CALCULO Hoja 10. Integrales triples. . Matem atica Aplicada. E.T.S.A.M. C alculo. Integrales triples. Aplicaciones. 4. Hallar el volumen limitado entre las super cies † x2 +y2
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  • Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. Integrales triples. Aplicaciones.

    CALCULO

    Hoja 10. Integrales triples. Aplicaciones.

    1. Calcular las siguientes integrales triples en los recintos indicados:

    (a)

    Dx+zy+x2yzdxdydz, D =

    {(x, y, z) R3 : 0 x 1,1 y 0, 0 z 2

    }.

    Sol.:-1

    3

    (b)

    Dzxy

    1 + y2dxdydz,D =

    {(x, y, z) R3 : 1 x 2, 0 y 1, 0 z 1

    }.Sol.:

    2

    2

    1

    4

    (c)

    D

    z2y zx2 zx4

    1 + x2dxdydz, con D el cubo unidad [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Solucion:

    424 .

    (d)

    D dxdydz, siendo D el tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano

    x+ y + z = 1. (El valor de la integral es el volumen del tetraedro). Sol.:1

    6

    (e)

    De(x

    2+y2+z2)3/2

    dxdydz, D la esfera unidad centrada en el origen. Indicacion:

    Cambiar a variables esfericas. Solucion: 43(e 1).

    (f)

    D

    dxdydz

    (x2 + y2 + z2)3/2, siendo D el recinto limitado por las esferas x2+y2+z2 = a2

    y x2 + y2 + z2 = b2 con 0 < b < a. Sol.:4 lna

    b

    (g)

    D yzdxdydz, siendoD la region limitada por el elipsoide de ecuacionx2

    a2+ y

    2

    b2+ z

    2

    c2=

    1 y los semiespacios x 0, y 0 y z 0. Solucion: ab2c215 .

    2. Expresar en la forma D ={(x, y, z) R3 : . . .

    }y hacer un esbozo de los recintos sobre los

    cuales se estan calculando las siguientes integrales:

    (a)

    2

    0

    2

    x

    31

    sen y2dzdydx, (b)

    10

    y0

    1y20

    dzdxdy, (c)

    40

    4x2

    0

    123x6y4

    0dzdydx.

    Finalmente plantear alguna otra de las integrales iteradas y hallar el valor de dicha integral.(Nota: en este ejercicio el orden de integracion dado por dx, dy y dz juega un papel

    fundamental). Sol.:(a) 1; (b)1

    3; (c) 4.

    3. Sea el solido limitado inferiormente por el paraboloide z = x2 + y2 y superiormente por laesfera x2 + y2 + z2 = 6. Se pide:

    (a) Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen de dichosolido.

    (b) Mediante un cambio de coordenadas apropiado calcular dicho volumen.

    Sol.: 2(11

    3 + 26).

    1

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    4. Hallar el volumen limitado entre las superficies{x2 + y2 = z2

    x2 + y2 = 8ypara x 0.

    Sol.: 20489 .

    5. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2+9y2+ z2 36 = 0 y exterior a la superficie4x2 + 9y2 9 = 0.Sol.: 29

    (216 81

    3).

    6. Hallar el volumen de la region

    D = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 z2 + 4 0, 8 x2 y2 z, z 0}.

    Sol.: 896 .

    7. Hallar el volumen limitado por los paraboloides de ecuaciones z = x2+y2 y z = 2x2y2.Solucion: Vol= .

    8. Hallar el volumen del cuerpo definido como D =

    {(x, y, z) R3 : 0 z x

    2

    4+

    y2

    9 1}.

    Sol.:3.

    9. Hallar el volumen comprendido entre x2 + y2 + z2 = 100 y x2 + y2 = z2, z 0. Sol.:1000

    3

    (2

    2).

    10. Sea W la region acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x2 + y2,

    x 0, y 0. CalcularW xdxdydz. Sol.:

    82

    15.

    11. Hallar el volumen limitado entre las superficies{z2 4 = x2 + 2y2

    x2 + 2y2 = 5

    Sol.: 382.

    12. Calcular el volumen del recinto interior al elipsoide 4x2 + y2 + z2 338 = 0 al que se lehan quitado los dos casquetes cortados en el por el hiperboloide 4x2 + y2 z2 + 50 = 0.

    13. Hallar el volumen limitado entre las superficies{x2 + y2 + 3z = 4x2 + y2 = z2

    Sol.: 11712 +43 .

    14. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2+9y2+ z2 36 = 0 y exterior a la superficie4x2 + 9y2 9 = 0.

    15. Hallar el volumen de la region

    D = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 z2 + 4 0, 8 x2 y2 z, z 0}.

    Sol.: 896 .

    16. Calcular la masa del solido

    D = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 2x, x2 + y2 4x, z2 x2 + y2}

    situado en el primer octante (x 0, y 0, z 0), siendo la densidad m(x, y, z) = ySol.: 12.

    2

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    17. Calcular el centro de gravedad de un cilindro circular recto de radio de la base R, de alturah y cuya densidad vara proporcionalmente a su distancia a la base. Sol::

    (0, 0, 2h3

    ).

    18. Calcular la masa del solido de densidad d(x, y, z) = 1 + 2z limitado por las superficiesz = 0, (x 1)2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 2 z.

    Indicacion:

    2

    4

    cos6 t dt =5

    64 11

    48y

    2

    4

    cos4 t dt =3

    32 1

    4

    Sol.: 2512 89 .

    19. Calcular el momento de inercia con respecto al eje OZ del volumen del paraboloide derevolucion z = x2 + y2, limitado por el plano z = a. Sol.: a

    3

    6 .

    20. Calcular el momento de inercia del solido interior al cono z2 = x2 + y2 para 4 z 4respecto de los ejes coordenados y respecto al origen (densidad =constante). Sol.:Ix = Iy = 512, Iz =

    10245 , Io =

    30725 .

    21. Calcular la masa del solido limitado por el hiperboloide x2 +4y2 z2 +4 = 0 y el cilindrox2 + 4y2 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = 1 z

    4.

    Sol.: (26

    13

    3 163

    ).

    22. Calcular la masa M del solido definido por

    {z =

    4 x2 y2

    z

    x2 + y2siendo la densidad en

    cada punto el cuadrado de la distancia de su proyeccion sobre el plano OXY al origen decoordenadas. (Se recomienda pasar a coordenadas esfericas).

    Sol.: 2(8

    2

    3 +6415

    ).

    23. Dado el elipsoidex2

    a2+y2

    b2+z2

    c2= 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc|xyz|,

    calcular su masa.

    Sol.: a2b2c2(86

    16

    ).

    24. Hallar el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide z = 5 x2 y2, einferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y2. Hallar tambien su masa y su centro degravedad siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = 8 z.

    25. Se considera el solido interior al cilindro x2 + y2 = 1, limitado superiormente por lasuperficie z2 = 2+ x2 + y2, e inferiormente por z = x2 + y2. Hallar su masa sabiendo quela densidad en cada punto es m(x, y, z) = 6 (x2 + y2)z.Sol.: 2

    (63 4

    2 8548

    ).

    26. Hallar la masa del solido D ={(x, y, z) R3|x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 x, z 0

    }que

    tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = z.

    Sol.: 564 .

    27. Calcular la masa y los momentos de inercia respecto de los ejes X e Y del solido limitadopor la superficie z =

    4 x2 y2 y el plano z = 0 si la densidad en (x, y, z) es proporcional

    a la distancia de (x, y, z) al plano z = 0.

    Sol.: Masa= 4k, Ix = Iy = 8k.

    28. Se considera el solido D limitado por el cilindro x2 + y2 2y = 0 en la region 0 z x2 + y2; hallar la masa de D suponiendo que la funcion densidad es f(x, y, z) = |x|.

    Sol.: 85 . 3

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    29. Hallar la masa de la dovela

    D = {(x, y, z) R3 : x2 + y2

    4 1, x

    2

    4+

    y2

    16 1, x 0, y 0, 0 z 1}

    siendo la funcion de densidad m(x, y, z) = xy + 1.

    Sol.: 32 +152 .

    30. Se considera el solido

    S = {(x, y, z) R3 : (x 1)2 + y2 1, 0 x 1, 0 y, 0 z 2}

    con funcion densidad (x, y, z) = y + 2. Hallar el momento de inercia de S respecto delplano coordenado z = 0.

    Sol.: 89 +86 .

    31. Calcular la masa del solido S = {(x, y, z) R3 :

    x2 + y2 z, 0 z 4} siendola densidad en cada punto m(x, y, z) =

    x2 + y2 + z2.

    Sol.: 1283 (22 1).

    32. Calcular la masa del solido S = {(x, y, z) R3 : 0 z, z2 3 x24 y2

    9 , z2 1+ x24 +

    y2

    9 }siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = z.

    Sol.: 3.

    33. Dado el elipsoidex2

    a2+y2

    b2+z2

    c2= 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc|xyz|,

    calcular su masa

    34. Calcular la masa y el centro de gravedad del solido limitado por el hiperboloide de doshojas x2 + y2 z2 + 4 = 0 y el cilindro x2 + y2 9 = 0, y cuya densidad en cada punto esm(x, y, z) =

    5 z2

    . (Maple). .

    35. Calcular la masa del solido limitado por el hiperboloide de dos hojas x2 + y2 z2 + 1 = 0y la esfera x2 + y2 + z2 9 = 0 en el semiespacio z 0, y cuya densidad en cada punto esm(x, y, z) = z2.

    Sol.: 23(10

    5 + 2445

    ).

    36. Calcula la masa del solido D definido porD ={(x, y, z) R3|x2 + y2 + z2 6, z2 x2 y2 2

    }que tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = |z|x2 + |z|y2. Sol: 83 .

    37. Se pretende instalar un equipo de aire acondicionado en un estadio de deporte de plantaelptica de semiejes a = 2 y b = 1 y paredes planas perpendiculares al suelo (es decir, el

    recinto limitado por el cilindro de ecuacionx2

    4 +y2 = 1, z 0). Ademas, la cubierta es una

    porcion del elipsoide 4z2 + x2

    4 + y2 = 4 Se utilizaran compresores y evaporizadores de aire

    segun ciertas caratersticas tecnicas. Para determinar el numero de dichos aparatos, seprecisa conocer el volumen de aire que habra que enfriar. Calcular, por tanto, el volumendel estadio. (Sol: V = 2

    (83

    3)).

    38. Hallar la masa del solido

    D ={(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 9, x2 + y2 z2 1, z 0

    }que tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = z3 + 1.

    (Sol.:2

    (88

    3 10

    5

    3

    )).

    4