Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9

Aula 9 – Pontos notaveis de um triangulo

Objetivos

• Apresentar os pontos notaveis de um triangulo.

• Estabelecer alguns resultados envolvendo esses elementos.

Pontos notaveis de um triangulo

Nesta aula veremos alguns segmentos e retas relacionados aos triangulos

que sao importantes no estudo da Geometria: medianas, bissetrizes, mediatri-

zes e alturas relativas aos lados do triangulo. Algumas das nocoes envolvidas

ja sao nossas conhecidas.

Definicao 22

Seja ABC um triangulo qualquer e seja D o ponto medio de BC. O segmento

AD e chamado mediana de ABC relativa ao lado BC. (veja figura 161).

A

B C D

Fig. 161: AD e mediana relativa ao lado BC.

Da mesma forma, se E e o ponto medio de AC e F e o ponto medio de

AB, os segmentos BE e CF sao as medianas relativas aos lados AC e AB,

respectivamente.

Alem das medianas, um triangulo ABC tem outros elementos impor-

tantes que serao descritos a seguir.

109 CEDERJ

Pontos notaveis de um triangulo

Definicao 23

Seja ABC um triangulo e D um ponto do lado BC tal que, BAD ≡ CAD.

O segmento AD e chamado bissetriz interna relativa ao lado BC. Da mesma

forma, defini-se bissetriz interna relativa aos outros dois lados. Observe a

figura 162.

A

B C D

Fig. 162: AD e bissetriz interna relativa ao lado BC.

Usaremos tambem a palavra bissetriz interna para designar a semi-reta−−→AD.

Definicao 24

As mediatrizes de AB, de AC e de BC sao chamadas simplesmente de me-

diatrizes de ABC. Observe a figura 163.

A

B C

D

H

Fig. 163:↔DH e mediatriz.

Definicao 25

Dado um triangulo ABC, trace a reta r que passa por A e que e perpendicular

a reta←→BC. Seja R o ponto em que r e

←→BC se cortam. O segmento AR e

chamado de altura relativa ao lado BC.

CEDERJ 110

Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9

O ponto R pode pertencer ao interior BC, coincidir com B ou C, ou

estar fora do segmento BC, como mostrado na figura 164. Ele e tambem

chamado ”pe da altura” relativa ao lado BC. Da mesma forma, define-se a

altura relativa ao lado AC e a altura relativa ao lado AB.

Por simplicidade de linguagem, tambem chamamos de altura a medida e a

reta suporte de uma altura de qualquer triangulo.

A

B C R

A

C

A

B C R B R

Fig. 164: Altura relativa ao lado BC.

Bissetrizes de um triangulo

Dado um triangulo ABC, considere as bissetrizes internas−−→AD e

−−→BE.

Estas se encontram em um ponto F no interior de ABC, como na figura 165.

A

B C

D

E

F

Fig. 165: Encontro de duas bissetrizes internas.

Um fato surpreendente e que a bissetriz de C tambem passa pelo ponto

F . Nosso objetivo agora e provar que, de fato, isso acontece, ou seja, mostrar

que as bissetrizes internas de ABC passam todas por F . Dizemos que F e o

ponto de encontro das bissetrizes internas, ou que as bissetrizes internas sao

concorrentes (em F ).

111 CEDERJ

Pontos notaveis de um triangulo

Para mostrar que, de fato, as bissetrizes internas sao concorrentes, u-

saremos o seguinte resultado:

Proposicao 18

Seja BAC um angulo e seja−−→AD a bissetriz de BAC. Se P ∈ −−→AD, entao P

equidista de←→AB e de

←→AC. Reciprocamente, se P esta no interior de BAC e

equidista de←→AB e de

←→AC, entao P ∈ −−→AD.

Prova:

Suponha que P pertenca a bissetriz−−→AD de BAC. Trace as perpen-

diculares PX e PY as retas←→AB e

←→AC, respectivamente, como na figura

166.

A

B

C

D

P

X

Y

Fig. 166: Proposicao 18.

Compare os triangulos PAY e PAX. Segue de LAA que PAY ≡ PAX

(note que PA e comum aos dois triangulos). Daı, obtemos que PX ≡ PY ,

ou seja, que a distancia de P a reta←→AB e igual a distancia de P a

←→AC.

Deixaremos como exercıcio desta aula a prova de que, se P equidista de←→AB

e de←→AC, entao P ∈ −−→AD.

Q.E.D.

Provaremos, agora, como se utiliza essa proposicao a fim de provar que

as bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes. Para isso, retorne-

mos a figura 165. Como F pertence a bissetriz de ABC, pela proposicao 18,

garantimos que F equidista de←→AB e de

←→BC. A mesma proposicao assegura

que F equidista de←→AB e de

←→AC (pois F pertence a bissetriz de BAC). Logo,

F equidista das retas←→AC e

←→BC. A segunda parte da proposicao 18 garante

que F pertence a bissetriz de ACB, ou seja, que a bissetriz de ACB tambem

passa por F .

Provamos, assim, a seguinte proposicao:

CEDERJ 112

Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9

Proposicao 19

As bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes.

Definicao 26

O ponto de encontro das bissetrizes internas de um triangulo e chamado de

incentro (veja figura 167).

A

B C

F

Fig. 167: F e o Incentro de ABC.

Neste ponto e oportuno voce reler os axiomas e comparar as suas

afirmacoes com a afirmacao da proposicao 19. Provavelmente, voce nao

questionou nenhuma afirmacao de qualquer axioma, simplesmente porque

os considerou bastante naturais. Sera que voce aceitaria, com a mesma na-

turalidade, a afirmacao da proposicao 19? Provavelmente nao. E por isso

que tivemos de prova-la. E o impressionante e que a prova utilizou apenas

os axiomas e os resultados deles decorrentes.

Segue da proposicao 18 que o incentro de um triangulo e equidistante

dos seus lados. Mais precisamente, se P e o incentro de um triagulo ABC e

os segmentos PR, PS e PT sao perpendiculares aos lados AB, AC e BC,

respectivamente, entao PR ≡ PS ≡ PT ( veja figura 168).

A

B C

RS

P

T

Fig. 168: P incentro de ABC ⇒ PR ≡ PS ≡ PT .

113 CEDERJ

Pontos notaveis de um triangulo

Como consequencia, o cırculo com centro em P e de raio PR sera

tangente aos tres lados de ABC. Esse cırculo e chamado de cırculo inscrito

no triangulo ABC (veja figura 169).

A

B C

RS

P

T

Fig. 169: Cırculo inscrito.

Medianas de um triangulo

Trataremos, agora, de mostrar que as medianas de um triangulo sao

tambem concorrentes. Para isso, considere um triangulo qualquer ABC e

trace as medianas AD e BE. Essas medianas encontram-se em um ponto G

(figura 170).

A

B CD

EFG

Fig. 170: Encontro das medianas AD e BE.

Mostraremos que a mediana CF tambem passa por G. Com esse ob-

jetivo, trace o segmento ED e considere os pontos medios H, de AG, e I,

de BG. Trace os segmentos HE, HI e ID, formando o quadrilatero HEDI

(veja a figura 171).

A

B CD

EFG

I

H

Fig. 171: Encontro das medianas AD e BE.

CEDERJ 114

Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9

Como E e o ponto medio de AC e D e o ponto medio de BC, temos

que ED e paralelo a AB e que m(ED) =m(AB)

2. Da mesma forma, como H

e o ponto medio de AG e I e o ponto medio de BG, tem-se que HI e paralelo

a AB e que m(HI) =m(AB)

2. Desses fatos resulta que HI e paralelo a ED

e que m(HI) = m(ED).

O quadrilatero HEDI tem entao um par de lados opostos paralelos e

congruentes. Isso implica que HEDI e um paralelogramo.

Logo, temos tambem HE//ID e HE ≡ ID. Segue que HEG ≡ DIG.

Como os angulos HGE e DGI sao congruentes (opostos pelo vertice), segue

por L.A.A. que HGE ≡ DGI (veja figura 172).

A

B C D

F G

E H

I

Fig. 172: Encontro das medianas AD e BE.

Assim, HG ≡ DG e GE ≡ GI. Mas nao esqueca que AH ≡ HG e

BI ≡ IG (pois H e o ponto medio de AG e I e o ponto medio de BG).

Logo, m(AH) = m(GH) = m(GD) e m(BI) = m(IG) = m(GE).

Assim, m(AG) = 2m(GD) e m(BG) = 2m(GE), ou seja, o ponto G de

encontro das medianas AD e BE divide cada mediana em dois segmentos de

forma que o segmento que contem o vertice mede o dobro do outro.

Considere, agora, as medianas AD e CF e seja T o ponto de encontro

entre elas (figura 173).A

B CD

FT

Fig. 173: Encontro das medianas AD e CF .

Da mesma forma que fizemos antes, prova-se que m(AT ) = 2m(TD) e

m(CT ) = 2m(TF ). Mas provamos anteriormente que m(AG) = 2m(GD).

Isso obriga que T = G. Portanto, CF tambem passa por G. Provamos,

assim, que as medianas de um triangulo sao concorrentes. De fato, provamos

mais que isso. Veja o que diz a proposicao a seguir.

115 CEDERJ

Pontos notaveis de um triangulo

Proposicao 20

As medianas de um triangulo sao concorrentes. Alem disso, o ponto de

encontro entre elas divide cada mediana em dois segmentos de modo que o

segmento que contem o vertice mede o dobro do outro.

Definicao 27

O ponto de encontro das medianas de um triangulo e chamado de baricentro.

(Veja figura 174). A

B CD

EFG

Fig. 174: G e o baricentro de ABC.

O baricentro de um triangulo tem uma propriedade fısica interessante:

ele e o centro de massa do triangulo. Uma experiencia a ser feita e a seguinte:

recorte um triangulo de papelao e faca um furo no seu baricentro. Passe um

barbante por esse furo e estique-o na posicao horizontal. Se o papelao for

sempre da mesma espessura (sem pontos mais pesados que outros), voce

podera girar o triangulo e para-lo em qualquer posicao, sem que ele se mexa

mais. Parece normal? So que se voce furar o triangulo fora do baricentro e

fizer a mesma coisa, o triangulo vai ter uma ”posicao preferida”, uma parte

que sempre vai tender a ficar para baixo, por ser mais pesada. O baricentro

e para o triangulo, nesse sentido, como o ponto de encontro das diagonais e

para o quadrado.

Centro de Massa,

Baricentro, Centro de

Gravidade e Centroide

Ha varias definicoes para

Centro de Massa de um

corpo. Podemos definir

Centro de Massa de um

corpo como o ponto do

corpo sobre o qual

poderıamos concentrar toda

a massa do corpo ou o ponto

do corpo pelo qual podemos

pendurar o corpo de modo

que fique em equilıbrio.

Do grego, Baros (pesado) +

kentron (centro), o

baricentro e o centro de

massa de um corpo. Esse

tema, muito importante na

Fısica, tem seu maior

conteudo no trabalho de

Ferdinand Mobius (1287):

Der Baricentrische Calcul.

No caso do triangulo, o

Baricentro (e

consequentemente o Centro

de Massa) esta localizado no

ponto de encontro das

medianas do triangulo.

Quando um corpo esta

sujeito a forca da gravidade,

o Centro de Massa e o ponto

em que podemos representar

a resultante das forcas que

atuam sobre todos os pontos

do corpo. E o ponto onde

marcamos a ’forca peso’.

Nesse caso o ponto e

chamado de Centro de

Gravidade.

No caso do corpo ser

homogeneo, o centro de

massa recebe o nome de

Centroide.

Mediatrizes e Alturas de um triangulo

Nos exercıcios desta aula, faremos juntos a prova da seguinte pro-

posicao:

Proposicao 21

As mediatrizes de um triangulo sao concorrentes.

Definicao 28

O ponto de encontro das mediatrizes de um triangulo e chamado de circun-

centro.

Faremos tambem, nos exercıcios desta aula, a prova da proposicao:

Proposicao 22

As alturas de um triangulo sao concorrentes.

Definicao 29

O ponto de encontro das alturas de um triangulo e chamado de ortocentro.

CEDERJ 116

Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• As definicoes de mediana, bissetriz interna, mediatriz e altura de um

triangulo.

• Que as medianas, as bissetrizes internas, as mediatrizes e as alturas de

um triangulo sao concorrentes.

• Que todo triangulo possui um cırculo inscrito.

Exercıcios

1. (Restante da prova da proposicao 18.) Na proposicao 18 provamos

que, se um ponto pertence a bissetriz de um angulo, entao ele equidista

dos lados desse angulo. O objetivo deste exercıcio e provar o inverso:

se um ponto pertence ao interior de um angulo e equidista dos lados

desse angulo, entao esse ponto pertence a bissetriz desse angulo. Para

isso, considere um angulo BAC e um ponto P no interior de BAC

e equidistante dos lados desse angulo. Trace os segmentos PD e PE

perpendiculares respectivamente aos lados−→AC e

−→AB (veja figura 175).

B

E

A D

P

C

Fig. 175: Exercıcio 1.

Agora prove que a semi-reta−→AP e bissetriz de BAC.

2. Na figura 176, m(AC) = 30 cm e B e reto. Determine a medida de

PO.

AB

C

Q

P

O

Fig. 176: Exercıcio 2.

117 CEDERJ

Pontos notaveis de um triangulo

3. Na figura 177, ABCD e um paralelogramo. Determine x.

A B

CD

Px

16

M

Fig. 177: Exercıcio 3.

4. Na figura 178, ABCD e um paralelogramo. Determine x.

A B

CD

P

x

8

E

Fig. 178: Exercıcio 4.

5. Na figura 179, ABCD e um retangulo eABM e um triangulo equilatero.

Se m(AB) = 15 cm, determine m(AP ).

D M C

A

P

B

Fig. 179: Exercıcio 5.

6. Na figura 180, P pertence a mediatriz de AB. Prove que P equidista

de A e B (ou seja, m(PA) = m(PB)).

A B

P

Fig. 180: Exercıcio 6.

CEDERJ 118

Pontos notaveis de um trianguloMODULO 1 - AULA 9

7. Este exercıcio e o recıproco do exercıcio 6. Se P e equidistante dos

pontos A e B, prove que P pertence a mediatriz do segmento AB.

8. (Circuncentro de um triangulo.) O objetivo deste exercıcio e mos-

trar que as mediatrizes de um triangulo sao concorrentes, ou seja, pas-

sam pelo mesmo ponto. Para isso, considere as mediatrizes r e s dos

lados BC e AC, respectivamente, as quais encontram-se em um ponto

P (figura 181). Use os exercıcios 6 e 7 para mostrar que P pertence a

mediatriz de AB.

A

B C

P

r

s

Fig. 181: Exercıcio 8.

9. (Cırculo circunscrito.) O objetivo deste exercıcio e provar que todo

triangulo possui um cırculo circunscrito. Seja ABC um triangulo e seja

P o circuncentro de ABC (figura 182).

A

B

P

C

Fig. 182: Exercıcio 9.

Prove que PA ≡ PB ≡ PC. Entao o cırculo com centro em P e de

raio PA passa pelos tres pontos de ABC.

Esse cırculo e chamado de cırculo circunscrito ao triangulo ABC (figura

183).A

B

P

C

Fig. 183: Exercıcio 9 (Cırculo circunscrito).

119 CEDERJ

Pontos notaveis de um triangulo

10. (Ortocentro de um triangulo.) O objetivo deste exercıcio e mostrar

que as alturas de um triangulo sao concorrentes. Para isso, considere

um triangulo ABC e, por cada vertice, trace a reta paralela ao lado

oposto. Essas retas determinam um triangulo DEF (figura 184).

A

B C

D E

F

t

r

s

Fig. 184: Exercıcio 10.

Prove que A, B e C sao os pontos medios de DE, DF e EF , respectiva-

mente. Em seguida, mostre que as alturas de ABC sao as mediatrizes

de DEF . Use o exercıcio 8 para concluir que as alturas de ABC sao

concorrentes.

11. Seja O o centro do cırculo circunscrito a um triangulo ABC. Prove

que O pertence ao interior de ABC se e somente se o triangulo ABC

e acutangulo.

CEDERJ 120