of 22 /22
1 3. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE 3.1 Molekulski prenos toplote i mase Posmatrajmo sloj nepokretnog gasa ili tečnosti ili sloj čvrstog materijala čiji krajevi tj. grani čne površine imaju razli čite temperature. Kao rezultat spontane težnje ka uspostavljanju termičke ravnoteže dolazi do prenosa toplote u smeru od toplije prema hladnijoj površini. U pitanju je molekulski mehanizam prenosa toplote, koji je rezultat haotičnog termi čkog kretanja molekula supstance pri čemu. dolazi do prenošenja kineti čke energije u smeru u kome temperatura opada (sa bržih na sporije molekule) Izuzetak su metali, gde su glavni prenosioci toplote slobodni elektroni. Fluks toplote : koli čina toplote koja u jedinici vremena prođe kroz neku površinu S. Ako se temperatura u posmatranom medijumu menja samo u jednom koordinatnom pravcu, T = T(z) Furijeov zakon glasi dQ dt S T z J s = -λ ( / ) (3.1) S je veli čina površine normalne na pravac po kome se temperatura menja (osa z). Specifični toplotni fluks ili gustina toplotnog fluksa,: ) / ( 1 2 s m J z T q S dt dQ λ - = = (3.2) Znak “-” u jednačini (3.2) daje informaciju o smeru provođenja toplote, tj. o smeru toplotnog fluksa q, koji je ustvari vektorska veli čina.Pozitivna vrednost fluksa znači da je njegov smer jednak pozitivnom smeru z - ose, a ako smo dobili negativnu vrednost fluksa, znači da je njegov smer suprotan od usvojenog pozitivnog smera z - ose (vidi sl. 3.1).

Brzina prenosa toplote i mase - UNSomorr/radovan_omorjan_003_mpi/Brzina prenosa... · 1 3. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE 3.1 Molekulski prenos toplote i mase Posmatrajmo sloj nepokretnog

  • Author
    hacong

  • View
    251

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of Brzina prenosa toplote i mase - UNSomorr/radovan_omorjan_003_mpi/Brzina prenosa... · 1 3. BRZINE...

  • 1

    3. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE

    3.1 Molekulski prenos toplote i mase

    Posmatrajmo sloj nepokretnog gasa ili tenosti ili sloj vrstog materijala iji krajevi tj. granine povrine imaju razliite temperature.

    Kao rezultat spontane tenje ka uspostavljanju termike ravnotee dolazi do prenosa toplote u smeru od toplije prema hladnijoj povrini.

    U pitanju je molekulski mehanizam prenosa toplote, koji je rezultat haotinog termikog kretanja molekula supstance pri emu. dolazi do prenoenja kinetike energije u smeru u kome temperatura opada (sa brih na sporije molekule)

    Izuzetak su metali, gde su glavni prenosioci toplote slobodni elektroni.

    Fluks toplote : koliina toplote koja u jedinici vremena proe kroz neku povrinu S. Ako se temperatura u posmatranom medijumu menja samo u jednom koordinatnom pravcu, T = T(z)

    Furijeov zakon glasi

    dQ

    dtS

    T

    zJ s=

    ( / ) (3.1)

    S je veliina povrine normalne na pravac po kome se temperatura menja (osa z). Specifini toplotni fluks ili gustina toplotnog fluksa,:

    )/(1 2smJ

    z

    Tq

    Sdt

    dQ

    == (3.2)

    Znak - u jedna ini (3.2) daje informaciju o smeru provoenja toplote, tj. o smeru toplotnog fluksa q, koji je ustvari vektorska veliina.Pozitivna vrednost fluksa znai da je njegov smer jednak pozitivnom smeru z - ose, a ako smo dobili negativnu vrednost fluksa, znai da je njegov smer suprotan od usvojenog pozitivnog smera z - ose (vidi sl. 3.1).

  • 2

    Posmatrajmo stacionarno provoenje toplote kroz ravan zid debljine , ija se jedna povrina (veliine A) nalazi na temperaturi T1, a druga (iste veliine) na temperaturi T2.

    sl. 3.2. Stacionarno provoenje toplote kroz zid Pretpostavimo da je = const. Ako unutar zida uoimo beskonano tanak sloj debljine dz, poto je proces stacionaran, mora biti:

    qzA = qz+dz A 21, zzzconstq =

    Sada moemo da integriemo diferencijalnu jednainu (3.2)

    qdT

    dz= , T(z1) = T1

    2111 ,)()(11

    zzzzzq

    TzTdTdzqT

    T

    z

    z

    == (3.3) Dakle, stacionaran temperaturni profil kroz ravan zid, pri = const. je linearan (slika 3.2).

    Dalje, iz (3.3) nakon smene z = z2 i T = T2 moemo da naemo specifini toplotni fluks kroz zid:

    T

    zq< >0 0,

  • 3

    qT T T= =

    2 1

    /

    odnosno, apsolutna vrednost fluksa je:

    =

    = /, tt

    RR

    Tq

    Analogija sa Omovim zakonom:

    Rt, - tremiki otpor , razlika T = T2 - T1 odgovara potencijalnoj razlici,

    fluks q odgovara jaini struje. PRIMER 3.1. Termiki otpor jedinice duine cilindrine cevi unutranjeg poluprenika r1 i spoljanjeg poluprenika r2 pri = const., je :

    =s

    t r

    rrR

    212

    gde je sr rS srednji logaritamski poluprenik:

    1

    2

    12

    lnr

    rrr

    rs

    = .

    Ukupni fluks toplote kroz bilo koji od koaksijalnih cilindara unutar zida cevi, duine L i poluprenika r1 r r2 mora imati jednaku vrednost da bi se odrala stacionarnost:

    dQ

    dt

    dT

    drS

    dT

    drrL const= = = 2 (W)

    Fluks po jedinici cevi qL:

    q rdT

    drconstL = =2 (W/m)

    Dobiemo ga integracijom poslednje jednaine u odgovarajuim granicama:

    qdr

    rdT q

    r

    rTL

    r

    r

    T

    T

    L

    1

    2

    1

    2

    2 22

    1 = = ln

    qT

    r

    r

    Tr

    r

    L = = 2

    22

    1

    2

    1

    ln ln / ( )

    st r

    rr

    r

    rrr

    rrr

    r

    R=

    =

    =2

    ln22

    ln12

    1

    2

    12

    121

    2

  • 4

    Molekulski prenos mase

    U nepokretnim medijumima, analogno prenosu toplote, difuzija komponenata je rezultat termikog kretanja molekula i naziva se molekulska difuzija. Matematiko opisivanje molekulske difuzije je znatno sloenije od opisivanja provoenja toplote jer je re o smeama vie komponenata (bar dve) iji difuzioni fluksevi utiu jedni na druge.

    Uzmimo na primer najjednostavniji sluaj binarne gasne smee komponenata A i B. Ako postoji promena koncentracije komponente A u pravcu z, mora da postoji i promena koncentracije komponente B, jer pri datom pritisku ukupan broj molekula u jedinici zapremine mora u celom sistemu biti konstantan. Tako, poto je: CA + CB = Ctot. = const (mol/m

    3) vai

    dC

    dz

    dC

    dzA B= (3.5)

    pa difunduju obe komponete i to u suprotnim smerovima.

    Gustina difuzionog fluksa komponente A u pravcu ose z pri izotermskim uslovima (temperatura je uniformna):

    N DC

    z

    mol

    smA AA=

    2 (3.6) (Fikov zakon)

    Koeficijent DA (m

    2/s) se naziva molekulski koeficijent difuzije i u optem sluaju zavisi od koncentracije, pritiska i temperature. Kao i za koeficijent provodljivosti, za izraunavanje difuzionog koeficijenta postoje u literaturi teorijske, poluempirijske i empirijske jednaine.

    Uzimajui u obzir uslov (3.5) izvodimo, uz uslov .constDA = , linearne koncentracijske profile komponenata A i B ( uz uslov , .)constDA = kao i vezu izmeu flukseva : BABA DDNN == , (3.7) Opisanu difuziju u binarnom sistemu zovemo ekvimolarna suprotnostrujna difuzija . U praksi, ovaj sluaj imamo kod destilacije binarne smee, pri kojoj lake isparljiva komponenta difuduje iz tenosti u paru, a tee isparljiva komponenta u suprotnom smeru.

    Analogno jednaini (3.4) za difuzioni fluks NA vai:

    NC

    RR DA

    A

    DD A= =

    , / ( . ) 3 8

    RD - difuzioni otpor

  • 5

    - debljina sloja kroz koji komponenta difunduje Drugi sluaj stacionarne difuzije u binarnom sistemu je kada A difunduje kroz nepokretnu komponentu B. To e biti sluaj ako je granica sistema propusna samo za komponentu A. Primer je apsorpcija komponente A u tenosti. Zbog nestajanja komponente A u blizini granine povrine gas - tenost dolo bi do pada pritiska u toj oblasti. Da bi se pritisak odrao konstantnim pojavie se strujanje gasa prema povrini. Rezultat je poveanje fluksa komponente A u odnosu na onaj koji daje Fikov zakon (3.6) i moe se izvesti:

    NC

    CD

    dC

    dzAA

    BA

    A= +

    1 (3. 9)

    Vidimo da je vanost Fikovog zakona (3.6) ograniena. Tako, on vai strogo ili priblino u sledeim sluajevima (pri emu se pretpostavlja izoterminost):

    ekvimolarna binarna difuzija difuzija u razblaenim multikomponentnim sistemima tj. smeama u kojima je inertna

    komponenta ili rastvara u velikom viku, u odnosu na komponentu A i druge prisutne rastvorke. Na primer u sluaju difuzije A kroz nepokretan sloj komponente B, B je inert i ako je CB >> CA relacija (3.9) postaje bliska jednaini (3.6)

    multikomponentna difuzija pri jednakim difuzionim koeficijentima svih komponenta jer tada nema meusobnog uticaja fluksova

    Ako je neizoterminost (neuniformnost temperature) jako izraena, neophodno je pri modelovanju difuzije uzeti u obzir i fenomen termodifuzije - difuzija koja nije uslovljena neuniformnou koncentracije, tj. postojanjem koncentracijskog gradijenta ve neuniformnou temperature tj. postojanja temperaturnog gradijenta.

    Analogija izmeu fenomena prenosa Uoljva je analogija izraza za gustine flukseve toplote (Furijeov zakon), komponente

    (Fikov zakon) i koliine kretanja pri strujanju Njutnovskog fluida (Njutnov zakon):

    )9.3()(

    )9.3()(

    )9.3()(

    2

    2

    2

    cmNdz

    dw

    bmsmoldz

    dCDN

    amWdz

    dTq

    AAA

    =

    =

    =

    - tangencijalni napon (fluks koliine kretanja) - dinamiki viskozitet

    w - brzina sloja, koji se kree u pravcu normalnom na z - osu

  • 6

    Formulacije fluksova q i , preko koncentracija veliina koje se prenose su:

    qc

    d c T

    dza

    d c T

    dzp

    p p= = ( ) ( )

    (3.10)

    - gustina; cp - specifina topota a - termika difuzivnost (m2/s)

    = = d wdz

    d w

    dz

    ( ) ( ) (3.11)

    - kinematski viskozitet (m2/s)

    Za modelni sistem - binarna gasna smea molekula A i B iste veliine i mase, za koju vai kinetika teorija, za sva tri transportna koeficijenta izvodi:

    molekulaputa slobodnog duzina srednja-

    brzinamolekulska srednja-w

    (3.12)3

    1

    l

    l=== waDA

    3.2 Molekulska difuzija i provo enje toplote kroz porozni medijum. Efektivni koeficijenti pren osa Kvazihomogen matemati ki model

    Dvofazni sistem fluid - vrsto zamenjuje se kvazi - homogenim medijumom, kao da molekuli difunduju kroz celu povrinu preseka bloka poroznog vrstog materijala, S, a ne samo kroz povrinu S koju ine povrine preseka pora:

    Gustina fluksa veliine

    koja se prenosi

    Koncentracija veliine koja se

    prenosi (potencijal)

    Koeficijent prenosa

    prenos toplote q (W/m2) cpT (J/m3) a (m2/s) prenos mase NA (mol/m

    2s) CA (mol/m3) DA

    (m2/s)

    prenos kol. kretanja (N/m2) W (kg/m2s) (m2/s)

    S

    S

    S - ukupna povrina preseka svih pora S - ukupna povrina preseka bloka poroznog vrstog materijala

  • 7

    Slika 3. 3. Presek poroznog bloka nekom povrinom Fluksevi toplote i komponente kroz povrinu u poroznom sistemu, normalnu na pravac provoenja toplote odnosno difuzije glase:

    )(WSdz

    dTSq

    dt

    dQ eff== (3.13a)

    ==s

    molS

    dz

    dCDSN

    dt

    dn AeffAA

    A (3.13b)

    S - ukupna povrina preseka poroznog bloka

    Efektivni koeficijent molekulske difuzije DAeff komponente A kroz porozni medijum je parametar, koji kad se zameni u kvazi - homogeni izraz za fluks komponente (3.13b), daje pravu veliinu fluksa.

    Efektivni koeficijent provoenja toplote eff se definie analogno

    3.3 Konvektivni prenos toplote i mase. Prelaz toplo te i mase.

    Molekulski transport toplote i mase je rezultat haotinog (neureenog) kretanja molekula u nepokretnom fluidu. Molekulski mehanizam prenosa toplote i mase je takoe vaei i pri strujanju fluida , ako je ono laminarno (slojevito), a smer fluksa normalan na smer strujanja.

    U sluaju razvijenog turbulentnog strujanja fluida, prenos toplote i mase je intenzivniji nego u nepokretnom fluidu, zbog haotinog kretanja velikih grupa ili klastera (cluster) molekula, vidljivih i golim okom, koji se zovu vrtlozi (eddy). Opisani prenos toplote i mase se naziva konvektivni prenos.

    Prelaz toplote

    Posmatrajmo stacionarno jednodimenziono prinudno (pod dejstvom pumpe) turbulentno strujanje fluida du ravnog zida ili ploe vrlo velike (teorijski beskonane) povrine. Uspostavljeni brzinski profil w = w(z),

    je rezultat usporavajueg dejstva zida na struju fluida potiskivanu pumpom, odnosno rezultat prenosa koliine kretanja u pravcu normale na zid (osa z).

    ima horizontalnu asimptotu w = wf, ako zamislimo da je sloj fluida vrlo debeo.

    Sloj fluida uz zid u kome brzina fluida raste od nula (u taki z = 0, tj. uz sam zid) do vrednosti 0.99wf naziva se hidrauli ni granini sloj debljine H. Za z > H moe se smatrati da je brzina uniformna i jednaka asimptotskoj vrednosti wf, koja predstavlja brzinu turbulentne mase fluida.

  • 8

    Slika 3.4 Brzinski i temperaturni profil

    Analogno, ako temperatura zida Tz i temperatura dolazeeg fluida Tf nisu jednake, kao

    rezultat prenosa toplote u z - pravcu formirae se temperaturni profil slinog oblika, sa horizontalnom asimptotom T = Tf . U toplotnom graninom sloju, irine T se temperatura menja od temperature zida Tz ( z = 0) do 1.01Tf.

    U laminarnom podsloju uz zid fluid struji laminarno i

    u njemu su najvee promene brzine strujanja i temperature fuida, tj. gradijenti dw

    dz

    dT

    dzi .

    imamo molekulski mehanizam prenosa koliine kretanja i toplote brzinski i temperaturni profili su priblino linearni

    U meusloju (preostalom delu graninog sloja) imamo : prelazni reim strujanja . gradijenti brzine i temperature postepeno opadaju praktino do nule , jer vrtlozi intenzifikuju prenos koliine kretanja i toplote

    U masi fluida, snano vrtloenje uslovljava uniformisanje brzina i temperatura .

    Debljina hidrauli nog graninog sloja e biti utoliko vea ukoliko je vei fluks koliine kretanja izmeu zida i fluida (koee dejstvo zida), odnosno ukoliko je vei kinematski viskozitet (difuznost koliine kretanja), vidi jedn. 3.11.Analogno, debljina toplotnog graninog sloja T (rastojanje do koga se osea efekat zagrejane ploe na temperaturu fluida) raste sa toplotnom difuznou a (vidi jedn. 3.10). Tako odnos H i T raste sa kolinikom /a, koji se zove Prandltov kriterijum :

    3/1

    3/1Pr

    ==

    aT

    H

    tecnosti)(

    3.12) vidigas,idealan (

    metali) (tecni

    1Prza1

    1Prza1

    1Prza1

    >>==

  • 9

    Teorija filma

    Od praktinog interesa je koliina toplote koju zid u jedinici vremena preda fluidu , raunato po jedinici povrine:

    qdT

    dzz z=

    =

    = 0

    0

    (3.19)

    Jedn (3.19) zahteva poznavanje temperaturnog profila )(zT , ije je dobijanje vrlo kompleksno (reavanje sistema od dve diferencijalne jednaine: bilans koliine kretanja i energetski bilans)

    Slika 3.5 Stvarni i aproksimativni temperaturni profil

    Pravi profil zamenjujemo izlomljenim , koji se sastoji od

    kose dui (deo tangente povuene u taki z = 0) sa nagibom dTdz z

    =0

    horizontalog dela - asimptote T = Tf. Taka preloma, tj. presek tangente i asimptote, definie debljinu fiktivnog toplotnog graninog sloja, T ili filma . Nagib kosog profila je,

    0

    '=

    =

    zT

    zf

    dz

    dTTT

    pa dobijamo :

    )('0 zfT

    z TTq =

    =

    Ako se kolinik /T zameni novim koeficijentom ,

    'T= (W/m2K) (3.20)

  • 10

    dobijamo izraz za prelaz toplote sa zida na fluid:

    (3.21)

    - koeficijent konvekcije ili koeficijent prelaza toplote.

    Slinim pristupom, za fluks koli ine kretanja sa zida na fluid dobijamo :

    (3.22)

    fC - bezdimenzioni parametar koji se naziva koeficijent trenja (friction

    coefficient).

    Primena teorije sli nosti

    Umesto simultanog reavanja diferencijalnih jednaina prenosa koliine kretanja i toplote,

    definie se skup bezdimenzionih grupa ili kriterijuma, (prevoenjem dif. jednaina u bezdimenzioni oblik), koje karakteriu posmatranu pojavu.

    na bazi eksperimenata, definiu se kriterijalne jedna ine, koje povezuju bezdimenzione kriterijume, za

    o pojedine klase sistema, koje se karakteriu istom geometrijom (da bi mogao da se ostvari uslov geometrijske slinosti) i

    o isti reim strujanja fluida (zbog hidrodinamike slinosti). Tako za prinudnu konvekciju , kriterijalna jednaina glasi:

    Pr)(Re,Nu fL ==

    i uobiajeni oblik je: nmc PrReNu = , 0.5 m 0.8, 0.3 n 0.5 (3.23)

    Za koeficijent trenja, pri laminarnom strujanju kroz glatku cev vai:

    Re

    644 == fCf (3.24)

    f frikcioni faktor

    Znaenja bezdimenzionih kriterijuma

    2

    00 2 f

    f

    zz w

    C

    dz

    dw ===

    =

    )(0 zfz TTq ==

  • 11

    Re - mera relativnog uticaja inercijalnih sila (brojioc) i sila trenja (imenioc), Pr - odnos intenziteta prenosa koliine kretanja i prenosa toplote, odnosno i

    odnos otpora prenosu toplote (1/a) i otpora prenosu koliine kretanja (1/) Nu - odnos uticaja turbulentnog (brojioc) i molekulskog (imenioc) mehanizma prenosa

    toplote, ili odnos otpora provoenju toplote L/ i otpora konvenktivnom prenosu toplote 1/

    PRIMER 3.2 Pokazati da je termiki otpor prelaza toplote sa fluida na zid (ili obrnuto) cilindrine cevi, raunat po jedinici duine cevi, jednak:

    Rrt

    =1

    2

    Protok toplote

    qrLAqdt

    dQ== 2 (q dato jednainom 3.21)

    po jedinici duine cevi,

    t

    L R

    T

    r

    TTrqrq

    =

    ===

    2

    122 (W/m)

    PRIMER 3.3 Parovod spoljnjeg prenika 10 cm sa temperaturom spoljne povrine od 110 0C je izloen vetru brzine 8 m/s sa pravcem normalnim na osu parovoda. Temperatura vazduha je 4 0C. Odrediti gubitke toplote u atmosferu po 1 m parovoda. Podaci: toplotna provodljivost i

    kinematski viskozitet vazduha na srednjoj temepraturi (57 oC) su

    =oRhft

    BTU.01640 i

    h

    cm2670= . Proraun izvesti paralelno sa dve kriterijalne jednaine:

    5485

    4132

    3121

    31 0.805

    282000

    Re1

    Pr

    401

    Pr0.62Re0.3Nu

    PrRe0270Nu

    +

    ++=

    =

    .

    .

    Iz tablica za srednju temperaturu vazduha: Pr = 0.708. (Reenje u Mathcad -u)

    PRIMER 3.4 Idealno izolovan protoni greja vode u obliku cevi sa elektrinim grejaem, dug je 5 m i ima unutranji prenik 3 cm. a) Izraunati snagu grejaa koja obezbeuje zagrevanje 10 l/min vode od 150C do 650C b) Proceniti temperaturu unutranje povrine grejaa na izlazu, imajui u vidu da je gustina fluksa konstantna du elektrinog grejaa.

  • 12

    Potrebni podaci: termofizike osobine vode na srednjoj temepraturi (40oC) su

    =

    oRhft

    BTU.3650 ,

    h

    ft.

    202550= ,

    kgK

    cal.Cp 1998= i

    39920

    cm

    g.= .

    Kriterijalna jednaina: 40 0.8 PrRe0230Nu ..= Iz tablica za srednju temperaturu vode: Pr = 4.32. (Reenje u Mathcad -u)

    Prelaz mase (komponente)

    Analogno prenosu toplote, definie se fluks prelaza komponente sa meufazne povrine na fluid koji struji, ili obrnuto:

    (3.25)

    CA,f

    - koncentracija u turbulentnoj masi fluida

    CA,s - koncentracija na meufaznoj povrini pri emu je z - osa postavljena normalno na posmatranu povrinu i usmerena od povrine ka fluidu (vidi Sliku.3.5)

    Koeficijent prelaza komponente A, A je u skladu sa teorijom filma :

    'D

    AA

    D

    = (m/s) (3.26)

    D - debljina fiktivnog difuzionog graninog sloja (filma)

    Kiterijalnajedna ine za prinudnu konvekciju: )Sc(Re,Sh f= (3.27)

    uobiajeni oblik: nmc ScReSh= , .5 m 0.8, 0.3 n 0.5

    ervudov (Sherwood) kriterijum koji je analogan Nuseltovom:

    A

    A

    D

    L=Sh

    mitov (Schmidt) kriterijum , analogan Prandtlovom:

    AD

    =Sc

    U tabeli 3.2 dati su izrazi za fluks prelaza komponente, koji se koriste u praksi

    Tabela 3.2 - Konzistentni parovi pogonska sila - koeficijent prelaza komponente

    ( )s,Af,AAA CCN = (mol/m2 s)

  • 13

    gde su,

    AC - molska koncentracija komponente, 3mmol

    Ac - masena koncentracija komponente, 3mkg

    Ap parcijalni pritisak komponente u gasnoj smei, Pa

    Ax molski udeo komponente u smei

    PRIMER 3.5 Nai formule za preraunavanje koeficijenata prelaza pri promeni naina izraavanja pogonske sile.

    s

    AA

    AAA M

    xx

    V

    n

    n

    n

    V

    nC

    ==== *

    n - ukupan broj molova u smei,

    * - molska gustina, mol/m3 MS - mol. masa smee,

    - gustina smee (kg/m3)

    = const s

    AA M

    xC

    = to nakon smene u prvi od flukseva u Tabeli daje:

    AxAs

    AAA xM

    xN == ,

    odnosno,

    s

    AxA M

    = , (*)

    Veza:

    pA = xA p .constp=

    pA = xA p to nakon smene u drugi od flukseva u Tabeli daje: ppAxA ., = (**)

    fluks pogonska sila koef. prelaza NA = - A CA ( smmol 2 ) CA (mol/m3) A (m/s)

    AAA cm = ( smkg 2 ) Ac ( 3mkg ) A (m/s) NA = - A,,p pA ( smmol 2 ) pA (Pa) A,,p (mol/m2 Pa s) NA = - A,x xA ( smmol 2 ) xA ( - ) A,x (mol/m2s)

  • 14

    Iz (*) i (**) :

    As

    ApA Mpp==

    *

    ,

    Ako je smea idealan gas vai: RTp *= i :

    RTA

    pA

    = ,

    Analogija trenja pri proticanju fluida, prelaza top lote i prelaza mase

    I u sluaju konvektivnog prenosa toplote i mase, pored oigledne kvalitativne, postoji i kvantitativna veza, to se moe naslutiti iz optih formi kriterijalnih jednaina za prenos toplote i mase u sluaju prinudne konvekcije (3.24, 3.27). Eksperimenti su pokazali da bezdimenzione grupe ( tzv. j- faktor za toplotu i j faktor za masu)

    1/3PrRe

    Nu=Hj (3.29a)

    1/3ScRe

    Sh=Dj (3.29b)

    imaju u oblasti turbulentnog reima strujanja, pribline iste brojne vrednosti:

    jH - faktor za prenos toplote i jD - faktor za prenos mase.

    to se prema autotima naziva analogija ilton-Kolborn -a (Chilton-Colburn) . Iz te analogije sledi veza izmeu koeficijenata prelaza komponente i toplote:

    32 /

    A

    pA

    a

    D

    C

    = (3.31)

    PRIMER 3.6 Pri strujanju suvog vazduha temperature 25 0C i pritiska 1 atm brzinom 2 m/s

    preko povrine od 0.3 m2 pokrivene slojem naftalina, izmerena koliina isparenog naftalina u toku od 15 min je 12 g. Napon pare naftalina na 25 0C je 11 Pa a njegova difuzivnost u

    vazduhu je DA,B = 0.6110-5 m2/s. Proceniti koeficijent prelaza toplote za vazduh, pri istim

    uslovima proticanja i istoj geometriji sistema. Specifina toplota i toplotna difuzivnost vazduha

    na 25 0C su: smakgK

    kJcp

    251018.2,01.1 == . Iz izraunate vrednosti koeficijenta

    prelaza mase A , izraunati ApAx ,, i

    2

    fjj DH ==

    (3.30)

  • 15

    (Reenje u Mathcad-u) Prenos toplote i mase kroz vieslojni medijum. Prolaz toplote i mase Prolaz toplote Prolaenje ili prolaz toplote toplote predstavlja prenos toplote kroz tri sloja: fiktivni toplotni granini sloj prvog fluida, zid i fiktivni toplotni granini sloj drugog fluida. Na Slici 3.3 dat je uproen temperaturni profil (u skladu sa teorijom filma), pri stacionarnom prolaenju toplote izmeu dva fluida sa temperaturama T1 i T2, kao i ema termikih otpora.

    Slika 3.3. Temperaturni profil pri stacionarnom prolaenju toplote

    Analogija sa Omovim zakonom:

    2

    22,3

    2,1,2

    1,11 /1

    ,/

    ,/1

    =

    =

    =

    TTq

    d

    TTq

    TTq iiii (3.32)

    Iz uslova stacionarnosti temperature zida sledi meusobna jednakost flukseva: q1 = q2 = q3 (= q) (3.33)

    Nijedna od jedn. (3.32) ne omoguuje izraunavanje q jer sadre nepoznate potencijale - intermedijalne temperature Ti,1 Ti ,2. Produena jednakost (3.33) sadri dve nezavisne jednaine, recimo q1 = q2; q2 = q3, koje omoguuju da se nepoznate temperature odrede, tj. izraze u funkciji od krajnjih - merljivih potencijala , T1 i T2. Kada se dobijeni izrazi zamene u jednu od tri jednaine (3.33):

    )(11 21

    21

    21 TTKd

    TTq T =

    +

    +

    =

    sm

    J2

    (3.34)

  • 16

    q - fluks prolaza toplote

    KT - koeficijent prolaza toplote.

    U brojiocu je ukupna pogonska sila, a u imeniocu ekvivalentan ili ukupan otpor za tri termika otpora vezana na red (Slika). Tako smo izraz (3.34) mogli da dobijemo neposrednom primenom elektrine analogije. PRIMER 3.7 Gubici toplote iz izolovanog parovoda u atmosferu po jedinici duine parovoda, se raunaju kao:

    2211

    11

    d)(ddd

    TTq

    rii

    i

    zz

    z

    aL

    ++

    +

    +

    = (W/m)

    gde su:

    T, Ta - temperatura pare i temperatura atmosfere d1, d2 - unutranji i spoljanji prenik izolovanog parovoda z, i - debljina zida cevi i debljina sloja izolacije dz - srednji logaritamski prenik zida cevi di - srednji logaritamski prenik sloja izolacije z, i - toplotne provodljivosti zida i izolacije 1 - koeficijent prelaza sa pare na unutranji zid paravoda 2 - koeficijent prelaza toplote sa spoljne povrine paravoda u atmosferu r - efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom Efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom je onaj parametar, koji kad se pomnoi pogonskom silom (T2 - Ta) daje pravu vrednost toplotnog fluksa zraenja. Tako je prema definiciji:

    )()( 244

    2 ara TTTT =

    - konstanta zraenja odnosno r je parametar koji oigledno zavisi od temperatura,

    ( )( )aaa

    ar TTTTTT

    TT++=

    = 2

    222

    2

    442

    ali se moe proceniti na bazi procene nepoznate temperature T2. Izvesti datu formulu.

    ema termikih otpora :

    R1 - otpor prelazu toplote sa pare na unutranji zid parovoda Rz, Ri - otpori provoenju zida i izolacije R2 - otpor prelazu toplote sa spoljanjeg zida parovoda na atmosferu Rr - efektivni otpor radijacije

  • 17

    222

    211

    1111

    dR,

    dR,

    dR,

    dR,

    dR

    rr

    ii

    ii

    zz

    zz

    =

    ==

    =

    =

    Ekvivalentan otpor :

    r

    iz

    RR

    RRRR11

    1

    2

    1+

    +++=

    i formula se dobija nakon smene ekvivalentnog otpora u jedn. qT

    R

    T T

    RLa= =

    PRINCIPI OPISIVANJA BRZINE SLOENOG PROCESA Sloeni fenomeni se dekomponuju (ralanjuju) na vie jednostavnijih fenomena koji predstavljaju stupnjeve ili stadijume sloenog procesa. Oni mogu meusobno biti povezani:

    serijski - uzastopni ili konsekutivni stupnjevi paralelno - paralelni ili uporedni stupnjevi na sloen nain koji predstavlja kombinaciju serijskih i paralelnih veza

    U Primeru 3.7, gubljenje toplote pare pri transportu kroz parovod smo ralanili na 5 elementarnih stupnjeva, kao:

    Brzine elementarnih fizikih stadijuma (prenos toplote ili mase) se mogu prikazati u vidu kolinika pogonske sile i otpora (vidi, napr., jedn. 3.74.). Ako pogonska sila linearno zavisi od potencijala (temperature ili koncentracije), a otpor nije funkcija potencijala , kaemo da je posmatrani stadijum linearan i njegova brzina je opisana izrazom analognom Omovom zakonu (elektrina analogija):

    rV

    R=

    (3.41)

    V - potencijal (temperatura ili koncentracija) R - otpor (toplotni ili difuzioni)

    4. prelaz toplote 1. 2. 3. sa spoljanjeg prelaz toplote provoenje provoenje zida u atmosferu sa pare na toplote toplote unutranji kroz zid kroz izolaciju 5. zid cevi prenoenje toplote sa spolanjeg zida u atmosferu zraenjem

  • 18

    Negativni predznak u izrazu (3.41) nosi informaciju o smeru fluksa (da li je isti kao i smer prostorne ose ili suprotan od njega) pri emu je prostorna osa usmerena od prvog ka poslednjem stadijumu u nizu Brzina sloenog procesa, dekomponovanog na linearne stadijume dobija se pomou elektrine analogije (3.41) u koju se kao V zamenjuje ukupna potencijalna razlika a umesto R ukupan ili ekvivalentan otpor. Ako je sloeni proces niz od n linearnih uzastopnih stadijuma ije su brzine:

    niR

    VV

    R

    Vr

    i

    ii

    i

    ii ,...,1,

    1 === (3.42)

    Ukupna pogonska sila je:

    V V V Vii

    n

    n= = =

    1

    0 (3.43a)

    a ekvivalentan otpor:

    R Rii

    n

    ==

    1

    (3.43b)

    pa je brzina procesa:

    rV V

    RP

    n

    ii

    n=

    =

    0

    1

    (3.44)

    Metod limitiraju eg stupnja Posmatrajmo prolaz toplote kroz homogeni zid. Brzine tri stadijuma su date jednainama (3.74):

    qT T

    Rq

    T T

    Rq

    T T

    Ri i i i

    11 1

    12

    1 2

    23

    2 2

    3

    =

    =

    =, , , ,, , (3.46)

    Neka je 3. stupanj znatno sporiji od ostalih, odnosno njegov otpor znatno vei od druga dva otpora, to znai:

    R

    R

    R

    R1

    3

    2

    3

    0 (3.47)

    Iz uslova jednakosti brzina prvog i treeg stupnja:

    11,)47.3(

    3

    1

    22,

    1,1)46.3(

    31 0 TTR

    R

    TT

    TTqq i

    i

    i =

    =

    Iz drugog uslova, q2 = q3 imamo:

  • 19

    1,2,)7.5(

    3

    2

    22,

    2,1,)6.5(

    32 0 iii

    ii TTR

    R

    TT

    TTqq =

    =

    Dakle, aproksimativni temperaturni profil e izgledati kao na Slici

    Poto smo definisali intermedijalne potencijale:

    T T Ti i, ,1 2 1= =

    sledi izraunavanje brzine prenosa toplote smenom naenih vrednosti u izraz za brzinu nekog od stupnjeva. Meutim, poto su, izrazi za brzine brzih stupnjeva q1 i q2 nedefinisani

    0

    0 preostaje izraz za spori stupanj:

    r rT T

    RP= =

    3

    1 2

    3

    Zakljuujemo da

    Izrazito najsporiji stupanj definie tj. limitira ( jer je najsporiji) brzinu sloenog procesa, pa se zato zove limitiraju i stupanj. U ostalim (relativno brzim) stadijumima priblino se uspostavlja termodinamika

    ravnotea, tj. pogonske sile tih su bliske nuli

    Poslednji izraz za brzinu procesa smo mogli dobiti i jednostavno, zanemarujui otpore R1 i R2 u odnosu na otpor R3 u izrazu za brzinu dobijenu iz (3.44)

    rT T

    R R R

    T T

    RP=

    + +

    1 2

    1 2 3

    1 2

    3

    Brzinu sloenog procesa limitira najsporiji od konsekutivnih stadijuma. Pri tom, ako je on izrazito spor, tj. njegov otpor izrazito vei od otpora ostalih stadijuma, brzina procesa je priblino jednaka brzini kojom bi se odvijao limitiraju i stupanj, kad bi u svim ostalim stupnjevima bila uspostavljena termodinamika ravnotea. Metod limitirajueg stupnja znatno pojednostavljuje problem odreivanja brzine sloenog procesa, naroito u sluaju kad su neki od stupnjeva nelinearni.

  • 20

    ZADACI 1. (Cengel, E3-3) Prozor sa duplim staklima razdvojenih slojem nepokretnog vazduha ima dimenzije m.. 5180 . Stakla ( Rhft/BTU. = 4510 ) su debela 4mm, a sloj vazduha ( Rhft/BTU. = 0150 ) 10 mm. Ako je temperatura u sobi 200C, a spoljnja temperatura -100C, izraunati toplotne gubitke i temperaturu unutranje povrine prozora. Koeficijent prelaza toplote za unutranju povrinu prozora je Rhft/BTU. = 21 7611 , a za spoljanju

    Rhft/BTU. = 212 0447 . 2. Kroz zid sastavljen od 4 sloja iste debljine, toplotnih provodljivosti, prenosi se toplota izmeu leve povrine, temperature T1 i desne, temperature T2.

    a) Skicirati temperaturni profile kroz posmatrani zid ako je trei od 4 konsekutivna stupnja limitirajui i napisati odgovarajuu formulu za fluks toplote, q b) Skicirati temp. profil i napisati izraz za q ako je : 3241 >> 3. Kroz prikazani sloeni blok ogranien sa gornje i donje strane slojem idealne izolacije, prenosi se toplota u smeru z -ose sa njegove leve povrine, temperature T1 u okolinu, temperature To.

    Ti

    Izolacija

    z

    T1 1

    2

    3

    To

    D

    d

    T2

    T1

    1 2

    3 4

  • 21

    a) Nacrtati emu termikih otpora i izvesti izraz za izraunanje specifinog toplotnog fluksa, q iz zadatih temperatura T1 i To i navedenih dimenzija.

    b) Na ta se svodi izraz za toplotni fluks pri uslovima: =>>

    vaz

    Ti

    DB,, 312

    4. (R.Toledo, E7.5) elina cev ( = 45 W/mK) unutranjeg prenika 0.824in i spoljanjeg prenika 1.05in je izolovana slojem fiberglasa ( = 0.035 W/mK), debljine 2cm .Ako je temperatura unutranjeg povrine cevi C0150 , a spoljanje povrine izolacije C030 , izraunati a) toplotni fluks izmeu te dve povrine za 1 metar cevi, )( mWqL b) temperaturu spoljanje povrine cevi.

    5. (R.Toledo, E7.4) Radi odreivanja toplotne provodljivosti, uzorak govedine oblika cilindra duine cm5 i prenika cm75.3 , smeten je izmeu dva cilindra od akrila ( mKW5.1= ), istog prenika i sve je to stavljeno u izolovani kontejner (skica). Slobodne povrine akrilnih cilindara (na dnu donjeg i na vrhu gornjeg cilindra) se odravaju na konstantnim temperaturama, pri emu je donja povrina na vioj temperaturi. U oba akrilna cilindra su stavljena po dva termopara i to na rastojanju 0.5 i cm1 od dodirne povrine sa uzorkom. Termoparovi (poev od najnieg) su registrovali sledee temperature: C013 i 15,43,45 . Izraunati, a) Specifini toplotni fluks, qkroz uzorak i akrilne cilindre. b) Temperature donje i gornje povrine uzorka

    c) Toplotnu provodljivost goveeg mesa.

    3.75 cm

    5 cm

    6. (R.Toledo, E7.12) Unutranja cev izmenjivaa toplote ima unutranji prenik cm21.2 i zid debeo mm65.1 . Koeficijent prelaza toplote sa unutranje strane cevi KmW 21 568= , a sa

    spoljanje, KmW 22 5678= .Toplotna provodljivost cevi je mKW6.55= . Izraunati,

  • 22

    a) koeficijent prolaza toplote kroz cev,

    b) temperaturu unutranje povrine cevi, ako je temperatura fluida u cevi C080 , a temperatura fluida oko cevi C0120 7. (R.Toledo, E7.13) 50 hkg koncentrata jabukovog soka ( kgKkJCp 187.3= ) se hladi od

    80 do C020 u suprotno-strujnom izmenjivau toplote, cev u cevi.. Rashladna voda ulazi u izmenjiva na temperaturi C010 , a izlazi na C017 . Koeficijent prolaza toplote u izmenjivau je

    KmWKT2568= . Izraunati,

    a) protok rashladne vode

    b) potrebnu povrinu A toplotne razmene (Razmenjena toplota (W) u izmenjivau: Q = KT Tsr A gde je Tsr srednja logaritamska razlika temperatura dva fluida)

    8. Izvesti sledei izraz za termiki otpor (otpor provoenju toplote) sferne ljuske sa unutranjim i spoljanjim poluprenicima r1 i r2

    =21

    12

    4 rr

    rrRt

    9. a) Izvesti izraz za brzinu difuzije FA komponente A kroz porozni zid u obliku sferne ljuske sa unutranjim i spoljanjim poluprenikom r1 i r2.

    12

    21,21

    )()(4

    rr

    rCrCDrrF AABAA

    = (mol/s)

    b) (Cengel, P11-44) Helijum je skladiten u sferni rezervoar spoljnjeg prenika 3 m i debljine zida 5 cm od pireksa na 200C. Molska koncentracija helijuma u pireksu je 0.73 mol/m3 na unutranjoj povrini zida a zanemarljiva na spoljnjoj povrini. Difuzivnost helijuma kroz pireks na 200C DA,B = 4.510-15 m2/s. Odrediti dnevne gubitke helijuma difuzijom kroz zid rezervoara. Reenje: 6.2110-7 g/dan 10. Za laminarno strujanje kroz cevovod, izvodi se sledei brzinski profil:

    =

    2

    12)(R

    rwrw sr

    gde je srw srednja brzina proticanja,a R unutranji poluprenik cevovoda. Za tangencijalni napon na povrini cevi vai jedn. (3.22), s tim to umesto fw treba staviti srw . Koristei jedn (3.22) i Njutnov zakon (3.9c), izvesti izraz (3.24) za koeficijent trenja.