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CALCULO Hoja 12. Integrales triples. Algunas · PDF file Dpto. Matem atica Aplicada. E.T.S.A.M. C alculo. Integrales triples. Aplicaciones. CALCULO Hoja 12. Integrales triples. Algunas

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  • Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.A.M. Cálculo. Integrales triples. Aplicaciones.

    CÁLCULO

    Hoja 12. Integrales triples. Algunas aplicaciones.

    • Masa de un sólido de densidad µ = µ(x, y, z)

    M = ∫ ∫ ∫

    V µ(x, y, z)dxdydz

    • Centro de masas (de gravedad o baricentro) de un sólido de densidad µ = µ(x, y, z) :

    x =

    ∫ ∫ ∫ V xµ(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫ V µ(x, y, z)dxdydz

    y =

    ∫ ∫ ∫ V yµ(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫ V µ(x, y, z)dxdydz

    z =

    ∫ ∫ ∫ V zµ(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫ V µ(x, y, z)dxdydz

    • Momentos de inercia de un sólido respecto a los planos coordenados:

    – Plano YZ: Iyz = ∫ ∫ ∫ ∫

    V x 2µ(x, y, z)dxdydz

    – Plano XZ: Ixz = ∫ ∫ ∫

    V y 2µ(x, y, z)dxdydz

    – Plano XY: Ixy = ∫ ∫ ∫

    V z 2µ(x, y, z)dxdydz

    • Momentos de inercia de un sólido respecto a los ejes coordenados:

    – Eje OX: Ix = ∫ ∫ ∫

    V (y 2 + z2)µ(x, y, z)dxdydz

    – Eje OY: Iy = ∫ ∫ ∫

    V (x 2 + z2)µ(x, y, z)dxdydz

    – Eje OZ: Iz = ∫ ∫ ∫

    V (x 2 + y2)µ(x, y, z)dxdydz

    • Momentos de inercia de un sólido respecto al origen (Momento polar):

    IO = ∫ ∫ ∫

    V (x 2 + y2 + z2)µ(x, y, z)dxdydz

    • Relaciones entre momentos:

    Ix = Ixy + Ixz

    Iy = Ixy + Iyz

    Iz = Ixz + Iyz

    IO = Ixy + Ixz + Iyz

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