35

3. CIRCUITE ELECTRICE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

3.1. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT

3.1.1. Elemente, definiii

Circuitele electrice sunt alctuite din surse i receptoare de energie electric, conectate ntre ele prin conductoare.

Dup variaia n timp a mrimilor electrice, circuitele electrice pot fi: de curent continuu (notat uzual c.c. i simbolizat ) i de curent alternativ (notat uzual c.a.), dintre care cele mai utilizate sunt cele n

regim sinusoidal (simbolizat ~), monofazate (simbolizate 1~) i trifazate (simbolizate 3~).

Elementele unui circuit sunt rezistoarele, bobinele i condensatoarele, caracterizate de parametrii: rezisten, inductan i capacitate.

Circuitele electrice sunt liniare, dac parametrii care caracterizeaz elementele de circuit nu depind de mrimile electrice (cureni, tensiuni) i neliniare, dac depind de aceste mrimi.

Parametrii circuitelor pot fi concentrai sau distribuii. n cele mai multe situaii parametrii pot fi considerai concentrai.

Se numete mrime sinusoidal (fig. 3.1) mrimea periodic a crei variaie n timp este descris de o funcie sinusoidal de timp:

Fig. 3.1.

)sin(max += tAa , (3.1) unde:

a este valoarea instantanee a mrimii sinusoidale, Amax valoarea maxim sau amplitudinea mrimii sinusoidale, t + faza mrimii sinusoidale msurat n radiani, pulsaia mrimii sinusoidale i faza iniial a mrimii sinusoidale msurat n radiani.

Faza iniial ia valori cuprinse n intervalul [/2, /2],

T

a(t)

t

Amax

36

Valoarea medie pe o perioad a unei mrimi sinusoidale este nul. Valoarea eficace a unei mrimi sinusoidale, A, este:

2d)(sin1 max

0

22max

AttA

TA

T

=+= . (3.2)

innd seama de relaia (3.2), expresia (3.1) a mrimii sinusoidale devine: )sin(2 += tAa , (3.3) numit i forma normal n sinus.

Se numete defazaj diferena ntre fazele a dou mrimi sinusoidale. n cazul mrimilor sinusoidale de aceeai pulsaie defazajul este egal cu diferena fazelor iniiale ale mrimilor respective luate n ordinea dat.

Fie mrimile sinusoidale a1 i a2:

)sin(2 111 += tAa ; )sin(2 222 += tAa . Defazajul 12 ntre mrimea a1 i mrimea a2 va fi:

12 = 1 2.

n funcie de valorile lui 12, cele dou mrimi pot fi: n faz: 12 = 0 (fig. 3.2 a); mrimea a1 defazat naintea mrimii a2: 12 > 0 (fig. 3.2 b); mrimea a1 defazat n urma mrimii a2: 12 < 0 (fig. 3.2 c); n opoziie de faz: 12 = (fig. 3.2 d);

n cuadratur: 12 = 2

(fig. 3.2 e).

t

a1

a2

1

12 = 0

2

a1

a2

1 12 > 0

2

t

1

2

a1

a2

12 < 0

t

1

2

a1 a2

12 =

t

a) b)

c) d)

37

3.1.2. Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale Se observ c n cazul mrimilor sinusoidale de aceeai pulsaie (frecven) o mrime este

complet caracterizat prin dou valori scalare: valoarea eficace i faza iniial. Un numr complex este caracterizat de asemenea prin dou valori scalare: modulul i

argumentul su. Se poate deci asocia unei mrimi sinusoidale un numr complex care se numete imaginea

n complex a mrimii sinusoidale respective: )sin(2 += tAa jeAA = . (3.4)

Din relaia (3.4) se observ c modulul A al numrului complex A este egal cu valoarea eficace a mrimii sinusoidale a iar argumentul al numrului complex este egal cu faza iniial a mrimii sinusoidale.

n planul complex numrului complex A i se poate asocia un vector numit fazor care are modulul egal cu modulul numrului complex, originea n originea axelor, iar unghiul pe care-1 face cu axa real egal cu argumentul numrului complex (fig. 3.3).

Corespondena n complex a operaiilor cu mrimi sinusoidale: a) Adunarea a dou mrimi sinusoidale are drept corespondent n complex adunarea

imaginilor n complex ale celor dou mrimi: a1 + a2 21 AA + . (3.5)

n planul complex adunarea are drept corespondent nsumarea vectorial a celor doi fazori (fig. 3.4).

b) nmulirea cu un scalar a mrimii sinusoidale are drept corespondent n complex nmulirea cu scalarul respectiv a imaginii n complex a mrimii sinusoidale:

1

2

a1 a2

t

2

12 =

e)

Fig. 3.2.

1

2 1A

2A 21 AA +

+1

+j

A

+j

+1

A

A cos

A sin

Fig. 3.3. Fig. 3.4.

38

a A . (3.6) n planul complex, nmulirea cu un scalar are drept corespondent creterea modulului

fazorului corespunztor de ori, iar n cazul < 0, i rotirea fazorului cu unghiul (fig. 3.5 a i 3.5 b):

c) Derivarea n raport cu timpul a unei mrimi sinusoidale are drept corespondent n complex nmulirea imaginii n complex a mrimii respective cu j.

Fie:

)sin(2 += tAa i

++==

2

sin2dd

tAt

ab .

Imaginea n complex va fi:

j j2jj2

j

AeeeAeAB ===

+

.

Deci:

t

a

dd

j A . (3.7)

n planul complex derivarea mrimii sinusoidale are drept corespondent creterea modulului fazorului corespunztor de ori i rotirea acestuia cu unghiul

2

n sens trigonometric direct

(fig. 3.6).

d) Integrarea n raport cu timpul a unei mrimi sinusoidale are drept corespondent n complex mprirea imaginii n complex a mrimii respective cu j.

Fie:

A

+j

+1

A

< 0

A

+j

+1

A

> 0

a) b)

Fig. 3.5.

A

Aj

2

+j

+1

Fig. 3.6.

A

jA

2

+j

+1

Fig. 3.7.

39

)sin(2 += tAa i

+== 2

-sin2d tAtac

.

Imaginea n complex va fi:

j1

j

2j

j2j-j2

j Ae

e

eA

eeA

eAC ====

.

Deci:

tad jA

. (3.8)

n planul complex integrarea mrimii sinusoidale are drept corespondent micorarea modulului fazorului corespunztor de ori i rotirea acestuia cu unghiul

2

n sensul trigonometric

invers (fig. 3.7).

3.1.3. Caracterizarea circuitelor de curent alternativ Dac la bornele unui circuit dipolar liniar i pasiv (fig. 3.8) se aplic o tensiune sinusoidal

de pulsaie , intensitatea curentului absorbit de circuitul respectiv va fi de asemenea sinusoidal, avnd aceeai pulsaie .

Fie tensiunea aplicat:

)sin(2 += tUu , (3.9) unde U este valoarea eficace a tensiunii, iar faza iniial.

Atunci intensitatea curentului absorbit va fi de forma:

)sin(2 += tIi , (3.10) unde I este valoarea eficace a intensitii curentului, iar faza iniial.

Circuitul respectiv poate fi caracterizat cu ajutorul a dou mrimi. Exist patru astfel de perechi de mrimi: a) impedana i defazajul, b) rezistena i reactana, c) admitana i defazajul, d) conductana i susceptana.

Impedana Z a circuitului dipolar este, prin definiie, egal cu raportul valorilor eficace ale tensiunii aplicate i intensitii curentului absorbit:

IUZ = . (3.11)

Defazajul este defazajul dintre tensiunea aplicat i intensitatea curentulul absorbit: = . (3.12) Se definete rezistena R a circuitului ca fiind egal cu:

0coscos == ZI

UR , (3.13)

Se definete reactana X a circuitului:

sinsin ZI

UX == , (3.14)

care poate fi > 0, < 0 sau = 0.

Circuit dipolar pasiv

u

i

Fig. 3.8.

40

Impedana, rezistena i reactana au ca unitate de msur n SI ohmul, simbol .

Se definete admitana Y a circuitului ca fiind egal cu raportul valorilor eficace ale intensitii curentului absorbit i tensiunii aplicate la bornele circuitului, deci egal cu inversul impedanei:

ZUIY 1== . (3.15)

Se definete conductana G a circuitului ca fiind egal cu:

0coscos == YU

IG , (3.16)

Se definete susceptana B a circuitului:

sinsin YU

IB == , (3.17)

care poate fi > 0, < 0 sau = 0.

Admitana, conductana i susceptana au ca unitate de msur n SI siemensul, simbol S.

Din relaiile (3.11) (3.17) se observ c perechile de mrimi care caracterizeaz circuitul nu sunt independente.

Se definete impedana complex a circuitului ca fiind egal cu raportul imaginilor n complex ale tensiunii aplicate i intensitii curentului absorbit:

IUZ = . (3.18)

tiind c: jUeU = i jIeI = , impedana Z va fi:

XRZZZeeI

UIe

UeI

UZ jsinjcosj)-j(jj

+=+===== . (3.19)

3.1.4. Puteri n circuite de curent alternativ Se consider circuitul din Fig. 3.8. Puterea absorbit pe la borne de circuitul respectiv

este:

p = ui. (3.20) Expresia (3.20) este expresia puterii instantanee absorbite de circuitul respectiv pe la borne. Se consider:

tUu sin2= , (3.21) )sin(2 = tIi . (3.22)

Introducnd expresiile (3.21) i (3.22) n relaia (3.20) se obine: )2cos(cos)sin(2sin2 == tUIUItItUp . (3.23)

Se observ c puterea instantanee are o component constant n timp i o component cu o variaie armonic de pulsaie dubl fa de pulsaia tensiunii, respectiv intensitii curentului. n

41

Fig. 3.9 este reprezentat variaia n timp a tensiunii, curentului i puterii instantanee pentru circuitul dipolar considerat.

Valoarea medie pe o perioad sau pe un numr ntreg de perioade a puterii instantanee se numete putere activ, P, i are expresia:

P = UI cos 0, (3.24) care se mai poate scrie:

P = UI cos = RI2. (3.25) Unitatea de msur n SI a puterii instantanee i a puterii active este wattul, simbol W.

Puterea aparent, S, a unui circuit dipolar este egal cu produsul valorilor eficace ale tensiunii aplicate i intensitii curentului absorbit:

S = UI, (3.26) care se mai poate scrie:

S = UI = ZI2. (3.27) Puterea aparent este indicat pe plcua de fabricaie a mainilor i aparatelor electrice.

Puterea aparent caracterizeaz dimensiunile unei maini sau ale unui aparat pentru c U determin grosimea izolaiei iar I determin dimensiunile seciunii conductoarelor.

Unitatea de msur n SI a puterii aparente este voltamperul, simbol VA.

Puterea reactiv, Q, a unui circuit dipolar este egal cu produsul dintre valorile eficace ale tensiunii aplicate, intensitii curentului absorbit i sinusul unghiului de defazaj dintre tensiune i intensitatea curentului:

Q = UI sin, (3.28) care se mai poate scrie:

Q = UI sin =XI2, (3.29) i poate fi > 0, < 0, = 0.

Considernd convenia de asociere a sensurilor de la receptoare, atunci cnd Q > 0 puterea reactiv este primit de circuitul dipolar iar cnd Q < 0, puterea reactiv este cedat de circuitul dipolar.

Unitatea de msur n SI a puterii reactive este voltamper reactiv, simbol VAr.

Fig. 3.9.

t

u

i

p

42

Se numete factor de putere, kp, raportul dintre puterea activ i puterea aparent:

SPk p = . (3.30)

n regim permanent sinusoidal, factorul de putere rezult: kp = cos. (3.31)

Se definete puterea aparent complex a unui circuit dipolar ca fiind egal cu produsul dintre imaginea n complex a tensiunii aplicate i imaginea n complex a intensitii curentului, conjugat:

*IUS = , (3.32)

unde *I este conjugatul numrului complex I . tiind c: jUeU = i jIeI = , -j* IeI = , puterea aparent complex va fi:

QPSSSeUIeIeUeS jsinjcosj)-j(-jj +=+==== , (3.33) care se mai poate scrie:

QPXIRIIXRIZIIZIUS jj)j( 2222** +=+=+==== . (3.34)

3.1.5. Rezolvarea unor circuite simple de c.a. Se vor considera circuite dipolare simple care conin elemente de circuit ideale (rezistoarele

au numai rezisten, bobinele au numai inductan, condensatoarele au numai capacitate), liniare, cu parametrii concentrai. La bornele fiecrui circuit se aplic o tensiune sinusoidal u care are expresia: )sin(2 += tUu . (3.35) Intensitatea curentului absorbit va avea expresia: )sin(2 += tIi . (3.36)

Se pune problema determinrii valorii eficace I i fazei iniiale ale intensitii curentului absorbit atunci cnd se cunosc tensiunea aplicat i parametrii elementelor circuitului.

Pentru determinarea intensitii curentului trebuie stabilit relaia de legtur ntre intensitate i tensiune. n acest scop se aplic legea induciei electromagnetice pe curba nchis format din conturul circuitului dipolar considerat i linia tensiunii la borne (fig. 3.10, 3.12, 3.14). Prin rezolvarea ecuaiilor astfel stabilite se obine intensitatea curentului.

Observaie Rezolvarea ecuaiilor se poate face att n instantaneu (utiliznd valorile instantanee ale mrimilor sinusoidale) ct i n complex (utiliznd imaginile n complex ale mrimilor sinusoidale).

a) Circuitul cu rezistor ideal (fig. 3.10) 0R ; L = 0; C = 0

Dup aplicarea legii induciei electromagnetice rezult ecuaia:

Riu = . (3.37) Se obine:

RtU

Rui )sin(2 +==

u

i

R

A

B

Fig. 3.10.

43

Valoarea eficace I i faza iniial ale intensitii curentului absorbit sunt:

RUI = ; = ; Z = R; = 0.

Tensiunea la bornele rezistorului, uR = u, este n faz cu intensitatea i a curentului prin rezistor (fig. 3.11):

Puteri:

RUUIP

2

cos == ; 0 sin == UIQ ; S = P. Rezistorul ideal absoarbe numai energie activ.

b) Circuitul cu bobin ideal (fig. 3.12) R = 0; 0L ; C = 0

Dup aplicarea legii induciei electromagnetice rezult ecuaia:

t

iLudd

= . (3.38)

Se obine:

L

tUtu

Li

)2

-sin(2d1

+== .

Valoarea eficace I i faza iniial ale intensitii curentului absorbit sunt:

LUI

= ; 2

- = ; Z = L = XL (reactan inductiv); = 2

.

Tensiunea la bornele bobinei ideale, uL = u, este defazat nainte cu 2

fa de intensitatea

i a curentului prin bobin (fig. 3.13):

t

u

i

= 0

Fig. 3.11.

u

i

L

A

B

Fig. 3.13.

u

i

t

2

=

Fig. 3.12.

44

Puteri:

0 cos == UIP ; L

UUIQ

sin2

== ; S = Q. Bobina ideal absoarbe numai energie reactiv.

c) Circuitul cu condensator ideal (fig. 3.14) R = 0; L = 0; 0C

Dup aplicarea legii induciei electromagnetice i a legii conservrii sarcinii electrice rezult ecuaia:

= tiCu d1 (3.39)

Se obine:

++==

2

sin2dd

tUCt

uCi .

Valoarea eficace I i faza iniial ale intensitii curentului absorbit sunt:

CUI = ; 2

+= ; Z =C1

= XC (reactan capacitiv); = 2

.

Tensiunea la bornele condensatorului ideal, uC = u, este defazat n urm cu 2

fa de

intensitatea i a curentului prin condensator (fig. 3.15):

Puteri: 0 cos == UIP ; 2sin CUUIQ == ; S = |Q|. Condensatorul ideal debiteaz energie reactiv.

d) Circuitul serie R, L, C Se consider circuitul dipolar (fig. 3.16), obinut prin nserierea unul rezistor ideal, a unei

bobine ideale i a unui condensator ideal (numit uzual circuitul serie R, L, C), la bornele cruia se aplic tensiunea sinusoidal u cu expresia dat de relaia (3.35) i care absoarbe un curent de intensitate i cu expresia dat de relaia (3.36). Tensiunea la borne se poate scrie ca sum a tensiunilor la bornele elementelor nseriate: CLR uuuu ++= , (3.40) respectiv:

++= idtCtiLRiu 1

dd

. (3.41)

u

i

C

A

B

u

i

t

2

=

Fig. 3.15.

Fig. 3.14.

45

Fig. 3.16

Pentru determinarea intensitii curentului trebuie rezolvat ecuaia integro-diferenial (3.41) a circuitului (sunt cunoscute tensiunea i parametrii R, L i C).

Se introduc expresiile tensiunii i curentului n relaia (3.41), care este valabil la orice moment t. Dup alegerea a dou valori pentru t i n urma efecturii unor calcule simple se obin valoarea eficace I i faza iniial ale curentului:

22

1

+

=

CLR

UI , (3.42)

RC

Larctg

1

= . (3.43) Defazajul dintre tensiune i curent are expresia:

RC

Larctg

1

= (3.44) i depinde de valoarea diferenei dintre reactana inductiv i reactana capacitiv.

Pentru 0

1 >

CL circuitul are un caracter inductiv, tensiunea fiind defazat

naintea curentului cu unghiul ,

pentru 0

1

46

b) Teoremele lui Kirchhoff Pentru circuitele de c.a. teoremele lui Kirchhoff pot fi scrise att n instantaneu ct i n

complex. Prima teorem a lui Kirchhoff se refer la intensitile curenilor i se enun astfel:

Suma algebric a intensitilor curenilor din laturile care se ntlnesc ntr-un nod M al unei reele este egal cu zero.

=

Mkki 0 . (3.47)

n complex, suma se refer la imaginile n complex ale intensitilor curenilor:

=

MkkI 0 . (3.48)

Se consider cu semnul "+" curenii care ies din nod i cu semnul "" cei care intr n nod. Se poate adopta i convenia invers.

A doua teorem a lui Kirchhoff se refer la tensiuni i se enun astfel: Suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile unul ochi p al unei

reele este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune pe impedanele proprii ale laturilor ochiului la care se adun suma algebric a tensiunilor determinate de cuplajele dintre bobinele aflate n laturile ochiului cu bobinele din restul reelei. Semnele termenilor din expresia teoremei a II-a rezult n raport cu un sens de parcurgere a ochiului (se consider cu semnul "+" t.e.m. care au acelai sens cu sensul de parcurgere a ochiului i cu semnul "" cele de sens contrar; se consider pozitive cderile de tensiune pe impedanele prin care sensul curentului coincide cu sensul de parcurgere a ochiului i negative dac cele dou sensuri sunt opuse).

n complex, a doua teorem a lui Kirchhoff are expresia:

=

+=)( 1)( pk

l

kjj

jkjkkpk

ek IZIZU . (3.49)

unde:

+=

kkkk C

LRZ

1j este impedana proprie a laturii k iar kjkj LZ j= este impedana de

cuplaj dintre o bobin din latura k i o bobin din latura j.

3.2. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV TRIFAZAT

Circuitele de curent alternativ trifazat sunt utilizate att n cazul producerii ct i al transportului i utilizrii energiei electrice.

Centralele electrice folosesc generatoare sincrone care sunt maini electrice trifazate. Transportul energiei electrice prin linii electrice trifazate este mai economic dect transportul prin linii monofazate. Utilizarea sistemelor trifazate de cureni permite producerea cmpurilor magnetice nvrtitoare care stau la baza funcionrii motoarelor asincrone i sincrone.

3.2.1. Sisteme trifazate simetrice Un sistem de trei mrimi sinusoidale care au aceeai amplitudine, aceeai pulsaie i sunt

defazate ntre ele cu acelai unghi formeaz un sistem trifazat simetric. Dac mrimile sunt defazate astfel nct a doua mrime este defazat n urma primei mrimi cu /32 iar cea de-a treia n urma celei de-a doua cu /32 , sistemul este direct (sau de succesiune direct). Dac mrimile sunt defazate astfel nct a doua mrime este defazat cu /32 naintea primei mrimi iar cea de-a treia mrime cu /32 naintea celei de-a doua, sistemul este invers (sau de succesiune invers). Dac unghiurile de defazaj sunt egale cu 0, sistemul este homopolar.