinusoidale folosim vectori rotitori sau fazori. S artm cum s utilizm vectorul rotitor pentru reprezentarea unei funcii sinusoidale de timp, de exemplu pentru reprezentarea t.e.m.

)sin( += tEe m .

76

Considerm sistemul de axe rectangulare NOM (fig.3.8) i convenim ca unghiurile pozitive s fie msurate n sens trigonometric. Aezm sub unghiul fa de axa ON vectorul OA , a crui lungime la scara aleas, este egal cu amplitudinea t.e.m. Em. S rotim vectorul OA n jurul originii O n sensul pozitiv, cu viteza unghiular constant , egal cu pulsaia t.e.m. Dup un timp t, vectorul OA va fi rotit cu

unghiul t i va forma cu axa ON unghiul t +. n acest caz, proiecia sa pe axa OM va avea valoarea OA sin(t +), adic, la scara aleas de noi, va da valoarea n momentul t a t.e.m. e, care este valoarea instantanee Em sin(t +). Ciclul complet de variaie a t.e.m. se obine pentru o rotaie complet a vectorului OA . Aadar, o funcie sinusoidal de timp se poate reprezenta printr-un vector rotitor (fazor) a crui vitez unghiular este egal cu pulsaia funciei sinusoidale respective, lungimea cu amplitudinea acestei funcii, iar poziia iniial a momentului t = 0 este determinat de faza iniial a funciei sinusoidale considerat. Se poate arta uor c reprezentarea unei funcii sinusoidale cu ajutorul vectorului rotitor concord cu reprezentarea grafic a funciei n coordonate carteziene, ceea ce se vede n fig.3.9 n care poziia iniial a vectorului este artat cu linie plin, iar poziiile intermediare prin linie ntrerupt.

S aplicm reprezentarea funciilor sinusoidale prin vectori rotitori pentru determinarea sumei a dou t.e.m. e1 i e2 de frecvene egale:

e1=E1m sin (t +1) e2=E2m sin (t +2)

Fig.3.8

Fig.3.9

77

n fig.3.10 vectorii 1OA i 2OA reprezint fazorii t.e.m. e1 i e2. Pentru ambele t.e.m. scara trebuie s fie aceeai. Valoarea instantanee a t.e.m. totale, n fiecare moment, este egal cu suma valorilor instantanee ale t.e.m. e1 i e2, adic cu suma proieciilor pe axa OM ale vectorilor

1OA i 2OA , care reprezint aceste t.e.m. Proiecia vectorului OA pe axa OM (n fiecare moment),

21 OAOAOA += , este suma e1+e2 =e, adic vectorul OA este vectorul care reprezint t.e.m. total e, iar unghiul , format de acest vector cu axa ON n momentul t = 0, d faza iniial acestei t.e.m. Deoarece t.e.m. e1 i e2 au aceeai frecven, vectorii 1OA i 2OA se

rotesc cu aceeai vitez unghiular i unghiul dintre vectori rmne invariabil. Vectorul OA , care reprezint t.e.m. total e, se va roti cu aceeai vitez unghiular, prin urmare aceast t.e.m., e, va fi o funcie sinusoidal de timp care va avea aceeai frecven ca i tensiunile electromotoare ce se adun.

Metoda indicat se poate aplica unui numr orict de mare de t.e.m. sau cureni sinusoidali de aceeai frecven, la adunarea i la scderea acestora. n rezultatele obinute vom avea totdeauna t.e.m. sau cureni sinusoidali de aceeai frecven, ale cror amplitudini depind de amplitudinile termenilor adunai i de diferenele dintre fazele lor iniiale. Din cele expuse rezult c fazorul care reprezint suma unor mrimi sinusoidale de aceeai frecven este egal cu suma vectorial a fazorilor care reprezint mrimile sinusoidale care se adun.

Dac intereseaz numai amplitudinile t.e.m. sau ale curenilor i defazrile dintre ele, cum se ntmpl n majoritatea cazurilor, atunci este important numai poziia relativ a fazorilor unul fa de altul i nu import poziia acestor fazori fa de axe. n acest din urm caz, unul dintre fazori poate avea o poziie oarecare, toi ceilali trebuind s fie ns orientai corect fa de acest fazor arbitrar ales.

Totalitatea fazorilor care caracterizeaz procesele produse ntr-un circuit oarecare de curent alternativ i care sunt construii cu respectarea orientrii lor relative corecte, se numete diagram de fazori.

Fig.3.10

78

3.1.4.2. Reprezentarea n complex Metoda simbolic complex este cea mai utilizat metod n

electrotehnic. Rezolvarea circuitelor de c.a. cu ajutorul diagramelor de fazori nu d ntotdeauna satisfacia deplin n ceea ce privete precizia din cauza erorilor inerente metodelor grafice. n afar de aceasta, n cazul circuitelor ramificate, diagramele de fazori devin extrem de complicate. Exprimnd mrimile alternative cu ajutorul numerelor complexe se uureaz mult calculul analitic i se permite aplicarea legii lui Ohm i a teoremelor lui Kirchhoff, sub aceeai form ca i n curent continuu. Se tie c o mrime complex se scrie sub forma:

c=a jb, (3.6) n care a i b sunt numere reale, iar j= 1 .

Dac considerm un plan cu dou axe de coordonate (fig.3.11) Ox i Oy, pe axa Ox vom lua numerele reale, iar pe axa Oy, numerele imaginare. n fig.3.11 este redat reprezentarea grafic a mrimii complexe c sub forma unui vector MO , ale crui proiecii pe axele de coordonate sunt a i b (b este pozitiv). Dac mrimea (modulul) vectorului este r, expresia (3.6) se poate

pune sub forma: ( ) sincossincos jrjrrc +=+= (3.7) Unghiul (argumentul vectorului), reprezint unghiul cu care

vectorul este rotit n sens trigonometric fa de axa numerelor reale. Argumentul este pozitiv cnd vectorul este rotit n sens trigonometric fa de axa numerelor reale i negativ n sens contrar. Modulul vectorului este dat de expresia : 22 bar +=

iar argumentul rezult din relaia : ;abtg =

abarctg=

Folosind relaiile lui Euler: 2

cos

jj ee +

= i jee jj

2sin

=

din care se obine uor jej =+ sincos (3.8) relaia (3.7) devine: jrec = (3.9)

Expresia (3.6) constituie reprezentarea algebric, expresia (3.7) - reprezentarea trigonometric, iar expresia (3.9) - reprezentarea exponenial.

Fig.3.11

c

79

Mrimea imaginar je din reprezentarea exponenial se numete operatorul de rotaie al vectorului, ntruct el ne indic cu ct trebuie s rotim vectorul n sens trigonometric dac este pozitiv i n sensul acelor unui ceasornic dac este negativ, fa de axa numerelor reale. Unghiul din exponentul operatorului trebuie exprimat n radiani, exponentul fiind un numr fr dimensiuni. Se numesc mrimi complexe conjugate, dou mrimi de forma:

jbac += i jbac =* sau jrec = i jrec =* . Convenional, mrimea complex conjugat se noteaz cu o stelu. S reamintim operaiile de derivare i integrare a unei mrimi complexe.

Fie vectorul reprezentat de mrimea complex jCeC = n care este o funcie de timp oarecare. Aplicnd acestei expresii regulile obinuite de derivare, obinem:

2

jj eCt

Ct

jt

jCedtdC

=

=

=

Rezult c prin derivare se obine tot un vector, rotit ns cu 2 nainte

fa de vectorul dat i al crui modul este de t

ori mai mare.

Pornind de la relaia : Ct

jdtCd

= rezult c :

tj

CddtC

=

deci : 2

j

e

t

C

t

Cj

tj

CdtC

=

=

=

Prin urmare, prin integrare se obine tot un vector, rotit ns cu 2/ n

urma vectorului dat i al crui modul este det

ori mai mic.

Am vzut c orice mrime complex poate fi reprezentat printr-un anumit vector, ceea ce nseamn c i orice vector poate fi reprezentat printr-o mrime complex. Aceasta permite ca i n electrotehnic mrimile vectoriale s se transforme n mrimi complexe i cu ajutorul lor s se rezolve diverse probleme prin calcul analitic. Dac considerm de exemplu, un curent sinusoidal:

i(t)=Im sint Acesta poate fi reprezentat vectorial printr-un vector rotitor (fazor) luat ca origine de faz, la timpul t=0. Lund ca origine de faz axa real, fazorul curentului va fi orientat de-a lungul acestei axe. Vom folosi n

80

notaie simbolic, utiliznd valoarea eficace a curentului, I=I. Un alt curent dat de relaia i1=I1msin(t+) va fi reprezentat printr-un vector decalat n avans cu unghiul fa de vectorul I i deci va fi reprezentat prin relaia: )sin(cos111

jIeII j +== (3.10) la fel se va proceda i n cazul cnd avem de a face cu o cderi de tensiuni sau cu o t.e.m. Dac valoarea instantanee a tensiunii este dat de relaia: u = Um sin(t+). Expresia ei complex, utiliznd valoarea eficace ia forma: U=U je (3.11) Aceste reprezentri se numesc reprezentri simplificate (s-a renunat la mrimile 2 i care sunt de regul cunoscute). Funciile sinusoidale am vzut c pot fi reprezentate prin vectori rotitori (fazori). Deci argumentul acestor fazori este o funcie de timp i n acest caz relaiile (3.10) i (3.11) se scriu sub forma lor general (reprezentarea complex

nesimplificat): I1=I1 )( +tje ; U=U )( +tje .

3.1.5. Valorile medii i eficace ale curentului alternativ

Fie curentul sinusoidal, i = Im sin t. Valoarea medie a curentului pe un interval de timp egal cu o perioad, T, prin definiie, este:

2

0 02

1 1( ) ( ) ( )

TT T

medT

i i t dt i t dt i t dtT T

= = +

(3.12)

Cele dou integrale pe semiperioadele curentului corespund suprafeelor haurate din fig.3.12. Ele sunt egale i de semn contrar, deci imed=0

i

t T/2

T

Fig.3.12

81

Valoarea medie a unei mrimi periodice pe o semiperioada se

calculeaz cu relaia: 20

2

2 ( )T

Tmedi i t dt

T= (3.13)

Se obine pentru intensitatea medie a curentului alternativ pe o

semiperioad expresia: 2

2T mmed

i I

= (3.14)

n calculul circuitelor de curent alternativ se folosesc valorile eficace (efective) ale t.e.m., cderilor de tensiune i ale intensitilor curenilor. Att valorile maxime ct i valorile instantanee ale curentului alternativ nu pot fi msurate dect cu ajutorul unor aparate speciale. Instrumentele de msurat obinuite, ntrebuinate la msurarea curentului alternativ dau valorile eficace a curentului. Valoarea efectiv sau eficace a unui curent alternativ se definete ca fiind, acea valoarea a curentului continuu echivalent, care dezvolt printr-o rezisten, n timpul unei perioade, aceeai cantitate de cldur ca i curentul alternativ respectiv. Conform standardelor n vigoare, valorile eficace se noteaz cu litere mari (I, U i E reprezint valorile efective ale curentului, tensiunii i tensiunii electromotoare ).

Cantitatea de cldur dezvoltat de curentul continuu n rezistena R, n timpul unei perioade a curentului alternativ este: Q=RI2T Cantitatea de cldur dezvoltat de curentul alternativ n aceeai

rezisten R i n acelai interval de timp T este: Q= dtiRT

02

Din egalitatea celor dou relaii, rezult:

I2= T

dtiT 0

21 (3.15)

Dac curentul variaz dup legea sinusului, i = Im sin t , relaia (3.15)

devine: I2=

=TmT

mt

TI

tdtIT 0

22

0

2

22cos1sin1 dt

De unde rezult: 2mII = (3.16)

n mod asemntor se definesc i valorile eficace ale t.e.m. i ale

cderilor de tensiune, adic: 2mEE = i

2mUU =

Raportul dintre valoarea eficace i valoarea medie aritmetic se numete factor de form al curbei. Pentru t.e.m. sinusoidal avem:

82

1,1122 2 2

m

med m

EEKe E

= = = = (3.17)

3.1.6. Legea lui Ohm i teoremele lui Kirchhoff n c.a.

Legea lui Ohm din curent continuu se regsete i n curent alternativ sub aceeai form, cu condiia ca ea s fie aplicat valorilor instantanee sau valorilor simbolice. Dac circuitul de curent alternativ conine numai rezistena ohmic, atunci:

tIR

tERei m

m

sinsin

=== , unde: R

EI mm =

Se observ c dac t.e.m. este sinusoidal i curentul este sinusoidal i de aceeai pulsaie. Ceea ce caracterizeaz un asemenea circuit care conine numai rezisten ohmic, este faptul c cele dou mrimi, t.e.m. i intensitatea curentului, sunt sincrone (trec prin zero, prin maximum i prin minimum n acelai timp). Vom vedea n paragrafele urmtoare, c n cazul circuitelor de curent alternativ se ntlnesc i alte rezistene (inductive i capacitive), n afar de cele ohmice i c n asemenea cazuri curentul nu mai este n faz cu tensiunea.

Legea lui Ohm se poate scrie i simbolic (cu ajutorul numerelor

complexe) sub forma: ZUI = (3.18)

unde Z este impedana poriunii de circuit, despre care se va vorbi n paragrafele urmtoare.

Teoremele lui Kirchhoff n c.a. se aplic sub aceeai form ca i n c.c., ns ele se scriu asupra valorilor momentane, vectoriale sau simbolice.

Teorema I-a a lui Kirchhoff aplicat ntr-un nod d relaiile:

1( ) 0

n

kk

i t=

= ; 1

0n

kk

I=

= (3.19) Teorema II-a a lui Kirchhoff aplicat unui contur nchis are relaiile: (3.22), reprezentate prin fazori (fig.3.15), sunt n faz, adic tensiunea de

=++pk

kkk

kkpk

k edtiCdtdi

Lir )1( ; k k kk p k p

z I E

= ; k k kk p k p

z I E

= (3.20) unde k p , nseamn c latura k aparine conturului p.

83

3.1.7. Circuite fundamentale n curent alternativ n circuitele de c.a., spre deosebire de cele de c.c. ntlnim trei

feluri de rezistene: ohmice (fig.3.13a), inductive (fig.3.13b) i capacitive (fig.3.13c). Aceste rezistene pot fi legate n serie, paralel i

mixt. Circuitele fundamentale conin fie numai rezisten ohmic, fie inductiv, fie capacitiv.

3.1.7.1. Circuite cu rezisten ohmic

Fie: ( ) sinmi t I t= (3.21) un curent sinusoidal care circul prin rezistena r. Tensiunea la bornele rezistenei r va fi: trIriu mr sin== sau sinr rmu U t= (3.22) unde rm mU rI= . Dac nlocuim valorile maxime n funcie de valorile

eficace, atunci rIU r = . Mrimile exprimate prin relaiile (3.21) i (3.22), reprezentate prin fazori (fig.3.15), sunt n faz, adic tensiunea

de la bornele unei rezistene chimice i curentul care trece prin rezisten sunt n faz.

3.1.7.2. Circuite cu inductan. S considerm c printr-o bobin, de

inductan L (fig.3.16), circul curentul: tIi m sin= (3.23)

S notm cu u tensiunea de la bornele a b ale sursei i cu uL cea de la bornele c d ale bobinei. Aplicnd teorema a II-a lui Kirchhoff circuitului abcd din fig.3.16, vom avea relaia:

U I

Fig.3.15

Fig.3.13 Fig.3.14

Fig.3.16

uL

u

84

rieu L =+ unde Ldie Ldt

=

Dac considerm neglijabil rezistena ohmic a bobinei, atunci:

didjLeuu LL === (3.24)

Folosind relaiile (3.23) i (3.24) obinem:

cos sin2L m m

diu L L I t L I tdt

= = = +

(3.25)

dar ( )sinL Lmu U t = + , de unde rezult: Lm mU L I= i = /2 (3.26)

Mrimile exprimate prin relaiile (3.23) i (3.25), reprezentate cu fazori,

sunt decelate cu un unghi de 2 , adic tensiunea de la bornele unei

inductane este decalat nainte cu 2 fa de curentul care trece prin

bobin (fig. 3.17). T.e.m. de autoinducie EL este n opoziie cu tensiunea de la bornele inductanei. Relaia Lm mU L I= se poate scrie i n funcie de valorile eficace ale

tensiunii i curentului, adic: LU L I= sau:

LUIL

= (3.27)

Comparnd relaia (3.27) cu relaia I=U/R, de la circuitele de curent continuu, observm c produsul L se comport ca o rezisten. Aceast rezisten o vom numi reactan inductiv i o vom nota cu XL, adic LX L = . Reactana inductiv se

msoar tot n ohmi, ca orice rezisten. Relaia (3.25) poate fi scris n complex, sub forma:

IjLeILUj

L

== 2 (3.28)

Rezult: LL jXjL

IU

== . Se vede i din aceast relaie c UL este

defazat nainte cu 2 fa de intensitatea curentului.

UL

EL

I /2

/2

Fig.3.17

85

cos sin( )2

cm m

du U t U tdt

= = +

3.1.7.3. Circuite cu condensatoare Fie reeaua din fig.3.18, ce conine un condensator de capacitate

C. Notm cu uc tensiunea la bornele condensatorului i cu u tensiunea de la bornele sursei, dat de relaia:

u(t)=Um sin t (3.29)

ns cqu uC

= = i dqidt

= (3.30)

Din relaia (3.29) i (3.30) avem: i

1 1 ( )cdu dq i t

dt C dt C= = sau

( ) sin( ) sin( )2m m

i t C U t I t = + = + (3.31)

unde: Im=C mU i =/2 (3.32) Se observ c intensitatea curentului ce trece printr-un

condensator este defazat cu /2 nainte fa de tensiunea de la bornele condensatorului (fig.3.19).

Din relaia (3.32) se poate scrie:

I=

C

U c1

adic 1/C se comport ca o rezisten

i poart numele de reactan capacitiv i se noteaz cu XC=1/C . Reactana capacitiv se msoar n ohmi, ca

orice rezisten.

Dac relaia i=Cdt

duc este scris cu ajutorul numerelor complexe, vom

avea: Cj

C UjCeUCI

== 2 sau

CC jX

Cj

CjIU

=

=

=

11 (3.33)

S-au obinut aceleai rezultate, adic intensitatea curentului care trece printr-un conductor este defazat nainte cu 2/ fa de tensiunea de la bornele condensatorului. Se pot considera i relaiile (3.30), de unde obinem relaia:

Fig.3.19

Fig.3.18

86

= dtiCuC1 (3.34)

sau, n complex: 221

j

CC

j

C eIXIjXeICU

=== (3.35)

adic s-a ajuns la acelai rezultat ca mai sus, respectiv CU este defazat n urm cu 2/ fa de I . 3.1.8. Circuite serie n curent alternativ

S considerm cazul general, cnd ntr-un circuit de c.a. avem rezisten ohmic, inductiv i capacitiv legate n serie (fig.3.20). Aplicnd teorema a II-a a lui Kirchhoff circuitului reprezentat n fig.3.20, avem relaiile:

CLr uuuu ++=

CLr UUUU ++= (3.36) CLr UUUU ++=

Dac rezolvm ecuaia scris sub form vectorial i lund ca origine de faz fazorul intensitii curentului, obinem diagrama de fazori din fig.3.21a. Cderea de tensiune RU este n faz cu intensitatea curentului i deci vom lua

fazorul RU pe direcia fazorului curentului. La captul fazorului RU adugm fazorul LU care este defazat cu /2 nainte fa de fazorul intensitii curentului, iar la captul fazorului LU se adug fazorul

Fig. 3.20

Fig.3.21

U

a) b)

87

tensiunii CU , care este decalat n urm cu 2/ fa de intensitatea curentului. Fazorul AC care unete originea cu captul fazorului CU reprezint tensiunea de la bornele sursei (tensiunea aplicat la bornele gruprii). Din triunghiul ABC, rezult: ( )222 CLR UUUU += sau,

( ) ( )2 22 L CU RI X I X I= + din care se scoate relaia:

( )22 L CU R X XI= + = Z (3.37)

Raportul U/I se noteaz cu Z i poart numele de impedan. Impedana are dimensiunile unei rezistene i se msoar n ohmi. Decalajul dintre tensiune i curent este dat de relaia:

L C L C

r

U U X XtgU R

= = sau cos rU RU Z

= =

mprim laturile triunghiului ABC, prin I, obinem un alt triunghi asemenea (fig. 3.21b), cu laturile Z, R, i XL XC, care poart numele de triunghiul impedanelor. Din triunghiul impedanelor rezult toate relaiile scrise anterior pentru Z, cos , tg etc.

Dac n circuitul din fig.3.20 lipsete una din rezistene, impedana circuitului va fi: - pentru R = 0, Z = XL XC = X, adic impedana circuitului este egal cu reactana total a circuitului; - pentru XL = 0, 22 CXRZ +=

- pentru XC = 0, 22 LXRZ += Dac din relaiile 3.36, se utilizeaz relaia scris simbolic

CLr UUUU ++= , cu: U r = R I , U L= j XL I i U C= - j XC I Rezult relaia: U = I (R + j XL j XC ) (3.38) sau:

Z)X-(X j RIU

CL =+= (3.39)

cu modulul Z= 2CL2 )XX(R + i argumentul

RXX

arctg CL

=

(argument pozitiv nseamn c fazorul tensiunii este nainte fa de fazorul curentului defazaj inductiv).

88

3.1.9. Circuite derivaie n curent alternativ S considerm un circuit derivaie R-L-C (format dintr-o rezisten ohmic, o reactan inductiv i o reactan capacitiv legate n paralel), alimentate de la o surs de c.a. (fig.3.22).

Aplicnd teorema I a lui Kirchhoff pentru mrimile instantanee, fazoriale i complexe, obinem relaiile: i = ir + iL + iC

Cr IIII L ++= (3.40) Cr IIII L ++= Pentru a gsi fazorul curentului total I , se ia ca ax de referin, axa fazorului tensiunii (fig.3.23). Fazorul I r este n faz cu U , fazorul I L este decalat n urm cu /2 fa de U, iar fazorul I C este decalat nainte cu /2 fa de U . nsumnd aceti fazori, vom obine I decalat ca un unghi ,

fa de tensiunea aplicat. Dac aplicm teorema lui Pitagora, pentru triunghiul dreptunghic ABC, obinem relaiile:

I2 = IR2 +(IL - IC)2 i I2=2

2

2 URU

+

CL XU

X

sau:

ZXXRU

I

CL

1)11(1 22 =+= (3.41)

inversul impedanei poart numele de admitan i se noteaz cu Y= .1Z

Fig.3.22

U

Fig.3.23 Fig.3.24

89

Notm cu: 1 ;gR= L

L

bX

=1 i C

C

bX

=1 , unde g reprezint

conductana, b reprezint susceptana inductiv i bc susceptana capacitiv. n cazul acesta, admitana se va scrie sub forma: Y= 22 )( CL bbg + (3.42)

Dac mprim laturile triunghiului ABC prin U obinem triunghiul admitanelor (fig.3.24). Decalajul dintre tensiune i intensitate rezult din triunghiul admitanelor.

tgg

bb CL = sau cos Yg

=

Considernd relaia (3.40) scris simbolic i nlocuind curenii IR, IL i IC

cu expresiile: IR=UR

; IL=L

UjX

i C

C jXUI

= , rezult:

1 1 1

L C

I UR jX jX

= +

(3.43)

sau:

=

CL XXj

RUI 111 (3.44)

i respectiv: )( CL bbjg = (3.45) Modulul i argumentul admitanei sunt:

( )22 C LY g b b= + ; gbb

arctg CL

= (3.46)

3.1.10. Circuite mixte n curent alternativ

Fie circuitul din fig. 3.25. Aplicm teorema I-a a lui Kirchhoff sub form vectorial:

CR III += Pentru a rezolva aceast relaie construim diagrama de fazori n felul urmtor: fa de fazorul curentului I lum fazorii tensiunilor de la bornele rezistenei ohmice i de la bornele reactanei inductive.

nsumnd aceti fazori aflm fazorul tensiunii totale aplicat gruprii (fig.3.26), care este aceeai i cu tensiunea de la bornele condensatorului.

Fig.3.25

90

Fa de fazorul tensiunii U lum fazorul curentului CI decalat nainte cu 2/ i nsumm vectorial curenii CI i RI . n felul acesta putem afla

mrimea curentului total, din relaia: 2 2 2

12 cos 2R C r CI I I I I = + + +

Decalajul dintre vectorii I i U se

poate afla scriind egalitatea proieciilor fazorilor curenilor I i

rI pe direcia fazorului tensiunii U , adic:

1coscos rII =

deci: I

I r 1coscos

=

presupunnd cunoscute tensiunea aplicat la bornele gruprii i rezistenele R, XL i XC, putem determina celelalte mrimi care ne intereseaz cu relaiile:

2 2R

L

UIR X

=+

; C

C XUI = ; 1 2 2cos

L

RR X

=+

Problema poate fi rezolvat uor i cu ajutorul numerelor complexe i anume:

1 LZ R jX= + ; 1

1 ZUI = ; 2

C

UIjX

=

; 12 III +=

3.1.11. Relaii dintre rezistene i conductane echivalente

Din triunghiul impedanelor rezult relaiile:

ZR

=cos i ZX

=sin

iar din triunghiul admitanelor rezult: Yg

=cos i Yb

=sin

Cum decalajul dintre tensiuni i curent este acelai, putem scrie:

Yg

ZR==cos i

Yb

ZX

==sin , de unde rezult:

2Yg

YgZR == i 2Y

bYbZX == (3.47 i 3.48)

sau:

Fig.3.26

91

2ZRg = i 2Z

Xb = (3.49 i 3.50)

Din expresiile mrimilor R, X, Z, g, b, Y, rezult c numai impedana Z i admitana Y sunt mrimi inverse una alteia, n timp ce rezistena R i conductana g, precum i reactana X i susceptana b nu sunt mrimi inverse una alteia, dect numai n cazuri particulare. Numai pentru X=0

avem R

g 1= i pentru R=0 avem X

b 1= . Relaiile deduse mai sus se pot

aplica cu uurin la rezolvarea circuitelor mixte. Exemplu: Fie circuitul reprezentat n fig. 3.27, unde se cunosc: r1, r2, r3, x1, x2, x3 i tensiunea aplicat U. Se cere s se determine: impedana total a circuitului, curenii I1,I2, I3 i defazajul , dintre tensiunea U i curentul I .

Pentru rezolvarea acestei probleme, vom reduce circuitul mixt la un circuit serie echivalent, dup cum urmeaz: - laturile circuitului compuse din r1, x1 i r2, x2 le transformm n circuite echivalente derivaie cu conductanele g1 i g2, i susceptanele b1 i b2. Se nlocuiesc cele dou circuite derivaie cu unul singur de conductan g12 i susceptan b12. Circuitul compus din g12 i b12 l nlocuim cu un circuit echivalent serie de rezisten r12 i reactan x12. n felul acesta am redus

circuitul mixt, la un circuit serie compus din rezistena ohmic echivalent re i din reactana echivalent xe, cruia i se poate calcula impedana echivalent. Formulele de calcul sunt urmtoarele:

21

211 xrz += ;

22

222 xrz += ; 2

1

11 z

rg = ; 2

2

22 z

rg = ; 2112 ggg += ;

Fig.3.27

r1 x1

r3 x3

r2 x2

I2

I1

I3

92

21

11 Z

Xb = ; 2

2

22 Z

Xb = ; 2112 bbb += ;

212

21212 bgY += ;

1212

1Y

z = ;

212

1212 Y

gr = ; 1212 2

12

bxY

= ;

Impedana va fi: 22 eee xrz += unde: 123 rrre += i 123 xxxe += Curenii se afl cu relaiile:

ezUI =3 ; 1231221 zIUUU === ;

1

121 z

UI = ;

2

122 z

UI =

Decalajele se determin din relaiile:

1

11 r

xtg = ;

2

22 r

xtg = ;

3

33 r

xtg = i

rxtg =

Diagrama de fazori a ntregului circuit se construiete prin suprapunerea diagramelor de fazori a fiecrei laturi n parte (fig.3.28), tiind c: 321 III =+ i UUU =+ 31

Problema poate fi rezolvat cu uurin, utiliznd numerele

complexe i anume:

111 jXrZ += ; 222 jXrZ += ; 333 jXrZ += ; 21

2112 ZZ

ZZZ+

= ;

123 ZZZ e += ; eZ

UI =3 ;21

23

1

3121 ZZ

ZIZ

IZI+

== ; 132 III =

Din aceste relaii se pot calcula i modulul i argumentul mrimilor respective, iar diagrama de fazori se va construi lund U ca origine de faz. Trebuie s rezulte o singur diagram identic cu cea din fig. 3.28, cu deosebire c toi fazorii vor fi rotii, n sens orar, cu acelai unghi (pentru ca U s fie pe orizontal).

93

3.1.12. Puterea n c.a. monofazat n circuitele de curent alternativ avem definite mai multe puteri electrice. Puterea instantanee, prin definiie, este produsul dintre valorile instantanee ale tensiunii i intensitii curentului electric, adic: p= u i.

Dac se nlocuiesc tensiunea i curentul cu valorile date de relaiile: u(t)=Um sint i i(t)=Im sin(t-), atunci relaia puterii instantanee devine:

( ) sin sin( )m mp t U I t t = (3.51) Reprezentnd grafic u(t), i(t) i p(t), fig. 3.29, observm c variaia puterii n timp (curba p(t)) este dublu pulsativ. Puterea medie ntr-o perioad se deduce din relaia:

0

1 ( )T

medP p t dtT= sau =

T

mmmed dtttIUTP

0)sin(sin1

nlocuind pe mU i mI n funcie de valorile eficace i rezolvnd integrala, gsim:

cosUIPmed = (3.52) Dac nlocuim n aceast relaie pe U i cos cu valorile date de

relaiile: ZIU = iZr

=cos gsim: 22 rIZrZIPmed ==

Rezult c puterea medie n curent alternativ reprezint consumul prin efectul Joule-Lenz. Din aceast cauz puterea medie poart numele de putere activ i se noteaz simplu P, adic: cos2 UIrIP == (3.53) Intensitatea curentului este decalat fa de tensiune, n cele mai multe cazuri. Dac descompunem fazorul intensitii n dou componente,

una aI n faz cu U i una rI perpendicular pe U (fig. 3.30), atunci putem scrie: cosII a = i sinII r =

Multiplicnd aceste relaii cu U, obinem: PUIUI a == cos i QUIUI r == sin (3.54)

Prima relaie reprezint puterea activ, iar a doua reprezint tot o putere care poart numele de putere reactiv. Puterea activ se msoar n wai, iar puterea reactiv se msoar n voli amperi reactivi (prescurtat

94

VAR). Cele dou componente aI i rI poart numele de componenta activ (sau wattat) a curentului i componenta reactiv (sau dewattat). Produsul UI reprezint tot o putere i poart numele de putere aparent

(se noteaz S). Puterea aparent se msoar n voli amperi (prescurtat VA).

Cosinusul unghiului de decalaj dintre tensiune i intensitate cu care trebuie s multiplicm puterea aparent pentru a obine puterea activ se numete factor de putere. Dac facem suma ptratelor puterilor activ i reactiv, obinem:

SIUQP =+=+ )sin(cos 222222 2

sau: 22 QPS += (3.55)

Relaia aceasta se obine i din triunghiul puterilor reprezentat n fig.3.31, care se poate obine din triunghiul

impedanelor, dac multiplicm laturile cu I2. 3.1.13. mbuntirea factorului de putere

Un receptor n curent alternativ, poate fi alimentat de la o reea la un anumit factor de putere. Cu ct factorul de putere va fi mai apropiat de unitate, cu att curentul absorbit de receptor va fi mai apropiat de componenta activ a curentului, ntruct decalajul ntre tensiune i intensitate este mai mic. Adic, la aceeai putere activ, dac tensiunea de alimentare a unui receptor este constant, curentul absorbit de receptor de la reea este cu att mai mic cu ct decalajul ntre tensiune i curent este mai mic (fig.3.32). ntruct pierderile de energie pe reea, datorit efectului termic al curentului, sunt direct proporionale cu ptratul intensitii curentului, trebuie ca factorul de putere al receptorului s fie ct mai apropiat de unitate. Uzina productoare de energie electric va funciona cu un factor de putere mijlociu, deoarece receptorii conectai la reea funcioneaz cu factori de putere diferii.

Energia furnizat de uzina electric este msurat cu ajutorul contoarelor de energie activ, iar energia reactiv este msurat cu contoare de energie reactiv. Notnd cu W energia activ, cu Wr energia reactiv i cu Wa energia aparent, putem scrie relaiile:

mijlUItW cos= (KWh); mijlr UItW sin= (KVARh); UItWa = (KVAh)

Fig.3.30

Fig.3.31

S Q

P

95

Factorul de putere mijlociu se calculeaz cu relaia:

22

cosra

mijlWW

WWW

+== (3.56)

ntreprinderile furnizoare de energie electric pot fora pe consumatori, prin penalizri, s lucreze cu un factor de putere ct mai apropiat de unitate. Pentru mbuntirea factorului de putere exist mai multe metode. Una din metode se bazeaz pe intercalarea unui condensator n paralel cu receptorul (fig. 3.33), care v-a fi prezentat mai jos. Celelalte metode bazate pe funcionarea mainilor electrice, se vor aminti n capitolele respective (funcionarea mainii sincrone n regim supraexcitat).

Dac se dorete mbuntirea factorului de putere, spre exemplu, de la 5,0cos = la 92,0'cos = , atunci relaia capacitii condensatorului se va determina astfel: din diagrama de fazori (fig.3.34), din triunghiul dreptunghic OAC, cateta AB este egal cu AC CB+ , i deci

sin 'sin 'CI CB I I = = . ns CUIC = i deci:

UIIC 'sin'sin = (3.57)

Relaia (3.57) poate fi scris i sub forma:

( )

2

'U

tgtgPC = (3.58)

U

Fig.3.34

A C

B

aI

I

I

cI

cI

Fig.3.32 Fig.3.33

96

n circuitul din fig.3.33, dac nu ar exista condensatorul C legat n paralel cu receptorul de impedan Z, curentul absorbit de la reea ar fi I, decalat n urm cu unghiul . Pentru a face 0= (curentul absorbit de la reea s fie n faz cu tensiunea, adic 1cos = ), trebuie ca valoarea capacitii condensatorului s fie astfel nct curentul capacitiv s fie dat

de relaia: sinIIC = (fig.3.35). Curentul capacitiv mai este dat i de

relaia: UCXUI

CC ==

Egalnd cele dou relaii, gsim:

(3.59)sinU

IC

=

)(3.59sin 1222

UtgP

UQ

UUIC ===

3.1.14. Rezonana n circuitele electrice

ntruct reactanele inductive i capacitive, precum i susceptanele inductive i capacitive se pot compensa mutual, pot exista cazuri cnd n circuitul care conine elemente reactive, reactana echivalent sau susceptana echivalent s fie nul i deci curentul s fie n faz cu tensiunea aplicat la bornele circuitului (impedana echivalent va fi egal cu rezistena activ). Vom spune, n acest caz, c n circuit exist rezonan. Rezonana se poate ntlni i la circuitele care reprezint poriuni ale unor circuite mai complexe. Fenomenul de rezonan are o importan foarte mare i are aplicaii multiple n dispozitivele electrotehnice. 3.1.14.1 Rezonana circuitelor serie (rezonana tensiunilor) S considerm circuitul reprezentat n fig.3.20. Pentru reactana acestui circuit avem relaia:

CLXXX CL

1== . Dac XL = XC sau L =

C1 , avem

ndeplinit condiia de rezonan ntruct vom avea Z = r i deci curentul va fi n faz cu tensiunea. Diagrama de fazori la rezonan este reprezentat n fig.3.36. Din egalitatea reactanei inductive cu reactana

capacitiv, rezult: r = LC1 ; L = 2

1

rc ; C = 2

1

rL (3.60)

Fig.3.35

Ia

97

adic rezonana se poate realiza variind fie frecvena tensiunii aplicat la bornele circuitului, fie inductana bornei, fie capacitatea condensorului . Dac tensiunea aplicat la bornele circuitului nu variaz, curentul n circuit va avea valoarea maxim la rezonan i egal cu:

Imax = minZ

U = rU

Pulsaia r la care se produce rezonana poart numele de pulsaie de rezonan, iar frecvena

corespunztoare fr= LC2

1 poart

numele de frecven de rezonan. Din diagramele de fazori se observ c, la rezonan, fazorii LU

i cU sunt egali i de sens contrar, iar rU este egal cu r I . S-ar putea

ntmpla ca fazorii LU i cU s fie mai mari dect rU , adic tensiunile la bornele inductanei i la bornele condensatorului s fie mai mari dect tensiunea aplicat la bornele circuitului. Rezonana n cazul circuitelor serie poart numele de rezonana tensiunilor. Raportul dintre tensiunea la bornele circuitului i oricare tensiune

reactiv, la rezonan , este: LU

U = IX

RI

L

= LX

R = eX

R = c

RZ

unde Ze poart numele de impedan caracteristic i este dat de relaia: 1 1

c rr

LZ L LC CLC

= = = = Din egalitatea rapoartelor:cL Z

RUU

=

se observ c RZ

UU cL = i deci, atunci cnd RZc > tensiunea

inductiv i cea capacitiv sunt de RZc ori mai mare dect tensiunea

aplicat la bornele circuitului. Prin urmare, la rezonana de tensiune, n diferitele poriuni ale circuitului pot s apar tensiuni mai mari dect tensiunea aplicat la bornele acestuia. Dac cZ R>> atunci UL i UC pot atinge valori periculoase pentru izolaia bobinelor i dielectricelor condensatoarelor.

Fig.3.36

98

Obinerea rezonanei de tensiune prin variaia capacitaii C se ntrebuin-eaz pe scar larg la reglajul aparatelor de radio al cror circuit oscilant este acordat prin variaia capacitaii unui condensator variabil, pn cnd circuitul intr n rezonan cu frecvena undei receptoare, a crei amplificare se urmrete.

Variaia reactanelor n funcie de frecvena f a

tensiunii aplicate este reprezentat n fig.3.37. Variaia tensiunilor, curentului i decalajului n funcie de

frecven este reprezentat n fig.3.38, iar n fig.3.39 sunt date curbele de variaie ale curentului n funcie de frecvena f a tensiunii aplicate, pentru dou valori ale raportului R/Zc. Se observ c, cu ct raportul R/Zc este mai mic cu att valoarea maxim a curentului de rezonan se manifest mai puternic i n limite ale frecvenelor mai strnse.

-/2

/2 U

UC UL

UR

I

U I

fr f

R/Zc=0,1

R/Zc=0,4

I

0,5fr fr 1,6fr

Fig.3.38 Fig.3.39

Fig.3.37

99

3.1.14.2 Rezonana circuitelor derivaie (rezonana curenilor) S studiem conectarea n paralel a dou laturi, care posed

rezistenele active r1 si r2 i reactanele LX L = i ClX C =

(fig.3.40). Rezistenele r1 i r2 sunt astfel alese nct fazorul curentului I, n poriunea neramificat a circuitului s fie n faz cu fazorul tensiunii U (fig.3.41). n acest caz vom avea rezonan i anume rezonana

curenilor. Pentru a ndeplini condiia de rezonan trebuie ca, componentele reactive ale celor doi cureni s fie egale, adic 21 rr II = sau se mai poate scrie:

1 1 2 2sin sinI I = .

Se tie c ZX

=sin i

ZUI = . Deci relaia de mai

sus se mai poate scrie:

1 2

1 1 2 2

X XU UZ Z Z Z

= sau:

2 2 221

2 2 2

1

1L C

r L rC

=+ +

Din ultima relaie, rezult r (pulsaia la rezonan), respectiv fr (frecvena de rezonan)

2

1

22

12r

LrCf LLC rC

=

(3.61)

Fig.3.40

Fig.3.41

I1

100

3.2. Circuite electrice trifazate 3.2.1. Sisteme de mrimi polifazate Un sistem de m mrimi care au aceeai lege de variaie i aceeai frecven se numete sistem polifazat de mrimi sau sistem m-fazat. Mrimile sistemului polifazat pot diferi ntre ele ca amplitudine sau ca faz. De exemplu, un sistem m-fazat de tensiuni sinusoidale este format din mrimile: 1 1 sin tme E =

( )2 2 1sin t - me E = ( )3 3 2sin t-me E = (3.62)

. . .

( )msin t-m mme E = unde 1, 2, ... m reprezint unghiurile de decalaj dintre prima

nfurare i a doua, a treia, etc., aa cum se arat n fig. 3.42. Un sistem polifazat se poate obine dac pe circumferina rotorului (indusului) unui generator ce se rotete ntr-un cmp magnetic, se plaseaz attea nfurturi sau bobine, decalate n spaiu una fa de alta, cte faze sunt n sistem. Tensiunile electromotoare induse n aceste nfurri vor avea aceeai frecven, ns vor fi defazate una fa de alta. Sistemele polifazate pot fi mprite n: - sisteme simetrice i nesimetrice; - sisteme independente (separate) i interconectate (cuplate); - sisteme echilibrate i neechilibrate. Un sistem de tensiuni este simetric atunci

Fig.3.42

101

cnd, toate tensiunile au aceeai amplitudine i pstreaz acelai defazaj

m 2= , ntre oricare dou mrimi consecutive ale sistemului, n care m

reprezint numrul de faze. ntr-un astfel de sistem, valorile instantanee ale t.e.m. din diferite faze se exprim prin relaiile: e1=Em sin t

e2=Em sin( )2m

t

e3=Em sin( )22m

t (3.63)

. . .

em=Em sin[m

mt 2)1( ]

Aceste t.e.m. pot fi reprezentate cu ajutorul fazorilor, decalai unul n raport cu cellalt cu acelai unghi 2 /m (fig. 3.43a.), sau cu ajutorul sinusoidelor. Poriunile circuitelor prin care trec cureni de aceeai faz se numesc faze. Curenii, cderile de tensiune i tensiunile electromotoare ce acioneaz n faze se numesc mrimi de faz.

3.2.2. Sisteme trifazate n practic se utilizeaz aproape n exclusivitate sistemele

trifazate de tensiuni electromotoare (t.e.m.), iar circuitele n care acioneaz acestea se numesc circuite trifazate. Larga utilizare a

a) b) Fig. 3.43

102

circuitelor trifazate se explic prin: transportul economic al energiei electrice, realizarea de cele mai robuste i economice motoare electrice (motoarele asincrone trifazate), utilizarea de circuite de alimentare separate pentru dou sau trei receptoare etc.. n centralele electrice energia electric se obine cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate.

Construcia unui generator sincron de curent alternativ trifazat este reprezentat schematic n fig.3.44. Statorul generatorului (reprezint indusul mainii) are trei nfurri A-X; B-Y; C-Z plasate pe un circuit magnetic de form cilindric, confecionat din tole de oel electrotehnic iar rotorul (inductorul mainii) are o nfurare de curent

continuu ce se gsete pe un circuit magnetic. n timpul rotirii rotorului, n nfurrile statorului se induc trei tensiuni electromotoare egale n valoare absolut, ns defazate cu un unghi de 2 /3, dou cte dou. Dac lum ca origine a timpului momentul cnd t.e.m. din prima nfurare A-X trece prin zero, avem relaiile:

eA=Em sin t sau E=Eej0=E

=

32sin tEe mB sau 3

2j

B EeE

= (3.64)

+=

=

32sin

34sin tEtEe mmC sau 3

2j

C EeE =

Tensiunile electromotoare eA, eB i eC, care reprezint valorile instantanee, variaz dup curbele din fig.3.45b, iar reprezentarea fazorial este dat de fig. 3.45a.

Bornele A, B i C ale nfurrilor statorului sunt considerate ca nceputurile fazelor, iar bornele X, Y i Z, sfriturile fazelor.

Fig.3.44

103

Dac fiecare faz debiteaz un curent n circuitul exterior, la bornele fiecrei faze vom avea o tensiune, care se numete tensiune pe faz.

Dac cele trei faze sunt ncrcate uniform, adic curenii debitai sunt egali ca mrime, amplitudinile tensiunilor pe faz vor fi egale n valoarea absolut i vom avea de-a face cu un sistem echilibrat. La o ncrcare uniform a circuitelor, defazarea ntre fazorii tensiunilor pe

faz AU , BU i CU va fi aceeai egal cu 2/3. Prin urmare se pot scrie urmtoarele expresii pentru valorile instantanee ale tensiunilor pe faz:

t sinmA Uu =

=

32 - t sin mB Uu (3.65)

+=

32 t sin mC Uu

Exprimnd valorile eficace ale tensiunilor pe faz sub form simbolic, se obin urmtoarele relaii: j 0 e = UAU U=

2--j3 2 2 1 3U e U cos sin U

3 3 2 2BU j j

= = = (3.66)

Fig. 3.45

104

2j3 1 3U e U

2 2CU j

+

= = +

Din fig.3.45 se observ c suma eA+eB+eC sau E A+ E B+ E C este zero i de asemenea E A+ E B+ E C=0. Cele trei faze ale sistemului trifazat se pot conecta n dou feluri : n stea i n triunghi. 3.2.2.1. Conexiunea n stea

Dac sfritul nfurrilor celor trei faze (X, Y, Z) le conectm la un punct comun O, care poart numele de punct de nul sau punct neutru, se obine un sistem de cureni trifazat conectat n stea. Aceast conexiune poate fi reprezentat schematic ca n fig. 3.46, n care de la punctul neutru pleac un al patrulea conductor.

Conductoarele care pleac de la fiecare faz poart numele de conductoare de linie, iar conductorul care pleac de la punctul neutru poart numele de conductor de nul sau conductor neutru.

n cazul unei ncrcri uniforme a fazelor, conductorul neutru nu este necesar, deoarece n acest caz curentul din

el este nul. Curenii din cele trei faze vor fi:

( ) - t sin1 mIi =

=

32 - t sin2mIi (3.67)

+=

32 - t sin3mIi

Sistemul fiind simetric i echilibrat vom avea: i1+i2+i3=0 Dac exprimm cei trei cureni simbolic i lum curentul I1, ca

origine de faz, avem:

UBC

IC Fig.3.46

105

III == j01 e

==

23

21 3

2

2 jIeIIj

(3.68)

+==

+

23

21e 3

2j

3 jIII

Suma I1+ I2+ I3, trebuie s aib valoarea zero. ntr-adevr:

023

21

23

21

=

++

+ jIjII

Tensiunile UA, UB i UC msurate ntre conductoarele de linie i conductorul neutru poart numele de tensiuni de faz, iar tensiunile UAB, UBC i UCA msurate ntre conductoarele de linie, poart numele de tensiuni de linie sau tensiuni ntre faze. Valoarea instantanee a tensiunii ntre faze, este diferena ntre valorile instantanee ale tensiunilor pe faz, adic: BAAB uuu = ; CBBC uuu = ; ACCA uuu = (3.69) sau, sub form complex:

BAAB UUU = ; CBBC UUU = ; ACCA UUU = (3.70) Reprezentnd fazorial relaiile de mai sus, gsim diagrama de fazori a tensiunilor de linie (fig.3.47). Dac exprimm mrimea tensiunii de linie fa de cea de faz, obinem relaia:

Fig. 3.47

106

===

3

23

2-j-1 e

j

fffBAAB eUUUUUU

Dac sistemul este simetric i echilibrat, atunci avem: UAB=UBC=UCA=Ul i UA=UB=UC=Uf

Deci putem scrie: 23 1 3 3 11 1 3

2 2 2 2j

l f f fU U e U j U j

= = + + = +

sau: j6

f3 elU U

+= (3.71)

Rezult c tensiunea de linie este de 3 ori mai mare dect tensiunea pe faz de i decalat nainte cu /6 fa de aceasta. Din examinarea schemei din fig. 3.48, se observ c intensitatea curentului care circul prin nfurrile fazelor este egal cu intensitatea curentului care circul prin conductoarele de linie, adic se poate scrie relaia: If = I1. Pentru o ncrcare uniform a fazelor (IA=IB=IC=If i I1=I2=I3=Il), conductorul neutru poate fi scos din schem fr a se influena funcionarea instalaiei. Cteodat, punctul neutru este pus la pmnt i n cazul acesta conexiunea se numete stea cu neutrul pus la pmnt. n cazul ncrcrii uniforme a fazelor, lipsa curentului n conductorul neutru poate fi

constatat i prin nsumarea geometric a fazorilor curenilor de faz (ca Fig. 3.49

Fig. 3.48

107

urmare a nsumrii se obine un triunghi nchis fig. 3.48). n practic ns, nu totdeauna fazele sunt uniform ncrcate, n special n cazul unei sarcini de iluminat. n asemenea cazuri este nevoie de cel de-al patrulea conductor, care servete pentru trecerea curentului de egalizare.

Acest curent de egalizare poate fi determinat tot prin nsumarea vectorial a fazorilor curenilor i valoarea acestui curent va fi dat de latura care nchide poligonul astfel construit (fig. 3.49). Adic se poate scrie relaia, sub form vectorial:

0321 IIII =++ (3.72)

Relaia (3.72) poate fi rezolvat i prin metoda simbolic, exprimnd curenii sub form complex, adic: 0321 IIII =++ 3.2.2.2. Conexiunea n triunghi

Dac legm sfritul primei nfurri X cu nceputul nfurrii a doua B, sfritul nfurrii a doua Y cu nceputul nfurrii a treia C i sfritul nfurrii a treia Z cu nceputul primei nfurri A, cum se

arat schematic n fig.3.50, obinem un sistem trifazat cu

conexiunea nfurrilor n triunghi.

Din examinarea schemei se observ c n cazul cnd un sistem echilibrat are conexiunea n triunghi, tensiunea ntre faze este

egal cu tensiunea pe faz, adic: Ul =Uf

n ceea ce privete curenii de linie fa de curenii pe faz, putem scrie urmtoarele relaii, aplicnd teorema I a lui Kirchhoff n nodurile A, B i C:

I1=IBA-IAC I2=ICB-IBA ( 3.73) I3=IAC-ICB

Dac sistemul trifazic este simetric i echilibrat,

Fig.3.50

108

atunci: I1=I2=I3=Il i IBA=ICB=IAC=If. Rezolvnd fazorial cele trei relaii, gsim diagrama de fazori a

curenilor, reprezentat n fig. 3.51. Rezolvnd simbolic una din relaiile

(3.73) vom gsi: 2 2

0 3 31e j jj

l f f fI I e I e I e

= =

sau

61 3 3 11 3 32 2 2 2

j

l f f fI I j I j I e

= + = =

Rezult c: 3l fI I= , adic curentul de linie n cazul conexiunii n

triunghi este de 3 ori mai mare dect curentul de faz i decalat cu

unghiul de 6 n urm fa de acesta.

3.2.3. Puterile electrice n circuite trifazate

Calculul puterii n sistemele trifazate se face dup aceleai principii ca n curent alternativ monofazat. Deoarece un sistem trifazat reprezint un ansamblu de trei faze, puterea acestui sistem se determin ca sum a puterilor celor trei faze. Notnd cu UA, UB i UC valorile eficace ale tensiunilor de faz, cu IA, IB i IC valorile eficace ale curenilor de faz i cu A, cosB i cosC factorii de putere ai fazelor respective, rezult c puterea total a sistemului trifazat va fi:

P=UA IA cosA+UB IB cosB+UC IC cosC (3.74) Dac sistemul este simetric i echilibrat, atunci avem:

UA=UB=UC=Uf ; IA=IB=IC=If i cosA=cosB=cosC=cos

Rezult : P=3UfIfcos (3.75) n cazul conectrii n stea If=Il i Uf=U1/ 3 . nlocuind aceste valori n relaia (3.75) gsim expresia puterii n funcie de tensiunea de linie i curentul de linie, care este:

3 cosl lP U I = (3.76)

n cazul conectrii n triunghi Uf=U1 i If=I1/ 3 . Introducnd aceste valori n relaia (3.75), gsim: 3 cosl lP U I = adic aceeai expresie ca i n cazul conectrii n stea. Procednd n mod analog, gsim expresia puterii reactive n circuite electrice trifazate, care va fi dat de expresia:

sin3 ff IUQ = sau 3 sinl lQ U I = (3.77)

109

Pentru puterea aparent vom avea: ff IUS 3= sau 3 l lS U I= (3.78)

Unitile de msur pentru puterea activ, reactiv i aparent sunt cele date la curentul alternativ monofazat. Dac tensiunile i curenii sunt exprimai cu ajutorul numerelor complexe, puterea aparent se calculeaz direct cu relaia:

* * *A B CA B CS P jQ U I U I U I= + = + +

. 3.2.4. Conectarea receptoarelor la reelele electrice trifazate. 3.2.4.1 Conectarea n stea

Conectarea n stea se poate realiza nu numai cu nfurrile generatoarelor trifazate, ci i cu receptoare de energie, precum: lmpi cu

incandescen, nfurrile electromotoarelor trifazate, nfurrile trans-formatoarelor trifazate, etc. Conectarea n stea, la sistemul cu trei conductoare, a unei sarcini de iluminat, se folosete numai n cazuri excepionale cnd curentul n fiecare faz este identic. De obicei, pentru alimentarea instalaiilor de iluminat se folosete sistemul de patru conductoare (cu conductorul neutru). Schema de conectare este dat n fig. 3.52. Schematic, o reea de curent alternativ trifazat cu conductorul neutru se reprezint ca n fig.3.53, la care s-a conectat n stea un receptor oarecare. n cazul conexiunii stea se tie c intensitatea curentului de linie este egal cu intensitatea curentului de faz. n sistemele echilibrate tensiunile pe faz sunt egale ca mrime i decalate unele fa de altele cu

Fig.3.52 Fig.3.53

110

acelai unghi 3

2 rad. Cnd ncrcarea pe faze nu este uniform, curenii

i tensiunile pe cele trei faze nu mai sunt egale. n asemenea cazuri folosirea sistemul n stea cu trei conductori este neraional, deoarece n momentul distrugerii simetriei, unele faze vor fi supuse unor tensiuni mrite, iar altele unor tensiuni sczute. Cnd exist conductorul neutru, nesimetria sistemului se micoreaz. S considerm un generator trifazat conectat n stea cu t.e.m. pe fiecare faz EA, EB i EC, care alimenteaz un receptor trifazat conectat n stea, cu fazele neechilibrate (fig. 3.54). Notm impedanele fazelor generatorului cu ZA, ZB i ZC, impedanele conductoarelor de legtur cu Z1, Z2 i Z3, respectiv Z0, iar impedanele fazelor receptorului ca Za, Zb i Zc.

Impedanele totale ale fazelor vor fi: 1I A aZ Z Z Z= + + ;

2II B bZ Z Z Z= + + ; 3III C cZ Z Z Z= + + Admitanele totale le vom nota cu YI, YII i YIII. Impedana i admitana conductorului neutru le vom nota cu Zo, Y0, iar cu U0 vom nota tensiunea ntre punctele neutre ale generatorului i receptorului. n acest caz, cderea de tensiune pe fiecare faz se va exprima prin relaiile:

UI = EA- U0; UII = EB-U0; UIII = EC-U0 (3.79) Curenii care circul prin fiecare faz vor fi:

IA=UIYI=(EA-U0)YI IB=UIIYII=(EB-U0)YII (3.80) IC=UIIIYIII=(EC-U0)YIII i Io=UoYo

Fig. 3.54

111

Fig. 3.55

UI

UII

UIII

Conform teoremei I-a a lui Kirchhoff: IA+IB+IC=I0

nlocuind, n aceast relaie curenii cu expresiile (3.72) gsim: ( ) ( ) ( ) 0A I B II C III oo o oE U Y E U Y E U Y U Y + + = Din aceast condiie scoatem valoarea tensiunii punctului neutru

care este:

00

A I B II C III

I II III

E Y E Y E YUY Y Y Y

+ +=

+ + + (3.81)

Dac conductorul neutru lipsete sau este rupt, Y0=0 i U0 va fi mai mare dect tensiunea U0 dat de relaia (3.81), de unde rezult c

nesimetria sistemului trifazic este mai mare n cazul n care lipsete conductorul neutru sau este rupt. Din aceast cauz, la sistemele trifazate cu patru fire, pe conductorul neutru nu se intercaleaz nici ntreruptor i nici siguran.

Diagrama de fazori a tensiunilor pe fazele receptorului este reprezentat n fig. 3.55 Pentru calcularea curenilor, dup aflarea tensiunii punctului neutru,

ne ntoarcem la relaiile (3.79) i (3.80). Tensiunile pe faz la bornele generatorului le calculm cu ajutorul

relaiilor: ( )1 0A a A A AAU I Z Z U E Z I= + + =

( )2 0B b B B BBU I Z Z U E Z I= + + = (3.82) ( )3 0C C C C CCU I Z Z U E Z I= + + =

Tensiunile la bornele receptorului vor fi: A aaU I Z= ; B bbU I Z= ; C ccU I Z= (3.83)

3.2.4.2. Conectarea n triunghi

La conectarea n triunghi a receptorilor de energie, fiecare faz a receptorului este pus sub tensiune de linie. La o ncrcarea uniform a fazelor, curenii n fazele receptorului sunt de 3 ori mai mici dect curenii de linie.

112

n cazul unei ncrcturi neuniforme a fazelor receptorului, curenii n conductoarele de linie nu sunt egali ntre ei i prin urmare cderile de tensiune n linie, vor fi de asemenea diferite. La rezolvarea problemelor privitoare la distribuia curenilor n asemenea reele este necesar ca triunghiul receptorului s fie transfigurat ntr-o stea echivalent, iar apoi la impedanele de faz ale acestei stele s fie adugate impedanele conductoarelor de linie i impedanele fazelor generatorului.

Pentru trecerea de la conexiunea n triunghi la cea n stea (fig.3.54) se folosesc relaiile (3.84), care sunt asemntoare cu relaiile de la rezolvarea circuitelor de curent continuu prin metoda transfiguraiei numai c se utilizeaz valorile complexe ale mrimilor.

.ab caa

ab bc ca

Z ZZZ Z Z

=+ +

; .bc abbab bc ca

Z ZZZ Z Z

=+ +

; .ca bccab bc ca

Z ZZZ Z Z

=+ +

(3.84)

Tensiunea punctului neutru, curenii n conductoarele de linie, tensiunile la bornele generatorului i cderile de tensiune pe fazele stelei echivalente a receptorului se calculeaz dup relaiile (3.79), (3.80), (3.81), (3.83). Tensiunile ntre faze, la bornele receptorului, se vor calcula cu ajutorul relaiilor urmtoare:

ab a bU U U= ; ; .bc b c ca c aU U U U U U= = (3.85) iar curenii n fazele receptorului se vor calcula cu ajutorul relaiilor:

ab

abab Z

UI = ;

bc

bcbc Z

UI = ;

ca

caca Z

UI = (3.86)