7

BAB 2

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini diuraikan beberapa landasan teori yang terkait, mencakup konsep

neuro-fuzzy dan soft computing, logika fuzzy, teori himpunan fuzzy, aturan fuzzy dan

penalaran fuzzy, fuzzy inference system ( FIS ), serta Adaptive Neuro-Fuzzy Inference

System ( ANFIS ).

2.1 Neuro-Fuzzy dan Soft Computing

2.1.1 Pengertian Neuro-Fuzzy dan Soft Computing

Neuro-Fuzzy dan Soft Computing ( SC ) adalah integrasi dua pendekatan

komplementer: jaringan saraf ( neural network, NN ) yang mengenali pola

dan beradaptasi untuk menanggulangi keadaan yang berubah - ubah / acak;

sistem inferensi fuzzy ( fuzzy inference system, FIS ) yang menggabungkan

pengetahuan manusia serta melakukan inferensi dan pembuatan keputusan.

Sinergi ini memungkinkan SC menggabungkan pengetahuan manusia secara

efektif, menghadapi ketidakketepatan dan ketidakpastian (Linda, 2007).

2.1.2 Karakteristik Neuro-Fuzzy dan Soft Computing

a) Kepakaran manusia

SC menggunakan kepakaran manusia dalam bentuk aturan if - then

fuzzy, sama baiknya seperti dalam representasi pengetahuan konvensional,

untuk memecahkan masalah – masalah praktis.

8

b) Model – model komputasi biologically inspired

Diinspirasi oleh NN biologis, NN tiruan digunakan secara ekstensif

dalam SC untuk menghadapi persepsi, pengenalan pola, dan regresi

nonlinier serta masalah – masalah klasifikasi.

c) Teknik - teknik optimisasi baru

SC mengaplikasikan metode – metode optimisasi inovatif yang timbul

dari berbagai sumber.

d) Komputasi numeris

Tidak seperti kecerdasan artifisial ( artificial intelligence, AI ) yang

simbolik, SC terutama bergantung pada komputasi numeris.

e) Domain – domain aplikasi baru

Karena komputasi numerisnya, SC telah menemukan sejumlah domain

aplikasi baru disamping domain – domain dengan pendekatan AI.

Domain – domain aplikasi ini membutuhkan komputasi yang intensif.

f) Pembelajaran bebas model

NN dan FIS adaptif mempunyai kemampuan untuk membangun model

menggunakan hanya data contoh sistem target. Pengetahuan detil dalam

sistem help targetmen-setstruktur model inisial, namun ini bukan suatu

keharusan.

g) Komputasi intensif

Tanpa adanya asumsi yang banyak mengenai pengetahuan background

dari masalah yang ingin diselesaikan, neuro-fuzzy dan SC sangat

bergantung pada pengkomputasian menerka angka dalam kecepatan

9

tinggi untuk menemukan aturan – aturan atau susunan yang teratur dari

dalam himpunan data.

h) Toleransi kesalahan

Penghancuran sebuah node / neuron dalam suatu NN atau sebuah

aturan dalam suatu FIS, tidak akan menghancurkan sistem yang berjalan.

Sistem akan tetap bekerja karena arsitektur paralel dan redundannya

meskipun performa berangsur memburuk.

i) Karakteristik goal driven

Neuro-fuzzy dan SC adalah goal driver; jalan yang memimpin state

kini ke solusi tidak terlalu penting selama bergerak menuju tujuan dalam

long run. Pengetahuan domain spesifik menolong mengurangi waktu

komputasi dan pencarian tetapi bukan menjadi suatu kebutuhan.

j) Aplikasi – aplikasi dunia rill

Semua masalah dunia riil mengandung ketidakpastian built-in yang

tidak dapat dielakkan, sehingga terlalu cepat menggunakan pendekatan

konvensional yang memerlukan deskripsi detil dari masalah yang sedang

dipecahkan. SC adalah pendekatan terintegrasi yang seringkali dapat

menggunakan teknik – teknik spesifik dalam subtugas – subtugas untuk

membangun solusi umum yang memuaskan untuk masalah dunia riil

(Jang, Jyh-Shing Roger, Chuen-Tsai Sun, Eiji Mizutani, 1997).

10

2.2 Logika Fuzzy

Dalam teori logika fuzzy menjelaskan sejarah, definisi dan terminologi dasar,

teori operasi himpunan fuzzy, parameter dan formulasi fungsi keanggotaan

( membership function, MF ) serta konfigurasi dan desain sistem logika fuzzy.

Teori logika fuzzy dikemukakan pertama kali oleh Lotfi A. Zadech pada tahun

1965, yaitu suatu pendekatan komputasional dalam pengambilan keputusan sesuai

dengan cara berpikir manusia yang mengijinkan adanya ketidakpastian dan

memperlihatkan suatu logika yang bergradasi. Seperti yang dilakukan oleh manusia

dalam mengambil keputusan, pengertian – pengertian yang ada di dalam pemikiran

manusia diukur dengan kualitas daripada kuantitas (Kulkarni, 2001).

Menurut Sri Kusuma Dewi, logika fuzzy merupakan salah satu komponen

pembentuk Soft Computing. Dasar logika fuzzy adalah teori himpunan fuzzy. Pada

teori himpunan fuzzy, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan

elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Nilai keanggotaan atau derajat

keanggotaan atau membership function menjadi ciri utama dari penalaran dengan

logika fuzzy tersebut (Kusumadewi, 2006).

Dalam banyak hal, logika fuzzy digunakan sebagai suatu cara untuk memetakan

permasalahan dari input menuju ke output yang diharapkan. Beberapa contoh yang

dapat diambil antara lain:

1. Manajer pergudangan mengatakan pada manajer produksi seberapa banyak

persediaan barang pada akhir minggu ini, kemudian manajer produksi akan

menetapkan jumlah barang yang harus diproduksi esok hari.

11

2. Seorang pegawai melakukan tugasnya dengan kinerja yang sangat baik,

kemudian atasan akan memberikan reward yang sesuai dengan kinerja

pegawai tersebut (Kusumadewi dan Purnomo, 2004).

Logika fuzzy dapat dianggap sebagai kotak hitam yang menghubungkan antara

input menuju ke ruang output. Kotak hitam tersebut berisi cara atau metode yang

dapat digunakan untuk mengolah data input menjadi output dalam bentuk informasi

yang baik.

Dalam logika klasik hanya mengenal dua nilai kebenaran yaitu benar atau salah

yang disimbolkan oleh nilai 1 dan 0, serta perubahan keanggotaan pada himpunan

klasik berubah secara drastis. Tetapi pada logika fuzzy, sesuatu dapat bernilai

diantara 0 dan 1, serta nilai anggota himpunan diperbolehkan mempunyai gradiasi

di antara menjadi anggota penuh atau hanya sebagian sehingga perubahan

keanggotaan pada logika fuzzy berlangsung secara perlahan atau memberi nilai

kebenaran yang bergradiasi.

Misalkan pada pengertian “tinggi” yang sering digunakan dalam kehidupan

sehari – hari. Pada himpunan klasik hanya mengenal seseorang tinggi jika orang

tersebut memiliki tinggi 180 cm, sedangkan dibawah 180 disebut “pendek”. Namun,

pada himpunan fuzzy, orang yang memiliki tinggi badan 2 m mempunyai nilai

kebenaran penuh atau 1. Sedangkan bila tingginya 175 cm maka seseorang

dianggap misalnya 90% tinggi.

Menurut Sri Kusuma Dewi, ada beberapa alasan mengapa orang menggunakan

logika fuzzy, antara lain :

12

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengerti. Karena logika fuzzy menggunakan

dasar teori himpunan, maka konsep matematis yang mendasari penalaran

fuzzy tersebut cukup mudah untuk dimengerti.

2. Logika fuzzy sangat fleksibel, artinya mampu beradaptasi dengan perubahan -

perubahan, dan ketidakpastian yang menyertai permasalahan.

3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat. Jika diberikan

sekelompok data yang cukup homogen, dan kemudian ada beberapa data

yang “ekslusif”, maka logika fuzzy memiliki kemampuan untuk menangani

data eklusif tersebut.

4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi - fungsi nonlinear yang sangat

kompleks.

5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman -

pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan.

Dalam hal ini, sering dikenal dengan nama Fuzzy Expert System menjadi

bagian terpenting.

6. Logika fuzzy dapat bekerjasama dengan teknik - teknik kendali secara

konvensional. Hal ini umumnya terjadi pada aplikasi di bidang teknik mesin

maupun teknik elektro (Kusumadewi, 2006).

Logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami. Logika fuzzy menggunakan bahasa

sehari - hari sehingga mudah dimengerti.

2.3 Teori Himpunan Fuzzy

2.3.1 Himpunan Fuzzy

13

Teori himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965

(Kulkarni, 2001). Beberapa definisi tentang himpunan fuzzy ( Yan; Ryan;

power; 1994 ), yaitu :

• Jika U adalah objek - objek yang dinotasikan secara generik oleh u, maka

suatu himpunan fuzzy F dalam U adalah suatu himpunan pasangan

berurutan :

F = (2.1)

Dengan adalah derajat keanggotaan u di F yang memetakan U ke ruang

keanggotaan yang terletak pada rentang [0,1].

• Support dari himpunan fuzzy F adalah himpunan klasik dari

sedemikian hingga . Untuk dimana = 0.5 disebut

titik potong.

• Himpunan α-level dari himpunan fuzzy , , adalah himpunan klasik dari

sedemikian hingga .

• Biasanya derajat keanggotaan maksimum untuk elemen didalam

himpunan fuzzy adalah 1. Pada kasus ini himpunan tersebut disebut

ternomalisasi ( normalized ). Sebuah himpunan yang tidak ternomalisasi

dapat dibuat menjadi begitu dengan mengubah semua nilai - nilai

keanggotaan dalam proporsi sehingga membuat nilai terbesar menjadi 1.

Himpunan fuzzy adalah generalisasi konsep himpunan biasa ( ordiner ).

Untuk semesta wacana X, himpunan fuzzy ditentukan oleh fungsi keanggotaan

14

yang memetakan anggota x ke rentang keanggotaan dalam interval [0, 1].

Sedangkan untuk himpunan biasa fungsi keanggotaan bernilai diskrit 0 dan 1.

Berikut didefinisikan beberapa kelas MF ( member function )

terparameter satu dimensi, yaitu MF dengan sebuah input tunggal

(Kusumadewi, 2006).

MF segitiga dispesifikasikan oleh tiga parameter { a, b, c } seperti berikut :

µsegitiga (x) (2.2)

Parameter { a, b, c } ( dengan a < b < c ) menentukan koordinat x dari ketiga

corner yang mendasari MF segitiga.

MF trapesium dispesifikasikan oleh empat parameter { a, b, c, d } sebagai

berikut :

µtrapesium(x, a, b, c, d) (2.3)

Parameter { a, b, c, d } ( dengan a < b ≤ c < d ) menentukan koordinat x dari

keempat corner yang mendasari MF trapesium.

MF Gauss dispesifikasikan oleh dua parameter { c, σ } :

µsegitiga (x) = (2.4)

15

dimana c merepresentasikan pusat MF dan σ mendefinisikan lebar MF.

MF bel umum ( atau MF bel ) dispesifikasikan oleh tiga parameter {a, b, c} :

µbel(x, a, b, c) = (2.5)

Gambar 2.1 Contoh empat kelas MF terparameter : (a) µsegitiga(x; 20, 60, 80);

(b) µtrapesium(x; 10, 20, 60, 95); (c) µgauss(x; 50, 20); (d) µbel(x; 20, 4, 50).

Sumber : Neuro-Fuzzy and Soft Computing (1997, p26)

16

Gambar 2.2 Arti fisik dari parameter – parameter dalam suatu MF bel umum

MF S berbentuk huruf S ( Gambar 2.3 ) dispesifikasikan oleh parameter { a,

b }:

µs(x; a,b) = (2.6)

Titik persilangan terjadi pada (a + b)/2.

Gambar 2.3 Grafik fungsi MFS

MF Z dispesifikasikan oleh dua parameter {a, b} (Gambar 2.4) :

µz(x; a,b) = (2.7)

17

Gambar 2.4 Grafik fungsi MF Z

MF pi dispesifikasikan oleh empat parameter { a, b, c, d } :

µphi(x; a,b) = µs(x; a,b) * µz(x; c,d) (2.8)

Parameter c menentukan titik tengah dan parameter b menentukan lebar

bidang pada titik persilangan. Titik persilangan terdapat pada : u = c ± b/ 2.

Gambar 2.5 Grafik fungsi MFpi

MF sigmoid didefinisikan oleh :

µsigmoid(x; a, c) = (2.9)

dimana a mengontrol slope pada titik persilangan x = c.

18

Gambar 2.6 Grafik fungsi MF sigmoid: (a) Dua fungsi sigmoid y1 dan y2; (b)

sebuah close MF didapatkan dari | y1– y2|; (c) dua fungsi dari sigmoid y1 dan

y3; (d) sebuah close MF didapatkan dari y1y3.

2.3.2 Aturan Fuzzy dan Penalaran Fuzzy

a) Aturan if – then Fuzzy

Suatu aturan if – then fuzzy atau aturan fuzzy mengasumsikan bentuk

If x is A then y is B,

Dimana A dan B nilai linguistik yang didefinisikan himpunan fuzzy pada

semesta X dan Y. “x is A” disebut anteseden, sedangkan “y is B” disebut

konsekuen.

Dua fungsi implikasi yang banyak digunakan adalah min ( Mamdani )

karena kemudahannya dalam interpretasi grafis dan prod ( Larsen ) :

1) Min ( minimum ). Fungsi ini akan memotong output himpunan fuzzy.

Gambar di bawah ini menunjukkan salah satu contoh penggunaan

fungsi min.

19

Gambar 2.7 Fungsi implikasi min

2) Dot ( dot product ). Fungsi ini akan menskala output himpunan fuzzy.

Gambar dibawah ini menunjukkan salah satu contoh penggunaan

fungsi dot.

Gambar 2.8 Fungsi Implikasi Dot

b) Penalaran Fuzzy

Aturan dasar inferensi dalam two - valued logic tradisional adalah modus

ponens : menarik kebenaran proposisi B dari kebenaran A dan implikasi

A→B.

Dalam penalaran manusia, modus ponen banyak digunakan dalam cara

pendekatan ( approximate ). Ini dituliskan sebagai :

premis 1 ( fakta ) : x is A’.

premis 2 ( aturan ) : if x is A then y is B,

20

konsekuensi ( konklusi ) : y is B’.

dimana A’ dekat dengan A dan B’ dekat dengan B. Prosedur inferensi di

atas disebut approximate reasoning atau penalaran fuzzy; juga disebut

Generalized Modus Ponen ( GMP ) karena mengandung modus ponens

dalam kasus spesial.

A, A’, dan B adalah himpunan fuzzy pada X, X’, dan Y. Implikasi fuzzy

A→B diekspresikan sebagai relasi fuzzy R pada X x Y. Maka himpunan

fuzzy B yang ditarik dari “x is A” dan aturan fuzzy “if x is A then y is B”

didefinisikan oleh

µB’(y) = maxx min[µA’( x ), µR(x, y)] (2.10)

= vx[µ A’ ( x ) ^ µR(x, y)],

atau ekuivalen dengan

B’ = A’ o R = A’ o ( A → B ). (2.11)

Ada tiga metode yang digunakan dalam melakukan komposisi

aturan – aturan fuzzy untuk inferensi, yaitu: max, sum, dan probor. µsf(xi)

= nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke – i; µkf(xi) = nilai

keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke – i.

1) Metode Max ( Maximum )

Solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan mengambil nilai maksimum

aturan, menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy, dan

mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR

( union ).

µsf(xi) ←max(µsf(xi), µkf(xi)) (2.12)

2) Metode Additive ( Sum )

21

Solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan melakukan penjumlahan

terbatas terhadap semua output daerah fuzzy.

µsf(xi) ← min(1, 1 - µsf(xi) + µkf(xi)) (2.13)

3) Metode Probabilistic OR ( probor )

Solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan melakukan produk terhadap

semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan :

µsf(xi) ← (µsf(xi) + µkf(xi)) – (µsf(xi) * µkf(xi)) (2.14)

Jadi, proses penalaran fuzzy dapat dibagi ke dalam empat langkah :

a) Derajat kesepadanan / memasukkan input fuzzy

Bandingkan fakta yang diketahui dengan anteseden dari aturan fuzzy

untuk menemukan derajat kesepadanan dengan memperhatikan setiap

anteseden MF.

b) Kuat penyulutan / mengaplikasikan operator fuzzy

Gabungkan derajat – derajat kesepadanan dengan memperhatikan

anteseden MF – MF dalam suatu aturan menggunakan operator fuzzy

AND atau OR untuk membentuk kuat penyulutan yang

mengindikasikan tingkat bagian anteseden dari aturan dipenuhi.

c) MF konsekuen yang qualified ( terinduksi ) / mengaplikasikan

metode implikasi

Gunakan kuat penyulutan ke MF konsekuen dari suatu aturan untuk

menemukan suatu MF konsekuen qualified.

d) Output keseluruhan MF / komposisi semua output

22

Agresikan semua MF konsekuen qualified untuk mendapatkan suatu

MF output keseluruhan.

2.3.3 Sistem Inferensi Fuzzy

Sistem inferensi fuzzy (FIS) adalah sebuah framework komputasi populer

berdasarkan pada konsep teori himpunan fuzzy, aturan if - then fuzzy, dan

penalaran fuzzy (Kusumadewi, 2006).

Tiga komponen konsep FIS yaitu : baris aturan, mengandung seleksi

dari aturan – aturan fuzzy; basis data, mendefinisikan MF – MF yang

digunakan dalam aturan fuzzy; dan mekanisme penalaran, melakukan

prosedur inferensi pada aturan – aturan dan fakta – fakta yang diberikan untuk

menarik output atau konklusi yang reasonable.

FIS dapat mengambil input fuzzy maupun input tegas ( sebagai fuzzy

singleton ), tapi output yang dihasilkan hampir selalu himpunan fuzzy.

Kadang kala output tegas dibutuhkan, sehingga dibutuhkan metode

defuzifikasi untuk mengekstrak nilai tegas paling baik merepresentasikan

himpunan fuzzy.

Sistem inferensi fuzzy ( Fuzzy Inference System ) pada dasarnya

mendefinisikan pemetaan nonlinear dari vektor data input menjadi skalar

output. Proses pemetaan melibatkan input / output fungsi keanggotaan,

operator - operator fuzzy, aturan fuzzy if - then, agregasi dari himpunan output

dan defuzzification (Hartono, 2010). Model umum dari sistem inferensi fuzzy

ditunjukkan pada gambar dibawah ini:

23

input output

x y

Gambar 2.9 Diagram Blok Sistem Inferensi Fuzzy

Sistem inferensi fuzzy memiliki empat komponen, yaitu: fuzzifier, inference

engine, rule base dan defuzzifier. Rule base memiliki aturan linguistik yang

diberikan oleh para ahli. Juga mungkin dapat mengambil aturan dari data

numerik. Sekali aturan telah ditetapkan, sistem inferensi fuzzy dapat dilihat

sebagai sebuah sistem yang memetakan sebuah vektor input ke vektor output.

Fuzzifier memetakan angka - angka input kedalam keanggotaan fuzzy yang

sesuai. Inference engine mendefinisikan pemetaan dari input himpunan fuzzy

kedalam output himpunan fuzzy. Defuzzifier memetakan output himpunan

fuzzy kedalam nomor crisp.

Metode Tsukamoto

Sistem inferensi fuzzy didasarkan pada konsep penalaran monoton. Pada

metode penalaran monoton, nilai crisp pada daerah konsekuen dapat diperoleh

secara langsung berdasarkan fire strength pada antesedennya. Salah satu

syarat yang harus dipenuhi pada metode penalaran ini adalah himpunan fuzzy

pada konsekuennya harus bersifat monoton ( baik monoton naik maupun

monoton turun ) (Kusumadewi, 2006).

fuzzifier

inference engine

defuzzifier

rule base

24

Model Fuzzy Sugeno

Model Fuzzy Sugeno ( model fuzzy TSK ) diajukan oleh Takagi, Sugeno,

dan Kang ( Takagi dan Sugeno, 1985, hal. 116 – 132; Sugeno dan Kang, 1988,

hal. 15 – 33 ) dalam upaya untuk membangun pendekatan sistematis untuk

membangkitkan aturan – aturan fuzzy dari himpunan data input – output yang

diberikan. Suatu aturan fuzzy khas dalam model fuzzy Sugeno dibentuk

if x is A and y is B then z = f(x,y),

dimana A dan B himpunan fuzzy dalam anteseden dan z = f(x,y) fungsi tegas

dalam konsekuen. Jika f(x, y) polimonial orde satu, FIS yang dihasilkan

disebut model fuzzy Sugeno orde satu. Jika f konstan, dihasilkan model

fuzzy Sugeno orde nol.

Sistem inferensi fuzzy menggunakan metode Sugeno memiliki

karakteristik, yaitu konsekuen tidak merupakan himpunan fuzzy, namun

merupakan suatu persamaan linear dengan variabel - variabel sesuai dengan

variabel - variabel inputnya. Ada 2 model sistem inferensi fuzzy dengan

menggunakan metode TSK, yaitu:

1. Model Fuzzy Sugeno Orde-0

Secara umum bentuk model fuzzy sugeno orde-0 adalah:

IF( iS )° ( iS )° ( iS )°...° ( iS ) THEN z=k (2.15)

dengan adalah himpunan fuzzy ke-i sebagai anteseden, ° adalah

operator fuzzy ( seperti AND atau OR ), dan k adalah suatu konstanta

( tegas ) sebagai konsekuen.

25

2. Model Fuzzy Sugeno Orde-1

Secara umum bentuk model fuzzy Sugeno orde-1 adalah:

IF ( iS ) °...° ( iS ) THEN z= * +...+ * +q (2.16)

dengan adalah himpunan fuzzy ke-i sebagai anteseden, ° adalah

operator fuzzy ( seperti AND atau OR ), adalah suatu konstanta

( tegas ) ke-i dan q juga merupakan konstanta dalam konsekuen. Proses

agresasi dan defuzzy untuk mendapatkan nilai tegas sebagai output untuk

M aturan fuzzy juga dilakukan dengan menggunakan rata - rata terbobot,

yaitu:

z = (2.17)

2.4 Algoritma Pembelajaran Hybrid

Pada saat premise parameters ditemukan, output yang akan terjadi

merupakan kombinasi linear dari consequent parameter, yaitu :

y = (2.18)

=

=

Linear terhadap parameter cij ( i = 1.2 dan j = 0,1,2).

26

Algoritma hybrid akan mengatur parameter – parameter cij secara maju

(forward) dan akan mengatur parameter – parameter {ai, bi, ci} secara mundur

( backward).

Pada langkah maju (forward), input jaringan akan merambat maju sampai

pada lapisan keempat, dimana parameter – parameter cij akan diidentifikasikan

dengan menggunakan metode least-square. Sedangkan pada langkah mundur

( backward ), error sinyal akan merambat mundur dan parameter – parameter {ai,

bi, ci} akan diperbaiki dengan menggunakan metode gradient descent.

Menurut Jang (1997), menggunakan algoritma backpropagation atau

gradient descent untuk mengidentifikasikan parameter – parameter pada suatu

jaringan adaptif biasanya membutuhkan waktu yang relatif lama untuk

konvergen. Mengemukakan algoritma hybrid yang akan menggabungkan antara

steepest descent (SD) dan least square estimator (LSE) untuk

mengidentifikasikan parameter – parameter linear.

2.5 Least Square Estimator (LSE) Rekursif

Salah satu metode LSE adalah LSE rekursif. Pada LSE rekursif, dapat

menambahkan suatu pasangan data [aT | y], sehingga memiliki sebanyak ( m+ 1)

pasangan data. Dari sini dapat dihitung kembali LSE θk. Bentuk semacam ini

dikenal dengan LSE Rekursif.

Karena jumlah parameter ada sebanyak n, maka matriks m x n dapat

diselesaikan dengan menggunakan metode invers, sebagai berikut :

Pn = (AnT An)

-1 (2.19)

27

Θn = (Pn AnT yn) (2.20)

Selanjutnya, iterasi dimulai dari data ke-(n + 1), dengan nilai Pk+1 dan ϴk+1 dapat

dihitung sebagai berikut :

Pk+1 = Pk – (2.21)

θk+1 = θk + Pk+1 ak+1 ( yk+1 - θk) (2.22)

2.6 Perambatan Balik Untuk Jaringan Feedforward

Perambatan balik adalah aturan pelatihan dasar untuk jaringan adaptif

yang pada esensinya metode SD sederhana. Bagian inti adalah bagaimana secara

rekursif memperoleh suatu vektor gradien dimana tiap elemen didefinisikan

sebagai derivatif ukuran galat terhadap suatu parameter.

Misalkan sebuah jaringan adaptif feedforward yang diberikan mempunyai

L lapis dan lapis l ( l = 0, 1, …., L; l = 0 merepresentasikan lapisan input)

mempunyai N(I) node. Maka output dan fungsi node i [ i = 1,…, N(l)] dalam

lapis l dapat direpresentasikan sebagai xl,i dan fl,i, seperti yang ditunjukkan pada

gambar dibawah. Karena output suatu mode bergantung pada sinyal – sinyal

yang masuk dan himpunan parameter dari node, maka ekspresi umum untuk

fungsi node fl,i adalah sebagai berikut :

xl,i = fl,i (xl-1,1, ….., xl-1,N(l-1), α, β, γ,…) (2.23)

dimana α, β, γ, dan seterusnya adalah parameter – parameter dari node ini.

28

Gambar 2.10. Konvensi notasional : representasi lapis.

Asumsikan bahwa himpunan data pelatihan yang diberikan mempunyai

P entri, dapat didefinisikan suatu ukuran galat untuk entri data pelatihan ke – p (1

≤ p ≤ P) sebagai jumlah kuadrat galat :

, (2.24)

dimana dk adalah komponen ke – k dari vektor output yang diinginkan ke-p dan

xL,k adalah komponen ke – k dari vektor output aktual yang dihasilkan dengan

menggunakan vektor input ke – p ke jaringan. Karena untuk ANFIS hanya

terdapat satu node output maka :

(2.25)

Sebelum mengkalkulasi vektor gradien, observasi hubungan kasual

berikut :

Dengan kata lain, perubahan kecil pada parameter α akan mempengaruhi output

node yang mengandung α; selanjutnya akan mempengaruhi output lapis akhir

dan karenanya ukuran galat. Karena itu, konsep dasar dalam menghitung vektor

Change in parameter α

Change in outputs of nodes containing α

Change in network’s

output

Change in error measure

29

gradien adalah dengan melewatkan sebuah bentuk informasi derivatif dimulai

dari lapis output dan berjalan mundur lapis demi lapis sampai lapis input dicapai.

Sinyal galat ϵl,i didefinisikan sebagai derivatif ukuran galat Ep terhadap output

node i dalam lapis l, mengambil jalur baik langsung dan tak langsung.

ϵl,i = (2.26)

Ekspresi ini disebut derivatif beruntun oleh Werbos (1974), yang

mempertimbangkan baik jalur langsung maupun tidak langsung yang membawa

pada hubungan kausal.

Sinyal galat output node ke – i (pada lapis L) dapat dikalkulasi secara

langsung :

ϵl,i = = (2.27)

Ini sama dengan ϵL,i = -2(di – xL,i). Untuk node internal pada posisi ke – i dari

lapis l, sinyal galat didapatkan dengan aturan berantai :

ϵl,i = = (2.28)

=

dimana 0 ≤ l ≤ L-1.

Vektor gradien didefinisikan sebagai derivatif ukuran galat terhadap

masing – masing parameter. Jika α adalah suatu parameter dari node ke – i pada

lapis l, maka

30

= ϵl,i (2.29)

Jika parameter α diijinkan untuk di-share di antara node – node berbeda, maka

persamaan di atas diubah ke bentuk yang lebih umum :

(2.30)

dimana S adalah himpunan node yang mengandung α sebagai suatu parameter;

dan x* dan f* adalah output dan fungsi dari suatu node generik dalam S.

Derivatif dari ukuran galat keseluruhan E terhadap α adalah

(2.31)

Karena itu, untuk penurunan tercuram sederhana tanpa minimisasi garis,

formula update untuk parameter generik α (misalnya parameter a, b, atau c)

adalah

dimana η adalah tingkat pelatihan, yang dapat diekspresian sebagai

dimana k adalah ukuran langkah, panjang setiap transisi sepanjang arah

gradien dalam ruang parameter.

2.7 Aturan Pelatihan Hybrid : Mengkombinasikan SD dan LSE

(2.32)

(2.33)

31

Meski dapat menggunakan perambatan balik untuk mengidentifikasikan

parameter jaringan adaptif, namun seringkali memakan waktu panjang sebelum

konvergen. Output jaringan adaptif linier dalam beberapa parameter jaringannya;

sehingga dapat diidentifikasi dengan metode kuadrat terkecil (MKT) linier.

Pendekatan ini menghasilkan aturan pelatihan hybrid yang mengkombinasikan

SD dan LSE untuk identifikasi cepat parameter.

Pelatihan Off-line (Pelatihan Batch)

Diasumsikan jaringan adaptif hanya mempunyai satu output yand

direpresentasikan oleh

o = F(i, S) (2.34)

dimana i adalah vektor variabel – variabel input, S adalah himpunan parameter,

dan F adalah fungsi keseluruhan yang diimplementasikan oleh jaringan adaptif.

Jika terdapat sebuah fungsi H sehingga fungsi komposit H o F linier dalam

beberapa elemen S, maka elemen – elemen ini dapat diidentifikasi oleh MKT.

Secara lebih formal, jika himpunan parameter S dapat dibagi ke dalam dua

himpunan

S = S1 ⊕ S2 (2.35)

(dimana ⊕ merepresentasikan jumlah langsung) sehingga H o F linier dalam

elemen – elemen S2 , maka dengan mengaplikasikan H ke persamaan (2.35),

diperoleh

H = H o F(i, S), (2.36)

32

yang linier dalam S2. Jika diberikan nilai elemen – elemen S1, dapat dimasukkan

P (data pelatihan) ke dalam persamaan (2.34) dan memperoleh persamaan

matriks :

Aθθθθ = y (2.37)

dimana θ adalah vektor yang tidak diketahui yang elemennya adalah parameter –

parameter dalam S2. Solusi terbaik untuk θ yang meminimkan ||Aθ - y||2 adalah

penduga kuadrat terkecil (LSE) θ*.

Sekarang dapat dikombinasikan SD dan LSE untuk meng-update

parameter jaringan adaptif. Untuk pelatihan hybrid yang diaplikasikan ke dalam

mode batch, setiap epoch (periode pelatihan) tersusun atas forward pass dan

backward pass. Dalam forward pass, setelah vektor input dihadirkan,

dikalkulasikan output node lapis demi lapis sampai baris dalam matriks A dan y

dalam persamaan (2.37) diperoleh. Lalu parameter – parameter dalam S2

diidentifikasi baik dengan formula LSE pseudoinverse atau formula LSE rekursif.

Kemudian dihitung ukuran galat untuk setiap pasangan data pelatihan. Dalam

backward pass, sinyal galat merambat dari akhir output menuju akhir input;

vektor gradien diakumulasi untuk setiap entri data pelatihan. Pada akhir

backward pass untuk semua data pelatihan, parameter – parameter dalam S1 di-

update oleh SD dengan persamaan :

Untuk nilai parameter tetap dalam S1 yang diberikan, parameter dalam S2

yang ditemukan dijamin titik optimum global dalam ruang parameter S2 karena

(2.38)

33

pemilihan ukuran kuadrat galat. Bukan hanya aturan pelatihan hybrid ini

mengurangi dimensi ruang pencarian metode SD, tetapi secara substansial juga

mengurangi waktu yang dibutuhkan untuk mencapai konvergensi.

2.8 Adaptive Neuro - Fuzzy Inference System ( ANFIS )

Adaptive Neuro - Fuzzy Inference system adalah arsitektur yang secara

fungsional sama dengan fuzzy rule base model Sugeno, dan juga sama dengan

jaringan saraf dengan fungsi radial dengan sedikit batasan tertentu (Kusumadewi,

2006).

Adaptive Neuro - Fuzzy Inference System ( ANFIS ) merupakan jaringan

saraf adaptif yang berbasis pada sistem kesimpulan fuzzy ( fuzzy inference

system ). Dengan penggunaan suatu prosedur hybrid learning. ANFIS dapat

membangun suatu mapping input - output yang keduanya berdasarkan pada

pengetahuan manusia ( pada bentuk aturan fuzzy if – then ) dengan fungsi

keanggotaan yang tepat.

Sistem kesimpulan fuzzy yang memanfaatkan aturan fuzzy if - then dapat

memodelkan aspek pengetahuan manusia yang kualitatif dan memberi reasoning

process tanpa memanfaatkan analisa kuantitatif yang tepat. Ada beberapa aspek

dasar dalam pendekatan ini yang membutuhkan pemahaman yang lebih baik,

secara rinci :

1) Tidak ada metode baku untuk men-transform pengetahuan atau pengalaman

manusia ke dalam aturan dasar ( rule base ) dan database tentang fuzzy

inference system.

34

2) Ada suatu kebutuhan bagi metode efektif untuk mengatur ( tuning ) fungsi

keanggotaan ( Membership Function / MF ) untuk memperkecil ukuran

kesalahan keluaran atau memaksimalkan indeks pencapaian.

ANFIS dapat bertindak sebagai suatu dasar untuk membangun satu

kumpulan aturan fuzzy if - then dengan fungsi keanggotaan yang tepat, yang

berfungsi untuk menghasilkan pasangan input – output yang tepat.

Sistem fuzzy inference yang digunakan adalah sistem inferensi fuzzy

model Takagi – Sugeno - Kang ( TSK ) orde satu dengan pertimbangan

kesederhanaan dan kemudahan komputasi.

Rule 1 : if x is A1 and y is B1 then z1 = ax + by + c

premis konsekuen

Rule 2 : if x is A2 and y is B2 then z2 = px + qy + c

premis konsekuen

Input adalah x dan y, konsekuen adalah z.

Langkah dari fuzzy reasoning dilakukan oleh sistem kesimpulan fuzzy terdiri

dari 5 layer yaitu :

Layer 1 : Merupakan layer pertama setelah x dan y dimasukkan. Setiap node

ke – I di dalam layer ini merupakan adaptive node dengan fungsi

tersendiri.

O1,i = µAi (x) untuk tiap i = 1, 2, atau

O1, i = µBi – 2(y) untuk tiap I = 3,4

Dimana x ( atau y ) merupakan data input ke dalam node i dan Ai ( atau

Bi-2 ) berisi label linguistic ( misal “kecil” atau “besar” ) yang terkait

dengan node ini. Fungsi yang digunakan, yaitu generalize bell function :

35

(2.39)

Dimana { ai , bi, ci } adalah parameter set. Selama parameter ini berubah,

fungsi bentuk bell ini akan berubah, yang kemudian menunjukkan

berbagai macam bentuk fungsi keanggotaan untuk set fuzzy A. Parameter

dalam layer ini disebut sebagai premise parameters.

Layer 2 : Tiap node dalam layer ini merupakan node yang tetap ditandai

sebagai Π, yang mana outputnya adalah produk keluaran dari semua

signal yang masuk :

(2.40)

Tiap output node merepresentasikan kekuatan dari sebuah rule. Pada

umumnya, Operasi T - norm yang mana saja yang dapat melakukan fuzzy

logic dan dapat digunakan sebagai fungsi node dalam layer ini.

Layer 3 : Tiap node pada layer ini merupakan node yang ditandai dengan

tetap sebagai N. Node ke - i mengkalkulasi rasio dari kekuatan rule ke – i

ke semua jumlah yang didapat dari rule’s firing strengths:

(2.41)

Untuk penggunaannya, tiap output pada layer ini disebut sebagai

normalized firing strengths.

36

Layer 4 : Tiap node i dalam layer ini merupakan node adaptif dengan

sebuah node fungsi

(2.42)

Dimana adalah normalisasi firing strength dimulai dari layer 3 dan {pi,

qi, ri} yang merupakan set parameter dari node ini.

Layer 5 : Node yang tersendiri pada layer ini ditandai dengan tanda tetap

sebagai Σ, yang mana menghitung keseluruhan output sebagai signal

input yang dijumlahkan :

Output keseluruhan (2.43)

(Jang, 1997)

Gambar 2.11 Model fuzzy Sugeno orde satu dengan dua buah input

37

Gambar 2.12 Arsitektur ANFIS

Gambar 2.13 Jaringan adaptif : Arsitektur dan algoritma pembelajaran

38

2.9 Fuzzy Clustering

Clustering mempartisi suatu himpunan data ke dalam beberapa kelompok

sehingga kemiripan di dalam kelompok lebih besar daripada antar kelompok.

Karena itu diperlukan matriks kemiripan yang mengambil dua vektor input dan

mengembalikan nilai kemiripannya. Karena matriks kemiripan sensitif terhadap

rentang elemen – elemen dalam vektor input, maka setiap variabel input harus

dinormalisasi, misalnya kedalam interval [ 0, 1 ]. Teknik – teknik clustering

digunakan bersamaan dengan pemodelan fuzzy terutama untuk menentukan aturan –

aturan if - then fuzzy.

2.10 Komoditi

Komoditi adalah sesuatu benda nyata yang relatif mudah diperdagangkan,

dapat diserahkan secara fisik, dapat disimpan untuk jangka waktu tertentu dan dapat

dipertukarkan dengan produk lainnya dengan jenis yang sama, yang biasa dapat

dibeli atau dijual oleh investor melalui bursa berjangka. Secara umum, suatu produk

yang diperdagangkan, termasuk valuta asing, instrumen keuangan dan indeks.

Komoditi disini berupa barang mineral dan produk pertanian, seperti batu bara,

emas, timah, perak, minyak bumi, dan lain – lain untuk barang mineral, serta jagung,

beras, gandum, kopi, gula, sapi, dan lain – lain untuk produk pertanian (Ferlianto,

2006). Ada juga barang yang disebut sebagai “commoditized” ( tidak lagi dibedakan

berdasarkan merek ) seperti komputer.

Pasar komoditi sangatlah luas dan mendalam, menjanjikan peluang yang

berpotensi untuk menghasilkan banyak uang serta terdapat tantangan tersendiri di

dalamnya. Para investor kebanyakan seringkali kewalahan karena bingung untuk

39

memutuskan beli atau jual tiap – tiap transaksi mereka disebabkan oleh banyaknya

jumlah komoditi yang bisa diperdagangkan. Untuk memutuskan apakah sang

investor harus membeli atau menjual jagung, atau minyak mentah, atau juga

mencari komoditi lainnya jika harga kesemua komoditi yang ada lebih murah

dibandingkan dengan komoditi lainnya. Kesulitan untuk menentukan apakah

keputusan beli atau jual itulah yang membuat para investor menjadi kewalahan dan

juga ketakutan. Bahkan diantara dari mereka yang selalu senang mengambil resiko,

pada akhirnya menjadi jatuh miskin karena terlalu sering rugi (Bouchentouf, 2007).

Berbeda dengan saham, yang mana tiap kali kita membeli sejumlah saham di

dalam suatu perusahaan, kemudian kita akan menjadi bagian dari perusahaan

tersebut, dalam pasar komoditi, tiap – tiap pembelian kita, maka yang kita miliki

hanyalah barang yang telah dibeli, tidak ada kaitannya dengan perusahaan yang

bersangkutan.

2.11 Prediksi dan Ramalan

Prediksi dan Peramalan adalah pernyataan tentang apa yang akan terjadi

dimasa mendatang, biasanya didasari oleh pengalaman dan dasar ilmu pengetahuan

yang dapat dipertanggungjawabkan namun tidak selamanya digunakan. Prediksi dan

ramalan tampak sama namun pada dasarnya berbeda.

Penjelasan perbedaan kedua kata tersebut dapat kita gunakan dua istilah yang

berbeda untuk menguraikan metodologi dalam memperkirakan permintaan masa

datang: "Ramalan" dan "Prediksi". Ramalan merupakan istilah yang agak berbau

nujum. Bila kita melakukan ramalan, maka kita menggabungkan sejumlah besar

informasi subyektif maupun obyektif untuk membentuk perkiraan terbaik kita

40

tentang masa depan. Kita gunakan metode ramalan bila kita hanya memiliki

sejumlah kecil pengalaman yang mendasari perkiraan kita tentang masa depan.

Prediksi atau forecasting di lain pihak, akan diartikan sebagai penggunaan teknik -

teknik statistik dalam membentuk gambaran masa depan berdasarkan pengolahan

angka - angka historis. Prediksi tergantung kepada adanya data historis yang cukup

agar dapat diuraikan secara statistik dan juga tergantung kepada faktor - faktor

pembentuk pasar yang relatif stabil. Prediksi dan peramalan mempunyai kegunaan

masing – masing (Buffa, 1994).

Prediksi tidak terlalu dibutuhkan dalam permintaan kondisi pasar yang stabil,

karena perubahan permintaannya relatif kecil. Tetapi prediksi akan sangat

dibutuhkan bila kondisi permintaan pasar bersifat kompleks dan dinamis.

Dalam kondisi pasar bebas, permintaan pasar lebih banyak bersifat

kompleks dan dinamis karena permintaan tersebut akan tergantung dari keadaan

sosial, ekonomi, politik, aspek teknologi, produk pesaing dan produk subtitusi. Oleh

karena itu, prediksi yang akurat merupakan informasi yang sangat dibutuhkan dalam

pengambilan keputusan manajemen.

Prediksi atau peramalan ini sendiri, seringkali digunakan pada perusahaan –

perusahaan besar untuk mengetahui apa saja yang harus dilakukan agar suatu

perusahaan dapat meraih apa yang mereka ingin capai semenjak mereka

membangun perusahaan tersebut (Flyvbjerg, 2007). Ini memungkinkan suatu

perusahaan untuk mendapatkan keuntungan lebih dan mencegah kerugian besar

dikemudian harinya.

41

2.11.1 Prediksi dan Horison Waktu

Dalam hubungannya dengan horison waktu prediksi, maka kita bisa

mengklasifikasikan prediksi tersebut kedalam 3 kelompok, yaitu :

1. Prediksi jangka panjang, umumnya 2 sampai 10 tahun. Prediksi ini

digunakan untuk perencanaan produk dan perencanaan sumber daya.

2. Prediksi jangka menengah, umumnya 1 sampai 24 bulan. Prediksi ini

lebih khusus dibandingkan dengan prediksi jangka panjang, biasanya

digunakan untuk menentukan aliran kas, perencanaan produksi, dan

penentuan anggaran.

3. Prediksi jangka pendek, umumnya 1 sampai 5 minggu. Prediksi ini

digunakan untuk mengambil keputusan dalam hal perlu tidaknya lembur,

penjadwalan kerja, dan lain - lain keputusan kontrol jangka pendek

(Herjanto, 2008).

2.11.2 Karakteristik Prediksi yang Baik

Prediksi yang baik mempunyai beberapa kriteria yang penting, antara lain

akurasi biaya, dan kemudahan. Penjelasan dari criteria - kriteria tersebut

adalah sebagai berikut :

1. AKURASI

Akurasi dari suatu hasil prediksi diukur dengan kebiasaan dan

kekonsistenan prediksi tersebut. Hasil prediksi dikatakan bias bila

prediksi tersebut terlalu tinggi atau terlalu rendah dibandingkan dengan

42

kenyataan yang sebenarnya terjadi. Hasil prediksi dikatakan konsisten

bila besarnya kesalahan peramalan relatif kecil. Prediksi yang terlalu

rendah akan mengakibatkan kekurangan persediaan, sehingga permintaan

konsumen tidak dapat dipenuhi segera, akibatnya adalah perusahaan

dimungkinkan kehilangan pelanggan dan kehilangan keuntungan

penjualan. Prediksi yang terlalu tinggi akan mengakibatkan terjadinya

penumpukkan persediaan, sehingga banyak modal yang terserap sia - sia.

Keakuratan dari hasil prediksi ini berperan penting dalam

menyeimbangkan persediaan yang ideal ( meminimasi penumpukan

persediaan dan memaksimasi tingkat pelayanan ).

2. BIAYA

Biaya yang diperlukan dalam pembuatan suatu prediksi adalah

tergantung dari jumlah item yang diramalkan, Lamanya periode prediksi,

dan metode prediksi yang dipakai. Ketiga faktor pemicu biaya tersebut

akan mempengaruhi berapa banyak data yang dibutuhkan, bagaimana

pengolahan datanya ( manual atau komputerisasi ), bagaimana

penyimpanan datanya dan siapa tenaga ahli yang diperbantukan.

Pemilihan metode prediksi harus disesuaikan dengan dana yang tersedia

dan tingkat akurasi yang ingin didapat, misalnya item - item yang penting

akan diramalkan dengan metode yang canggih dan mahal, sedangkan

item - item yang kurang penting bisa diramalkan dengan metode yang

sederhana dan murah. Prinsip ini merupakan adopsi dari Hukum Pareto

( Analisa ABC ).

3. KEMUDAHAN

43

Penggunaan metode prediksi yang sederhana, dan mudah diaplikasikan

akan memberikan keuntungan bagi perusahaan. Adalah percuma

memakai metode yang canggih, tetapi tidak dapat diaplikasikan pada

sistem perusahaan karena keterbatasan dana, sumberdaya manusia,

maupun peralatan teknologi (Nasution, 2003).

2.11.3 Beberapa Sifat Hasil Peramalan

Dalam membuat peramalan atau menerapakan hasil suatu peramalan,

maka ada beberapa hal yang harus dipertimbangkan, yaitu:

1. Peramalan pasti mengandung kesalahan, artinya peramal hanya bisa

mengurangi ketidakpastian yang akan terjadi, tetapi tidak dapat

menghilangkan ketidakpastian tersebut.

2. Peramalan seharusnya memberikan informasi tentang berapa ukuran

kesalahan, artinya karena peramalan pasti mengandung kesalahan, maka

adalah penting bagi peramal untuk menginformasikan seberapa besar

kesalahan yang mungkin terjadi.

3. Peramalan jangka pendek lebih akurat dibandingkan peramalan jangka

panjang. Hal ini disebabkan karena pada peramalan jangka pendek, faktor

- faktor yang mempengaruhi permintaan relatif masih konstan, sedangkan

semakin panjang periode peramalan, maka semakin besar pula

44

kemungkinan terjadinya perubahan faktor - faktor yang mempengaruhi

permintaan (Nasution, 2003).

Banyak pengaplikasian dari prediksi dan ramalan ini yang tersebar di

masyarakat, namun, kebanyakan prediksi tersebut digunakan bukan untuk

urusan bisnis, melainkan untuk ramalan cuaca, ramalan pertumbuhan

penduduk, dan beberapa ramalan dan prediksi lainnya yang menyangkut

kehidupan pribadi masing – masing dari mereka.

Prediksi ini adalah apa yang akan kami capai dengan menggunakan

ANFIS untuk mendapatkan hasil data yang diharapkan terjadi di masa

mendatang nantinya dalam memprediksi harga komoditi bahan pangan.