CALCULO II EJERCICIOS DE INTEGRALES BASICO.doc

CALCULO II EJERCICIOS DE INTEGRALES BASICO

Calcular la integral:

RespuestaEsta integral puede resolverse haciendo el cambio :

con lo que nos queda :



y a partir de ah :

Resolver la integral:

RespuestaSabemos que sec x = 1/cos x; por lo tanto, podemos poner :

Resolver la integral :


a bx = t -b.dx = dt

Con lo cual :

y deshaciendo el cambio:

Resolver la integral :

RespuestaPara resolver la integral la descomponemos en otras dos mas sencillas :

que resolvemos por separado.Para la primera tenemos :

Para la segunda hacemos el cambio:

y a partir de ah tenemos :

con lo que deshaciendo el cambio :

y de ese modo el valor de la integral inicial ser

Calcular la integral :

RespuestaPara resolver la integral planteada hacemos el cambio :

con lo que tenemos :

y deshaciendo el cambio:


Respuesta 7Para resolver la integral escrita hacemos el cambio :

x = a.t dx = a.dt

y a partir de ah :


Respuesta 8Tenemos :

Podemos ver que se tiene una expresin de la forma y'/y cuya integral es ln y ; por lo tanto :


Respuesta 9Para resolver esta integral hacemos el cambio x = at con lo cual : dx = a.dt y tenemos :

y deshaciendo el cambio :

Determinar la integral de la funcin

Respuesta 10Tenemos :

que tambin podemos poner :

de donde resulta :

Calcular las siguientes integrales:

RESPUESTA 11Para el primer caso realizamos el cabio de variable x = at, con lo cual, dx = adt y, de ese modo:

Y deshaciendo el cambio de variable:

Para el segundo caso efectuamos el cambio de variable sen x = u con lo cual du = cos x.dx; de ese modo, cambiando los lmites de integracin podemos poner:



RESPUESTA 12

Para la primera integral cambiamos de variable y de lmites de integracin:

De ese modo:

Para la segunda integral hacemos el cambio de variable 2x = u, con lo cual du = 2dx y tenemos:

Finalmente, para la tercera integral tenemos:

Y si hacemos el cambio de variable sin x = u resulta du = cos x y a partir de ah:


RESPUESTA 13

Haciendo el cambio de variable x = sen t resulta dx = cos t.dt y tenemos:

Por otro lado, segn una conocida frmula trigonomtrica tenemos:

Con lo que la integral queda en la forma:

La segunda de las anteriores integrales es inmediata y la primera se resuelve fcilmente haciendo el cambio de variable u = 2t, con lo cual 2dt = du y entonces:

La expresin general queda, por tanto, en la forma:

Para expresar el resultado en trminos de la variable x tenemos en cuenta otra conocida frmula trigonomtrica segn la cual podemos hacer lo siguiente:

Y la expresin general nos quedar:

Obtener las siguientes integrales:

RESPUESTA 14

En todos los casos aplicamos el mtodo de integracin por partesPara la primera de las integrales tenemos:

Para la segunda de las integrales resulta:

Finalmente, para la tercera de las integrales hacemos:

Explicar cmo pueden resolverse integrales de la forma:

RESPUESTA 15

Integrales de los tipos indicados en el enunciado pueden resolverse por el mtodo de integracin por partes aplicado reiteradamente. Este proceso recibe el nombre de integracin por reduccin.As, por ejemplo, para el primer tipo de integrales tenemos:

Y aplicando de nuevo el mtodo de integracin por partes

Haciendo as m veces nos queda

El mtodo para obtener en cada caso la parte integrada es dividir por a la parte que queda bajo el operador integral.Para integrales del segundo tipo seguimos un proceso anlogo para obtener:

Calcular la siguiente integral:

RESPUESTA 16

Calculamos la integral por el mtodo de Hermite:

Se tiene entonces:

Con lo que podemos poner:

Y quitando denominadores:

2x 3 = a(x+2)(x-1) 2(ax + b)(x + 2) + (cx + d)(x 1)2Agrupando trminos e identificando coeficientes, nos queda finalmente:

a = - 7/9 ; b = 17/18 ; c = 0 ; d = - 7/9


Y para obtener la ltima integral descomponemos el integrando en fracciones simples:

De donde obtenemos: A = - 7/27 ; B = 7/27 y a partir de ah:

Con lo que la integral principal queda en la forma:


RESPUESTA 17

Desarrollando el integrando en fracciones simples, tenemos:

Quitando denominadores, agrupando trminos e identificando coeficientes obtenemos los siguientes valores para los coeficientes: A = ; B = C = 0 ; D = - . La integral original queda as en la forma:

La primera de estas integrales es inmediata, ya que poniendo (x-1) = t, resulta dx = dt y a partir de ah

La segunda integral se resuelve como sigue:

Por todo lo visto, la integral buscada es:


Haciendo el cambio tg(x/2) = t

RESPUESTA 18

Transformamos la integral como sigue:

Por otra parte, el cambio de variable indicado nos da:

De donde por manipulaciones algebraicas elementales obtenemos:

Pero tenemos:

Con lo que sustituyendo en la expresin anterior:

Todo lo anterior nos permite escribir para la primera de las integrales:

Para resolver la segunda integral, considerando los resultados anteriores, tenemos:

Y sustituyendo en la integral:

Y finalmente:

Con lo que la integral inicial resultar ser:


Haciendo el cambio de variable cos x = t

RESPUESTA 19

Transformamos la integral como sigue:

Para resolver la primera de las integrales tenemos:

Haciendo el cambio cos x = t resulta dt = - sin x.dx podemos poner:

Para resolver la segunda integral tenemos:

Resolviendo la diferencial del numerador tenemos:

Y a partir de ah, podemos poner:

Para resolver la integral racional lo hacemos por el mtodo general de resolucin de este tipo de integrales (ver monografa clculo integral):

Operando obtenemos:

Y la integral queda en la forma:

Que resolviendo nos da:

Deshaciendo el cambio de variable, podemos poner en la integral final:

Y agrupando logaritmos:

Calcular las integrales:

RESPUESTA 20

Consideramos la primera de las integrales. Integrando por partes resulta:

Donde podemos tomar:

Y a partir de ah:

Consideramos la segunda de las integrales. Integrando, como antes, por partes, tenemos:

Donde consideramos:

Y a partir de ah:

Calcular por el mtodo de integracin por partes las siguientes integrales:

RESPUESTA 21

Para la primera de las integrales tenemos:

Para la segunda de las integrales podemos hacer:

Finalmente, para la tercera de las integrales hacemos:


RESPUESTA 22

Consideramos la primera de las integrales. Para poder resolverla hacemos el cambio de variable:

Con lo cual:

Pero la ltima de las integrales es I2. Integrando de nuevo por partes, tenemos:


Pero esta ltima integral es de nuevo I1, con lo que podemos poner:

Que, por ltimo, podemos dejar en la forma:

Para calcular I2 tenemos en cuenta:

Integrando y despejando I2 nos queda:

La ltima integral es I1 que, como hemos visto, vale:

Sustituyendo nos queda:

Y finalmente:

alcular por el mtodo de Euler las siguientes integrales:

RESPUESTA 23

Segn la frmula de Euler, se tiene:

Y, por otro lado,

Pero teniendo en cuenta de nuevo la frmula de Euler:

Y separando las partes real e imaginaria:

Con lo que, finalmente obtenemos:


RESPUESTA 24

Para la primera de las integrales hacemos:

Aplicando el mtodo de integracin por partes resulta:

Y agrupando trminos:

Para la segunda de las integrales tomamos:

Y a partir de ah:

Calcular, mediante un cambio de variable adecuado, las integrales:

RESPUESTA 25

Para la primera de las integrales realizamos el cambio de variable:

Y con ello:


Para la segunda de las integrales realizamos el cambio de variable:

Y con ello:

Para resolver la ltima integral ponemos:

De ese modo:

Y finalmente:


RESPUESTA 26

Consideramos la primera de las integrales:

Haciendo el cambio de variable:

Resulta:


Consideramos la segunda de las integrales:

Haciendo el cambio de variable x = tg t, resulta:

Pero tenemos la equivalencia:

Con lo cual:


Donde hemos considerado:

Obtener las siguientes integrales:

RESPUESTA 27

Con la primera de las integrales podemos hacer:

Y realizando la integracin de cada uno de los sumandos:

Por lo que finalmente:

Para la segunda de las integrales hacemos el cambio de variable

Con lo cual, la integral dada se puede escribir:

Y resolviendo y deshaciendo el cambio de variable:

Resolver la siguiente integral:

RESPUESTA 28

Podemos intentar transformar el integrando en una expresin de la forma:

Pues de ese modo resultara:

Y tendramos dos integrales inmediatas.Hacemos:

Con lo que la integral queda en la forma

Y a partir de ah:

Lo que nos da:

Y, finalmente:

Resolver la siguiente integral:

RESPUESTA 29

Transformamos el denominador:

De ese modo:

Y tenemos una integral de la forma:

Para resolver esta integral hacemos el cambio de variable Z = A.tg , con lo cual:


Por lo que, finalmente:


RESPUESTA 30

Podemos transformar el integrando como sigue:

El primero de los sumandos nos da:

El segundo de los sumandos nos da:

Por lo que, finalmente:

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