Bauer Ch14 [호환 모드] - webbuild.knu.ac.krwebbuild.knu.ac.kr/~jhdho/physics.files/Bauer_Ch14.pdf · 3 2011년5월16일 University Physics, Chapter14 5 §Cos 함수도똑같이운동방정식(2차미분방정식)을만족한다

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2011년 5월 16일 University Physics, Chapter 14 1

14. 14. 진동진동14. 14. 진동진동


용수철의용수철의 복원력복원력: : 훅의훅의 법칙법칙 (1)(1)용수철의용수철의 복원력복원력: : 훅의훅의 법칙법칙 (1)(1)

§ 용수철은늘어나거나또는압축되면평형길이로되돌아가려는힘, 즉복원력을작용한다.

§ 용수철 힘은 평형위치에 대한 변위 x에 비례하고, 변위벡터와반대방향이므로 다음과 같이 표기할 수 있다.

F = -kx

변위 x > 0 ® F < 0

변위 x < 0 ® F > 0

x0 xF(x)

x0 xF(x)

로버트 훅 (1635-1703)

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단순조화운동단순조화운동단순조화운동단순조화운동§ 용수철에매단 질량 m의 물체가평형위치로부터 늘어나거나압축되었다가, 물체를놓아주면 아래위로진동한다. 이 운동에서변위는 Sin함수형태이며흔히단순조화운동이라 불린다.

빨간색빨간색곡선곡선: : 사인사인((코사인코사인) ) 함수함수

§ 훅의법칙에 뉴턴의 제2법칙을적용하면 …

F = ma = -kxd 2xdt 2 +

km

x = 0m d 2xdt 2 = -kx

§ 2차미분방정식의 일반해는다음과같은 형태이다.

여기서, A 는 진폭, w는 각진동수(각속도).

x = Asin(w0t)


단순조화운동의단순조화운동의 운동방정식운동방정식단순조화운동의단순조화운동의 운동방정식운동방정식

§ 일반해를 x에대해 2번 미분하면, 0

0 0

220 02

sin( )

cos( )

sin( )

x A tdx A tdtd x A tdt

w

w w

w w

=

Þ =

Þ = -

§ 미분방정식에넣고 정리하면

위의 해는모든 A 에 대해서성립한다. 따라서각진동수는 다음과 같다.

d 2xdt 2 +

km

x = 0

Þ -w02Asin(w0t) +

km

Asin(w0t) = 0

w0 =km

§ 주기:T =

2pw0

=2pk / m

= 2pmk

f =w0

2p=

12p

km

§ 진동수 :

§ 각진동수 :

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§ Cos 함수도 똑같이 운동방정식(2차미분방정식)을 만족한다. 따라서, 일반해는 Sin함수와 Cos의 함수의조합으로 쓸 수 있다.

§ 삼각함수관계식에서 다음의 유용한 형태를 얻는다.

§ 위상상수 q0, 진폭 C , A, B :

x(t) = Asin(w0t) + Bcos(w0t) with w0 = k /m

x(t) = C sin(w0t +q0 ) with w0 = k /m

C = A2 + B2

q0 = tan-1(-A / B)

단순조화운동의단순조화운동의 운동방정식운동방정식단순조화운동의단순조화운동의 운동방정식운동방정식

§ 상수 A , B, C, q0는 어떻게 정하는가? 다음의 초기조건으로 정한다.

• 초기위치• 초기속도

x0 = x(t = 0)v0 = v(t = 0) = (dx / dt) t=0


보기문제보기문제 14.1: 14.1: 초기조건초기조건보기문제보기문제 14.1: 14.1: 초기조건초기조건문제 1: 용수철상수 56.0 N/m 의용수철 끝에매단질량 1.00 kg 의납추를 평형위치에서거리 +5.5 cm 로당겨서초기속도 –0.32 m/s 로움직이도록 밀어준다. 이후의진동에대한운동방정식은 무엇인가?

답 1: 운동방정식

각진동수

시간미분으로속도를 구하면,

t=0에서 sin(0)=0 및 cos(0)=1이므로

w0 = k / m = (56.0 N/m)/(1.00 kg) = 7.48 s-1

x(t) = Asin(w0t) + Bcos(w0t) with w0 = k/m

x(t) = Asin(w0t) + Bcos(w0t)Þ v(t) = w0Acos(w0t) -w0Bsin(w0t)

x0 = x(t = 0) = Bv0 = v(t = 0) = w0A

üýþÞ

B = x0 = 0.055 mA = v0 /w0 = -0.043 m

ìíî

문제 2: 진동의진폭은 얼마인가?답 2:

§ 진폭인 7 cm는 초기위치 5.5 cm보다 크다. 0이아닌 초기속도로 밀었기 때문에진폭이커진 것이다.

C = A2 + B2 = 0.0432 + 0.0552 m = 0.070 m

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단순조화진동단순조화진동 : : 위치위치, , 속도속도, , 가속도가속도단순조화진동단순조화진동 : : 위치위치, , 속도속도, , 가속도가속도

§ 위치:

§ 속도:

§ 가속도:

x(t) = C sin(w0t +q0 )

v(t) =w0C cos(w0t +q0 )

a(t) = -w02C sin(w0t +q0 )

- x 와v, v 와a 사이의위상차는 90°이다. -가속도는항상변위의반대방향이다.

§ Sin 함수(또는 Cos함수)는 주기가 2π.

• 따라서, 주기 T는

• 단위시간당진동횟수 : 진동수 f:는

T =2pw

f =1T

))(sin(sin tTt += ww


보기문제보기문제 14.2: 14.2: 달을달을 통과하는통과하는 터널터널 (1)(1)보기문제보기문제 14.2: 14.2: 달을달을 통과하는통과하는 터널터널 (1)(1)

문제: 달표면에 구멍을파서 달의중심을지나 반대편까지터널을 뚫었다고하자. (달에는 대기가 없고, 고체바위로조성되어 있으므로, 지구중심을지나는터널을 뚫는것보다 그리환상적이지않다.) 터널의한쪽 끝에서질량의 강철구를놓아주면 무슨운동을하는가?

답: 중력에서배웠듯이 균일한밀도, 반지름 R 인 구형질량분포에서내부의중력크기는 다음과같다.

중력은항상달의 중심을향하므로 변위와는항상반대방향이다.내부의 중력을 훅의법칙에 적용하면

§ g = gM는 달 표면에서의 중력가속도이다. 첫째, 달표면에서 중력가속도를계산해야한다. MM = 7.35×1022 kg, RM = 1735 km = 1.735×106 m

F(x) = -kx

gM =GM M

RM2 =

6.67 ×10-11 m3kg-1s-2( ) 7.35 ×1022 kg( )1.735 ×106 m( )2

= 1.63 m/s2

rR

mgRrF -=< )(

Rmgk =\

5


보기문제보기문제 14.2: 14.2: 달을달을 통과하는통과하는 터널터널 (2)(2)보기문제보기문제 14.2: 14.2: 달을달을 통과하는통과하는 터널터널 (2)(2)

§ 용수철의운동방정식의 일반해는

시간 t=0에달 표면에서 강철구를 C=RM.이므로다음을 얻는다.

§ 진동의각속력은

§ 진동주기는

x(t) = Asin(w0t) + Bcos(w0t)

x(t) = RM cos(w0t)

w0 =km

=gM

RM

=1.63 m/s2

1.735 ×106 m= 9.69 ×10-4 Hz

T =2pw0

= 6485 s

§ 진동하는동안에 강철구의 속도는

§ 달의중심을 지날때 속도가최대이며그 값은다음과 같다.

v(t) = dxdt

= -w0RM sin(w0t)

vmax = w0RM = (9.69 ×10-4 s-1)(1.735 ×106 m) = 1680 m/s = 3760 mph


단순조화운동과단순조화운동과 원운동의원운동의 관계관계단순조화운동과단순조화운동과 원운동의원운동의 관계관계

§ 등각속도원운동:

§ 등각속도원운동의 직각좌표에 대한 투영은단순조화운동을한다.

x(t) = r cos(wt +q0 )y(t) = r sin(wt +q0 )

q(t) = wt +q0

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진자의진자의 운동운동진자의진자의 운동운동§ 길이 l인 줄에매달려진동하는 진자의추에는 작용하는힘

-아래방향으로작용하는 중력:-줄을따라작용하는 줄의장력:

§ 중심방향 : T = mgcosq§ 접선방향알짜힘 : F알짜= mgsinθ알짜힘은복원력으로 항상 변위와반대방향이다.

g⃗ ⃗

§ 진자의변위 s 는원호의길이이므로 s = lq 이고, q 는줄과수직선사이의각도이다. F = ma 에서

§ “작은-각” 어림에서 sinq » q, 다음의 미분방정식을 얻는다.

§ q < 0.5 (» 300)에서 작은 각 어림의 오차는 미미하다. 따라서진자의운동을 단순조화운동 생각할수있다.

m d 2sdt 2 = -mgsinq Þ d 2s

dt 2 = -gsinq Þ l

d 2qdt 2 + gsinq = 0

2

2 0d gdtq q+ =

l


진자의진자의 운동운동 (2)(2)진자의진자의 운동운동 (2)(2)

§ 진자의운동방정식은 용수철의 운동방정식과 같은 형태이다.

따라서, 각진동수는

§ 미분방정식의해는 다음과같다.

d 2xdt 2 +

km

x = 0

x ®q

0 0 0( ) sin( ) cos( ) with = /t A t B t gq w w w= + l

2

2 0d gdtq q+ =

l

l

gmk

=Û= ww

§ 주기와진동수:

주의) 진동주기는진자의 질량이아니라 진자의길이에 따라바뀐다.

12

gfp

=l

2Tg

p=l

7


보기문제보기문제 14.3: 14.3: 제한된제한된 진자진자보기문제보기문제 14.3: 14.3: 제한된제한된 진자진자

문제: 길이 45.3cm의진자가 천장에매달려있다. 그러나회전점아래 에튀어나온못 때문에진자의 운동이제한된다. 진동의 주기는얼마인가? (질량을몰라도풀 수있다.)

답: 못왼쪽에서의 운동과오른쪽에서의

운동으로분리하여 풀이한다.

( )

( )

1 21 2

1 2

2

1 2( )2 2

0.453 m 0.187 m9.81 m/s

1.11 s

T T Tg g

g

p

p

p

æ ö= + = +ç ÷ç ÷

è ø

= +

= +

=

l l

l l

2( 45.3 cm 26.6 cm 18.7 cm)= - =l


용수철용수철 진자의진자의 속도속도용수철용수철 진자의진자의 속도속도§ 방법1) 에너지 보존 이용.

용수철에저장된 에너지는 이고 용수철에 매단 질량의전체역학에너지는 이다.

역학에너지 보존 ;

속도를위치의 함수로구하면

Us = 12 kx2

E = 12 kA2

§ 방법2) 용수철 진자의 위치로부터 미분하면

12 kA2 = 1

2 mv2 + 12 kx2

v = (A2 - x2 )km

x(t) = C sin(w0t +q0 )v(t) =w0C cos(w0t +q0 )

A2 - x2 = A2 - A2 sin2 (w0t +q0 )= A2 (1- sin2 (w0t +q0 ))= A2 cos2 (w0t +q0 )

양변에 w02 = k/m을곱하면 다음과 같다.

km

(A2 - x2 ) =km

A2 cos2 (w0t +q0 ) = v2 양변에제곱근을취하면 에너지보존으로구한식과동일.

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단진자의단진자의 속도속도 (1) : (1) : 위치함수위치함수 미분미분단진자의단진자의 속도속도 (1) : (1) : 위치함수위치함수 미분미분

§ 단진자편향각 q(t)를 cos함수로표현하면

단, 초기조건은 최대편향각 q (t =0) = q0 .

선속도는 u = l w에서 구하면

Sin을 Cos으로 바꾸고 편향각함수를 대입하면

0( ) sind t gv g t

dtq q

æ ö= = - ç ÷ç ÷

è øl l

l

22

0 0 0 20

sin 1 cos 1g gv g t g t g qq q qq

æ ö æ ö= = - = - Þç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è øl l l

l l

2 20( )v g q q= -l

÷÷ø

öççè

æ== tgtt

lcoscos)( 00 qwqq


단진자의단진자의 속도속도(2)(2) : : 에너지보존에너지보존 이용이용단진자의단진자의 속도속도(2)(2) : : 에너지보존에너지보존 이용이용§ 최저점에서퍼텐셜에너지를 0으로잡고또한최대편향각q0에서 진자의운동에너지가0이므로 전체에너지는

§ 임의의편향각에 대한역학에너지는운동에너지와 퍼텐셜에너지의합,

00 (1 cos )E K U U mg q= + = + = -l

212(1 cos )E mg mvq= - +l

§ E 에 관한위의두 식을연결하여 다음을얻는다.

§ 위식을 속력(속도의 절댓값)에 대해서풀면 다음과같다.

§ 단진자의에너지 보존으로구한 단진자의속도는 미분방정식의해로 구한식과일치하지 않는다. 다만, 작은각어림이 적용되는조건하에서는같아진다.

2 21 10 02 2(1 cos ) (1 cos ) (cos cos )mg mg mv mg mvq q q q- = - + Þ - =l l l

02 (cos cos )v g q q= -l

L+-» 2211cos qq

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보기문제보기문제 14.4: 14.4: 곡예사곡예사 그네의그네의 속력속력보기문제보기문제 14.4: 14.4: 곡예사곡예사 그네의그네의 속력속력

뮨제: 곡마단곡예사가수직선에서 45° 각도로올라간그네를 타고정지상태에서출발한다. 줄의길이가 5.00 m 이면, 곡예사가 최저점을지날때의속력은 얼마인가?

답: 초기조건 에서 v(q = 0)를구한다.

§ 에너지보존을 이용한

§ 에, 주어진 값들을넣어서다음을 얻는다.

§ 작은-각어림에서는 이다. § 앞에서구한 정확한값에 비교적가깝지만, 여러 응용문제에서는충분히정밀하지않을 수도있다.

q0 = 45° = p / 4 rad

0( ) 2 (cos cos )v gq q q= -l

v(p / 4) = 2 × (9.81 m/s2 ) × (5.00 m) × (1- 1 / 2) = 5.36 m/s

0( / 4) 5.50 m/sv gp q= =l


감쇠진동감쇠진동감쇠진동감쇠진동

§ 공기저항과다른 마찰 효과 때문에 용수철과진자는영원히 진동하지못하고얼마간의시간이 지나면반드시 정지한다.

§ 1차원운동에서 공기저항과 마찰은 속도에 의존하고, 속도벡터에반대방향이다. 일반적으로감쇠력은 항력과같은 형태로다음과같다.

Fd = -bv

§ 감쇠력을고려한 운동방정식

§ 양변을질량으로 나누고 정리하면 다음의 표준 미분방정식을얻는다.

요점: 이 식에는 위치, 1차미분, 2차미분이 함께들어 있다.

F = ma Þ Fnet = Fv + Fx = ma Þ

-b dxdt

- kx = m d 2xdt 2

d 2xdt 2 +

bm

dxdt

+km

x = 0

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감쇠진동의감쇠진동의 해해 ( ( 경우경우1 : 1 : 저감쇠저감쇠 ))감쇠진동의감쇠진동의 해해 ( ( 경우경우1 : 1 : 저감쇠저감쇠 ))

§ 감쇠상수가작은 경우에미분방정식의 해는다음과같다.

A 와 B 는 시간 t = 0의 초기조건(x0와v0 )에 의해서 다음과 같이주어진다.

각속력:

§§ ((경우경우 1: 1: 저감쇠저감쇠 )) w’ 의제곱근의인수가 양수이면즉, 이면, 모든감쇠상수에대해서 성립한다. 이것이저감쇠의 조건으로 “작다”는뜻.

x(t) = Ae-wg t cos(w 't) + Be-wg t sin(w 't)

A = x0 and B =v0 + x0wg

w '

wg =b

2m w ' = w0

2 -wg2 =

km

-b

2mæèç

öø÷

2

w0 =km

b < 2 mk

x(t) = C exp(-wg t)cos(w 't +q0 )

-C exp(-wg t)

+C exp(-wg t)

mkb 2<


참고자료참고자료: : 저감쇠저감쇠 (1)(1)참고자료참고자료: : 저감쇠저감쇠 (1)(1)

§ 가설풀이

§ 운동방정식

x(t) = Ae-wg t cos(w 't)

Þdxdt

= -wg Ae-wg t cos(w 't) -w ' Ae-wg t sin(w 't)

Þd 2xdt 2 = (wg

2 -w '2 )Ae-wg t cos(w 't) + 2wgw ' Ae-wg t sin(w 't)

(wg2 -w '2 )Ae-wg t cos(w 't) + 2wgw ' Ae-wg t sin(w 't)

+bm

-wg Ae-wg t cos(w 't) -w ' Ae-wg t sin(w 't)( )+

km

Ae-wg t cos(w 't)( )= 0

§ 재정리한운동방정식:

§ 이방정식이 모든시간 t 에 대해서성립하려면사인과 코사인함수앞의계수가모두 0이되어야한다. 따라서다음의두 조건을얻는다.

wg2 -w '2-

bm

wg +km

æèç

öø÷

Ae-wg t cos(w 't) +

2wgw '-bm

w 'æèç

öø÷

Ae-wg t sin(w 't) = 0

2wgw '-bm

w ' = 0 Þwg =b

2m wg2 -w ' 2 -

bm

wg +km

= 0

mkb 2<

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참고자료참고자료: : 저감쇠저감쇠 (2)(2)참고자료참고자료: : 저감쇠저감쇠 (2)(2)

§ 두번째 조건을단순화하기 위하여, 첫번째 조건인 과단순조화운동의각속력 을이용하여, 다음과같이간단한 두번째조건을 얻는다.

§ 두번째 항 에대해서도똑같은 과정을거쳐서 유효한해임을보일 수있다. 또한이들 두해만이유일하게 가능한해임도 보일수있지만 여기서는생략한다.

§ 미분방정식과관련된 이장에서의 유도는같은방식으로 진행된다. 이방법은미분방정식 풀이의일반적인 접근방법이다. 시행함수를선택한다음에, 시행함수를 미분방정식에넣은결과에서 변수등을 조절한다.

-w '2-wg2 +w0

2( )= 0 Þw ' = w02 -wg

2

mb /=gwmk /0 =w

Be-wg t sin(w 't)

§ 이제저감쇠조화운동을 기술하는식의 그래프를살펴보자. 사인함수에지수함수를곱하면 시간에따라진폭을 감소시켜준다. 따라서진폭이지수함수적으로감소한다. 감쇠진동의각속력은감쇠가없는 각속력보다 줄어든다.

mkb 2<


보기문제보기문제 14.5: 14.5: 번지번지 점프점프 (1)(1)보기문제보기문제 14.5: 14.5: 번지번지 점프점프 (1)(1)

§ 깊은계곡의 다리는번지 점프에최적이다. 번지 점프의첫부분에서는늘어나지않은 번지줄과 같은길이만큼자유낙하 한다. 다리의높이가50m이고, 길이 30m의번지 줄에질량 70kg 의점퍼가 매달렸을때 5m 늘어난다. 따라서 번지줄의평형길이는 35m이다. 한편번지 줄의감쇠각속력은 0.3Hz이다.

문제: 번지점퍼의수직운동을 시간함수로기술하라.답: 처음 30m (빨간색 부분) 까지는 자유낙하.

점퍼의 속력:

걸린 시간

0 2 24.26 m/sv g= - = -l

2 / 2.47 st g= =l

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보기문제보기문제 14.5: 14.5: 번지번지 점프점프 (2)(2)보기문제보기문제 14.5: 14.5: 번지번지 점프점프 (2)(2)

§ 그다음에는 초기변위 x0 = l0 - l = 5 m 로 평형위치 y = 50 m - 35 m = 15 m에대해서감쇠진동을 시작한다. 70kg의점퍼가매달렸을 때 5m 늘어난사실에서수직운동의각속력을 다음과같이 구할수있다.

§ 한편 wg = 0.3 s-1이므로

이고, 점퍼는 A = x0 = 5 m, B = (v0 + x0wg)/w’= -17.65m/s 로 감쇠진동한다.

§ 이운동은 초록색부분이다.

21

00

9.8 m/s 1.4 s5 m

k gm

w -= = = =-l l

w ' = w02 -wg

2 = 1.367 s-1


§ 만약 이면, 감쇠진동수 wg가 보다 크기 때문에,

즉 이므로, 전혀 다른 가설풀이가 필요하다.

§ 더이상 진동함수가 아니라 다음과 같이 두지수함수로 변한다

§ 계수 A 와 B 는 초기조건에서 다음과 같이 얻는다.

b > 2 mk

x(t) = Aexp(-(wg + wg2 -w0

2 )t) + Bexp(-(wg - wg2 -w0

2 )t)

A =x0 ( wg

2 -w02 -wg ) - v0

2 wg2 -w0

2, B =

x0 ( wg2 -w0

2 +wg ) + v0

2 wg2 -w0

2

ω0ω′ < 0

감쇠진동의감쇠진동의 해해 ( ( 경우경우2 : 2 : 과감쇠과감쇠 ))감쇠진동의감쇠진동의 해해 ( ( 경우경우2 : 2 : 과감쇠과감쇠 ))

§ 특징 1: 계의긴 시간거동은지수함수의 인수가다른 인수보다더천천히감소하므로다음의 지수함수가지배한다.

§ 특징 2: 기껏해야 단 한 번 0을 지난다. 즉운동의 부호가 변한다.

exp(-(wg - wg2 -w0

2 )t)

mkb 2>

13


§ 저감쇠와과감쇠 사이에서는 어떻게 될까?

§ 새로운가설풀이가 필요하다.

§§ 감쇠진동수감쇠진동수::

§ 계수 A 와 B 는 초기조건에서 다음과 같이 얻는다.

x(t) = Aexp(-wg t) + Bt exp(-wg t)

wg =b

2m

A = x0 , B = v0 + x0wg

mkb 2=감쇠진동의감쇠진동의 해해 ( ( 경우경우3 : 3 : 임계감쇠임계감쇠 ))감쇠진동의감쇠진동의 해해 ( ( 경우경우3 : 3 : 임계감쇠임계감쇠 ))

과감쇠

저감쇠

임계감쇠


보기문제보기문제 14.6: 14.6: 임계감쇠운동임계감쇠운동보기문제보기문제 14.6: 14.6: 임계감쇠운동임계감쇠운동

문제: 용수철상수 k =1.00N/m의용수철에매단 질량 m = 1.00kg의물체가감쇠상수 b = 2.00kg/s의매질 속에서움직인다. 물체는 평형위치로부터+5cm인곳에서 정지상태로놓아준다. 1.75s 후에물체는 어디에있는가?

답: =b => 임계감쇠

§ 감쇠진동수:

초기조건:

§ 임계감쇠해:

2 mk = 2 (1 kg) × (1 N/m) = 2 kg/s

x0 = x(t = 0) = +5 cm dxdt t=0

= v(t = 0) = v0 = 0

x(t) = Aexp(-wg t) + Bt exp(-wg t)

§ 1차미분:

§ 초기조건 (t = 0):

§ 완전해:

§ 1.75 s 후의 위치:

v =dxdt

= -wg Aexp(-wg t) + B(1-wg t)exp(-wg t)

(0) exp( 0) 0 exp( 0) 5 cmx A B Ag gw w= - × + × × - × = =

(0) exp( 0) (1 0)exp( 0) 0v A B A BB A

g g g g g

g

w w w w w

w

= - - × + - × - × = - + =

Þ =x(t) = (5 cm)(1+wg t)exp(-wg t)

= (5 cm)(1+ (1.00/s)t)exp(-(1.00/s)t)

x(1.75 s) = (5 cm)(1+1.75)exp(-1.75) = 2.39 cm

wg = b / 2m = 1.00 / s

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강제조화운동강제조화운동 (1)(1)강제조화운동강제조화운동 (1)(1)

§ 그네를탄 어린이를밀 때높이올라가게 할목적이라면 주기적으로밀어서진폭을증가시키면 된다. 이것이바로 강제조화운동의좋은 예이다.

§ 주기적구동력을 표기하기위하여 다음식을사용한다.

§ 여기서 Fd 와 는 상수이다.

F(t) = Fd cos(wdt)

dw

§ F = ma 에서구동력을 포함한 다음의 미분방정식을 얻는다.

§ 특이해 (충분히 긴 시간이 지난 후의정상해)

§ 여기서진폭 C 는 자연진동수 와 의 차이에 의존한다.

-kx + Fd cos(wdt) = m d 2xdt 2

d 2xdt 2 +

km

x -Fd

mcos(wdt) = 0

x(t) = C cos(wdt)

0w dw

C =Fd

m(w02 -wd

2 )

Þ


감쇠강제진동과감쇠강제진동과 공명진폭공명진폭감쇠강제진동과감쇠강제진동과 공명진폭공명진폭

§ 감쇠가있으면 이고, 진폭은 다음과 같다.

§ 구동력의주파수가 자연진동수와 일치하면, 즉, 에서최대진폭을갖는다. 이때 공명이 이루어 졌다고 하며, 진폭은 공명진폭이다.

x(t) = Cg cos(wdt +q)

Cg =Fd

m (w02 -wd

2 )2 + 4wd2wg

2

wd = w0

Fd / (2mwdwg )

wg = 0.3 Hz,wg = 0.5 Hz,wg = 0.7 Hz

주의: 최대진폭은자연진동수약간아래에서생긴다.

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공명현상공명현상 : : 다리다리공명현상공명현상 : : 다리다리

§ 미국워싱턴 주의타코마 협곡다리는완공직후부터 약간의바람만 불어도수직으로진동했기 때문에 “펄쩍뛰는현수교”란별명을얻었다. 결국 1940년11월 7일완공된 지수 개월만에, 풍속40mph의강풍이다리의 진동을공명시켜서, 다리가 붕괴됐다.

§ 다리위로 행진하는군부대는주기적인 걸음으로공명이 발생하지않도록종종 엇박자로 행진한다. 2000년 6월 12일에런던의테임즈강위에 건설된밀레니움 다리는개통하자마자사흘 만에통행이금지됐다. http://www.youtube.com/watc

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Bauer Ch14 [호환 모드] - webbuild.knu.ac.krwebbuild.knu.ac.kr/~jhdho/physics.files/Bauer_Ch14.pdf · 3 2011년5월16일 University Physics, Chapter14 5 §Cos 함수도똑같이운동방정식(2차미분방정식)을만족한다