Bologna 18 maggio 2009 materiale per discussione Teresa Sardena [email protected] copyright © 2008 prometeia le distribuzioni di probabilità

Bologna18 maggio 2009

materialeper discussione

Teresa Sardena [email protected]

copyright © 2008 prometeia

le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivatiuna misura delle aspettative dei

mercati

riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 2

agenda

1 | Introduzione

2 | Mercati oggetto di studio

3 | Modelli di stima

4 | Opzioni ad orizzonte costante

5 | Incertezza nei dati di input

6 | Rappresentazione


1 | IntroduzioneMercati oggetto di studio

Modelli di stima

Opzioni ad orizzonte costante

Incertezza nei dati di input

Rappresentazione


Che cos’è una PDF?

I prezzi delle opzioni quotate permettono di stimare le funzioni di distribuzione di probabilità (dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions), sugli asset sottostanti.

La PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata di mercato – di un ipotetico investitore rappresentativo – per il prezzo di un dato sottostante ad una certa scadenza.

Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata del prezzo del sottostante a una specifica scadenza, le stime ottenute possono essere usate per analizzare le aspettative degli agenti economici sull’andamento di attività finanziarie sulle quali vengono scambiate opzioni. Inoltre, poiché la probabilità non è quella “vera” ma è trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le preferenze degli operatori e il grado di incertezza nell’economia.

Introduzione


perche’ stimare la PDF? Per un dato sottostante, a partire dai prezzi delle opzioni quotate osservabili sul mercato, si può stimare la probability density function (PDF) neutrale al rischio implicita ad una data scadenza.

Tale stima può essere utilizzata sia a fini congiunturali sia a fini di pricing.

Fini congiunturali Fini di pricing

Gli indicatori costruiti usando le serie storiche dei rendimenti degli asset sono backward-looking, invece indicatori ottenuti dai prezzi delle opzioni, incorporando le aspettative sul futuro andamento del sottostante, sono forward-looking;

Le PDF permettono di estrarre la view di mercato rispetto ad un dato sottostante e di monitorarla nel tempo.

Attraverso la PDF è possibile costruire delle superfici di volatilità che permettano di prezzare opzioni sul sottostante considerato.

Tali superfici di volatilità considerano lo skew implicito nelle quotazioni dei premi delle opzioni.

Introduzione


intuizioneOsservando i prezzi delle opzioni aventi strike diversi ma medesima scadenza si può inferire la probabilità assegnata dal mercato ai possibili esiti del sottostante all’orizzonte futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni .

Un’opzione call a scadenza avra’ un qualche valore se il prezzo del sottostante sarà maggiore dello strike dell’opzione stessa.

Un’opzione call avente uno strike minore avrà sempre un valore maggiore di un’opzione call con strike più alto.

Un opzione con strike più basso avrà un pay-off più alto se esercitata e una più alta probabilità di essere esercitata.

Questa probabilità addizionale riflette la possibilità che il sottostante in futuro vada a cadere tra i due strike.

Se ne deduce che la differenza di prezzo può essere usata per inferire la probabilità di un esito rispetto ad un altro.

Osservando i prezzi dei contratti attraverso il range di possibili esiti è possibile ricostruire l’intera PDF.

Introduzione


Breeden & Litzenberger

In mercati dinamicamente completi (se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione continua rispetto ai prezzi di esercizio), la PDF del sottostante è proporzionale alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call, calcolata rispetto allo strike (Breeden, D and Litzenberger, R (1978)):

Questo risultato implica che, se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i possibili strike, la stima della PDF sarebbe semplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione.

Tale stima è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la maggiore complessità consiste nel ricavare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e differenziabile.

2

2 ),(),(

K

KTceKTPDF rT

Introduzione


flusso dei dati | step by step

Mercati oggetto di studio

Modelli di stima

Rappresentazione delle PDF

Raccolta dei dati di mercato

Definizione della funzione di prezzo di un opzione call

Stima delle PDF

Calcolo delle statistiche di sintesi

Introduzione


Introduzione

2 | Mercati oggetto di studioModelli di stima



Rappresentazione


quali sottostanti

Perche’ utilizziamo le opzioni sui futures?

EURUSD EURJPY EURGBP USDJPY USDGBP JPYGBP

Opz. su futures su tassi di int. a breve t.

Opzioni su futures su indici azionari

Opzioni OTC su tassi di cambio EuroSTOXX 50

S&P MIB S&P 500 FTSE 100 Nikkei

Euribor a tre mesi

EuroDollaro a tre mesi

Short Sterling a tre mesi

EuroYen a tre mesi

10Y Bund

10Y USD Treasury Bond

10 Y GBP Gilt

10Y Japanese Bond

Opzioni su futures su titoli Gov. 10Y



Introduzione


3 | Modelli di stimaOpzioni ad orizzonte costante


Rappresentazione

Prossimi passi


Parametricometodi che ipotizzano che il prezzo dell’attività sottostante abbia una determina distribuzione

Non Parametricometodi che non formulano alcuna ipotesi sulla distribuzione del sottostante

Formula di pricing: formula chiusa per il pricing delle opzioni usata in modo diretto;

Interpolazione: non si utilizza alcuna funzione di interpolazione;

Metodo di estrazione della funzione di probabilità implicita: minimizzazione di una funzione di perdita.

Formula di pricing: utilizzata in modo indiretto;

Interpolazione: si interpola la volatilità implicita;

Metodo di estrazione della funzione di probabilità implicita: metodi basati sul risultato di Breeden e Litzenberger;

approcci di stima

Modelli di stima


approcci di stima | metodo parametrico

Modelli di stima


approcci di stima | metodo non-parametrico

Modelli di stima


Per il progetto di stima delle PDF, si sono costruiti sia un modello parametrico sia un modello non parametrico.

modelli implementati

Il modello parametrico implementato è la mistura di log-normali secondo l’approccio di Rebonato Cardoso (utilizzato a fini di pricing )

mentre

il modello non parametrico scelto il modello Cubic Smoothing Spline (utilizzato a fini di congiunturali).

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

PD

F im

plic

ita

USD/EUR

Css

Mistura Log Normali

Modelli di stima


L’ipotesi alla base della mistura di lognormali è la seguente:

la distribuzione del prezzo futuro del sottostante è una combinazione lineare di n distribuzioni lognormali.

L’approccio di Rebonato & Cardoso (2003) si differenzia dalle altre versioni presentate in letteratura poiché, attraverso l’introduzione di un paio di condizioni, permette di ottenere una stima dei parametri attraverso un processo di ottimizzazione non vincolata.

A ) Condizione sui pesi della

distribuzione

B) Condizione sui drift neutrali al rischio

La somma dei pesi delle n distribuzioni sia pari a uno (il valore dell’opzione è una media ponderata del premio per ciascuna distribuzione lognormale).

La media ponderata dei valori attesi del sottostante negli n stati di natura deve essere pari al valore del sottostante capitalizzato al tasso risk-free sino a scadenza. (mercato privo di arbitraggio)

mistura di lognormali | ipotesi ed approccio implementato

Modelli di stima


mistura di lognormali | step by step

• Stima dei parametri minimizzando la somma degli scarti quadratici dei prezzi del modello con i premi quotati.

APR

RO

CC

IO M

ISTU

RA

LO

GN

OR

MA

LI

Ottimizzazione I(sui prezzi)

Ottimizzazione II(sulle volatilità)

Costruzione superficie

di volatilità

Calcolare la PDF implicita come combinazione lineare delle PDF delle n distribuzioni lognormali.

A partire dai parametri stimati, avviare un secondo processo di ottimizzazione sulla somma degli scarti quadratici delle volatilità implicite del modello con le volatilità implicite nei premi quotati.

Ricavare la volatilità implicita dai premi delle opzioni calcolati con i parametri stimati.

Ottenimento PDF

Modelli di stima


La stima dei parametri delle n distribuzioni lognormali si ottiene attaverso un processo di minimizzazione di una funzione quadratica di perdita pari a:

prezzimodello MLN – prezzimercato)2

Poiché tale metodologia ha prevalentemente lo scopo di costruire una superficie di volatilità, abbiamo introdotto un secondo processo di minimizzazione volto ad identificare un set di parametri che meglio rappresentino le volatilità implicite nei premi quotati. La seconda funzione di perdita è:

(Volatilitàmodello MLN – Volatilitàmercato)2

Una volta ottenuti i parametri delle n distribuzioni lognormali è possibile costruire una funzione di prezzo delle opzioni call, a partire dalla quale si ottengono sia le PDF che le volatilità implicite.

Modelli di stima

mistura di lognormali | stima dei parametri


Cubic Smoothing Spline | step by step

• Calcolo della volatilità implicita e del delta per le opzioni e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta.

APR

RO

CC

IO C

UB

IC S

MO

OTH

ING

SPLI

NE

Fitting e interpolazione

Trasformazione Coordinate

Funzione di pricing

Estrapolazione

Costruzione della PDF utilizzando il risultato di Breeden-Litzenberger (differenziazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call )

Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike ed espressione della volatilità implicita come funzione degli strike.

Sostituzione dell’espressione della vol. implicita nel modello di pricing utilizzato (Black(1976)) e costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call.

Breeden Litzenberger

Estrapolazione del comportamento della distribuzione al di fuori dell’insieme supporto.

Modelli di stima


Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta.

CS Spline | fitting e interpolazione (1/2)

Per ottenere un fitting più accurato si preferisce interpolare lo smile di volatilità invece dei prezzi delle opzioni (E’ una semplice manipolazione dei dati).

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5

Vol

atili

tà im

plic

ita

Tasso di interesse

Volatilità Implicita

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

00.250.50.751

Vol

atili

tà im

plic

ita

Delta

Volatilità Implicita

Modelli di stima


CS Spline | fitting e interpolazione (2/2)

Utilizzo di una Cubic Smoothing Spline - polinomio di terzo grado- che permette di ottenere una funzione derivabile nel knot-point

iiiii dxxfxfy 2"2 );()1();(min

Questo metodo di interpolazione gode della proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di mercato sulle opzioni che sono “noisy” e aumentare la smoothness della spline cubica.La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresenta la scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla spline, mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della spline stessa.Il parametro di smooting è di grande importanza poiché se fosse troppo alto la procedura assegnerebbe un elevato valore alla minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significherebbe enfatizzare la minimizzazione della curvatura.

Modelli di stima

Fitting Curvatura


Ritorno allo spazio cartesiano di origine: trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike. Espressione della volatilità implicita come funzione degli strike e successiva derivazione della funzione di prezzo delle opzioni call.

CS Spline | trasformazione delle coordinate cartesiane

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

45.0%

50.0%

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25

PDF

Pre

zzo

Tasso di interesse

Prezzo opzioni call (asse SN)

PDF (asse DX)

Modelli di stima


Il risultato di Breeden-Litzenberger ci dice che per ottenere la PDF e ‘ sufficiente ottenere una funzione di prezzo delle opzioni call C(X,) derivabile due volte . A partire da tale funzione si calcola la derivata seconda utilizzando un metodo numerico e la si sconta per il tasso privo di rischio.

CS Spline | Breeden-Liztenberger

Si possono utilizzare diverse tecniche di interpolazione ed estrapolazione (es. lineare costante), ma tutti i metodi non parametrici, una volta costruita la funzione di prezzo di un’opzione call , determineranno la PDF tramite il teorema di Breeden - Litzenberger.

Modelli di stima

2

11)(2

2)( 2),(

X

ccce

X

XCeSPDF iiitTrtTr

T


CS Spline | Estrapolazione (1/2)

0.000%

0.005%

0.010%

0.015%

0.020%

0.025%

22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000

PDF

impl

icita

(%

)

S&P MIB (livelli)

Spline in-sample

Spline estr.lineare

Spline estr.costante

Modelli di stima


Estrapolazione e distribuzione di probabilità neutrale a l rischio

0.0%

0.2%

0.4%

0.6%

0.8%

1.0%

1.2%

0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00%

PDF a O

rizz

onte

cos

tant

e-3 m

esi

Euribor (livelli)

Stima Prometeia -CSs

Stima Prometeia -CSs senza estrapolazioneStima -Bloomberg

Modelli di stima

CS Spline | Estrapolazione (2/2)


Introduzione


Modelli di stima

4 | Opzioni ad orizzonte costanteIncertezza nei dati di input

Rappresentazione


intuizione La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime la view di mercato sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che giorno dopo giorno l’orizzonte considerato si accorcia, rendendo difficile il confronto delle PDF a date diverse.

La variazione nella dispersione della PDF è imputabile alla nuova informazione presente nel mercato o è una conseguenza della diminuzione della scadenza?

Per separare questi due effetti ed isolare l’effetto “scadenza” si è deciso di costruire dei contratti sintetici “ad orizzonte costante” e stimare su di essi le PDF.



3, 6 , 12 mesi Interpolazione nei due metodi Stima delle statistiche di sintesi


interpolazioneIdea base: l’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico ad esempio con scadenza 6 mesi consiste nell’interpolare la volatilità dei contratti “veri” con scadenza inferiore a sei mesi e superiore a sei mesi all’interno di uno spazio tridimensionale al fine di creare dei contratti sintetici con scadenza 6 mesi.

Metodologia di interpolazione: il metodo di interpolazione applicato è lineare per entrambi gli approcci.

Spazio di interpolazione: lo spazio tridimensionale cartesiano in cui si va a fare l’interpolazione varia a seconda dell’approccio implementato (parametrico e non parametrico).



interpolazione | spazio di interpolazione

approccio parametrico interpolazione dello smile di volatilità avviene, a parità di strike, nello spazio (strike, t, σ2).

approccio non parametrico interpolazione dello smile di volatilità avviene, a parità di delta, nello spazio (delta, t, σ2).


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9

delta

Strike

1 mese 3 mesi 4 mesi 6 mesi 7 mesi

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9

s2

Strike

1 mese 3 mesi 4 mesi 6 mesi 7 mesi


introduzione dei contratti sintetici




Stima delle PDF


Mistura Log-Normali

Contratti sintetici

CSs


Introduzione


Modelli di stima


5 | Incertezza nei dati di inputRappresentazione


principali cause di distorsione dei dati in input


Per non incorrere in una stima spuria della PDF abbiamo introdotto dei filtri sui dati di mercato

Il trading delle opzioni è fortemente concentrato per:

le opzioni più vicine a scadenza (mentre in corrispondenza delle scadenze più lontane i contatti sono meno liquidi) ;

per quegli strike più vicini all’attuale prezzo del future (at the money) o in quelle opzioni call (put) i cui strike sono sopra (o sotto) i prezzi del sottostante (out of the money).

I prezzi di esercizio sono fissati su intervalli discreti, equi-spaziati;

I prezzi sono osservati e registrati con un potenziale errore derivante da:

l’asincronicità del trading delle opzioni,

l’asincronicità di registrazione dei dati da parte provider,

bid-ask bounce:

La presenza di rumore nei prezzi delle opzioni inficia profondamente la stima dell’PDF e la rende meno affidabile.


filtri essenziali

Esistenza Prezzo Last

Numero minimo di strike

Giorni a scadenza

filtri di liquidità

Volume

Bid-Ask Spread

Put -Call Parity

Delta

Vega

filtri teorici

Monotonicità dei prezzi

quali filtri implementare



introduzione dei filtri




Stima delle PDF


Filtri


I prezzi delle opzioni, usati come input della stima della PDF, possono essere inficiati da un numero potenzialmente alto di errori. Il test di robustezza ha lo scopo di analizzare l’incertezza dei dati di input (Clews,Panigirtzoglou,Proudman(2000)).

quanto varia la PDF stimata a seguito di piccole perturbazioni nei prezzi?

quanto variano le statistiche di sintesi a seguito di piccole perturbazioni nei prezzi?

data l’inesattezza da cui possono essere inficiati i dati di input, qual è il metodo di stima più robusto?

tecniche di simulazione Montecarlo, condotte su prezzi veri;

tecniche di boot-strapping degli errori storici di fitting (Work in Progress) .

Test implementati

test di robustezza |quale test applicare?



Struttura del Test

1. Si applica uno shock ai prezzi delle opzioni di partenza,2. Si estrae la PDF e si calcolano le statistiche di sintesi,3. Si ripete il procedimento per almeno 100 disturbi estratti,4. Si calcola la deviazione standard delle statistiche di sintesi.

In conformità a queste statistiche, il metodo che fornisce le più basse variazioni negli indicatori è considerato più robusto.

Tabella risultati


test di robustezza |quale test applicare?

Parametrico*Non

Parametrico* Parametrico* Non Parametrico*

Media 2.21 0.05 3.93 0.06

Deviazione St 0.37 0.02 1.11 0.04

Skew 6.07 0.98 5.90 1.03Curtosi 0.46 0.01 1.35 0.02

Unità di misura dei valori: e-3 DataRiferimento 10/11/2008

USD/EUR 1 anno6 mesi


Introduzione


Modelli di stima



6 | Rappresentazione


rappresentazione della PDF

rappresentazione

Diversi metodi possono essere usati per presentare l’informazione contenuta nelle PDF

Rappresentazione a più date

Rappresentazione ad una data

Distribuzione discreta

Distribuzione continua

Fan chart

Grafico serie storiche

Costruzione indici ad-hoc

distribuzione discreta: utilizzata principalmente per rappresentare la PDF di tassi di cambio e tassi di interesse.

distribuzione continua: utile per confrontare le PDF ad un numero limitato di date distinte

fan chart: utilizzata principalmente per fornire una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza attorno alla proiezione centrale .


Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008.

Questo tipo di grafico permette di valutare sia la probabilità che il mercato attribuisce a scadenza ai diversi intervalli – espressa come percentuale sulle barre del diagramma – sia l’incertezza sui diversi esiti possibili..

rappresentazione della PDF | distribuzione discreta (1/2)

rappresentazione

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

3.75 -4.00 4.00 -4.25 4.25 -4.50 4.50 -4.75 4.75 -5.00 5.00 -5.25 5.25 -5.50 5.50-5.75 5.75 -6.00

PD

F D

iscre

tizzata

Euribor a mesi (%)

06/10/2008 08/10/2008


rappresentazione della PDF | distribuzione continua

rappresentazione

Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %)

Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a un anno (valori %)

0

1

2

3

0.70 0.90 1.10 1.30 1.50 1.70 1.90

livello del cambio

7/5/09 14/4/09


rappresentazione della PDF | distribuzione continua

rappresentazione


rappresentazione della PDF | distribuzione continua (2)

rappresentazione

Distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %) Euribor a 3 mesi


Fornisce una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumata - attorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro.

rappresentazione della PDF | Fan Chart (1)

-60.0%

-40.0%

-20.0%

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

3 mesi 6 mesi 1 anno

S&

P M

IB -

Ren

dim

ento

rappresentazione


rappresentazione della PDF | Fan Chart (2)

rappresentazione


rappresentazione della PDF| costruzione statistiche di sintesi

rappresentazione

Rappresentazione a più date

Rappresentazione ad una data

Distribuzione discreta

Distribuzione continua

Fan chart

Grafico serie storiche

Costruzione indici ad-hoc

Si sintetizza l’informazione della PDF a diversi istanti temporali costruendo le serie storiche giornaliere delle statistiche di sintesi.

All’interno del nostro framework le statistiche calcolate sono:

media

volatilità

skewness

curtosi

percentili [0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 ]


statistiche di sintesi

Statistiche di sintesi

central projection

momento primo della distribuzione (es. media )

amount of risk

misure di dispersione della distribuzione (standard deviation)

balance of risk

statistiche di asimmetria della distribuzione (skew)

rappresentazione


statistiche di sintesi | serie storiche

Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (Cubic-Smoothing Spline).

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

0.60

0.62

0.64

0.66

0.68

0.70

0.72

0.74

0.76

0.78

0.80

0.82Media (asse SN)

Volatilità (asse DX)

rappresentazione


bibliografia Andersson, M. e Lomakka, M. (2001), “Evaluating implied RNDs by some new confidence interval estimation techniques.” Working paper, Stockholm School of Economics.Andersen A.B. e Wagener T.(2002) , “Extracting risk neutral probability densities by fitting implied volatility smiles: some methodological points and an application to the 3Meuribor futures option prices”. Danmarks NationalBank Working Paper.Black, F. (1976), “The Pricing of Commodity Contracts”, Journal of Financial Economics 3.Black, F. e Scholes, M. (1973), “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy 81.Bliss, R. R. e Panigirtzoglou, N. (1999), “Testing the stability of implied probability density functions.” Bank of England Working paper.Bliss, R. R. e Panigirtzoglou, N. (2003), “Option Implied Risk aversion Estimates” Journal of Finance.Breeden, D. e Litzenberger, R. (1978), “Prices of state-contingent claims implicit in option prices.” Journal of Business, 51(4) pg 621-651.Clews,R. , Panigirtzoglou N. e Proudman J. (2000), “Recent Developments in Extracting Information from Options Markets“ Bank of England Quarterly BulletinNakamura H. e Shiratsuka S. (1999) “Extracting Market Expectations from Option Prices: Case Studies in Japanese Option Markets.” Institute for Monetary and Economic Studies, Bank of Japan, n. 17(1), 1-43.Prasanna, G. e Vause, N. (2006), “Measuring Investors’ Risk Appetite.” International Journal of Central Banking, March.Rebonato, R. e Cardoso, T. (2003), “Unconstrained Fitting of Non-Central Risk-Neutral Densities Using a Mixture of Normals.” QUARC paper” Working Paper


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