Modeliranje i numericki proracun prenosa toplote - dr Vera Nikolic

8/12/2019 Modeliranje i numericki proracun prenosa toplote - dr Vera Nikolic

http://slidepdf.com/reader/full/modeliranje-i-numericki-proracun-prenosa-toplote-dr-vera-nikolic 1/77

Departman za tehničke nauke

“ ”

1



MODELIRANJE I NUMERIČKI

PRORAČUN PRENOSA TOPLOTE

MODELIRANJE I NUMERIČKI

PRORAČUN PRENOSA TOPLOTEIV godina

2

Predmetni nastavnici

Dr Vera Nikolić, redovni profesor

Dr Slobodan Savić, vanredni profesor



MetodaMetoda konakonaččnihnih razlikarazlika

--diferencnadiferencna metodametoda--

3



MetodaMetoda konakonaććnihnih razlikarazlika-- diferencnadiferencna metodametoda

Problemi u tehničkoj praksi, kao što je već napomenuto, se svode narešavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina sa datim konturnim uslovima.Ove jednačine mogu da se reše anlitički samo u slučaju jednostavnijihkontura. U slučaju složenih i velikih sistema konstrukcija izloženih dejstvu

proizvoljnih sila, rešavanje diferencijalnih jednačina je veoma teško ili. .Jedna od osnovnih numeričkih metoda je metoda konačnih razlikazasnovana na zameni diferencijalnih jednačina odgovarajućim diferencnim jednačinama.Primenom ove metode problem se, naime, svodi na rešavanje sistemaspregnitih algebarskih jednačina, što mnogo uprošćava postupak rešavanja.

4



Prva primena diferencnih jednačina , na primer, u Teoriji elastičnostipripada Runge Couth-u koji je ovu metodu primenio 1908. godine narešavanje problema torzije štapova. Pri tome je korišćen sistem od 42

jednačine, no s obzirom na jednostavnost jednačina konačnih razlikarešenje je dobiveno bez mnogo teškoća.Dalji napredak u ovoj oblasti učinio je L. E. Richardson koji je zarešavanje ovakvih algebarskih jednačina primenio iterativni postupak i tako

dobio približne vrednosti za napone koji nastaju u branama usled.H. Liebmann dao je drugi iterativni postupak i dokaz njegovekonvergencije.Kasnije, F. Wolf razmatrao je konvergenciju ovog iterativnog postupka za

slučaj harmonijskih i biharmonijskih jednačina.U teoriji ploča, metodu konačnih razlika sa uspehom primenio je H.

Marcus (1919. god .).

U novije vreme, metoda konačnih razlika našla je veoma široku primenu u

radovima R. V. Southwell -a i njegovih učenika. 5



Postupak:Primenom metode konačnih razlika, kontinualni proces izučava se ukonačnom broju dovoljno malih vremenskih intervala. Tako je moguće, utim malim intervalima, funkcije vremena(koordinate, sile, brzine, temperatute,

toplotu, strujanje fluida) aproksimirati približnim izrazima. U svakomelementarnom intervalu vrši se integracija, pri čemu se rezultatiintegracije u prethodnom intervalu uzimaju kao početni za narednivremenski interval.

Na ovaj se način problem numeričkog rešavanja diferencijalnee na ne svo na re avan e s s ema a ge ars e na na o epribližno opisuju razmatrani fizički problem. Metoda konačnih razlikapredstavlja metodu približne integracije diferencijalnih jednačina,Naravno, ova metoda može uspešno da se primeni kako pri analizinaponsko deormacionog stanja, tako i na probleme raspodeletemperature, provođenja i prenošenja toplote, strujanje fluida i dr .

6

U Mehanici fluida se za rešavanje jednačina koje opisuju pojedinastrujanja u graničnom sloju, čak, najčešće se koristi METODA

KONAČNIH RAZLIKA.



Kada se govori o rešavanje jednačina dinamičkog, termodinamičkog ilidifuzionog ravanskog i trodimenzijskog graničnog sloja, na neporoznim iliporoznim konturama opstrujavanog tela, u dostupnoj literaturi na srpskom

jeziku, relativno malo je rečeno.•Numeričkom integracijom diferencijalnih jednačina ne mogu, dakle,da se odrede rešenja za sve vrednosti nezavisno promenljivih iz oblastinjihove promene. Zato se u toj oblasti usvaja konačan skup tačaka i

rešenja određuju samo u njima. Pri tome izabrane tačke predstavljaju tzv.

7

.čvora naziva se KORAKOM. Kod tzv. ravnomerne mreže korak jenumeričkog programa, sastavljenog u nekom programskom jeziku.Odgovarajućom naredbom moguće je u nekoj fazi rešavanja promeniti

(smanjiti) vrednost koraka u odnosu na početnu. U zavisnosti od togada li se posmatrani problem opisuje posredstvom dve ili više nezavisnopromenljivih, integraciona mreža postaje ravanska, prostorna ili uopšten - dimenzijska mreža Euklidovog prostora.



Pokažimo na nekim primerima kako se diferencijalne jednačine zamenjujudiferencnim:

A) Monotona funkcija f ( x)

Neka je ova funkcija neprekidna u intervalu AB i neka su , takođe, neprekidni njeniizvodi f (i)( x) do onog reda, i =1, 2,

3, .. koji nam je potreban. Interval AB,

gde su A (a, 0) i B (b, 0), podelimo

y P

T

s

na jednake podeoke x = h . Funkcija f ( x) je, prema tome, data nizomvrednosti ... f ( x- h), f ( x-2h), f ( x-

h), f ( x), f ( x+h), f ( x+2h), f ( x+3h), ... , za vrednosti nezavisnopromenljive :

x

f (x - h)

A Bh

f (x) f (x + h)

h x - h x + hO

x - 3h, x - 2h, x - h, x, x + h, x + 2h, x + 3h, .

. .

8



x

f

x

f

h xh x

h x f h x f

dx

df

x x =

=

----=

22lim

)()(

)()((lim

00

odnosno, f = f x / 2h ; f x = (f (x + h) - f (x - h)) / 2 ;

Aproksimirajmo krivu f ( x) interpolacionom parabolom drugog reda. Kako jekod kvadratne parabole tanges pravca sečice jednak tangesu krive u nekojtački P ( x), to je prvi izvod f ‘ u toj tački

.

Oduzimanjem vrednosti funkcija u dve susedne tačke, primenom tzv. šablonaunazad, dobijaju se prve leve razlike f ) u tačkama x, x - h i x -2h

f x = f ( x) - f ( x - h) , f x - h = f x - h) - f ( x - 2h) ,

f x - 2h = f ( x - 2h) - f ( x - 3h ) , . . . . .

9



ili primenom tzv, šablona unapred, prve desne razlike ( f ), u tačkama x, x+ h i x+2h

f x = f ( x + h) - f ( x) , f x + h = f x + 2h) - f ( x + h) ,

f x + 2 h= f ( x + 3h) - f ( x + 2h ) , . . . . .

Približne vrednosti prvih izvoda funkcije f ( x) u intervalima od x do x+h ,

odnosno na delu od x - h do x dobijaju se deljenjem odgovarajućih prvih

razlika sa korakom interpolacije h :

df

dx

f

h

f x h f x

h =

- ( ) ( ) df

dx

f

h

f x f x h

h =

- -( ) ( ) ( )

ili uopšteno za neku tačku i (za h = x ) je

df

dx

f f

x

df

dx

f f

xi

i i

i

i i= -

= - -1 1

;

Grafički prvi izvod se može tumačiti kao nagib funkcije f u tački P ( x) koristeći

se vrednostima funkcije u toj tački i u prvoj susednoj tački. 10



Drugi izvod je je promenapromena prvogprvog izvodaizvoda popo jedinici jedinici dužinedužine,, štošto prekopreko centalnecentalnedrugedruge razlikerazlike iznosiiznosi::

f d f

d x

f

h

f x h f x f x h

h

/ / ( ) ( ) ( )

= = = - -2

2

2

2 2

2

U bilo kojoj tački i drugi izvod je:

d f

dx

f f f

x

i i i2

2

1 1

2

2=

- -

Druga razlika 2 f (razlika prvih razlika u dve susedne tačke) u bilo kojojtački i posmatrane krive je:

2

f = ( f ) = f x - f x = f ( x + h) - 2 f ( x) + f ( x - h) . . .

11



AnalognoAnalogno,, mogumogu sese odreditiodrediti trećetreće,, četvrtečetvrte ii razlikerazlike višegvišeg redareda::

3 f = (2 f ) = (1 / 2) ( f ( x + 2h) - 2 f ( x + h) + 2 f ( x - h) - f ( x - 2h))

4 f = (3 f ) = 2(2 f ) = f ( x + 2h) - 4 f ( x + h) + 6 f ( x) - 4 f ( x - h)+ f ( x - 2h) . . .

n f = (n - 1 f ) = f ( x + h) - n f ( x + h - h) +

n n f x

nh h

n

r n r f x

nh rh f x

nhr ( )

( ) . . . . . ( )!

! ( )!( ) . . . ( )

- - - -

- - -

1

2 22 1

2 2

gde je r neki broj jednak ili manji od parnog broja n.

+

Na primer, razlika n+1 - og reda je:

n n

n n

f f f x h f x h = = - -1

2

( )( ) ( )

12



Treći, četvrti, . . . , n - ti i n+1 - i izvodi su:

= = = - - - -

f d f

d x

f

h

f x h f x h f x h f x h

h

3

3

3

3 3

2 2 2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

f d f

d x

f

h

f x h f x h f x x h f x h

h

IV = = = - - - -4

4

4

4 4

2 4 6 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f

d f f x h f x hnn

n

n n

= =

-

-

1

1

1

1 ( ) ( )

Ako zamenimo odgovarajuće izvode u diferencijalnoj jednačini problema kojiizučavamo, dobiće se u određenoj tački ( x) razmaka (a ,b) jedna linearna jednačina.Ukupan broj ovih jednačina jednak je broju unapred izabranih tačaka ''čvorova'' datog

razmaka. Da bi se došlo do rešenja, ovim jednačinama treba dodati početne ikonturne uslove.

Svaka od prethodnih aproksimacija tim bolje aproksimira prvi izvod, što je rastojanje izmeđutačaka manje. Granični postupak, kada rastojanje padne na nulu, daje graničnu vrednost

jednaku parcijalnom izvodu u posmatranoj tački date funkcije.

13



B). Monotona funkcija f(x, y) dveju promenljiih

U slučaju dvodimenzionalnih problema koji se opisuju parcijalnimdiferencijalnim jednačinama u oblasti ( x ,y), tj. u slučaju funkcije f(x, y)

koja zavisi od dve promenljive neophodno je iste u većini slučajeva,primenom metode konačnih razlika, aproksimirati, da bi se problem rešiopomoću računara. Za izračunavanje parcijalnih izvoda, pretpostavimo da supoznate vrednosti funkcije f u čvornim tačkama proračunske mreže.

,

pravougaone mreže sa mrežnimrasponima x = h (na x osi) i y =

l (na y osi), prvi parcijalni izvodi,

analogno prethodnom postupku, su

f

x

f

h

f f

h h f x h y f x h y

f

y

f

l

f f

l l f x y l f x y l

x

y

= = -

= - -

= = -

= - -

2 2

1

2

2 2

1

2

1 3

2 4

( , ) ( , ) ;

( ( , ) ( , ))

14

a o e po ana og parc a n zvo rugog re eg e vr og



a o e, po ana og , parc a n zvo rugog, re eg e vr ogreda su

2

2

2

2

1 0 3

2 2

2

2

2

2

2 0 4

2 2

3

3

2

2 12

2 12

f

x x

f

x

f

h

f f f

h h f x h y f x y f x h y

f

y y

f

y

f

l

f f f

l l f x y l f x y f x y l

f

x x

f

x

x

y

=

= =

- = - -

=

= = - = - -

=

( , ) ( , ) ( , ) ;

( , ) ( , ) ( , ) ;

2

3

3 3

3 2 3

2

1

22 2 2 2

= = - - - -

x f

h h f x h y f x h y f x h y f x h y( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ;

3 2 3 32 22 2 2 2=

= = - - - -

y y y l l f x y l f x y l f x y l f x y l ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ;

4

4

3

3

4

4

9 1 0 3 11

4

4

4 6 4

1 2 4 6 4 2

f

x x

f

x

f

h

f f f f f

h

h f x h y f x h y f x y f x h y f x h y

x=

= =

- - =

= - - - -

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4

4

3

4

4

4

10 2 0 4 12

4

4

4 6 4

1 2 4 6 4 2

f

y y

f

y

f

l

f f f f f

l

l f x y l f x y l f x y f x y l f x y l

y=

= =

- - =

= - - - -

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 15



Na sličan način mogu se izvesti i izrazi:

2

2 4

5 6 7 85 6 7 8

4

2 2

2

2

2

2 2

2

22

2

20

2

24

1

2

1

2 2 2

1

4

12

f

x y y

f

x l

f

x

f

x l

f f

h

f f

h h l f f f f

f

x y y

f

x l

f

x

f

x

f

x

=

= -

=

--

-

= - -

=

= -

) )

) ) )

( ):

=

= -

- -

-

=

1 2 2 2 22

6 2 5

2

1 0 3

2

7 4 8

2l

f f f

h

f f f

h

f f f

h

(

= - 4 22 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8

h l

Zamenom ovih izraza u odgovarajuće parcijalne diferencijalne jednačinerazmatranog problema, iste transformišemo u jednačine konačnih razlika ilidiferencne jednačine. Takođe, ukupan broj ovih jednačina jednak je brojuunapred izabranih tačaka ili čvorova datog razmaka na x i y osama.

Postupak je znatno jednostavniji ako je mrežni raspon na osama isti,naprimer, x = y = h.

16



1, 1

1, 1

31, 1 1,

3

1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1 1, 1, 1

2 2

1, 1 1,3

1 1

21 1

1

2

i j

i j

i j i j

x y x y

i j i j i j i j i j i j i j

i j i j i

f f f f

y y y y y y y

f f f f f f f

y y y y

f f f

- -

- = = =

- - - - = = =

= - - 1, 1, 1 1, 1 1, 2 j i j i j i j f f f - - -- - =

17

1, 1 1, 1, 1 1, 23

13 3

( )i j i j i j i j

f f f f y

- -= - -

PRIMER: Torzija (uvijanje) prizmatičnih štapova (greda) je dobar primer za



PRIMER: Torzija (uvijanje) prizmatičnih štapova (greda) je dobar primer zailustraciju primene diferencne metode kod funkcije sa dve promenljive.Objašnjenje: Kao što je poznato, problem torzije prizmatičnih štapova (greda)može da se svede na integraljenje parcijalne diferencijalne jednačine

z GC y x

y x /';'2),(2

2

2

2

=-==

=

gde je laplasijen za ravan (Oxy), a C proizvoljna konstanta.• Funkcija ( x, y) zove se funkcija torzije, torzijska funkcija ili funkcija

napona pri torziji odnosno Prandtl-ova funkcija.• ‘ je ugao torzije po jedinici dužine štapa, tzv. redukovani ugao

uvijanja (torzije) na jedinicu dužine vratila ili torzijska dilatacija ,

• G je modul klizanja, a z dužina štapa (grede).Ako se primeni napred dat postupak prevođenja diferencijalnih jednačina u diferencne i usvajanjem istog mrežnog raspona u pravcu x i y osa, tj. x = y = h, onda gornja jednačina, postaje:

18



2

2

1 3 0

2

2

2

2 4 0

2

2

2

2

2 2 1 2 3 4 0

2 2

14 2

x h y h

x y hG

= -

= -

= - = -

; ;

'

Konačno, problem torzije štapa (grede) se svodi na iznalaženje skupa

numeričkih vrednosti koje zadovoljavaju jednačinu

1

4 22 1 2 3 4 0

hG - = - '

, . .

u svakoj čvornoj tački usvojene mreže unutarkonture, a na konturi postaju konstante(ovde je h=l).

19

Rešenje:



Rešenje:

Usvojimo kvdratnu mrežu sa rasponom h = a / 4, tj. podelimo poprečni presek(kvadrat) na 16 malih kvadrata stranice h sa oznakama čvornih tačaka kao nadonjoj skici. Usled simetrije, dovoljno je odredti vrednosti funkcije samo u tri

tačke 0, 1, 2 (šrafirani deo). Primenom prethodne jednačine na čvorne tačke0, 1, 2. dobija se

Kako je funkcija napona na konturi jednaka nuli, tj. (K) = 0 , to sledi da je

= = =

5 4 3 4 5 ,

čvor 0: 41 - 40 = C h2 = C a2 / 16

čvor 1: 22

+ 0

- 41

= C h2 =

= C a2 / 16

čvor 2: 21 - 42 = C h2 = C a2 / 16

gde je C = - 2G ' .

3

4

5

0

5

4

42 2 1

1 1

1

4 43

2 2

4

3

a

a / 4

20

Odavde se dobijaju vrednosti za funkcije u čvornim tačkama



Odavde se dobijaju vrednosti za funkcije u čvornim tačkama0, 1, 2, tj. 0, 1 i 2

0 = - 9 C a2 / 1 2 8 = 9 G' a2 / 6 4 ,

1 = - 7 C a2 / 1 2 8 = 7 G' a2 / 642 = - 11 C a2 / 2 5 6 = 1 1 G' a2 / 128

Prema tome, tražena funkcija napona ( x,y) je određena gornjim

numeričkim vrednostima u svim čvornim tačkama usvojeneproračunske mreže unutar konture i nultim vrednostima na konturi.

21



U Teoriji elastičnosti, poznato je da funkcija napona u slučaju štapova sa

višestruko povezanim oblastima, (na primer štap sa jednim ili više otvora)mora da zadovolji granične uslove duž konture svakog otvora K i , poreduslova koji važe za spoljašnju konturu K . Svaka kontura (K i K i ), znači, morabiti neopterećena,tj. na konturi svakog otvora mora biti zadovoljena

jednačina:

. T. Torzijarzija štapovaapova(greda)greda) saa viišestrukostruko povezanimovezanim oblastimablastima

. . .

Znači, treba odrediti konstantne vrednosti funkcije napona duž konturaotvora tako da za svaku konturu bude zadovoljena gornja jednačina.

s =

22

http://-/?-

http://-/?-



Ako se uzme da je tangencijalni napon jednak nagibu membrane ( ), ( ),dobija se i jednačina tj. Bredt -ova formula (izvedena 1896) oblika

-

. . .

gde je A površina otvora. Linije (x,y) = const su naponske linije, a

tangencijalni napon pada u pravac tangente na tu liniju, dok mu je veličina

n

ds G Ai= 2

jednaka negativnom izvodu te funkcije (x,y) po normali n u dotičnojtački.

Ovu metodu primenili su Griffith i Taylor pri određivanju napona u šupljem

kružnom vratilu. Na taj naćin je pokazano da se maksimalni napon možeznatno smanjiti i da otpornost vratila raste ako se otvor pomeri od središtavratila.

23

U ovim slučajevima u teoriji elastičnosti koristi se tzv Membranska analogija



U ovim slučajevima, u teoriji elastičnosti koristi se tzv. Membranska analogija(otvor se zameni membrabom i smatra se da sile zatezanja u membrani držeravnotežu opterećenju koje je ravnomerno raspoređeno po površini otvora).

Znači, pored toga što mora biti zadovoljena jednačina

a)

mora biti zadovoljena jednačina

2

2

2

22

x yG = -

duž svake konture Ki (funkcija je zamenjena ugibom membrane)

Za usvojenu kvadratnu mrežu i uvođenjem oznaka: Sh - sila zatezanja u žicama,

0 - ugub konture otvora i i - ugib čvorne tačke (i) pri otvoru, može sedobiti diferencna jednačina,

b)

gde je n broj žica kojima je površina otvora vezana za preostali deo mreže.

- = =S n

ds q A GS

; 2

001

00 =-=

-

=

qAnS iliqAh

ωωSh

n

i

ii

24



Znači, za svaki čvor na poprečnom preseku može se napisati po jedna jednačina oblika (a), tj.

Ako se ovim jednačinama pridruži i jednačina (b), tj.

1

4 22 1 2 3 4 0

hG - = - '

napisana za čvornu tačke na konturi otvora 5, mogu se odrediti ugibisvih čvornih tačaka mreže i svih kontura otvora.

25

001

00 =-=

- =

qAnS iliqAh

ωωSh

n

i

ii

P iP i

http://-/?-

http://-/?-



Primer Primer::

Naći vrednosti funkcije napona u čvornim tačkama i u tačkama na konturikod kvadratne cevi,.

Usvajanjem grube kvadratne mreže i uzimanjem u obzir simetričnosti,

potrebno je u ovom slučaju izračunati vrednosti funkcije napona samo u pettačaka , tj. u tačkama 1,2 3, 4 i 5, Potreban sistem jednačina dobija sepostavljanjem ravnotežnih jednačina (a) za čvorne tačke 1, 2, 3 i 4 i jednačine (b) za čvornu tačku 5. Pri tome, treba uočiti da je za ovakvu mrežun = 20, površina otvora A = 16 h2 , da je q / S = 2 G i da su vrednosti na

spoljašnjoj konturi jednake nuli. Tako se dobija: 26

http://-/?-

http://-/?-



čvor 1: 0 + 0 + 2

+ 2-4

1= - 2 G h2

čvor 2: 1 + 0 + 3 + 5 -4 2 = - 2 G h2

čvor 3: 2

+ 0 + 4

+ 0 - 4 3

= - 2 G h2

3

3

-4

-

čvor 5: 8 2 + 8 3 + 4 4 - 20 5 = - 2 G ×16 h2

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobija se:

521170

488

2= G h

12

22

32

425401

2684

4052

1342

8833

2684

8976

2684= = = =G h G h G h G h ; ; ;

27



U tehničkoj praksi, kao što je već naglašeno, često su zapreminske sile jednakenuli ili su konstantne dok su sile na konturi poznate. Naponi se tada definišupomoću funkcije napona koja zadovoljava biharmonijsku jednačinu

ili = 0, ;

D.D. ReReššavanjeavanje biharmonijskihbiharmonijskih jedna jednaččnana metodommetodom konakonaččnihnih razlikarazlika

4

4

4

2 2

4

42 0

x x

=

i konturne uslove.

Primenom metode konačnih razlika

i usvajanjem kvadratne mreže,,gornja jednačina može se napisati

u diferencnom obliku čime se

olakšava njeno rešenje. (:28

R ij j k d i k d t ž k l d bij j



Ranije je pokazano da se primenom kvadratne mreže kao na sl. dobijajuparcijalni izvodi četvrtog reda u obliku:

4

121042044

4

1193104

32

2

02

2

12

2

42

2

2

2

04

4

)80.2(4461

4461

2

1

--

--

-

=

h y

h

x x xh x x x

Kada se ove jednačine uvrste u biharmonijsku jednačinu (prethodni slajd)dobija se diferencna jednačina, oblika:

. . .

U svakoj čvornoj tački usvojene mreže unutar konture mora biti zadovoljena jednačina (znači za svaku čvornu tačku treba postaviti po jednu jednačinu).

87654321042224 -

h y x

02820 1211109876543210 =-

29



Pod tankom pločom u Teoriji elastičnosti podrazumeva se elastično telo

cilindričnog ili prizmatičnog oblika male debljine u odnosu na drugedve dimenzije a i b. Debljina ploče treba da je manja od 1/10 drugihdimenzija. Srednja ravan ploče uzima se za 0xy ravan, a osa 0z

usmerava se naniže u smeru opterećenja koje po jedinici površine ploče

iznosi , N /mm2 ,

E.. Savijanje i ispupčenje ploča

30

Zbog male dimenzije ploče može se smatrati da su napadne tačke sila

http://-/?-

http://-/?-



Zbog male dimenzije ploče može se smatrati da su napadne tačke silaopterećenja u samoj srednjoj ravni. Usled opterećenja p nastupićedeformacija ploče. Pri tome se pretpostavlja da su ugibi vrlo mali , tako da

gornja granica veličine ugiba ne treba da pređe veličinu /5. Neka su ugibitačaka srednje ravni označeni sa = 0 = ( x , y ), a funkcije su samokoordinata x i y .

Srednja ravan pri deformaciji prelazi u elastičnu površ.

na srednju ravan ostaje upravna i na elastičnoj površi , što znači dapravolinijski elementi pri deformaciji zadržavaju nepromenjene dužine.

Takođe, u teoriji ploča se pretpostavlja da je normalni napon, kao i kod ravnognaprezanja, jednak nuli, z = 0, pa je srednja ravan neutralna površ (ravan).Dalje se pretpostavlja da ne dejstvuju zapreminske sile.

31

Postavljanjem veza između napona i momenata deformacija i napona dobija



Postavljanjem veza između napona i momenata, deformacija i napona, dobijase jednačina ravnoteže u obliku

(1)

gde je N / mm2

krutost ploče pri savijanju ili cilindrična krutost ploče pri savijanju (flexural

= =4

4

4

2 2

4

42

x x y y

p

D

D E h

=-

3

312 1( )

r g y o e p a e . na e ana ogna savo no ru os gre e.Usvajanjem kvadratne mreže (slajd 10), kao i

primenom metode konačnih razlika dobijaju

se parcijalni izvodi do potrebnog reda u tački i,

i

y h

= -

2 4

1

2

i x h

= - 1 3

1

2

32



i

i x h

= -

2

1 32 2

12

i

i y l

= -

2

2 42 2

12

i

i x h

= - -

4

9 1 3 114 4

14 6 4

i

i y l

= - -

4

10 2 4 124 4

14 6 4

i

= -

4

1 2 3 4 5 6 7 82 2 2 2

14 2

33

i

Zamenom dobijenih izraza u jednačinu (1) (slajd 32) biće: 2

i

i

i

i

x x y y h

l h

p

l D

= - -

-

- - =

4 4 4

9 1 3 114 2 2 4 4

1 2 3 4 5 6 7 82 2

10 2 4 124

12 4 6 4

24 2

14 6 4

(2)



Ako se prethodna jednačina pomnoži sa l 4 a odnos l 2/h 2 zameni

oznakom diferencijalna jednačina ravnoteže se dobija u sledećemobliku (3)

i 42312 1414686 --

34

gde je pi intenzitet kontinualnog opterećenja p(x,y) u čvoru i.

D

pi1210119

287652 =



= - =20 8 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124 p

Dh

U slučaju da je h=l (isti mrežni raspon po x i y) i prema donjoj šemi

i oznakama na njoj, dobija se :

Ovo je jedostavniji slučaj i lakše se rešava. 35

http://-/?-

http://-/?-



Slično, izrazi za momente savijanja su

Q D x x y

Q D y y x

x y= -

= -

3

3

3

2

3

3

3

2;

Veze između transferzalnih sila i ugiba ploče data je izrazima:

a moment uvijanja ima oblik

Ovi izrazi se, takođe, mogu prevesti u diferencni oblik.

M D x y

M D y x

x y= -

= -

2

2

2

2

2

2

2

2;

T D x y

T t xy t yx= - = -12

36

Kada se prethdna jednačina postavi za sve tačke usvojen mreže dobja se



Kada se prethdna jednačina postavi za sve tačke usvojen mreže, dobja sesistem algebarskih jednačia koje treba rešiti (najčešće u MatCad-u).

Da bi se rešio taj sistem jednačina, treba uključiti i graniične (konturne

uslove). Razlikuje se tri vrste oslanjanja bočnih osnova (strana) ploče:ukleštena strana (osnova) (a), slobodno oslonjena (poduprta) strana (b),slobodna strana (c) i elastično oslonjena ili elastično ukleštena strana (d).

uklještenje

slobodna ivica

Granični Granični uslovi uslovi kod kod pravougaone pravougaone ploče ploče

slobodno

oslonjena

ivica

slobodna

ivica

37

a) Ukleštena strana (osnova), (sl.pod a - prthodni slajd)

http://-/?-

http://-/?-



) ( ) ( p p j )

Za ukleštenu stranu je ugib jedanak nuli. Neka je, naprimer, stranapravougaone ploče za koju je x = 0 ukleštena, tada je ugib na toj strani jednak

nuli. Pored toga, tangencijalna ravan elastične površi se poklapa sa 0xy ravni.Znači, ivica koja se poklapa sa y - osom je ukleštena, pa su granični uslovi

za x = 0 = 0 ; /x = 0

b) Slobodno oslonjena (poduprta) strana, (sl. pod b prethodni slajd)Neka je strana ploče x = 0 slobodno oslonjena. Ugibi na toj strani tada su

jednaki nuli. Kako ploča može da se slobodno obrće oko 0y - ose. to moramomemt savijanja duž te ivice biti jednak nuli. Znači, granični uslovi za

slobodno oslonjenu stranu suza x = 0 = 0 ; M y = 0, tj.

jer je = 0, pa je i za proizvoljno y .02

2

=

y

00

2

2

2

2

2

2

=

=

x y x

38

http://-/?-

http://-/?-



c) Slobodna strana (osnova), (sl. c, slajd 33)

Ako je strana x = a slobodna, onda prema Poisson-u slede tri granična

uslova, tj. da oko ivice x = a nema ni savijanja ni uvijanja i da ne dejstvujutransferzalne sile. Granični uslovi, prema tome, su

za x = a M y = 0 ; M xx = 0 ; Qx = Q y = 0

Ova tri granična uslova se mogu svesti na dva (zadnja dva uslova se svodena jedan, određenim postupkom- se poništava dejstvo momenata uvijanja(nemački naučnik Kirhoff). Tako se dobija da su potrebni i dovoljni uslovi zaslobodnu stranu:

za x = a 0202

2

2

2

2

2

2

2

=

-

=

y x x y x

Svi izrazi koji su prikazani kod graničnih uslova se prevode u diferencni oblik.39

Znači za razliku od prethodna dva slučaja ugib čvorova duž slobodne ivice



Znači za razliku od prethodna dva slučaja ugib čvorova duž slobodne ivicenije jednak nuli, pa se za njih pišu jednačine oblika (3). U tom cilju ploči sedodaju još dve kolone čvorova sa spoljašnje strane (3, 6, 7 i 11) i definišu isti

(ovde je slobodna strana , na primer po liniji 10,2,i,4,12). Vrednosti ugiba učvorovima 3 i 11 određuju se iz graničnih uslova za slobodnu stranu

Iz prvog uslova se dobija: (videti slajd 36 ili 39)

= - -

40

i

3 1 2 4

i

- - = - -

- - -- -

2

11 1 92

2 2

2 4 8 5 10 122 2

2 3 2 24 1 4 12

1 2 2 24 2

Iz drugog uslova se dobija (videti slajd 36 ii 39 ):



Itd.

U narednim lekcijama slede primeri primene MKR u jošmnogim oblastima.

41



PRIMERI

42

PRIMER 1: Pravougaona ploča, ukleštena stranama AB i CD,slobodno oslonjena stranom AD i slobodne strane BC opterećena



slobodno oslonjena stranom AD i slobodne strane BC opterećena je kao na slici. Primenom metode konačnih razlika treba određitivrednosti ugiba u čvornim tačkama usvojene mreže.

Poznato je: F = 1k N ; a = 4m; b= 6m; = 0.1m; = 0,3; E = 2.1105 MPa.

43

Rešenje:Prema teoriji, za ukleštenu stranu je ugib jedanak nuli, na slobodno



j , j g j ,oslonjenoj strani su u gibi i momemti savijanja jednaki nuli¸ a na slobodnoj

strani, nema ni savijanja ni uvijanja i ne dejstvuju transferzalne sile.

Postavljanjem veza između napona i momenata, deformacija i napona,dobija se jednačina ravnoteže u obliku

= =

4 4 4

2

p

(1) x x y y

3

312(1 )

E h D

=

-gde je N/mm2 - krutost ploče pri savijanju ili

cilindrična krutost ploče pri savijanju

(flexural rigidity of the plate). Ona jeanalogna savojnoj krutosti grede.

44

ee::

Da bi se primenila metoda konačnih razlika, ploča se zamenjuje mrežom

http://-/?-

http://-/?-



Da bi se primenila metoda konačnih razlika, ploča se zamenjuje mrežomsa mrežnim rasponom h = a /4 i l = b / 4. Takođe, da bi se napisale jednačine (ugib, granični uslovi itd.). dodaju se i ekstrapolisane vrednosti

funkcije u čvorovima izvan spoljašnjih ivica ploče.Na osnovu uslova graničnih uslova ugibi u čvornim tačkama od 13 do 20

jednaki su nuli, tj. 13

= 14

= . . . = 20

= 0. S druge strane, zbogsimetričnosti biće: 6 = 7 i 8 = 9. Takođe, na osnovu graničnih

slajd 36), pa:Primenom metode konačnih razlika, diferencni oblik ravnotežne

jednačine (1), prema proračunskoj mreži, je:

(2)

i

i

i

i

x x y y h

l h

p

l D

= - -

-

- - =

4 4 4

9 1 3 114 2 2 4 4

1 2 3 4 5 6 7 82 2

10 2 4 124

12 4 6 4

24 2

14 6 4

45

Ranije smo pokazali da ako diferencijalna jednačina ravnoteže svodi



na sledećem obliku:

Uzimajući u obzir da je zadatkom zadata mreža i oznake čvorova, što se razlikuje od

D

l pi

i

4

12101192

8765

42312

2

1414686

=

--

46

,teksta) konstatovati odgovarajuće (korespodentne) čvorove :

0;0

;0;

;

;;

;

1012

1187

11998

7644

6533

221

i

Zadatak Teorija

Ako se uvedu oznake l=b/4=6/4=1 5m; h=a/4=5/5=1m;



Ako se uvedu oznake l=b/4=6/4=1.5m; h=a/4=5/5=1m;

2

2 23 11 3

6

2 2

9 1000 20002 25 666 667

4 1 1 5 32 1 10 0 1

19 23077 1012 1 12 1 0 3

i

l F N . ; p . ;

h h l . m E . .

D . Nm.

= = = = = = =

= = = - -

dobijaju se članovi jednačine (1) u obliku

Ako je koncentrisana sila F, onda je pritisak definisan kao p=F/hl, odnosno

sila koja opterećuje čvor je F=phl. 47

0625,5

5.42

1314

25,2914

375,54686

2

2

==

=

=

=

Uzimajući u obzir simetričnost ploče u odnosu na y osu i granične usloveoslanjanja postavlja se sistem algebarskih jednačina (prema šemi na sl



1 3 5 2 4 6 7 8 9

11

54 375 29 25 13 4 55 0625 0 0 0 175 499. . .. .

- - =

54 375 29 25 0 13 4 5 0 0. . .- -

oslanjanja, postavlja se sistem algebarskih jednačina (prema šemi na sl.čvor 1:

čvor 3:

5 35 0625 0 0 0. - =

5 1 11 6 9 4 12 10 2

3 15

54 375 29 25 13 4 5

5 0625 0 0 0

. . .

.

- -

=

čvor 5:

čvor 11:

11 5 15 10 12 9 16 14 6

1 19

54 375 29 25 13 4 5

5 0625 0 0 0

. . .

.

- -

=

48

=54375 2925 0 13 0 45 0 0 0 50625 0

čvor 7:



. . . . - - - =7 2 3 1 6 7 7 854375 2925 0 13 0 45 0 0 0 50625 0

2 7 6 1 3 5

10 4 2

54 375 29 25 13 0 4 5 0 0

5 0625 0 0

. . .

.

- -

=

čvor 2:

čvor 6:

6 2 10 5 1 11

7 14 9 6

54 375 29 25 13 0 4 5 0 0

5 0625 0

. . .

.

- -

=

10 6 14 11 5 15 13

2 18 10 12

54 375 29 25 13 0 4 5 0

5 0625 0

. . .

.

- -

=

čvor 10:

49

Kada se uključe granični uslovidobijaju se vrednosti koje figurišu uz ugibeu jednačiama na slajdu 40: Vodei računa o oznakama čvorova (slajd



..

.

.

.

= =

= -

=

2

2

0 301333

2 25

2 1 2 267

2 3 24 1 816

2

2

2

24 1 7 022

1 24 2 18074

22 1 5111

.

.

.

- =

-- =

-=

-2

2

.

=2

. . = - - 13 10 102 267 0 0 01333

. . = - - 14 10 6 112 267 01333 0

. . = - - 15 11 5 10 122267 01333

1 RED:

50

Vodeći računa o oznakama čvorova (slajd 44),i na osnovu jednačina (slajd40), mogu se pisati jednačine graničnih uslova

2 RED:



. . . . . = - - 18 10 6 11 5 2 10 12816 7 022 218074 0 1511 0 010074

. . . . . = - - 19 11 5 10 12 9 6 1816 7 022 218074 1511 010074 0 0

-korišćenjem funkcija Given i Find dobijamo vrednosti ugiba u traženimčvorovima proračunske mreže......

51

g i v e n

5 4 .3 7 5 1 2 6 2- 2 9 .2 5 3- 2 9 .2 5 5- 9 6 9 7 0 1 0 5 .0 6 2 5 1 1 1 7 5 .4 9 9 1 06-



1 2 3 5 6 7 1 0 1 1

2 9 . 2 5- 1 9 2 4 9 .3 1 2 5 3 5 . 0 6 2 5 5 0 6 2 6 7- 0 1 0 0 1 1 0

2 9 . 2 5- 1 9 2 5 .0 6 2 5 3 4 9 . 3 1 2 5 5- 2 6 6- 0 7- 7 . 6 5 0 3 1 0 1 7 . 7 7 3 1 1- 0

1 0 .1 2 5 1 0 2 0 3 3 5 .5 4 8 9 5- 1 5 . 2 9 9 6 0 7 1 9 . 8 7 9 9 1 0- 2 8 . 1 7 5 5 1 1- 0

4 .5 1 2 9 . 2 5 2- 1 3 3- 0 5 5 . 0 6 2 5 6 5 1 .3 1 2 5 2 7 0 1 0 0 1 1 0

1 3- 1 5 6 .3 7 5 2 4 .5 3 4 .5 5 2 9 . 2 5 6- 2 9 . 2 5 7- 5 .0 6 2 5 1 0 0 1 1 0

4 .5 1 2 9 . 2 5 2- 0 3 1 3 5- 5 1 . 3 1 2 5 6 5 . 0 6 2 5 7 1 7 .7 7 3 3 1 0- 3 .8 2 5 1 1 0

52

0 1 1 0 .1 2 5 2 0 3 7 .6 4 9 9 5 3 5 . 5 4 8 9 6- 0 7 2 9 . 9 9 5 8 1 0 1 1 . 0 7 2 9 7 1 1- 0

f i n d 1 2 3 5 6 7 1 0 1 1

3 .3 7 8 2 0 6 8 4 8 8 2 3 5 1 9 4 9 8 91 0- 6

1 .0 3 3 2 8 8 5 2 2 7 4 0 0 4 6 7 1 1 71 0- 6

2 .5 7 5 2 5 2 1 2 1 9 2 1 1 8 0 2 9 9 81 0

- 6

2 . 4 2 2 0 2 5 4 5 0 9 1 8 6 5 9 8 8 6 61 0

- 6-

2 . 5 0 5 6 7 0 5 7 9 7 3 0 7 4 8 0 5 1 81 0- 7

-

9 .6 9 9 1 0 1 0 7 4 4 3 6 5 2 4 1 9 9 51 0- 7

1 .1 8 8 4 0 7 4 5 5 3 5 5 7 8 7 3 5 4 91 0- 6

3 .2 9 5 2 6 8 5 1 7 1 4 5 8 4 9 9 3 6 61 0 - 6

PRIMER 2. Nacrtati proračunsku mrežu, a zatim izvesti izraz za parcijalni3 f



izvod trećeg reda funkcije f(x,y) u tački ( x i+1, y j+1) koristeći levekonačne razlike.

3

3

f

y

53



1, 1 1, 1

3

1, 1 1,3

1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1 1, 1, 1

2 2

1 1

21 1

i j i j

i j i j

x y x y

i j i j i j i j i j i j i j

f f f f

y y y y y y y

f f f f f f f

y y y y

- -

- = = =

- - - - = = =

54

1, 1 1,3

12

( )i j i j i f f f

y = - -

1, 1, 1 1, 1 1, 2

1, 1 1, 1, 1 1, 23

13 3

( )

j i j i j i j

i j i j i j i j

f f f

f f f f

y

- - -

- -

- - =

= - -

PRIMER 2. Primenom centralnih konačnih razlika, datu diferencijalnu jednačinu prevesti u njen diferencni oblik:



j p j

4 3 2

2 2 3; .

f f f A A const

x y x y x

= =

4 2 21, , 1,

2 2 2 2 2 2

1, 1 1, 1, 1 , 1 , , 1 1, 1 1, 1, 1

2 2 2 2

21

( )

2 2 212

i j i j i j

i j i j i j i j i j i j i j i j i j

f f f f f

x y y x y x

f f f f f f f f f

x

-

- - - - - -

- = = =

- - - = - =

55

1, 1 1, 1, 12 2

12

( ) ( )i j i j i j

f f f x y

-= - -

, 1 , , 1 1, 1 1, 1, 12 4 2 2

i j i j i j i j i j i j f f f f f f - - - - - - -

3 21, , 1,

3 2 2

2 , , 1, 1, , 2,

2

2, 1, 1, 2,3

21

2 ( )

12

( ) 2 2 2

12 2

2( )

i j i j i j

i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j

f f f f f

x x x x x

f f f f f f

x x x x

f f f f x

-

- -

- -

- = = =

- - -

= - =

= - -

21 1 1 1 1 1 1 11 11 1 i j i j i j i ji j i j

f f f f f f f f - - - - - - --



1, 1 1, 1 1, 1 1, 11, 1,

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

1 1

2 2 2 2 2

1 ( )4

i j i j i j i ji j i j

i j i j i j i j

f f f ff f f f

x y y x y x x y y

f f f f y x

-

- - - -

= = = - =

= - -

Konačan oblik jednačine:

56

1, 1 1, 1, 1 , 1 , , 1 1, 1 1, 1, 12 2

2, 1, 1, 2, 1, 1 1, 1 1, 1 1, 13

12 2 4 2 2

( ) ( )

1 1

2 2 ( )42( )

i j i j i j i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j i j i j

f f f f f f f f f x y

f f f f f f f f A y x x

- - - - - -

- - - - - -

- - - -

- - - - =

PRIMER 3. Primenom metode konačnih razlika, rešiti parcijalnu



PRIMER 3. Primenom metode konačnih razlika, rešiti parcijalnudiferencijalnu jednačinu hiperboličkog tipa

2 22

2 2u uat x

=

koja opisuje slobodne oscilacije homogene ograničene žice.

Tražićemo rešenje pri sledećim početnim i graničnim uslovima:

,

u(x, 0)=f(x),

, (0<x<l)

u(0,t)= (t), u(,t)= (t), (0<t< )

0t

u F( x )

t =

=

57

Rešenje:Potrebno je formirati pravougaonu mrežu xi=ih, t j=jk (i=0,1,2,...,n;

j=0 1 2 ) gde je l



j=0,1,2,...,), gde je1i i

l h x x

n = = - (n-ceo broj)

1 j jk t t = -

Zamenom izvoda centralnim konačnim razlikama jednačinaslobodnih oscilacija homogene ograničene žice postaje

1 1 1 12

2 2

2 2i , j i , j i , j i , j i , j i , ju u u u u u

a ,

k h

- -- - =

1 1 1 1i , j i , j i , j i , j

h gde za k= dobijamo pojednostavljeni oblik

a

u u u u - -= -

Iz prethodne jednačine se vidi da je potrebno znativrednosti iz prethodna dva sloja j i (j-1) da bi sesračunale vrednosti u (j+1) sloju, što jeilustrovano na sledećoj skici

58

Kako početni uslov omogućava da se sračuna samo jedan sloj j=0, t ,treba na neki način dobiti još jedan sloj, da bi dalje mogla da seprimeni formula

.



primeni formula

1 1 11i i , j i , j i , j , ju u u u - - = -

edan od načina je da se uvede fiktivni sloj j=-1. Radi toga u drugompočetnom uslovu treba zameniti izvod konačnom razlikom, tako da je

1 0i , i ,u u

F

- -

=k -

gde je F i=F(xi ). Dalje se dobija

1 0i , i , iu u kF - = -

59

PRIMER 4: Metodom konačnih razlika rešiti datu dinamičku jednačinugraničnog sloja nestišljivog fluida



1

)1()1()1()1(

1

)1(

2

2

11

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

3

3

f )H2(F,,FF,)f ,(

,1;00

,f f B

f F1

B

f

B2

f ) b2(aB

-====

===

=

-

=

-

-

zаzа

- parametar poroznosti, f f 1 = - parametar oblika

60

Transformacijama, uobičajenim za teoriju graničnog sloja, dobija se uopštenadinamička jednačina graničnog sloja nestišljivog fluida u jednoparame-tarskom približenju:

;1,00,0

,f f B

f F

B1B

f

B2

f ) b2(Ba

2

22

2

2

22

22

2

2

2

3

3

=

==

=

-

=

=

-

-

zаzа

(1)

).f ,(=Za svaku zadatu vrednost parametra , traženo rešenje ove jednačine je funkcija dve promenljive, tj.



,)f ,(Uu ===

Red diferencijalne jednačine (1) snižava se smenom

(2)

nakon čega se dobija

B)1(

B

f

B2

f ) b2(Ba 2

22

2

2

2

=

-

-

61

.1,00,0

,f f B

f F2

-===

-

=

заза

(3)

Oblast graničnog sloja, koja istovremeno predstavlja i oblast integracije jednačine graničnog sloja (3), određena je pomoću promenljivih i f.Integracija se vrši posredstvom ravanske integracione mreže. Zato sečitava oblast poluravni (, f) prekriva sa dve familije paralelnih pravih=const i f=const, čiji preseci određuju čvorove integracione mreže.

Rešenje jednačine (3) biće određeno za ovaj diskretni skup tačaka.



62

N.,...3,2,1,=M;...2,1,0,=K ;)1M(,f K f MK -== (4)

Na čvorovima integracione mreže diskretne vrednosti traženih funkcija se

označavaju na način:.)f K ,)1M(()f ,(

,)f K ,)1M(()f ,(

K MK ,M

K MK ,M

-==

-==

(5)

Pomoću ovako definisane integracione mreže, diferencijalni količnici se

zamenjuju odgovarajućim odnosima konačnih razlika

,)f ,(Y ,...),,(Y =

ii

Za usvojeni skup od četiri tačke, izvodi bilo koje veličine gde jeodređeni su sledećim količnicima konačnih razlika:



,)(

YY2YY

,2

YYY

2

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,1M

2

2

i1K ,1M

i1K ,1M

-=

-=

-

-

;

f

YY

f

Y K ,Mi

1K ,M

-=

pri čemu sve tačke na pravoj sa indeksom (K+1) čine jedan računski sloj .Sve tačke na na pravoj sa indeksom (K) čine jedan pomoćni sloj .

(6)

63

U jednačini (3) veličine B i F određene su relacijama:

,)f (Ad1A

,)f (Ff B

A2B2F;)f (Bd1B

0

0

2

2

0

=

=

-=

=

-

==

-

=

iz kojih je očigledno da se one računaju tek kada se izračuna funkcija , tj.. Ovo ukazuje da se pri rešavanju jednačine (3) mora da primeni iterativni

postupak .

,...)2,1,0i(i =Zato je u izrazima (6) pridodat gornji indeks

koji označava broj iteracija. Za zadate vrednosti ovih veličina u nultoj iteraciji



).4411,0F;469,0B( 00 ==

44080a = .7140,5 b =

j j j s j juzimaju se vrednosti za ravnu ploču

Sa ovim vrednostima se određuje funkcija , odnosno pa zatim novo B i F iponovo sve dok se iterativnim postupkom ne postigne određena tačnostdefinisana na početku odgovarajućeg programa. Za konstante a i b, kojetakođe figurišu u jednačini (3), usvajaju se vrednosti

64

U trećem članu jednačine (3) figuriše 2. Zato se linearizacija nelinearnihčlanova ostvaruje usvajanjem iz prethodne iteracije (i -1) vrednosti veličinakoje uslovljavaju nelinearnost. Na taj način ove veličine postaju poznate za

tekući računski sloj.Koristeći se izrazima (4), (5) i (6) pojedini članovi diferencijalne jednačine (3)transformišu se kao:

,2BB

i1K ,1M

i1K ,1M

1i1K

-=

-

-+

,)(

2

ii

2

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,1M

2

2-

-=



),1()B(

f )1(

B

f

,2

)B(2

f ) b2()B(a

B2

f ) b2(Ba

i1K ,M

1i1K ,M21i

1K

1K 2

2

i1K ,1M

i1K ,1M1i

1K ,M21i1K

1K 21i

1K 2

2

-

--

-=-

-

-=

-

-+

-+

-+

f

f F

f f

f F K ,Mi

1K ,M1i1K ,M21i

1K 1i1K

2

-

-=

-

-

-

-

65

.2

f

i1K ,1M

i1K ,1MK ,M

1i1K ,M

-

-- -

-

)f ,(=Funkcije , B i F se računaju tek posle nalaženja rešenja pa suu navedenim izrazima vrednosti za njih uzete iz prethodne (i -1) iteracije.

Kada se prethodni izrazi uvrste u (3), onda ova jednačina u tzv. diferencnojformi glasi

+2

)B(2

f ) b2()B(a+

)(

2 i

1K ,1M

i

1K ,1M1i

1KM21i

1K

21i

1K

2

i

1K ,1M

i

1K ,M

i

1K ,1M

-

-

- --

--

+



.2

f

f

)B(

f F

=2B)1()B(

f

2)B(2)(

i

1K ,1M

i

1K ,1MK ,M

1i

1K ,MK ,M

i

1K ,M1i

1K ,M21i

1K

1K

1i

1K

i

1K ,1M

i

1K ,1M

1i1K

i

1K ,M

1i

1K ,M21i1K

1K

1K ,M21i

1K

2

-

--

-=

-

-

--

-

-

-

-

-

+

-+

-+

-

+

(7)

-

66

,)(

af

f F)B(2

B22f ) b2()B(a

)B(21

)(

2

1

f )B(

f F

B2)B(2

f ) b2()B(a

2)(

1

2

i1K ,1Mi

1K ,MK ,M

1i1K ,M

1K 1i1K 21i

1K

1i1K

1i1K ,M

1K 21i

1K 21i1K

2

i1K ,1M

K ,M1i

1K ,M

21i

1K

1K 1i1K

1i1K

21i1K

1K 21i

1K 1i

1K ,M

2

i1K ,1M

=

--

-

-

-

-

=

=

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-+

-+

-+-

+

-

+

-+

-+

-+

,

2

f ) b2()B(a)B(2

1a

1i1K ,M

1K 21i

1K 21i1K

i1K ,M

-

--

-

-=



.

B2f

f F1i

1K

K ,M1i

1K ,M1K

1i1K -

-

-

-

-

(8a)

Članovi jednačine (7) koji u sebi sadrže vrednost funkcije u tački )1K ,1M(

,c2

i1K ,Mi

1K ,M

2

f ) b2()B(a)B(2

1c

1i1K ,M

1K 21i

1K 21i1K

i1K ,M

-

--

-

=

67

.B2f

f F1i

1K

K ,M1i

1K ,M1K

1i1K -

-

-

-

(8b)

Grupisani članovi u kojima figuriše vrednost funkcije u središnjoj - centralnoj

tački )1K ,M(

, b

)(

2

f )B(

f F

)B(

f

)(

2

i1K ,M

i1K ,M2

1i1K ,M

21i1K

1K 1i1K 1i

1K ,M21i1K

1K 2

i1K ,M

-

--

-=

=

--

-

-+

-+

gde je,

f

F1f

)B(2

)(1 b

1i1K 1i

1K ,M1K 21i1K

2i

1K ,M

=

--

-

(8c)



)B(2 1K

Ostali članovi jednačine (7), prebačeni na desnu stranu znaka jednakostii

1K ,M2

K ,M1i1K ,M21i

1K

1K 1i1K

21i1K

1K g

)(

1

f )B(

f F

)B(

f

--

-

-

=

--

)( K ,M1i1i2

i

- --

68

.f )B(1K ,M1K 1K 21i

1K 1K ,M

- -

Jednačina (7) napisana u sažetijoj formi

;gc b2a i

1K ,M

i

1K ,1M

i

1K ,M

i

1K ,M

i

1K ,M

i

1K ,1M

i

1K ,M - =-

Granični uslovi su:

.1: NM

,0,0:1M

1K , Ni

1K , N

1K ,1i

1K ,11K ,1i

1K ,1

===

=====

Dakle, polazna parcijalna diferencijalna jednačina (3) dovedena je, uzpomoć konačnih razlika, na sistem linearnih algebarskih jednačina uobliku: 0i



obliku:

,...2,1,0i,...2,1,0K 1 N,...,3,2M

,1

,gc b2a

,0

i1K , N

i1K ,M

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,1M

i1K ,M

1K ,1

==-=

=

=-

=

-

(9)

Sistem (9) se sastoji od (N-2) algebarske jednačine, gde svaka od njih sadrži

69

.funkcije u tri uzastopne tačke svakog računskog sloja, odnosno vrednostiu tačkama: iZa pojedine tačke na bilo kom računskom sloju (K+1), ove jednačine glase:

i1K ,M

i1K ,1M ; - .i

1K ,1M

.gc b2a:1 NM

.....................................

,gc b2a:4M

,gc b2a:3M

,gc b2a:2M

i1K ,1 N

i1K , N

i1K ,1 N

i1K ,1 N

i1K ,1 N

i1K ,2 N

i1K ,1 N

i1K ,4

i1K ,5

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,3

i1K ,4

i1K ,3

i1K ,4

i1K ,3

i1K ,3

i1K ,3

i1K ,2

i1K ,3

i

1K ,2

i

1K ,3

i

1K ,2

i

1K ,2

i

1K ,2

i

1K ,1

i

1K ,2

------

=--=

=-=

=-=

=-=

Iz prve jednačine sistema (za M=2) nalazi se vrednost funkcije

i1K3

i1K2

i1K2

i1K3i

i1K ,2

i

i1K ,2

i1K ,1

i1K ,2i

1K2 LK cga

=-

=



1K ,31K ,21K ,21K ,3i1K ,2

i1K ,2

1K ,2 b2 b2

, b2cL,

b2gaK

i1K ,2

i

1K ,2i1K ,2i

1K ,2

i

1K ,2

i

1K ,1

i

1K ,2i1K ,2

=-= (10)

Vrednost funkcije je poznata. Kada se izraz za zameniu drugu jednačinu sistema (za M=3), biće

1K ,1i

1K ,1 =i

1K ,2

70

odakle je vrednost funkcije u tački (3, K+1)

tj.

i

1K ,3

i

1K ,4

i

1K ,3

i

1K ,3

i

1K ,3

i

1K ,3

i

1K ,2

i

1K ,2

i

1K ,3 gc b2)LK (a =-

,

La b2

c

La b2

gK a i1K ,4

i 1K ,2i 1K ,3i 1K ,3

i1K ,3

i 1K ,2i 1K ,3i 1K ,3

i1K ,3

i1K ,2

i1K ,3i

1K ,3

-

-

-=

i1K ,4

i1K ,3

i1K ,3

i1K ,3 LK =

.La b2

cL,

La b2

gK aK

i1K ,2

i1K ,3

i1K ,3

i1K ,3i

1K ,3i1K ,2

i1K ,3

i1K ,3

i1K ,3

i1K ,2

i1K ,3i

1K ,3

-=

-

-=

Iz treće jednačine sistema (za M=4) je

,gcb2)LK(ai

1K4i

1K5i

1K4i

1K4i

1K4i

1K4i

1K3i

1K3i

1K4 =-



odnosno

,La b2

c

La b2

gK a

,gc b2)LK (a

i

1K ,5i1K ,3

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,3

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,3

i1K ,4i

1K ,4

1K ,41K ,51K ,41K ,41K ,41K ,41K ,31K ,31K ,4

--

-

=

i1K ,5

i1K ,4

i1K ,4

i1K ,4 LK =

71

gde su u ovom slučaju koeficijenti K i L određeni izrazima:

.La b2

cL,

La b2

gK aK

i

1K ,3

i

1K ,4

i

1K ,4

i

1K ,4i

1K ,4i

1K ,3

i

1K ,4

i

1K ,4

i

1K ,4

i

1K ,3

i

1K ,4i

1K ,4

-

=-

-=

Ako bi se primenio isti postupak na ostale jednačine algebarskog sistema,dobilo bi se (za bilo koje M=M) da je u opštem slučaju vrednost funkcije utački (M K+1) određen izrazom



tački (M,K+1) određen izrazom

gde su tzv. koeficijenti progonke:

),2,3...,,2 N,1 NM(

LK i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,M

--== (11)

72

,

La b2

cL

,La b2

gK aK

i 1K ,1Mi 1K ,Mi 1K ,M

i1K ,Mi

1K ,M

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,1M

i1K ,Mi

1K ,M

-

-

-

-

=

-

-=

(12)

).1 N,2 N,...,3,2M( --=

Sem toga, pošto se u opšte rekurentne obrasce (12) stavi da je M=2 i kadase ovi koeficijenti uporede sa koeficijentima (10),

iiiiii



; b2

c

La b2

cL

,

b2

ga

La b2

gK aK

i1K ,2

i1K ,2

i1K ,1

i1K ,2

i1K ,2

i1K ,2i

1K ,2

i

1K ,2

i1K ,2

i1K ,1

i1K ,2

i

1K ,1

i

1K ,2

i

1K ,2

i1K ,2

i1K ,1

i1K ,2i

1K ,2

=-

=

-=

-

-=

73

pri čemu je u razmatranom slučaju strujanja

0Li1K ,1 ,K i

1K ,1i

1K ,1 (13)

0i1K ,1 =

Rešavanje parcijalne diferencijalne jednačine (3) metodom konačnihrazlika svodi na rešavanje sistema algebarskih jednačina (9), pri čemu ovajsistem može da napiše u obliku rekurentnog izraza



g

).2,3,...,2 N,1 NM(

,0

,LK

,1

i1K ,1

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,M

i1K , N

--=

=

=

=

(14)

74

U (14) koeficijenti progonke se izračunavaju posredstvom relacija (12) kojese još jednom navode:

,La b2

cL

,La b2

gK aK

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,Mi

1K ,M

i1K ,1M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,M

i1K ,1M

i1K ,Mi

1K ,M

-

-

-

-=

-

-=

).1 N,2 N,...,3,2M( --=

Rekurentni obrasci (14) i (12) omogućuju rešavanje sistema algebarskih

jednačina (9).Prema prikazanom postupku ( postupkak progonke - passage method ),



p p p (p p p g p g ),najpre se na osnovu rekurentnih formula (12) izračunavaju koeficijenti

progonke i to u smeru porasta indeksa M ("direktna progonka"), pričemu su početne vrednosti ovih koeficijenata.Zatim se, prema rekurentnom izrazu (14) izračunavaju vrednosti funkcije udiskretnim tačkama i to u smeru smanjivanja indeksa M ("indirektna

"

75

,indeksa M=N koja odgovara spoljašnjoj granici graničnog slojaNa ovaj se način, posle dva prolaza kroz sve diskretne tačke

računskog sloja, određuju rešenja funkcije koja odgovaraju tomsloju, odnosno vrednostima nezavisno promenljive

Isti postupak se ponavlja za sledeći računski sloj ravanske integracionešeme i tako dalje, sve dok se integracija ne obavi za sve posmatraneslojeve, tj. u čitavom dijapazonu promene parametra oblika f (koji je u ovoj jednačini nezavisno promenljiva veličina).

Za ovo rešavanje mora da se napiše numerički program

)1( i1K , N =

.f )1K (f 1K =

Ovde je, ilustracije radi, priložen samo segment jednog numeričkog programa koji seodnosi na rešavanje sistema uopštenih jednačina graničnog sloja jonizovanog gasa naporoznom zidu čija je elektroprovodnost funkcija odnosa brzina.



C R E S A V A N J E D I N A M I C K E J E D N A C I N EC

C KOEFICIJENTI DINAMICKE DIFERENCNE JEDNACINE

C

11 X=DELET/(2.*BKI**2)X1=X*DELET

X2=2.*X1

DO 20 M=2,K3

R1=FRSPI*F1R*(BRPI(M)-BPS(M))/DELFR+BRPI(M)*(VA*BKI**2+

1 F1R*(2.-VB))/2.

R1=R1*X+(VFQR(M+1)-VFQR(M-1))/4.

AKJIM=VFQR(M)-R1

AKJIM=AKJIM-VL1*DELET/(2.*BKI)

CKJIM=VFQR(M)+R1

CKJIM=CKJIM+VL1*DELET/(2.*BKI)

R2=F1R*ARPI(M)*(1.+FRSPI/DELFR)+(G1*CRPI(M)/(1.-F0))*(1.-ARPI(M))

BKJIM=VFQR(M)+X1*R2

76

R3=F1R*CRPI(M)/(1.-F0)+FRSPI*F1R*ARPI(M)*APS(M)/DELFR GKJIM=-X2*R3

C

C KOEFICIJENTI PROGONKE

C

APVIM=2.*BKJIM-AKJIM*EKP(M-1)

F33=DABS(APVIM)

IF(F33-EPS3)8,7,7

8 APVIM=EPS3

7 CONTINUE

DKP(M)=(AKJIM*DKP(M-1)-GKJIM)/APVIM

20 EKP(M)=CKJIM/APVIM

C

C NALAZENJE RESENJA DINAMICKE JEDNACINE POSTUPKOM PROGONKEC

M=N-1

30 ARRI(M)=DKP(M)+EKP(M)*ARRI(M+1)

M=M-1

IF(M-2) 31,30,30

31 DELAM=0.

N1=N-1

DO 45 M=2,N1

DELA=DABS(ARRI(M)-ARPI(M))

IF(DELAM-DELA) 44,45,45

44 DELAM=DELA

45 CONTINUE

Rešenje jednačina graničnog sloja disociranog gasa ( 10.0f = )

05.0=Prikazana je jedna od tabela za presek graničnog sloja disociranog gasa koji jedefinisan sa f = 0.10 i za vrednost parametra poroznosti.



j j g g j g g ( )

001000000.0 = D f 05.0= 021000000.0 -= D f

2.3785734= A 1.7332754= B 3.00424372 = B

0.03328622

= B f 1.3722997

= H 2.5216469

22

=

9669553.7=dp F 0.1647248= 4.3707076=

M U u T

1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.3500000 0.0800000

9 0.4000000 0.1288407 0.0404259 0.3737675 0.0810397

17 0.8000000 0.1778459 0.1017606 0.3952507 0.0821025

25 1.2000000 0.2268509 0.1827026 0.4156489 0.0831852

33 1.6000000 0.2757012 0.2832207 0.4349097 0.0842845

41 2.0000000 0.3242394 0.4032220 0.4529814 0.0853969

49 2.4000000 0.3722984 0.5425485 0.4698158 0.0865183

57 2.8000000 0.4196970 0.7009727 0.4853721 0.0876447

77

. . . . .

73 3.6000001 0.5117105 1.0738209 0.5125473 0.089894281 4.0000001 0.5558907 1.2873880 0.5241554 0.0910081

89 4.4000001 0.5985502 1.5183307 0.5344682 0.0921083

97 4.8000001 0.6394629 1.7659953 0.5435290 0.0931903

105 5.2000001 0.6784126 2.0296392 0.5514002 0.0942494

113 5.6000001 0.7152023 2.3084372 0.5581606 0.0952812

121 6.0000001 0.7496621 2.6014903 0.5639024 0.0962814

129 6.4000001 0.7816567 2.9078381 0.5687269 0.0972463

137 6.8000001 0.8110901 3.2264739 0.5727398 0.0981723

145 7.2000001 0.8379098 3.5563614 0.5760476 0.0990565

153 7.6000001 0.8621081 3.8964521 0.5787527 0.0998963

161 8.0000001 0.8837207 4.2457030 0.5809512 0.1006896

169 8.4000001 0.9028245 4.6030939 0.5827301 0.1014351

177 8.8000001 0.9195327 4.9676430 0.5841659 0.1021316

185 9.2000001 0.9339890 5.3384197 0.5853243 0.1027789

193 9.6000001 0.9463608 5.7145562 0.5862605 0.1033769

201 10.0000001 0.9568320 6.0952549 0.5870198 0.1039264

209 10.4000002 0.9655960 6.4797941 0.5876386 0.1044284217 10.8000002 0.9728488 6.8675302 0.5881461 0.1048843

225 11.2000002 0.9787832 7.2578974 0.5885654 0.1052960

233 11.6000002 0.9835836 7.6504056 0.5889147 0.1056656

241 12.0000002 0.9874225 8.0446362 0.5892086 0.1059954

249 12.4000002 0.9904573 8.4402365 0.5894592 0.1062880

257 12.8000002 0.9928290 8.8369137 0.5896765 0.1065461

265 13.2000002 0.9946614 9.2344279 0.5898692 0.1067724

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

353 17.6000003 0.99984 90 13.6278862 0.5927978 0.1078 863

361 18.0000003 0.999890 8 14.0278346 0.5934524 0.1079 161

369 18.4000003 0.999922 6 14.4277975 0.5942630 0.1079 403

377 18.8000003 0.999947 8 14.8277718 0.5952682 0.1079 601

385 19.2000003 0.999968 5 15.2277552 0.5965163 0.1079 762

393 19.6000003 0.999986 0 15.6277462 0.5980681 0.1079 893

401 20.0000003 1.000000 0 16.0277435 0.6000000 0.1080 000

Documents

Modeliranje i numericki proracun prenosa toplote - dr Vera Nikolic