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Mg. Amancio R. Rojas Flores
TEOREMAS DE REDES EN C.A
TEOREMA DE SUPERPOSICION
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El voltaje a través (o corriente a través) un elemento es determinado sumando el voltaje o corriente de cada fuente independiente respectivamente
El teorema de superposición enuncia lo siguiente:
Ejemplo1. Determine la corriente I usando el teorema de superposición:
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Solución
Con respecto ala fuente de voltaje 5 V ∠0° : eliminando la fuente de corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura
La fuente de corriente es remplazada con un
circuito abierto
La fuente de corriente es remplazada con un
circuito abierto Aplicando la ley de ohm tenemos
°∠= 11.13221.1)1( AI
Con respecto a la fuente de corriente 2 A∠0° : eliminando la fuente de voltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura
La fuente de voltaje es remplazada con un
corto circuito
La fuente de voltaje es remplazada con un
corto circuito
La corriente I(2) respectiva es determinada aplicando la regla del divisor de corriente
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°∠= 57.26789.1)2( AI
La corriente total es determinada como la suma de las corrientes I(1) y I(2) :
°∠= 57.2691.2 AI
Ejemplo2. Considere el circuito de la figura:
Encontrar lo siguiente:
a) VR y VC usando el teorema de superposición
b) Potencia disipada por el circuito
c) Potencia entregada por cada fuente al circuito
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Solución
a. ) El teorema de superposición puede ser enunciado como sigue:
Con respecto a la fuente de corriente: eliminando la fuente de voltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura
La impedancia “vista” por la fuente de corriente será la combinación paralela de R//ZC :
El voltaje VR(1) es lo mismo que el voltaje a través del capacitor, VC(1 ) por lo tanto:
°−∠= 13.5324)1( VVR
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Con respecto a la fuente de voltaje: Eliminando la fuente de corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura El voltaje VR(2) VC(2) son determinados por la regla del divisor de voltaje:
°+∠= 87.3616)2( VVRy
°∠= 87.12612)2( VVC
Por aplicación de superposición, tenemos
°−∠= 44.1984.28 VVRy
°−∠= 13.5312VVC
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b) Solamente el resistor puede disipar potencia, la potencia total disipada por el circuito es hallada como:
c) La Potencia entregada al circuito por la fuente de corriente es:
Donde V1 = VC =12V∠-53.13° es el voltaje a través de la fuente de corriente y θ1 es el ángulo de fase entre V1 y I
La Potencia entregada al circuito por la fuente de voltaje es similarmente entregada como:
Donde I2 es la corriente a través de la fuente de voltaje y θ2 es el ángulo de fase entre E y I2
Como se espero la Potencia entregada al circuito deberá ser la suma:
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Ejemplo3. Considere el circuito de la figura:
a) Determinar la expresión general para V en términos de Ib) Calcular V si I= 1.0 ∠0°
c) Calcular V si I= 0.3 ∠90°
Con respecto a la fuente de voltaje: Eliminando la fuente de corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura
Solución
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Con respecto a la fuente de corriente: eliminando la fuente de voltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura
Por superposición, la expresión general para el voltaje es determinado por:
IVV Ω−°∠= 0.808.4
b) Si I= 1.0 ∠0° °∠= 1808.4 VV
c) Si I= 0.3 ∠90°
°−∠= 57.26367.5 VV
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TEOREMA DE THEVENIN
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EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN
Ejemplo5. Encuentre el circuito equivalente de thevenin externo a ZL para el circuito de la figura:
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Solución
Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga ZL y poniendo la fuente de voltaje a cero, tenemos el circuito de la figura:
La fuente de voltaje es remplazada con un
corto circuito
La fuente de voltaje es remplazada con un
corto circuito
Pasos 3: La impedancia de Thevenin entre terminales a y b es encontrado como:
Ω+Ω=°∠Ω= 16843.6389.17 jZTh
Pasos 4: El voltaje de Thevenin es encontrado usando la regla del divisor de voltaje como se muestra en el circuito de la figura:
57.2689.17 −∠== VVE abTh
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Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la figura:
Ejemplo 6. Determine el circuito equivalente de thevenin externo a ZL en el circuito de la figura:
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Pasos 1 : Removiendo la rama conteniendo ZL , tenemos el circuito de la figura:
Pasos 2 : después de colocar las fuentes de voltaje y corriente a cero , tenemos el circuito de la figura:
La fuente de corriente es remplazada con un
circuito abierto
La fuente de corriente es remplazada con un
circuito abierto
La fuente de voltaje es remplazada con un
corto circuito
La fuente de voltaje es remplazada con un
corto circuito
Pasos 3: La impedancia de Thevenin es encontrada como:
°−∠Ω= 43.6383.26ThZ15
Pasos 4: Porque la red dada consiste de dos fuentes independientes, consideramos los efectos individuales, aplicamos por lo tanto el teorema de superposición. Reinsertando solamente la fuente de voltaje en el circuito original como muestra en la figura, hallamos el voltaje Vab(1) aplicando la regla del divisor de voltaje.
57.4672.44)1( ∠= VVab
Ahora, considerando solamente la fuente de corriente como se muestra en la figura, determinamos Vab(2) por la ley de ohm;
°−∠= 43.6367.53)2( VVab
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De el teorema de superposición, el voltaje de thevenin es determinado como:
°−∠= 83.1590.56 VETh
Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la figura:
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TEOREMA DE NORTON
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EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN
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Ejemplo 7. Dado el circuito de la figura, encontrar el equivalente de Norton:
Solución
Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga ZL y poniendo la fuente de voltaje a cero, tenemos el circuito de la figura:
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Pasos 3: La impedancia de Norton puede ahora ser determinada por evaluación de la impedancia entre los terminales a y b por lo tanto tenemos:
Ω+Ω=°∠Ω= 16843.6389.17 jZN
Pasos 4: Reinsertando la fuente de voltaje; encontramos la corriente de Norton calculando la corriente entre los terminales cortocircuitados a y b:
Porque el resistor R=40Ω
esta cortocircuitado, la corriente es determinada por las impedancias XL XC como:
°−∠= 9000.1 AIN
Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la figura:
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Ejemplo 8. Encontrar el circuito equivalente de Norton externo a RL en el circuito de la figura, euse el circuito equivalente para calcular la corriente IL cuando RL = 0Ω, 400Ω
y 2kΩ:
Solución Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga Resistor y poniendo las fuentes a cero, tenemos el circuito de la figura:
Pasos 3: La impedancia de Norton es determinado como:
°+∠Ω= 4569.565NZ22
Pasos 4: Porque la red dada consiste de dos fuentes independientes, consideramos los efectos individuales, aplicamos por lo tanto el teorema de superposición para evaluar la fuente de corriente de Norton. Reinsertando la fuente de voltaje en el circuito original, vemos de la figura , que la corriente de cortocircuito entre los terminales a y b es fácilmente encontrado usando la ley de ohm.
Nótese que el inductor esta cortocircuitada
Nótese que el inductor esta cortocircuitada
°∠= 904.88)1( mAIab
El cortocircuito de la fuente de corriente efectivamente remueve toda impedancia como se ilustra en la figura, la corriente de cortocircuito entre los terminales a y b es dado como sigue:
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Estos componentes están cortocircuitados
Estos componentes están cortocircuitados
Ahora aplicando el teorema de superposición la corriente de Norton es determinado como la suma:
°∠= 52.1385.133 mAIN
Pasos 5: La circuito resultante equivalente de Norton es mostrado en la figura:
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Del circuito arriba, expresamos la corriente a través de la carga, IL como:
°∠= 95.15612.84 mAIL
°∠= 06.17492.30 mAIL
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TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE
POTENCIA
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Para alguna impedancia de carga ZL consistente de una resistencia y una reactancia tal como ZL = RL ±
jX , la potencia disipada por la carga puede
ser determinada como sigue;
LL RIP 2=
Cuando se aplica a circuitos de C.A, este teorema establece que se proporcionara la máxima potencia a una carga cuando la impedancia de la carga es el conjugado de la impedancia de Thevenin en sus terminales
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Recordando que la máxima potencia es entregada a la carga cuando:
Ejemplo . Determinar la impedancia de la carga ZL tal que sea entregada la máxima transferencia de potencia.
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Solución Expresando la impedancia de Thevenin en su forma rectangular:
En orden para entregar la máxima potencia a la carga, la impedancia de carga debe ser el complejo conjugado de la impedancia de Thevenin :
La potencia entregada a la carga es ahora fácilmente por:
Ejemplo . Para el circuito de la figura, determinar el valor de resistor de carga, RL , para que se pueda ser entregada la máxima potencia a la carga.
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Solución
Nótese que la impedancia de carga consiste de un resistor en serie con una capacitancia de 0.010 μF. entonces la reactancia capacitiva es determinada por la frecuencia, es muy probable que la máxima potencia para este circuito pueda solo ser un máxima relativa, mas bien que la máxima absoluta. Para que la máxima potencia absoluta sea entregada a la carga , la impedancia de la carga necesita ser.
la reactancia de el capacitor a una frecuencia de 10 kHz será:
Porque la reactancia capacitiva no es igual a la reactancia inductiva de la impedancia de Norton. El circuito no entregara la máxima potencia absoluta a la carga. Sin embargo la máxima potencia relativa será entregada a la carga cuando:
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Ω= kRL 973.1
la figura muestra el circuito con el valor total de la impedancia :
la corriente en la carga será:
°∠= 04.41887.3 mAIL
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Ahora determinamos la potencia entregada por la carga para las condiciones dadas como:
Si aplicamos la ecuación
Encontramos la máxima potencia absoluta
( )( ) mWkmAPL 82.29973.1887.3 =Ω=
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